Cote n° 156-3 · pages 1–40 · Lecture modernisée · [Chapitre] III. Réseaux via découpages : notes manuscrites (08/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Les données d'un réseau par découpages (pages 1 à 5), datées du 8 juin 1986.
2. 2.La ligne ordonnée et les tronçons (pages 6 à 10).
3. 3.Retrouver l'ordre à partir des découpages (pages 10 à 16).
4. 4.Parties modérées fermées (pages 17 à 21).
5. 5.La topologie d'un tronçon (pages 21 à 24), datée du 9 juin.
6. 6.Bord, tronçons et pseudo-tronçons (pages 24 à 28).
7. 7.Parties modérées et complémentaire modéré (pages 29 à 31).
8. 8.L'algèbre des parties modérées (pages 31 à 33).
9. 9.Relativisation et composantes connexes (pages 34 à 39).
10. 10.Retour au réseau (page 40).

Les feuillets portent sa pagination 1 à 40, qui coïncide avec celle des archivistes. La page 1 porte le titre « Réseaux via découpages », la date du 8 juin 1986 et, dans un triangle, « GF III » : c'est le chapitre III de Vers une géométrie des formes, après « Vers une géométrie des formes (topologiques) » (dossier 156-1, 5–7 juin) et « Réalisations topologiques des réseaux » (dossier 156-2, 6–7 juin). Le lendemain du dernier feuillet, le 10 juin, s'ouvre au dossier 156-4 le chapitre IV, « Analysis situs (première mouture) ».

Trois axiomatiques des réseaux. Le dossier est la troisième tentative, en quatre jours, de dire ce qu'est un réseau. Au dossier 156-1, un réseau est un ensemble de lieux muni de segments et de leurs extrémités, soumis aux axiomes F\(_1\) à F\(_6\) (pages 5 à 23 de ce dossier) ; ses lieux singuliers sont les nœuds, et les composantes des lieux réguliers ses lignes. Au dossier 156-2, le réseau est le but annoncé d'une étude des failles et des mailles topologiques, et n'est pas atteint. Ici, les données premières sont les paires de lieux en position modérée et les découpages. Les trois ne sont pas fondues : chacune repart de zéro, et la seconde moitié de ce dossier abandonne le réseau pour le seul tronçon. Deux liens sont pourtant explicites. Le tronçon ordonné de la page 8 est exactement ce que la proposition de la page 9 du dossier 156-2 disait de l'ensemble des lieux d'une faille orientée, moins l'existence d'un plus petit et d'un plus grand élément ; et la structure de biordre de la page 13 du dossier 156-1 — une paire d'ordres opposés — est le « tronçon binordonné » de la page 11 ci-dessous. Le mot « disjoints », enfin, a ici le sens qu'il avait au dossier 156-2 pour les lieux d'une faille : distincts et comparables, et non d'intersection vide.

Conventions. \(\mathcal{L}\) désigne l'ensemble des lieux, puis, à partir de la page 6, un tronçon ordonné¹ . \(\mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\), \(\mathfrak{P}_{f}(\mathcal{L})\) sont les parties à deux éléments et les parties finies. \(\mathcal{L}_{<a}\), \(\mathcal{L}_{\leq a}\), \(]a,b[\), \([a,b]\), etc. ont leur sens ordinaire dans un ensemble ordonné, sans qu'on suppose l'ordre total : \([a,b] = \{x \mid a \leq x \leq b\}\). Quatre notions de bord coexistent dans les feuillets, et la page les note souvent du même point suscrit ; on les distingue ainsi : \(\dot{A}\), la frontière donnée d'une composante dans l'axiomatique abstraite (page 3) ; \(\partial T\), le bord absolu d'un pseudo-tronçon, ensemble de ses points extrêmes (page 25) ; \(\mathrm{Fr}\, X\), la frontière modérée d'une partie modérée (pages 18 et 29) ; \(\mathrm{Fr}_{\mathrm{top}}\, T\), la frontière pour la topologie canonique (page 25).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les axiomes des réseaux par découpages eux-mêmes, au-delà des axiomes de finitude Dec\(_1\), Dec\(_2\) et de l'axiome de la page 4 ; les conditions qui caractérisent la relation d'intermédiarité d'un tronçon, et ses découpages (pages 16 et 40) ; la fin de l'énoncé sur les parties localement fermées (page 20) ; les propriétés 1) à 8) de l'algèbre des parties modérées (pages 32 et 33), énoncées sans démonstration ; la sobriété de la topologie canonique (page 22).

1–5

Les données d'un réseau par découpages (pages 1 à 5)

Le dossier s'ouvre sur une intention : « Je voudrais définir une autre axiomatique des structures de réseau sur un ensemble \(\mathcal{L}\) (ensemble des lieux)² . » Les données sont au nombre de trois.

1. (a)Une partie \(\mathfrak{S}_{0} \subset \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\), dont les éléments sont les 0-sphères — les paires de lieux « modérées ». Si \(\{a,b\} \in \mathfrak{S}_{0}\), on dit que \(a\) et \(b\) sont disjoints, ou en position relative modérée. Par convention, un lieu est en position modérée avec lui-même : la relation « \(a = b\) ou \(\{a,b\} \in \mathfrak{S}_{0}\) » est réflexive et symétrique³ . Une partie finie \(T\) est modérée si \(\mathfrak{P}_{2}(T) \subset \mathfrak{S}_{0}\), c'est-à-dire si ses éléments sont deux à deux disjoints ; on note \(\mathrm{Modf}(\mathcal{L})\) l'ensemble des parties finies modérées.
2. (b)Pour tout \(T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})\), une relation d'équivalence \(R_{T}\) sur le complémentaire modéré \[ C(T) = \{t \in \mathcal{L} \smallsetminus T \mid T \cup \{t\} \text{ est modérée}\}, \] dont les classes sont les composantes connexes de \(C(T)\).
3. (c)Pour tout \(T \in \mathrm{Modf}(\mathcal{L})\) et toute composante \(A\) de \(C(T)\), une partie \(\dot{A} \subset T\), la frontière de \(A\).

La page 1 dit ce que (a) devient dans l'axiomatique « par les segments » du dossier 156-1 : deux lieux distincts sont disjoints si l'un d'eux est un nœud du réseau, ou s'ils sont sur des lignes différentes, ou s'ils sont sur une même ligne et forment le bord d'un segment⁴ . Sur une faille du dossier 156-2, c'est la relation entre lieux de la page 8 de ce dossier, et un découpage par \(n\) lieux deux à deux disjoints y donne les \(n+1\) failles recollées bout à bout de la page 9 : c'est l'image à garder pour (b).

Il prévoit que les axiomes, encore à écrire, entraîneront que la donnée (c) résulte de (b), et que (b) résulte de la seule donnée des \(R_{\varepsilon}\) pour \(\varepsilon \in \mathfrak{S}_{0}\). La donnée essentielle serait alors la relation de position modérée et, pour chaque 0-sphère \(\varepsilon\), le découpage de \(C(\varepsilon)\) en composantes. C'est ce programme que les pages 10 à 15 réalisent pour un tronçon.

Parties modérées cofinies. Les parties de la forme \(C(T)\) sont dites modérées cofinies. Si une partie est à la fois finie modérée et modérée cofinie, \(U = S = C(T)\), alors \(S \cup T\) est une partie finie modérée maximale, puisque tout lieu modéré par rapport à \(T\) est dans \(S\). Il veut qu'alors \(S \cup T = \mathcal{L}\), que \(\mathfrak{S}_{0} = \mathfrak{P}_{2} (\mathcal{L})\), que les \(R_{T}\) soient discrètes et les frontières vides. C'est l'axiome suivant, accompagné de l'exemple qui le motive.

Exemple 1 (page 4) : structure discrète. Si \(\mathfrak{S}_{0} = \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\), alors \(\mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathfrak{P}_{f}(\mathcal{L})\) et \(C(T) = \mathcal{L} \smallsetminus T\) ; on prend \(R_{T}\) discrète, les composantes sont des points et \(\dot{A} = \emptyset\). Axiome (page 4). Si \(T\) est une partie finie modérée maximale, alors \(T = \mathcal{L}\), et \(\mathcal{L}\) est discret.

Finitude. Viennent ensuite des hypothèses « draconiennes, peut-être provisoires » :

1. Dec\(_{1}\)Toute partie modérée cofinie n'a qu'un nombre fini de composantes connexes.
2. Dec\(_{2}\)Si \(T \subset S\) sont finies modérées, de sorte que \(U = C(S) \subset V = C(T)\)⁵ , toute composante \(A\) de \(U\) est contenue dans une composante \(B\) de \(V\), unique, et \(\dot{A} \cap T \subset \dot{B}\).

Autrement dit, ajouter des coupes raffine le découpage, et une extrémité d'un petit morceau qui était déjà une coupe reste une extrémité du grand morceau qui le contient.

6–10

La ligne ordonnée et les tronçons (pages 6 à 10)

Exemple 2 (page 6). Soit \(\mathcal{L}\) un ensemble ordonné filtrant croissant et filtrant décroissant, sans plus grand ni plus petit élément, localement filtrant croissant et décroissant, et divisible. On l'appelle une ligne ordonnée. On prend pour \(\mathfrak{S}_{0}\) les paires totalement ordonnées, c'est-à-dire les paires d'éléments distincts et comparables ; alors \(\mathrm{Modf}(\mathcal{L})\) est l'ensemble des parties finies totalement ordonnées.

Pour \(T = \{t_{1} < \cdots < t_{n}\}\), un élément est modéré par rapport à \(T\) s'il est comparable à chaque \(t_{i}\) ; il se range alors dans la chaîne, et \[ C(T) = \mathcal{L}_{<t_{1}} \sqcup \,]t_{1}, t_{2}[\, \sqcup \cdots \sqcup \,]t_{n-1}, t_{n}[\, \sqcup \mathcal{L}_{>t_{n}} . \] On décrète que ces \(n+1\) morceaux sont les composantes connexes ; ils sont non vides, par divisibilité et faute d'extrémités, et leurs frontières sont respectivement \(\{t_{1}\}\), \(\{t_{1}, t_{2}\}\), \dots, \(\{t_{n-1}, t_{n}\}\), \(\{t_{n}\}\). La structure ne dépend donc que de l'ordre — et même, puisque rien ne change si on le renverse, de la paire formée de l'ordre et de son opposé⁶ . On notera que les morceaux ne sont pas totalement ordonnés : \(]t_{1}, t_{2}[\) contient en général des éléments incomparables entre eux.

Tronçons de la ligne (page 7) : les parties \([s,t]\) (\(s \leq t\)), \(\mathcal{L}_{\leq s}\), \(\mathcal{L}_{\geq s}\) et \(\mathcal{L}\), de bords \(\{s,t\}\), \(\{s\}\), \(\{s\}\) et \(\emptyset\). Une partie modérée serait une réunion finie de tronçons disjoints deux à deux en position modérée, de bord la réunion des bords⁷ . C'est l'ébauche de ce que les pages 17 à 21 et 29 à 31 reprendront.

La page 8 dégage alors la notion qui portera tout le dossier, en laissant tomber l'hypothèse qu'il n'y a pas d'extrémités.

Définition (page 8). Un ensemble ordonné \(\mathcal{L}\) est un tronçon ordonné si :

1. a)pour tout \(a\) tel que \(\mathcal{L}_{>a} \neq \emptyset\), \(\mathcal{L}_{>a}\) est filtrant décroissant : si \(x, y > a\), il existe \(z\) avec \(x, y \geq z > a\) ;
2. a')dualement, si \(x, y < a\), il existe \(z\) avec \(x, y \leq z < a\) ;
3. b)\(\mathcal{L}\) est filtrant croissant et décroissant : pour \(x, y\), il existe \(a, b\) avec \(a \leq x, y \leq b\) ;
4. c)\(\mathcal{L}\) est divisible : si \(x < y\), il existe \(z\) avec \(x < z < y\) ;
5. d)\(\mathrm{card}\, \mathcal{L} > 1\).

La condition d) est nécessaire, note la marge : a), b), c) sont satisfaites par un ensemble à au plus un élément⁸ . Un tronçon est un segment s'il a un plus petit et un plus grand élément, un intervalle s'il n'a ni l'un ni l'autre, un demi-intervalle s'il n'a que l'un des deux ; tout tronçon est de l'une des trois sortes et d'une seule, et l'opposé d'un tronçon est un tronçon de la même sorte, un demi-intervalle fermé à gauche devenant fermé à droite. Les lieux d'une faille orientée du dossier 156-2 forment un segment en ce sens : c'est la proposition de la page 9 de ce dossier. Une ligne ordonnée est un intervalle.

On pose \(\partial \mathcal{L}\) l'ensemble des éléments extrêmes (plus petit ou plus grand), et \[ \mathfrak{S}_{0}(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L}) = \{\{x,y\} \mid x < y\}, \] \[ \mathrm{Modf}(\mathcal{L}) = \mathrm{Drap}(\mathcal{L}) = \{S \in \mathfrak{P}_{f}(\mathcal{L}) \mid S \text{ totalement ordonnée}\}, \] les drapeaux de longueur deux et les drapeaux finis⁹ . Pour \(S = \{s_{1} < \cdots < s_{n}\}\), les composantes de \(C(S)\) sont celles des parties \[ \mathcal{L}_{<s_{1}},\ ]s_{1}, s_{2}[,\ \dots,\ ]s_{n-1}, s_{n}[,\ \mathcal{L}_{>s_{n}} \] qui ne sont pas vides¹⁰ : seules les deux extrêmes peuvent l'être, si \(s_{1}\) est le plus petit élément ou \(s_{n}\) le plus grand. Pour \(n = 0\) il y a une seule composante, \(\mathcal{L}\) ; pour \(n = 1\), au plus deux. Les frontières sont les mêmes que plus haut.

La page 10 énonce alors le but : retrouver la structure binaire du tronçon, et donc toute la structure (a), (b), (c), à partir de (a) seule et de (b) pour \(T \in \mathfrak{S}_{0}\). C'est, pour le tronçon, le programme de la page 3.

10–16

Retrouver l'ordre à partir des découpages (pages 10 à 16)

L'ordre se lit sur l'intermédiarité

Un tronçon binordonné est un ensemble muni d'une paire d'ordres opposés, chacun faisant de lui un tronçon ; c'est un tronçon dont on a oublié l'orientation. Pour \(a, b, c\) on note \[ \mathcal{R}(a,b,c) \iff a < b < c \ \text{ou}\ a > b > c, \] « \(b\) est strictement entre \(a\) et \(c\) », qui ne dépend pas du choix de l'ordre dans la paire et qui est symétrique en \(a\) et \(c\). Sa version large, \(\overline{\mathcal{R}}(a,b,c) \iff a \leq b \leq c\) ou \(a \geq b \geq c\), s'en déduit : \(\overline{\mathcal{R}}(a,b,c)\) équivaut à \(\mathcal{R}(a,b,c)\) ou \(b \in \{a,c\}\)¹¹ . Dans la suite, « entre » sans adverbe est la relation large.

Lemme (page 11). Une structure de tronçon binordonné sur \(\mathcal{L}\) est déterminée par la relation ternaire \(\mathcal{R}\).

Démonstration. D'abord \(\mathcal{R}\) détermine \(\mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\) : deux éléments sont distincts et comparables si et seulement si un troisième est strictement entre eux — c'est la divisibilité. Ensuite il existe une paire \(\varepsilon = \{a,b\}\) d'éléments comparables distincts : si \(x \neq y\), b) donne \(a \leq x, y \leq b\), et \(a \neq b\) puisque sinon \(x = a = y\). On choisit l'ordre de la paire pour lequel \(a < b\) ; alors \[ \mathcal{L}_{\geq b} = \{x \mid x = b \text{ ou } \mathcal{R}(a,b,x)\}, \quad \mathcal{L}_{\leq a} = \{x \mid x = a \text{ ou } \mathcal{R}(b,a,x)\}, \quad ]a,b[ \,= \{x \mid \mathcal{R}(a,x,b)\} \] sont connus. Enfin \(u \leq v\) si et seulement s'il existe \(x \in \mathcal{L}_{\leq a}\) et \(y \in \mathcal{L}_{\geq b}\) avec \(x \leq u \leq v \leq y\) — c'est la filtration b), qui fournit \(x \leq u, a\) et \(y \geq v, b\) —, et l'on a alors \(x < y\). Il reste à exprimer \(x \leq u \leq v \leq y\) par l'intermédiarité, ce que fait le lemme suivant¹² . \hfill\(\square\)

Lemme (page 13). Soient \(x, y, u, v\) quatre éléments d'un ensemble ordonné¹³ tels que \(x < y\), que \(u\) et \(v\) soient entre \(x\) et \(y\), et que \(u\) soit entre \(x\) et \(v\) (ou que \(v\) soit entre \(u\) et \(y\) : « une des deux suffit »). Alors \(x \leq u \leq v \leq y\).

Démonstration. Comme \(x < y\), « \(u\) entre \(x\) et \(y\) » donne \(x \leq u \leq y\), et de même pour \(v\). Si \(u\) est entre \(x\) et \(v\), ou bien \(x \leq u \leq v\), ou bien \(x \geq u \geq v\) ; dans le second cas \(u = x\) et \(v \leq x \leq v\), donc \(u = v\) et la conclusion vaut encore¹⁴ . \hfill\(\square\)

Le NB de la page 13 fait le compte : on a utilisé la divisibilité, et seulement pour déduire \(\mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\) de \(\mathcal{R}\), et la filtration b). Si l'on se donne à la fois \(\mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\) et \(\mathcal{R}\), la filtration suffit pour retrouver l'ordre à l'opposé près (page 14).

L'intermédiarité se lit sur les découpages

Il reste à retrouver \(\mathcal{R}\) à partir de \(\mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\) et des découpages des \(C(\varepsilon)\), \(\varepsilon \in \mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\)¹⁵ . Pour \(\varepsilon = \{a,b\}\) avec \(a < b\), un élément comparable à \(a\) et à \(b\) est plus petit que \(a\), entre eux ou plus grand que \(b\), et \[ C(\{a,b\}) = \mathcal{L}_{<a} \sqcup \,]a,b[\, \sqcup \mathcal{L}_{>b}. \]

Pour que \(\mathcal{R}(a,b,c)\) ait lieu, il faut d'abord que \(J = \{a,b,c\}\) soit un drapeau à trois éléments, ce que \(\mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L})\) suffit à dire. Pour chaque paire \(\varepsilon \subset J\), soit \(X_{\varepsilon}\) la composante de \(C(\varepsilon)\) qui contient le troisième élément de \(J\). Si \(a < b < c\) : \[ X_{\{a,b\}} = \mathcal{L}_{>b}, \qquad X_{\{b,c\}} = \mathcal{L}_{<b}, \qquad X_{\{c,a\}} = \,]a,c[, \] d'où \[ X_{\{a,b\}} \cap X_{\{b,c\}} = \emptyset, \qquad X_{\{a,b\}} \cap X_{\{c,a\}} = \,]b,c[\, \neq \emptyset, \qquad X_{\{b,c\}} \cap X_{\{c,a\}} = \,]a,b[\, \neq \emptyset, \] les deux dernières par divisibilité. L'élément du milieu est donc le seul élément de \(J\) pour lequel les deux paires qui le contiennent donnent des composantes disjointes : \(\mathcal{R}(a,b,c)\) se lit sur les découpages. « On gagne ! » Et le programme de la page 3 est rempli pour le tronçon : la relation de position modérée et les découpages des seules 0-sphères déterminent l'ordre à l'opposé près, donc tout le reste.

Le nom actuel de \(\mathcal{R}\) est celui de relation d'intermédiarité (betweenness)¹⁶ .

Remarques (page 16)

(1) Soit \(\mathcal{T}\) une sous-catégorie pleine de celle des ensembles ordonnés telle que : a) tout objet est filtrant croissant et décroissant, de cardinal \(\neq 1\) (donc \(\geq 2\)) ; b) tout objet est divisible ; c) si \(\mathcal{L} \in \mathcal{T}\) et \(\mathcal{L}_{>x} \neq \emptyset\), alors \(\mathcal{L}_{>x} \in \mathcal{T}\) ; c') l'énoncé dual. Il existe une plus grande telle \(\mathcal{T}\), stable par passage à l'ordre opposé, et ses objets sont les tronçons ordonnés. C'est juste¹⁷ : c'est une définition des tronçons par stabilité, et elle explique le choix des axiomes de la page 8.

(2) Il faudrait expliciter quelles conditions \(\mathcal{R}(a,b,c)\) doit satisfaire pour provenir d'un tronçon binordonné, et de même pour la donnée de \(\mathfrak{S}_{0}\) et des \(R_{\varepsilon}\). La question reste ouverte dans le dossier ; la page 40 y revient.

17–21

Parties modérées fermées (pages 17 à 21)

Sous-tronçons fermés. Un sous-tronçon fermé de \(\mathcal{L}\) est une partie de la forme \([a,b]\) avec \(a < b\), \(\mathcal{L}_{\leq a}\) avec \(a\) non minimum, \(\mathcal{L}_{\geq b}\) avec \(b\) non maximum, ou \(\mathcal{L}\) ; c'est un tronçon pour l'ordre induit¹⁸ . Un pseudo-tronçon fermé est un sous-tronçon fermé ou un point¹⁹ . Ses extrémités sont \(a\) et \(b\), \(a\), \(b\), aucune, ou le point lui-même ; deux pseudo-tronçons fermés sont en position relative modérée si la réunion de leurs extrémités est totalement ordonnée²⁰ . Une marge et quelques lignes biffées, lues par fragments, évoquent déjà une topologie de base les \(]a,b[\), \(\mathcal{L}_{>a}\), \(\mathcal{L}_{<a}\) : c'est celle du 9 juin.

Théorème (page 18). Soit \(X \subset \mathcal{L}\) une réunion \(X = \bigcup_{i \in I} T_{i}\) d'une famille finie de pseudo-tronçons fermés, deux à deux disjoints et en position relative modérée. Alors la famille \((T_{i})\) est déterminée par \(X\) — ce sont les composantes de \(X\) — et l'on pose \(\mathrm{Fr}\, X = \bigcup_{i} \mathrm{Fr}\, T_{i}\). On dit que \(X\) est une partie modérée fermée.

L'unicité est juste²¹ . La frontière modérée \(\mathrm{Fr}\, X\) — la page la note \(\dot{X}\) — est vide si et seulement si \(X = \emptyset\) ou \(X = \mathcal{L}\)²² . Deux parties modérées fermées \(X\), \(Y\) sont en position relative modérée si \(\mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, Y\) est totalement ordonnée.

Proposition (page 19). Soient \(X\), \(Y\) deux parties modérées fermées en position relative modérée. Alors \(X \cap Y\) est une partie modérée fermée, et \[ \mathrm{Fr}(X \cap Y) \subset \mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, Y . \] \(X\) et \(Y\) ont une borne supérieure \(X \cup_{\mathrm{mod}} Y\) dans l'ensemble des parties modérées fermées, et \(\mathrm{Fr}(X \cup_{\mathrm{mod}} Y) \subset \mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, Y\). Il en est de même d'une famille finie \((X_{i})\) de parties modérées fermées deux à deux en position modérée.

La page n'en donne pas de démonstration ; l'énoncé est juste²³ . La borne supérieure n'est pas la réunion :

Exemple (pages 19 et 20). \([a,b] \cup_{\mathrm{mod}} [b,c] = [a,c]\), mais en général \([a,b] \cup [b,c] \neq [a,c]\). Si \(a\) est le plus petit élément et \(c\) le plus grand, \([a,b] \cup [b,c]\) est l'ensemble des éléments comparables à \(b\), et \([a,c] = \mathcal{L}\). Ainsi \(\mathcal{L}\) est totalement ordonné si et seulement si, pour tout \(b\), \[ \mathcal{L}_{\leq b} \cup_{\mathrm{mod}} \mathcal{L}_{\geq b} \;(= \mathcal{L}) \;=\; \mathcal{L}_{\leq b} \cup \mathcal{L}_{\geq b}. \]

Parties localement fermées

Soient \(X \supset Y\) deux parties modérées fermées en position relative modérée, et \[ C_{\mathrm{mod}}(Y,X) = \{x \in X \smallsetminus Y \mid x \text{ est en position relative modérée avec } Y\}, \] c'est-à-dire \(\{x\} \cup \mathrm{Fr}\, Y\) totalement ordonné. Le théorème de la page 20 affirme qu'il existe une plus petite partie modérée fermée \(Z \subset X\) contenant \(C_{\mathrm{mod}}(Y,X)\), que la marge note \(X \mathbin{-_{\mathrm{mod}}} Y\)²⁴ . La page 21 précise : si \(F\) est la frontière relative de \(Y\) dans \(X\), alors \(F\) est une partie modérée fermée (une chaîne finie), en position modérée avec \(Y\), contenue dans \(Z\), sans point isolé de \(Z\), et \[ C_{\mathrm{mod}}(Y,X) = C_{\mathrm{mod}}(F, Z) . \] Sur un exemple totalement ordonné, \(X = [0,3]\) et \(Y = [1,2]\), on trouve \(C_{\mathrm{mod}}(Y,X) = [0,1[ \,\cup\, ]2,3]\), \(Z = [0,1] \cup [2,3]\) et \(F = \{1,2\}\), et l'égalité est claire²⁵ . Une partie modérée localement fermée serait ainsi de la forme \(Z \smallsetminus F\) ; la définition n'est pas écrite.

21–24

La topologie d'un tronçon (pages 21 à 24)

Le 9 juin, il munit un tronçon ordonné \(\mathcal{L}\) d'une topologie, dite canonique, de base d'ouverts les \(]a,b[\) (\(a < b\)), les \(\mathcal{L}_{<a}\) et les \(\mathcal{L}_{>b}\). Ce sont bien les ouverts d'une base : ce sont exactement les axiomes a) et a') des tronçons qui le garantissent²⁶ . Si \(\mathcal{L}\) n'a pas de plus petit élément, on peut omettre les \(\mathcal{L}_{<a}\), réunions de \(]c,a[\), et dualement. Pour un tronçon totalement ordonné, c'est la topologie de l'ordre.

Les points ne sont pas nécessairement fermés. Pour l'ensemble des lieux d'une faille, la page relie l'adhérence d'un point à l'inclusion des lieux et en déduit que \(\overline{\{a\}} = \overline{\{b\}}\) entraîne \(a = b\) : l'espace est \(T_{0}\)²⁷ . Il ne sait pas, dit-il, si c'est le cas pour tout tronçon, ni si la topologie canonique est sobre — toute partie fermée irréductible aurait un point générique²⁸ . La première question a une réponse négative : dans la droite réelle où l'on dédouble l'origine en deux points incomparables \(0\) et \(0'\), placés l'un et l'autre au-dessus des réels négatifs et au-dessous des réels positifs, on a un tronçon ordonné, et tout ouvert de base qui contient l'un des deux points contient l'autre ; l'espace n'est pas \(T_{0}\)²⁹ . Lorsque \(\mathcal{L}\) est totalement ordonné, en revanche, il est séparé, et les \([a,b]\), \(\mathcal{L}_{\geq a}\), \(\mathcal{L}_{\leq a}\) sont fermés ; la réciproque est posée en question.

Une seconde topologie, de base de fermés les \([a,b]\), \(\mathcal{L}_{\geq a}\), \(\mathcal{L}_{\leq a}\), rendrait les « segments » fermés ; mais alors « on est ennuyé, car \(]a,b[\) n'a plus aucune raison d'être ouvert ! ». On peut prendre la topologie engendrée par les deux familles d'ouverts — \(\mathcal{L}_{<a}\), \(\mathcal{L}_{>a}\), \(]a,b[\) d'une part, \(\complement \mathcal{L}_{\geq a}\), \(\complement \mathcal{L}_{\leq a}\), \(\complement [a,b]\) d'autre part — qui est la moins fine des topologies plus fines que les deux³⁰ . Les questions naturelles sont alors \[ \overline{]a,b[} = [a,b] \ ? \qquad \overline{\mathcal{L}_{<a}} = \mathcal{L}_{\leq a} \ ? \qquad \overline{\mathcal{L}_{>a}} = \mathcal{L}_{\geq a} \ ? \] (pour \(a\) non extrême dans les deux dernières). Le point crucial serait que tout ouvert élémentaire contenant \(a\) contienne un \(]a, \varepsilon[\) ; c'est faux, dit la page, déjà pour l'ensemble des lieux d'une faille : un croquis montre \(a \in \complement [x,y]\) avec \(]a,b[ \,\subset [x,y]\)³¹ .

Il décide finalement (page 24) de garder la première topologie, et d'appeler néanmoins, par abus de langage, sous-tronçons fermés les \([a,b]\), \(\mathcal{L}_{\leq a}\), \(\mathcal{L}_{\geq b}\) et \(\mathcal{L}\), non réduits à un point — ceux de la page 17 — bien qu'ils ne soient pas toujours fermés pour elle.

24–28

Bord, tronçons et pseudo-tronçons (pages 24 à 28)

Le bord absolu

Pour un sous-tronçon fermé ou un point \(T\), le bord absolu est \[ \partial T = \{t \in T \mid t \text{ est le plus petit ou le plus grand élément de } T\}, \] de cardinal \(0\), \(1\) ou \(2\). Ainsi \(\partial \{a\} = \{a\}\), \(\partial [a,b] = \{a,b\}\), et \(\partial \mathcal{L}_{\geq a} = \{a\}\), \(\partial \mathcal{L}_{\leq a} = \{a\}\) si \(\mathcal{L}\) n'a pas d'élément extrême du côté ouvert³² . Le bord absolu se compare à la frontière topologique : \[ \partial T = (\mathrm{Fr}_{\mathrm{top}}\, T \cap T) \cup (T \cap \partial \mathcal{L}), \] réunion disjointe dès que \(T\) n'est pas un point³³ : un point de \(T\) qui est dans la frontière est une extrémité, et une extrémité qui n'est pas une extrémité de \(\mathcal{L}\) est dans la frontière.

Tronçons et pseudo-tronçons

Un tronçon de \(\mathcal{L}\) est une partie de la forme \(T' = T \smallsetminus \alpha\), où \(T\) est un sous-tronçon fermé et \(\alpha \subset \partial T\) : \[ ]a,b],\ [a,b[,\ ]a,b[ \ (a < b), \qquad \mathcal{L}_{<a} \ (a \neq 0_{\mathcal{L}}), \qquad \mathcal{L}_{>a} \ (a \neq \omega_{\mathcal{L}}), \qquad \mathcal{L}, \] avec les sous-tronçons fermés eux-mêmes³⁴ . Cette écriture est unique : \(T\) est l'adhérence de \(T'\), au sens de la plus petite partie modérée fermée qui le contient³⁵ . Les tronçons \(]a,b[\), \(\mathcal{L}_{<a}\), \(\mathcal{L}_{>a}\), \(\mathcal{L}\) sont dits ouverts — ce sont bien des ouverts de la topologie canonique —, et \(]a,b]\), \([a,b[\) semi-ouverts³⁶ . Attention : si \(a\) est le plus petit élément, \([a,b[ = \mathcal{L}_{<b}\) est ouvert ; \(\mathcal{L}\) est à la fois ouvert et fermé.

Un pseudo-tronçon est un tronçon ou un point. Pour \(T' = T \smallsetminus \alpha\) on pose \(\partial T' = \partial T\), qui n'est plus, prévient la marge, le bord absolu de \(T'\) pour l'ordre induit³⁷ . Deux pseudo-tronçons \(T\), \(T'\) sont en position relative modérée si \(\partial T \cup \partial T'\) est totalement ordonné.

Proposition (page 27). Si \(T\), \(T'\) sont des pseudo-tronçons en position relative modérée, \(T \cap T'\) est vide ou est un pseudo-tronçon, et \(\partial(T \cap T') \subset \partial T \cup \partial T'\).

« Immédiat » : les extrémités sont dans une chaîne, et l'intersection va de la plus grande des extrémités inférieures à la plus petite des supérieures, une extrémité étant prise si elle est dans les deux. Elle peut être un point (\(]a,b] \cap [b,c] = \{b\}\)) ou vide (\(]a,b[ \,\cap\, [b,c]\)).

L'ordre entre pseudo-tronçons

Une relation d'ordre, qui n'est pas l'inclusion : pour deux pseudo-tronçons disjoints et en position relative modérée, on écrit \[ T \prec T' \iff t < t' \ \text{pour tous } t \in T,\ t' \in T' . \] Elle est transitive³⁸ . Si \(T \prec T'\), \(T\) est majoré, et a une borne supérieure \(a = \mathrm{Sup}\, T\), extrémité supérieure de son adhérence, avec \(T \subset \mathcal{L}_{\leq a}\) ; de même \(b = \mathrm{Inf}\, T'\), et \(a \leq b\)³⁹ .

La position est de raccordement si \(a = b\) et si \(a\) appartient à \(T\) ou à \(T'\) — à l'un des deux seulement, puisqu'ils sont disjoints : ainsi \(]x,a]\) et \(]a,y[\). On renforce \(\prec\) en \[ T \ll T' \iff T \prec T' \text{ sans raccordement} \iff \exists x \in \mathcal{L},\ T \subset \mathcal{L}_{<x},\ T' \subset \mathcal{L}_{>x}. \] C'est la position relative propre⁴⁰ .

Proposition (page 28). Soient \(T \prec T'\), \(a = \mathrm{Sup}\, T\), \(b = \mathrm{Inf}\, T'\). Sont équivalents :

1. a)\(T\) et \(T'\) ne se raccordent pas : si \(a \in T\) ou \(b \in T'\), alors \(a \neq b\) ;
2. b)il existe \(x\) avec \(T \subset \mathcal{L}_{<x}\) et \(T' \subset \mathcal{L}_{>x}\) ;
3. c)il existe un pseudo-tronçon \(S\) avec \(T \prec S \prec T'\), \(T\) et \(S\) se raccordant, ainsi que \(S\) et \(T'\).

De plus \(S\) est unique, et \(\partial S = \{a, b\}\) : c'est le pseudo-tronçon d'extrémités \(a\) et \(b\), qui contient \(a\) si et seulement si \(a \notin T\), et \(b\) si et seulement si \(b \notin T'\). On l'appelle le pseudo-tronçon interstitiel entre \(T\) et \(T'\).

\noindent Si \(a = b\) n'appartient à aucun des deux, l'interstitiel est le point \(\{a\}\)⁴¹ .

Corollaire 1 (page 28). Soit \(T\) un tronçon strictement minoré, d'extrémité inférieure \(c\). Il existe un unique pseudo-tronçon \(S\) tel que \(S \prec T\), que \(S\) et \(T\) se raccordent, et que \(S\) n'ait pas de minorant strict : c'est \(\mathcal{L}_{\leq c}\) si \(c \notin T\), \(\mathcal{L}_{<c}\) si \(c \in T\). Corollaire 2. On l'appelle le pseudo-tronçon interstitiel gauche de \(T\) ; on définit de même, si \(T\) est strictement majoré, l'interstitiel droit.

\noindent La page décrit encore \(S\) comme l'ensemble des minorants stricts de \(T\), avec la même réserve qu'à la proposition⁴² .

29–31

Parties modérées et complémentaire modéré (pages 29 à 31)

Soit \(\mathrm{Tr}(\mathcal{L})\) l'ensemble des pseudo-tronçons, ordonné par \(\ll\). Pour une partie finie totalement ordonnée \(\Phi = \{T_{1} \ll \cdots \ll T_{n}\}\) de \(\mathrm{Tr}(\mathcal{L})\), on pose \[ X_{\Phi} = \bigsqcup_{i} T_{i} , \] réunion disjointe.

Proposition (page 29). L'application \(\Phi \mapsto X_{\Phi}\), des drapeaux finis de \((\mathrm{Tr}(\mathcal{L}), \ll)\) dans les parties de \(\mathcal{L}\), est injective.

En effet, les \(T_{i}\) sont les pseudo-tronçons maximaux contenus dans \(X_{\Phi}\)⁴³ . Les parties de la forme \(X_{\Phi}\) sont dites modérées ; les \(T_{i}\) sont leurs composantes — « connexes ! », mais pas pour la topologie canonique —, et leur ensemble est noté \(\pi_{0}(X)\). Les parties modérées fermées des pages 17 à 21 sont celles dont toutes les composantes sont fermées. La frontière modérée est \[ \mathrm{Fr}(X_{\Phi}) = \Bigl(\bigcup_{i} \partial T_{i}\Bigr) \smallsetminus \varepsilon, \qquad \varepsilon = \{t \in \partial \mathcal{L} \cap X_{\Phi} \mid \{t\} \notin \Phi\} : \] on retire de la réunion des bords, qui est un drapeau de \(\mathcal{L}\), les extrémités de \(\mathcal{L}\) dont \(X\) est un voisinage — celles qui sont dans \(X\) sans y être une composante isolée. C'est une frontière relative à \(\mathcal{L}\), mais pas pour sa topologie, prévient la marge⁴⁴ .

Un \(x \in \mathcal{L}\) est en position modérée avec \(X\) s'il l'est avec chaque composante, c'est-à-dire si \(\{x\} \cup \mathrm{Fr}\, X\) est totalement ordonné — ce qui revient au même avec \(\bigcup \partial T_{i}\), les éléments extrêmes de \(\mathcal{L}\) étant comparables à tous. Le complémentaire modéré \[ X' = C_{\mathrm{mod}}(X) = \{x \in \mathcal{L} \smallsetminus X \mid x \text{ est en position modérée avec } X\} \] est une partie modérée, et c'est la plus grande partie modérée \(Y \subset \mathcal{L} \smallsetminus X\) en position modérée avec \(X\). Ses composantes sont les \(n - 1\) interstitiels entre \(T_{i}\) et \(T_{i+1}\), plus, s'ils existent, l'interstitiel gauche de \(T_{1}\) et l'interstitiel droit de \(T_{n}\). Si \(n'\) est le nombre de composantes de \(X'\), on a donc, pour \(n \geq 1\)⁴⁵ : \[ n' = \begin{cases} n - 1 & T_{1} \text{ non strictement minoré, } T_{n} \text{ non strictement majoré,} \\ n & \text{un seul des deux,} \\ n + 1 & T_{1} \text{ strictement minoré et } T_{n} \text{ strictement majoré,} \end{cases} \] d'où \(|\mathrm{card}\, \pi_{0}(X) - \mathrm{card}\, \pi_{0}(X')| \leq 1\).

31–33

L'algèbre des parties modérées (pages 31 à 33)

Sur \(\mathcal{M} = \mathrm{Mod}(\mathcal{L})\), ensemble des parties modérées, il y a trois structures : a) l'ordre d'inclusion ; b) la relation « \(\{X, Y\}\) modérée » ; c) la partie \(\mathcal{M}_{f} = \mathrm{Modfer}(\mathcal{L})\) des parties modérées fermées. La marge demande si b) se déduit de l'ordre — par exemple, « \(\{X,Y\}\) modérée ssi \(X \wedge Y\) existe ??? » —, et la question reste sans réponse.

Les propriétés suivantes sont énoncées sans démonstration⁴⁶ :

1. 1)\(\mathcal{M}\) a un plus petit élément \(\emptyset\) et un plus grand \(1 = \mathcal{L}\).
2. 2)\(X \subset Y \Rightarrow \{X, Y\}\) modérée.
3. 3)Si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(X \wedge Y\) et \(X \vee Y\) existent dans \(\mathcal{M}\). Attention, note la marge : \(X \vee Y\) n'est pas la réunion \(X \cup Y\).
4. 4)Pour tout \(X\), il y a un plus grand \(Y\) parmi ceux tels que \(\{X,Y\}\) soit modérée et \(X \wedge Y = \emptyset\) : c'est \(X'\), et c'est l'unique élément tel que \(\{X', X\}\) soit modérée, \(X' \wedge X = \emptyset\) et \(X' \vee X = 1\). L'application \(X \mapsto X'\) est une involution qui renverse l'ordre ; \(\{X',Y'\}\) est modérée si et seulement si \(\{X,Y\}\) l'est, et alors \((X \wedge Y)' = X' \vee Y'\), \((X \vee Y)' = X' \wedge Y'\). En fait, ajoute la marge, \(\{X,Y\}\) est modérée si et seulement si \(\{X,Y'\}\) l'est.
5. 5)\(\emptyset, 1 \in \mathcal{M}_{f}\).
6. 6)Toute \(X\) est contenue dans une plus petite partie modérée fermée \(\overline{X}\), son adhérence ; si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(\overline{X \vee Y} = \overline{X} \vee \overline{Y}\).
7. 7)Si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(\{\overline{X}, Y\}\) l'est aussi, donc \(\{\overline{X}, \overline{Y}\}\).
8. 8)On définit l'intérieur \(X^{\circ} = (\overline{X'})'\) et la frontière \(\mathrm{Fr}\, X = \overline{X} \wedge \overline{X'}\), de sorte que \((\mathrm{Fr}\, X)' = X^{\circ} \vee X'^{\circ}\). Si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(\{\mathrm{Fr}\, X, \mathrm{Fr}\, Y\}\) l'est, et \(\mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, Y\) est modérée⁴⁷ .

Une marge de la page 32 dit l'essentiel : une famille de parties deux à deux modérées engendre, pour \(\wedge\), \(\vee\) et \('\), une sous-algèbre de Boole, finie si la famille l'est. En notation d'anneau, \[ X + Y = (X \vee Y) \wedge (X \wedge Y)', \qquad X \cdot Y = X \wedge Y, \] \[ X \vee Y = X + Y + XY, \qquad X \leq Y \iff XY = X, \] avec \(0 = \emptyset\) et \(1 = \mathcal{L}\)⁴⁸ . Une structure de ce type — un ensemble muni d'une relation réflexive et symétrique de compatibilité, toute famille d'éléments deux à deux compatibles étant contenue dans une algèbre de Boole — s'appelle aujourd'hui une algèbre de Boole partielle⁴⁹ . Pour \(\mathcal{L}\) totalement ordonné, c'est une algèbre de Boole, celle des parties définissables de la droite dans un ordre dense : la condition qui définit les structures o-minimales est que les parties définissables de la droite soient exactement de cette forme⁵⁰ .

Enfin, pour \(X \in \mathcal{M}\), sont équivalents (page 33) : a) \(X \subset \mathrm{Fr}\, X\), c'est-à-dire \(X^{\circ} = \emptyset\), ou encore \(X'\) dense (\(\overline{X'} = 1\)) ; b) \(X = \mathrm{Fr}\, X\), c'est-à-dire \(X\) fermé et rare, \(X'\) ouvert dense ; c) \(X\) est une partie finie de \(\mathcal{L}\). Les parties rares sont les chaînes finies⁵¹ . Une phrase en partie illisible demande quelles conditions imposer à un ensemble ordonné \(\mathcal{M}\) satisfaisant 1) à 7) pour qu'il soit de cette forme.

34–39

Relativisation et composantes connexes (pages 34 à 39)

Relativiser à une partie

Pour \(A \in \mathcal{M}\), soit \(\mathcal{M}_{A} = \mathcal{M}_{\leq A} = \{Y \in \mathcal{M} \mid Y \subset A\}\), avec l'ordre induit et la relation « modérée » induite ; \(X \in \mathcal{M}_{A}\) est fermé dans \(A\) si \(X = \overline{X} \wedge A\), c'est-à-dire s'il existe \(Z \in \mathcal{M}_{f}\) avec \(\{Z, A\}\) modérée et \(X = Z \wedge A\). Les conditions 1) à 7) restent satisfaites, et la page les vérifie une à une, en admettant celles de \(\mathcal{M}\) :

1. 1)\(0_{\mathcal{M}_{A}} = \emptyset\) et \(1_{\mathcal{M}_{A}} = A\)⁵² ;
2. 2)est triviale ;
3. 3)les bornes \(X \wedge Y\), \(X \vee Y\) calculées dans \(\mathcal{M}\) sont majorées par \(A\), et sont les bornes dans \(\mathcal{M}_{A}\) ;
4. 4)le complémentaire de \(X\) dans \(\mathcal{M}_{A}\) est \(X' \wedge A\) : un \(Y \subset A\) modéré avec \(X\) et tel que \(X \wedge Y = \emptyset\) est majoré par \(X'\) et par \(A\)⁵³ . Plus conceptuellement (page 35), les opérations de \(\mathcal{M}_{A}\) sur une famille de parties deux à deux modérées, et modérées avec \(A\), sont celles de \(\mathcal{M}\) suivies du produit par \(A\) : on travaille dans l'idéal principal engendré par \(A\) dans une algèbre de Boole, qui est une algèbre de Boole d'unité \(A\). Et si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(\{A \wedge X', A \wedge Y'\}\) l'est aussi ;
5. 5)est triviale ;
6. 6)l'adhérence de \(X\) dans \(\mathcal{M}_{A}\) est \(\overline{X} \wedge A\), et pour \(\{X,Y\}\) modérée, \[ \overline{X \vee Y}^{A} = \overline{X \vee Y} \wedge A = (\overline{X} \vee \overline{Y}) \wedge A = (\overline{X} \wedge A) \vee (\overline{Y} \wedge A) = \overline{X}^{A} \vee \overline{Y}^{A} ; \]
7. 7)si \(\{X,Y\}\) est modérée, \(\{X, Y, A\}\) l'est, donc \(\{\overline{X}, Y, A\}\), donc \(\{\overline{X}^{A}, Y\}\). « OK ».

Connexité

On dit que \(\mathcal{M}\) est connexe si les seuls éléments à la fois ouverts et fermés sont \(\emptyset\) et \(1\). Lorsque les éléments ouverts et fermés engendrent une algèbre de Boole finie, les composantes connexes sont ses atomes, les éléments non nuls minimaux parmi les ouverts fermés⁵⁴ .

Exemple (pages 37 et 38). Soit \(A = X_{\Phi} = \bigsqcup T_{i}\) une partie modérée de \(\mathcal{L}\). Les composantes connexes de \(\mathcal{M}_{A}\) sont les pseudo-tronçons \(T_{i}\).

Démonstration. On a \(A = \bigvee T_{i}\) dans \(\mathcal{M}\), et \(T_{i} \wedge T_{j} = \emptyset\) pour \(i \neq j\). Il suffit de voir que chaque \(T_{i}\) est ouvert et fermé dans \(A\), et connexe. a) \(T_{i}\) est fermé dans \(A\) : \(\overline{T_{i}} \cap A = T_{i}\), parce que l'adhérence modérée d'un pseudo-tronçon est le pseudo-tronçon fermé associé, dont les extrémités ajoutées ne sont pas dans \(A\) ; les autres \(T_{j}\) l'étant aussi, \(T_{i}\) est ouvert. b) \(T\) est connexe : on regarde \(T\) comme un tronçon en lui-même, ce qui ramène au cas \(T = \mathcal{L}\) (puisque \((\mathcal{M}_{\mathcal{L}})_{T} = \mathcal{M}_{T}\)). Une partie \(X\) ouverte et fermée a une frontière \(\overline{X} \wedge \overline{X'} = X \wedge X' = \emptyset\) ; la frontière modérée de \(X = \bigsqcup T_{j}\) est vide si et seulement si chaque \(T_{j}\) est \(\mathcal{L}\) ; donc \(X = \emptyset\) ou \(X = \mathcal{L}\)⁵⁵ . \hfill\(\square\)

Subdivision

NB (page 39). Soit \((X_{\alpha})\) une famille finie de parties modérées deux à deux modérées, de sorte que \(S = \bigcup_{\alpha} \mathrm{Fr}\, X_{\alpha}\) est une chaîne \(t_{1} < \cdots < t_{n}\). L'algèbre de Boole engendrée par les \(X_{\alpha}\) a pour atomes, parmi \[ \mathcal{L}_{<t_{1}}\ (\text{si } t_{1} \notin \partial \mathcal{L}),\ \{t_{1}\},\ ]t_{1}, t_{2}[,\ \{t_{2}\},\ ]t_{2}, t_{3}[,\ \dots,\ \{t_{n}\},\ \mathcal{L}_{>t_{n}}\ (\text{si } t_{n} \notin \partial \mathcal{L}), \] ceux qui sont nécessaires pour engendrer les \(X_{\alpha}\) ; elle est donc connue dès qu'on connaît \(S\).

C'est la subdivision du tronçon par la chaîne \(S\)⁵⁶ . Si \(\mathcal{L}\) n'est pas totalement ordonné, ces morceaux ne recouvrent pas \(\mathcal{L}\) comme ensemble : un élément incomparable à \(t_{1}\) n'est dans aucun. Leur borne supérieure dans \(\mathcal{M}\) est pourtant \(1\) — c'est l'avertissement de la page 32, \(X \vee Y \neq X \cup Y\).

40–40

Retour au réseau (page 40)

La dernière page revient à la question de départ, sous le titre « Caractérisation d'un intervalle ordonné, en tant que réseau » : caractériser un intervalle ordonné par la donnée de \[ S \subset \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L}), \quad \text{qui doit être } \mathrm{Drap}_{2}(\mathcal{L}), \] et, pour \(\varepsilon = \{a,b\} \in S\), de la décomposition de \[ \complement_{\mathrm{mod}}\, \varepsilon = \{x \in \mathcal{L} \mid \{a,x\}, \{b,x\} \in S\} \] en composantes connexes, par une relation \(R_{\varepsilon}\). C'est exactement la donnée (a) des 0-sphères et la donnée (b) restreinte aux 0-sphères de la page 3 ; les pages 10 à 15 ont montré qu'elle détermine l'intervalle, et la remarque (2) de la page 16 demandait quels axiomes elle doit satisfaire.

« J'ai commencé à faire l'exercice, mais j'ai l'impression que je n'ai pas la peine de l'expliciter jusqu'au bout. Ça doit avoir été fait depuis longtemps (Hilbert ?) dans le cas totalement ordonné (et divisible) (en termes de la relation : \(s\) est entre \(a\) et \(b\)\dots) ». Dans le cas totalement ordonné, la caractérisation par l'intermédiarité est en effet classique ; dans le cas partiellement ordonné, qui est celui des lieux d'une faille et donc celui qui l'intéressait, elle l'est moins⁵⁷ . Le dossier s'arrête là. Le lendemain, le chapitre IV recommence autrement, par l'« Analysis situs ».