1. Faille topologique

(6 Juin) Soit X un esp. top., A \subset X partie fermée non vide« non vide » est écrit au-dessus de la ligne, de sa main de X. X/A l'espace déduit de X en contractant A en un pt , a le pt déduit de A par contractioncette précision est écrite au-dessus de la ligne, [Si X X' est une partie de X contenant A, alors X'/A \hookrightarrow X/A identifie X'/A à un sous-espace top. de X/A [les fermés de X'/A s'identifient aux fermés Y' de X' qui ou bien contiennent A, ou bien ne le rencontrent pas (i.e. tels que Y' \cap A \in \{\emptyset, A\}), et ce sont les traces sur X' des fermés Y de X qui ont ces propriétés, lesquels correspondent d'ailleurs aux fermés de X/A…]] On dit que A est régulièrement immergé dans X si \exists voisinage conique de a i.e. voisinage (fermé) V \overset{h}{\simeq} \mathrm{C\hat{o}ne}(\mathcal{S}), \mathcal{S} espace topologique compact, h(a) = o (sommet du cône) et \uncertain{h}(V^{0}) = V \smallsetminus B ouvert dans X/A. Si V, Alors les sur V il y a (via h) une structure conique, par laquelle on considère les tV = V_t, \qquad 0 \leq t \leq 1, qui sont, pour t \in {]0,1]}, homéom. à V, et forment NB \dot V = B, \dot V_t = B_t et \mathcal{S} connu « section » de V, et le coin inférieur gauche porte deux notes obliques, en partie recouvertes de hachures au crayon ; la seconde n'est lue qu'à moitié. La lettre \mathcal{S} est écrite en surcharge, sur ce qui semble être un B

V_t = V_t^{0} \sqcup B_t un système fond. de voisinages de a dans X/A. Les V_t^{0} = t V^{0}, où V^{0} = V \smallsetminus B, forment un syst. fond. de voisinages ; les images inverses W_t de V_t dans X forment un syst. fond. de voisinages de A dans X. Pour tout tel W_t, \mathcal{S}_t = \dot{W}_t cl\smallsetminusipetit croquis au-dessus de la ligne ; la glose « cl \smallsetminus i », reliée à \dot W_t par un trait, est d'une lecture incertaine est un fermé de X, et posant W'_t = X - V_t, on a X \smallsetminus \mathcal{S}_t \;=\; \underbrace{W_t^{0}}_{\text{int. de } W_t} \sqcup \underbrace{W'_t}_{\text{ext. de } W_t} \qquad \text{somme topologique} sous \mathcal{S}_t, de sa main : « bord de W_t »

NB (1) L'hyp. faite sur A \subset \struck{X} est locale i.e. Soit si X' voisinage de A dans X, elle est vraie pour (A,X) ssi elle est vraie pour (A,X'). (2) [Elle a un sens, et est vraie, pour A = \emptyset, X/\emptyset = \{a\} \sqcup X, on a donc B = \emptyset] (3) Vraie pour A sous-variété dans une variété X. (4) A B = \emptyset

Définition Une Une faille topologique est un couple (X, \{A,B\}) formé d'un espace topologique X, et d'une paire \{A,B\} de parties de X.

satisfaisant aux conditions suivantes

Mais X \neq A \cup B car A, B non ouverts, donc U = X \smallsetminus (A \cup B) est non vide Conditions des failles réduites : a) a et b pts fermés (non isolés) ; b) a \neq b ; c) X \smallsetminus \{a\} et X \smallsetminus \{b\} connexes ; d) a et b ont des voisinages coniques. NB Si (X, \{A,B\}) est une faille et C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B) fermé

Fi a)A et B sont fermés, non (donc non vides) régulièrement immergés dans X. [Dans le pt a de X/A et le pt b de X/B sont non isolés, i.e. S_A \neq \emptyset, S_B \neq \emptyset] Fi b) A \cap B = \emptyset Fi c)(X \smallsetminus A)/B et (X \smallsetminus B)/A sont connexes Fi d)A et B sont régulièrement immergés. e) on va formuler

On va donner une variante de c) :

ainsi Pour

c')Toute composante connexe U_i de U (U = X \smallsetminus (A \cup B)) rencontre B et rencontre A \overline{U_i}

On a c') \Longrightarrow c), et l'inverse est vrai si U n'a qu'un nb fini de composantes connexes (cas X, A, B « modérés », cas usuel).

A et B sont les bouts (extrémités) de la faille.

La faille est réduite si A, B sont réduits à des pts a, b. On dit que (X, \{a,b\}) est une faille si A, B sont réduits à un pt. Soit

X' = {}_{A}X/B déduit de X en contractant A, B en des pts, A \mapsto a, B \mapsto b, a, b \in X'. Alors (X, \{A,B\}) est une faille ssi \{X', \struck{\ill{}} \{a,b\}\} est une faille.

NB Faille réduite est connexe

NB Pour une faille réduite (X', \{a,b\}), X' est connexe, ainsi que X' \smallsetminus \{b\} et X' \smallsetminus \{a\} (denses dans X'), mais pas néc. X' \smallsetminus \{a,b\} (ex. S^1 et deux pts) sous cette note, un petit cercle marqué de deux points

Lieu sur une faille (X, \{A,B\}) : c'est une partie fermée C \subset X telle que l'on ait les propriétés : ou bien C \in \{A,B\}, ou bien les propriétés suivantes sont satisfaites : Li a) C fermé, et C \in \{A,B\} ou C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B)

( « catégorisations »… ) deux lignes barrées d'un long trait oblique, à peine lisibles

Li a)\exists décomposition de X \smallsetminus C espace en somme de deux sous-espaces \mathcal{U}_{A,C}, \quad \mathcal{U}_{B,C}, \qquad A \subset \mathcal{U}_{A,C}, \quad B \subset \mathcal{U}_{B,C} et \mathcal{U}_{A,C}/A et \mathcal{U}_{B,C}/B connexes [et ceci détermine \uncertain{\mathcal{U}_{A,C}}, \uncertain{\mathcal{U}_{B,C}} de façon unique, comme les composantes connexes de X' \smallsetminus C X \smallsetminus X/B qui contiennent

i.e. X' \smallsetminus C a deux composantes connexes, dont l'une contient a, l'autre contient b NB quand A, B B connexes, \mathcal{U}_{A,C}, \mathcal{U}_{B,C} sont composantes les deux notes précédentes sont écrites en oblique dans la marge gauche, la seconde en partie raturée

NB Soit X_{A,C} = \overline{\mathcal{U}_{A,C}} \cup C, X_{B,C} = \overline{\mathcal{U}_{B,C}} \cup C.

Je dis que (X_{A,C}, \{A,C\}) satisfait les conditions a) b) c) des failles (donc il en sera de même de (X_{B,C}, \{B,C\})).

Pour le voir, on est ramené au cas A, B, C réduits à des pts, a, b, c.

Il faut prouver a) c n'est pas isolé dans X_{a,c} a n'est pas isolé dans X_{a,c} puisqu'il ne l'est pas dans X et X_{a,c} contient un vois. de a). On Sinon on aurait \mathcal{U}_{ac} ouvert et fermé dans X, X serait non connexe, absurde.

b) X_{a,c} \smallsetminus \{c\} est connexe par hyp. Je dis que X_{a,c} \smallsetminus \{a\} est connexe. Sinon, soit \exists partie V de X_{a,c} \smallsetminus \{a\} qui soit ouverte et fermée dans X_{a,c} \smallsetminus \{a\}, non vide, et ne contenant pas c. Donc elle serait aussi ouverte et (fermée et) ouverte dans X \smallsetminus \{a\}, , X \smallsetminus \{c\} ne serait pas connexe, absurde.

Pour que (X_{A,C}, \{A,C\}) soit une faille, il ne manque que l'hypothèse d), d'immersion locale.

Lemme Soit Z un espace, Z' et Z'' deux parties fermées, telles que Z' \cap Z'' = \{c\}. Pour que c ait un voisinage conique dans Z, il faut et il suffit qu'il ait des voisinages coniques dans Z' et Z''. l'énoncé ne dit pas Z = Z' \cup Z'' ; c'est pourtant l'usage qui en est fait plus bas

seulement, pour d'immersion de la faille, la condition « C \in \{A,B\} ou C régulièrement immergé dans X ».

Exemples (cf. p. ) Pour t assez petit, les \dot V_{A,t} = S_{A,t} sont des lieux de la faille.

Lieux disjoints. Soit F = (X, \{A,B\}) une faille, \mathcal{L}(F) l'ens. des lieux. Je vais définir une relation symétrique « disjoints » (\Rightarrow (C \neq D)) sur l'ens. des lieux. Si C et D sont C ou D sont \in \{A,B\}, « disjoints » signifie simplement distincts (\Longleftrightarrow disjoints au sens C \cap D = \emptyset)

NB Pour qu'une partie fermée C de X, C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B), soit un lieu, il faut et il suffit que C \neq \emptyset et que donc \bigl((X/A,B,C, \{a,b\}), \{c\}\bigr) Si D est une partie fermée de X telle que \mathcal{U}_{A,C} ou D \subset \mathcal{U}_{B,C} , alors D les faille lieu deux notes obliques remplissent le coin inférieur gauche, séparées par un trait ; plusieurs mots sont raturés en boucle et n'ont pas été lus

Décomposition d'une faille F = (X, \{A,B\}) par un lieu C distinct des extrémités : failles F_{A,C}, F_{B,C}. Tout lieu d'une des failles composantes est un lieu de F, (pour homéom.) la suite de la ligne est une énumération biffée d'un seul trait, reprise en interligne : Équiv. de catégories a) Failles avec lieu intérieur, avec homéo b) Paires de failles, avec un bout de l'une, un bout de l'autre. c'est Soient

Lemme Soient C et D deux lieux de F, distincts des extrémités, avec (C \neq D). A \; C \; D \; B en marge, les quatre lettres alignées, C et D reliés par des crochets au-dessus et au-dessous Alors D est un lieu de F_{B,C} ssi C est un lieu de F_{A,D}. (D est, une fois les rôles de A et B, D de C et D, D est un lieu de F_{A,C} ssi C est un lieu de F_{B,D}.)

Démonstration : Il suffit de prouver \Longrightarrow (l'autre implication en résulte, en A et B, C et D) OPS A, B, C, D réduits à des points. On a par hyp (c lieu de X) X = X_{a,c} \amalg_c \underbrace{X_{c,b}}_{\overset{\text{déf}}{=} X_{b,c}} (c lieu de X) et X_{c,b} = X_{c,d} \amalg_d \underbrace{X_{d,b}}_{\overset{\text{déf}}{=} X_{b,d}} (car d lieu de X_{c,b}), donc X = \underbrace{X_{a,c} \amalg_c X_{c,d}}_{X_{a,d}} \amalg_d X_{d,b}

Lieux disjoints sur une faille : C, D (relation symétrique)

lieu C Si C ou D est une extrémité, disjoint signifie que C \neq D. Si ni C ni D n'est une extrémité, alors disjoint signifie que C \neq D, et que D est un lieu de F_{A,C} ou de F_{B,C} (\Longleftrightarrow C est un lieu de F_{B,D} ou de F_{A,D}).

Failles orientées : Failles avec extrémité fixée (« origine »).

La catégorie des failles orientées avec deux lieux internes disjoints, de deux : celle des systèmes est équivalente triples (F_1, F_2, F_3, h_{21}, h_{32}), où F_1, F_2, F_3 sont des failles orientées, h_{21} : \mathrm{ex}(F_1) \simeq \mathrm{or}(F_2), \qquad h_{32} : \mathrm{ex}(F_2) \simeq \mathrm{or}(F_3). « ex » et « or » : extrémité et origine d'une faille orientée ; l'énoncé est interrompu par des biffures et sa première ligne n'est lue qu'en partie

Soit F = (X, (A,B)) faille orientée. Soit C un lieu, on pose \mathcal{F}_C = ens. des lieux de F_{A,C} si C \neq A, B ; = \{A\} si C = A ; = \ill{} si C = B. On écrit C \leq D ssi \mathcal{F}_C \subset \mathcal{F}_D. Cela signifie simplement que C \in \mathcal{F}_D.

Alors F_{A,C} \subset F_{A,D} F_{A,C} = F_{A,D} \Rightarrow C = D Les lieux d'une faille orientée forment un ens. \mathcal{L} ordonné. Il satisfait les conditions suivantes :

a)\exists plus petit et plus grand élément \alpha et \beta, distincts b)\forall x \in \mathcal{L}, x \neq \beta, l'ens. des élts > x est filtrant décroissant ; b')\forall x \in \mathcal{L}, \alpha \neq x, l'ens. des élts < x est filtrant croissant c)Si x < y, \exists z avec x < z < y (divisibilité)

NB (1) Deux lieux x, y sont disjoints, ssi ssi x < y ou y < x. Ils définissent F_{x,y} = F_{y,x}, alors une faille , dont les lieux intermédiaires, naturellement ( forment une partie totalement ordonnée). (2) Si on change l'orientation, on remplace l'ordre par l'ordre opposé

La catégorie d'une faille orientée F, et de n tels lieux x_1, \dots, x_n disjoints, est équivalente : celle des systèmes (F_1, \dots, F_{n+1}, h_{21}, h_{32}, \dots, h_{n+1,n}) de n+1 failles orientées, et de n homéomorphismes de recollement.

Conditions particulières sur les lieux.

NB Pour qu'un espace compact triangulé admette une structure de faille, il f. et s. qu'il soit connexe, et non réduit à un point. C'est gros ! Il y a alors \infty de structures de faille réduite. [NB. Si X est un segment, cette str. est unique. C'est le seul cas !] NB Les structures de faille sur [0,1] \{A,B\} données par A = [0,\alpha], B = [\beta,1], 0 \leq \alpha < \beta \leq 1 la note marginale décrit les structures de faille non réduites du segment ; l'unicité du crochet porte, semble-t-il, sur les structures réduites

On peut considérer rel. d'équivalence entre structures de faille sur X (resp. failles orientées) sur X : celle engendrée par la relation d'ordre (cas orienté) (A \subset A' ou A \subset B') et (B \subset A', B \subset B') A \subset A' \quad \text{et} \quad B \subset B' . [NB Si (X, \{A,B\}) est une faille, A', B' sont des fermés, et si A', B' régulièrement immergés tels que A \subset A', B \subset B', A' \cap B' = \emptyset, alors (X, \{A',B'\}) est une faille.] Faux ! idiot ! ce crochet est barré de deux longues diagonales Il est les voisinages de A, B voisins

que deux structures de faille orientée sur un X triangulé sont toujours équivalentes. Faux (cas orienté !) déjà dans le cas des segments !

Considéra On peut imposer des conditions à A, B, comme d'être connexes, voire contractiles, voire \simeq, homéomorphes à un espace donné, et itou pour les lieux, d'où [ P propriété intrinsèque] \mathcal{L}_P. Pour que les conditions plus haut sur l'ensemble ordonné \mathcal{L} soient restent vraies pour \mathcal{L}_P, il est bon de (pour P choisie p. ex. d' d'être contractile, ou homéomorphe à un espace fixé) que les espaces S_A, S_B (bords des vois. tub. de A, B dans X) aient cette propriété, et itou on fixe la restriction correspondante sur les lieux internes C : les bords des vois. tub. de C dans X_{A,C} et X_{B,C} ont la propriété P.

Exemples

1) P : être homéom. réduit à un pt. On trouve la théorie des segments top. ord.

toute la première moitié de la page (le lemme et le début de sa démonstration) est barrée de trois longues diagonales ; elle reprend le lemme de la page 7 Lemme Soit F = (X, \{A,B\}) une faille, C un lieu de F distinct des extrémités, des sous-divisions F_{A,C} = (X_{A,C}, \{A,C\}), F_{B,C} = (X_{B,C}, \{B,C\}). Soit D un lieu de F_{B,C}, distinct des extrémités. Alors C est un lieu de F_{A,D}, distinct des extrémités, et inversement.

A \; C \; D \; B en marge, un croquis : une bande allongée, A à gauche, deux traits transverses C et D, B à droite

OPS A, B, C, D réduits à des points. Failles orientées A, C, D \Longrightarrow \struck{D, B, C} \Longrightarrow \struck{C, A, D} \Longrightarrow \struck{D, B, C} ces lignes sont sous les mêmes diagonales que le lemme

1) 2) Être homéom. à B^n : On trouve notamment la théorie de la décomposition de I \times B^{n-1} \simeq B^n (avec les deux « extrémités » B^{n-1} \times \{0\}, \{0\} \times B^{n-1}, \{1\} \times B^{n-1}) par des « lieux » homéomorphes à B^{n-1}.

croquis à gauche du texte : un rectangle hachuré, ses deux côtés verticaux épaissis et marqués A \simeq B^1 et B \simeq B^1, traversé d'une courbe marquée C \simeq D^1 ; au-dessous, « ou », un fuseau hachuré entre deux points A et B, traversé de même. D^1 est écrit ainsi, là où l'on attend B^1

3) Être homéom. à S^n. On trouve p. ex. sur S^{n+1} muni des deux pts distincts (p. ex. antipodiques, si on veut) a, b, une théorie de la décomposition par des S^n.

croquis : un cercle portant deux points marqués a et b, et coupé en haut et en bas par deux petits traits marqués chacun c — le lieu est ici une sphère S^0, deux points

On peut aussi exiger, pour un lieu distinct des extrémités, que la structure de X au voisinage de C soit celle de C \times {]-1,1[}, avec C correspondant à C_0 = C \times \{0\}, et les deux « rives » C \times {]-1,0[}, C \times {]0,1[} étant contenues resp. dans les deux failles composantes X_{A,C}, X_{B,C}.

2) Boucle topologique

le titre porte deux traits, dont le second pourrait être une rature ; le paragraphe qui suit ouvre sur un autre titre, souligné

7 Juin Soit Rives d'une partie fermée A d'un espace X. Considérons les Soit Z \mapsto \mathrm{Comp}(Z) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(Z, \{0,1\}) \;\bigl(= \Gamma(Z, \mathbb{F}_{2,Z})\bigr) (l'ens. des parties ouvertes et fermées) de Z. On fait un changement sur Z. On pose \underbrace{\mathrm{Rives}(A,X)}_{\text{ens. des rives de } A \text{ dans } X} = \varinjlim_{V \text{ voisinage de } A \text{ dans } X} \mathrm{Comp}(V \smallsetminus A) = \varinjlim_{V} \Gamma(V, i_*(\mathbb{F}_{2,U})) où i : U = X \smallsetminus A \hookrightarrow X l'inclusion

NB 1) Supposons que A soit régulièrement immergé : prenons S_{A,X} voisinage tubulaire. Alors on a \mathrm{Riv}(A,X) \simeq \mathrm{Comp}(S_{A,X}) S_{A,X} désigne, comme aux pages 1 et 11, le bord d'un voisinage tubulaire de A

2) Supposons que X soit paracompact, F un faisceau sur X, alors pour A fermé on a \Gamma(A, F|A) = \varinjlim_{V \in \mathcal{V}(A,X)} F(V)

Alors on a Considérons le découpage de X suivant A, \widetilde{A} = \mathrm{Spec}(i_*(\mathbb{F}_{2,U})), puis (\widetilde{X}, \widetilde{A}), où i : U = X \smallsetminus A \hookrightarrow X. On a \mathrm{Comp}(\widetilde{A}) \simeq \Gamma(A, i_*(\mathbb{F}_{2,U})) Donc la page s'arrête sur deux mots raturés

d'où application canonique (*) \qquad \mathrm{Riv}(A,X) \longrightarrow \mathrm{Comp}(\widetilde{A}) qui est injective, et bijective si X paracompact. Donc dans ce cas, choisir une rive, c'est choisir une composante de \widetilde{A}. « injective, et » est écrit au-dessus de « bijective », de sa main

NB L'ens. des composantes rives de A dans X ouvertes est une \mathbb{F}_2-algèbre idempotente (E^2 = E \forall E \in \mathrm{Riv}) avec unité, l'algèbre de A dans X. NB Cette algèbre \mathrm{Riv}(A) faisceau

Une bi-rive est une paire \{\rho, \rho'\} d'éléments de \mathrm{Riv}(A), telle que \rho + \rho' = 1 (idempotents « décompositions en 2 morceaux de X - A au voisinage de A » ) c'est dire (ce qui implique, si A \neq \emptyset, que \rho \neq \rho'). La bi-rive est triviale si \{\rho, \rho'\} = \{0, 1\}. On dit que A disconnecte X loc. si \exists bi-rive non triviale.

Soit Une bi-rive définit \{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\} telle que \widetilde{A} = \widetilde{A}_1 \amalg \widetilde{A}_2.

On dit que c'est une \{A, \struck{\{\rho,\rho'\}}\} la page s'arrête sur cette phrase inachevée

définit sur X une structure de bouclage régulier maille, dont A et de nœud A, si (\widetilde{X}, \{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\}) et A est régulièrement immergé dans X (alors \widetilde{A} est régulièrement immergé dans \widetilde{X}, donc \widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2 aussi) et si (\widetilde{X}, \{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\}) satisfait les conditions a) b) c) des failles top. [alors c'est une faille réciproque top. si \widetilde{A} est rég. immergé dans \widetilde{X}]. « réciproque » est écrit en marge, devant un trait vertical qui embrasse les lignes de la parenthèse

Considérons On trouve \widetilde{X} \amalg_{\widetilde{A}_1} (\widetilde{A}_1 \to A) \amalg_{\widetilde{A}_2} (\widetilde{A}_2 \to A), un espace Avec deux parties \beta = \{\rho, \rho'\} la bi-rive \overline{X} = \mathrm{Dec}_{\beta}(A, X), (le découpage par \beta), can. isom. à A, i.e. une partie isom. à A \times \beta, \{A_\rho, A_{\rho'}\}, \overline{X} \longrightarrow X induisant un isom \overline{X} \smallsetminus \underbrace{\{A_\rho \cup A_{\rho'}\}}_{A \times \beta} \longrightarrow X \smallsetminus A et des homéom. A_\rho \xrightarrow{\ \simeq\ } A, \qquad A_{\rho'} \xrightarrow{\ \simeq\ } A, i.e. la projection can. A \times \beta \longrightarrow A la page s'arrête ici ; la phrase continue à la page suivante

Ceci dit, on dit que (\struck{A}, \beta) définit une une structure de maille à nœud A, à bi-rive \beta, si si (\overline{X}, \{A_\rho, A_{\rho'}\}) est une faille top.

Orienter la maille, c'est par définition orienter la faille, i.e. choisir A_\rho ou A_{\rho'}, i.e. choisir \rho ou \rho', i.e. une des rives que contient la bi-rive. NB Dans la définition, A_1, A_2 réduits à un point…

A \; \rho \; \rho' \; U \; V croquis à gauche : une couronne entre deux cercles, coupée en haut par un trait épais marqué A, les deux bords du trait marqués \rho et \rho', et en bas par un second trait ; les deux moitiés de la couronne sont marquées U et V

On dit que deux structures de Considérons deux structures de mailles (A_1, \underbrace{\{\rho_1, \rho'_1\}}_{\beta_1}) et (A_2, \underbrace{\{\rho_2, \rho'_2\}}_{\beta_2}) sur X. Je dis qu'elles sont compatibles compatibles si

a)A \cap B a)A_1 \cap A_2 = \emptyset donc A_2 définit s'identifie à une partie de \overline{X}^{(A_1,\beta_1)} - A_1 \times \beta_1, b)A_2 si b)A_2 est un lieu de cette faille c)Si U, V sont les deux composantes connexes de \overline{X}^{(A_1,\beta_1)} \smallsetminus \bigl((A_1, \rho_1) \cup (A_1, \rho'_1)\bigr) \smallsetminus A_2,

la page s'arrête au milieu de la condition c)

alors \{U, V\} définit à la fois \beta_1, et \beta_2. Je dis que cette condition est en fait symétrique en les deux nœuds (A_i, \beta_i). le texte s'arrête ici ; le reste de la page est blanc