Cote n° 156-2 · batch 1 · pages 1–18 · Transcription · [Chapitre] II. Réalisations topologiques des réseaux : notes manuscrites (06/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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Réalisations topologiques des réseaux

titre de sa main, en tête de la page 1, suivi de « (Juin 86) » ; dans l'angle supérieur droit, encadré d'un chevron, « GF II »

1. Faille topologique

(6 Juin) Soit \(X\) un esp. top., \(A \subset X\) partie fermée [non vide]« non vide » est écrit au-dessus de la ligne, de sa main de \(X\). […] \(X/A\) l'espace déduit de \(X\) en contractant \(A\) en un pt , \(a\) le pt déduit de \(A\) par contractioncette précision est écrite au-dessus de la ligne, [Si \(X\) \(X'\) est une partie de \(X\) contenant \(A\), alors \(X'/A \hookrightarrow X/A\) identifie \(X'/A\) à un sous-espace top. de \(X/A\) [les fermés de \(X'/A\) s'identifient aux fermés \(Y'\) de \(X'\) qui ou bien contiennent \(A\), ou bien ne le rencontrent pas (i.e. tels que \(Y' \cap A \in \{\emptyset, A\}\)), et ce sont les traces sur \(X'\) des fermés \(Y\) de \(X\) qui ont ces propriétés, lesquels correspondent d'ailleurs aux fermés de \(X/A\)…]] On dit que \(A\) est régulièrement immergé dans \(X\) si \(\exists\) voisinage […] conique de \(a\) i.e. voisinage [(fermé)] \(V \overset{h}{\simeq} \mathrm{C\hat{o}ne}(\mathcal{S})\), \(\mathcal{S}\) espace topologique compact, \(h(a) = o\) (sommet du cône) et \(\uncertain{h}(V^{0}) = V \smallsetminus B\) ouvert dans \(X/A\). Si \(V\), Alors les sur \(V\) il y a (via \(h\)) une structure conique, par laquelle on considère les \[ tV = V_t, \qquad 0 \leq t \leq 1, \] qui sont, pour \(t \in {]0,1]}\), homéom. à \(V\), et forment NB \(\dot V = B\), \(\dot V_t = B_t\) et […] \(\mathcal{S}\) connu « section » de \(V\), et […] le coin inférieur gauche porte deux notes obliques, en partie recouvertes de hachures au crayon ; la seconde n'est lue qu'à moitié. La lettre \(\mathcal{S}\) est écrite en surcharge, sur ce qui semble être un \(B\)

2\(V_t = V_t^{0} \sqcup B_t\) un système fond. de voisinages de \(a\) dans \(X/A\). Les \(V_t^{0} = t V^{0}\), où \(V^{0} = V \smallsetminus B\), forment un syst. fond. de voisinages[ ;] les images inverses \(W_t\) de \(V_t\) dans \(X\) forment un syst. fond. de voisinages de \(A\) dans \(X\). Pour tout tel \(W_t\), […] \(\mathcal{S}_t = \dot{W}_t\) cl\(\smallsetminus\)ipetit croquis au-dessus de la ligne ; la glose « cl \(\smallsetminus\) i », reliée à \(\dot W_t\) par un trait, est d'une lecture incertaine est un fermé de \(X\), et […] posant \(W'_t = X - V_t\), on a \[ X \smallsetminus \mathcal{S}_t \;=\; \underbrace{W_t^{0}}_{\text{int. de } W_t} \sqcup \underbrace{W'_t}_{\text{ext. de } W_t} \qquad \text{somme topologique} \] sous \(\mathcal{S}_t\), de sa main : « bord de \(W_t\) »

NB (1) L'hyp. faite sur \(A \subset \struck{X}\) est locale i.e. Soit si \(X'\) voisinage de \(A\) dans \(X\), elle est vraie pour \((A,X)\) ssi elle est vraie pour \((A,X')\). (2) [Elle a un sens, et est vraie, pour \(A = \emptyset\), \(X/\emptyset = \{a\} \sqcup X\), on a donc \(B = \emptyset\)] (3) Vraie pour \(A\) [sous-]variété […] […] […] dans une variété \(X\). (4) \(A\) […] \(B = \emptyset\)

Définition Une Une faille topologique est un couple \((X, \{A,B\})\) formé d'un espace topologique \(X\), et d'une paire \(\{A,B\}\) […] de parties de \(X\).

3satisfaisant aux conditions suivantes

Mais \(X \neq A \cup B\) car \(A\), \(B\) non ouverts, donc \(U = X \smallsetminus (A \cup B)\) est non vide Conditions des failles réduites : a) \(a\) et \(b\) pts fermés (non isolés) ; b) \(a \neq b\) ; c) \(X \smallsetminus \{a\}\) et \(X \smallsetminus \{b\}\) connexes ; d) \(a\) et \(b\) ont des voisinages coniques. NB Si \((X, \{A,B\})\) est une faille et \(C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B)\) fermé […]

On va donner […] une variante de c) :

ainsi Pour

On a c') \(\Longrightarrow\) c), et l'inverse est vrai si \(U\) n'a qu'un nb fini de composantes connexes (cas \(X, A, B\) « modérés », cas usuel).

\(A\) et \(B\) sont les bouts [(extrémités)] de la faille.

La faille est réduite si \(A\), \(B\) sont réduits à des pts \(a\), \(b\). On dit que \((X, \{a,b\})\) est une faille si \(A\), \(B\) sont réduits [à] un pt. Soit

\(X' = {}_{A}X/B\) déduit de \(X\) en contractant \(A\), \(B\) en des pts, \(A \mapsto a\), \(B \mapsto b\), \(a, b \in X'\). Alors \((X, \{A,B\})\) est une faille ssi \(\{X', \struck{\ill{}} \{a,b\}\}\) est une faille.

NB Faille réduite est connexe

4NB Pour une faille réduite \((X', \{a,b\})\), […] \(X'\) est connexe, ainsi que \(X' \smallsetminus \{b\}\) et \(X' \smallsetminus \{a\}\) (denses dans \(X'\)), mais pas néc. \(X' \smallsetminus \{a,b\}\) (ex. \(S^1\) et deux pts) sous cette note, un petit cercle marqué de deux points

Lieu sur une faille \((X, \{A,B\})\) : c'est une partie [fermée] \(C \subset X\) telle que l'on ait les propriétés : ou bien \(C \in \{A,B\}\), ou bien les propriétés suivantes sont satisfaites : Li a) \(C\) fermé, et \(C \in \{A,B\}\) ou \(C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B)\)

[…] ([…] « catégorisations »… […]) deux lignes barrées d'un long trait oblique, à peine lisibles

i.e. \(X' \smallsetminus C\) a deux composantes connexes, dont l'une contient \(a\), l'autre contient \(b\) NB […] quand \(A\), \(B\) \(B\) connexes, \(\mathcal{U}_{A,C}\), \(\mathcal{U}_{B,C}\) sont […] composantes […] les deux notes précédentes sont écrites en oblique dans la marge gauche, la seconde en partie raturée

5NB Soit \(X_{A,C} = \overline{\mathcal{U}_{A,C}} \cup C\), \(X_{B,C} = \overline{\mathcal{U}_{B,C}} \cup C\).

Je dis que \((X_{A,C}, \{A,C\})\) satisfait les conditions a) b) c) des failles (donc il en sera de même de \((X_{B,C}, \{B,C\})\)).

Pour le voir, on est ramené au cas \(A, B, C\) réduits à des pts, \(a, b, c\).

Il faut prouver a) […] \(c\) n'est pas isolé dans \(X_{a,c}\) \(a\) n'est pas isolé dans \(X_{a,c}\) puisqu'il ne l'est pas dans \(X\) et \(X_{a,c}\) contient un vois. de \(a\)). On Sinon on aurait \(\mathcal{U}_{ac}\) ouvert et fermé dans \(X\), \(X\) serait non connexe, absurde.

b) \(X_{a,c} \smallsetminus \{c\}\) est connexe par hyp. Je dis que \(X_{a,c} \smallsetminus \{a\}\) est connexe. Sinon, soit \(\exists\) partie \(V\) de \(X_{a,c} \smallsetminus \{a\}\) qui soit ouverte et fermée dans \(X_{a,c} \smallsetminus \{a\}\), non vide, et ne contenant pas \(c\). Donc elle serait aussi ouverte et (fermée et) ouverte dans \(X \smallsetminus \{a\}\), […] […], \(X \smallsetminus \{c\}\) ne serait pas connexe, absurde.

Pour que \((X_{A,C}, \{A,C\})\) soit une faille, il ne manque que l'hypothèse d), d'immersion locale.

6Lemme Soit \(Z\) un espace, \(Z'\) et \(Z''\) deux parties fermées, telles que \(Z' \cap Z'' = \{c\}\). Pour que \(c\) ait un voisinage conique dans \(Z\), il faut et il suffit qu'il ait des voisinages coniques dans \(Z'\) et \(Z''\). l'énoncé ne dit pas \(Z = Z' \cup Z''\) ; c'est pourtant l'usage qui en est fait plus bas

[…] seulement, pour […] d'immersion de la faille, la condition […] « \(C \in \{A,B\}\) ou \(C\) régulièrement immergé dans \(X\) ».

Exemples (cf. p. […]) Pour \(t\) assez petit, les \(\dot V_{A,t} = S_{A,t}\) sont des lieux de la faille.

Lieux disjoints. Soit \(F = (X, \{A,B\})\) une faille, \(\mathcal{L}(F)\) l'ens. des lieux. Je vais définir une relation symétrique […] « disjoints » \((\Rightarrow (C \neq D))\) sur l'ens. des lieux. Si \(C\) et \(D\) sont […] […] \(C\) ou \(D\) sont \(\in \{A,B\}\), « disjoints » signifie simplement distincts (\(\Longleftrightarrow\) disjoints au sens \(C \cap D = \emptyset\))

NB Pour qu'une partie fermée \(C\) de \(X\), \(C \subset U = X \smallsetminus (A \cup B)\), soit un lieu, il faut et il suffit que \(C \neq \emptyset\) et que donc […] \(\bigl((X/A,B,C, \{a,b\}), \{c\}\bigr)\) […] Si \(D\) est une partie fermée de \(X\) telle que […] \(\mathcal{U}_{A,C}\) ou \(D \subset \mathcal{U}_{B,C}\) […], alors \(D\) […] les […] faille […] lieu […] deux notes obliques remplissent le coin inférieur gauche, séparées par un trait ; plusieurs mots sont raturés en boucle et n'ont pas été lus

7Décomposition d'une faille \(F = (X, \{A,B\})\) par un lieu \(C\) distinct des extrémités : failles \(F_{A,C}\), \(F_{B,C}\). Tout lieu d'une des failles composantes est un lieu de \(F\), […] (pour homéom.) la suite de la ligne est une énumération biffée d'un seul trait, reprise en interligne : Équiv. de catégories […] a) Failles avec lieu intérieur, avec homéo b) Paires de failles, avec un bout de l'une, un bout de l'autre. c'est […] Soient

Lemme Soient \(C\) et \(D\) deux lieux de \(F\), distincts des extrémités, avec \((C \neq D)\). \(A \; C \; D \; B\) en marge, les quatre lettres alignées, \(C\) et \(D\) reliés par des crochets au-dessus et au-dessous Alors \(D\) est un lieu de \(F_{B,C}\) ssi \(C\) est un lieu de \(F_{A,D}\). (\(D\) est, une fois […] les rôles de \(A\) et \(B\), \(D\) […] […] de \(C\) et \(D\), \(D\) est un lieu de \(F_{A,C}\) ssi \(C\) est un lieu de \(F_{B,D}\).)

Démonstration : Il suffit de prouver \(\Longrightarrow\) […] (l'autre implication en résulte, en […] […] A et B, \(C\) et \(D\)) […] OPS \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) réduits […] à des points. On a par hyp (c lieu de \(X\)) \[ X = X_{a,c} \amalg_c \underbrace{X_{c,b}}_{\overset{\text{déf}}{=} X_{b,c}} \] (\(c\) lieu de \(X\)) et \[ X_{c,b} = X_{c,d} \amalg_d \underbrace{X_{d,b}}_{\overset{\text{déf}}{=} X_{b,d}} \] (car \(d\) lieu de \(X_{c,b}\)), donc \[ X = \underbrace{X_{a,c} \amalg_c X_{c,d}}_{X_{a,d}} \amalg_d X_{d,b} \]

8Lieux disjoints sur une faille : \(C, D\) (relation symétrique)

[…] lieu \(C\) Si \(C\) ou \(D\) est une extrémité, disjoint signifie que \(C \neq D\). Si ni \(C\) ni \(D\) n'est une extrémité, alors disjoint signifie que […] \(C \neq D\), et que \(D\) est un lieu de \(F_{A,C}\) ou de \(F_{B,C}\) (\(\Longleftrightarrow\) \(C\) est un lieu de \(F_{B,D}\) ou de \(F_{A,D}\)).

Failles orientées : Failles avec extrémité fixée (« origine »).

[…] La catégorie des failles orientées avec deux lieux internes disjoints, de deux […] : celle des systèmes […] est équivalente […] triples \((F_1, F_2, F_3, h_{21}, h_{32})\), où \(F_1, F_2, F_3\) sont des failles orientées, \[ h_{21} : \mathrm{ex}(F_1) \simeq \mathrm{or}(F_2), \qquad h_{32} : \mathrm{ex}(F_2) \simeq \mathrm{or}(F_3). \] « ex » et « or » : extrémité et origine d'une faille orientée ; l'énoncé est interrompu par des biffures et sa première ligne n'est lue qu'en partie

Soit \(F = (X, (A,B))\) faille orientée. Soit \(C\) un lieu, on pose \(\mathcal{F}_C =\) ens. des lieux de \(F_{A,C}\) si \(C \neq A, B\) ; \(= \{A\}\) si \(C = A\) ; \(= \ill{}\) si \(C = B\). On écrit \(C \leq D\) ssi \(\mathcal{F}_C \subset \mathcal{F}_D\). Cela signifie simplement que \(C \in \mathcal{F}_D\).

9Alors […] \(F_{A,C} \subset F_{A,D}\) […] \(F_{A,C} = F_{A,D} \Rightarrow C = D\) […] Les lieux d'une faille [orientée] forment un ens. \(\mathcal{L}\) ordonné. Il satisfait les conditions suivantes :

NB (1) Deux lieux \(x, y\) sont disjoints, ssi ssi \(x < y\) ou \(y < x\). Ils définissent \(F_{x,y} = F_{y,x}\), alors […] une faille […], dont les lieux intermédiaires, naturellement […] ([…] forment une partie totalement ordonnée). (2) Si on change l'orientation, on remplace l'ordre par l'ordre opposé

La catégorie […] d'une faille orientée \(F\), et de \(n\) tels lieux \(x_1, \dots, x_n\) disjoints, est équivalente : celle des systèmes \((F_1, \dots, F_{n+1}, h_{21}, h_{32}, \dots, h_{n+1,n})\) de \(n+1\) failles orientées, et de \(n\) homéomorphismes de recollement.

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Conditions particulières sur les lieux.

NB Pour qu'un espace compact triangulé admette une structure de faille, il f. et s. qu'il soit connexe, et non réduit à un point. C'est gros ! Il y a alors \(\infty\) de structures de faille réduite. [NB. Si \(X\) est un segment, […] cette str. est unique. C'est le seul cas […] !] NB Les structures de faille sur \([0,1]\) […] \(\{A,B\}\) […] données par \(A = [0,\alpha]\), \(B = [\beta,1]\), \(0 \leq \alpha < \beta \leq 1\) la note marginale décrit les structures de faille non réduites du segment ; l'unicité du crochet porte, semble-t-il, sur les structures réduites

On peut considérer rel. d'équivalence entre structures de faille sur \(X\) (resp. failles orientées) sur \(X\) : […] celle engendrée par la relation d'ordre (cas orienté) \((A \subset A'\) ou \(A \subset B')\) et \((B \subset A', B \subset B')\) […] \[ A \subset A' \quad \text{et} \quad B \subset B' . \] [NB Si \((X, \{A,B\})\) est une faille, \(A'\), \(B'\) sont des fermés, et si \(A'\), \(B'\) régulièrement immergés tels que \(A \subset A'\), \(B \subset B'\), \(A' \cap B' = \emptyset\), alors \((X, \{A',B'\})\) est une faille.] Faux ! idiot ! ce crochet est barré de deux longues diagonales Il est […] les voisinages […] de \(A\), \(B\) […] voisins […]

[…] […] que deux structures de faille orientée sur un \(X\) triangulé sont toujours équivalentes. Faux (cas orienté !) déjà dans le cas des segments !

11Considéra[…] On peut imposer des conditions à \(A\), \(B\), comme d'être connexes, voire contractiles, voire \(\simeq\), homéomorphes à un espace donné, et itou pour les lieux, [d'où] [[…] \(P\) propriété intrinsèque] […] […] \(\mathcal{L}_P\). Pour que les conditions plus haut sur l'ensemble ordonné \(\mathcal{L}\) soient restent vraies pour \(\mathcal{L}_P\), il est bon de […] (pour \(P\) choisie p. ex. d'[…] […] d'être contractile, ou homéomorphe à un espace fixé) que les espaces \(S_A\), \(S_B\) (bords des vois. tub. de \(A\), \(B\) dans \(X\)) aient cette propriété, et itou on fixe la restriction correspondante sur les lieux internes \(C\) : les bords des vois. tub. de \(C\) dans \(X_{A,C}\) et \(X_{B,C}\) ont la propriété \(P\).

Exemples

1) \(P\) : être homéom. réduit à un pt. On trouve la théorie des segments top. ord.

12toute la première moitié de la page (le lemme et le début de sa démonstration) est barrée de trois longues diagonales ; elle reprend le lemme de la page 7 Lemme Soit \(F = (X, \{A,B\})\) une faille, \(C\) un lieu de […] \(F\) distinct des extrémités, […] des […] sous-divisions \(F_{A,C} = (X_{A,C}, \{A,C\})\), \(F_{B,C} = (X_{B,C}, \{B,C\})\). Soit \(D\) un […] lieu de \(F_{B,C}\), distinct des extrémités. Alors \(C\) est un lieu de \(F_{A,D}\), distinct des extrémités, et inversement.

\(A \; C \; D \; B\) en marge, un croquis : une bande allongée, \(A\) à gauche, deux traits transverses \(C\) et \(D\), \(B\) à droite

OPS \(A, B, C, D\) réduits à des points. Failles orientées \(A, C, D \Longrightarrow\) […] \[ \struck{D, B, C} \Longrightarrow \struck{C, A, D} \Longrightarrow \struck{D, B, C} \] ces lignes sont sous les mêmes diagonales que le lemme

1) 2) Être homéom. à \(B^n\) : On trouve notamment la théorie de la décomposition de \[ I \times B^{n-1} \simeq B^n \] (avec les deux « extrémités » \(B^{n-1} \times \{0\}\), \(\{0\} \times B^{n-1}\), \(\{1\} \times B^{n-1}\)) par des « lieux » homéomorphes à \(B^{n-1}\).

croquis à gauche du texte : un rectangle hachuré, ses deux côtés verticaux épaissis et marqués \(A \simeq B^1\) et \(B \simeq B^1\), traversé d'une courbe marquée \(C \simeq D^1\) ; au-dessous, « ou », un fuseau hachuré entre deux points \(A\) et \(B\), traversé de même. \(D^1\) est écrit ainsi, là où l'on attend \(B^1\)

133) Être homéom. à \(S^n\). On trouve p. ex. sur \(S^{n+1}\) muni des deux pts [distincts] (p. ex. antipodiques, si on veut) \(a\), \(b\), une théorie de la décomposition par des \(S^n\).

croquis : un cercle portant deux points marqués \(a\) et \(b\), et coupé en haut et en bas par deux petits traits marqués chacun \(c\) — le lieu est ici une sphère \(S^0\), deux points

On peut aussi exiger, pour un lieu distinct des extrémités, que la structure de \(X\) au voisinage de \(C\) soit celle de \(C \times {]-1,1[}\), avec \(C\) correspondant à \(C_0 = C \times \{0\}\), et les deux « rives » \(C \times {]-1,0[}\), \(C \times {]0,1[}\) étant contenues resp. dans les deux failles composantes \(X_{A,C}\), \(X_{B,C}\).

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2) Boucle topologique

le titre porte deux traits, dont le second pourrait être une rature ; le paragraphe qui suit ouvre sur un autre titre, souligné

7 Juin Soit Rives d'une partie fermée \(A\) d'un espace \(X\). Considérons les Soit \[ Z \mapsto \mathrm{Comp}(Z) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(Z, \{0,1\}) \;\bigl(= \Gamma(Z, \mathbb{F}_{2,Z})\bigr) \] (l'ens. des parties ouvertes et fermées) de \(Z\). On fait un changement […] sur \(Z\). On pose \[ \underbrace{\mathrm{Rives}(A,X)}_{\text{ens. des rives de } A \text{ dans } X} = \varinjlim_{V \text{ voisinage de } A \text{ dans } X} \mathrm{Comp}(V \smallsetminus A) = \varinjlim_{V} \Gamma(V, i_*(\mathbb{F}_{2,U})) \] où \(i : U = X \smallsetminus A \hookrightarrow X\) l'inclusion

NB 1) Supposons que \(A\) soit régulièrement immergé : prenons \(S_{A,X}\) voisinage tubulaire. Alors on a \[ \mathrm{Riv}(A,X) \simeq \mathrm{Comp}(S_{A,X}) \] \(S_{A,X}\) désigne, comme aux pages 1 et 11, le bord d'un voisinage tubulaire de \(A\)

2) Supposons que \(X\) soit paracompact, \(F\) un faisceau sur \(X\), alors pour \(A\) fermé on a \[ \Gamma(A, F|A) = \varinjlim_{V \in \mathcal{V}(A,X)} F(V) \]

Alors on a Considérons le découpage de \(X\) suivant \(A\), \(\widetilde{A} = \mathrm{Spec}(i_*(\mathbb{F}_{2,U}))\), puis \((\widetilde{X}, \widetilde{A})\), où \(i : U = X \smallsetminus A \hookrightarrow X\). On a \[ \mathrm{Comp}(\widetilde{A}) \simeq \Gamma(A, i_*(\mathbb{F}_{2,U})) \] Donc […] la page s'arrête sur deux mots raturés

15d'où application canonique \[ (*) \qquad \mathrm{Riv}(A,X) \longrightarrow \mathrm{Comp}(\widetilde{A}) \] qui est [injective, et] bijective si \(X\) paracompact. Donc dans ce cas, choisir une rive, c'est choisir une composante de \(\widetilde{A}\). « injective, et » est écrit au-dessus de « bijective », de sa main

NB L'ens. des composantes rives de \(A\) dans \(X\) ouvertes est une \(\mathbb{F}_2\)-algèbre [idempotente] (\(E^2 = E\) \(\forall E \in \mathrm{Riv}\)) avec unité, l'algèbre […] […] […] de \(A\) dans \(X\). NB Cette algèbre […] \(\mathrm{Riv}(A)\) […] faisceau […]

Une bi-rive est une paire \(\{\rho, \rho'\}\) d'éléments de \(\mathrm{Riv}(A)\), telle que \[ \rho + \rho' = 1 \] (idempotents « décompositions en 2 morceaux de \(X - A\) au voisinage de \(A\) » […]) c'est dire (ce qui implique, si \(A \neq \emptyset\), que \(\rho \neq \rho'\)). La bi-rive est triviale si \(\{\rho, \rho'\} = \{0, 1\}\). On dit que \(A\) disconnecte \(X\) loc. si \(\exists\) bi-rive non triviale.

Soit […] Une bi-rive définit \(\{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\}\) telle que \(\widetilde{A} = \widetilde{A}_1 \amalg \widetilde{A}_2\).

On dit que c'est une \(\{A, \struck{\{\rho,\rho'\}}\}\) la page s'arrête sur cette phrase inachevée

16définit sur \(X\) une structure de bouclage régulier maille, dont \(A\) et de nœud \(A\), si \((\widetilde{X}, \{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\})\) et \(A\) est régulièrement immergé dans \(X\) (alors […] \(\widetilde{A}\) est régulièrement immergé dans \(\widetilde{X}\), donc \(\widetilde{A}_1\), \(\widetilde{A}_2\) aussi) et si \((\widetilde{X}, \{\widetilde{A}_1, \widetilde{A}_2\})\) satisfait les conditions a) b) c) des failles top. [alors c'est une faille réciproque top. si \(\widetilde{A}\) est rég. immergé dans \(\widetilde{X}\)]. « réciproque » est écrit en marge, devant un trait vertical qui embrasse les lignes de la parenthèse

Considérons On trouve \[ \widetilde{X} \amalg_{\widetilde{A}_1} (\widetilde{A}_1 \to A) \amalg_{\widetilde{A}_2} (\widetilde{A}_2 \to A), \] un espace […] Avec deux parties \(\beta = \{\rho, \rho'\}\) la bi-rive \[ \overline{X} = \mathrm{Dec}_{\beta}(A, X), \] (le découpage par \(\beta\)), can. isom. à \(A\), […] i.e. une partie isom. à \(A \times \beta\), \(\{A_\rho, A_{\rho'}\}\), \[ \overline{X} \longrightarrow X \] induisant un isom \[ \overline{X} \smallsetminus \underbrace{\{A_\rho \cup A_{\rho'}\}}_{A \times \beta} \longrightarrow X \smallsetminus A \] et des homéom. \[ A_\rho \xrightarrow{\ \simeq\ } A, \qquad A_{\rho'} \xrightarrow{\ \simeq\ } A, \] i.e. la projection can. \[ A \times \beta \longrightarrow A \] la page s'arrête ici ; la phrase continue à la page suivante

17Ceci dit, on dit que \((\struck{A}, \beta)\) définit [une] une structure de maille à nœud \(A\), à […] bi-rive \(\beta\), si si \((\overline{X}, \{A_\rho, A_{\rho'}\})\) est une faille top.

Orienter la maille, c'est par définition orienter la faille, i.e. choisir \(A_\rho\) ou \(A_{\rho'}\), i.e. choisir \(\rho\) ou \(\rho'\), i.e. une des rives que contient la bi-rive. NB Dans la définition, […] \(A_1\), \(A_2\) réduits à un point…

\(A \; \rho \; \rho' \; U \; V\) croquis à gauche : une couronne entre deux cercles, coupée en haut par un trait épais marqué \(A\), les deux bords du trait marqués \(\rho\) et \(\rho'\), et en bas par un second trait ; les deux moitiés de la couronne sont marquées \(U\) et \(V\)

On dit que deux structures de Considérons deux […] structures de mailles \((A_1, \underbrace{\{\rho_1, \rho'_1\}}_{\beta_1})\) et \((A_2, \underbrace{\{\rho_2, \rho'_2\}}_{\beta_2})\) sur \(X\). Je dis qu'elles sont […] compatibles compatibles […] si

la page s'arrête au milieu de la condition c)

18alors \(\{U, V\}\) définit à la fois […] \(\beta_1\), et \(\beta_2\). Je dis que cette condition est en fait symétrique en les deux nœuds \((A_i, \beta_i)\). le texte s'arrête ici ; le reste de la page est blanc