Cote n° 156-2 · pages 1–18 · Lecture modernisée · [Chapitre] II. Réalisations topologiques des réseaux : notes manuscrites (06/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Immersion régulière (pages 1 et 2).
2. 2.Failles topologiques (pages 2 à 4).
3. 3.Lieux, et découpage d'une faille (pages 4 à 7).
4. 4.L'ordre des lieux (pages 8 et 9).
5. 5.Existence, et conditions sur les lieux (pages 10 à 13).
6. 6.Rives et bi-rives (pages 14 et 15), sous le titre « 2) Boucle topologique » daté du 7 juin.
7. 7.Mailles (pages 16 à 18).

Les feuillets portent sa pagination 1 à 18, qui coïncide avec celle des archivistes. La page 1 porte en angle « GF II » : c'est le chapitre II d'un texte dont le dossier 156-1, « Vers une géométrie des formes (topologiques) », daté de la veille, est le chapitre I.

Conventions. Pour une partie fermée \(A\) d'un espace \(X\), \(X/A\) est l'espace obtenu en contractant \(A\) en un point \(a\). \(\mathrm{C}(S) = S \times [0,1] / S \times \{0\}\) est le cône sur \(S\), de sommet \(o\). Une faille est notée \(F = (X, \{A,B\})\), \(U = X \smallsetminus (A \cup B)\), et \(X'\) la faille réduite obtenue en contractant \(A\) et \(B\) en \(a\) et \(b\). Pour un lieu intérieur \(C\), \(X \smallsetminus C = U_{A,C} \sqcup U_{B,C}\), \(X_{A,C} = \overline{U_{A,C}} \cup C\) et \(F_{A,C} = (X_{A,C}, \{A,C\})\). \(\mathrm{Comp}(Z)\) est l'anneau booléen des parties ouvertes et fermées de \(Z\). Le mot « disjoints », appliqué à deux lieux, a toujours le sens fixé à la page 8, plus fort que l'intersection vide.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les équivalences de catégories des pages 7 à 9 entre failles munies de lieux et chaînes de failles recollées ; l'affirmation de la page 7 que tout lieu d'une faille composante est un lieu de la faille ; la symétrie de la compatibilité de deux mailles, sur laquelle le texte s'arrête (page 18) ; les réseaux du titre.

1–2

Immersion régulière (pages 1 et 2)

Soit \(X\) un espace topologique et \(A \subset X\) une partie fermée non vide¹ . Si \(X' \subset X\) contient \(A\), l'application \(X'/A \to X/A\) identifie \(X'/A\) à un sous-espace de \(X/A\) : les fermés de \(X'/A\) correspondent aux fermés \(Y'\) de \(X'\) tels que \(Y' \cap A \in \{\emptyset, A\}\), et ce sont les traces sur \(X'\) des fermés de \(X\) ayant la même propriété.

On dit que \(A\) est régulièrement immergé dans \(X\) si le point \(a\) possède dans \(X/A\) un voisinage fermé \(V\) muni d'un homéomorphisme \(h : V \simeq \mathrm{C}(S)\) envoyant \(a\) sur le sommet, où \(S\) est un espace² , et tel que \(V \smallsetminus B\) soit ouvert dans \(X/A\), où \(B = h^{-1}(S \times \{1\})\) est le bord de \(V\)³ . La structure conique fournit les \(V_{t} = h^{-1}(\mathrm{C}_{t}(S))\), \(0 < t \leq 1\), tous homéomorphes à \(V\), qui forment un système fondamental de voisinages de \(a\). Leurs images réciproques \(W_{t}\) dans \(X\) forment alors un système fondamental de voisinages de \(A\) — tout ouvert de \(X\) contenant \(A\) est saturé pour la contraction, donc provient d'un ouvert de \(X/A\). Le bord \(S_{t}\) de \(W_{t}\) est fermé, et \[ X \smallsetminus S_{t} = W_{t}^{\circ} \sqcup (X \smallsetminus W_{t}) \] est une somme topologique de l'intérieur et de l'extérieur de \(W_{t}\).

La notion est locale : elle ne dépend que d'un voisinage de \(A\). Elle a encore un sens pour \(A = \emptyset\), où \(X/\emptyset = X \sqcup \{a\}\) et le cône est sur l'espace vide. Elle est vraie, dit la page, pour une sous-variété d'une variété⁴ .

Le nom actuel le plus proche est celui de voisinage conique ou de voisinage régulier⁵ . On notera que la condition porte sur \(X/A\) et non sur \(X\) : \(A\) lui-même peut être un espace sauvage, seul compte le voisinage une fois \(A\) écrasé.

2–4

Failles topologiques (pages 2 à 4)

Définition. Une faille topologique est un couple \((X, \{A,B\})\) formé d'un espace \(X\) et d'une paire de parties de \(X\) tels que :

1. a)\(A\) et \(B\) sont fermés et non vides, et les points \(a \in X/A\), \(b \in X/B\) ne sont pas isolés ;
2. b)\(A \cap B = \emptyset\) ;
3. c)\((X \smallsetminus A)/B\) et \((X \smallsetminus B)/A\) sont connexes ;
4. d)\(A\) et \(B\) sont régulièrement immergés.

\(A\) et \(B\) sont les bouts de la faille. Comme \(a\) n'est pas isolé, \(A\) n'est pas ouvert, et de même pour \(B\) ; donc \(X \neq A \cup B\), et \(U = X \smallsetminus (A \cup B)\) n'est pas vide.

La condition c) admet une variante :

1. c')l'adhérence de toute composante connexe \(U_{i}\) de \(U\) rencontre \(A\) et rencontre \(B\).⁶

On a c') \(\Rightarrow\) c), et la réciproque est vraie si \(U\) n'a qu'un nombre fini de composantes connexes, ce qui est le cas « modéré »⁷ .

La faille est réduite si \(A\) et \(B\) sont des points \(a\) et \(b\). En contractant les deux bouts on obtient \(X' = X/A/B\), et \((X, \{A,B\})\) est une faille si et seulement si \((X', \{a,b\})\) en est une. Pour une faille réduite, les conditions se lisent : \(a\) et \(b\) ne sont pas isolés, \(a \neq b\), \(X' \smallsetminus \{a\}\) et \(X' \smallsetminus \{b\}\) sont connexes, et \(a\), \(b\) ont des voisinages coniques. Une faille réduite est donc connexe, puisque \(X' \smallsetminus \{b\}\) est connexe et dense. En revanche \(X' \smallsetminus \{a,b\}\) ne l'est pas nécessairement : le cercle muni de deux points en est l'exemple⁸ .

Qu'on puisse contracter les bouts sans rien perdre est la raison pour laquelle presque tout ce qui suit se démontre « on peut supposer \(A\), \(B\) réduits à des points ».

4–7

Lieux, et découpage d'une faille (pages 4 à 7)

Définition

Définition. Un lieu de la faille \((X, \{A,B\})\) est une partie fermée \(C\) de \(X\) telle que ou bien \(C \in \{A, B\}\), ou bien \(C \subset U\) et : il existe une décomposition de \(X \smallsetminus C\) en somme topologique de deux sous-espaces \[ X \smallsetminus C = U_{A,C} \sqcup U_{B,C}, \qquad A \subset U_{A,C}, \quad B \subset U_{B,C}, \] avec \(U_{A,C}/A\) et \(U_{B,C}/B\) connexes.

Autrement dit, dans la faille réduite, \(X' \smallsetminus C\) a exactement deux composantes connexes, l'une contenant \(a\) et l'autre \(b\) ; la décomposition est donc unique⁹ . Un lieu intérieur est non vide, puisque \(X'\) est connexe.

On pose \(X_{A,C} = \overline{U_{A,C}} \cup C\) et \(X_{B,C} = \overline{U_{B,C}} \cup C\).

Les deux moitiés sont presque des failles

Proposition (page 5). \((X_{A,C}, \{A,C\})\) satisfait les conditions a), b), c) des failles, et de même \((X_{B,C}, \{B,C\})\).

On se ramène au cas où \(A\), \(B\), \(C\) sont des points \(a\), \(b\), \(c\). Comme \(U_{a,c}\) est ouvert et fermé dans \(X \smallsetminus \{c\}\), son adhérence est contenue dans \(U_{a,c} \cup \{c\}\).

a) \(a\) n'est pas isolé dans \(X_{a,c}\), qui contient un voisinage de \(a\) dans \(X\). Si \(c\) l'était, \(U_{a,c}\) serait fermé dans \(X\) ; il est ouvert ; il serait ouvert et fermé, non vide et distinct de \(X\), contre la connexité de \(X\).

c) \(X_{a,c} \smallsetminus \{c\} = U_{a,c}\) est connexe par hypothèse. Si \(X_{a,c} \smallsetminus \{a\}\) ne l'était pas, il contiendrait une partie \(P\) ouverte et fermée, non vide, ne contenant pas \(c\). Fermée dans \(X_{a,c} \smallsetminus \{a\}\), qui est fermé dans \(X \smallsetminus \{a\}\), et ouverte dans l'ouvert \(U_{a,c} \smallsetminus \{a\}\) de \(X\), elle serait ouverte et fermée dans \(X \smallsetminus \{a\}\), qui ne serait pas connexe — absurde¹⁰ .

b) est clair. Il ne manque, pour avoir une faille, que la condition d) d'immersion régulière du nouveau bout \(C\).

La condition qui manque

Lemme (page 6). Soit \(Z\) un espace réunion de deux parties fermées \(Z'\) et \(Z''\) telles que \(Z' \cap Z'' = \{c\}\). Pour que \(c\) ait un voisinage conique dans \(Z\), il faut et il suffit qu'il en ait un dans \(Z'\) et dans \(Z''\).

L'hypothèse \(Z = Z' \cup Z''\) n'est pas écrite, mais c'est ainsi que le lemme sert¹¹ . Appliqué à \(X' / C = X_{A,C}/C \cup X_{B,C}/C\), il dit que si l'on ajoute à la définition d'un lieu intérieur la condition « \(C\) est régulièrement immergé dans \(X\) », les deux moitiés \(F_{A,C}\) et \(F_{B,C}\) sont des failles. C'est ce que la page décide : on exige désormais cette condition.

Exemple. Pour \(t\) assez petit, les bords \(S_{A,t}\) des voisinages coniques \(W_{t}\) de \(A\) sont des lieux de la faille¹² .

Découper et recoller

Un lieu intérieur \(C\) de \(F = (X, \{A,B\})\) décompose la faille en deux failles \(F_{A,C}\) et \(F_{B,C}\), et \(X = X_{A,C} \cup_{C} X_{B,C}\). La page affirme que tout lieu d'une faille composante est un lieu de \(F\), et que la catégorie des failles munies d'un lieu intérieur, avec les homéomorphismes, est équivalente à celle des paires de failles munies d'un homéomorphisme entre un bout de l'une et un bout de l'autre¹³ . C'est, sans aucune structure lisse, la forme de la composition des cobordismes¹⁴ .

Lemme (page 7). Soient \(C \neq D\) deux lieux de \(F\) distincts des bouts. Alors \(D\) est un lieu de \(F_{B,C}\) si et seulement si \(C\) est un lieu de \(F_{A,D}\) ; et, en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\), \(D\) est un lieu de \(F_{A,C}\) si et seulement si \(C\) est un lieu de \(F_{B,D}\).

Il suffit de prouver une implication, l'autre s'obtenant en échangeant \(A\) et \(B\), \(C\) et \(D\) ; et l'on peut supposer \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) réduits à des points. Si \(c\) est un lieu de \(X\) et \(d\) un lieu de \(X_{c,b}\), on a \[ X = X_{a,c} \amalg_{c} X_{c,b}, \qquad X_{c,b} = X_{c,d} \amalg_{d} X_{d,b}, \qquad \text{donc} \qquad X = \underbrace{X_{a,c} \amalg_{c} X_{c,d}}_{X_{a,d}} \amalg_{d} X_{d,b}, \] et \(c\) est un lieu de \(X_{a,d}\)¹⁵ .

8–9

L'ordre des lieux (pages 8 et 9)

Définition (page 8). Deux lieux \(C\) et \(D\) sont disjoints si : lorsque l'un d'eux est un bout, \(C \neq D\) ; sinon, \(C \neq D\) et \(D\) est un lieu de \(F_{A,C}\) ou de \(F_{B,C}\) — ce qui, par le lemme de la page 7, équivaut à ce que \(C\) soit un lieu de \(F_{B,D}\) ou de \(F_{A,D}\). La relation est symétrique.

Deux lieux disjoints en ce sens ont une intersection vide, mais la réciproque est fausse¹⁶ : la relation de la page 8 dit que les deux lieux sont emboîtés, l'un du côté de \(A\) par rapport à l'autre.

Une faille orientée est une faille dont on a choisi un bout pour origine ; on écrit \(F = (X, (A,B))\), et \(\mathrm{or}(F) = A\), \(\mathrm{ex}(F) = B\). Pour un lieu \(C\) on pose \(\mathcal{F}_{C}\) l'ensemble des lieux de \(F_{A,C}\) si \(C\) est intérieur, \(\mathcal{F}_{A} = \{A\}\)¹⁷ , et l'on écrit \[ C \leq D \iff \mathcal{F}_{C} \subset \mathcal{F}_{D} \iff C \in \mathcal{F}_{D}. \] C'est une relation d'ordre — l'antisymétrie vient de ce que \(F_{A,C} = F_{A,D}\) entraîne \(C = D\), comme le dit la marge — et deux lieux sont disjoints si et seulement si \(C < D\) ou \(D < C\). Changer l'orientation remplace l'ordre par l'ordre opposé.

Proposition (page 9). L'ensemble ordonné \(\mathcal{L}\) des lieux d'une faille orientée satisfait :

1. a)il a un plus petit élément \(\alpha = A\) et un plus grand élément \(\beta = B\), distincts ;
2. b)pour tout \(x \neq \beta\), l'ensemble des \(y > x\) est filtrant décroissant ;
3. b')pour tout \(x \neq \alpha\), l'ensemble des \(y < x\) est filtrant croissant ;
4. c)si \(x < y\), il existe \(z\) avec \(x < z < y\) (divisibilité).

La page énonce ces propriétés sans démonstration ; elles résultent de l'exemple de la page 6¹⁸ . L'ordre n'est pas total : deux cercles ondulés qui se croisent sur un cylindre sont deux lieux non comparables. Ce qui est vrai, et qu'on lit dans la parenthèse de la page 9, c'est qu'une famille de lieux deux à deux disjoints est totalement ordonnée¹⁹ .

Enfin, découper une faille orientée par \(n\) lieux intérieurs deux à deux disjoints \(x_{1} < \dots < x_{n}\) revient à se donner \(n+1\) failles orientées recollées bout à bout : la page affirme l'équivalence de cette catégorie avec celle des systèmes \[ (F_{1}, \dots, F_{n+1};\; h_{21}, \dots, h_{n+1,n}), \qquad h_{i+1,i} : \mathrm{ex}(F_{i}) \xrightarrow{\ \simeq\ } \mathrm{or}(F_{i+1}), \] de \(n+1\) failles orientées et de \(n\) homéomorphismes de recollement, le cas \(n = 2\) étant écrit à la page 8.

10–13

Existence, et conditions sur les lieux (pages 10 à 13)

Quels espaces portent une faille

Un espace compact triangulé admet une structure de faille réduite si et seulement s'il est connexe et non réduit à un point.

« C'est gros ! », dit la page, et c'est juste²⁰ . La page ajoute qu'il y en a alors une infinité, et que la structure est unique pour le segment, et pour lui seul. La seconde affirmation est exactement le théorème de caractérisation de l'arc : un continu métrique qui a exactement deux points de non-coupure est un arc. La première demande une réserve : un arbre fini à \(k\) feuilles n'a que \(k(k-1)/2\) structures de faille réduite, une par paire de feuilles²¹ .

Deux essais retirés

La page considère la relation d'équivalence entre structures de faille orientée sur \(X\) engendrée par : \((A,B) \sim (A',B')\) si \(A \subset A'\) et \(B \subset B'\). Elle affirme d'abord que si \((X, \{A,B\})\) est une faille et \(A \subset A'\), \(B \subset B'\) sont fermés, régulièrement immergés et disjoints, alors \((X, \{A',B'\})\) est une faille — et barre l'énoncé, avec en marge « Faux ! idiot ! » : grossir un bout peut déconnecter le complémentaire de l'autre. Elle affirme ensuite que deux structures de faille orientée sur un \(X\) triangulé sont toujours équivalentes, et note en marge « Faux (cas orienté !) déjà dans le cas des segments ! ». En effet, sur \([0,1]\), chaque pas de la relation garde \(0\) dans l'origine ; les orientations \(([0,\alpha], [\beta,1])\) et \(([\beta,1], [0,\alpha])\) ne sont pas équivalentes.

Imposer une propriété aux bouts et aux lieux

On peut exiger de \(A\), \(B\) et des lieux une propriété \(P\) intrinsèque — être connexes, contractiles, homéomorphes à un espace donné — et ne considérer que l'ensemble \(\mathcal{L}_{P}\) des lieux qui la possèdent. Pour que \(\mathcal{L}_{P}\) garde les propriétés a) à c) de la page 9, il est bon d'imposer \(P\) aussi aux bords \(S_{A}\), \(S_{B}\) des voisinages coniques des bouts, et, pour un lieu intérieur \(C\), aux bords de ses voisinages coniques dans \(X_{A,C}\) et dans \(X_{B,C}\). Exemples :

1. 1)Être réduit à un point. On retrouve la théorie des segments topologiques ordonnés : les lieux sont les points intérieurs, l'ordre est celui du segment.
2. 2)Être homéomorphe à \(B^{n-1}\)²² . On trouve la théorie de la décomposition de \(I \times B^{n-1} \simeq B^{n}\), de bouts \(\{0\} \times B^{n-1}\) et \(\{1\} \times B^{n-1}\), par des lieux homéomorphes à \(B^{n-1}\) ; ou, en contractant les bouts, d'une boule munie de deux points de son bord.
3. 3)Être homéomorphe à \(S^{n}\). Sur \(S^{n+1}\) munie de deux points distincts \(a\), \(b\), on trouve la théorie de la décomposition par des sphères \(S^{n}\) ; pour \(n = 0\), un cercle coupé par des paires de points.

On peut enfin exiger qu'un lieu intérieur \(C\) ait un voisinage homéomorphe à \(C \times {]-1,1[}\), avec \(C = C \times \{0\}\), et les deux « rives » \(C \times {]-1,0[}\) et \(C \times {]0,1[}\) contenues respectivement dans \(X_{A,C}\) et \(X_{B,C}\). C'est la notion de plongement bicollier²³ .

14–15

Rives et bi-rives (pages 14 et 15)

Cette partie ouvre, le 7 juin, un deuxième paragraphe intitulé « Boucle topologique »²⁴ .

Pour un espace \(Z\), soit \[ \mathrm{Comp}(Z) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(Z, \{0,1\}) = \Gamma(Z, \mathbf{F}_{2,Z}), \] l'anneau booléen des parties ouvertes et fermées de \(Z\). Pour une partie fermée \(A\) de \(X\), d'ouvert complémentaire \(j : U = X \smallsetminus A \hookrightarrow X\), on pose \[ \mathrm{Riv}(A,X) = \varinjlim_{V \supset A} \mathrm{Comp}(V \smallsetminus A) = \varinjlim_{V \supset A} \Gamma(V, j_{*}\mathbf{F}_{2,U}), \] la limite inductive portant sur les voisinages \(V\) de \(A\)²⁵ . Ses éléments sont les rives de \(A\) : des germes, le long de \(A\), de parties ouvertes et fermées de \(X \smallsetminus A\).

Si \(A\) est régulièrement immergé, les \(W_{t} \smallsetminus A \simeq S_{A} \times {]0,t]}\) sont cofinaux, et \[ \mathrm{Riv}(A,X) \simeq \mathrm{Comp}(S_{A}). \]

Si \(X\) est paracompact, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(X\) et tout fermé \(A\), \(\Gamma(A, \mathcal{G}|_{A}) = \varinjlim_{V \supset A} \mathcal{G}(V)\)²⁶ .

Le découpage. Soit \(\widetilde{A} \to A\) le spectre de Stone relatif du faisceau d'anneaux booléens \((j_{*}\mathbf{F}_{2,U})|_{A}\) : au-dessus de \(x \in A\), ses points sont ceux du spectre de la fibre, c'est-à-dire, grossièrement, les côtés de \(X \smallsetminus A\) au voisinage de \(x\)²⁷ . On a \[ \mathrm{Comp}(\widetilde{A}) \simeq \Gamma(A, (j_{*}\mathbf{F}_{2,U})|_{A}), \] d'où une application canonique \[ (*) \qquad \mathrm{Riv}(A,X) \longrightarrow \mathrm{Comp}(\widetilde{A}), \] toujours injective, et bijective si \(X\) est paracompact²⁸ . Dans ce cas, choisir une rive, c'est choisir une partie ouverte et fermée de \(\widetilde{A}\). On pense à \(\widetilde{A}\) comme au bord de l'espace obtenu en coupant \(X\) le long de \(A\) : pour une hypersurface bilatère, \(\widetilde{A} = A \times \{\pm 1\}\) ; pour l'âme d'un ruban de Möbius, \(\widetilde{A}\) est le revêtement connexe de degré 2 du cercle.

Définition (page 15). Une bi-rive de \(A\) est une paire \(\beta = \{\rho, \rho'\}\) d'éléments de \(\mathrm{Riv}(A,X)\) tels que \(\rho + \rho' = 1\) — une décomposition en deux morceaux de \(X \smallsetminus A\) au voisinage de \(A\). Elle est triviale si \(\{\rho, \rho'\} = \{0,1\}\). On dit que \(A\) déconnecte localement \(X\) s'il existe une bi-rive non triviale.

Dans un anneau booléen, \(\rho = \rho'\) et \(\rho + \rho' = 1\) imposent \(1 = 0\), ce qui arrive seulement si \(A\) est ouvert ; une bi-rive a donc deux éléments distincts dès que \(A\) n'est pas ouvert²⁹ . Une bi-rive découpe \(\widetilde{A} = \widetilde{A}_{1} \sqcup \widetilde{A}_{2}\). Pour une hypersurface bilatère connexe, \(\mathrm{Riv}(A,X)\) a quatre éléments, \(0\), \(1\) et les deux côtés, qui forment une bi-rive non triviale. L'âme \(A\) du ruban de Möbius coupe le ruban en deux près de chacun de ses points, mais le bord de son voisinage tubulaire est un cercle connexe : \(\mathrm{Riv}(A,X) = \{0,1\}\), et il n'y a pas de bi-rive non triviale. C'est une hypersurface unilatère.

16–18

Mailles (pages 16 à 18)

Soit \(A\) fermé dans \(X\) et \(\beta = \{\rho, \rho'\}\) une bi-rive. On note \(\widetilde{X}\) l'espace \(X\) coupé le long de \(A\), qui contient \(\widetilde{A}\) et s'envoie sur \(X\) en envoyant \(\widetilde{A}\) sur \(A\)³⁰ . On contracte ensuite chacune des deux moitiés \(\widetilde{A}_{1}\), \(\widetilde{A}_{2}\) sur \(A\) : \[ \overline{X} = \mathrm{Dec}_{\beta}(A, X) = \widetilde{X} \amalg_{\widetilde{A}_{1}} A \amalg_{\widetilde{A}_{2}} A . \] C'est le découpage de \(X\) par \(\beta\). Il contient une partie canoniquement isomorphe à \(A \times \beta\), réunion de deux copies \(A_{\rho}\), \(A_{\rho'}\) de \(A\), et l'application \(\overline{X} \to X\) induit un homéomorphisme \[ \overline{X} \smallsetminus (A_{\rho} \cup A_{\rho'}) \xrightarrow{\ \simeq\ } X \smallsetminus A \] et, sur \(A \times \beta\), la projection \(A \times \beta \to A\).

Définition (pages 16 et 17). On dit que \((A, \beta)\) définit sur \(X\) une structure de maille de nœud \(A\) et de bi-rive \(\beta\) si \((\overline{X}, \{A_{\rho}, A_{\rho'}\})\) est une faille topologique. Orienter la maille, c'est orienter cette faille, c'est-à-dire choisir \(\rho\) ou \(\rho'\).

La page 16 formulait d'abord la condition sur \((\widetilde{X}, \{\widetilde{A}_{1}, \widetilde{A}_{2}\})\), avec « \(A\) régulièrement immergé dans \(X\) », en notant que \(\widetilde{A}\) l'est alors dans \(\widetilde{X}\)³¹ . Une maille est ainsi un espace obtenu en recollant les deux bouts d'une faille par un homéomorphisme : le cercle, obtenu d'un segment ; l'anneau, obtenu d'un carré en recollant deux côtés opposés, de nœud un rayon. En termes actuels, le nœud d'une maille est une hypersurface bilatère non séparante³² .

Deux mailles compatibles

Soient \((A_{1}, \beta_{1})\) et \((A_{2}, \beta_{2})\) deux structures de maille sur \(X\), \(\beta_{i} = \{\rho_{i}, \rho'_{i}\}\). On dit qu'elles sont compatibles si :

1. a)\(A_{1} \cap A_{2} = \emptyset\), de sorte que \(A_{2}\) s'identifie à une partie de \(\overline{X}^{(A_{1}, \beta_{1})} \smallsetminus A_{1} \times \beta_{1}\) ;
2. b)\(A_{2}\) est un lieu de la faille \(\overline{X}^{(A_{1}, \beta_{1})}\) ;
3. c)si \(U\) et \(V\) sont les deux parties de \(\overline{X}^{(A_{1},\beta_{1})} \smallsetminus (A_{1} \times \beta_{1} \cup A_{2})\) que découpe ce lieu, la paire \(\{U, V\}\) définit à la fois la bi-rive \(\beta_{1}\) de \(A_{1}\) et la bi-rive \(\beta_{2}\) de \(A_{2}\)³³ .

Le croquis de la page 17 est un anneau coupé par deux rayons, l'un en haut de nœud \(A\), l'autre en bas, les deux moitiés étant \(U\) et \(V\). La page 18 affirme que cette condition est en fait symétrique en les deux nœuds \((A_{i}, \beta_{i})\), et le texte s'arrête là³⁴ .