Fonds Grothendieck, cote n° 156-1, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
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https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)156-1
[Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
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le seul enregistrement.1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/156-1.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
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conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
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par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
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(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
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faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Vers une géométrie des formes (topologiques)
titre de sa main, en tête de la page 1, que sa pagination numérote « 1 » ; dans l'angle supérieur gauche, séparé par un trait, « GF I ». Sous le titre, entre parenthèses et souligné, « (Juin 86) », le 6 récrit sur un 5. Les pages 1 et 2 sont barrées chacune d'un long trait oblique : c'est une première mouture, reprise à la page 3
(5 juin) Approche vers une construction récurrente (sur l'entier naturel n) d'une « géométrie des formes de dimension \leq n ».
Une « forme de dim 0 » sera par définition un ensemble discret dont les éléments sont appelés les « lieux » de la forme.
Un modèle d'une forme de dim 0 sera un ensemble \mathcal{L} (« lieux ») muni d'équivalence (« ») « disjoints »). i.e. modèle est l'uniquenote oblique dans la marge gauche, à quarante-cinq degrés environ, entremêlée aux débuts de lignes du texte ; en partie seulement lue
Un tel modèle \mathfrak{X} comporte
Forme Modèle de dimension 1
Un ensemble des « lieux » de la forme, \mathcal{L}.Un sous-ensemble \mathcal{L}_0 de \mathcal{L}, formé des lieux dits « critiques » ou « de branchement ».Une relation symétrique« symétrique » est écrit au-dessus de la ligne dans \mathcal{L} (i.e. R \subset \mathcal{L} \times \mathcal{L}) « x et y sont disjoints », impliquant la relation « x et y sont distincts ».Une relation symétrique plus fine « x et y sont adjacents »Une ensemble de parties de \mathcal{L}, appelés« segments » relation plus fine encore « x est s (non nécessairement symétrique) « x est spécialisation de y » (qui implique que x est critique, et y n'est pas critique).Un ensemble S, de parties de \mathcal{L}dont les éléments, \mathfrak{X}, des segmentsappelés « segments » Pour tout segment , I, deux parties \delta I de
les numéros 1, 2, 5, 6, 7 sont cerclés, 3 et 4 ne le sont pas. En (5), « S » est écrit au-dessus de « relation » ; en (6)–(7), plusieurs ajouts interlinéaires barrés se chevauchent et la lecture de leur ordre est incertaine
deux éléments de \mathcal{L}, appelés « extrémités » du segment (adjacents l'un de l'autre)
Une partie \widetilde{I} de \mathcal{L} (l'ens. des lieux dits « sur le segment ») contenant \delta I.
NB 1) Si x, y \in \mathcal{L}, alors x, y sont adjacents ssi \exists\, I \in S tel que \{x,y\} = \delta I. Donc, la donnée (4) est inutile résulte des autres (dans 7) il faut dire que si \delta I = \{x,y\}, x et y sont disjoints…)
2) Je présume que si x, y \in \mathcal{L} sont adjacents, il y aura au plus deux segments I tels que \delta I = \{x,y\}. (Il y en aura effectivement deux ssi x, y appartiennent à un anneau : une « composante connexe » de \mathfrak{X} qui est un (modèle d'un) cercle.
3) Je ne sais s'il faut supposer que I est connu quand on connaît \delta I et \widetilde{I}, i.e. si on peut considérer S \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \times \mathfrak{P}(\mathcal{L}).
Axiomes
(au vrai) On dit que la forme est de dim. 0définie par lala ligne barrée porte, au-dessus, un ajout lui-même barré
Dans \mathcal{L}_0, la relation « x et y ne sont disjoints » est une relation d'équivalence.entre « sont » et « disjoints », un signe barré qui ressemble à \neq
L'ensemble critiques, ou pts quotient appelé l'ens. des points(de branchement) de la forme.
( (NB plusieurs lieux critiques différents peuvent définir le même point critique)
p. 2 de sa paginationDeux Un ensemble \mathcal{L} (
Deux ensembles de base \mathcal{L} (ensemble des lieux du modèle) et S (ensemble des segments du modèle)l'indice de \mathcal{L} est surchargé et n'a pas été luUne application S \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}), I \mapsto \widetilde{I} (lieux sur un segment) — i.e. une relation entre S et \mathcal{L}.Une application \partial : S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}), I \mapsto \partial I, telle que \partial I \subset \widetilde{I}.
+ axiomes
NB J'ignore s'il faut supposer que I est connu quand on connaît \widetilde{I} et \partial I, i.e. s'il faut supposer I \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \times \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) injectif.
7.6. On va supposer que I est connu quand on connaît \widetilde{I}, i.e. identifier I à \widetilde{I}, et S à un sous-ensemble de \mathfrak{P}(\mathcal{L})note oblique dans la marge gauche, datée « 7.6. » ; elle est reliée au texte par une accolade
Si I est un segment, les éléments de \partial I sont appelés ses extrémités, et ceux de \widetilde{I} \smallsetminus \partial I(\overset{\text{déf}}{=} \mathring{\widetilde{I}}) les lieux intérieurs au segment.l'ajout interlinéaire, relié par une flèche, est en partie surchargé ; la lecture \mathring{\widetilde I} s'appuie sur la notation \widetilde I^{\circ} de la page suivante
Un lieu est dit régulier s'il est intérieur (au moins) à un segment, singulier ( ou critique, ou lieu de branchement) sinon.
\mathcal{L}_r = \bigcup_{I \in S} (\widetilde{I} \smallsetminus \partial I), \qquad \mathcal{L}_s = \mathcal{L} \smallsetminus \mathcal{L}_r
Ainsi, pour tout I \in S, on a
\widetilde{I} \cap \mathcal{L}_s \subset \partial I
p. 3 de sa pagination
Soient x, y \in \mathcal{L}, on dit que y est une spécialisation de x si \exists a) y est singulier, et b) \exists\, I \in S tel que x \in \widetilde{I}^{\circ}, y \in \partial I.
Axiomes
à partir d'ici, presque toute la page est annulée : un grand X la traverse, et le bas est en outre haché de traits obliques ; on transcrit ce qui se lit sous ces traits
Soit I \in S, alors \exists\widetilde{I}^{\circ} (\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{I} \smallsetminus \partial I) est non vide, et si z \in \widetilde{I}^{\circ}, \exists\partial I = \{x,y\}, \exists !\, I_{x,z} \in S, I_{y,z} \in S tels que
\widetilde{I}_{x,z},\ \widetilde{I}_{y,z} \subset \widetilde{I}, \qquad \partial I_{x,z} = \{x,z\}, \quad \partial I_{y,z} = \{y,z\}
De plus, on a alors
\widetilde{I}_{x,z} \cap \widetilde{I}_{y,z} = \{z\}
décomposition des segmentsdécomposition des segmentsMais attention, il dire \widetilde{I} = \widetilde{I}_{x,z} \cup \widetilde{I}_{y,z} !!!Apparemment : \forall\, J \in S tel que \widetilde{J} \subset \widetilde{I}, \partial J \ni z, on a \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z}\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}les trois premières notes sont obliques dans la marge gauche, la deuxième soulignée deux fois ; la quatrième est serrée dans la marge droite, au niveau de « De plus »
Soient x, y lieux singuliers.Soient I \in S, et \Phi \in \widetilde{I}^{\circ}.Alors, Si existe I \in S tel que x, y \in \widetilde{I}^{\circ}, alors\existsI' \in S tel que a) x,\Phi \in \widetilde{I}'^{\circ}, b) \widetilde{I}' \subset \widetilde{I}^{\circ}.
l'énoncé primitif portait sur deux lieux singuliers x, y ; il est récrit en interligne avec \Phi et un segment I. Le « 2 » de F_2 est lui-même barré d'un trait oblique
Corollaire 1\widetilde{I} est infini
Corollaire 2 Si S \neq \emptyset, S est infini \widetilde{J} \subset \widetilde{I} (car l' des J \in S tels que \widetilde{J} \subset \widetilde{I} infini…)
(Réciproque de F_1) Soient I', I'' \in S, tels que
\widetilde{I}' \cap \widetilde{I}'' = \struck{\ill{}}, \qquad \partial I' \cap \partial I'' = \{z\},
avec zrégulier. Alors \exists !\, I \in S, tel que \widetilde{I}' \cup \widetilde{I}'' \subset \widetilde{I} et \partial I = (\partial I' \cup \partial I'') \smallsetminus \{z\}, et on a I' = I_{x,z}, I'' = I_{y,z}.
recollement des segmentsFiltration
(F_3) Soit si \partial I' = \{x,z\}, \partial I'' = \{y,z\}, tels que x \neq \ill{}bien filtrant : \exists\, I tel que x \in \widetilde{I}^{\circ} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ} si x \in I'^{\circ} \cap I''^{\circ}deux lignes et demie de variantes interlinéaires, barrées, qui semblent énoncer une condition de filtration ; l'ordre des fragments n'est pas sûr
Soit I \in S, \Phi partie finie de \widetilde{I}^{\circ}. Alors \exists\, I' \in S tel que \widetilde{I}^{\circ} \supset \widetilde{I}' \supset \Phi.
Il en résulte qu'il existe I\widetilde{I} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}x \in \widetilde{I}^{\circ}note serrée dans le coin inférieur droit, en partie sous les hachuresdevant ce F_2, un premier numéro est barré
p. 4 de sa pagination. Nouvelle mouture
Modèle d'une forme 1-dimensionnelle
\mathcal{L}, ensemble des « lieux »
S, ensemble des « segments »un trait horizontal tient lieu de « ensemble des »
\begin{array}{lll}
S \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}), & I \mapsto \widetilde{I} & (\widetilde{I}\text{, ens. des lieux \emph{sur} le segment } I) \\
S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) & I \mapsto \partial I & (\partial I\text{, ens. des deux lieux \emph{extrémités} de } I)
\end{array}
avec \partial I \subset \widetilde{I}
Soient I \in S, \partial I = \{x,y\}. Alors [Soit S_{I,x} l'ens. des J \in S tels que \widetilde{J} \subset \widetilde{I}, \partial J \ni x, et soit S_{I,x} \to \widetilde{I} \smallsetminus \{x\} défini par J \mapsto z tel que \partial J = \{x,z\}. Cette application est bijection, i.e.] \forall\, z \in \widetilde{I} \smallsetminus x, \exists !\, J \in S, soit I_{x,z}, tel que \widetilde{I}_{x,z} \subset \widetilde{I}, \partial I_{x,z} = \{x,z\}
axiome de divisibiliténote verticale dans la marge gauche, en face du crochet, qu'une accolade relie au passage
NBI_{x,y} = I_{y,x} = I
De plus,
Soit I \in S, alors si z \in\widetilde{I}^{\circ} \neq \emptyset, et si z \in \widetilde{I}^{\circ}(i.e. z \in \widetilde{I} \smallsetminus \{x,y\}),
\widetilde{I}_{x,z} \cap \widetilde{I}_{y,z} = \{z\}.
Et si J \in S est tel que \widetilde{J} \subset \widetilde{I}, z \in \partial J, on a
\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z} \quad\text{ou}\quad \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}.
(F.C.) Faire de divisibiliténote oblique dans la marge gauche ; un ajout barré, « \neq \emptyset », y est relié par une flèche
Cor. 1\forall\, I \in S, \widetilde{I}^{\circ} est infini [découle de la condition de divisibilité]le « \forall » est marqué d'un astérisque
Cor. 2 Dans F2), les relations \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z} et \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z} s'excluent l'une l'autre
Cor 3 Soit I \in S, S_I = \lbrace J \in S \mid \widetilde{J} \subset \widetilde{I} \rbrace, et
S_I \to \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}), \qquad J \mapsto \partial J.
Alors cette a) cette application est injective b) Son image contient les \varepsilon \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}) tels que \varepsilon \cap \partial I \neq \emptyset.
p. 5 de sa pagination
c) Si \{u,v\} \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}) tel que \{u,v\} \cap \partial I = \emptyset (i.e. \{u,v\} \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}^{\circ})) alors conditions équivalentes \exists\, J \in S_I tel que \partial J = \{u,v\}
On a v \in \widetilde{I}_{x,u}ouv \in \widetilde{I}_{y,u}On a u \in \widetilde{I}_{y,v} ou u \in \widetilde{I}_{x,v}
la première condition ne porte pas de numéro lisible ; le mot entre « 2) On a v \in \widetilde I_{x,u} » et « v \in \widetilde I_{y,u} » est souligné deux fois
[NB on sait donc que u et v sont des lieuxdisjoints sur le segment Iy reviendra…]
Cor. 4 Si \widetilde{I} = \widetilde{J} alors I = J [Donc on peut identifier S à une partie de \mathfrak{P}(\mathcal{L})]
NBu \in \widetilde{I}_{x,u} \Leftrightarrow u \in \widetilde{I}_{y,v} \Leftrightarrow u \in \widetilde{I}_{x,w}dans le coin supérieur gauche, plusieurs lignes obliques de formules, la plupart raturées ou hachurées ; seule la première est à peu près lue
Soient I, J \in S, tels quex \in \partial I \cap \partial J.« x \in I » est écrit au-dessus, relié par un trait Alors, ou bien \exists\, z \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ} tel que I_{x,z} = J_{x,z}, ou bien\existsu \in \widetilde{I}^{\circ}, v \in \widetilde{J}^{\circ} tels que I_{x,} l'on ait
\left\lbrace
\begin{array}{l}
I_{x,u} = J_{x,v} \quad (\text{donc } u = v \text{ et } u = v \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ}) \\
\underline{\underline{\text{ou}}} \quad \widetilde{I}_{x,u} \cap \widetilde{J}_{x,v} = \{x\}
\end{array}
\right.
devrait plutôt u \in I \smallsetminus \{x\}, v \in J \smallsetminus \{x\} (sinon par condition de divisibilité)Axiome des branchesla première note est à droite, sous « v \in \widetilde J^{\circ} », qu'elle souligne ; la seconde, oblique et soulignée deux fois, dans la marge gauche en face de F 3. Plus bas à droite, un court passage relié par une flèche, avec un I_x, est haché et n'est pas lu
NB Ces deux relations \widetilde{I}_{x,u}^{\circ} \cap \widetilde{J}_{x,v}^{\circ} \neq \{x\}ajout interlinéaire, relié par une flèche, lu en partie s'excluent mutuellement.
La première, La condition \exists\, z \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ} tel que I_{x,z} = J_{x,z}la condition est écrite en interligne, avec des indices surchargés est une relation d'équivalence(R_x) dans l'ensembleS_x des segments I \in S tels que x \in \partial I. L'ensemble quotient
B_x = S_x / R_xs'appelle l'ens. des branches en x, son cardinal l'ordre de x. Ordre 0 :
Il manque (6) de F3 à partir de (F'_3) : Soit I \in S, u, v \in \widetilde{I}^{\circ}, alors \exists\, w \in \widetilde{I}_{x,w}note oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée ; « 6 » et « F'_3 » y sont cerclés. Plus haut dans la même marge, deux autres fragments obliques ne sont pas lus
p. 6 de sa pagination
lieu isolé, ordre 1 : lieu-bout.
Ordre fini.
Point régLieu
Lieu régulier x : \exists\, I \in S t.q. x \in \widetilde{I}^{\circ}.
\mathcal{L} \smallsetminus \mathcal{L}_r = \mathcal{L}_s lieux singuliers, ou critiques, ou de branchement.
Soient I', I'' \in S, z \in \mathcal{L}, tels que
\widetilde{I}' \cap \widetilde{I}'' = \partial I' \cap \partial I'' = \{z\}, \quad \text{avec } z \text{ \emph{régulier}.}
Posons \partial I' = \{x,z\}, \partial I'' = \{y,z\}. Alors \exists !\, I \in S tel que \widetilde{I} \supset \widetilde{I}' \cup \widetilde{I}'' (on al'égalité !) et \partial I = \{x,y\} [donc on a, cf. F1, I' = I_{x,z}, I'' = I_{y,z}]
Axiome de recollementnote oblique dans la marge gauche, soulignée
Cor 1« Cor 1 » est écrit au-dessus d'un mot haché Soit I \in S, x \in \partial I \cap \mathcal{L}_r (xrégulier), x \in \partial JAlors \exists\, J \in S tel que \widetilde{J} \cap \widetilde{I} = \ill{} \{x\}. Posons \partial I = \{x,y\}. Alors \exists\, J \in S, tel que \widetilde{J} \supset \widetilde{I}, et \partial J = \{y',y\} avec y' \neq xy' \neq yla fin de la ligne, « avec y' \neq x », est surchargée ; la lecture reste incertaine i.e.
\partial J \cap \partial I = \{y\} \qquad (\text{et } x \in \widetilde{J}^{\circ})
(On utilise F_1, F_2 pour conclure que l'ordre de x est \geq 2, puis F 3) pour trouver K \in S avec \widetilde{K} \cap \widetilde{I} = \partial K \cap \partial I = \{x\}, puis on applique F_4)
Ind. d'unenote oblique dans le coin inférieur gauche, en partie barrée, non lue
p. 7 de sa paginationCor. 2 Soit I \in S tel que \partial I \subset \mathcal{L}_r. Alors \exists\, J \in S tel que \widetilde{I} \subset \widetilde{J}^{\circ}.
poursegmentsà extrémités singulièresnote oblique dans le coin supérieur gauche, deux lignes barrées ; lecture très incertaine
L'ordre d'un lieu régulier (on sait qu'il est \geq 2) est égal à deux.
Équivalent à :
Soit x \in \mathcal{L}_r, et considérons les \widetilde{I}^{\circ} (I \in S) tels que x \in \widetilde{I}^{\circ} ; ceux-ci forment une base de filtre , si I', I'' \in S tels que x \in \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}, \exists\, I \in S tel que
x \in \widetilde{I}^{\circ} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}
(NB\Longrightarrow\widetilde{I} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}).
Axiome des deux lieux réguliers(l'ordre considérés () F'_5) (F.G.) si on les[0,1] F_2) F_5) la marge gauche, en face de F_5 et F'_5, est couverte de six ou sept lignes obliques très serrées, dont seuls quelques mots sont lus ; le premier titre y est souligné. Le numéro de F'_5 est récrit sur un autre
Remarque Soit S_0 \subset S, et soit
\mathcal{L}' = \bigcup_{I \in S_0} \widetilde{I}, \qquad S' = \lbrace I \in S \mid \widetilde{I} \subset \mathcal{L}' \rbrace
(donc S' \supset S_0). On a donc
\begin{array}{ll}
S' \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}') & I \mapsto \widetilde{I} \\
S' \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}') & I \mapsto \partial I
\end{array}
Les axiomes F_1) à F_5) sont-ils satisfaits ?
la remarque est traversée de deux longs traits obliques
p. 8 de sa paginationRemarques 1) L'ens. des axiomes F1 à F5 est trivialement satisfait si S = \emptyset (i.e. si \mathcal{L}_r = \emptyset i.e. tous les lieux sont singuliers). Alors la structure envisagée se réduit à celle d'un ens. \mathcal{L}. On sera amené tantôt d' dans la structure, en introduisant (dans le cas général) une relation d'équivalence sur \mathcal{L}_s…
2) Soit \mathcal{L}' \subset \mathcal{L}, partie quelc. de \mathcal{L}, et soit S' = \lbrace I \in S \mid \widetilde{I} \subset \mathcal{L}' \rbrace. On a donc
\begin{array}{ll}
S' \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}'), & I \mapsto \widetilde{I} \\
S' \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}'), & I \mapsto \partial I .
\end{array}
Ceci dit, pour cette structure, (\mathcal{L}', S') est un modèle de forme de dim 1, i.e. les axiomes F_1–F_5 sont satisfaits.
Cas particulier : soit I \in S, \mathcal{L}' = \widetilde{I}, alors S' est l'ens. S_I des segments tels que \widetilde{I} \subset I, et s'identifie donc à une partie de \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}').
« \widetilde I \subset I » est tel sur la page ; on attend \widetilde J \subset \widetilde I. « S_I » est écrit au-dessus de la ligne
Un modèle est dit modèle-segment si \exists\, I \in S tel que \widetilde{I} = \mathcal{L}. Alors [Alors \mathcal{L}_r = \widetilde{I}^{\circ} = \mathcal{L} \smallsetminus \partial I.] Cet I est unique. Choisissons un x_0 \in \partial I, soit x_1 l'autre élément de \partial I. Je vais définir une relation d'ordre sur \mathcal{L}. Je dis que pour
à partir d'ici jusqu'à « c'est immédiat », le passage est cerné d'un trait et barré de plusieurs longues obliques
x \preccurlyeq y six \preccurlyeq y ssi x \preccurlyeq y ou [x_0,x] \cap [y,x_1] = \ill{}y \in [x,x_1] (mutuellement exclusif)
où on a posé
[x_0,x] = \widetilde{I}_{x_0,x}, \qquad [y,x_1] = \widetilde{I}_{x_1,y}.
Prouvons la transitivité
x \preccurlyeq y,\ y \preccurlyeq z \Longrightarrow x \preccurlyeq zOPS x \neq y, y \neq z i.e.
y \in [x,x_1] \text{ et } z \in [y,x_1] \Longrightarrow z \in [x,x_1]
i.e. [y,x_1] \subset [x,x_1] c'est immédiat,…
NBy \in [x,x_1]équivautx \in [x_0,y]
\mathcal{L} Cette relation est
Proposition Soient x, y \in \mathcal{L}. Conditions équivalentes
y \in [x,x_1][y,x_1] \subset [x,x_1]x \in [x_0,y][x_0,x] \subset
la dernière ligne s'arrête là. À droite, en face de l'énoncé, une définition :[x,x_1] \overset{\text{déf}}{=}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\widetilde{I}_{x_1,x} & \text{si } x \neq x_0, x_1 \\
\widetilde{I} & \text{si } x = x_0 \\
\{x_1\} & \text{si } x = x_1
\end{array}
\right.le membre de gauche n'est pas écrit : la définition est rattachée par « \overset{\text{déf}}{=} » à la condition (i) ; nous restituons [x,x_1]. Deux traits obliques traversent aussi ce bas de page
p. 9 de sa pagination Notations pour x \in \mathcal{L}[x_0,x] = \left\lbrace
\begin{array}{ll}
\{x_0\} & \text{si } x = x_0 \\
\mathcal{L} = \widetilde{I} & \text{si } x = x_1 \\
\widetilde{I}_{x_0,x} & \text{si } x \in \widetilde{I}^{\circ} = \mathcal{L} \smallsetminus \{x_0,x_1\}
\end{array}
\right.
On définit de même
[x,x_1] = \lbrace \cdots
(en échangeant les rôles de x_0, x_1)
Proposition Soient x, y \in \mathcal{L}. Conditions équivalentes
Si on désigne par
x \preccurlyeq y
cette relation en x, y, on trouve une relation de préordre [évident sur (i) ou (i bis)] et même d'ordre (puisque [x_0,x] = [x_0,y]\widetilde{I}_{x_0,x} = \widetilde{I}_{x_0,y}d'où x = y si les deux sont réduits à x_0, ou bien \widetilde{I}_{x_0,x} = \widetilde{I}_{x_0,y} d'où en passant aux \partialx = y)
« ou bien x = x_0, y = x_0 » est écrit au-dessus de la ligne, à droite
p. 10 de sa pagination
Cette relation d'ordre a un plus petit élément, x_0, et un plus grand élément, x_1. Elle permet de reconstituer la structure de modèle de 1-forme. En effet, l'ens. des segments ests'identifie à l'ens. des couples \{x,y\} tels que x < y, et pour un tel segment I_{x,y}, on a
\widetilde{I}_{x,y} = \lbrace z \in \mathcal{L} \mid x \leq z \leq y \rbrace, \qquad \partial I_{x,y} = \{x,y\}
Cette relation d'ordre est « infiniment divisible » i.e. si x, y sont tels que x < y, \exists\, z tel que x < z < y. Elle est localement filtrante décroissante, i.e. si x < y_1, y_2\exists\, y tel que x < y \leq y_1, y_2, et filtrante croissantela fin de cette phrase, surchargée d'ajouts interlinéaires, est lue en partie ; un astérisque renvoie à la note marginale (et loc. bifiltrante sur \mathcal{L}), relation d'ordre divisible, un plus petit élément x_0 et un plus grand élément x_1, définit (avec la notion précédente de segment I_{x,y} et la description de \widetilde{I}_{x,y} et \partial I_{x,y})
* Mais si x < z < y alors \widetilde{I}_{x,z} \subset \widetilde{I}_{x,y} F_3) \exists\, \ill{} \in \widetilde{I}note oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée, reliée par une flèche au texte ; lecture fragmentaire
p. 11 de sa pagination, à peine visible
une structure de modèle de 1-forme, et plus précisément, de 1-segment, avec \partial\mathcal{L} = \{x_0,x_1\}.
Si on échange les rôles de x_0, x_1 (i.e. choisit une autre « origine » du modèle de segment), alors la relation d'ordre est remplacée par son opposée (NB les conditions de divisibilité et de bifiltration loc. sont autoduales). Ainsi une structure de modèle de segment équivaut à une structure de biordre (paire d'ordres opposés) qui soit telle que pour chacun (ou l'un) des ordres qui la composent, il y ait un plus petit et plus grand élément distincts l'un de l'autre (i.e. \operatorname{Card} \mathcal{L} > 1 — en fait, \operatorname{card} \mathcal{L} = \infty), divisible, et localement filtrante et cofiltrante.
p. 12 de sa paginationOrientation du segment : choix d'une des extrémités, ou encore, d'un des deux ordres qui définit la structure de segment.
un court trait horizontal sépare ce qui suit
[Application aux modèles réguliers i.e. tels que \mathcal{L} = \mathcal{L}_r]. Considérons la relation sur \mathcal{L}, en x, y\exists\, I \in S \text{ tel que } x, y \in \widetilde{I}
[en vertu du cor. 2 à F_4), si \mathcal{L} = \mathcal{L}_r, cela équivaut à
\exists\, I \in S \text{ tel que } x, y \in \widetilde{I}^{\circ}\ ].
Cette relation est réflexive et symétrique. Considérons la relation d'équivalence engendrée. L'ens. des classes d'équivalence est noté \pi_0(\mathfrak{X}) (composantes connexes). On a une notion évidente de somme disjointe de modèles de 1-formes, et on voit que toute 1-forme s'identifie
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à la somme disjointe de ses comp. connexes. Si \mathfrak{X} = (\mathcal{L}, S, \partial) est régulier, et ses comp. connexes le sont. Donc l'étude des modèles \mathfrak{X} réguliers est se ramène à celle des modèles réguliers connexes.
sous S, un « \cap » renvoie à « \mathfrak{P}(\mathcal{L}) » : S \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L}) ; de même plus bas
Soit (\mathcal{L}, S, \partial : \struck{\ill{}}\, S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})), S \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L}), un modèle régulier connexe. On va définir un système transitif de bij. entre les \partial I (I \in S), et entre les B_x (x \in \mathcal{L}) et entre les uns et les autres. Soient I, J \in SSoitx \in \mathcal{L}, y \in \mathcal{L}.
Th On peut trouver, (de façon unique), un syst. transitif d'iso. entre les \partial I (I \in S) avec un quotient \omega_S, et un syst. transitif d'iso. entre les B_x (x \in \mathcal{L}), avec un quotient \omega_{\mathfrak{X}}, et une bijection \omega_S \simeq \omega_{\mathcal{L}} (soit \underline{\omega} le quotient) — donc un système d'iso. \underline{\omega} \simeq \partial I, \underline{\omega} \simeq B_x, de façon que ces conditions
dans la marge gauche, en face du théorème, un petit croquis : un arc portant un point épais et deux flèches dans le même sens. On garde \omega_{\mathfrak{X}} puis \omega_{\mathcal{L}} comme sur la page
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suivantes soient satisfaites
a) Si I \supset J des segments, et si x_0 \in \partial I, ou\Phi est un desdeux ordres canoniques sur I, alors \partial I \simeq \partial J fait correspondre l'unique y_0 \in \partial J dont y_0 = \ill{} est un des deux ordres qui soit le plus petit élément de [canonique sur J, alors \partial I \simeq \partial J ordre] associe au plus petit élément de I le plus petit élément de J (et idem pour le plus grand, par conséquent en remplaçant \Phi par l'ordre opposé)
les premières lignes de a) sont récrites plusieurs fois, en interligne et avec ratures ; l'ordre des fragments n'est pas sûr
b) Si I \in S, et si x_0 \in \partial I est le plus petit élément pour l' ordre canonique \Phi sur I, alors la x_0 \in \partial I correspond la branche en x_0 définie par I.
Il faut voir que la relation d'équivalence R définie dans
\coprod_{I \in S} \partial I \;\amalg\; \coprod_{x \in \mathcal{L}} B_x
par les relations élémentaires (a), (b)« (a) » et « (b) » cerclés, écrits au-dessus d'un « \rho_a, \rho_b » barré(I,x) \underset{(a)}{\sim} (J,y) \Longleftrightarrow J \subset I
et x et y se correspondent par le premier
(I,x) \underset{(b)}{\sim} (x, \beta(I,x))x \in \partial I est écrit sous chaque (I,x) ; sous \beta(I,x), souligné : « branche en x définie par I ». L'indice cerclé sous le premier \sim est surchargé, lu (a)
admet exactement deux classes, et que
p. 15 de sa pagination(les deux éléments de \partial I, I \in S (fixé), aboutissant à des classes distinctes (\Longleftrightarrowjetés par les deux éléments des B_x, x \in \mathcal{L}))ajout de deux lignes serrées en tête de page, lu en partie pas vérifier ici. Si c'était faux, il faudrait le mettre en axiome. S'il est vrai, il doit être immédiat que il y a le nb de classes est 1 ou 2.
On est arrivé L'ens. quotient \underline{\omega} est l'ens. des orientations de \mathfrak{X}. Ex. On a ainsi\mathfrak{X}orienté quand on a choisi w \in \underline{\omega}. Alors chaque I a une origine, et pour chaque x \in \mathcal{L}, on a un germe de segment issu de xou orienté« ou orienté » est écrit au-dessus, souligné, en fin de ligne et d'origine x (la branche sortant de x).
Considérons alors la relation x \prec y \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \bigl(\exists\, I \in S \text{ tel que } x \in \operatorname{or}(I),\ y \in \operatorname{ex}(I)\bigr)« \operatorname{or}(I) », « \operatorname{ex}(I) » : l'origine et l'extrémité du segment orienté, écrites l'une au-dessus de l'autre
Distinguons deux cas suivant que cette relation est transitive (cas linéaire) ou non (cas circulaire).
I) Relation x \prec y est transitive, donc la relationx \preccurlyeq y (\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}x = y ou x \prec y) est un préordre.
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Je dis que c'est un ordre i.e. qu'on ne peut avoir x \prec y et y \prec x (en effet, on aurait x \prec x, ce qui est faux, ou x \prec y implique x \neq y). Les segments sont les [x,y], pour x \prec y, et pour tel segment, son origine est x (pour l'orientation choisie) et son extrémité y. Ainsi, la structure de modèle connexe orienté de 1-forme régulier est connue quand on connaît la structure d'ordre. Celle-ci est satisfait les conditions : elle est str. filtrante croissante (i.e. \forall\, x, y \in \mathcal{L}, \exists\, z \in \mathcal{L} t.q. x, y < z) et str. filtrante décroissante, elle est str. loc. filtrante décroissante et loc. filtrante croissante (si x \leq y, z, \exists\, u tel que x \leq u \leq y, z, et de mêmedual)
donc n'a ni plus grand ni plus petit élémentimplique que c'est divisible, i.e. si x < y, \exists\, z avec x < z < ydeux notes obliques dans la marge gauche ; les formules de la parenthèse finale sont surchargées
Prouvons p. ex. qu'elle est str. filtrante croissante.
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Soit x, y \in \mathcal{L}. \exists chaîne x_0, x_1, \ldots, x_n avec x_0 = x, x_n = y et x_i, x_{i+1} \in \widetilde{I}_i^{\circ}. Quitte à répéter I_i, quitte à Posons y_i = \operatorname{or}(I_i), alors …
x_i \geqslant y_i \leqslant x_{i+1} \geqslant y_{i+1} \leqslant x_{i+2}les signes d'inégalité sont repassés et surchargés ; la lecture \geqslant, \leqslant alternés est incertaine
donc \mathcal{L} en tant que ens. ord. est connexe : on peut connecter deux éléments quelconques par une chaîne d'inégalités. On va raisonner sur la longueur. Si la chaîne est de longueur \leq 1, donc x \leq y il suffit de prouvernoter qu'il existe z avec y < z (prouvons de fait que y régulier…). Supposons qu'on ait prouvé pour n-1, \exists prouvons le pour n. On suppose donc \exists\, zx \underset{n-1}{\sim} z, \qquad z \underset{1}{\sim} y .
Par l'hypothèse de récurrence, \exists\, x' tel que x, z < x'. Si z \geq y alors x' > x, y on gagne. Si z \leq y la suite qu'on…
« \underset{n-1}{\sim} » : reliés par une chaîne de longueur n-1 ; un mot devant la formule n'est pas lu. La page s'arrête sur « la suite qu'on », sans suite lisible
p. 18 de sa pagination. En tête, un croquis d'ordre, sans flèches : z en bas, relié à y et à x' au-dessus de lui ; x' relié à x plus bas à droite ; au-dessus de y et de x', un « ? » relié à chacun par un pointillé
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& ? & & \\
y \arrow[ur, no head, dashed] & & x' \arrow[ul, no head, dashed] & \\
& z \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] & & x \arrow[ul, no head]
\end{tikzcd}
et il suffit de trouver t tel que t > x', y. Donc on est ramené à prouver ceci (filtration relative)
Si
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& v \\
u \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & \\
& w
\end{tikzcd}
on peut compléter en
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& v \arrow[dr, no head] & \\
u \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & t \\
& w \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}
les deux croquis sont redessinés d'après la page, où ils sont tracés en traits libres, sans flèches ; dans le second, le trait de u à w n'est qu'esquissé
Il que visiblement
Mais on voit qu'une relation d'ordre connexe qui est loc. str. croissante et str. décroissante, et telle que pour tout élément a, \exists\, a' < a < a'', définit une structure de modèle de forme régulière connexe (on vérifie axiomes F1 à F5). Mais une telle structure n'est pas nécessairement filtrante croissante (dites)la page s'arrête sur « (dites) », d'une lecture incertaine ; la suite est à la page 21, dans le second lot