Cote n° 156-1, pages 1–20

Cote n° 156-1 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

Vers une géométrie des formes (topologiques)

titre de sa main, en tête de la page 1, que sa pagination numérote « 1 » ; dans l'angle supérieur gauche, séparé par un trait, « GF I ». Sous le titre, entre parenthèses et souligné, « (Juin 86) », le 6 récrit sur un 5. Les pages 1 et 2 sont barrées chacune d'un long trait oblique : c'est une première mouture, reprise à la page 3

(5 juin) Approche vers une construction récurrente (sur l'entier naturel \(n\)) d'une « géométrie des formes de dimension \(\leq n\) ».

Une […] « forme de dim 0 » sera par définition un ensemble discret dont les éléments sont appelés les « lieux » de la forme. Un modèle d'une forme de dim 0 sera un ensemble \(\mathcal{L}\) (« lieux ») muni […] […] d'équivalence […] (« […] ») […] « disjoints »). i.e. […] […] modèle est l'unique […] note oblique dans la marge gauche, à quarante-cinq degrés environ, entremêlée aux débuts de lignes du texte ; en partie seulement lue Un […] tel modèle \(\mathfrak{X}\) comporte

Forme Modèle de dimension 1

(1)Un ensemble des « lieux » de la forme, \(\mathcal{L}\).
(2)Un sous-ensemble \(\mathcal{L}_0\) de \(\mathcal{L}\), formé des lieux dits « critiques » ou « de branchement ».
3)Une relation [symétrique]« symétrique » est écrit au-dessus de la ligne dans \(\mathcal{L}\) (i.e. \(R \subset \mathcal{L} \times \mathcal{L}\)) « \(x\) et \(y\) sont disjoints », impliquant la relation « \(x\) et \(y\) sont distincts ».
4)Une relation [symétrique] plus fine « \(x\) et \(y\) sont adjacents »
(5)Une ensemble de parties de \(\mathcal{L}\), appelés […] « segments » relation plus fine encore « \(x\) est s (non nécessairement symétrique) « \(x\) […] est spécialisation de \(y\) » (qui implique que \(x\) est critique, et \(y\) n'est pas critique).
(6)Un ensemble \(S\), de parties de \(\mathcal{L}\) dont les éléments, \(\mathfrak{X}\), […] des segments
(7)[appelés « segments »] Pour tout segment […], \(I\), deux parties \(\delta I\) de

les numéros 1, 2, 5, 6, 7 sont cerclés, 3 et 4 ne le sont pas. En (5), « \(S\) » est écrit au-dessus de « relation » ; en (6)–(7), plusieurs ajouts interlinéaires barrés se chevauchent et la lecture de leur ordre est incertaine

2deux éléments de \(\mathcal{L}\), appelés « extrémités » [du segment] (adjacents l'un de l'autre)

(8)Une partie \(\widetilde{I}\) de \(\mathcal{L}\) (l'ens. des lieux dits […] « sur le segment ») contenant \(\delta I\).

NB 1) Si \(x, y \in \mathcal{L}\), alors \(x, y\) sont adjacents ssi \(\exists\, I \in S\) tel que \(\{x,y\} = \delta I\). Donc, la donnée (4) est inutile résulte des autres (dans 7) il faut dire que si \(\delta I = \{x,y\}\), \(x\) et \(y\) sont disjoints…)

2) Je présume que si \(x, y \in \mathcal{L}\) sont adjacents, il y aura au plus deux segments \(I\) tels que \(\delta I = \{x,y\}\). (Il y en aura effectivement deux ssi \(x, y\) appartiennent à un anneau : une « composante connexe » de \(\mathfrak{X}\) qui est un (modèle d'un) cercle.

3) Je ne sais s'il faut supposer que \(I\) est connu quand on connaît \(\delta I\) et \(\widetilde{I}\), i.e. si on peut considérer \(S \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \times \mathfrak{P}(\mathcal{L})\).

Axiomes

(au vrai) On dit que la forme est de dim. 0 définie par lala ligne barrée porte, au-dessus, un ajout lui-même barré

E\(_1\)Dans \(\mathcal{L}_0\), la relation « \(x\) et \(y\) […] ne sont […] disjoints » est une relation d'équivalence.entre « sont » et « disjoints », un signe barré qui ressemble à \(\neq\)

L'ensemble critiques, ou pts quotient [appelé l']ens. des points (de branchement) de la forme.

([…] (NB plusieurs lieux critiques différents peuvent définir le même point critique)

3p. 2 de sa pagination Deux Un ensemble \(\mathcal{L}\) ([…]

1)Deux ensembles de base \(\mathcal{L}\) (ensemble des lieux du modèle) et \(S\) (ensemble des segments du modèle)l'indice de \(\mathcal{L}\) est surchargé et n'a pas été lu
2)Une application \(S \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), \(I \mapsto \widetilde{I}\) (lieux sur un segment) — i.e. une relation entre \(S\) et \(\mathcal{L}\).
3)Une application \(\partial : S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})\), \(I \mapsto \partial I\), telle que \(\partial I \subset \widetilde{I}\).

+ axiomes

NB J'ignore s'il faut supposer que \(I\) est connu quand on connaît \(\widetilde{I}\) et \(\partial I\), i.e. s'il faut supposer \(I \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \times \mathfrak{P}_2(\mathcal{L})\) injectif. 7.6. On va supposer que \(I\) est connu quand on connaît \(\widetilde{I}\), i.e. identifier \(I\) à \(\widetilde{I}\), et \(S\) à un sous-ensemble de \(\mathfrak{P}(\mathcal{L})\) note oblique dans la marge gauche, datée « 7.6. » ; elle est reliée au texte par une accolade

Si \(I\) est un segment, les éléments de \(\partial I\) sont appelés ses extrémités, et ceux de \(\widetilde{I} \smallsetminus \partial I\) [(\(\overset{\text{déf}}{=} \mathring{\widetilde{I}}\))] les lieux intérieurs au segment.l'ajout interlinéaire, relié par une flèche, est en partie surchargé ; la lecture \(\mathring{\widetilde I}\) s'appuie sur la notation \(\widetilde I^{\circ}\) de la page suivante

Un lieu est dit régulier s'il est intérieur [(au moins)] à un segment, singulier ([…] ou critique, ou lieu de branchement) sinon. \[ \mathcal{L}_r = \bigcup_{I \in S} (\widetilde{I} \smallsetminus \partial I), \qquad \mathcal{L}_s = \mathcal{L} \smallsetminus \mathcal{L}_r \] Ainsi, pour tout \(I \in S\), on a \[ \widetilde{I} \cap \mathcal{L}_s \subset \partial I \]

4p. 3 de sa pagination Soient \(x, y \in \mathcal{L}\), on dit que \(y\) est une spécialisation de \(x\) si \(\exists\) a) \(y\) est singulier, et b) \(\exists\, I \in S\) tel que \(x \in \widetilde{I}^{\circ}\), \(y \in \partial I\).

Axiomes

à partir d'ici, presque toute la page est annulée : un grand X la traverse, et le bas est en outre haché de traits obliques ; on transcrit ce qui se lit sous ces traits

F\(_1\))Soit \(I \in S\), alors \(\exists\) \(\widetilde{I}^{\circ}\) (\(\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{I} \smallsetminus \partial I\)) est non vide, et si \(z \in \widetilde{I}^{\circ}\), \(\exists\) \(\partial I = \{x,y\}\), \(\exists !\, I_{x,z} \in S\), \(I_{y,z} \in S\) tels que \[ \widetilde{I}_{x,z},\ \widetilde{I}_{y,z} \subset \widetilde{I}, \qquad \partial I_{x,z} = \{x,z\}, \quad \partial I_{y,z} = \{y,z\} \] De plus, on a alors \[ \widetilde{I}_{x,z} \cap \widetilde{I}_{y,z} = \{z\} \]

décomposition des segments décomposition des segments Mais attention, il […] […] dire \(\widetilde{I} = \widetilde{I}_{x,z} \cup \widetilde{I}_{y,z}\) !!! Apparemment : \(\forall\, J \in S\) tel que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\), \(\partial J \ni z\), on a \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z}\) […] \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}\) […] les trois premières notes sont obliques dans la marge gauche, la deuxième soulignée deux fois ; la quatrième est serrée dans la marge droite, au niveau de « De plus »

F\(_2\))Soient \(x, y\) lieux singuliers. [Soient \(I \in S\), et \(\Phi \in \widetilde{I}^{\circ}\).] Alors, […] Si existe \(I \in S\) tel que \(x, y \in \widetilde{I}^{\circ}\), alors \(\exists\) […] \(I' \in S\) tel que a) \(x\), \(\Phi \in \widetilde{I}'^{\circ}\), b) \(\widetilde{I}' \subset \widetilde{I}^{\circ}\).

l'énoncé primitif portait sur deux lieux singuliers \(x, y\) ; il est récrit en interligne avec \(\Phi\) et un segment \(I\). Le « 2 » de F\(_2\) est lui-même barré d'un trait oblique

Corollaire 1 \(\widetilde{I}\) est infini

Corollaire 2 Si \(S \neq \emptyset\), \(S\) est infini \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\) (car l'[…] des \(J \in S\) tels que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\) […] infini…)

F\(_2\))(Réciproque de F\(_1\)) Soient \(I', I'' \in S\), tels que \[ \widetilde{I}' \cap \widetilde{I}'' = \struck{\ill{}}, \qquad \partial I' \cap \partial I'' = \{z\}, \] avec \(z\) régulier. Alors \(\exists !\, I \in S\), tel que \(\widetilde{I}' \cup \widetilde{I}'' \subset \widetilde{I}\) et \(\partial I = (\partial I' \cup \partial I'') \smallsetminus \{z\}\), et on a \(I' = I_{x,z}\), \(I'' = I_{y,z}\).

recollement des segments Filtration

(F\(_3\)) Soit […] si \(\partial I' = \{x,z\}\), \(\partial I'' = \{y,z\}\), […] tels que […] \(x \neq \ill{}\) […] bien […] filtrant : \(\exists\, I\) tel que \(x \in \widetilde{I}^{\circ} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}\) […] si \(x \in I'^{\circ} \cap I''^{\circ}\) deux lignes et demie de variantes interlinéaires, barrées, qui semblent énoncer une condition de filtration ; l'ordre des fragments n'est pas sûr

F\(_3\))Soit \(I \in S\), \(\Phi\) partie finie de \(\widetilde{I}^{\circ}\). Alors \(\exists\, I' \in S\) tel que \(\widetilde{I}^{\circ} \supset \widetilde{I}' \supset \Phi\).

Il en résulte qu'il existe […] \(I\) […] \(\widetilde{I} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}\) […] \(x \in \widetilde{I}^{\circ}\) note serrée dans le coin inférieur droit, en partie sous les hachures devant ce F\(_2\), un premier numéro est barré

5p. 4 de sa pagination. Nouvelle mouture

Modèle d'une forme 1-dimensionnelle

\(\mathcal{L}\), ensemble des « lieux »

\(S\), [ensemble des] « segments »un trait horizontal tient lieu de « ensemble des »

\[ \begin{array}{lll} S \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}), & I \mapsto \widetilde{I} & (\widetilde{I}\text{, ens. des lieux \emph{sur} le segment } I) \\ S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) & I \mapsto \partial I & (\partial I\text{, ens. des deux lieux \emph{extrémités} de } I) \end{array} \] avec \(\partial I \subset \widetilde{I}\)

F1)Soient \(I \in S\), \(\partial I = \{x,y\}\). […] Alors […] [Soit \(S_{I,x}\) l'ens. des \(J \in S\) tels que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\), \(\partial J \ni x\), et soit \(S_{I,x} \to \widetilde{I} \smallsetminus \{x\}\) défini par \(J \mapsto z\) tel que \(\partial J = \{x,z\}\). Cette application est bijection, i.e.] \(\forall\, z \in \widetilde{I} \smallsetminus x\), \(\exists !\, J \in S\), […] soit \(I_{x,z}\), tel que \(\widetilde{I}_{x,z} \subset \widetilde{I}\), \(\partial I_{x,z} = \{x,z\}\)

axiome de divisibilité note verticale dans la marge gauche, en face du crochet, qu'une accolade relie au passage

NB \(I_{x,y} = I_{y,x} = I\)

De plus,

F2)Soit \(I \in S\), alors si \(z \in\) \(\widetilde{I}^{\circ} \neq \emptyset\), et si \(z \in \widetilde{I}^{\circ}\) (i.e. \(z \in \widetilde{I} \smallsetminus \{x,y\}\)), \[ \widetilde{I}_{x,z} \cap \widetilde{I}_{y,z} = \{z\}. \] Et si \(J \in S\) est tel que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\), \(z \in \partial J\), on a \[ \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z} \quad\text{ou}\quad \widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}. \]

(F.C.) Faire […] […] […] de divisibilité note oblique dans la marge gauche ; un ajout barré, « \(\neq \emptyset\) », y est relié par une flèche

Cor. 1 \(\forall\, I \in S\), \(\widetilde{I}^{\circ}\) est infini [découle de la condition de divisibilité]le « \(\forall\) » est marqué d'un astérisque

Cor. 2 Dans F2), les relations \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z}\) et \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}\) s'excluent l'une l'autre

Cor 3 Soit \(I \in S\), […] \(S_I = \lbrace J \in S \mid \widetilde{J} \subset \widetilde{I} \rbrace\), et \[ S_I \to \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}), \qquad J \mapsto \partial J. \] Alors cette a) cette application est injective b) Son image contient les \(\varepsilon \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I})\) tels que \(\varepsilon \cap \partial I \neq \emptyset\).

6p. 5 de sa pagination c) Si \(\{u,v\} \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I})\) tel que \(\{u,v\} \cap \partial I = \emptyset\) (i.e. \(\{u,v\} \in \mathfrak{P}_2(\widetilde{I}^{\circ})\)) alors conditions équivalentes […] \(\exists\, J \in S_I\) tel que \(\partial J = \{u,v\}\)

2)On a \(v \in \widetilde{I}_{x,u}\) ou \(v \in \widetilde{I}_{y,u}\)
3)On a \(u \in \widetilde{I}_{y,v}\) ou \(u \in \widetilde{I}_{x,v}\)

la première condition ne porte pas de numéro lisible ; le mot entre « 2) On a \(v \in \widetilde I_{x,u}\) » et « \(v \in \widetilde I_{y,u}\) » est souligné deux fois

[NB on sait donc que \(u\) et \(v\) sont [des lieux] disjoints sur le segment \(I\) […] y reviendra…]

Cor. 4 Si \(\widetilde{I} = \widetilde{J}\) alors \(I = J\) [Donc on peut identifier \(S\) à une partie de \(\mathfrak{P}(\mathcal{L})\)]

NB […] \(u \in \widetilde{I}_{x,u} \Leftrightarrow u \in \widetilde{I}_{y,v} \Leftrightarrow u \in \widetilde{I}_{x,w}\) […] […] dans le coin supérieur gauche, plusieurs lignes obliques de formules, la plupart raturées ou hachurées ; seule la première est à peu près lue

F 3)Soient \(I, J \in S\), tels que \(x \in \partial I \cap \partial J\).« \(x \in I\) » est écrit au-dessus, relié par un trait Alors, ou bien \(\exists\, z \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ}\) tel que \(I_{x,z} = J_{x,z}\), ou bien […] \(\exists\) \(u \in \widetilde{I}^{\circ}\), \(v \in \widetilde{J}^{\circ}\) tels que \(I_{x,}\) l'on ait \[ \left\lbrace \begin{array}{l} I_{x,u} = J_{x,v} \quad (\text{donc } u = v \text{ et } u = v \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ}) \\ \underline{\underline{\text{ou}}} \quad \widetilde{I}_{x,u} \cap \widetilde{J}_{x,v} = \{x\} \end{array} \right. \]

devrait plutôt \(u \in I \smallsetminus \{x\}\), \(v \in J \smallsetminus \{x\}\) (sinon […] […] par condition de divisibilité) Axiome des branches la première note est à droite, sous « \(v \in \widetilde J^{\circ}\) », qu'elle souligne ; la seconde, oblique et soulignée deux fois, dans la marge gauche en face de F 3. Plus bas à droite, un court passage relié par une flèche, avec un \(I_x\), est haché et n'est pas lu

NB Ces deux relations [\(\widetilde{I}_{x,u}^{\circ} \cap \widetilde{J}_{x,v}^{\circ} \neq \{x\}\) […]]ajout interlinéaire, relié par une flèche, lu en partie s'excluent mutuellement.

La première, […] La condition [\(\exists\, z \in \widetilde{I}^{\circ} \cap \widetilde{J}^{\circ}\) tel que \(I_{x,z} = J_{x,z}\)]la condition est écrite en interligne, avec des indices surchargés est une relation d'équivalence [(\(R_x\))] dans l'ensemble \(S_x\) des segments \(I \in S\) tels que […] \(x \in \partial I\). L'ensemble quotient \[ B_x = S_x / R_x \] s'appelle l'ens. des branches en \(x\), son cardinal l'ordre de \(x\). Ordre \(0\) :

Il manque (6) de F3 […] […] à partir de (F\('_3\)) : Soit \(I \in S\), \(u, v \in \widetilde{I}^{\circ}\), alors […] \(\exists\, w \in \widetilde{I}_{x,w}\) […] […] note oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée ; « 6 » et « F\('_3\) » y sont cerclés. Plus haut dans la même marge, deux autres fragments obliques ne sont pas lus

7p. 6 de sa pagination lieu isolé, ordre \(1\) : lieu-bout.

Ordre fini.

Point rég [Lieu]

Lieu régulier \(x\) : \(\exists\, I \in S\) t.q. \(x \in \widetilde{I}^{\circ}\).

\(\mathcal{L}_r =\) ens. des lieux réguliers \(= \bigcup_{I \in S} \widetilde{I}^{\circ}\)

\(\mathcal{L} \smallsetminus \mathcal{L}_r = \mathcal{L}_s\) lieux singuliers, ou critiques, ou de branchement.

F\(_4\))Soient \(I', I'' \in S\), \(z \in \mathcal{L}\), tels que \[ \widetilde{I}' \cap \widetilde{I}'' = \partial I' \cap \partial I'' = \{z\}, \quad \text{avec } z \text{ \emph{régulier}.} \] Posons \(\partial I' = \{x,z\}\), \(\partial I'' = \{y,z\}\). Alors \(\exists !\, I \in S\) tel que \(\widetilde{I} \supset \widetilde{I}' \cup \widetilde{I}''\) (on a […] l'égalité !) et \(\partial I = \{x,y\}\) [donc on a, cf. F1, \(I' = I_{x,z}\), \(I'' = I_{y,z}\)]

Axiome de recollement note oblique dans la marge gauche, soulignée

Cor 1« Cor 1 » est écrit au-dessus d'un mot haché Soit \(I \in S\), \(x \in \partial I \cap \mathcal{L}_r\) […] (\(x\) régulier), \(x \in \partial J\) Alors \(\exists\, J \in S\) tel que \(\widetilde{J} \cap \widetilde{I} = \ill{} \{x\}\). Posons \(\partial I = \{x,y\}\). Alors \(\exists\, J \in S\), tel que \(\widetilde{J} \supset \widetilde{I}\), et \(\partial J = \{y',y\}\) avec \(y' \neq x\) [\(y' \neq y\)]la fin de la ligne, « avec \(y' \neq x\) », est surchargée ; la lecture reste incertaine i.e. \[ \partial J \cap \partial I = \{y\} \qquad (\text{et } x \in \widetilde{J}^{\circ}) \] (On utilise F\(_1\), F\(_2\) pour conclure que l'ordre de \(x\) est \(\geq 2\), puis F 3) pour trouver \(K \in S\) avec \(\widetilde{K} \cap \widetilde{I} = \partial K \cap \partial I = \{x\}\), puis on applique F\(_4\)) […] Ind. […] […] d'une […] […] […] note oblique dans le coin inférieur gauche, en partie barrée, non lue

8p. 7 de sa pagination Cor. 2 Soit \(I \in S\) tel que \(\partial I \subset \mathcal{L}_r\). Alors \(\exists\, J \in S\) tel que \(\widetilde{I} \subset \widetilde{J}^{\circ}\). pour […] […] […] segments […] à extrémités singulières note oblique dans le coin supérieur gauche, deux lignes barrées ; lecture très incertaine

F\(_5\))L'ordre d'un lieu régulier (on sait qu'il est \(\geq 2\)) est égal à deux.

Équivalent à :

F\('_5\))Soit \(x \in \mathcal{L}_r\), et considérons les \(\widetilde{I}^{\circ}\) (\(I \in S\)) tels que \(x \in \widetilde{I}^{\circ}\) ; ceux-ci forment une base de filtre […] […], si \(I', I'' \in S\) tels que \(x \in \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}\), \(\exists\, I \in S\) tel que \[ x \in \widetilde{I}^{\circ} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ} \] (NB […] \(\Longrightarrow\) \(\widetilde{I} \subset \widetilde{I}'^{\circ} \cap \widetilde{I}''^{\circ}\)).

Axiome des deux lieux réguliers (l'ordre […] […] considérés ([…]) […] F\('_5\)) […] (F.G.) si on […] […] […] […] […] les […] […] \([0,1]\) […] […] F\(_2\)) […] F\(_5\)) […] la marge gauche, en face de F\(_5\) et F\('_5\), est couverte de six ou sept lignes obliques très serrées, dont seuls quelques mots sont lus ; le premier titre y est souligné. Le numéro de F\('_5\) est récrit sur un autre

Remarque Soit \(S_0 \subset S\), et soit \[ \mathcal{L}' = \bigcup_{I \in S_0} \widetilde{I}, \qquad S' = \lbrace I \in S \mid \widetilde{I} \subset \mathcal{L}' \rbrace \] (donc \(S' \supset S_0\)). On a donc \[ \begin{array}{ll} S' \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}') & I \mapsto \widetilde{I} \\ S' \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}') & I \mapsto \partial I \end{array} \] Les axiomes F\(_1\)) à F\(_5\)) sont-ils satisfaits ? la remarque est traversée de deux longs traits obliques

9p. 8 de sa pagination Remarques 1) L'ens. des axiomes F1 à F5 est trivialement satisfait si \(S = \emptyset\) (i.e. si \(\mathcal{L}_r = \emptyset\) i.e. tous les lieux sont singuliers). Alors la structure envisagée se réduit à celle d'un ens. \(\mathcal{L}\). On sera amené tantôt d'[…] dans la structure, en introduisant (dans le cas général) une relation d'équivalence sur \(\mathcal{L}_s\)…

2) Soit \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\), partie quelc. de \(\mathcal{L}\), et soit \(S' = \lbrace I \in S \mid \widetilde{I} \subset \mathcal{L}' \rbrace\). On a donc \[ \begin{array}{ll} S' \to \mathfrak{P}(\mathcal{L}'), & I \mapsto \widetilde{I} \\ S' \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}'), & I \mapsto \partial I . \end{array} \] Ceci dit, pour cette structure, \((\mathcal{L}', S')\) est un modèle de forme de dim \(1\), i.e. les axiomes F\(_1\)–F\(_5\) sont satisfaits.

Cas particulier : soit \(I \in S\), \(\mathcal{L}' = \widetilde{I}\), alors \(S'\) est l'ens. [\(S_I\)] des segments tels que \(\widetilde{I} \subset I\), et s'identifie donc à une partie de \(\mathfrak{P}_2(\mathcal{L}')\). « \(\widetilde I \subset I\) » est tel sur la page ; on attend \(\widetilde J \subset \widetilde I\). « \(S_I\) » est écrit au-dessus de la ligne

10Un modèle est dit modèle-segment si \(\exists\, I \in S\) tel que \(\widetilde{I} = \mathcal{L}\). Alors [Alors \(\mathcal{L}_r = \widetilde{I}^{\circ} = \mathcal{L} \smallsetminus \partial I\).] […] Cet \(I\) est unique. Choisissons un \(x_0 \in \partial I\), soit \(x_1\) l'autre élément de \(\partial I\). Je vais définir une relation [d']ordre sur \(\mathcal{L}\). Je dis que […] pour à partir d'ici jusqu'à « c'est immédiat », le passage est cerné d'un trait et barré de plusieurs longues obliques

\(x \preccurlyeq y\) si \(x \preccurlyeq y\) ssi \(x \preccurlyeq y\) ou \([x_0,x] \cap [y,x_1] = \ill{}\) \(y \in [x,x_1]\) (mutuellement exclusif)

où on a posé \[ [x_0,x] = \widetilde{I}_{x_0,x}, \qquad [y,x_1] = \widetilde{I}_{x_1,y}. \] Prouvons la transitivité \[ x \preccurlyeq y,\ y \preccurlyeq z \Longrightarrow x \preccurlyeq z \] OPS \(x \neq y\), \(y \neq z\) i.e. \[ y \in [x,x_1] \text{ et } z \in [y,x_1] \Longrightarrow z \in [x,x_1] \] i.e. \([y,x_1] \subset [x,x_1]\) c'est immédiat,… NB \(y \in [x,x_1]\) équivaut […] \(x \in [x_0,y]\)

\(\mathcal{L}\) […] Cette relation est

Proposition Soient \(x, y \in \mathcal{L}\). Conditions équivalentes

(i)\(y \in [x,x_1]\)
(ii)\([y,x_1] \subset [x,x_1]\)
(i bis)\(x \in [x_0,y]\)
(ii bis)\([x_0,x] \subset\)

la dernière ligne s'arrête là. À droite, en face de l'énoncé, une définition : \[ [x,x_1] \overset{\text{déf}}{=} \left\lbrace \begin{array}{ll} \widetilde{I}_{x_1,x} & \text{si } x \neq x_0, x_1 \\ \widetilde{I} & \text{si } x = x_0 \\ \{x_1\} & \text{si } x = x_1 \end{array} \right. \] le membre de gauche n'est pas écrit : la définition est rattachée par « \(\overset{\text{déf}}{=}\) » à la condition (i) ; nous restituons \([x,x_1]\). Deux traits obliques traversent aussi ce bas de page

11p. 9 de sa pagination […] Notations pour \(x \in \mathcal{L}\) \[ [x_0,x] = \left\lbrace \begin{array}{ll} \{x_0\} & \text{si } x = x_0 \\ \mathcal{L} = \widetilde{I} & \text{si } x = x_1 \\ \widetilde{I}_{x_0,x} & \text{si } x \in \widetilde{I}^{\circ} = \mathcal{L} \smallsetminus \{x_0,x_1\} \end{array} \right. \] On définit de même \[ [x,x_1] = \lbrace \cdots \] (en échangeant les rôles de \(x_0\), \(x_1\))

Proposition Soient \(x, y \in \mathcal{L}\). Conditions équivalentes

(i)\([x_0,x] \subset [x_0,y]\)
(ii)[…] \(x \in [x_0,y]\)
(i bis)\([x,x_1] \supset [y,x_1]\)
(ii bis)[…] \(y \in [x,x_1]\)

Si on […] désigne par \[ x \preccurlyeq y \] cette relation en \(x, y\), on trouve une relation de préordre [évident sur (i) ou (i bis)] et même d'ordre (puisque \([x_0,x] = [x_0,y]\) \(\widetilde{I}_{x_0,x} = \widetilde{I}_{x_0,y}\) d'où \(x = y\) si les deux […] sont réduits à \(x_0\), ou bien \(\widetilde{I}_{x_0,x} = \widetilde{I}_{x_0,y}\) d'où en passant aux \(\partial\) \(x = y\)) « ou bien \(x = x_0\), \(y = x_0\) » est écrit au-dessus de la ligne, à droite

12p. 10 de sa pagination Cette relation d'ordre a un plus petit élément, \(x_0\), et un plus grand élément, \(x_1\). Elle permet de reconstituer la structure de modèle de 1-forme. En effet, l'ens. des segments est [s'identifie] à l'ens. des couples \(\{x,y\}\) tels que \(x < y\), et pour un tel segment \(I_{x,y}\), on a \[ \widetilde{I}_{x,y} = \lbrace z \in \mathcal{L} \mid x \leq z \leq y \rbrace, \qquad \partial I_{x,y} = \{x,y\} \] Cette relation d'ordre est « infiniment divisible » i.e. si \(x, y\) sont tels que \(x < y\), \(\exists\, z\) tel que \(x < z < y\). Elle est localement filtrante [décroissante], i.e. si \(x < y_1, y_2\) \(\exists\, y\) tel que \(x < y \leq y_1, y_2\), et […] [[…] filtrante croissante]la fin de cette phrase, surchargée d'ajouts interlinéaires, est lue en partie ; un astérisque renvoie à la note marginale (et loc. bifiltrante sur \(\mathcal{L}\)), […] relation d'ordre divisible, […] […] un plus petit élément \(x_0\) et un plus grand élément \(x_1\), définit (avec la notion précédente de segment [\(I_{x,y}\)] et la description de \(\widetilde{I}_{x,y}\) et \(\partial I_{x,y}\)) * Mais […] […] […] si \(x < z < y\) alors \(\widetilde{I}_{x,z} \subset \widetilde{I}_{x,y}\) […] […] F\(_3\)) […] […] \(\exists\, \ill{} \in \widetilde{I}\) […] note oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée, reliée par une flèche au texte ; lecture fragmentaire

13p. 11 de sa pagination, à peine visible une structure de modèle de 1-forme, et plus précisément, de 1-segment, avec \(\partial\mathcal{L} = \{x_0,x_1\}\).

Si on échange les rôles de \(x_0, x_1\) (i.e. choisit une autre « origine » du modèle de segment), alors la relation d'ordre est remplacée par son opposée (NB les conditions de divisibilité et de bifiltration [loc.] sont autoduales). Ainsi une structure de [modèle de] segment équivaut à une structure de biordre (paire d'ordres opposés) qui soit telle que pour chacun [(ou l'un)] des ordres qui la composent, il y ait un plus petit et plus grand élément distincts l'un de l'autre (i.e. \(\operatorname{Card} \mathcal{L} > 1\) — en fait, \(\operatorname{card} \mathcal{L} = \infty\)), divisible, et loc[alemen]t filtrante et cofiltrante.

14p. 12 de sa pagination Orientation du segment : choix d'une des extrémités, ou encore, d'un des deux ordres qui définit la structure de segment.

un court trait horizontal sépare ce qui suit

[Application aux modèles réguliers i.e. tels que \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_r\)]. Considérons la relation sur \(\mathcal{L}\), en \(x, y\) \[ \exists\, I \in S \text{ tel que } x, y \in \widetilde{I} \] [en vertu du cor. 2 à F\(_4\)), [si \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_r\), cela équivaut] à \[ \exists\, I \in S \text{ tel que } x, y \in \widetilde{I}^{\circ}\ ]. \] Cette relation est réflexive et symétrique. Considérons la relation d'équivalence engendrée. L'ens. des classes d'équivalence est noté \(\pi_0(\mathfrak{X})\) (composantes connexes). On a une notion évidente de somme disjointe de modèles de 1-formes, et on voit que toute 1-forme s'identifie

15p. 13 de sa pagination à la somme disjointe de ses comp. connexes. […] Si \(\mathfrak{X} = (\mathcal{L}, S, \partial)\) est régulier, [et] ses comp. connexes le sont. Donc l'étude des modèles \(\mathfrak{X}\) réguliers est se ramène à celle des modèles réguliers connexes. sous \(S\), un « \(\cap\) » renvoie à « \(\mathfrak{P}(\mathcal{L})\) » : \(S \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) ; de même plus bas

Soit \((\mathcal{L}, S, \partial : \struck{\ill{}}\, S \to \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}))\), \(S \subset \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), un modèle régulier connexe. On va définir un système transitif de bij. entre les \(\partial I\) (\(I \in S\)), et entre les \(B_x\) (\(x \in \mathcal{L}\)) et entre les uns et les autres. Soient \(I, J \in S\) Soit \(x \in \mathcal{L}\), \(y \in \mathcal{L}\).

Th On peut trouver, [(de façon unique)], un syst. transitif d'iso. entre les \(\partial I\) (\(I \in S\)) avec un quotient \(\omega_S\), et un syst. transitif d'iso. entre les \(B_x\) (\(x \in \mathcal{L}\)), avec un quotient \(\omega_{\mathfrak{X}}\), et une bijection \(\omega_S \simeq \omega_{\mathcal{L}}\) (soit \(\underline{\omega}\) le quotient) — donc un système d'iso. \(\underline{\omega} \simeq \partial I\), \(\underline{\omega} \simeq B_x\), de façon que ces conditions dans la marge gauche, en face du théorème, un petit croquis : un arc portant un point épais et deux flèches dans le même sens. On garde \(\omega_{\mathfrak{X}}\) puis \(\omega_{\mathcal{L}}\) comme sur la page

16p. 14 de sa pagination suivantes soient satisfaites

a) Si \(I \supset J\) [[…] des segments], et si \(x_0 \in \partial I\), ou [\(\Phi\) est un des] [deux] ordres canoniques sur \(I\), alors \(\partial I \simeq \partial J\) […] fait correspondre l'unique \(y_0 \in \partial J\) dont \(y_0 = \ill{}\) est un des deux ordres qui soit le plus petit élément de [canonique sur \(J\), alors \(\partial I \simeq \partial J\) […] ordre] associe au plus petit élément de \(I\) le plus petit élément de \(J\) (et idem pour le plus grand, par conséquent en remplaçant \(\Phi\) par l'ordre opposé) les premières lignes de a) sont récrites plusieurs fois, en interligne et avec ratures ; l'ordre des fragments n'est pas sûr

b) Si \(I \in S\), et si \(x_0 \in \partial I\) […] est le plus petit élément pour [l'[…]] ordre canonique \(\Phi\) sur \(I\), alors la [[…]] \(x_0 \in \partial I\) correspond la branche en \(x_0\) définie par \(I\).

Il faut voir que la relation d'équivalence \(R\) définie dans \[ \coprod_{I \in S} \partial I \;\amalg\; \coprod_{x \in \mathcal{L}} B_x \] par les relations élémentaires (a), (b)« (a) » et « (b) » cerclés, écrits au-dessus d'un « \(\rho_a\), \(\rho_b\) » barré \[ (I,x) \underset{(a)}{\sim} (J,y) \Longleftrightarrow J \subset I \] et \(x\) et \(y\) se correspondent par le premier \[ (I,x) \underset{(b)}{\sim} (x, \beta(I,x)) \] \(x \in \partial I\) est écrit sous chaque \((I,x)\) ; sous \(\beta(I,x)\), souligné : « branche en \(x\) définie par \(I\) ». L'indice cerclé sous le premier \(\sim\) est surchargé, lu (a) admet exactement deux classes, et que

17p. 15 de sa pagination [(les deux éléments de \(\partial I\), \(I \in S\) (fixé), aboutissant à des classes distinctes (\(\Longleftrightarrow\) jetés par les deux éléments des \(B_x\), \(x \in \mathcal{L}\)))]ajout de deux lignes serrées en tête de page, lu en partie […] […] pas […] vérifier ici. Si c'était faux, il faudrait le mettre en axiome. S'il est vrai, il doit être immédiat que il y a le nb de classes est \(1\) ou \(2\).

On est arrivé L'ens. quotient \(\underline{\omega}\) est l'ens. des orientations de \(\mathfrak{X}\). Ex. On a ainsi \(\mathfrak{X}\) orienté quand on a choisi \(w \in \underline{\omega}\). Alors chaque \(I\) a une origine, et pour chaque \(x \in \mathcal{L}\), on a un germe de segment issu de \(x\) [ou orienté]« ou orienté » est écrit au-dessus, souligné, en fin de ligne et d'origine \(x\) (la branche sortant de \(x\)).

Considérons alors la relation […] \[ x \prec y \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \bigl(\exists\, I \in S \text{ tel que } x \in \operatorname{or}(I),\ y \in \operatorname{ex}(I)\bigr) \] « \(\operatorname{or}(I)\) », « \(\operatorname{ex}(I)\) » : l'origine et l'extrémité du segment orienté, écrites l'une au-dessus de l'autre Distinguons deux cas suivant que cette relation est transitive (cas linéaire) ou non (cas circulaire).

I) Relation \(x \prec y\) est transitive, donc la relation \(x \preccurlyeq y\) (\(\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\) \(x = y\) ou \(x \prec y\)) est un préordre.

18p. 16 de sa pagination Je dis que c'est un ordre i.e. qu'on ne peut avoir \(x \prec y\) et \(y \prec x\) (en effet, on aurait \(x \prec x\), ce qui est faux, ou \(x \prec y\) implique \(x \neq y\)). Les segments sont les \([x,y]\), pour \(x \prec y\), et pour […] [tel] segment, son origine est \(x\) (pour l'orientation choisie) [et son extrémité \(y\)]. Ainsi, la structure de modèle [connexe] orienté de 1-forme régulier est connue quand on connaît la structure d'ordre. Celle-ci est satisfait les conditions : elle est [str.] filtrante croissante (i.e. \(\forall\, x, y \in \mathcal{L}\), \(\exists\, z \in \mathcal{L}\) t.q. \(x, y < z\)) et str. filtrante décroissante, elle est [str.] loc. filtrante décroissante et loc. filtrante […] croissante (si \(x \leq y, z\) […], \(\exists\, u\) tel que \(x \leq u \leq y, z\), et de même dual) donc n'a ni plus grand ni plus petit élément implique que c'est divisible, i.e. si \(x < y\), \(\exists\, z\) avec \(x < z < y\) deux notes obliques dans la marge gauche ; les formules de la parenthèse finale sont surchargées

Prouvons p. ex. qu'elle est str. filtrante croissante.

19p. 17 de sa pagination Soit \(x, y \in \mathcal{L}\). \(\exists\) chaîne \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) avec \(x_0 = x\), \(x_n = y\) et \(x_i, x_{i+1} \in \widetilde{I}_i^{\circ}\). […] Quitte à répéter \(I_i\), […] quitte à […] Posons \(y_i = \operatorname{or}(I_i)\), alors … \[ x_i \geqslant y_i \leqslant x_{i+1} \geqslant y_{i+1} \leqslant x_{i+2} \] les signes d'inégalité sont repassés et surchargés ; la lecture \(\geqslant\), \(\leqslant\) alternés est incertaine donc \(\mathcal{L}\) en tant que ens. ord. est connexe : on peut connecter deux éléments quelconques par une chaîne d'inégalités. On va raisonner sur la longueur. Si la chaîne est de longueur \(\leq 1\), donc \(x \leq y\) il suffit de prouver [noter] qu'il existe \(z\) avec \(y < z\) (prouvons de fait que \(y\) régulier…). Supposons qu'on ait prouvé pour \(n-1\), […] \(\exists\) prouvons le pour \(n\). […] On suppose donc \(\exists\, z\) \[ x \underset{n-1}{\sim} z, \qquad z \underset{1}{\sim} y . \] Par l'hypothèse de récurrence, \(\exists\, x'\) tel que […] \(x, z < x'\). Si \(z \geq y\) alors \(x' > x, y\) on gagne. Si \(z \leq y\) la suite qu'on… « \(\underset{n-1}{\sim}\) » : reliés par une chaîne de longueur \(n-1\) ; un mot devant la formule n'est pas lu. La page s'arrête sur « la suite qu'on », sans suite lisible

20p. 18 de sa pagination. En tête, un croquis d'ordre, sans flèches : \(z\) en bas, relié à \(y\) et à \(x'\) au-dessus de lui ; \(x'\) relié à \(x\) plus bas à droite ; au-dessus de \(y\) et de \(x'\), un « ? » relié à chacun par un pointillé

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & ? & & \\
  y \arrow[ur, no head, dashed] & & x' \arrow[ul, no head, dashed] & \\
  & z \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] & & x \arrow[ul, no head]
\end{tikzcd}

et il suffit de trouver \(t\) tel que \(t > x', y\). Donc on est ramené à prouver ceci (filtration relative)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & v \\
  u \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & \\
  & w
\end{tikzcd}

on peut compléter en

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & v \arrow[dr, no head] & \\
  u \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & t \\
  & w \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

les deux croquis sont redessinés d'après la page, où ils sont tracés en traits libres, sans flèches ; dans le second, le trait de \(u\) à \(w\) n'est qu'esquissé

Il […] que visiblement […]

Mais on voit qu'une relation d'ordre connexe qui est loc. str. croissante et str. décroissante, et telle que pour tout élément \(a\), \(\exists\, a' < a < a''\), définit une structure de modèle de forme régulière connexe (on vérifie axiomes F1 à F5). Mais une telle structure n'est pas nécessairement filtrante croissante (dites) la page s'arrête sur « (dites) », d'une lecture incertaine ; la suite est à la page 21, dans le second lot