Cote n° 156-1 · pages 1–26 · Lecture modernisée · [Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Le projet, et la première mouture (pages 1 et 2).
2. 2.Deuxième mouture (pages 3 et 4).
3. 3.Troisième mouture : données, divisibilité (pages 5 et 6) — axiomes F1, F2 et corollaires 1 à 4.
4. 4.Branches (pages 6 et 7) — axiome F3.
5. 5.Lieux réguliers et recollement (pages 7 et 8) — F4, F5.
6. 6.Restriction à une partie (pages 8 et 9).
7. 7.Le modèle-segment est un biordre (pages 10 à 14).
8. 8.Modèles réguliers connexes, orientation (pages 14 à 17).
9. 9.Le cas linéaire, et la filtration relative (pages 17 à 21).
10. 10.L'axiome F6 (page 22).
11. 11.Réseaux (pages 23 et 24), daté du 7 juin.
12. 12.Deux segments consécutifs (pages 24 à 26), inachevé.

La page 1 porte « GF I » en angle, le titre, « (Juin 86) » et, en tête du texte, « (5 juin) ». La pagination de l'auteur recommence avec la deuxième mouture : notre page 3 est sa page 2, et nos pages 4 à 26 sont ses pages 3 à 24. Quand le texte renvoie à « cor. 2 p. 7 », c'est donc notre page 8. Une note marginale de la page 3 est datée « 7.6. », comme la page 23 : ce chapitre a été complété le lendemain du jour où commençait le chapitre II (dossier 156-2, daté du 6 juin).

Trois moutures. Les pages 1–2, 3–4 et 5–26 sont trois départs successifs de la même définition. On ne les fusionne pas : chacune est présentée pour elle-même, et l'on dit, au passage, ce que la suivante reprend ou abandonne. La numérotation des axiomes n'est pas la même d'une mouture à l'autre (le F2 de la page 4 devient le F4 de la page 7) ; dans tout le document, « F\(n\) » sans autre précision désigne l'axiome de la troisième mouture.

Conventions. \(\mathcal{L}\) est l'ensemble des lieux, \(S\) celui des segments. Pour \(I \in S\), \(\widetilde{I} \subset \mathcal{L}\) est l'ensemble des lieux « sur » \(I\), \(\partial I \in \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\) ses deux extrémités (une partie à deux éléments), \(\partial I \subset \widetilde{I}\), et \(I^{\circ} = \widetilde{I} \smallsetminus \partial I\) ses lieux intérieurs. À partir du corollaire 4 (page 6), qui montre qu'un segment est déterminé par ses lieux, on identifie \(I\) à \(\widetilde{I}\) et l'on écrit simplement \(I\), comme le font les pages 21 à 26 ; c'est le seul changement de notation du document. \(I_{x,z}\) est le sous-segment de \(I\) d'extrémités \(x\) et \(z\) (axiome F1). Le mot « disjoints », appliqué à deux lieux, a le sens de la page 6 et de la page 8 du dossier 156-2 : comparables, emboîtés — jamais simplement distincts.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la récurrence sur la dimension promise à la page 1 ; la relation d'équivalence sur les lieux singuliers annoncée à la page 9 ; la transitivité de la relation « même branche » à partir des seuls F1 à F3 ; l'équivalence F5 \(\Leftrightarrow\) F\('\)5 ; le théorème d'orientation des pages 15 à 17 ; le caractère filtrant de l'ordre dans le cas linéaire, que les pages 19 et 20 cherchent et qui conduit à F6 ; l'étude de deux segments de mêmes extrémités, interrompue au milieu d'une phrase (page 26).

1–2

Le projet, et la première mouture (pages 1 et 2)

Le texte s'ouvre sur une intention : une « approche vers une construction récurrente (sur l'entier naturel \(n\)) d'une géométrie des formes de dimension \(\leq n\) ». Une forme de dimension \(0\) serait un ensemble discret, dont les éléments sont les lieux¹ . La récurrence n'est jamais écrite : tout le dossier traite la dimension \(1\).

Un modèle de dimension \(1\), dans cette première mouture, comporte :

1. (1)un ensemble \(\mathcal{L}\) de lieux ;
2. (2)une partie \(\mathcal{L}_{0}\) de lieux critiques, ou de branchement ;
3. (3)une relation symétrique « \(x\) et \(y\) sont disjoints », qui entraîne \(x \neq y\) ;
4. (4)une relation symétrique plus fine, « \(x\) et \(y\) sont adjacents » ;
5. (5)une relation plus fine encore, non symétrique, « \(x\) est spécialisation de \(y\) », qui entraîne que \(x\) est critique et \(y\) ne l'est pas ;
6. (6)–(8)un ensemble \(S\) de segments, et pour chaque \(I \in S\) une paire \(\delta I\) de lieux adjacents, ses extrémités, et une partie \(\widetilde{I} \supset \delta I\), les lieux sur le segment² .

Trois remarques suivent, qui préparent les deux moutures suivantes. D'abord, l'adjacence est redondante : \(x\) et \(y\) sont adjacents si et seulement s'il existe un segment d'extrémités \(\{x,y\}\). Ensuite — « je présume » — deux lieux adjacents sont les extrémités d'au plus deux segments, et de deux exactement lorsqu'ils sont sur un « anneau », une composante qui est un cercle : c'est la situation que les pages 25 et 26 essaieront, à la fin du dossier, de déduire des axiomes. Enfin, la question de savoir si un segment est déterminé par \(\delta I\) et \(\widetilde{I}\) reste ouverte ; elle sera tranchée à la page 3 (en marge, le 7 juin) et démontrée à la page 6.

Le seul axiome écrit, E\(_{1}\), demande que sur \(\mathcal{L}_{0}\) la relation « \(x\) et \(y\) ne sont pas disjoints » soit une relation d'équivalence³ ; l'ensemble quotient est l'ensemble des points de la forme, et plusieurs lieux critiques peuvent définir le même point critique. L'idée — un point singulier vu comme une classe de lieux qui « se touchent » — est abandonnée par les moutures suivantes, qui ne gardent comme données que les lieux et les segments ; elle reparaît en une ligne à la page 9. Les pages 1 et 2 sont barrées chacune d'un long trait.

3–4

Deuxième mouture (pages 3 et 4)

Les données se réduisent à deux ensembles \(\mathcal{L}\) et \(S\), une application \(S \to \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), \(I \mapsto \widetilde{I}\), et une application \(\partial : S \to \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\) avec \(\partial I \subset \widetilde{I}\). Une note datée du 7 juin décide, en marge, d'identifier \(I\) à \(\widetilde{I}\) et \(S\) à une partie de \(\mathfrak{P}(\mathcal{L})\)⁴ .

Un lieu est régulier s'il est intérieur à au moins un segment, singulier (critique, de branchement) sinon : \[ \mathcal{L}_{r} = \bigcup_{I \in S} I^{\circ}, \qquad \mathcal{L}_{s} = \mathcal{L} \smallsetminus \mathcal{L}_{r}, \qquad \widetilde{I} \cap \mathcal{L}_{s} \subset \partial I . \] Un lieu singulier \(y\) est une spécialisation de \(x\) s'il existe un segment \(I\) avec \(x \in I^{\circ}\) et \(y \in \partial I\) ; la donnée (5) de la première mouture devient ainsi une notion définie, et le lieu critique reste celui qui se spécialise.

Viennent des axiomes, sur une page presque entièrement annulée par une grande croix⁵ : décomposition des segments (tout lieu intérieur \(z\) d'un segment d'extrémités \(x\), \(y\) le coupe en deux sous-segments uniques \(I_{x,z}\), \(I_{y,z}\) qui ne se rencontrent qu'en \(z\)) ; un axiome qui place tout lieu intérieur dans l'intérieur d'un segment contenu dans \(I^{\circ}\), d'où l'on tire que \(\widetilde{I}\) est infini et que \(S\) l'est s'il n'est pas vide ; recollement des segments, réciproque de la décomposition, en un lieu régulier ; enfin, toute partie finie de \(I^{\circ}\) est contenue dans un segment inclus dans \(I^{\circ}\). Ce sont, sous d'autres numéros, les F1–F2, F4 et F\('\)5 de la troisième mouture. Deux notes de marge méritent d'être retenues. L'une avertit : « Mais attention, il [\dots] dire \(\widetilde{I} = \widetilde{I}_{x,z} \cup \widetilde{I}_{y,z}\) !!! »⁶ . L'autre — lue « Apparemment » — énonce que tout sous-segment de \(I\) ayant \(z\) pour extrémité est contenu dans \(\widetilde{I}_{x,z}\) ou dans \(\widetilde{I}_{y,z}\) : ce sera la seconde moitié de F2.

5–6

Troisième mouture : données et divisibilité (pages 5 et 6)

Sous le titre « Modèle d'une forme \(1\)-dimensionnelle », les données sont celles de la deuxième mouture : \(\mathcal{L}\), \(S\), \(I \mapsto \widetilde{I}\), \(I \mapsto \partial I \in \mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\), avec \(\partial I \subset \widetilde{I}\).

F1 (axiome de divisibilité⁷ ). Soient \(I \in S\) et \(\partial I = \{x,y\}\). Pour tout \(z \in \widetilde{I} \smallsetminus \{x\}\) il existe un unique \(J \in S\), noté \(I_{x,z}\), tel que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\) et \(\partial J = \{x,z\}\). F2. Pour tout \(I \in S\), \(I^{\circ} \neq \emptyset\) ; si \(\partial I = \{x,y\}\) et \(z \in I^{\circ}\), alors \(\widetilde{I}_{x,z} \cap \widetilde{I}_{y,z} = \{z\}\), et tout \(J \in S\) tel que \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}\) et \(z \in \partial J\) vérifie \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{x,z}\) ou \(\widetilde{J} \subset \widetilde{I}_{y,z}\).

L'unicité dans F1 donne \(I_{x,y} = I_{y,x} = I\). F1 dit, de façon équivalente (c'est la forme entre crochets de la page) : l'application qui envoie un sous-segment \(J\) de \(I\) issu de \(x\) sur son autre extrémité est une bijection sur \(\widetilde{I} \smallsetminus \{x\}\).

Corollaires (pages 5 et 6). Soit \(I \in S\), \(\partial I = \{x,y\}\), et \(S_{I} = \{J \in S \mid \widetilde{J} \subset \widetilde{I}\}\).

1. 1.\(I^{\circ}\) est infini.
2. 2.Dans F2, les deux inclusions s'excluent.
3. 3.L'application \(S_{I} \to \mathfrak{P}_{2}(\widetilde{I})\), \(J \mapsto \partial J\), est injective ; son image contient toutes les paires qui rencontrent \(\partial I\) ; une paire \(\{u,v\} \subset I^{\circ}\) est dans l'image si et seulement si \(v \in \widetilde{I}_{x,u} \cup \widetilde{I}_{y,u}\), si et seulement si \(u \in \widetilde{I}_{x,v} \cup \widetilde{I}_{y,v}\).
4. 4.Si \(\widetilde{I} = \widetilde{J}\), alors \(I = J\).

La page ne démontre que le premier, d'un mot (« découle de la condition de divisibilité »). Les quatre sont justes⁸ .

Le point c) mérite qu'on s'y arrête, parce qu'il dit ce que le modèle n'est pas. Deux lieux intérieurs \(u\), \(v\) d'un segment ne sont pas toujours les extrémités d'un sous-segment : il faut que l'un soit « du côté de \(x\) » ou « du côté de \(y\) » de l'autre. La page ajoute : « on sait donc que \(u\) et \(v\) sont des lieux disjoints sur le segment \(I\) », et promet d'y revenir⁹ . C'est le sens que le mot « disjoints » a dans le dossier 156-2 (page 8) : deux lieux d'une faille sont disjoints quand ils sont emboîtés, l'un du côté de \(A\) par rapport à l'autre. Rien n'oblige deux lieux d'un même segment à l'être.

Le corollaire 4 autorise ce que la marge de la page 3 avait décidé : désormais on identifie un segment à l'ensemble de ses lieux, et l'on écrit \(I\) pour \(\widetilde{I}\), \(I^{\circ} = I \smallsetminus \partial I\).

6–7

Branches (pages 6 et 7)

F3 (axiome des branches). Soient \(I, J \in S\) et \(x \in \partial I \cap \partial J\). Il existe \(u \in I \smallsetminus \{x\}\) et \(v \in J \smallsetminus \{x\}\) tels que, ou bien \(I_{x,u} = J_{x,v}\) (et alors \(u = v\)), ou bien \(I_{x,u} \cap J_{x,v} = \{x\}\).

Les deux cas s'excluent. La page écrit d'abord \(u \in I^{\circ}\), \(v \in J^{\circ}\), et la marge corrige en \(u \in I \smallsetminus \{x\}\), \(v \in J \smallsetminus \{x\}\)¹⁰ . Un segment issu de \(x\) et un autre, ou bien commencent par un même morceau, ou bien partent de \(x\) dans des directions qui ne se recouvrent pas près de \(x\).

Soit \(S_{x}\) l'ensemble des segments dont \(x\) est une extrémité. On dit que \(I, J \in S_{x}\) définissent la même branche en \(x\), et l'on écrit \(I \mathrel{R_{x}} J\), s'il existe \(z \in I^{\circ} \cap J^{\circ}\) avec \(I_{x,z} = J_{x,z}\). La page affirme que c'est une relation d'équivalence ; elle est réflexive et symétrique, mais sa transitivité demande une condition que F1 à F3 ne donnent pas :

F\('\)3 (filtration en une extrémité). Si \(I \in S\), \(x \in \partial I\) et \(u, v \in I^{\circ}\), il existe \(w \in I^{\circ}\) avec \(I_{x,w} \subset I_{x,u} \cap I_{x,v}\).

Une note serrée au bas de la page 6 commence justement : « Il manque [\dots] à partir de (F\('_{3}\)) : Soit \(I \in S\), \(u, v \in I^{\circ}\), alors [\dots] \(\exists\, w\) [\dots] \(I_{x,w}\) »¹¹ . Avec F\('\)3, \(R_{x}\) est une équivalence. L'ensemble quotient \[ B_{x} = S_{x} / R_{x} \] est l'ensemble des branches en \(x\), et l'on note \(\mathrm{br}_{x}(I)\) la branche de \(I\). Le cardinal de \(B_{x}\) est l'ordre de \(x\) : un lieu d'ordre \(0\) est isolé, un lieu d'ordre \(1\) est un bout. C'est, pour un graphe, le degré d'un sommet¹² .

7–8

Lieux réguliers et recollement (pages 7 et 8)

Les lieux réguliers, singuliers, sont définis comme à la page 3.

F4 (axiome de recollement). Soient \(I', I'' \in S\) et \(z\) un lieu régulier tels que \(I' \cap I'' = \partial I' \cap \partial I'' = \{z\}\) ; posons \(\partial I' = \{x,z\}\), \(\partial I'' = \{y,z\}\). Il existe un unique \(I \in S\) tel que \(I \supset I' \cup I''\) et \(\partial I = \{x,y\}\) ; alors \(I' = I_{x,z}\) et \(I'' = I_{y,z}\).

La page ajoute entre parenthèses une remarque sur l'égalité, dont un mot manque¹³ . Il ne faut pas lire \(I = I' \cup I''\) : on verra aux pages 10 à 13 qu'un segment est un ensemble ordonné, et que \(I_{x,z} \cup I_{z,y}\) est l'ensemble des lieux de \(I\) comparables à \(z\) ; l'égalité revient donc à demander que l'ordre soit total, ce que ni les axiomes ni les modèles du chapitre II n'imposent. Seule l'inclusion est vraie, et c'est elle qu'on énonce.

Corollaire 1 (page 7). Soient \(I \in S\), \(\partial I = \{x,y\}\), avec \(x\) régulier. Il existe \(J \in S\) tel que \(J \supset I\), \(\partial J \cap \partial I = \{y\}\) et \(x \in J^{\circ}\).

Le segment se prolonge au-delà d'une extrémité régulière. L'esquisse de la page : F1 et F2 montrent que \(x\) est d'ordre \(\geq 2\) ; F3 fournit alors un segment \(K\) issu de \(x\) avec \(K \cap I = \partial K \cap \partial I = \{x\}\) ; F4 recolle \(K\) et \(I\)¹⁴ .

Corollaire 2 (page 8). Si les deux extrémités de \(I\) sont régulières, il existe \(J \in S\) tel que \(I \subset J^{\circ}\).

C'est le corollaire 1 appliqué deux fois, et il en hérite la réserve.

F5 (axiome des lieux réguliers). Un lieu régulier est d'ordre \(2\). F\('\)5. Pour \(x\) régulier, les \(I^{\circ}\) qui contiennent \(x\) forment une base de filtre : si \(x \in I'^{\circ} \cap I''^{\circ}\), il existe \(I\) tel que \(x \in I^{\circ} \subset I'^{\circ} \cap I''^{\circ}\).

On sait déjà que l'ordre d'un lieu régulier est au moins \(2\) ; F5 interdit le branchement en un lieu régulier, ce qui justifie a posteriori que les lieux singuliers s'appellent aussi « de branchement ». La page affirme que F5 et F\('\)5 sont équivalents, sans démonstration¹⁵ . Dans un modèle, F\('\)5 dit que les voisinages de \(x\) formés d'intérieurs de segments sont filtrants, comme les intervalles ouverts autour d'un point de la droite.

8–9

Restriction à une partie (pages 8 et 9)

Une première remarque (page 8), barrée, demande si les axiomes passent à la réunion \(\mathcal{L}'\) des lieux d'une famille de segments. La page 9 reprend plus généralement :

Remarque 1. Les axiomes sont trivialement satisfaits si \(S = \emptyset\), c'est-à-dire si tous les lieux sont singuliers ; un modèle se réduit alors à un ensemble. La page annonce qu'on enrichira la structure en introduisant une relation d'équivalence sur \(\mathcal{L}_{s}\) — l'idée de l'axiome E\(_{1}\) de la page 2, un point singulier comme classe de lieux. Elle n'y revient pas.

Remarque 2. Pour une partie quelconque \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\), posons \(S' = \{I \in S \mid I \subset \mathcal{L}'\}\). La page affirme que \((\mathcal{L}', S')\) satisfait F1 à F5. C'est juste pour F1, F2, F3 (et F\('\)3), F5 et F\('\)5 ; pour F4, il faut que le segment recollé reste dans \(\mathcal{L}'\)¹⁶ . Le cas qui servira est celui où \(\mathcal{L}' = I\) est un segment : alors \(S' = S_{I}\), qu'on identifie par le corollaire 3 à une partie de \(\mathfrak{P}_{2}(I)\)¹⁷ .

10–14

Le modèle-segment est un biordre (pages 10 à 14)

Un modèle est un modèle-segment s'il existe \(I \in S\) avec \(I = \mathcal{L}\). Ce segment est unique (corollaire 4), et \(\mathcal{L}_{r} = I^{\circ}\). Choisissons une extrémité \(x_{0}\) et notons \(x_{1}\) l'autre. Une première tentative de définir un ordre (page 10) est cernée et barrée¹⁸ ; la page 11 pose \[ [x_{0},x] = \begin{cases} \{x_{0}\} & x = x_{0}, \\ I_{x_{0},x} & x \neq x_{0}, \end{cases} \] et de même \([x,x_{1}]\) en échangeant \(x_{0}\) et \(x_{1}\).

Proposition (page 11). Pour \(x, y \in \mathcal{L}\), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \([x_{0},x] \subset [x_{0},y]\) ; (ii) \(x \in [x_{0},y]\) ; (i bis) \([x,x_{1}] \supset [y,x_{1}]\) ; (ii bis) \(y \in [x,x_{1}]\). La relation \(x \preccurlyeq y\) ainsi définie est un ordre sur \(\mathcal{L}\).

C'est un préordre, évidemment sur (i) ; c'est un ordre parce que \([x_{0},x] = [x_{0},y]\) entraîne, par le corollaire 4 et en passant aux extrémités, \(x = y\)¹⁹ . Désormais on écrit \(\leq\) et \(<\), comme la page à partir de la page 12.

Proposition (pages 12 et 13). L'ordre \(\leq\) a un plus petit élément \(x_{0}\) et un plus grand élément \(x_{1}\), distincts. Les segments du modèle sont exactement les \([x,y] = \{z \mid x \leq z \leq y\}\) pour \(x < y\), avec \(\partial [x,y] = \{x,y\}\). L'ordre est

1. a)dense : si \(x < y\), il existe \(z\) avec \(x < z < y\) ;
2. b)localement filtrant décroissant : si \(x < y_{1}\) et \(x < y_{2}\), il existe \(y\) avec \(x < y \leq y_{1}, y_{2}\) ;
3. b\('\))localement filtrant croissant : si \(y_{1} < x\) et \(y_{2} < x\), il existe \(y\) avec \(y_{1}, y_{2} \leq y < x\).

Réciproquement, un ensemble ordonné ayant un plus petit et un plus grand élément distincts, et vérifiant a), b), b\('\)), définit, avec ces segments, un modèle-segment.

La page énonce ces propriétés et la réciproque sans démonstration²⁰ . Ce qu'elle n'énonce pas, et qu'il faut souligner, c'est que l'ordre soit total : il ne l'est pas en général, et c'est le point c) de la page 5 vu autrement. Le cardinal de \(\mathcal{L}\) est infini, par la densité.

Échanger \(x_{0}\) et \(x_{1}\) remplace l'ordre par l'ordre opposé, et les conditions a), b), b\('\)) sont autoduales. D'où la conclusion de la page 13 : une structure de modèle-segment équivaut à une structure de biordre — une paire d'ordres opposés — dont chacun a un plus petit et un plus grand élément distincts, et qui est dense et localement filtrant dans les deux sens. Une orientation du segment (page 14) est le choix d'une extrémité, c'est-à-dire de l'un des deux ordres.

Ce sont mot pour mot les propriétés a) à c) que la page 9 du dossier 156-2, écrite le lendemain, énonce pour l'ensemble des lieux d'une faille topologique orientée : le chapitre II fournit au chapitre I son modèle géométrique²¹ .

14–17

Modèles réguliers connexes, orientation (pages 14 à 17)

Un modèle est régulier si \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_{r}\). Sur \(\mathcal{L}\), la relation « il existe un segment contenant \(x\) et \(y\) » est réflexive et symétrique ; ses classes pour l'équivalence engendrée sont les composantes connexes, et leur ensemble est noté \(\pi_{0}(\mathfrak{X})\)²² . Tout modèle est la somme disjointe de ses composantes, et les composantes d'un modèle régulier sont régulières : on se ramène aux modèles réguliers connexes.

Théorème (énoncé pages 15 à 17). Soit \(\mathfrak{X}\) un modèle régulier connexe. Il existe, de façon unique, un ensemble \(\omega\) à deux éléments et des bijections \(\omega \simeq \partial I\) (\(I \in S\)) et \(\omega \simeq B_{x}\) (\(x \in \mathcal{L}\)) telles que :

1. a)si \(J \subset I\) sont deux segments, la bijection \(\partial I \simeq \partial J\) qui en résulte envoie le plus petit élément de \(I\) sur le plus petit élément de \(J\), pour l'un quelconque des deux ordres de \(I\) (et l'ordre qu'il induit sur \(J\)) ;
2. b)si \(x\) est le plus petit élément de \(I\) pour l'un de ses ordres, l'élément \(x \in \partial I\) correspond à la branche \(\mathrm{br}_{x}(I)\).

Autrement dit : sur la réunion disjointe \[ \coprod_{I \in S} \partial I \;\amalg\; \coprod_{x \in \mathcal{L}} B_{x}, \] soit \(R\) la relation d'équivalence engendrée par \((I,x) \sim (J,y)\) lorsque \(J \subset I\) et que \(x\), \(y\) se correspondent comme en a), et par \((I,x) \sim (x, \mathrm{br}_{x}(I))\). Le théorème affirme que \(R\) a exactement deux classes, et que les deux extrémités d'un même segment tombent dans des classes différentes. La page ne le démontre pas : « [\dots] vérifier ici. Si c'était faux, il faudrait le mettre en axiome. S'il est vrai, il doit être immédiat que le nombre de classes est \(1\) ou \(2\). »²³

L'ensemble \(\omega\) est l'ensemble des orientations de \(\mathfrak{X}\). En termes actuels, les bijections \(\omega \simeq \partial I\), \(\omega \simeq B_{x}\) trivialisent le torseur des orientations, et le théorème dit que le revêtement d'orientation est trivial²⁴ . Une orientation choisie, chaque segment a une origine \(\mathrm{or}(I)\) et une extrémité \(\mathrm{ex}(I)\), et chaque lieu une branche sortante²⁵ . On pose \[ x \prec y \iff \text{il existe } I \in S \text{ avec } \mathrm{or}(I) = x,\ \mathrm{ex}(I) = y, \] et l'on distingue le cas linéaire, où \(\prec\) est transitive, du cas circulaire, où elle ne l'est pas. Seul le premier est étudié.

17–21

Le cas linéaire, et la filtration relative (pages 17 à 21)

Dans le cas linéaire, \(x \preccurlyeq y \iff (x = y \text{ ou } x \prec y)\) est un préordre, et c'est un ordre : \(x \prec y \prec x\) donnerait \(x \prec x\), impossible puisque les deux extrémités d'un segment sont distinctes. Les segments sont les \([x,y]\) pour \(x \prec y\), d'origine \(x\) ; la structure de modèle connexe orienté régulier est donc connue quand on connaît l'ordre. La page affirme que cet ordre est

1. –strictement filtrant croissant : pour tous \(x, y\), il existe \(z\) avec \(x, y < z\) ; et strictement filtrant décroissant ;
2. –localement strictement filtrant dans les deux sens : si \(x < y\) et \(x < z\), il existe \(u\) avec \(x < u \leq y, z\), et dualement²⁶ ;

et note en marge qu'il n'a donc ni plus grand ni plus petit élément, et qu'il est dense.

La démonstration qui bute (pages 19 et 20). Pour montrer que l'ordre est filtrant croissant, la page relie deux lieux \(x\), \(y\) par une chaîne \(x = x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n} = y\) avec \(x_{i}, x_{i+1} \in I_{i}^{\circ}\) ; en posant \(y_{i} = \mathrm{or}(I_{i})\) on a \(x_{i} \geq y_{i} \leq x_{i+1}\)²⁷ , de sorte que \(\mathcal{L}\) est connexe en tant qu'ensemble ordonné. On raisonne par récurrence sur la longueur de la chaîne. Pour \(n \leq 1\), il suffit qu'il y ait un lieu au-dessus de \(y\), ce qu'assure la régularité de \(y\). Au pas de récurrence, on a \(x'\) au-dessus de \(x\) et de \(z\), et \(y\) voisin de \(z\) ; si \(z \geq y\) c'est fini, et si \(z \leq y\), il faut trouver \(t > x', y\) sachant seulement que \(z < x'\) et \(z < y\). La page isole ce qui manque sous le nom de filtration relative : \[ u < v \ \text{ et } \ u < w \quad \Longrightarrow \quad \text{il existe } t \text{ avec } v, w < t, \] deux croquis montrant le « V » \(v > u < w\) qu'on veut fermer en losange.

Ce n'est pas une conséquence des propriétés locales, et la page le dit aussitôt : un ordre connexe, localement strictement filtrant dans les deux sens et sans plus grand ni plus petit élément définit un modèle régulier connexe — on vérifie F1 à F5 — mais n'est pas nécessairement filtrant croissant²⁸ . Le contre-exemple est à la page 21.

Exemple (page 21). Soient \(\mathcal{L}_{0}\) et \((\mathcal{L}_{i})_{i \in I}\), \(\operatorname{card} I \geq 2\), des ensembles ordonnés non vides, localement strictement filtrants dans les deux sens, et tels que tout élément \(a\) ait un \(a' < a\) et un \(a'' > a\). Sur \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_{0} \amalg \coprod_{i} \mathcal{L}_{i}\), on pose \(x < y\) si \(x, y\) sont dans un même \(\mathcal{L}_{i}\) (\(i \in I\) ou \(i = 0\)) et \(x < y\) dans celui-ci, ou si \(x \in \mathcal{L}_{0}\) et \(y \in \mathcal{L}_{i}\), \(i \in I\).

C'est un arbre qui se ramifie vers le haut : un tronc \(\mathcal{L}_{0}\) au-dessus duquel partent plusieurs rameaux. L'ordre satisfait les mêmes conditions locales, mais deux lieux pris dans deux rameaux différents n'ont aucun majorant : il n'est pas filtrant croissant²⁹ . Dans le modèle correspondant, le tronc se dédouble sans qu'aucun lieu marque la bifurcation : chaque lieu est régulier, d'ordre \(2\), et pourtant la forme bifurque. F1 à F5 ne voient pas cette bifurcation, parce qu'elle a lieu « entre » des lieux, en un endroit où il n'y a pas de lieu.

22–22

L'axiome F6 (page 22)

F6. Soient \(I, J \in S\) et \(x \in \partial I \cap \partial J\) définissant la même branche en \(x\). Il existe \(K \in S\) tel que \(x \in \partial K\) et \(I^{\circ} \cup J^{\circ} \subset K^{\circ}\).

En d'autres termes, les intérieurs des segments issus de \(x\) dans une branche donnée forment une famille filtrante croissante pour l'inclusion ; la page renvoie à F3, dont c'est le pendant « vers l'extérieur ». C'est exactement ce qui exclut l'exemple de la page 21 : deux segments \([x,v]\) et \([x,w]\) issus d'un lieu \(x\) du tronc et montant dans deux rameaux définissent la même branche en \(x\), et aucun segment ne les contient tous deux.

La page en tire, pour \(I, J \in S\) et \(x \in \partial I \cap \partial J\) :

1. a)\(\mathrm{br}_{x}(I) = \mathrm{br}_{x}(J)\) si et seulement s'il existe \(K \in S\) tel que \(x \in \partial K\) et \(I \cup J \subset K\) ;
2. b)sinon, il existe \(u \in I^{\circ}\), \(v \in J^{\circ}\) tels que \(I_{x,u} \cap J_{x,v} = \{x\}\).

b) est F3³⁰ . Dans a), la réciproque est juste (avec F\('\)3) ; mais F6 ne donne \(K\) qu'avec \(I^{\circ} \cup J^{\circ} \subset K^{\circ}\), et rien n'assure que les extrémités autres que \(x\) soient dans \(K\)³¹ . C'est cette forme fermée qu'il faut pour achever la filtration relative de la page 20 (avec \(K = [u,k]\), on veut \(v, w \leq k\)) et pour l'argument de la page 25. Nous retenons donc F6 tel qu'il est écrit, et a) sous la réserve que la forme fermée soit démontrée par la voie qu'indique la marge, ou prise comme axiome.

23–24

Réseaux (pages 23 et 24)

Le 7 juin, l'objet reçoit son nom : un modèle de \(1\)-forme satisfaisant F1 à F6 est un réseau. Ses lieux singuliers sont ses nœuds ; les composantes connexes de \(\mathcal{L}_{r}\) sont ses lignes — « de préférence : arêtes »³² ; ses composantes connexes sont ses composantes. L'ordre, ou multiplicité, d'un nœud est le nombre de ses branches, égal à \(2\) en un lieu régulier.

Un réseau est divisible si \(I^{\circ} \neq \emptyset\) pour tout segment, réduit si \(I^{\circ} = \emptyset\) pour tout segment, c'est-à-dire \(I = \partial I\), ou encore \(\mathcal{L}_{r} = \emptyset\) : tous ses lieux sont des nœuds. Ces deux définitions supposent tacitement qu'on a retiré de F2 sa première clause, \(I^{\circ} \neq \emptyset\), sans quoi tout réseau serait divisible et aucun ne serait réduit (à moins que \(S\) soit vide)³³ .

La donnée d'une structure de réseau réduit sur \(\mathcal{L}\) revient à celle d'une partie \(S\) de \(\mathfrak{P}_{2}(\mathcal{L})\) — « les axiomes F1 à F6 sont vides ! » — donc à une structure de graphe réduit.

C'est juste sous la lecture qu'on vient de dire³⁴ . En termes actuels, un graphe réduit est un graphe simple : pas de boucle, puisqu'un segment a deux extrémités distinctes, pas d'arête multiple, puisqu'un segment est déterminé par ses lieux. Le cercle à un ou deux sommets, qui demanderait une boucle ou deux arêtes parallèles, n'est donc pas un réseau réduit ; il en faut au moins trois nœuds. Le lien avec les graphes est le but visible de la notion : un réseau général est un graphe dont les arêtes sont des segments divisibles.

24–26

Deux segments consécutifs (pages 24 à 26)

« Je reviens », dit la page, à l'étude des réseaux réguliers, connexes et non vides. Soient deux segments consécutifs \(I\), d'extrémités \(x\), \(y\), et \(J\), d'extrémités \(y\), \(z\), avec \(y\) régulier et \(\mathrm{br}_{y}(I) \neq \mathrm{br}_{y}(J)\)³⁵ .

Cas I : \(I \cap J = \{y\}\). Alors \(x \neq z\), et l'axiome de recollement donne un unique \(K \supset I \cup J\), d'extrémités \(x\), \(z\), avec \(I = K_{x,y}\), \(J = K_{y,z}\). « Situation bien comprise. »

Cas II : \(I \cap J \neq \{y\}\). Un premier traitement est barré (page 24) et repris (page 25). Si \(w \in I \cap J\), \(w \neq y\), les sous-segments \(I_{w,y}\) et \(J_{y,w}\) ont les mêmes extrémités \(\{w,y\}\) et des branches différentes en \(y\)³⁶ . La page étudie donc d'abord la situation où \(\partial I = \partial J = \{x,y\}\) et \(\mathrm{br}_{y}(I) \neq \mathrm{br}_{y}(J)\), sans plus supposer \(y\) régulier, et demande ce qu'est \(I \cap J\).

Les branches diffèrent aussi en \(x\). Sinon, F6 fournirait \(K\) issu de \(x\) contenant \(I\) et \(J\), et l'unicité de F1 dans \(K\) donnerait \(I = K_{x,y} = J\), contre l'hypothèse³⁷ .

Puis \(I \cap J = \{x,y\}\). Si \(t \in I \cap J\) n'était pas une extrémité, il serait intérieur aux deux, et l'on appliquerait ce qui précède à \(I_{x,t}\) et \(J_{x,t}\), qui ont les mêmes extrémités et des branches différentes en \(x\) : leurs branches en \(t\) différeraient aussi. L'axiome des lieux réguliers F5 doit alors fournir la contradiction — le texte s'arrête sur « on aurait \(\mathrm{br}_{t}\) »³⁸ .

Ce qui se dessine, c'est la remarque de la page 2 : deux lieux sont les extrémités d'au plus deux segments, et de deux exactement quand ils sont sur un cercle — deux arcs d'un même cercle, qui ne se rencontrent qu'en leurs extrémités. C'est le cas circulaire laissé de côté à la page 17. Le dossier s'arrête là ; le lendemain, 8 juin, le chapitre III (dossier 156-3) reprend les réseaux « via découpages ».