Fonds Grothendieck, cote n° 155, pages 1–10

les cinq feuillets de mathématiques du dossier portent sa pagination propre, un chiffre cerclé en haut à droite, 1 à 5, sur les pages 1, 3, 5, 7 et 9 des archivistes. Le titre entre crochets du fonds est celui des archivistes ; rien sur les feuillets ne porte de titre

Soient k un corps, k'/k ext. finie.

La donnée d'une \otimes-catégorie ACU C sur k, et d'un ~~foncteur fibre (exact) fidèle~~ \otimes-foncteur k-lin. ACU exact et fidèle F : C \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(k') équivaut à la donnée

l'abréviation qui qualifie ici la catégorie puis le foncteur est formée d'un A suivi de deux lettres liées ; elle est lue ACU — associatif, commutatif, unité — et n'est développée nulle part dans le dossier. La ligne biffée est remplacée par l'insertion « exact et » au-dessus et par « fidèle » au-dessous

1°) d'un schéma affine G' sur k', muni d'une section \varepsilon, i.e. d'une k'-alg. commutative U, k'-augmentation \varepsilon : U \to k',

2°) sur le pro-objet A A = \check{U} ~~(de \operatorname{Mod}_{f}(k'))~~, considéré comme pro-objet de \operatorname{Mod}_{f}(k'), une structure de commutative et associative, admettant \varepsilon comme unité,

au-dessus de A = \check{U}, en interligne : \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Hom}_{k'}(U,k')

avec les conditions suivantes :

(i)l'homomorphisme k'-linéaire \lambda \mapsto \lambda\varepsilon, k' \to A est multiplicatif en interligne, d'une main plus rapide : « la structure de pro-anneau de A pour le de k' » (ii)l'hom. A \longrightarrow A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k'} A déduit de la multiplication dans U est « multiplicatif », i.e. prenant ses valeurs dans \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J} \subset A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A \qquad \bigl(\ \mathcal{J} = J\cdot(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A),\ \text{idéal} \ \bigr)

sous A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A, accoladé : « pro-k-alg. prod~~uit~~ », et au-dessous « ~~tens.~~ »

dont comp. par J = \operatorname{Ker}(k' \otimes_{k} k' \to k'), \qquad \widetilde{\mathcal{J}} = \{\, \lambda \in A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A \mid \lambda\mathcal{J} \subset \mathcal{J} \,\}

les deux J ne se distinguent sur le feuillet que par le tilde : J est le noyau de k' \otimes_{k} k' \to k', \mathcal{J} l'idéal qu'il engendre dans A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A, \widetilde{\mathcal{J}} son idéalisateur. La distinction typographique est de l'éditeur

et à ce titre est hom. d'anneaux A \to \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J}.

Ex. C = \operatorname{Mod}_{f}(k), F = le foncteur M \otimes_{k} k'.

Alors U = k' \otimes_{k} k' (structure de k'-alg.), section canonique \varepsilon : k' \otimes k' \to k', provenant du foncteur

donc \check{U}^{(k')} = A \;\simeq\; k' \otimes_{k} \check{k}'^{(k)} \;\simeq\; \operatorname{End}_{k}(k'), et y prend les structures d'anneaux habituelles.

N.B. si k'/k est donc U \simeq A^{\vee(k)} U \xrightarrow{\ \Delta_{U}\ } U \otimes_{k} U transposé de A \otimes_{k} A \to A associative (\Delta_{U}(1) \neq 1 en général), (\otimes injectif …) et du ce bloc court en biais, à environ 45^{\circ}, le long du bord gauche du feuillet, d'une main plus rapide que le corps ; il est donné aussi loin qu'il se laisse lire

\langle On cherche conditions intrinsèques sur C le \otimes est qui assurent pour U \subset k'/k et F comme dessus, que le foncteur des A_{k}-modules de t.f. l'indice de A se lit k ou k' ; au-dessus de la lettre, en interligne : « = A \otimes_{k} k' » M' \longrightarrow M' \otimes_{k' \otimes_{k} k'} k' soit exact (OK si k'/k étale) et fidèle.

la ligne est ouverte par un crochet et séparée de ce qui précède par un long trait courant d'un bord à l'autre ; les deux insertions « l'intrinsèque » et « le \otimes est » sont portées au-dessus de la ligne

Suffit-il que C soit rigide, et que k \overset{\sim}{\to} \operatorname{End}_{C}(1_{C}) ? ? ?

Exprimer la rigidité de C ! doublement souligné, dernière ligne du feuillet

Rigidité

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet portant son chiffre 3

M \to \check{M} ~~D(M)~~ compatible avec foncteur fibre F', foncteur équivalence de catégories, donc exact donc cont. à droite, donc donné par M \longmapsto \operatorname{Hom}_{A}(M, I) I objet de C, muni d'opération de A : g. I \;=\; \struck{\ill{}}\, D(A) \;\simeq\; \check{A}_{g}^{(k')} \;=\; U

sous le signe \simeq : « compatibilité avec F' »

avec opération à g. de A provenant par transposition ~~des opérations~~ de A à droite sur A_{g}, dans U une A-module.

Il faut de faire opérer A à gauche sur cet objet de \operatorname{Mod}(A) mettre sur U une structure de ~~bimodule~~ module sur A \otimes A sous la formule, entre parenthèses : « opération déjà connue »

Et les endomorphismes

on U D_{k'}(A) U D_{k'}(A) si k'/k fini second bloc en biais le long du bord gauche, même main rapide que celui du feuillet portant son chiffre 2 ; seuls les deux D_{k'}(A) et la mention de la finitude de k'/k s'en laissent tirer

(autrement, ils ne font pas voir la k'-linéarité pour les k'-structures des deux côtés sur U !)

U tel que A-modules un endomorphismes de A A module : autre \operatorname{End}_{A}(U) \;\simeq\; \operatorname{End}_{A}(A_{d})^{\circ} \;\simeq\; A^{\circ} donc il faut un donné A \longrightarrow A^{\circ} au-dessus de la flèche : « a : a \mapsto \check{a} »

N.B. D(M) \;=\; \operatorname{Hom}_{A}(M, U_{g}) \;=\; \operatorname{Hom}_{A}\bigl(M_{g}\,;\, \operatorname{Hom}_{k'}(A_{g}, k')\bigr) \simeq ~~A_{d}~~ modules des formes k'-bil. \varphi : A_{g} \times M_{g} \longrightarrow k' telles que \begin{align*} \varphi(\lambda u, x) &= \lambda\,\varphi(u,x), \\ \varphi(u \cdot v, x) &= \varphi(u, v.x), \end{align*} en regard, la légende des variables : \lambda \in k', u \in \uncertain{A}, x \in \uncertain{M}

i.e. compatible aux , donne A_{d} \otimes_{A} M \longrightarrow k' qui soit k'-linéaire, pour la structure de k'-module à gauche provenant de A_{d}.

Or A_{d} \otimes_{A} M \;\simeq\; M \qquad \text{(comme du $k'$-module)} 1 \otimes x \longleftarrow x, \qquad \lambda(1 \otimes x) = \lambda \otimes x = 1 \otimes \lambda x \longleftarrow \lambda x donc en toutes fins F'(D(M)) \;=\; \check{M}^{(k')} et la donnée des a : A \to A^{\circ} sur \check{M}^{(k')} une structure de A-module.

Il faut encore que \underbrace{F'(M) \otimes F'(D(M))}_{(M^{k'})^{\vee}} \longrightarrow k' = F'(1_{C}) dans F'(D(M)) une première lettre est repassée et biffée ; au-dessus de la ligne, biffée : \check{M} \otimes \check{M}^{(k')} ; au-dessous, un second essai biffé d'où l'on ne tire que M^{k'}

provienne bien A d'un hom. M \otimes D(M) \longrightarrow 1_{C}

i.e. que M^{k'} \otimes_{k'} (M^{k'})^{\vee} \longrightarrow k' est A-linéaire, pour la structure A de gauche.

le A est inséré au-dessus du mot « structure »

Il suffit en le prouver pour M = A A^{k'} \otimes_{k'} U \xrightarrow{\ \text{acc. can.}\ } k'

A \otimes

la page s'arrête là, sur une ligne commencée et abandonnée ; le reste du feuillet est blanc, et c'est le dernier feuillet de mathématiques du dossier