Cote n° 155 · batch 1 · pages 1–10 · Transcription · [Rigidité de catégories tensorielles ?] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1984]
Édition de démonstration

les cinq feuillets de mathématiques du dossier portent sa pagination propre, un chiffre cerclé en haut à droite, 1 à 5, sur les pages 1, 3, 5, 7 et 9 des archivistes. Le titre entre crochets du fonds est celui des archivistes ; rien sur les feuillets ne porte de titre

1

Soient \(k\) un corps, \(k'/k\) ext. finie.

La donnée d'une \(\otimes\)-catégorie ACU \(C\) sur \(k\), et d'un foncteur fibre (exact) […] fidèle \(\otimes\)-foncteur \(k\)-lin. ACU [exact et] fidèle \[ F : C \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(k') \] équivaut à la donnée

l'abréviation qui qualifie ici la catégorie puis le foncteur est formée d'un \(A\) suivi de deux lettres liées ; elle est lue ACU — associatif, commutatif, unité — et n'est développée nulle part dans le dossier. La ligne biffée est remplacée par l'insertion « exact et » au-dessus et par « fidèle » au-dessous

1°) d'un schéma affine \(G'\) sur \(k'\), muni d'une section \(\varepsilon\), i.e. d'une \(k'\)-alg. commutative \(U\), […] […] \(k'\)-augmentation \(\varepsilon : U \to k'\),

2°) sur le pro-objet \(A\) \(A = \check{U}\) (de \(\operatorname{Mod}_{f}(k')\)), considéré comme pro-objet de \(\operatorname{Mod}_{f}(k')\), une structure de […] commutative et associative, admettant \(\varepsilon\) comme unité,

au-dessus de \(A = \check{U}\), en interligne : \(\overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Hom}_{k'}(U,k')\)

avec les conditions suivantes :

1. (i)l'homomorphisme \(k'\)-linéaire \(\lambda \mapsto \lambda\varepsilon\), \(k' \to A\) est multiplicatif en interligne, d'une main plus rapide : « […] la structure de pro-anneau de \(A\) pour le […] […] de \(k'\) »
2. (ii)l'hom. […] \[ A \longrightarrow A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k'} A \] déduit de la multiplication dans \(U\) est « multiplicatif », i.e. prenant ses valeurs dans \[ \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J} \subset A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A \qquad \bigl(\ \mathcal{J} = J\cdot(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A),\ \text{idéal} \ \bigr) \]

sous \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\), accoladé : « pro-\(k\)-alg. produit », et au-dessous « tens. »

[…] dont comp. par \[ J = \operatorname{Ker}(k' \otimes_{k} k' \to k'), \qquad \widetilde{\mathcal{J}} = \{\, \lambda \in A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A \mid \lambda\mathcal{J} \subset \mathcal{J} \,\} \]

les deux \(J\) ne se distinguent sur le feuillet que par le tilde : \(J\) est le noyau de \(k' \otimes_{k} k' \to k'\), \(\mathcal{J}\) l'idéal qu'il engendre dans \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\), \(\widetilde{\mathcal{J}}\) son idéalisateur. La distinction typographique est de l'éditeur

et à ce titre est […] […] hom. d'anneaux \(A \to \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J}\).

3

Ex. \(C = \operatorname{Mod}_{f}(k)\), \(F =\) le foncteur \(M \otimes_{k} k'\).

Alors \(U = k' \otimes_{k} k'\) (structure de \(k'\)-alg.), section canonique \(\varepsilon : k' \otimes k' \to k'\), provenant du foncteur […]

donc \[ \check{U}^{(k')} = A \;\simeq\; k' \otimes_{k} \check{k}'^{(k)} \;\simeq\; \operatorname{End}_{k}(k'), \] et […] y prend les structures d'anneaux […] habituelles.

N.B. si \(k'/k\) est […] donc \(U \simeq A^{\vee(k)}\) […] \(U \xrightarrow{\ \Delta_{U}\ } U \otimes_{k} U\) transposé de \(A \otimes_{k} A \to A\) […] […] […] associative […] (\(\Delta_{U}(1) \neq 1\) en général), (\(\otimes\) […] injectif …) et du […] ce bloc court en biais, à environ \(45^{\circ}\), le long du bord gauche du feuillet, d'une main plus rapide que le corps ; il est donné aussi loin qu'il se laisse lire

\(\langle\) On cherche conditions [intrinsèques] sur \(C\) [le \(\otimes\) est] qui assurent […] pour […] \(U \subset\) […] \(k'/k\) […] et \(F\) comme dessus, [que] le foncteur des \(A_{k}\)-modules de t.f. l'indice de \(A\) se lit \(k\) ou \(k'\) ; au-dessus de la lettre, en interligne : « \(= A \otimes_{k} k'\) » \[ M' \longrightarrow M' \otimes_{k' \otimes_{k} k'} k' \] soit exact (OK si \(k'/k\) […] étale) et fidèle.

la ligne est ouverte par un crochet et séparée de ce qui précède par un long trait courant d'un bord à l'autre ; les deux insertions « l'intrinsèque » et « le \(\otimes\) est » sont portées au-dessus de la ligne

Suffit-il que \(C\) soit rigide, et que \(k \overset{\sim}{\to} \operatorname{End}_{C}(1_{C})\) ? ? ?

Exprimer la rigidité de \(C\) ! doublement souligné, dernière ligne du feuillet

Rigidité

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet portant son chiffre 3

5

\(M \to \check{M}\) […] \(D(M)\) compatible avec foncteur fibre \(F'\), foncteur équivalence de catégories, donc exact donc cont. à droite, […] donc donné par \[ M \longmapsto \operatorname{Hom}_{A}(M, I) \] \(I\) objet de \(C\), muni d'opération de \(A\) : \(g\). \[ I \;=\; \struck{\ill{}}\, D(A) \;\simeq\; \check{A}_{g}^{(k')} \;=\; U \]

sous le signe \(\simeq\) : « compatibilité avec \(F'\) »

avec opération à g. de \(A\) provenant par transposition des opérations de \(A\) à droite sur \(A_{g}\), dans \(U\) […] une \(A\)-module.

Il faut de faire opérer \(A\) à gauche sur […] cet objet de \(\operatorname{Mod}(A)\) […] mettre sur \(U\) une structure de bimodule module sur \[ A \otimes A \] sous la formule, entre parenthèses : « […] opération déjà connue […] »

Et les endomorphismes […]

[…] on […] […] \(U\) […] \(D_{k'}(A)\) […] \(U\) […] \(D_{k'}(A)\) […] si \(k'/k\) […] fini […] second bloc en biais le long du bord gauche, même main rapide que celui du feuillet portant son chiffre 2 ; seuls les deux \(D_{k'}(A)\) et la mention de la finitude de \(k'/k\) s'en laissent tirer

[…] (autrement, ils ne font pas voir […] la \(k'\)-linéarité […] pour les \(k'\)-structures des deux côtés sur \(U\) !)

\(U\) […] tel que […] \(A\)-modules […] un […] […] endomorphismes de \(A\) […] \(A\) module : autre […] \[ \operatorname{End}_{A}(U) \;\simeq\; \operatorname{End}_{A}(A_{d})^{\circ} \;\simeq\; A^{\circ} \] donc il faut un [donné] […] \[ A \longrightarrow A^{\circ} \] au-dessus de la flèche : « \(a : a \mapsto \check{a}\) »

7

N.B. \[ D(M) \;=\; \operatorname{Hom}_{A}(M, U_{g}) \;=\; \operatorname{Hom}_{A}\bigl(M_{g}\,;\, \operatorname{Hom}_{k'}(A_{g}, k')\bigr) \] \(\simeq\) \(A_{d}\) modules des formes \(k'\)-bil. \[ \varphi : A_{g} \times M_{g} \longrightarrow k' \] telles que \[\begin{align*} \varphi(\lambda u, x) &= \lambda\,\varphi(u,x), \\ \varphi(u \cdot v, x) &= \varphi(u, v.x), \end{align*}\] en regard, la légende des variables : \(\lambda \in k'\), \(u \in \uncertain{A}\), \(x \in \uncertain{M}\)

i.e. compatible aux […], donne \[ A_{d} \otimes_{A} M \longrightarrow k' \] qui soit \(k'\)-linéaire, pour la structure de \(k'\)-module à gauche provenant de \(A_{d}\).

Or \[ A_{d} \otimes_{A} M \;\simeq\; M \qquad \text{(comme du $k'$-module)} \] \[ 1 \otimes x \longleftarrow x, \qquad \lambda(1 \otimes x) = \lambda \otimes x = 1 \otimes \lambda x \longleftarrow \lambda x \] donc en toutes fins \[ F'(D(M)) \;=\; \check{M}^{(k')} \] et la donnée des \(a : A \to A^{\circ}\) […] […] sur \(\check{M}^{(k')}\) une structure de \(A\)-module.

Il faut encore que \[ \underbrace{F'(M) \otimes F'(D(M))}_{(M^{k'})^{\vee}} \longrightarrow k' = F'(1_{C}) \] dans \(F'(D(M))\) une première lettre est repassée et biffée ; au-dessus de la ligne, biffée : \(\check{M} \otimes \check{M}^{(k')}\) ; au-dessous, un second essai biffé d'où l'on ne tire que \(M^{k'}\)

provienne bien \(A\) d'un hom. \[ M \otimes D(M) \longrightarrow 1_{C} \]

9

i.e. que \[ M^{k'} \otimes_{k'} (M^{k'})^{\vee} \longrightarrow k' \] est \(A\)-linéaire, pour la structure [\(A\)] de gauche.

le \(A\) est inséré au-dessus du mot « structure »

Il suffit en le prouver pour \[ M = A \] \[ A^{k'} \otimes_{k'} U \xrightarrow{\ \text{acc. can.}\ } k' \]

\(A \otimes\) […]

la page s'arrête là, sur une ligne commencée et abandonnée ; le reste du feuillet est blanc, et c'est le dernier feuillet de mathématiques du dossier