Cote n° 155 · pages 1–10 · Lecture modernisée · [Rigidité de catégories tensorielles ?] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1984]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–9

Le fil du dossier, et les conventions

Cinq feuillets, paginés de sa main de 1 à 5, qui sont les pages 1, 3, 5, 7 et 9 de l'inventaire¹ . L'argument ne s'interrompt pas d'un feuillet à l'autre et se lit en cinq stations :

• page 1 : le dictionnaire. Ce que c'est que se donner une catégorie tensorielle sur \(k\) et un foncteur fibre à valeurs dans les \(k'\)-espaces vectoriels de dimension finie, en termes d'une algèbre.
• page 3, première moitié : l'exemple de la descente, \(C = \operatorname{Mod}_{f}(k)\) et \(F = -\otimes_{k} k'\), où le dictionnaire donne \(U = k' \otimes_{k} k'\) et \(A = \operatorname{End}_{k}(k')\).
• page 3, seconde moitié : la question du dossier, en deux morceaux — une condition technique d'exactitude et de fidélité, et la question de fond : la rigidité suffit-elle ?
• page 5 : la rigidité mise sous forme représentable. Le foncteur de dualité est un \(\operatorname{Hom}_{A}(-, I)\), l'objet dualisant \(I\) est \(U\) lui-même, et la structure supplémentaire que cela exige sur \(U\) équivaut à un anti-isomorphisme de \(A\).
• pages 7 et 9 : le calcul du dual, \(F'(D(M)) = \check{M}^{(k')}\), puis la compatibilité qui reste — que l'accouplement d'évaluation soit un morphisme de \(C\) — réduite au cas \(M = A\), et abandonnée en cours de ligne.

Notation

\(k\) est un corps, \(k'/k\) une extension finie. \(C\) est une \(\otimes\)-catégorie \(k\)-linéaire, associative, commutative et unifère² , et \(F' : C \to \operatorname{Mod}_{f}(k')\) le foncteur fibre : \(k\)-linéaire, exact, fidèle, compatible au produit tensoriel³ .

\(U\) est une \(k'\)-algèbre commutative munie d'une augmentation \(\varepsilon : U \to k'\), et \[ A \;=\; \check{U} \;=\; \operatorname{Hom}_{k'}(U, k') \] son dual, pris comme pro-objet de \(\operatorname{Mod}_{f}(k')\) : \(U\) est la réunion filtrante de ses sous-espaces de dimension finie, \(A\) la limite projective de leurs duaux, c'est-à-dire une algèbre linéairement topologisée. \(A_{g}\) et \(A_{d}\) désignent \(A\) vue comme module à gauche, resp. à droite, sur elle-même — les indices sont de lui. \(D\) est la dualité de \(C\) et \(\check{M}^{(k')} = \operatorname{Hom}_{k'}(M, k')\) le dual \(k'\)-linéaire. Enfin \[ J \;=\; \operatorname{Ker}(k' \otimes_{k} k' \to k'), \qquad \mathcal{J} \;=\; J\cdot(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A), \qquad \widetilde{\mathcal{J}} \;=\; \{\lambda \mid \lambda\mathcal{J} \subset \mathcal{J}\}. \]

Trois homonymies

Elles rendent les feuillets illisibles pris ligne à ligne, et elles sont levées une fois pour toutes ici.

La lettre \(A\). Elle désigne \(\check{U}\) page 1 et dans le calcul de la page 3. Mais dans la question posée au bas de la page 3 elle porte un indice et une glose interlinéaire « \(= A \otimes_{k} k'\) » : là, elle nomme le changement de base, qui est une algèbre sur \(k' \otimes_{k} k'\) et non sur \(k'\). Cette lecture l'écrit \(A_{k'}\).

La lettre \(D\). C'est la dualité de la catégorie pages 5 et 7 ; le \(D_{k'}(A)\) de la note marginale de la page 5 est le dual \(k'\)-linéaire de \(A\), donc \(U\).

Les deux \(J\). Le feuillet ne les distingue que par un tilde. \(J\) est un idéal de \(k' \otimes_{k} k'\), \(\mathcal{J}\) l'idéal qu'il engendre dans \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\), \(\widetilde{\mathcal{J}}\) l'idéalisateur de ce dernier ; la distinction typographique est de l'éditeur.

1–1

I. Le dictionnaire (page 1)

La page énonce une équivalence de données. D'un côté :

• une \(\otimes\)-catégorie \(C\) sur \(k\), et un \(\otimes\)-foncteur \(k\)-linéaire exact et fidèle \(F' : C \to \operatorname{Mod}_{f}(k')\).

De l'autre :

1. 1^o)un schéma affine \(G' = \operatorname{Spec} U\) sur \(k'\) muni d'une section, c'est-à-dire une \(k'\)-algèbre commutative \(U\) munie d'une augmentation \(\varepsilon : U \to k'\) ;
2. 2^o)sur le pro-objet \(A = \check{U}\), une multiplication associative admettant \(\varepsilon\) pour unité⁴ ;

soumis à deux conditions de multiplicativité, qui font l'objet de la section suivante.

Ce qui est dit là, sans être dit, est ceci : \(C\) est la catégorie des \(A\)-modules de dimension finie sur lesquels \(A\) opère continûment, \(F'\) est le foncteur d'oubli qui ne retient que le \(k'\)-espace vectoriel sous-jacent, et c'est la multiplication de \(A\) — l'article 2^o) — qui porte toute cette partie-là de la structure. La comultiplication de \(U\), dont la multiplication de \(A\) est la transposée, est la loi de composition du futur groupoïde ; l'augmentation \(\varepsilon\) en est l'unité⁵ .

Le produit tensoriel de \(C\), lui, n'est pas dans la multiplication de \(A\) : il est dans la comultiplication \[ \Delta_{A} : A \longrightarrow A \mathbin{\hat{\otimes}} A, \] qui est la transposée de la multiplication de \(U\) — laquelle est donnée gratuitement par 1^o), puisque \(U\) est une algèbre. C'est pourquoi la page n'a pas à la postuler : elle a seulement à demander qu'elle soit compatible au reste, et c'est la condition (ii).

En langage d'aujourd'hui, la donnée \((U, \varepsilon, A)\) est un algébroïde de Hopf — ou, du côté géométrique, un groupoïde affine au-dessus de \(\operatorname{Spec} k'\), agissant transitivement sur \(\operatorname{Spec} k'\) — moins son antipode, qui est précisément ce que les pages 5 à 9 vont chercher⁶ .

1–1

II. Les deux conditions, et pourquoi \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k'} A\) ne convient pas (page 1)

Condition (i). L'application \(k' \to A\), \(\lambda \mapsto \lambda\varepsilon\), est multiplicative : l'unité de \(A\) est \(\varepsilon\), et \(k'\) s'envoie dans \(A\) par un morphisme d'algèbres⁷ .

Condition (ii). La comultiplication \(\Delta_{A}\), transposée de la multiplication de \(U\), est multiplicative — c'est-à-dire un morphisme d'algèbres. C'est l'axiome de bigèbre, et c'est lui qui fait du produit tensoriel de deux \(A\)-modules un \(A\)-module.

Reste à savoir dans quoi \(\Delta_{A}\) prend ses valeurs, et c'est ici que la page fait le travail intéressant. Elle écrit d'abord la flèche comme allant dans \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k'} A\), puis se corrige aussitôt : les valeurs sont dans \[ \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J} \;\subset\; \bigl(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\bigr)\big/\mathcal{J}, \qquad \mathcal{J} = J\cdot\bigl(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\bigr), \quad J = \operatorname{Ker}(k' \otimes_{k} k' \to k'), \] et l'application \(A \to \widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J}\) est un morphisme d'anneaux.

La correction est nécessaire, et voici pourquoi⁸ . \(A\) n'est pas commutative et \(k'\) n'y est pas central : le corps opère sur \(A\) de deux manières, celle qui vient de la structure de \(k'\)-algèbre de \(U\) et celle qui vient de la seconde patte du groupoïde, et ces deux actions ne coïncident pas. Or le produit tensoriel \(B \otimes_{R} B\) de deux copies d'un anneau \(B\) au-dessus d'un anneau \(R\) n'est un anneau que si \(R\) est central dans \(B\). Ici il ne l'est pas, et \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k'} A\) — qui n'est autre que le quotient \((A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A)/\mathcal{J}\) — n'est qu'un module. Passer à l'idéalisateur \(\widetilde{\mathcal{J}}\), c'est prendre le plus grand sous-anneau de \(A \mathbin{\hat{\otimes}}_{k} A\) dans lequel \(\mathcal{J}\) soit un idéal bilatère ; le quotient \(\widetilde{\mathcal{J}}/\mathcal{J}\) est alors un anneau, et c'est le seul endroit où l'énoncé « \(\Delta_{A}\) est multiplicative » ait un sens.

C'est, au dual près, le produit de Takeuchi des algébroïdes de Hopf⁹ . La même difficulté reparaît, vue de l'autre côté, dans la note marginale de la page 3 : la transposée \(U \to U \otimes_{k} U\) de la multiplication de \(A\) n'y respecte pas les unités, et il le note lui-même — « \(\Delta_{U}(1) \neq 1\) en général ».

3–3

III. L'exemple : la descente de \(k'\) à \(k\) (page 3)

Le plus petit cas est celui où l'on ne gagne rien à changer de base : \[ C = \operatorname{Mod}_{f}(k), \qquad F' : M \longmapsto M \otimes_{k} k'. \] Le dictionnaire donne alors \[ U = k' \otimes_{k} k', \qquad A = \check{U} = \operatorname{Hom}_{k'}(k' \otimes_{k} k', k') \;\simeq\; k' \otimes_{k} \check{k}' \;\simeq\; \operatorname{End}_{k}(k'), \] avec pour augmentation la multiplication \(k' \otimes_{k} k' \to k'\).

Géométriquement, \(\operatorname{Spec}(k' \otimes_{k} k')\) est le groupoïde des paires de \(\operatorname{Spec} k'\) au-dessus de \(\operatorname{Spec} k\) : deux pattes, qui sont les deux projections, et une composition qui recolle. Ses représentations sont exactement les données de descente, et la catégorie de ces données est \(\operatorname{Mod}_{f}(k)\) : on retrouve \(C\), ce qui est la descente galoisienne¹⁰ .

Du côté de l'algèbre le même fait se lit autrement, et plus brutalement : \(\operatorname{End}_{k}(k')\) est une algèbre de matrices \(M_{n}(k)\), \(n = [k' : k]\), donc Morita-équivalente à \(k\), et ses modules de dimension finie sont les \(k\)-espaces vectoriels de dimension finie. C'est bien \(C\) qu'on récupère, et on le récupère sans hypothèse de séparabilité : l'isomorphisme \(\operatorname{End}_{k}(k') \simeq M_{n}(k)\) ne demande que la finitude.

Ce petit exemple porte déjà tout ce que la page 1 avait de surprenant. \(A\) y est non commutative dès que \([k':k] > 1\), et \(k'\) n'y est pas central : il s'y plonge de deux manières, par la source et par le but, exactement les deux actions qui rendaient nécessaire l'idéalisateur.

3–3

IV. La question du dossier (page 3)

Un long trait sépare le calcul de ce qui suit, et ce qui suit est ouvert par un crochet. Il tient en deux morceaux.

Premier morceau, technique. On demande que le foncteur de changement de base le long de la diagonale, \[ M' \longmapsto M' \otimes_{k' \otimes_{k} k'} k', \] soit exact et fidèle sur les \(A_{k'}\)-modules de type fini, où \(A_{k'} = A \otimes_{k} k'\) est une algèbre sur \(k' \otimes_{k} k'\). Il note lui-même, entre parenthèses : « OK si \(k'/k\) étale ».

C'est juste pour l'exactitude, et pour la raison suivante : \(k'/k\) séparable équivaut à \(k' \otimes_{k} k'\) réduite, donc étale sur \(k'\), donc produit de corps ; \(k'\) y est alors un facteur direct, donc plat, et le changement de base est exact. Pour \(k'/k\) non séparable, \(k' \otimes_{k} k'\) est locale à nilpotents et l'exactitude tombe¹¹ . La fidélité, en revanche, est fausse telle quelle : dès que \(k' \otimes_{k} k' \simeq k' \times R\) avec \(R \neq 0\), un module concentré sur le facteur \(R\) est tué par le foncteur. Ce que la condition demande réellement, c'est donc que les modules provenant de \(C\) soient concentrés sur la composante diagonale — et c'est précisément le genre d'énoncé que la question suivante cherche à obtenir de \(C\) seule¹² .

Second morceau, de fond. Quelles conditions intrinsèques sur \(C\) — l'insertion interlinéaire dit « intrinsèques », et c'est le mot qui compte — garantissent tout cela ? Et il écrit la candidate, suivie de trois points d'interrogation :

Suffit-il que \(C\) soit rigide, et que \(k \overset{\sim}{\to} \operatorname{End}_{C}(1_{C})\) ? ? ?

puis, doublement souligné, en dernière ligne du feuillet :

Exprimer la rigidité de \(C\) !

La réponse, telle que la théorie l'a donnée depuis, est : non, pas en général — et il manque exactement une condition numérique. Une catégorie tensorielle rigide, abélienne, \(k\)-linéaire, avec \(\operatorname{End}(1) = k\), admet un foncteur fibre sur une extension de \(k\) si et seulement si, en caractéristique nulle, la dimension de chacun de ses objets est un entier \(\geq 0\) ; et elle est alors la catégorie des représentations d'un groupoïde affine du type que la page 1 décrit. En caractéristique positive la question reste ouverte¹³ .

Les deux pages qui suivent ne traitent pas de cette question-là. Elles traitent de l'autre moitié du programme : étant donnée la rigidité, que devient-elle dans l'algèbre \(A\) ?

5–5

V. La rigidité représentée : l'objet dualisant est \(U\) (page 5)

Le feuillet s'ouvre sur un titre de sa main, souligné : Rigidité.

Soit \(M \mapsto \check{M} = D(M)\) la dualité de \(C\). Elle est compatible au foncteur fibre, c'est une équivalence de catégories — donc exacte —, et il en tire qu'elle est continue à droite, c'est-à-dire qu'elle transforme les limites inductives en limites projectives. Un tel foncteur contravariant est représentable : il existe un objet \(I\) tel que \[ D(M) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{A}(M, I). \] Reste à identifier \(I\), et il suffit pour cela d'évaluer en \(M = A\) : \[ I \;=\; D(A) \;\simeq\; \check{A}_{g} \;=\; U. \] L'objet dualisant est donc \(U\) lui-même — le dual du module régulier, que le dictionnaire de la page 1 avait placé du côté « fonctions » et qui revient ici du côté « objets »¹⁴ .

Mais \(U\) n'est pour l'instant qu'un module à droite : l'opération de \(A\) qu'on y lit vient, par transposition, de la multiplication à droite de \(A\) sur elle-même. Pour que \(\operatorname{Hom}_{A}(M, U)\) soit encore un objet de \(C\), il faut que \(U\) porte en plus une opération à gauche, commutant à celle-là. Il faut donc faire de \(U\) un bimodule¹⁵ .

5–5

VI. Ce que cette structure vaut : un anti-isomorphisme de \(A\) (page 5)

La structure supplémentaire cherchée se calcule d'un mot, parce que les endomorphismes du module régulier sont connus : \[ \operatorname{End}_{A}(U) \;\simeq\; \operatorname{End}_{A}(A_{d})^{\circ} \;\simeq\; A^{\circ}. \] Se donner l'opération à gauche revient donc à se donner un morphisme \[ A \longrightarrow A^{\circ}, \qquad a \longmapsto \check{a}, \] c'est-à-dire un anti-morphisme de \(A\) dans elle-même : une application qui renverse les produits : l'image de \(ab\) est \(\check{b}\,\check{a}\). Comme la dualité est une équivalence et que son carré est isomorphe à l'identité, cet anti-morphisme est bijectif et involutif¹⁶ .

C'est l'antipode. Dans le dictionnaire, la multiplication de \(A\) est la composition du groupoïde, la comultiplication est le produit tensoriel, et cette involution qui renverse les produits est le passage à l'inverse : c'est ce que la rigidité de \(C\) devient une fois traduite. Le mot est de nous ; la chose est sur la page¹⁷ .

On peut vérifier l'énoncé sur l'exemple de la page 3, ce que le dossier ne fait pas. Là, le groupoïde est celui des paires et son inversion échange les deux projections, donc échange les deux facteurs de \(U = k' \otimes_{k} k'\) ; la transposée de cet échange est un anti-automorphisme de \(A = \operatorname{End}_{k}(k')\), c'est-à-dire, par Skolem–Noether, la transposition composée avec un automorphisme intérieur. L'inverse du groupoïde des paires est bien la transposition des matrices.

7–7

VII. Le calcul du dual : \(F'(D(M)) = \check{M}^{(k')}\) (page 7)

Le feuillet suivant vérifie que la dualité ainsi obtenue est la bonne, c'est-à-dire que le foncteur fibre l'envoie sur la dualité des espaces vectoriels. Le calcul est une adjonction, écrite en trois lignes : \[\begin{align*} D(M) &\;=\; \operatorname{Hom}_{A}(M, U_{g}) \;=\; \operatorname{Hom}_{A}\bigl(M_{g},\, \operatorname{Hom}_{k'}(A_{g}, k')\bigr) \\ &\;\simeq\; \operatorname{Hom}_{k'}\bigl(A_{d} \otimes_{A} M,\, k'\bigr). \end{align*}\] La page écrit le terme du milieu sous sa forme explicite : les formes \(k'\)-bilinéaires \(\varphi : A_{g} \times M_{g} \to k'\) telles que \[ \varphi(\lambda u, x) = \lambda\,\varphi(u,x), \qquad \varphi(u\cdot v, x) = \varphi(u, v.x), \] \(\lambda\) dans \(k'\), \(u\) dans \(A\), \(x\) dans \(M\) — ce qui est exactement la description des éléments du \(\operatorname{Hom}\) adjoint.

Il reste à contracter, et c'est immédiat : \[ A_{d} \otimes_{A} M \;\simeq\; M, \qquad x \longmapsto 1 \otimes x, \qquad \lambda(1 \otimes x) = \lambda \otimes x = 1 \otimes \lambda x, \] la seconde ligne étant la vérification que l'isomorphisme est \(k'\)-linéaire pour la structure de \(k'\)-module venue de \(A_{d}\). D'où la conclusion du feuillet : \[ F'\bigl(D(M)\bigr) \;=\; \check{M}^{(k')}. \] Le foncteur fibre envoie le dual catégorique sur le dual linéaire : c'est l'énoncé, en une formule, qu'il est un \(\otimes\)-foncteur rigide. Et c'est l'anti-morphisme \(a \mapsto \check{a}\) de la page précédente qui munit \(\check{M}^{(k')}\) de sa structure de \(A\)-module — la seule manière de faire opérer \(A\) sur un dual étant de renverser l'ordre des produits¹⁸ .

7–9

VIII. La compatibilité qui reste, et l'arrêt (pages 7 et 9)

Une chose n'est pas encore acquise. On sait maintenant que \(F'(D(M))\) est le dual linéaire de \(F'(M)\), donc qu'il existe un accouplement d'évaluation \[ F'(M) \otimes_{k'} F'\bigl(D(M)\bigr) \longrightarrow k' = F'(1_{C}). \] Mais rien ne dit encore que cet accouplement provienne d'un morphisme de \(C\) \[ M \otimes D(M) \longrightarrow 1_{C}, \] et sans cela la dualité obtenue n'est pas la dualité de la catégorie : elle n'en est que l'ombre après application du foncteur fibre. La condition à vérifier est que l'évaluation soit \(A\)-linéaire pour l'opération diagonale, celle que donne la comultiplication \(\Delta_{A}\) de la page 1.

La page 9 pose le problème sous cette forme et le réduit aussitôt au cas du module régulier : il suffit de le prouver pour \(M = A\), c'est-à-dire pour l'accouplement canonique \[ A^{k'} \otimes_{k'} U \longrightarrow k'. \] Puis la ligne suivante commence, « \(A \otimes\) », et s'arrête. Le reste du feuillet est blanc, et c'est le dernier feuillet de mathématiques du dossier¹⁹ .

L'équation qui restait à écrire porte, aujourd'hui, un nom : c'est l'axiome de l'antipode, \[ \textstyle\sum \check{a}_{(1)}\,a_{(2)} \;=\; \varepsilon(a), \] qui dit exactement que l'évaluation est un morphisme de comodules. Le dossier s'arrête au seuil de cette vérification²⁰ .

3–9

IX. Ce que le dossier laisse ouvert

Quatre choses, et il vaut mieux les dire que les laisser deviner.

Les conditions intrinsèques. C'est l'objet déclaré de la recherche au bas de la page 3 — « on cherche conditions intrinsèques sur \(C\) » — et aucune n'est trouvée. Les feuillets font le chemin inverse : ils supposent la rigidité et regardent ce qu'elle donne.

Les trois points d'interrogation. La suffisance de « rigide, et \(k \overset{\sim}{\to} \operatorname{End}_{C}(1_{C})\) » est posée et laissée en suspens. La réponse moderne, rappelée plus haut, est négative sans une condition de dimension, en caractéristique nulle ; en caractéristique positive elle n'est pas connue.

La dernière vérification. Elle est réduite au module régulier et abandonnée en cours de ligne.

La réciproque. Que l'existence d'un antipode redonne la rigidité — la moitié facile et la seule qui ferait du critère un critère — n'est ni énoncée ni utilisée. Le programme du titre, « exprimer la rigidité de \(C\) », est donc tenu dans un sens seulement : la rigidité est traduite, elle n'est pas caractérisée.