page de dessins en couleur, sans texte. En haut, quatre petits rectangles bordés de vert ou de brun, traversés de droites rouges qui se croisent. Un disque bordé de vert, rempli de pseudo-droites rouges, traversé par deux droites vert clair fléchées marquées D_1 et D_\nu ; un disque rouge rempli de courbes rouges et vertes qui vont d'un point du bord au point opposé. Au crayon, trois droites D_2, D_0, D_1 qui passent à travers deux croisements orange. Au milieu, une droite vert clair qui contourne des croisements orange, les sommets marqués s_p, s_0, s_1, s_2, et les étiquettes D_p, D_1, D_\nu. En bas, un hexagone rouge au pourtour épais, rempli de tirets orange, aux sommets duquel se croisent des droites rouges (deux points marqués) ; une grille de droites rouges et orange ; une bande de droites vert clair coupée de croisements orange, avec un chemin en tirets
à gauche, un disque bordé de jaune, deux points marqués sur le bord, contenant une courbe rouge qui se recoupe plusieurs fois ; à côté, le mot « Non » (souligné). À droite, des croquis au crayon : un cercle traversé d'une courbe, des droites qui se croisent en étoile sur une droite, des arcs
dessins en couleur, sans texte : une pseudo-droite rouge qui coupe une droite jaune, une région hachurée au crayon ; un disque bordé de rouge, deux points jaunes opposés sur le bord, traversé de pseudo-droites rouges et d'un faisceau de fines courbes au crayon qui joignent les deux points (un balayage) ; un demi-disque rouge dont la base jaune porte un segment noir ; un cercle au crayon ; un grand disque aux pseudo-droites rouges et noires très enchevêtrées, balayé de même par un faisceau de courbes au crayon entre deux points du bord ; enfin, un croisement orange posé sur une droite verte
dessins en couleur, sans texte : des droites rouges qui se croisent sur une droite vert clair fléchée, avec des arcs noirs qui contournent un croisement (un balayage à travers un triangle), les arcs successifs numérotés 1 à 5 ; au crayon, une suite de flèches numérotées 1 à 5 ; plusieurs croisements rouges sur des droites vertes et brunes ; un disque bordé de vert traversé de droites rouges, deux arcs rouges épais sur le bord ; en bas, deux petits disques verts, l'un traversé d'un fuseau d'arcs rouges joignant deux points opposés du bord, l'autre d'un diamètre rouge ; des disques au crayon
dessins en couleur, sans texte : un éventail d'arêtes orange (pleines et en tirets) issu d'un sommet, dans un pentagone bleu et vert ; une étoile bleue dont le centre est entouré de pétales bruns ; un réseau cellulaire vert (sommets d'ordre 4) et bleu, avec en son centre la même fleur de pétales et une bande bleue hachurée ; un cercle orange traversé d'une étoile de rayons bleus ; un petit quadrillage bleu et vert ; un triangle curviligne noir contenant une étoile verte, avec un arc hachuré
en haut, une bande : une droite vert clair entre deux droites brunes, coupée de croisements orange ; les segments de la droite supérieure sont marqués p', q', s', u', v', w', y', z', ceux de l'inférieure p, q, r, t, u, w, x, z, avec de petites marques x, 1, 2, 3 et des barres noires sur certains croisements. À droite, un cercle au crayon traversé de droites orange, aux extrémités marquées de barres bleues ; des morceaux de graphe vert (en H, en Y) ; un heptagone bleu avec des cordes orange et une étoile verte au centre. En bas, des étoiles au crayon avec des flèches, une fleur de pétales hachurés et un grand « 2 » ; un petit peigne orange
\boxed{\sigma_1,\ \sigma,\ \sigma_2,\ \sigma_0}
encadré au milieu du bas de la page
dessins en couleur, sans texte : une colonne de trois disques tangents (bleus et au crayon) traversés par une même pseudo-droite orange ; un disque rempli de pseudo-droites orange, entouré d'un cercle vert en tirets, tangent à un cercle vert vide ; un disque aux pseudo-droites orange dont le bord porte de petites encoches bleues en demi-cercle ; un disque vert et bleu rempli de pseudo-droites orange ; un disque au crayon ; un polygone au crayon avec une étoile de flèches orange et de rayons bleus
dessins en couleur, sans texte : trois graphes superposés, bleu, vert et orange, autour d'un sommet bleu central, avec six petits carrés bruns aux sommets de l'hexagone orange ; une étoile bleue à huit branches ; un sommet bleu entouré d'un cercle orange hachuré ; un graphe vert en tirets ; un hexagone vert portant des triangles orange à ses sommets, traversé de rayons bleus
dessins en couleur, sans texte sinon des signes : plusieurs paires de disques tangents (figures en huit) traversés de pseudo-droites rouges, des triangles coloriés en jaune ; dans la paire centrale, des points marqués + dans le disque du haut et - dans celui du bas, et des flèches doubles près du point de contact ; un réseau vert traversé de droites orange ; des disques au crayon, l'un au bord jaune ondulé
à gauche, dessins en couleur : deux disques tangents traversés de pseudo-droites rouges, un arc du bord hachuré en noir ; un disque vert traversé de pseudo-droites rouges, le bord marqué d'accolades \alpha, \gamma, \beta ; un disque vert aux pseudo-droites rouges ; à droite, deux cercles, rouge et vert, qui se coupent en deux points
\alpha + \gamma + 1
\frac{\alpha + \gamma + 1}{2} \qquad \frac{\beta + \gamma + 1}{2}
\frac{\alpha + \beta + 2\gamma + 2}{2} \leqslant \alpha + \beta + \gamma + 1 \quad \ill{}
\alpha + \beta + \gamma + 1 3 - \dfrac{\alpha + \beta}{2} \leqslant
\dfrac{\alpha + \beta}{2} (\geqslant 1)
la lecture du premier terme de la ligne biffée est incertaine ; le « \geqslant » final est surchargé
dessins en couleur : plusieurs disques verts ou orange traversés de pseudo-droites orange ; dans deux d'entre eux, un arc vert clair (une pseudo-droite en position relative) et les points d'intersection numérotés sur le bord 1, 2, \ldots, 10, avec « 11 = 1 », et dans un troisième, bordé de violet, les points 1, 2, 3, 4 et 1', 2', 3', 4' ; un demi-disque brun au bord orné de petites flèches ; des cercles noirs fléchés ; un rectangle au crayon aux coins numérotés 1, \ldots, 4 et 1', \ldots, 4' ; un cercle au crayon dont le bord porte \xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_{n-2}, \xi_{n-1} et \xi'_1, \xi'_2, \ldots, \xi'_{n-2}
2n \big/ 2(n+1) \qquad 2 \geqslant 2n
le second terme est surchargé ; au-dessous, une droite vert clair traversée d'une flèche verticale
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 1' & 2' & 3' & 4' \\
\xi_0 & \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 = \xi_{n-1} & & & &
\end{array}
\widetilde{\Delta}_{\tilde{s}} \xrightarrow[\sim]{\varphi_0} \widetilde{\Delta}'_{\tilde{s}_0}
\qquad
\widetilde{\Delta}_{\tilde{s}} \xrightarrow{\varphi_1} \widetilde{\Delta}^{\ast}_{\tilde{s}_1}
les deux flèches partent du même \widetilde{\Delta}_{\tilde{s}}, l'une horizontale, l'autre en diagonale ; les indices \tilde{s}_0, \tilde{s}_1 sont d'une lecture incertaine
\alpha,\ u^{n}\xi_0,\ u^{n+1}\xi_0,\ \ldots,\ u^{2(n-1)-1}\xi_0
\qquad
\alpha,\ u^{n}\xi_0,\ u^{n+1}\xi_0,\ \ldots,\ u^{2n-2}\xi_0
\xi_0\ \xi_1 \cdots \xi_{n-2}\ \xi_{n-1} = \xi'_0
\qquad
\xi_0\ \xi_1 \cdots \xi_{n-1}\ \xi_n = \xi'_0
les deux groupes de formules sont écrits de part et d'autre d'un cercle vert ; sous le premier, « u^{n-1} » ; les exposants sont d'une lecture incertaine
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1' & 2' & 3' & 4'
\end{array}
\qquad
0\ 2'\ 3'\ 4'\ 0'\ 1\ 2\ 3\ 4\ 1'
dans le premier tableau, 2, 3, 4 et 2', 3', 4' sont encadrés et une flèche ramène de 4 à 1' ; dans la suite de droite, des arcs relient 2' à 2, 3' à 3, 4' à 4 et 0 à 1'
\operatorname{Circ}\bigl(\widetilde{I \setminus \lbrace i_0 \rbrace}\bigr) \leftarrow \tilde{\imath}_0
au crayon ; en bas à droite, un cercle noir traversé d'un diamètre, les extrémités marquées \alpha et \alpha', une flèche de rotation
en haut à gauche, un dessin en couleur : un fuseau (bigone) bordé d'un arc vert foncé et d'un arc vert clair, entre deux croisements orange, traversé de pseudo-droites orange et de cinq courbes brunes numérotées 1 à 5 aux deux bouts, qui le balaient ; au milieu, un second dessin du même fuseau, les courbes numérotées 1 à 8, les croisements marqués « 1 = 5 », « 2 », « 3 », « 4 », « 5 = 8 » (en orange), « 5/6 » sur l'arc supérieur et « 1/2 » sur l'inférieur
fuseau avec : a des deux rives (= côtés du bigone) du fuseau ; \varpi des deux extrémités ; \Omega des deux orientations du fuseau ; \boxed{\Omega \simeq a \wedge \varpi}
en haut à droite, les quatre lignes réunies par une accolade ; « (= côtés du bigone) » est écrit au-dessus de la ligne, « du fuseau » ajouté après « orientations » ; la lettre \varpi est écrite sur une autre, biffée
\Omega' \simeq \Omega \wedge \varpi \simeq a \Omega' une des orientations de X en le sommet du fuseau. Si on a choisi un D \in a, donc a \simeq \lbrace \pm 1 \rbrace,
NB « Fuseau » \longleftrightarrow p.r. critique, avec sommet fixé dessus (« él. de contact »)
On trouve donc le circuit D_1, D_2, \ldots, D_8, D_9 = D_1. Comment trouvons-nous le circuit inverse D_2, D_1 = D_9, D_8, \ldots, D_3, D_2 ? C'est en changeant à la fois la rive \rho, et l'orientation \omega.
Ainsi, l'opération \sigma_2 sur les repères de \widetilde{X} correspond à l'opération qui fixe \varpi (orientation en s) et qui change la coorientation de D, i.e. des ou du fuseau)
au-dessous, un croquis au crayon : un cercle partagé en secteurs marqués D_1, \ldots, D_8, un axe fléché passant par le centre
Ce circuit de positions relatives stables dépend de la position semi-stable de départ D avec le sommet s \in S_D (vert clair), du choix de sa générisation de départ, i.e. de la rive correspondante \rho de D en s, et d'une des repères des triangles), ce qui (moyennant le choix de \rho) équivaut à la donnée d'une orientation \varpi de X en s.
colonne de droite ; à côté, un petit dessin : un croisement orange sur la droite vert clair D, orientée par \omega, le sommet s et, au-dessous, la rive brune \rho
Donner (D, \varpi, \omega) revient donc à que de donner le fuseau qu'il définit, avec un de X en son sommet, et une somme (déployée) du fuseau i.e. une de ses
les quatre dernières lignes, serrées au bas de la page, sont d'une lecture très incertaine
croquis au crayon, sans texte : des arrangements de trois ou quatre droites, et un cercle coupé de quatre droites, dont les régions portent le nombre de leurs côtés (3, 4, 5) ; un petit cercle traversé de courbes (au crayon, et un autre en vert)
De ce point de vue, \sigma_2 est l'opération qui fixe
Non, cette opération inverse, i.e. en tant qu'opération \sigma dans les repères de \widetilde{X}, est celle qui remplace un repère par son symétrique p.r. au sommet fuseaux locaux fuseaux globaux \leftarrow des \sigma_1, \sigma, \sigma_2, \sigma_0 sur les repères, dont deux covariantes commutant. On vient d'interpréter \sigma, \sigma_2 comme opérations sur les fuseaux, il resterait à interpréter \sigma_1 et \sigma_0.
« fuseaux locaux » est biffé et souligné d'une accolade ; « fuseaux globaux » est écrit à la suite, une accolade sous « globaux »
Pour \sigma_1, on trouve que les classes de \widetilde{X}^{\mathrm{rep}}/\sigma_1, i.e. les secteurs angulaires de \widetilde{X}, correspondent aux fournis par une p.r. stable ()
l'exposant de \widetilde{X}, lu « rep » (repères), est incertain ; de même page 135
colonne de droite : deux dessins en couleur. Un fuseau bordé de tirets vert clair et vert foncé, entre deux croisements orange, balayé d'une courbe au crayon qui revient sur elle-même, une flèche vers la droite ; un fuseau semblable, prolongé des deux côtés par une droite noire, les sommets marqués a (avec l'orientation \omega_a) et b (avec \omega_b), de petites flèches de rotation
et deux triangles formés « anticovariants », donnant naissance à deux p.r. sous-stables donnant avec une orientation C'est les fuseaux locaux, i.e. des \sigma_1 et la symétrie centrale, celle de \sigma_2. Il faudrait comprendre aussi les classes de \widetilde{X}^{\mathrm{rep}}/(\sigma_1, \sigma), qui sont fournis dans \lbrace D_{1/2}, D_{2/3}, D_{5/6}, D_{6/7}
« anti » est biffé dans « anticovariants », le mot souligné ; l'accolade ouverte n'est pas refermée
en bas à droite, un dessin : deux croisements orange sur une droite noire, entourés de tirets bruns et d'une courbe au crayon qui les enjambe ; légendes « arête de D » et « p.r. critique D »
faces \leftrightarrow fuseaux
sommets \leftrightarrow droites
arêtes \leftrightarrow bisect. ang. locaux
au bas de la page à gauche, en petits caractères
Sur \widetilde{X}^{\mathrm{rep}}, il y a les opérations \sigma_1, \sigma, \sigma_2, \sigma_0 dont deux covariantes commutent.
en haut à droite, deux petits croquis au crayon d'un triangle posé sur une droite, le second marqué \sigma, et une flèche verticale
faces de \widetilde{X} : p.r. stables ; faces orientées : p.r. orientées stables
arêtes de \widetilde{X} : p.r. semi-stables ; arêtes biorientées
arêtes biorientées i.e. repères ou repères :
i.e. Donner repère p.r. : (D, s_D), +
sommets : p.r. critiques
sommets orientés : p.r. orientées critiques
repères \to faces orientées : (D, s, \omega) \longmapsto la position relative stable obtenue en
dessins en couleur : en haut, un grand fuseau entre deux croisements orange, bordé d'un arc orange, traversé de droites vert clair, la droite vert foncé et deux chemins en tirets bruns qui passent par les sommets ; à gauche, un petit repère fléché (\omega, \varpi). À droite, un cercle au crayon traversé de deux paires de droites orange, une droite vert clair et une vert foncé fléchée, les sommets s_4, t_3 (chiffres entourés), les étiquettes D_1 = D_{19}, D_{18}, D_4, et au croisement de droite « 5 = 19 ! ». Au milieu, un croisement orange sur une droite verte avec des flèches \varpi, \omega ; à gauche en bas, un croisement enjambé d'une courbe au crayon, avec la légende « non sans triangle ». En bas, un grand fuseau entre deux croisements orange, bordé d'un arc orange, les sommets marqués s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6 = s_1, t_2, t_3, avec des numéros bleus et noirs 1 à 19 autour des sommets ; à droite, une ellipse au crayon traversée de croisements orange et de la droite vert foncé
P_f = {}
s_1\ s_2\ s_3\ s_4\ s_5\ s_6 = s_1\ s_2\ t_2\ s_3,\ s_4,\ t_3,\ s_5,\ s_6 = s_1,\ s_2,\ t_2,\ t_3,\ s_4,\ t_3,\ s_5 \quad s_6 = s_1
D_1 \mid D_2\ D_3\ D_4\ D_5\ D_6 \mid D_7\ D_8\ D_9\ D_{10}\ D_{11}\ D_{12}\ D_{13}
\mid D_{14}\ D_{15}\ D_{16}\ D_{17}\ D_{18}\ D_{19}\ D_{20} \overset{?}{=} D_6 \mid
sur la page, les deux suites sont écrites l'une au-dessus de l'autre, sur une seule ligne chacune ; les barres verticales sont des traits de couleur (vert clair, vert foncé, vert, noir) ; une flèche sous D_4\,D_5 ; sous D_{18} et D_{19}, « D_4 \to D_5 » relié par des signes = ; dans la suite des sommets, le troisième t de la dernière série est surchargé, et l'alignement des sommets sur les D_i est approximatif
dessins en couleur : un grand demi-disque orange rempli de pseudo-droites orange, avec, le long de sa base, un fuseau (tirets vert foncé, droite vert clair, tirets bruns) entre deux sommets marqués 1, 2 et des flèches de rotation ; en haut à droite, une bande étroite (vert foncé et vert clair) coupée de croisements orange, les arcs numérotés 1 à 5, et aux bouts « 2 : 5 » ; une étoile au crayon avec deux sommets entourés (vert et vert foncé) et des tirets numérotés 1, 2 ; des croquis au crayon ; un croisement orange sur un chemin en tirets bruns ; en bas à droite, un long fuseau entre deux croisements orange, bordé de vert foncé et de vert clair, traversé de croisements orange de plus en plus serrés, un chemin en tirets bruns par les sommets, avec la légende « fuseau de croisement »
\sigma_2 = {}échangement de
\sigma_0 = {}?
au crayon, en bas à gauche ; « l'orientation » est écrit au-dessus du mot biffé et souligné, « et » au-dessous de la ligne
les repères de la surface correspondent aux p.r. D orientées qui sont de spécialité munies de plus d'un sommets et d'une orientation en ce sommet i.e. d'une rive du complémentaire D \setminus \lbrace s \rbrace
au crayon ; « D orientées » et « sont de spécialité » sont écrits au-dessus de la ligne, la seconde insertion au-dessus d'un mot biffé ; la dernière lecture, « D \setminus \lbrace s \rbrace », est incertaine
en haut à gauche, un graphe en couleur (flèches orange et vert clair) : quatre sommets \sigma_1, \sigma_2, \sigma, \sigma_0 et, au milieu des arêtes, les sommets (\sigma_1, \sigma_2), (\sigma_1, \sigma), (\sigma, \sigma_2), (\sigma_2, \sigma_0), (\sigma, \sigma_0) et, en haut, (\sigma_1, \sigma_0), relié par un grand arc vert ; chaque sommet-couple reçoit les flèches de ses deux termes et une flèche venue de l'extérieur, marquée du produit correspondant (\sigma_1\sigma_2, \sigma\sigma_1, \sigma_0\sigma_2, \sigma\sigma_2 en tirets, \sigma\sigma_0, \sigma_1\sigma_0). En haut à gauche, la suite « \sigma_1\ \sigma\ \sigma_2\ \sigma_0 ». Le reste de la page est vide
en haut à gauche, un petit dessin : un segment de -1 à +1 passant par 0, les deux moitiés marquées a^{+}, b^{+} au-dessus et a^{-}, b^{-} au-dessous ; au-dessous, le même dessin, biffé, et deux flèches
1 sommet
1 face
2 arêtes
2 4 repères, correspondant aux rives des arêtes a, b
le premier chiffre de la première ligne est surchargé
\sigma_0,
\sigma_1 échange
\sigma échange a^{+} et b^{-}, b^{+} et a^{-}
à gauche, « \sigma_1, \sigma, \sigma_2, \sigma_0 », les deux premiers et les deux derniers réunis par une accolade, la seconde marquée d'une lettre lue \sigma'
subdivision barycentrique
\sigma_0 = \sigma_2 soit \sigma', commute à \sigma
\sigma_1 = \sigma\sigma' = \sigma_1\sigma'
\sigma_1
\underbrace{\sigma\sigma'}_{\sigma_1},\ \underbrace{\sigma}_{\sigma},\ \underbrace{\sigma'}_{\sigma_2},\ \underbrace{\sigma'}_{\sigma_0}
\qquad\qquad
\underbrace{\sigma\sigma'}_{\sigma'_0},\ \underbrace{\sigma'}_{\sigma'_1},\ \underbrace{\sigma}_{\sigma'_2}
sous les deux derniers termes de la première liste, une accolade commune
dessins au crayon et à l'encre brune : une sphère coupée par un équateur en tirets, les points -1, +1, 0, \infty et un méridien épais ; au-dessous, une sphère au crayon traversée de méridiens, le point 0 en haut, avec une légende illisible ; au milieu, un ovale brun (moitié en tirets) aux points 0, \infty, -1, +1 ; en haut à droite, deux dômes au crayon aux méridiens marqués, avec les points -1, 0, +1
grand dessin au crayon et à l'encre, sans texte : un faisceau de pseudo-droites étiquetées de lettres A, \ldots, G et de numéros entourés 1, 1', 2, \ldots, 11, dont les points d'intersection sont nommés a_0, a_1, \ldots, a_{10}, b_1, b_2, \ldots, b_{10} (avec « b_{-1} = b_{10} » en haut), c_1, c_{11}, d_1, d_{11}, e_1, e_{10}, e_{11}, f_1, f_{11}, g_1, g_{11} ; des bandes hachurées et en tirets suivent les pseudo-droites, et trois triangles sont noircis. À droite, un quadrillage de droites A, \ldots, G (verticales) et 1, \ldots, 5 (horizontales), avec des diagonales tracées sur les colonnes D à G ; au-dessus, une double ligne fléchée numérotée 1, 2 ; et deux petits croquis de droites qui se coupent