Fonds Grothendieck, cote n° 154, pages 101–120

page de dessins en couleur. À gauche, une carte en forme de disque : des faces pentagonales et hexagonales bordées de brun, des arcs orange et vert clair au bord, et le graphe dual tracé en bleu (sommets bleus au centre des faces, arêtes bleues qui traversent les arêtes brunes) ; des tirets en marge prolongent certaines arêtes. En haut à droite, au crayon, un cercle traversé de droites. Au milieu et en bas, deux droites horizontales vert clair coupées de droites orange, avec une courbe vert clair qui serpente autour d'elles (un balayage). Entre les deux, une rangée de petits triangles au crayon, certains hachurés, au-dessus et au-dessous d'une droite, avec de petites légendes au crayon, en partie lisibles : « pas de tr. », « s-g, g », « pas de tr. s-g », et plus bas « à g. ou à droite » ; deux légendes à gauche sont biffées

page de dessins en couleur : plusieurs disques bordés de vert clair traversés de pseudo-droites orange, certains au crayon, quelques secteurs hachurés ou coloriés ; un petit disque partagé par un arc brun ; un demi-disque et un segment de disque traversés d'arcs orange. En bas à droite, un grand disque traversé de pseudo-droites orange et d'un faisceau de courbes vert clair qui le parcourent de haut en bas ; les points d'intersection sont marqués, et le bord porte, au crayon, des numéros (lus 1, 2, 8, 9, 11, 15, 16, 18, en partie incertains)

en marge gauche, trois petits dessins en couleur : deux paires de droites orange qui se croisent sur une droite vert clair, celle-ci contournant l'un des croisements (vert foncé) ; les mêmes, avec des flèches d'orientation \rightarrow, \leftarrow et de petites flèches verticales ; un croisement seul avec deux flèches Opération de rotation autour d'une face

par une flèche de transition

(D, \omega, a), D position relative, a arc de transition orientée sur \widetilde{D}, on trouve (D', \omega', a') où ~~on balaye sur l'arc de transition,~~ « orientée » est écrit au-dessus de la ligne, entre « relative » et « a » ; sous le D du triplet, un petit trait souligné, sans doute une marque ; « où » est ajouté au-dessus du passage biffé

a)D' déduit de D en transitant à travers a b)\omega' est l'orientation opposée à celle déduite de \omega par transport c)a' est l'arc de transition sur \widetilde{D}', qui suit l'arc de transition transporté de a, dans la direction \omega' ;

NB Le balayage de l'arc de spécialisation [croquis] donne [croquis].

Le balayage de l'arc de spécialisation [croquis] donne [croquis].

L'antibalayage de [croquis] donne [croquis]. chaque « [croquis] » est un petit dessin en couleur dans la ligne : un croisement de deux droites orange sur la droite vert clair, l'arc de spécialisation noirci et fléché ; après « donne », la droite verte contourne le croisement par-dessus (bosse), l'arc noirci passé de l'autre côté. Dans la troisième ligne, les flèches sont dirigées vers la gauche

Pour \rho(D, \omega, a) = (D', \omega', a'), huit cas à considérer, se groupant par deux paires, correspondant respectivement à a est un arc de spécialisation, un arc de générisation. « huit » est écrit au-dessus du mot biffé ; notre lecture de ce mot ajouté est incertaine

au-dessous, un tableau de dessins en couleur, en deux groupes à accolade marqués \mathrm{I} et \mathrm{II}, chacun de deux lignes numérotées 1) et 2) : à gauche, deux paires de droites orange qui se croisent sur la droite vert clair D, orientée par \omega (flèche vers la gauche), avec l'arc a marqué au premier croisement et, en pointillé, l'arc a'_0 au second ; puis « donne », et à droite la position D', orientée par \omega' (flèche vers la droite en \mathrm{I}, vers la droite ou la gauche en \mathrm{II}), qui passe au-dessus du premier croisement (groupe \mathrm{I}) ou au-dessous (groupe \mathrm{II}), l'arc b marqué en pointillé au premier croisement et l'arc a' au second. Dans \mathrm{I} 2), la seconde paire de droites est surchargée d'un trait sombre

Dans tous les cas, pour déterminer a', on peut soit prendre l'arc a'_0 de transition qui suit a sur \widetilde{D} dans la direction opposée à \omega, et prendre son transporté par balayage ou antibalayage ; soit transporter d'abord a en b par la dite spécialisation, et prendre le successeur de b pour \omega', parmi les arcs de transition sur \widetilde{D}'. Cela résulte du fait que dans une opération de spécialisation, l'isom. can. entre \operatorname{Pol}(D) et \operatorname{Pol}(D') induit une bijection entre l'ens. des arcs de transition sur le premier, colonne de droite de la page ; « de transition », « transporté » et « ou antibalayage » sont écrits au-dessus de la ligne

non adjacents à a, sur l'un des arcs de transition ~~sur~~ de \operatorname{Pol}(D') distincts de l'antipodique de b. la phrase continue celle du bas de la page 103

suit une rangée de cinq dessins en couleur reliés par des flèches \mapsto : un cycle de positions relatives d'une droite vert clair par rapport à deux paires de droites orange et à un faisceau de droites parallèles marquées \lambda, \alpha, \beta, \gamma, \mu ; la droite verte contourne tour à tour l'un ou l'autre croisement, l'arc a et, en pointillé, l'arc b sont marqués, et des flèches \leftarrow, \rightarrow donnent l'orientation. Les dessins sont étiquetés (1), (2), (3), (4), (1), le dernier revenant au premier ; les secteurs hachurés au crayon portent des numéros entourés 1, 2, 1', 2', 3', 4', et les mentions « 3' = 1 » et « 5' = 1 » ; sous les deux premiers, des chiffres romains surchargés

NB Pour chaque position (D, \omega, a) dans le cycle, on a indiqué en pointillé l'arc de transition b qui suit a suivant l'orientation \omega.

Il faudrait regarder à part les cas où on part avec un arc de ~~transition~~ spécialisation exceptionnel, correspondant à un balayage de couloir. Il ne devrait pas y avoir de différence.

arcs de spécialisation, arcs de générisation \Big\rbrace arcs de transition ; arcs de d'isotopie à droite, les deux premières lignes sont réunies par une accolade vers « arcs de transition » ; la troisième est soulignée, « d'isotopie » écrit au-dessus du mot biffé

2\nu - 2 + (2 + 2) = 2\nu + 2 dont le premier signe peut aussi se lire « \geqslant » ; la ligne s'arrête sur « dont »

la moitié inférieure de la page est faite de dessins en couleur : deux paires de droites orange coupées par une droite vert clair, les sommets x, y, z', y' reliés par des chemins en tirets vert foncé ; le même avec des points z, t et un chemin en tirets ; deux rectangles bordés de vert clair d'où partent des rayons en étoile, les côtés marqués \alpha, \beta, \gamma et les coins x, y, x', y', étiquetés (1), (2), (3), (4), entourés de petits carrés vert clair ; un petit carré vert clair avec des flèches \lambda, \mu entre x, y, x' ; un faisceau de droites orange presque parallèles, la droite verte passant par-dessus ; enfin, en bas à droite, une droite vert foncé coupée de \nu droites orange (accolade \nu, sous-groupe marqué \nu - 2), les deux extrémités marquées 2

page presque vide : au crayon, à gauche, quatre cercles traversés de courbes, disposés en trèfle, et un cinquième au-dessous ; ailleurs, des traces très pâles de croquis (droites qui se croisent, petits arcs en tirets)

dessins en couleur : deux paires de droites orange qui se croisent, entre elles un faisceau de droites fléchées \lambda, \alpha, \beta, \gamma, \mu ; une droite vert clair et une droite en tirets, l'arc x_0 y noirci ; à côté, la même configuration après une spécialisation, la droite verte passant au-dessus du premier croisement, avec les marques x'_1 = x_0, y'_1 = x', y', z' et les flèches -\lambda, -\alpha, -\beta, -\gamma, -\mu. Plus bas, un croisement avec une bande hachurée qui s'enroule, les points x_0, x, y, y', z' ; un petit repère avec les flèches \lambda, \alpha, \beta, \gamma, \mu entre x, y et y' ; et plusieurs croisements traversés de droites vert clair et de tirets bleus, avec des hachures au crayon

région générisée \mathrm{I}

\to arc de spécialisation pour \mathrm{I}, de générisation pour \mathrm{II}

d'attache de \mathrm{I} et \mathrm{II}

région spécialisée \mathrm{II} légendes du deuxième dessin ; « d'attache de I et II » est surligné

pointillé bleu (s'arrêtant à l'arc de second spécialisation-générisation) est celui du découpage

gén \to spéc.

spéc \to gén ou gén-spécial. suivant qu'on rencontre un triangle, ou un sommet « suivant qu'on rencontre un » est écrit sur deux lignes, et une accolade réunit « triangle » et « ou un sommet »

page presque vide : en haut à gauche, deux petits dessins en couleur, reprise des deux premiers de la page 106 : deux paires de droites orange, un faisceau de droites fléchées \lambda, \alpha, \beta, \gamma, l'arc x_0 x_1 noirci, et, à droite, la droite vert clair passant au-dessus du premier croisement, l'arc x_0 x_1 marqué au-dessous

page presque vide : au crayon, deux paires de droites qui se croisent et une courbe qui les contourne ; ailleurs, des traces pâles de petits arcs en tirets

dessins en couleur sans texte : des droites vert clair orientées (flèche vers la gauche) coupées de droites rouges, verticales ou croisées deux à deux ; les droites vertes montent en marche d'escalier ou contournent les croisements, et des arcs sont renforcés en noir ; de fines flèches au crayon, numérotées 1, 2, 3, indiquent les déplacements successifs. En bas à gauche, un croisement de deux droites rouges sur deux droites (vert clair et vert foncé), avec un petit cercle fléché autour du point

feuille en hauteur. En haut à gauche, un grand dessin en couleur de la bande supersingulière : deux droites horizontales vert clair, une ligne médiane vert foncé et en tirets, des droites rouges qui s'y croisent en sabliers et en losanges, et deux grands arcs rouges en haut et en bas ; légendes « n - 1 », « \nu' - 1 », « \nu - 1 », « (n-1) - (\nu - 1) - (\nu' - 1) », et, à droite, « n - \nu », « (\nu - 1) », « \nu »

~~n - \nu - \nu' + 1~~ n - (\nu + \nu' - 1) = (n-1) - (\nu - 1) - (\nu' - 1) n - \nu - (\nu' - 1) à gauche, « n - 1 » deux fois, la seconde biffée ; au-dessous, un rectangle vert clair dont les grands côtés, renforcés en brun et coupés de petits traits rouges, sont marqués n - \nu, et les petits côtés (\nu - 1), à droite « (\nu - 1) + 1 »

au milieu de la page, dessins en couleur : un rectangle vert clair dont les côtés portent de petits traits rouges, marqués n - \nu (grands côtés) et \nu - 1 (petits côtés), avec un « 2(\nu - 1) » entouré à côté ; un faisceau de droites rouges en étoile ; un rectangle a\,b\,a'\,b' traversé de droites rouges qui se croisent, avec une ligne médiane en tirets ; à droite, une droite vert clair qui passe d'une hauteur à l'autre à travers un croisement de droites rouges, avec les points a, a', b, b' ; un rectangle vert clair aux coins marqués de petits carrés

n - \nu \qquad n - \nu - (\nu' - 1) \qquad n - \nu \qquad n - \nu' \qquad n - \nu' \qquad n - 1 \qquad \nu n - \nu \qquad 2n - \nu - \nu' + 2 \qquad 2n - (\nu + \nu' - 2) \quad \underline{\varepsilon \geqslant 2} 2n - 2(\nu + \nu' - 1) \qquad 2n - (\nu + \nu' - 1) ~~2\nu~~ 2n - (\nu + \nu' - 1) calculs épars, notés dans l'ordre de la page, de haut en bas ; dans « 2n - \nu - \nu' + 2 », les deux \nu sont barrés d'un trait oblique ; le n de « 2n - (\nu + \nu' - 2) » est surchargé

en bas à gauche, quatre dessins en couleur de demi-cercles ou d'arcs vert clair aux extrémités marquées, avec des accolades au crayon portant des signes : « -1 » en haut et en bas, « +1 » sur les côtés et à l'intérieur dans le premier ; « -1 », « +1 » dans le deuxième ; dans les deux derniers, les côtés marqués « \varepsilon » et l'intérieur « +1 », « -1 »

\varepsilon = \begin{cases} +1 & \text{si la face spéciale est du type sommet (ultra-\ldots)} \\ -1 & \text{sinon} \end{cases} après « ultra- », un mot biffé, peut-être « spécial » ; « face » et « spéciale » sont d'une lecture incertaine

Comment trouver la valeur de \varepsilon ?

dessins en couleur : deux droites vert clair D et \overline{D} qui se croisent en un point multiple d'un faisceau de droites orange, de part et d'autre d'une droite brune horizontale, avec deux flèches courbes qui indiquent le passage de l'une à l'autre ; sur les droites orange, de chaque côté, des points marqués u, v, w, u', v', w' et leurs barrés \bar{u}, \bar{v}, \bar{w}, \bar{u}', …, au milieu r, s, t, \bar{r}, \bar{s}, \bar{t}, à droite a, a', \bar{a}, \bar{a}' et x, y, z, x', y', z' avec leurs barrés ; en bas à gauche une étiquette « \overline{D}{}^{\ast} » (lue). Au-dessus, une première version du même dessin, moins complète. Plus bas, un croisement de droites orange enjambé par une courbe vert clair en tirets, avec des flèches et deux arcs (noir et bleu) marqués ; à droite, deux petits faisceaux orange sur une droite vert clair

NB x et \bar{x} (ou encore x' et \bar{x}') ne sont pas sur la même droite !

à gauche, deux dessins en couleur : deux droites orange D_1, D_2 qui se croisent en s, une courbe vert foncé qui les enjambe au-dessus d'une droite vert clair et d'une droite en tirets, des hachures et des flèches au crayon ; étiquettes D_1, D_2, en bas « D_2 », « D_4 » (lus), et dans le second D, D', D'_1, et une accolade marquée \Delta_D ; en marge, « \Delta_{D'} »

non ! (le sommet s disparaîtrait !) Et D_1 \cap \Delta_{D'} va sur D_2 \cap \Delta_D et vice-versa. [Pourtant, ça vaut la peine de regarder ce que ça donnerait !) au-dessus du mot biffé, un mot illisible ; le crochet ouvrant se ferme sur une parenthèse

Ici, le sommet est conservé, ~~et dans~~ ~~les droites~~ D_1 \cap \Delta_D se continue en D_1 \cap \Delta_{D'} c'est égal — mais dans le carré obtenu par un recollement là, je n'arrive pas à suivre les « circuits autour d'un trou »

à droite, deux dessins en couleur : un croisement de droites orange enjambé par une courbe vert foncé, au-dessus d'une droite vert clair et de tirets, avec une flèche verticale ; puis la même configuration où la droite vert foncé passe par le croisement Ici aussi s disparaît au voisinage de l'arc de recollement

en bas, deux disques : l'un bordé de vert foncé, traversé de deux pseudo-droites orange qui se croisent près du bord en haut et en bas, une petite croix orange dans un secteur ; l'autre, bordé de vert clair, déformé en pomme, les deux pseudo-droites confondues au milieu

à gauche, au crayon, deux figures en huit (deux cercles tangents), traversés de courbes et de petits traits, et, en bas, un cercle avec des points marqués u, v, x^{\ast}, x, x + 1 et un « -1 » entouré. Au milieu, des arcs en couleur (vert clair, traits rouges et bleus), les extrémités marquées u, v, u', v', les croisements \varepsilon', \varepsilon'', les accolades \alpha', \alpha'', \gamma, et « \alpha' + \alpha'' + \gamma » ; des flèches doubles \Updownarrow les relient deux à deux. Un « N » isolé à gauche

\alpha', \alpha'' \geqslant 1, \gamma \geqslant 2 \alpha' + \alpha'' + \gamma \geqslant 4 le « 1 » est surchargé ; dans la seconde formule, le \gamma est surchargé

N nb de « sommets verts » de F (i.e. sommets ~~rouges~~ d'ordre 4)

N' ——— de F'

N' = N - 1 au-dessous, au crayon, un cercle traversé de courbes N' = N au-dessous, au crayon, un huit (deux cercles tangents) traversé de courbes, et à côté le même huit en couleur, vert clair et vert foncé, des arcs renforcés en brun et marqués de petits traits rouges. Un « N » isolé en haut à droite de la page

page de dessins : en haut à gauche, un hexagone et un pentagone vert clair accolés, des croix rouges sur les arêtes ; au crayon, deux cercles tangents traversés de courbes, le point de contact marqué, avec les accolades \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha'' et « n - \nu » ; en haut à droite, un croquis au crayon d'un pentagone et d'une droite coupée de droites, avec un arc vert clair au-dessous. En bas, un huit au crayon marqué « N' = N - 1 », des arcs vert clair aux points marqués « 1 », « 2 », « 3 » (avec des signes \sim), des cercles au crayon, et à droite un huit en couleur (vert clair, vert foncé, arcs renforcés en brun) aux arcs marqués « 1 », « 1{+} », « 3 », « 13 »

page de dessins en couleur : sept demi-cercles vert clair aux extrémités marquées, certains arcs renforcés en brun ; dans trois d'entre eux, des droites rouges qui descendent du haut, verticales ou obliques, et de petits traits rouges sur le bord ; dans les trois de droite, le sommet marqué « +1 », les côtés marqués \varepsilon_1, \varepsilon_2, et des segments intérieurs au crayon portant \varepsilon_1, \varepsilon_2 et « -1 » ; en haut à droite, un cercle au crayon

sur une feuille de listing imprimée (bannière de travail), des dessins en couleur : à droite, une droite vert clair coupée de quatre paires de droites orange, les arcs a, b, b' marqués, des hachures ; en bas à gauche, un carré vert clair (côtés marqués (1), (2), (3)) aux coins duquel partent des arêtes vert foncé et des arcs orange marqués \lambda, \mu, \lambda', \mu' ; au milieu, un croquis au crayon d'un triangle avec les mêmes lettres ; à droite, le même carré, ses quatre côtés marqués \mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}, rempli d'arcs orange et de flèches, avec les lettres a, b, a', b', \lambda, \mu, x et trois points d'interrogation

toute la page est barrée d'un grand X tracé en deux traits verts donc on trouve ( qui est dans le ) les trois les deux premières lignes continuent une phrase commencée hors de cette page ; seuls quelques mots se lisent

deux dessins en couleur : un « couloir » rectangulaire (bords vert clair et vert foncé, tirets verts) traversé de droites rouges, un arc rouge le fermant en haut, avec deux flèches vers la légende « au choix » ; même dessin, variante. À côté du premier, « ou »

d) ~~On trouve~~ on voit encore, \mathcal{E}, un couloir canonique autour de K_0 comme ceci (qu'il avait utilisé pour la construction de \mathcal{G} au voisinage de K_0) et on remplace F par \mathring{F} déduit en enlevant F \cap \mathring{C}. la lettre de l'alinéa, écrite sous le biffage, se lit « c) » ou « d) » ; les signes lus \mathcal{E} et \mathcal{G} sont incertains

dessin en couleur : une bande horizontale (droites vert clair, ligne médiane brune et verte, tirets jaunes) traversée de droites rouges verticales et de losanges rouges, fermée en haut et en bas par des arcs rouges

NB Ce couloir est isomorphe (dans la catégorie topologique convenable) au voisinage tubulaire de \widetilde{D}_i dans \widetilde{X}

e) Pour les faces exceptionnelles F^{\ast}, adjacentes à D_i, on retrouve le système \Sigma, affaibli par le choix de D_i, en prenant « la partie de F^{\ast} au-dessus de » la bande principale \delta, et faisant les modifications d'usage au voisinage des pts critiques.

dessin en couleur : un hexagone bordé de vert clair et de noir, rempli de courbes rouges qui s'entrecroisent

f) Attention, à cause de la rectification b), il n'est plus correct de caractériser les droites exceptionnelles de K comme étant celles qui ne contiennent pas de sommets de L' (si elles sont exceptionnelles au sens d'une telle propriété, c'est plutôt qu'elles peuvent en contenir plusieurs !). ~~Rectification on peut~~ Mais ici ~~tout~~ construisons K'_0 comme la réunion ~~plus~~ ~~constituées d'arcs des faces exceptionnelles~~ ~~isolées plus~~ un des composantes connexes du K déploiement K' qui n'ont pas de bord global, chose maintenant tout naturel pour introduire ensuite la donnée d… la page s'arrête sur « d’- », coupé en fin de ligne ; les trois lignes biffées sont d'une lecture incertaine

en haut à gauche, un dessin en couleur de la bande supersingulière (droites vert clair, ligne médiane en tirets rouges et bleus, droites rouges en losanges, arcs rouges en haut et en bas) ; en haut à droite, deux arcs vert clair en forme d'arche, aux sommets marqués, sous la légende « \alpha \geqslant 2 sommets verts clairs » ; ailleurs, des croquis au crayon : des droites D, D', D'' qui se coupent, les points a, a', x, x' et les étiquettes \omega_D, \omega_{D'}, \omega_{D''}, un repère fléché

(\mathcal{X}, K, (\delta_s), (\nu_s), (\nu_{\ill{}})) sous le troisième terme, un mot illisible ; notre lecture des lettres \delta et \nu est incertaine

\begin{array}{ccc} \omega(D) & \xrightarrow[\text{comb.\ } \beta]{\text{rot } \alpha} & \omega(D') \\ \| & & \| \\ \omega(\mathcal{X}, D) & & \omega(\mathcal{X}, D') \end{array} sous « comb. \beta » : « via les \operatorname{Pol}(D') » ; « rot » est lu ; en face, « \alpha = -1 »

N nb de faces

1) N pair, \alpha = \beta,

\omega_D \wedge \omega_{D'} \wedge \lbrace D, D' \rbrace \qquad \omega_{D'} \wedge \omega_{D''} \wedge \lbrace D', D'' \rbrace dans la première formule, le premier terme de l'accolade est surchargé \rho_D \simeq \omega_{D'} \qquad \rho_{D'} \simeq \omega_D \qquad \rho_D \wedge \omega_{D'} \qquad \rho_{D'} \wedge \omega_D ailleurs sur la page, isolés : « \omega_D \wedge \omega_{D'} », « \omega_{D'} », « \omega_D », « \rho », et, près d'un croquis de D et D' qui se coupent, « (a, a') = x »

à gauche, des dessins en couleur et au crayon : une droite vert clair traversée par deux croisements de droites rouges, entourée d'un contour vert foncé fléché dont les arcs sont numérotés 1 à 4 ; une courbe qui passe d'une hauteur à l'autre à travers un croisement, les régions hachurées ; un croisement enjambé par des courbes, régions numérotées 1 à 7 ; un disque et un ruban en huit au crayon ; en bas au milieu, un croisement de droites rouges avec deux courbes vert foncé et vert clair

(n - 2) + (n - 3) = 2n - 5 \qquad 2(n-1)(2n-5) \qquad 2n

\chi(\mathcal{X}) = s_0 - s_1 + s_2 = 1 - g Les sommets sont d'ordre 4

On trouve donc 2 s_1 = \underbrace{4 s_0}_{\sum_{s \in S} \nu_s} = 2 \sum_{f \in F} n_f donc s_1 = 2 s_0

donc \chi(\mathcal{X}) = s_2 - s_0 g = 1 + s_0 - s_2

où s_2 = {}nombre de p.r. (les supersingulières exclues)

s_0 = {}nombre de sommets i.e. ~~des~~ des couples (D, a), où D est une p.r. et a un arc d'isotopie sur D du type gén-gén.

b) des demi- du type ~~de \Sigma~~ (0, 1) de \Sigma (= 2n(n-1) dans les cas stables) « d'isotopie » est ajouté au-dessus de la ligne ; « b) » n'est précédé d'aucun « a) » sur la page

sur une feuille de listing imprimée (bannière de travail), des croquis : en haut, en couleur, un ruban vert foncé fermé autour d'une droite noircie, traversé par deux paires de droites rouges ; ailleurs, au crayon, des droites qui se croisent deux à deux sur une droite fléchée, un parallélépipède en perspective, des quadrilatères aux sommets marqués d'un point et des ovales traversés de droites