Fonds Grothendieck, cote n° 154, pages 81–100

calculs disposés en tableaux sur une feuille de listing d'ordinateur ; la page est traversée de trois longs traits obliques au crayon, qui semblent l'annuler \begin{array}{ccc} \chi_0 & \chi_1 & \chi_2 \\ 1 & \bar{\varepsilon} & 0 \\ 1 & \xi & 0 \\ 1 & \eta & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & \xi & 0 \\ 1 & \eta & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & \eta & 1 \end{array} trois tableaux de trois lignes ; les lettres lues \xi et \eta (deux signes bouclés) sont d'une lecture incertaine ; dans le troisième, les entrées de la deuxième et de la troisième ligne sont surchargées et d'une lecture incertaine. Sous le premier : « \xi - 1 » ; sous le troisième : « 1 - 2 = 1 »

\chi_0 orientation de D ; \chi_1 ens. des deux n-gones inscrits ; \chi_2 ensemble parité. les deux premières lignes sont réunies par une accolade vers « caractère fondamental sur \mathbb{D}_2 »

NB Le caractère d'orientabilité pour \mathcal{X} est \chi_0 \chi_2, le caractère « n-gones inscrits » est \chi_0 \chi_1.

\varepsilon = {}parité de n \in \lbrace 0, 1 \rbrace, \bar{\varepsilon} = {}opposé de \varepsilon = \varepsilon - 1 \bmod 2.

l lacet en F ; u(l) : automorphisme de \operatorname{Pol}(F) (polygone standard d'ordre 2n) ; \chi_0(l) \overset{\mathrm{def}}{=} \operatorname{sg} u(l) = \lbrace la formule s'arrête sur l'accolade ouvrante ; « \operatorname{sg} » est lu sous une surcharge, et deux petits sigles biffés précèdent u(l) et \chi_0(l)

Valeurs de (\chi_0, \chi_1, \chi_2) :

\frac12 lacet autour d'une arête (ou 2n+2 pas) : \quad 1 \quad \bar{\varepsilon} \quad 0 ; \frac12 tour autour d'un point d'ordre \alpha : \quad 1 \quad ? \quad \alpha.

dans la colonne de gauche, plusieurs mots sont biffés et récrits : « \frac12 lacet » remplace un mot biffé, « d'une arête » un autre ; sous « \frac12 tour autour » plusieurs lignes biffées (« sommet d'un point ») aboutissent à « d'ordre \alpha ». À la première ligne, la seconde valeur, « \bar{\varepsilon} », est écrite par-dessus un « 1 »

~~Si \alpha pair alors \chi_0 et~~ Prenant \alpha ~~pair~~ impair, on voit que \chi_0, \chi_2 indépendants i.e. \chi_0, \chi_{\mathcal{X}} indépendants [et \chi_1, \chi_2 aussi si n pair, i.e. \varepsilon = 1] « \chi_0, \chi_2 indépendants » est souligné ; \chi_{\mathcal{X}} est notre lecture de l'indice, un \mathcal{X} cursif comme dans le NB ci-dessus

\chi_{0\ldots}, n pair : \pi \to \mathbb{D}_{2n} surjectif, et \pi \to \mathbb{D}_{2n} \times \lbrace \pm 1 \rbrace a une image qui contient \mathbb{D}_{2n} \times \lbrace \pm 1 \rbrace « \chi_{0\ldots} » : un \chi à indice illisible, en tête de la ligne

n pair : \quad 1 \quad 1 \quad 0 et 1 \quad ? \quad \alpha ; n impair : \quad 1 \quad 0 \quad 0 et 1 \quad ? \quad \alpha.

En face : \chi_2 n'est prop. ni à \chi_0, ni à \chi_1 — il est possible que \chi_0, \chi_1 le soient, d'où alors ? = 1 ; et, pour n impair, \chi_0. « il est possible que » est écrit sur la ligne au-dessus et une ligne en crochet enferme le reste ; l'ordre de lecture de ces lignes de droite est incertain

page de dessins en couleur, sans texte : quatre disques (bords vert clair), chacun traversé d'un arrangement de pseudo-droites tracées en brun, orange, gris et bleu, certaines en pointillé ; dans les deux disques du haut, des régions triangulaires près du bord et au centre sont coloriées en orange, et, dans celui de droite, des bandes sont hachurées en bleu ; dans les deux disques du bas, une bande en zigzag (gris foncé, hachurée) traverse l'arrangement de haut en bas, et deux points opposés du bord sont marqués. À gauche, un petit croquis d'un chemin en bleu et gris coupé de segments, et quelques traits de couleur (essais de feutres)

en haut à gauche, un disque traversé de six droites en noir et d'une courbe orange, qui les coupe presque toutes en deux paquets près de deux points n - \nu - (\nu - 1) - (\nu' - 1) + \nu \;=\; n - (\nu' - 1) 2n - \underbrace{\bigl[ (\nu - 1) + (\nu' - 1) \bigr]} dans la première ligne, le premier \nu, le \nu de (\nu - 1) et le +\nu final sont barrés d'un trait oblique, marques de simplification plutôt que ratures ; l'accolade sous le crochet de la seconde ligne n'a pas de légende. Au-dessous, deux croquis : un rectangle dont les deux grands côtés portent de petits traits, étiqueté \nu' à gauche et \nu à droite ; un segment joignant deux points, par chacun desquels passe un faisceau de droites, étiquetés \nu' - 1 et \nu - 1. Le reste de la feuille est vide

page de dessin, sans texte : un disque (bord vert clair) traversé d'un arrangement de courbes orange et brunes et de fines lignes grises parallèles (un balayage) ; une bande en zigzag, bordée de brun et coloriée en orange, le traverse de haut en bas, avec une ligne médiane en tirets vert foncé ; deux points opposés du bord sont marqués. C'est une version mise au propre des deux disques du bas de la page 82

daté en tête, souligné, de sa main : « 5.1.84 » J'ai vérifié que si \mathcal{X} désigne la surface des pos. rel. non supersingulières, sans bord en permettant le franchissement des positions supersingulières par une arête ou par un sommet (compatibilité aux poids des , donc que les autres opérations qui s'interprètent par la carte, sauf les spéc. et gén. ordinaires, i.e. de poids \pm 1) — alors \pi_1(\mathcal{X}, D) \longrightarrow \mathbb{D}_{2n} (ou plutôt \operatorname{Aut}\operatorname{Pol}(D_{\cdots})) était surjectif — son image contient, pour une arête un , donnée en D, la symétrie par rapport à cette arête sommet, par le lacet un « demi-tour » de D autour de sommet, cette arête. Ceci ne prouve pas que \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}, D) \longrightarrow \operatorname{Aut}\operatorname{Pol}(D) \simeq \mathbb{D}_{2n} soit surjectif, si \widetilde{\mathcal{X}} désigne le demi- de \mathcal{X} des lieux supersinguliers — i.e. on exclut les franchissements des positions supersingulières. Le raisonnement montre seulement que l'image contient les symétries p.r. à côtés (mais pas celles p.r. à un sommet). engendrent dans \mathbb{D}_{2n} un groupe d'indice 2, à savoir celui formé par les ~~rotations~~ les éléments du sous-groupe des rotations \mathbb{D}_{2n}^{+} (d'ordre n, indice 2), et les réflexions en question. [NB. C'est un des trois sous-groupes d'indice deux, les deux autres étant le groupe engendré par les réflexions qui laissent fixe deux sommets, et le sous-groupe \mathbb{D}_{2n}^{+} des rotations.] L'image de \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) dans \mathbb{D}_{2n} est donc d'indice 1 ou 2.

Faisant un ~~tour~~ demi-tour ~~complet~~ autour d'une position supersingulière, on le franchissant, tout ~~le rotation \operatorname{Pol}(D) qui \frac{1}{2} \Sigma(\ldots) ou~~ d'une (n+1) — si n est ~~pair~~ impair, cela montre que l'effet sur l'ensemble \Sigma_a(D) des polygones circonscrits (choisis sur les deux autres : deux éléments \Sigma_s(D), \underline{\omega}(D)) pour voir si en D_0 ~~fixé~~ donné ~~fixe~~ « n+1 » est entouré, et un trait le relie à « impair » au-dessous, qui remplace « pair » biffé. Le passage de quatre lignes qui précède est biffé de traits horizontaux ; notre lecture de la syntaxe de tout ce paragraphe est très incertaine par un sommet les circonstances… ne suffit-il l'explicitation un fait () mais l' possible note écrite en biais dans l'espace entre les deux colonnes, en partie biffée de quatre traits ; nous en lisons quelques mots : « moyennant l'explicitation les recollements de franchissements exceptionnels », et plus bas « formule un fait » avec une petite croix

induit l'identité sur \Sigma_a(D_0), il revient au de se permettre de franchir les positions supersingulières, ou non : dans le cas n impair, \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n} est aussi surjectif. Si n est pair, le résultat d'un lacet sur \Sigma_a(D_0) ~~autour~~ dans \mathcal{X} qui franchit n fois une position supersingulière, sachant que n est pair , est, rapport opposé à celui qu'induit par lacet l' qui se déduit de l en remplaçant les franchissements par des demi-tours. Si donc on ~~prend~~ part d'une c. pos. rel. D_0 que somment \Sigma d'ordre pair par un , s'il est pair, dans ce mode les lacets de demi-tours autour de s_0 de D_0, de la façon indiquée, on trouve un contour de \Sigma(D_0) qui n'est pas l'identité. Cela prouve donc que dans tous les cas, \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n} est surjectif — i.e. le revêtement principal correspondant de \widetilde{\mathcal{X}}, de groupe \mathbb{D}_{2n}, est connexe. « principal correspondant » est ajouté au-dessus de la ligne. Au bas de la page, à gauche, une note isolée : « \mathbb{D}_{2n} »

daté en tête : « 5.1.84 » Soit X une surface compacte, munie d'un graphe topologique X_1 \subset X la décomposant cellulairement. [On s'intéressera plus particulièrement au cas où tous les sommets de X_1 sont d'ordre pair, p. ex. (X, X_1) est un syst. de pseudo-droites dans un plan projectif réel topologique.] ~~Soit~~. Un cercle topologique D \subset X sera dit « en position standard » (p.r. à X_1), s'il rencontre X_1, et si pour tout s \in X_1 \cap D, ~~coupe~~ , s est un pt d'ordre pair de X_1, et D coupe toutes les branches de X_1 en s. On dit que deux tels D, D' sont « en même position relative » sont isotopes, si on peut passer de D à D' par une « isotopie », au cours de laquelle tous les positions intermédiaires D_t sont en position st. mais où les D_t \cap S(K) restent constants. au-dessus de « si on peut passer », entre parenthèses : « (pour des paramétrisations continues D \simeq \mathbf{U}, D' \simeq \mathbf{U}) », où \mathbf{U} rend son U double Il faut dire pour cela que, si l'on désigne par \Phi(D) l'ens. des facettes de (X, X_1) rencontrées par D, que l'on ait \Phi(D) = \Phi(D'). Il faut, aussi qu'il existe une famille à un paramètre f_t (0 \leqslant t \leqslant 1) d'automorphismes de (X, X_1), avec f_0 = \mathrm{id}, et f_1(D) = D'.

On définit une notion de balayage d'une p.r. au-dessus d'un sommet pair de X_1, comme on dans le cas des syst. de ps. dr., et une notion correspondante de spécialisation vers un sommet. ~~Également la notion de~~ Pour D donné, les sp. et spéc. et de générisation à partir de D se répartissent en des « de ~~balayage~~ transition », sur dans le rev. \widetilde{D} au-dessus de D, qui

suit, au milieu de la page, un dessin en couleur : une droite horizontale (jaune-vert, la position D) coupée de faisceaux de droites rouges ; à gauche un faisceau de trois droites concourantes sur D, le point entouré d'un petit cercle pointillé et marqué de deux petits segments sombres de part et d'autre ; puis des couples de droites qui se croisent au-dessus ou au-dessous de D, les segments de D entre leurs traces marqués en sombre

forment, pour sa variation, une famille d'ens. deux à deux disjoints. Il y a une notion de transport parallèle pour \widetilde{D}, muni de sa structure de demi-contours naturelle (ou plutôt, sa structure combinatoire) pour les générisations et spéc. ordinaires, et aussi

la page ne porte qu'un croquis, sans aucune légende : au crayon, un ovale et plusieurs courbes qui se croisent ; en vert, deux courbes issues d'un même point, fléchées de petites marques ; rien n'y est écrit

Pour les familles à 1 paramètre de D qui décrivent un segment telles que à l'intérieur du chemin d'eux la p.r. reste constante et que les extrémités en sont deux des D_t qui restent en en position standard).

On va s'intéresser maintenant au cas des p.r. à une seule rive — i.e. telles que \widetilde{D} soit un top. Alors l'ens. des sp. de transition partant de D est muni d'une structure polygonale (de même ordre que angulaires critiques) conventions pour orienter D le graphe , et l'ens. des p.r. est polygonal. définir des sp. de deux types de définition du transport par l'orientation. La construction la plus intrinsèque semble celle où le d'une généralisation « tire » sur D pour généraliser, et que le transport de l'orientation, soit \mathcal{X} soit opposé au transport parallèle de l'orientation. les deux ajouts entre crochets sont écrits au-dessous et au-dessus de la ligne « de D est muni d'une structure polygonale », l'un renvoyé par un trait ; leur lecture est très incertaine

Dans ce cas, dans le contexte standard, tous les sommets sont d'ordre 4, et ils correspondent 1-1 aux ~~sympt. D~~ (D, \struck{\ill{}} a), où D est une p.r., et a un « arc d'orientation » sur \widetilde{D}, des types généraux i.e. joignant deux ~~sommets~~ de D \cap S(X_1) telles que ses ne ni à S(X_1), ni d'autre spécialisation). ici et plus bas il écrit S(X_1) avec un X qu'on pourrait aussi lire K ; à la page 87, D_t \cap S(K) se lit de même

La situation est surtout symétrique si la décomposition de X suivant la position relative considérée est un disque (ce qui signifie aussi que X est un plan projectif réel, et D une ps. droite) — condition qui est invariante par opérations élémentaires, car elles peuvent s'interpréter comme déduites de ces décompositions par des recollements, et on récupère des la page s'arrête sur « des »

feuille de listing d'ordinateur (bandeau imprimé « GUTS », daté par la machine du 16 août 1982). En haut, un croquis en couleur : une droite jaune-vert coupée par des droites orange (une paire qui se croise au-dessus d'elle, une droite seule, une autre paire) ; aucune légende

a)rives marquées \Rightarrow a') ~~angles~~ coins marqués b)arcs critiques marqués sur les arêtes c)poids des faces

une flèche double, dans la marge gauche, relie a) et c), avec une petite flèche montante à la hauteur de a)

\mathcal{X} un graphe topologique L comme à l'accoutumée. Mais dans que les \operatorname{Déc}(X, D) ne seraient pas des disques, et sans supposer \widetilde{D} connexe, on peut construire une nouvelle \mathcal{X}', avec un graphe top. K' dans \mathcal{X} sans faces (on oublie toutes les décomp.) — mais (\mathcal{X}', K') n'est plus nécessairement cellulaire, il faut y joindre L' et prendre (\mathcal{X}', K' \cup L') pour avoir quelque chose de cellulaire. deux traits verticaux dans la marge gauche marquent l'alinéa qui suit Tantôt en disant que les sommets de (X, K) sont d'ordre 4, j'ai été un peu rapide — il y a une exception, quand on part d'une situation , où tout l'arc \widetilde{uv} (pointillé) sur \widetilde{D}_x est un arc d'orientation (position relative stable donc). La circonstance spéciale dans le cas où (X, X_1) est un syst. de ps. droites, et qui permet le contrôle sur les sommets de \mathcal{X}, est la suivante

dessin en couleur au milieu du bas de page : deux paires de droites rouges qui se croisent de part et d'autre d'une droite horizontale jaune-vert (D), prolongée en pointillé ; les points marqués u, s, s', v sur D et \alpha, \beta sur les droites rouges

(PS) Soit D une p.r. ~~[ des ps. dr., soit s \in D \cap X_1,~~ et considérons ~~s', s''~~ antipodiques sur \widetilde{D}, et une des arcs déterminés par s', s'' ( un demi-cercle de polygone top. ou comb. associé à \operatorname{Pol}(D)), alors ~~des~~ ~~il n'y a pas d'arc de transition (« ordinaire ») dans s \in X_0 = S(X_1)~~ le début de cet alinéa (PS) est biffé : un long trait horizontal par ligne, un trait vertical à gauche, et deux grands traits obliques au crayon qui traversent toute la colonne de droite jusqu'au bas de la page ; nous ne savons pas si ces derniers annulent la suite Soit a un arc de transition (ordinaire) sur \widetilde{D}, a' l'arc opposé (donc \bar{a} \cap a' = \emptyset) et considérons ~~les~~ un des arcs bcompl. contenu dans \widetilde{D} \setminus \lbrace a \cup a' \rbrace. Alors, ou bien b contient un arc de transition (ordinaire), ou bien b est un « arc de transition exceptionnel », i.e. on est dans l'un des cas suivants : on a un cercle « composant » D_i de X_1 qui a soit sur D_i, une facette \varphi (comp. de dit sommets ) de X en \varphi , une orientation de (D_i, \varphi, \omega) pour et D est déduit de déplacement élémentaire — toute cette fin de page est d'une lecture très incertaine

(PS) Considérons un arc-demi-cercle a sur \widetilde{D} (D une p.r. de ps. droites). Alors \mathring{a} contient un arc de transition (ordinaire), sauf dans les deux cas suivants : i.e. a contient un arc de transition qui n'a pas d'extrémité

~~Les~~ 1) Les extrémités de s, s' de a sont éléments d'arcs de généralisation \alpha, \alpha' (non ortho) [i.e. les pts \sigma de X définis par s, s' sont des sommets de X_1] et il y a un composant D_i de X_1 passant par \sigma, et une orientation de X en \sigma, telle que D soit ~~déduit de~~ « voisin de D_i » et « déduit de D_i par petite rotation autour de \sigma » ; a \setminus (\mathring{\alpha} \cap a) \setminus (\mathring{\alpha}' \cap a) est la rive de balayage de D correspondant à (D_i, \sigma, \omega). une accolade à droite de ce cas 1) porte « cas v \in X_0 »

2°) ~~les extrémités s, s' de a,~~ les extrémités de de spécialisation \alpha_3, \alpha_5 ( antipodiques continus dans a de l'autre !) ~~tels qu'il existe \sigma, \sigma'~~ ~~Soit~~ Soit \beta bien plus l'arête de X_1 passant par \sigma, ~~soit~~ D_i le sommet de X_1 contenant \beta, il existe une orientation ~~de X_1~~ ~~sur~~ de \beta telle que D soit déduite — une accolade à droite de ce cas 2°) porte « cas v \notin X_0 »

C'est cette circonstance qui m'assure qu'il n'y a que deux sortes de sommets dans \mathcal{X}, les sommets d'ordre 4 dont je viens de parler, et les sommets correspondant aux positions (\mathrm{I}) (D_i, \beta, \omega), où D_i est un composant irr. de X_1, \beta une arête sommet dans X, \beta une facette de D_i , \omega une orientation de X en \beta. Sinon, on n'a pas de contrôle, a priori, sur le type des « circonstances » sommets sur \mathcal{X} — et il s'ensuit qu'il n'est pas clair dans quelle mesure le transport parallèle sur les \operatorname{Pol}(D) provient d'un syst. local sur \mathcal{X}. la colonne du milieu porte, écrite en biais, une note annotée « NB » avec un petit dessin en couleur (une droite jaune et deux croix rouges marquées T_1, T_2) ; on y lit « NB Dans ce cas nous arrive » puis une liste « a) s, antipodiques b) a \neq (antipodaux) c) dist. d) spécialisations », une mention « sommets (\mathrm{I}) » dans une ellipse, et, plus bas, quatre lignes biffées de traits obliques : « X droite identiques p.r. ». Plus bas dans la même colonne : « NB Dans ce cas, contient deux arcs de spécialisation, (mais à rencontrer ) »

la moitié supérieure de la page est un grand dessin en couleur : deux droites horizontales vert clair, et entre elles une ligne médiane en tirets rouges marquée de petits traits bleus ; quatre droites verticales vert clair ; des droites orange qui, entre les verticales, se croisent sur la ligne médiane en forme de sabliers ou de losanges, et deux grands arcs orange, en haut et en bas, qui se croisent sur les verticales. Aux croisements du haut, trois petites marques étiquetées \nu, \nu' et \nu', avec des arcs en tirets vert clair. Deux légendes sur la droite horizontale du haut : « n - \nu » et « n - 1 - (\nu - 1) - (\nu' - 1) »

Version du recollement supersingulier adaptée à l'étude des applications \struck{\mathcal{X}} \to X, mais non des structures n-gonales des faces et à l'étude du transport parallèle de celles-ci.

Dans l'autre version, on aplatit la bande supersingulière sur son axe central (pointillé rouge). Le transport parallèle (de franchissement d'une position supersingulière) n'est pas celui donné par l'identification des côtés utilisée pour construire \mathcal{X}, mais est l'antipodique de celui-ci. Dans la relation entre transport parallèle sur X, et transport-réflexion \tau_{\mathcal{X}} sur \mathcal{X}, pour un chemin donné sur \mathcal{X}, ~~parallèle de~~ \tau_X = \underline{a}^{\nu} \tau_{\mathcal{X}} , où \underline{a} est l'antipodisme, et \nu le nombre de franchissements d'une ligne supersingulière. Les deux systèmes locaux orientés \mathcal{X}, communs « \tau_X » est ajouté au-dessus de « relation » et renvoyé par un trait, « \tau_{\mathcal{X}} » au-dessus de « transport-réflexion » ; l'antipodisme est souligné, comme dans le dossier 80 (\underline{a}). Les deux dernières lignes, serrées au bas de la feuille, ne se lisent qu'en partie

en haut à gauche, au crayon, un croquis : des droites concourantes en un point, trois petits triangles marqués \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 ; au-dessous, une accolade (un arc) sur la suite « \sigma_0\ \sigma_f\ \sigma_1\ \sigma_s\ \sigma_2 », chaque terme surmonté d'un point, les indices f et s surchargés et un sixième terme raturé. Au centre, deux dessins en couleur de la même carte (arêtes vert clair et bleues) : un sommet où se rencontrent des arêtes des deux couleurs, un triangle colorié en orange et les secteurs voisins marqués \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_f, \sigma_s, hachurés en gris dans le second. À droite, une ligne brisée vert clair marquée de petits traits rouges et de deux points d'exclamation, un pentagone au crayon, et, en bas, un faisceau de droites grises aboutissant à une courbe vert clair marquée de traits rouges, étiquetée « \sigma_s » Une carte dont les sommets et les faces sont d'ordre pair, donne naissance à une suite circulaire de cinq involutions 2 : 2 commutantes \sigma_0\ \sigma_f\ \sigma_1\ \sigma_s\ \sigma_2\ [\sigma_0 \ldots] donc à une carte pentagonale frondière, dont tous les sommets sont d'ordre deux ou quatre. Je n'arrive pas bien à visualiser cette dernière carte, en termes de la carte initiale… à droite, isolé et encadré de deux traits : « \sigma_s\ \sigma_a\ \sigma_r », les deux premiers réunis par une accolade, et au-dessous « \sigma_{\mathrm{vert}} »

croquis en couleur sans phrase, sur une feuille de listing d'ordinateur (bandeau imprimé du 16 août 1982). En haut à droite, deux dessins d'une droite vert clair orientée (flèche) coupée de trois paires de droites orange qui se croisent au-dessus ou sur elle ; des segments de la droite verte sont renforcés en noir, et de fines flèches au crayon indiquent des déplacements ; sous le premier croisement, une suite de petites flèches alternées numérotées 1, 2, 3, 4, 5. Au-dessous, la légende « \sigma_1 \quad \sigma \quad \sigma_2\ \sigma_0 », avec une accolade étiquetée « 2n » sur les trois derniers termes. En bas, un petit graphe vert clair (deux sommets reliés par une arête, chacun d'où partent d'autres arêtes), avec des segments renforcés en noir sur les arêtes

dessins en couleur : en haut à gauche, un disque traversé de pseudo-droites orange, avec, sur le bord, les points u, u', s, t et les arcs marqués \alpha, \beta, \gamma, chaque segment de bord entre eux marqué « \frac12 » par une accolade ; au centre, un petit disque traversé de pseudo-droites orange ; en haut à droite, un disque de même facture, avec u, u', des arcs \alpha, \beta très courts et un long arc \gamma en bas, les segments de bord marqués « \frac12 » ; en bas, deux bandes horizontales (bords vert clair, axe orange) coupées de faisceaux de droites orange, les bords renforcés en noir par segments, en tirets ou pleins, qui se croisent au milieu en un point marqué u, u' dans la seconde

NB On suppose qu'il y a au moins une ps. dr. qui ne passe pas par s, t i.e. qu'on n'est pas dans le cas \mathrm{III}_{p,q} (p, q \geqslant 1 — dans pour le cas \struck{\mathrm{II}_3} non plus). Quand il n'y a qu'une seule ps. droite qui ne passe pas par s, t, l'arc de spéc. exceptionnel \gamma est de long. 0. « \mathrm{III}_{p,q} » est surligné ; le « \mathrm{II}_3 » de la ligne suivante est surchargé et d'une lecture incertaine

On suppose qu'il y a une ps. droite qui ne passe pas par u, u' i.e. qu'on n'est pas dans le cas du type \mathrm{I}_n. Dans le cas où il n'y en a qu'une, l'arc de spécialisation ~~de pas~~ exceptionnel \gamma est de longueur 0.

croquis en couleur sans phrase, sur une feuille de listing d'ordinateur (bandeau imprimé du 16 août 1982) : à droite, un disque traversé de pseudo-droites orange, deux petits arcs du bord renforcés en noir aux extrémités d'une corde, et un long arc noir en bas ; au milieu en bas, une bande (bords vert clair et noir, pleins ou en tirets, hachurée par endroits) coupée de droites orange, dont les bords se croisent en un point ; à droite en bas, un grand disque où un faisceau de pseudo-droites orange se tresse vers le haut, avec deux arcs du bord et un arc du bas renforcés en noir et des segments de bord marqués « \frac12 » ; enfin deux petits disques du même type, dans le second les segments de bord marqués « \frac12 », « 0 », « \frac12 »

croquis en couleur sans texte, sur une feuille de listing d'ordinateur (bandeau imprimé du 19 août 1982) : un rectangle vert clair aux coins arrondis, rempli d'arcs orange et coupé par une bande verticale bordée de tirets gris-bleu, avec un point d'interrogation au-dessus et un au-dessous ; un arbre vert clair ramifié portant trois petits disques dans lesquels se croisent des segments orange et bruns ; un rectangle orange partagé en deux par un trait vertical

page de croquis en couleur, sans texte : deux arbres ramifiés vert clair ; une droite vert clair coupée de droites orange ; un rectangle vert clair partagé en trois bandes verticales (celle du milieu bordée de gris-bleu), traversé d'arcs orange qui délimitent de petits triangles coloriés en orange ; des disques et des demi-disques, bordés de vert clair ou de vert foncé et traversés de pseudo-droites orange, certains avec un arc en tirets gris-bleu ou vert (l'équateur d'un hémisphère vu en perspective) ; une surface allongée, faite d'un disque surmonté et prolongé de deux calottes vert clair, dans laquelle se tressent des courbes orange ; un rectangle aux bords orange traversé de courbes ; un carré vert clair coupé d'une bande en tirets gris-bleu où serpentent des courbes orange