Déploiement d'un système de pseudo-droites

« 31.12.83 » est écrit en tête de la page, à gauche du titre : date de sa main (31 décembre 1983). Le titre « Déploiement » est souligné ; il ouvre une nouvelle rédaction, qui ne porte pas de numéro de page

Déploiement d'un syst. de pseudo-droites \underline{\Sigma} = (X, \Sigma), \Sigma = (D_i)_{i \in I} : surface compacte \mathcal{X} = \mathcal{X}(\underline{\Sigma}), munie de deux sous-ensembles K, L tels que K, L découpent cellulairement \mathcal{X}.

a) Tous les pts de K sont d'ordre 4. ( déploiement K' \to K qui est topologique)

a Tous les pts de L sont d'ordre pair, les arêtes qui sont distinctes ( boucles ).

b) Pour toute arête de K contient au plus un sommet de L.

c) La réunion K_0 des adh. des arêtes de K qui ne contiennent pas de sommet (de L (arêtes exceptionnelles de K)) est une réunion finie de cercles, indexés par I « arêtes exceptionnelles de K » est souligné dans l'ajout interlinéaire

d) Soit K_1 la réunion des arêtes non exceptionnelles [Il revient au même de dire que les pts de K « voisins » à une arête exceptionnelle sont exceptionnels, et que les points pour tout sommet de K, il existe au moins une arête issue de ce sommet qui est « ordinaire ». le crochet ouvert n'est pas refermé ; la lecture de cette phrase interlinéaire, écrite au-dessus du « d) » biffé, est incertaine dans son début

d) Notation Soit K_1 la réunion des adh. des arêtes ordinaires de sorte que K = K_0 \cup K_1 : K_1 est une réunion de courbes et formons K' (i.e. réunion de comp. ). Alors on se donne une section au-dessus des fibres des bandes pour l'immersion K'_1 \hookrightarrow \mathcal{X}. « d) » est entouré. L'ajout au-dessus de « K_1 » (« K = \ldots ») est d'une lecture douteuse cette donnée résulte en fait des autres, à savoir de la position ; cf. f) plus bas note écrite en biais dans la marge de gauche, à la hauteur de d) et e)

e) Soit s un sommet exceptionnel de K (i.e. sommet incident à une arête exceptionnelle). Alors sur une arête non exceptionnelle (pt critique de K) issue incidente à s, entre s et le premier sommet de L, multiplicité des arêtes ord. issues de s. De plus, les pts de L contigus à K sur les deux figure dans le texte de e) : un segment vert foncé sur K, ses deux extrémités relevées en vert clair, l'une marquée d'un point noir et d'une étoile de traits orange ; trois traits orange en pointillé traversent le segment

f) Pour tt x \in L \cap K, branche de L en x branche de K en x. Si x est un sommet de K, x est un pt d'ordre 4 évident ? de L, et local de K en x dans une arête de L en x. [Donc trois cas de figure pour un x \in K \cap L :

a) x \notin S(L) non sommet de L, donc pt d'indice 2 de L, alors x \notin S(K) ;

b) x \in S(L) \cap \complement S(K) ;

c) x \in S(L) \cap S(K). figures dans la colonne de droite, marquées a), b), c) : a) une droite verte traversée par un trait orange ; b) un segment vert aux extrémités fourchues, traversé en son milieu par une étoile de traits orange ; c) une croix verte traversée d'une croix orange

f') Un sommet exceptionnel s de K n'est pas sommet de L, i.e. s \notin L.

g) Un sommet Pour un sommet ordinaire s de K, sur les 4 arêtes (ordinaires) de K qui en sortent, le nb d'él. de L ( des entre s et l'unique sommet de L sur l'arête est indépendant de l'arête, soit \nu(s).

\varepsilon(s) = \left\lbrace \begin{array}{ll} +1 & \text{si } s \in L \\ 0 & \text{si } s \notin L \end{array} \right. cette définition, introduite par « Soit », est biffée de plusieurs traits sur la page

Pour toute arête ordinaire, soit \nu(a) la multiplicité réduite de l'unique sommet de le cadre entourant ces deux lignes est tracé à main levée ; la phrase suivante est écrite à l'encre rouge

h) Pour tt arête a de K, soit \nu(a) le nb des pts simples de L sur a (= \nu(s) + \nu(s'), si a est ordinaire d'extrémités s, s') et Soit n l'ordre de \Sigma. Alors pour tt face F de K, le nb des pts de L sur \partial F, chacun compté avec sa multiplicité réduite, est 2n.

NB si F ordinaire, : \sum_{s \text{ sommet de } F} \bigl(2\nu(s) + \varepsilon(s)\bigr) + \sum_{a \text{ arête de } F} \nu(a) la formule est entourée d'un trait qui la sépare des figures ; la ligne qui l'introduit se lit mal

(h) 1) Les faces de K sont indexées par les p.r. pour \underline{\Sigma} (à l'exclusion des p.r. exceptionn. supercritiques),

2) Les arêtes de K sont indexées par les paires couples de p.r. (D, D') telles que D \xrightarrow{\sigma} D' (spécialisation immédiate), \underline{\Sigma} les flèches du 1-graphe entre positions : F_D et F_{D'} voisines d'une entendu que D \xrightarrow{\sigma} D' entre positions relatives voisines d'une D_i de \Sigma ( \Sigma, \Sigma' , ). Si a est : F_D et F_{D'}, et elle est ordinaire ssi \sigma est une spécialisation. Dans ce cas, le bord privilégié de a de d) est celui qui correspond à la face F_D. « (h) » est entouré, et marqué dans la marge de trois traits horizontaux. Le passage biffé entre « immédiate), » et « D \xrightarrow{\sigma} D' entre positions » tient sur trois lignes et se lit mal

3) Les sommets (ordinaires) de K sont indexés par les quadruples triples (D, t', t'', \beta), où D est une position relative (non supercritique), t, t' deux triangles de spécialisation pour D ( par sommet…) (réels), et \beta un arc de \widetilde{D} ( des ), compris entre les arcs de spécialisation correspondant à t, t'. Aux paires (D, \beta), où D est une p.r., et \beta un arc de \widetilde{D} adjacent des deux côtés à un arc de spécialisation ordinaire). Le sommet s cette donnée est « sommet » s de D (ce qui implique que D est stable). Le sommet s correspondant a 4 positions relatives (D, D', D'', D''') : D', D'' D''' sont distinctes par spécialisation de D en D \cap t', t'', D''' les deux à la fois. consécutives les lettres des triangles varient sur la page (t', t'' dans le quadruple, t, t' ensuite) ; transcrites telles quelles. La lettre \beta est écrite chaque fois sur une autre lettre

4) Les sommets exceptionnels sont indexés par les repères \coprod D, i.e. = les qui arêtes orientées de paires triples (s, a) type \underline{\Sigma}, À une i.e. les drapeaux (s, a) du type (0, 1). À un drapeau Les arêtes issues de ce sommet s sont les positions relatives voisines de D_i qui passent par s, et qui coupent D_i en s a. Les quatre arêtes incidentes en conséquence.

NB Ces indications suffisent à construire le tout cellulaire (\mathcal{X}, K), qui est une géométrie d'incidence.

Cor. L'ens. des comp. conn. de K_0 est indexé par I. Soit K(i) la comp. conn. K(i) (i \in I) est combinatoirement isomorphe à \widetilde{D}_i, l'image

inverse de D_i dans \widetilde{X} ( au revêtement des rives de D_i, par choix d'orientation de D_i)

(i) On a une application \mathcal{X} \xrightarrow{\ \varphi\ } X (application structurale contraction) telle que

1) La restriction de \varphi à toute face de (\mathcal{X}, K) est

2) \varphi \mathcal{X}, K

2) Au voisinage des pts arêtes de K, \varphi a la structure d'un « folding » d'arête.

3) Au voisinage des sommets de K, \varphi a la structure d'un « double folding » : \xi et les deux branches de K passant par s… ordinaires « folding » et « double folding » sont écrits entre guillemets, en anglais. La note marginale, écrite en biais dans la marge de gauche à la hauteur de 2) et 3), se lit mal ; une ligne biffée la précède

4) L = \ldots \varphi^{-1}(\bigcup D_i) \cap K = S(L) \cap L = \varphi^{-1}\bigl(\underbrace{\textstyle\bigcup D_i}_{X_1}\bigr) (\Rightarrow \varphi^{-1}(X_1) \cap K) K \cap L = (\varphi|K)^{-1}(X_1), « X_1 » est écrit sous l'accolade, sur un mot biffé

Cor. Un pt s \in K \cap L \varphi(s) est un sommet, ssi s est un sommet critique de i.e. est un point critique de K (l'un des pts est un 1-1 l'une des arêtes ordinaires de K).

(j) Soit Soit F une face de (\mathcal{X}, K). Considérons les sommets pts critiques s de K sur \partial F, tels que le bord marqué s (cf. (d)) soit extérieur à F, et corrigeons le contour \partial F par un petit renflement au voisinage de s du côté privilégié de s. Soit F^{*} F' la la face ainsi définie (F' \supset F) Alors Alors la position relative correspondante à F est \varphi(\partial' F), et la situation affine correspondante est canoniquement isomorphe à F' (F', F' \cap L). « (j) » est entouré et écrit sur un premier « (i) Soit » biffé NB (voir j) pour pt critique s de F , i.e. privilégié branches toutes au bord F (dans le cas contraire distinctes…) bord de F F et F' dessous il faut « couloirs » compris de K_0 deux notes écrites en biais dans l'entre-colonne, la première reliée par une flèche à une figure. Figures : deux droites vertes et deux traits orange se croisant, marqués s, un trait bleu gris au point de croisement ; un octogone vert en deux moitiés, F et F', traversé d'un faisceau orange en forme de lentille resserrée au milieu en s (un petit trait bleu), les pointes marquées t, t', t'', t'''

k) Une arête exceptionnelle stable ou instable (ou semi-stable) suivant que les deux positions relatives positions incidentes correspondantes sont des p.r. stables (resp. instables) (condition resp. ). Alors pour sommet exceptionnel, le bord privilégié de la branche ord. de K qui y passe est du côté de l'arête exc. instable ( )

l) Loi de symétrie autour d'une arête exceptionnelle ( ), et structure locale autour d'une composante exceptionnelle de K figure sur toute la largeur de la colonne : une longue droite horizontale (le cercle exceptionnel), alternativement vert foncé et brun, coupée par des droites verticales vert clair marquées de petits traits bleus ; entre elles, des faisceaux de pseudo-droites orange qui se croisent au-dessus et au-dessous de l'axe en fuseaux et en lentilles, l'un hachuré au crayon noir ; au-dessus, deux petites étoiles orange sur des traits verts et bleus. Des traits au crayon relient la figure aux notes voisines

figure canonique, il y a j)

NB l'indice de chaque arête exceptionnelle stable est = n - (\nu_{s_1} - 1) - (\nu_t - 1) , et les instables = n - \nu, où \nu est la multiplicité du sommet — dans la figure ci-contre on constate ! On voit que l'indice des arêtes exceptionnelles résulte des autres données numériques les signes = sont appuyés, peut-être des \equiv ; l'indice du premier \nu est peu net. Les dernières lignes de la note sont entourées d'une accolade, qu'une flèche relie à la figure

m) Indexation des sections de L sur les faces de (\mathcal{X}, K) à l'aide des par \widetilde{I}, à près d'une indexation ; l'indexation de la face adjacente

n) Reconstitution de \Sigma \underline{\Sigma} (via \widetilde{I}…) à l'aide de K, et des conditions numériques \varepsilon(s) \in \lbrace 0, 1 \rbrace et \nu(s) \in \mathbb{N} : K (indices des sommets ord. de K), \nu(a) des arêtes de K (distinguer le cas des arêtes ordinaires et des arêtes exceptionnelles.) dans l'ajout sur \varepsilon(s), le premier élément de l'ensemble est surchargé, lu 0 — lecture probable

NB Il y a aussi évidemment une loi de symétrie autour d'une arête ordinaire, pour ce qui est de la configuration induite par L sur les 2 faces adjacentes, au voisinage de l'arête en question. Peut-être un énoncé : considérons le couple (\mathcal{X}, K \cup L), et « le voisinage tubulaire » d'« d'arêtes » de K des arêtes K \cup L dans arêtes. Alors pour toute arête a de K, posons T_a \overset{\mathrm{def}}{=} (F' \cup F'') \cap T, où F', F'' sont les deux faces de (\mathcal{X}, K) incidentes à a, on a une involution \sigma_a de T_a, a comme de pts fixes, et respectant la structure cellulaire induite par (\mathcal{X}, K \cup L). De plus, si a et b sont incidentes au sommet s, alors \sigma_a | T_a \cap T_b et \sigma_b | T_a \cap T_b commutent dans un sens évident figure au milieu de la colonne : deux droites vertes (horizontale et verticale) traversées de pseudo-droites orange qui s'entrecroisent, un point de concours en pointillé orange

« 7.1.1984 » est écrit en haut à gauche : date de sa main (7 janvier 1984)

Structure de K. En rajoutant des sommets d'ordre 2, soit S_K l'ens. des sommets. On désigne par K le graphe top. ses nouveaux sommets (les anciens sont ceux d' ordre 4). On a S_K = \underbrace{S'_K}_{\text{sommets rouges}} \amalg \underbrace{S''_K}_{\text{sommets noirs}} sous S''_K, « noirs » est écrit au-dessus d'un « rouges » biffé NB S'_K contient sommets d'ordre des sommets S''_K contient des sommets pas nécessairement d'ordre note écrite à droite de la formule, dans la colonne de gauche, en partie coupée par le bord de la zone lue

:

a) Pour toute face F, S'_K \cap \partial F et S''_K \cap \partial F des subdivisions de \partial F dont la des , d'ordre 2n NB — Deux sommets consécutifs sur \partial F ne sont pas d'ordre 4, et plus précisément, des un arc de \partial F joignant deux sommets d'ordre 4, il y a toujours au moins un sommet rouge d'ordre 2 ( si \Sigma n'est pas du type \mathrm{II}_p arête exceptionnelle) et au moins un sommet noir B) …) « rouge », « noir » : les sommets sont effectivement marqués de ces couleurs sur les figures du dossier. La lettre « B) » est peu nette

b) On a une involution sur le déploiement K' de K. Ainsi, chaque arête a d'une face F est munie d'un signe \varepsilon_F(a), qui est \pm 1 si le est de F, -1 sinon. On a les règles \left\lbrace \begin{array}{ll} \varepsilon_{F'}(a') = -\varepsilon_F(a) & \text{si } F, F' \text{ sont les deux faces incidentes à } a \\ \varepsilon_F(a) = \varepsilon_F(b) & \text{si } a \text{ et } b \text{ sont adjacentes sur } F, \text{ le sommet commun étant d'ordre } 2 \\ \varepsilon_{a_1}(F_1) = \varepsilon_{a_2}(F_2) & \text{si } F_1 \text{ et } F_2 \text{ sont adjacentes le long d'une arête} \end{array} \right. mitoyenne b, d'extrémité s, d'ordre 4, et a_1 et a_2 sont incidentes à F_1 et F_2 resp. , \neq b, et incidentes à s. dans les deux premières règles, les lettres entre parenthèses sont surchargées (a' sur une autre lettre, puis deux lettres noircies lues a, b — lecture probable). Les conditions des règles sont écrites sur plusieurs lignes dans la colonne de droite ; nous les resserrons dans le tableau, la fin de la troisième étant rendue à la suite. Figure à côté de la troisième règle : une croix verte, un point noir au centre marqué s, une branche marquée b

Il résulte du fait que toutes les faces sont de = ordre , que pour toute arête a, si F, F' sont les deux faces incidentes, on a une bijection de symétrie \sigma_a^F \text{ ou } \sigma_a : \operatorname{Pol}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pol}(F') NB On a \sigma_a^F \sigma_a^{F'} = \mathrm{id} caractérisée par la condition qu'elle laisse fixes les deux extrémités de a. Il laisse donc fixes tous les sommets et arêtes qui sont sur la « grande arête » contenant a ( par les sommets d'ordre 4 les plus proches) (mais les prochains sommets du ne sont pas fixés par \sigma_a). L'involution \sigma_a transforme sommets rouges (resp. noirs) en sommets noirs « bijection de symétrie » est souligné. Une note marginale écrite en biais sur le bord gauche de cette colonne, en partie coupée, n'est pas lue

« 2.1.84 » est écrit en haut à gauche : date de sa main, le premier chiffre est le même qu'à la page 50, où la date se lit nettement « 2.1.84. » (la page 47 porte « 7.1.1984 »). Deux longs traits obliques au crayon (l'un brun) traversent la colonne de haut en bas, sans masquer le texte ; la moitié droite de la feuille est blanche

On place sur K des nouveaux sommets (d'ordre 2), de la façon suivante, Pour ( F) les sommets arête par arête.

a) On rajoute les pts de K \cap L sur \partial F

b) Pour toute arête des nouveaux complexes topologiques (\partial F, S \cap \partial F \cup (\partial F \cap L)), on distingue « topologique distingue » est encadré, le cadre remontant jusqu'à a)

a) rajoutant les pts de \mathring{a} \cap L

— soit \underline{a}' = (a, a \cap S(K) \cup a \cap L) figure à gauche : une ligne brisée verte (le bord \partial F), coupée de petits traits orange ; deux croix orange, l'une marquée s, l'autre au coin, le bord au-delà hachuré

le graphe topologique , \alpha ce graphe. (NB il y a au moins un élément de a \cap L (« sommet rouge ») a distinct des extrémités, donc chaque arête \alpha de \underline{a}' a au moins une extrémité rouge, i.e. qui pas une extrémité de \underline{a}, et il y a qui n'en ont ( )). a) Sur ces dernières, (sauf si l'extrémité est un sommet ), on sommet. b) Pour les Sur autres arêtes, on rajoute des sommets (oranges) de la façon suivante : b) si les deux extrémités sont non critiques des sommets de L, on rajoute juste un sommet (le milieu) c) Si Pour les autres arêtes (cas d'une arête \underline{a} ordinaire), de part et d'autre du pt critique s, si \nu(s) est ordre, on dispose \frac{\nu(s)}{2} pts rouges (si la page s'arrête sur « (si » ; la numérotation a), b), c) est reprise à l'intérieur de b), telle quelle

[j'aimerais comprendre la relation entre les \sigma_a^F, et les signes \varepsilon_F(a).] le crochet ouvrant n'est marqué que par un grand trait vertical à gauche de la ligne

Mais il faut encore introduire une autre structure

c) Ensemble C_K \subset S_K des « pts critiques » (ils sont d'ordre 2, et tels que) avec la condition que sur chaque grande arête, il y a exactement un tel élément de C_K (quand il y en a pas, l'arête est exceptionnelle). De plus, chaque pt critique s est muni d'un poids \nu(s) \geq \struck{1}, premier pair ou impair, suivant que s est noir ou orange (le poids d'un de S_K est par définition \nu(s) si critique, 1 si non critique et dans S'_K, 0 s'il est non critique et dans S''_K) « ex. », « exactement » est écrit au-dessus de « » biffé ; « (quand … exceptionnelle) » est biffé d'un trait. Le signe \geq est suivi d'un 1 surchargé, peut-être un 0 ; l'ajout interlinéaire sur la parité est souligné et se lit mal définir les « critiques » « de transition » , d' \nu(s) sommets 2\nu(s) ( rouges) NB les de transition () … plusieurs lignes écrites en biais dans la moitié droite de la feuille, dont une série de notes à peine lisibles (« critiques », « les sommets des critiques », « relation entre C_K et les signes \varepsilon_F(a) ») ; nous n'en donnons que ce qui se lit

En termes des sommets critiques, on a ceci :

1) Soit s un sommet critique, incident à la face F, soit s' son antipodique dans \partial F. Alors si s' Pour qu'on ait \varepsilon_F(a) = +1, il faut et critique le \varepsilon_a que le sommet s' antipodique de s ( \partial F) soit également critique (il a alors le = indice)

2) Pour toute face F, il y a au moins 3 pts critiques sur \partial F (et = au moins 4,

3) Si toutes les pts il y a au moins un pt critiques de signe +1. , sur chacun les rubriques 1), 2), 3) sont réunies par une grande accolade à droite. La parenthèse de 2) n'est pas refermée ; la page s'arrête sur « sur chacun »

« 2.1.84. » est écrit en haut à gauche : date de sa main (2 janvier 1984). Comme à la page 48, deux longs traits obliques au crayon traversent la colonne sans masquer le texte ; la page reprend, en la modifiant, la rédaction de la page 48

On place sur chaque K deux ensembles de pts, S'_K, S''_K , (sommets rouges, sommets oranges) de telle façon que

a) \forall F face de K, \partial F \cap S' est un polygone \alpha top. d'ordre 2n, et sur chaque arête \alpha de celui-ci il y a un pt de S'' et un seul, qui est son milieu si \alpha est contenu cette condition est entourée d'un cadre, et reliée par une accolade aux conditions a) et b) qui suivent

a) S'_K \ldots les sommets

a) S''_K \cap S(K), S'_K \supset K \cap L \smallsetminus K \cap S(L)

a) S'_K \cap L = K \cap L \smallsetminus (ensemble des pts critiques de K pourvus d'ordre pair)

b) S'_K \cap S(K) = S(K) \cap L

b) Tout Pour toute arête () \alpha de K, on a \alpha \cap S'_K \neq \emptyset. à la suite de b), séparé par une flèche : « des arêtes de K, et l'unique sommet de K sur \alpha dans les » ; figures : un segment vert barré de rouge et d'orange, biffé ; un segment vert en pointillé portant en son milieu une croix rouge ; un coin vert, un point rouge et un trait orange

b) NB a) et b) impliquent que S'_K \cap S(K) = S(K) \cap L, i.e. un de K est dans S'_K ssi il est dans L

c) Pour un pt critique s de K, sur l'arête S'_K \smallsetminus S_K \cap L est réunion de segments, un pour chaque pt ordinaire \alpha qui désignant par t', t'' les pts les plus proches de s, sur l'arête a de K s, parmi les pts de (a \cap L) \cap \partial a l'intersection [t', t''] \cap S'_K est de cardinal égal on dispose le segment [t', t''] \nu(s), et il y a la phrase se termine sur la virgule après \nu(s)

figures dans la moitié droite de la feuille : en haut, un cercle noir et gris traversé de courbes qui se croisent, deux points verts ; deux hexagones et un pentagone rouges, chacun traversé d'un segment vert joignant un sommet (point rouge) à un côté ; un hexagone rouge partagé par un segment vert, hachuré au crayon ; au bas, un réseau de droites rouges qui se croisent en losanges, parcouru d'une ligne brisée verte, et un faisceau rouge coupé par des segments verts en pointillé

NB des deux arcs ouverts déterminés par s, t sur \partial F, il y a au moins un pt critique

d) Relation entre sommets critiques sur F et sur F' = \sigma_a(F) ( \partial F. OPS que \varepsilon_F(a) = \pm 1), a une grande arête, sur \partial F ( les rôles de F et F'). On a ( : s, l'antipodique de s, qui est critique) critique u, v ceci : Soit s le pt critique sur a les deux pts critiques les plus voisins de s, de part et d'autre sur \partial F l'arc correspondant de s, \beta = \widehat{u^{*} s\, v^{*}} . Considérons l'autre d'extrémités u', v', contenant s. Soient (NB, extrémités u' et v', sont connexes distinctes déterminées par a, u, v, par , u \neq v, s \in \beta, s, t sur \partial F, et u \neq v, t', u \sqcup v' façon précise \alpha = \widehat{u s v}). transformés de s, t, u, v par \sigma_a. Alors

a) induit une bijection condition, bijection entre C_K \cap \alpha et C_K \cap \alpha', x et x' se correspondant \varepsilon_F(x) = \varepsilon_F(x'), sauf si x = s, donc x' = s, \varepsilon_{F'}(x) = -\varepsilon_F(x) ( …) « Relation » (avec « entre ») et « grande arête » sont soulignés ; « C_K \cap \alpha et C_K \cap \alpha' » est souligné d'un trait. Le passage entre « Considérons » et « Alors » est chargé d'ajouts interlinéaires et de ratures ; les lettres u^{*}, v^{*} portent un astérisque peu net

b) On a t' \notin C_K, F F' N \ldots N', \operatorname{card}(\mathring{\beta}' \cap C_K) \in \lbrace 0, 1, 2 \rbrace, N' \in \lbrace N-1, N, N+1 \rbrace [ si l'indice de ] si x \in \mathring{\beta}' \cap C_K, on a \varepsilon_F(x) = -1 b) est surchargé : une formule biffée précède « \in \lbrace 0, 1, 2 \rbrace » ; « N' \in \lbrace N-1, N, N+1 \rbrace » est écrit au-dessous ; le « \mathring{\beta}' » est lu d'après la ligne suivante

Cor. Considérons les antipodiques u^{*}, v^{*} de u, v sur \partial F, et l'arc \beta^{*} = \widehat{u^{*} s\, v^{*}}, Alors alors il n'y a pas de pts critiques de signe \pm 1 figure dans la marge gauche de la colonne : deux cercles verts tangents en un point marqué s ; sur le cercle du haut, les points u, t, v (points noirs et verts), l'intérieur griffonné au crayon ; sur celui du bas, u', t', v'

En résumé, soit x \in S_K \cap \partial F, un sommet de s, x' = \sigma_a(F), alors x' est critique , et x et x' , les cas suivants « En résumé » est souligné d'un trait ondulé ; « x' = \sigma_a(F) » est écrit tel quel, pour x' = \sigma_a(x) vraisemblablement

a) x = s, auquel cas \varepsilon_{F'}(x) = -\varepsilon_F(x') critiques

b) x = t, auquel cas x' critiques d'indice \pm 1,

(Ceci permet de distinguer laquelle « privilégiée » « » des deux faces F, F' , en termes de la position de l' critique antipodiques \partial F, \partial F')

c) x \in \widehat{u h v} = \mathring{\beta}, x \neq t, i.e. x' \neq t', donc x critique, alors ( ) x' sont critiques indice est -1. « \widehat{u h v} » : la lettre du milieu est peu nette, lue h

page de dessins, sans texte de sa main : sur la moitié inférieure droite, deux figures séparées par un grand arc rouge. Chacune montre des faisceaux de droites rouges concourant en un point, et une ligne brisée verte (le bord d'une face) qui serpente entre elles, portant des sommets marqués de points noirs ou orangés ; dans la figure de gauche, un segment vert foncé relie le point de concours à un sommet, et une corde verte en pointillé longe le bas ; dans celle de droite, une corde verte en pointillé, jalonnée de points rouges, passe par le point de concours (point rouge épais). Ce sont vraisemblablement des illustrations du bord \partial F et de ses sommets critiques, pages 49 à 51

Réciproquement, on utiliser la position des critiques, pour déterminer les signes des \varepsilon_{F'}(a'), quand on connaît les signes \varepsilon_F(a). « Réciproquement » est souligné ; « les signes » (seconde occurrence) est écrit au-dessus d'un mot biffé et souligné

Proposition. Considérons l'arc V_F (« vert ») des sommets d'ordre 4 incidents à F, et l'arc \sigma_a^{F'}(V_{F'}) (où F' est la face incidente à F le long de la grande arête a de \partial F). Soit les transformés de \partial F arêtes considérons les (fermées) \alpha, sont A_{F,a} = la réunion des grandes arêtes (sur F) qui sont telles que \sigma_a(\alpha) soit une grande arête de F' = \sigma_a(F) (NB a est une grande arête de F). Alors

a) A est un arc sur \partial F, soit B l'arc « complémentaire ». Alors Considérons la subdivision de B en grandes arêtes (sommets verts clairs) et en « grandes arêtes » F'' (sommets verts foncés). Alors le nb d'arêtes n_a(F) et n_a(F') qui interviennent est compris entre 3 et 5 — les possibilités sont (compte tenu de la symétrie F et F') (3, 3), (3, 4), (3, 5) [Donc ( (2, 2) )] — et dans les cas, c'est la face spéciale qui donne lieu à 3 arêtes (ce qui suffit à la déterminer, quand on est dans le cas 1^{\circ} ou 3^{\circ}). De plus, « Proposition » est souligné ; « Soit » est suivi d'un mot biffé et noirci, la construction de la phrase restant incertaine. Les couples, surchargés, sont lus (3, 3), (3, 4), (3, 5) — les seconds chiffres, peu nets, étant lus d'après « compris entre 3 et 5 » ; « Donc » et « » sont biffés dans le crochet

b) Si \alpha est une petite arête dans F dans A, et \alpha \neq a, on a \varepsilon_{F'}(\alpha) = \varepsilon_{F}(\alpha) [NB si \alpha = a, on a \varepsilon_{F'}(a) = -\varepsilon_F(a)]

c) On a les positions suivantes pour la distribution des grandes arêtes sur B (à identifier près de F et F') et les signes correspondants figures dans la moitié inférieure de la colonne de droite, numérotées 1^{\circ}), 2^{\circ}), 3^{\circ}) : des arcs verts (clair et foncé) d'extrémités u, v, portant des sommets x, y (vert clair) et r, s (vert foncé), avec les signes « +1 » au sommet de l'arc, « -1 » entre r et s, et des accolades marquées \varepsilon_1, \varepsilon_2 de part et d'autre. Une première version de 1^{\circ}) et 2^{\circ}), au crayon, est barrée de grands zigzags et reprise au-dessous : en 1^{\circ}), un seul sommet foncé r, de signe +1, entre x et y ; en 2^{\circ}), deux sommets foncés r, s séparés par un arc de signe -1, sous le +1 ; en 3^{\circ}), trois sommets foncés, le médian de signe +1, deux arcs de signe -1 de part et d'autre

Corollaire. Dans tous les cas, la distribution des signes \varepsilon_{\cdot}(F) détermine celle des \varepsilon_{\cdot}(F'). C'est clair C'est clair d'abord dans les cas 1^{\circ} et 3^{\circ}, où on sait laquelle des faces F, F' est la spécialisée de l'autre, et par suite Mais dans le cas (2^{\circ}) « symétrique », on connaît les signes \varepsilon_{\cdot}(F), on On voit que les grandes deux arêtes extrêmes correspondantes pour F, F' ont = signes (c'est vrai dans tous les cas, y compris dans les cas 1^{\circ} et 2^{\circ}), et pour les arêtes qui sont par deux en , elles sont F, F' par de = signes (NB leur nb, suivant les cas, est (1, 0), (1, 1) ou (1, 2)) et les signes en question pour F et pour F' sont opposés. « Corollaire » est souligné ; « symétrique » est écrit au-dessus de la ligne, entre guillemets, et « Mais » au-dessus de « et par suite » biffé

Corollaire. Quand on connaît les signes \varepsilon_F(a) pour une face F, on les connaît pour toutes (grâce à la connexité de \mathcal{X}) « une » est biffé d'un double trait ; « toutes » est souligné

J'ai supposé implicitement que dans les vérifications de la proposition que ni F, ni F' n'était une face exceptionnelle (correspondant à une position relative exceptionnelle, i.e. « supercritique »). Il faudrait que j'examine séparément cas de telles faces. Pour une telle face, il n'y a pas grandes arêtes, et la distribution des signes est . Cela semble donner une façon simple (i.e. les ) de décrire les signes ( ) structure de de (\mathcal{X}, K, S_K), sans avoir à utiliser les critiques, et encore moins les le graphe L \subset \mathcal{X}. la colonne de droite occupe les deux tiers supérieurs de la feuille ; le bas de la feuille est blanc

page de calculs au crayon, sans texte suivi ; nous donnons les formules dans l'ordre de la feuille, colonne de gauche puis colonne de droite

(\nu_{s_1} - 1) + (\nu_{s_2} - 1) + \cdots + (\nu_{s_n} - 1) la dernière parenthèse porte en dessous, dans une accolade, « \nu_{s_0} ». Figures : un disque au crayon, à la périphérie duquel sont accolés un pentagone et un hexagone orientés (petites flèches courbes), deux points 0 et 1 sur le bord ; à droite, un segment vertical portant les points s_1, s_0, s_{n-1}

\begin{array}{l} l_s = n - \nu_s \\ l_a = n - 1 - (\nu_s - 1) - (\nu_t - 1) = n - (\nu_s + \nu_t - 1) = (n - \nu_s) - (\nu_t - 1) \\ l_s - l_a = \nu_t - 1 \\ \chi_{2n}(s) = \sum (\nu(s) - 1) = n - 1 \end{array} dans l_s, un premier coefficient devant n est biffé ; dans l_a, un 2 biffé devant n, et dans la ligne suivante un terme biffé ; après l_s - l_a = \nu_t - 1 suit un « = 1 » biffé. Sous la somme, en accolade : « s sommet sur D_i » et « multiplicité du sommet », puis « \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} »

\lambda(t) = \widetilde{\rho}_p(t) = (-1)^p (t - \chi_p) \qquad \text{ici } p = 2n \text{ donc } (-1)^p = +1 \lambda(t) = t - \chi_{2n} = t - (n - 1) devant la seconde formule, un signe peu net (lu \beta ou \beta biffé) et « il faut » biffé

NB \rho_p(t) = \sigma_{p-1} \cdots \sigma_0 (t) = (-1)^p (t - \chi_p) une première valeur, « (-1)^{p-1}(\chi_p - t) = (-1)^p t + (-1)^{p-1}\chi_p », est biffée sur deux lignes

Prolongement de \varphi_p : F_0 \ldots fait par la ligne se poursuit par des mots biffés, et une petite figure (un segment à deux points) ; nous ne la lisons pas au-delà

figure au milieu de la feuille : une chaîne verticale de faces polygonales F_0, F_1, F_2, …, F_{p-1}, F_p, F_{n+1}, accolées le long d'un segment, les sommets de recollement marqués a_0, a_1, …, a_p, a_{p+1}, s_0, s_1, …, s_n, s_{n+1}, avec des flèches courbes ; « p = 2n » à côté

\begin{array}{ccc} \operatorname{P}(F_n) & \xrightarrow{\ \sigma_{a_n}\ } & \operatorname{P}(F_{n+1}) \\ \varphi_n \ \wr & & \wr\ \varphi_{n+1} \\ \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} & \xrightarrow{\ \sigma_n\ } & \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \end{array} \qquad s_{n+1} \longmapsto s_{n+1} « \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} » : le N est peu net, le second terme de la ligne du bas est surchargé. « s_{n+1} \mapsto s_{n+1} » est écrit au-dessus de la flèche \sigma_{a_n}

\sigma_n a) respecte la structure polygonale

b) renverse l'orientation

c) transforme \varphi_n^{-1}(s_{n+1}) en \varphi_{n+1}^{-1}(s_{n+1}) = 0 sous \varphi_n^{-1}(s_{n+1}), une accolade : « l_n ». Figure : un cercle au crayon en pointillé, marqué « donc »

\sigma_n(t) = l_n - t \begin{array}{ll} \sigma_0(t) = l_0 - t & \\ \sigma_1(t) = l_1 - t & \sigma_1\sigma_0(t) = l_1 - (l_0 - t) = l_1 - l_0 + t \\ \sigma_2(t) = l_2 - t & \sigma_2\sigma_1\sigma_0(t) = l_2 - l_1 + l_0 - t \end{array} \underbrace{(\sigma_n \sigma_{n-1} \cdots \sigma_0)}_{\rho_{n+1}}(t) = l_n - l_{n-1} \cdots + (-1)^n l_0 + (-1)^{n+1} t = (-1)^n (\chi_{n+1} - t) = (-1)^{n+1}(t - \chi_{n+1}) \text{où } \chi_{n+1} = \underbrace{l_0 - l_1 + \cdots + (-1)^n l_n}_{n+1 \text{ termes}} au-dessus de (\sigma_n \sigma_{n-1} \cdots \sigma_0), en accolade : « n+1 facteurs » ; le \sigma_{n-1} est surchargé. Au bas de la feuille : « \underbrace{\sigma_{p-1}\sigma_p \cdots \sigma_0}_{\rho_p}(t) = (-1)^{p-1}\ldots », inachevé

\nu(n-1) + \nu(n-3) = 2\nu n - 4\nu = 2\nu(n-2) la formule est écrite en haut à droite de la feuille ; sous « (n-1) » un petit « 2 » en accolade ; « - 4\nu » est surchargé, et deux valeurs intermédiaires sont biffées, dont « = \nu(2n-3) » ; le résultat final est encadré. Au-dessous, « 2(n-2) », surchargé page de dessins pour le reste : trois « écuelles » vertes (un côté droit et un arc, jalonnés de sommets verts et noirs) accompagnées des couples (3, 3), (3, 4), (3, 5), écrits à l'envers — ce sont vraisemblablement les trois cas 1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ} de la page 53 ; deux autres écuelles, l'une marquée -1 de part et d'autre, suivie de « \ldots », et de nouveau « (3, 3) (3, 4) — » à l'envers ; un cercle vert et noir avec des arcs épais noirs et des marques rouges, annoté 1/2, 1/1, 1 ; en haut à droite, un pentagone aux sommets numérotés 0 à 3 et un quadrilatère, avec « 1\,2\,3 » ; au bas, trois grands cercles au crayon, avec des arcs épais noirs et des points verts, l'un marqué + en haut

« 3.1.84 » est écrit en haut à gauche : date de sa main (3 janvier 1984), le dernier chiffre étant lu comme à la page 50 — lecture probable. Deux longs traits obliques, l'un au crayon, l'autre jaune, traversent chaque colonne ; ils ne masquent pas le texte, et rien n'indique s'ils l'annulent

Transport parallèle le long d'un demi-tour, le long d'une position relative singulière supersingulière \boxed{\lambda(t) = t - (n-1)} cette formule reprend celle de la page 55, \lambda(t) = t - \chi_{2n} = t - (n-1) Tout le ! écrit en biais entre les deux colonnes

NB Le pgcd de n-1 et de 2n est 1 si n pair, 2 si n impair. Donc on voit que l'image de \pi_1(\mathcal{X}) \longrightarrow \mathbb{D}_{2n} a une image qui contient \mathbb{D}^{+}_{2n} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} si n pair (donc cette image est d'indice 1 ou 2) ou bien elle et elle contient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} si n impair (donc elle est d'indice 1, 2 ou 4) « \mathbb{D}_{2n} » est écrit sur un \mathbb{Z} biffé. L'ajout « \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} », au-dessus de la ligne, est rattaché par une accolade à \mathbb{D}^{+}_{2n}

Cela le le déployé \widetilde{\mathcal{X}} de \mathcal{X} suivant les composantes supersingulières de K, on trouve dans l'image de \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \longrightarrow \mathbb{D}_{2n} les t \longmapsto \lambda'(t) = t - 2(n-1). Or le pgcd de 2(n-1) et 2n est 2. Donc l'image contient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, d'indice 4 \operatorname{Pol}(D) note écrite en biais dans l'entre-colonnes, séparée du texte de droite par un trait vertical ; elle se lit mal

(le quotient étant \mathbb{D}_2 \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2)

Ceci ne nous dit l'image de \pi_1(\mathcal{X}) \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) dans \mathbb{D}_{2n}, et en particulier sur son image dans \pm 1, \mathbb{D}_{2n} \xrightarrow{\ \chi\ } \pm 1 On l'impression que pour avoir des informations, il faut faire presque un autour d'un sommet de \underline{\Sigma} et faire un et voir l'effet produit. On va faire un demi-tour, partir d'une position supersingulière disons, transport parallèle l'orientation de la position supersingulière changée, et \chi(\lambda) sera égal à +1 si le nb total de « pas » pour revenir au pt de départ est impair, à -1 dans le cas contraire. Donc on aimerait pouvoir le faire en un nb pair de pas !

un long trait oblique au crayon traverse la feuille en diagonale, sans masquer le texte Par une petite modification de ce processus on montrera alors que non seulement \pi_1(\mathcal{X}) \to \pm 1, mais aussi \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \pm 1 est surjectif ; je dirai dans le cas n pair, cela implique que \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n} est surjectif (mais peut-être pas \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n} ?) le premier \widetilde{\mathcal{X}} de la dernière ligne porte au-dessus de son tilde un petit signe peu net, peut-être un second tilde ou un « \approx » : les deux revêtements comparés ne se distinguent que par ce signe

Calcul de la parité du nb d'opérations élémentaires pour passer de (D_i^{s}, \omega) à (D_i^{s}, -\omega). Le nb d'opérations est égal à : \begin{array}{l} 2(\text{nb de sommets : balayage}) \\ \quad + 2(\text{nb de droites par-dessus lesquelles balayage}) \\ \quad + 1 \ (\text{décollage}) + 1 \ (\text{atterrissage}) \end{array} merveilleux, c'est toujours pair ! figure à gauche : un segment horizontal portant un point s, une petite flèche verticale au-dessus. En regard de la deuxième ligne, une accolade renvoie à une note : « NB chaque droite par-dessus laquelle on balaye compte comme un dessous sommet pratiquement balayerait »

En fait, par transport parallèle, on trouve ( p.r. À vrai dire, le raisonnement est incomplet, car ce que il faut regarder ici dans le revêtement de \mathcal{X} qui par des faces supersingulières (par des « bandes supersingulières ») celles-ci sont d'ordre 2(n-1), non 2n. Donc il vaut mieux partir d'une position proche de D_i passant par s par un petit pivotement autour de s. Maintenant, toute droite franchie compte comme une seule opération, droites franchies ( ) une fois et une seule. Donc le nb correct d'opérations est 2(\text{nb des sommets } \ldots\ s) + \text{ordre de } s dans la parenthèse, deux mots entre « sommets » et « s » sont illisibles : donc l'image du circuit dans \pm 1 est -1 ou +1, suivant que l'ordre \nu(s) de s est pair, ou impair. Si donc il y a au moins un sommet simple, on voit que l'homomorphisme \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \longrightarrow \pm 1 surjectif, et aussi \pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \pm 1 surj. « seule » est souligné ; « l'ordre » est écrit sur « \nu » biffé. La dernière ligne, au bord de la feuille, se lit mal ; le premier des deux \widetilde{\mathcal{X}} porte de nouveau le signe peu net au-dessus du tilde

la colonne de gauche est barrée d'un long trait oblique, et sa moitié inférieure de quatre traits parallèles au crayon ; la colonne de droite d'un trait oblique. Le texte reste lisible sous ces traits, et nous le donnons Par contre, si on fait un tour complet, de façon à ramener : l'orientation de de D, (i.e. le carré des demi-tours) on trouve un transport parallèle \operatorname{Pol}(D) \to \operatorname{Pol}(D) qui conserve l'orientation. ainsi que pour les « demi-tours autour de s », le nb de pas est pair, alors le résultat du transport parallèle sur les polygones de , sur l'orientation, les = résultat que le transport parallèle ordinaire de l'orientation. Cela signifie que l'orientation change par le long d'un circuit, si \nu(s) pair. Si \nu(s) impair, alors le résultat sur \operatorname{Pol}(D), et via transport ordinaire, n'est les = comme l'orientation est conservée par transport parallèle, elle ne l'est pas par transport ordinaire — donc en tous cas, cette dernière change « conservée » est souligné

chaque fois qu'on a un circuit fermé sur \mathcal{X} (circuit ) tel que le transport par change l'orientation de la position relative D. Alors l'orientation de \mathcal{X} ssi le nb des pas élémentaires est pair. Balayer au-dessus d'un pt compte comme 2 balayages, au-dessus d'une p.r. supersingulière compte comme 1. « \mathcal{X} » de la première ligne est précédé d'une barre verticale ; « de la position » est écrit sur une lettre biffée (\Delta peut-être)

Voilà enfin une façon de voir que \pi_1(\mathcal{X}) \to \mathbb{D}_{2n} est surjectif. un mot biffé et noirci est écrit au-dessus de \mathcal{X}, peut-être un tilde

On part d'une p.r. D stable proche d'une p.r. supersingulière D_0, figure au bas de la colonne : deux droites orange verticales et une droite orange horizontale D_0 ; une droite verte D, parallèle à D_0 au-dessus d'elle, s'infléchit pour la rejoindre et la croiser près du point s ; le point a est marqué sur D, et la région entre D et D_0 près de s est hachurée au crayon

d'où un d'où un côté privilégié sur D (celui qui rencontre D_0), donc par ailleurs une extrémité s, de façon à avoir un repère. spécialisation D en D' vers le sommet s le plus proche de s, fais un demi-tour par s et je reviens : D, un nb pair d'opérations, qui change l'orientation de D, et transforme s en s — donc c'est la symétrie p.r. : s. Si on fait un trait oblique au crayon barre le haut de la colonne. « et transforme s en s » est souligné ; le « s » après « symétrie p.r. : » est lu d'après la ligne précédente

4.1. Pour tout chemin combinatoire c sur \Gamma — i.e. chemin formé avec des faces F_D de (\mathcal{X}, K), la face F = F_D à F' = F_{D'}, on trouve un iso. « de transport parallèle » \operatorname{Pol}(c) : \operatorname{Pol}(F) \longrightarrow \operatorname{Pol}(F'), qui du pt de vue de la géométrie intrinsèque de (\mathcal{X}, K, S_K) s'interprète par composition de « réflexions » le long des arêtes de réflexion qui interviennent au cours de c. « 4.1. » ouvre l'alinéa, sans que rien sur ces pages ne donne les numéros précédents ; le c est ajouté au-dessus de « chemin »

L'effet de \operatorname{Pol}(c) sur les orientations \underline{\omega}_{\ast}(c) : \underline{\omega}(F) \simeq \underline{\omega}(D) \longrightarrow \underline{\omega}(F') \simeq \underline{\omega}(D') est aussi l'effet sur l'orientation des p.r. par transport parallèle — donc est la parité des nb de pas dans le chemin c ! Si on a un circuit c, i.e. F = F' trouve \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \underset{\simeq \mathbb{D}_{2n}}{\operatorname{Aut}(\operatorname{Pol}(D))} \xrightarrow{\ \text{effet sur orientation}\ } \pm 1 l'indice de \underline{\omega}_{\ast}(c) est peu net ; le « \ast » est lu d'après le \chi_{\ast} qui suit. Un « \ell » est biffé devant « \ell = c » On désigne par \chi_{\ast} le caractère composé \chi_{\ast} : \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \pm 1 donc pour un chemin \ell, on a \chi_{\ast}(\ell) = +1 ou -1 suivant que par transport parallèle l'orientation de D ou non changé.

On a deux autres caractères \chi_s et \chi_a ( orientation « sommets » et « arêtes ») : chaque face F_D deux d'éléments \begin{array}{l} \varepsilon_s(F) = \varepsilon_s(D) = \text{un des deux } n\text{-gones inscrits dans } \operatorname{Pol}(D) = \operatorname{Pol}(F) \\ \varepsilon_a(F) = \varepsilon_a(F) = \text{un des deux } n\text{-gones circonscrits dans } \operatorname{Pol}(D) = \operatorname{Pol}(F) \end{array} dans la première ligne, « F » est écrit sur une lettre biffée et « deux » ajouté au-dessus (lecture probable) ; « circonscrits » est d'une lecture douteuse ; dans la seconde, l'indice du premier \varepsilon est surchargé (lu a) et le second membre « \varepsilon_a(F) » répète le premier. La page s'arrête ici ; la suite est au lot suivant