Fonds Grothendieck, cote n° 154, pages 21–40

numéroté 10 en haut à gauche : suite de la série commencée page 11 sous la date 23.12.83 (numérotée 1 à 9 aux pages 11 à 19, la page 20 étant un dessin sans numéro) figure, en haut à gauche : un arc (en vert) longé de part et d'autre par deux arcs bruns, traversé par six faisceaux de pseudo-droites orange ; sur les arcs bruns, des segments épais noirs marquent les arcs découpés à chaque croisement

Les réflexions en termes des P(D) \to P(D') et un (ou des triangles T) par spécialisation des triangles de (s'il y en a) , T spécialisation (, ou ) ~~paraît~~ semble disparaître comme telle — il faudrait donc indiquer la relation d'adjacence des triangles de D), spécialisation de comme partie de \Gamma(\Sigma) — la structure NB elles déduites structure de pondération la note marginale est écrite en biais dans la marge de droite, séparée du texte par un trait

figure, à gauche : trois pseudo-droites orange sur une droite verte ; en pointillé vert, une générisation qui passe au-dessus du point de concours ; des traits noirs, pleins et pointillés, marquent les arcs découpés et la structure supplémentaire \operatorname{Pol}(D) en enlevant d'abord de \operatorname{Pol}(D) les triangles de spécialisation (s'il y en a) : T, soit \operatorname{Pol}(D;\,T) qui polygone. On \operatorname{Pol}(D), au contraire, augmenté ~~\operatorname{Pol}(D')~~, en y incluant des arcs des générisations des « pseudo-triangles de spécialisation » la note marginale, écrite en biais dans la marge de gauche, est reliée au texte par un trait vertical ; le « \operatorname{Pol}(D;\,T) » est d'une lecture douteuse

numéroté 11 en haut un des extrémités serait un sommet de \Sigma, comme figure : deux faisceaux de pseudo-droites orange sur une droite verte, un trait épais noir marquant sur celle-ci l'arc intercepté par chacun

(ou bien couronne d'une arête libre de \Gamma(X), sans autre sommet au bout) ; ~~il serait pratique~~ d'adjoindre, tu comme on dit plus haut, les antipodiques des (des spécialisations, — des pseudo-spécialisations — pour des vraies spécialisations, l'antipodique de spécialisation, des pseudo-spécialisations) — également des bords libres. Soit \operatorname{Pol}^{*}(D) ce polygone (plus grand que celui précédemment désigné sous ce vocable). On trouve de \operatorname{Pol}^{*}(D) ~~nouveaux polygones~~ de \operatorname{Pol}^{*}(D'), mais ce n'est pas un isom., car des (ou triangles) des pseudo-spécialisations peuvent être créés par spécialisation, dans le cas où l'autre des deux faces adjacentes au triangle T l'une des est un couloir. Donc il faut encore antipodiques de l' de \operatorname{Pol}^{*}(D) \to \operatorname{Pol}(D). figures, colonne de droite : un faisceau orange sur une droite verte, les deux triangles de part et d'autre hachurés au crayon et marqués t, t', le grand triangle T au-dessous, une générisation en pointillé vert ; au-dessous, deux petits faisceaux orange sur une droite verte avec leurs arcs noirs ; plus bas, une petite figure analogue légendée \operatorname{Pol}^{*}

NB La pondération d'un de \operatorname{Pol}^{*}(D) peut être nulle — entre ~~deux spécialisations~~ générisations, . « \operatorname{Pol}^{*} » : l'exposant est tantôt une étoile, tantôt un signe proche de \alpha ; nous l'unifions en ^{*} sur la page, la graphie restant douteuse. La phrase de la NB se poursuit en une accolade dans la marge de droite (« des ps. spéc. adjacents figures entre l'antipodique arcs de spécialisation de spécialisation »), qui se lit mal

L'introduction de \operatorname{Pol}^{*}(D) est intéressante, stable par antipodisme. les compatibilités les pondérations, dire que qui se correspondent deux autres () pondérations, ainsi que compatibles. Quand \operatorname{Pol}^{*}(D) \to \operatorname{Pol}^{*}(D') que se correspondent n'est pas un iso, il y a un deux des sommets adjacents de \operatorname{Pol}^{*}(D') qui (D', a), (D', a') . NB \operatorname{Pol}^{*}(D) note écrite en biais dans la marge de gauche

numéroté 12 en haut. Figure en tête de la colonne de gauche : un arc portant, dans l'ordre, les points x, b, a b \operatorname{Pol}^{*}(D), l'arc \widehat{ax} de \operatorname{Pol}^{*}(D') (x étant l'autre sommet de \operatorname{Pol}^{*}(D') adjacent à b) on doit avoir \text{pondération de } \widehat{a,x} \text{ dans } \operatorname{Pol}^{*}(D') = \text{somme des pondérations de } \widehat{x,b},\ b,\ \widehat{b,a} \text{ dans } \operatorname{Pol}^{*}(D). la formule est écrite sur trois lignes ; le premier \operatorname{Pol}^{*} porte ici (D), lu (D') d'après la phrase précédente — lecture probable

[Pour exprimer commodément cette relation, il faudrait développer la notion de pondération dans un sous-polygone d'un polygone pondéré…, telle façon que les déploiements pondérés initiaux sous-polygone, soient .]

La question se pose si les \operatorname{Pol}^{*}(D) \to \operatorname{Pol}^{*}(D') peuvent se déduire des structures de \Gamma^{*}(\Sigma) (~~structure~~ cellulaire et pondération).

Il faudrait d'abord pouvoir les structures des polygones \operatorname{Pol}^{*}(D) ( dehors D non supercritique).

a) Parmi ces sommets, i.e. les arêtes de \Gamma^{*}(\Sigma) en D, il y a les sommets de spécialisation (arêtes partant de D), les arêtes de générisation ( arrivant à D), et enfin les arêtes libres en D), les sommets . Notons « b » () :

\alpha) l'un des sommets ( arêtes) des générisations l'antipodisme ;

b) sommet des spécialisations, antipodique sommet des spécialisations ;

c) sommet qui un de générisation, antipodique d'un des spécialisations, ps. spécialisation, dit antipodique d'un , qu'il est adjacent à sommet de générisation, et la pondération de l'arête qui les joint est nulle ; la première rubrique, notée « a) » plus haut dans la phrase, est reprise par une lettre peu nette que nous lisons \alpha) ; les rubriques b) et c) sont écrites en marge de gauche de la colonne. Figure au bas de la page : deux pseudo-droites orange sur une droite verte, deux traits noirs marquant les arcs de part et d'autre du croisement

numéroté 13 en haut Il ne semble pas que la structure de graphe orienté cellulaire pondéré de \Gamma^{*}(\Sigma) permette de distinguer, parmi les ~~sommets~~ arêtes issues d'un sommet D i.e. les sommets de \operatorname{Pol}^{*}(D), celles qui correspondent à des triangles de ps. spécialisation (parmi les ~~paires à des arêtes de \operatorname{Pol}^{*}(D) de pondération nulle, antipodiques~~ sommets incidents sont sommets de générisation). , ! la note marginale, écrite en biais entre les deux colonnes et séparée par un trait, se lit mal

Cette distinction peut se déduire , disposer des de spécialisation \operatorname{Pol}^{*}(D) \to \operatorname{Pol}^{*}(D') : les sommets des ps. spécialisation sont distingués, parmi les « spécialisations » précédentes, comme les spécialisations des sommets de spécialisation, exactement.

La prochaine question est donc si les de spécialisation \operatorname{Pol}^{*}(D) \longrightarrow \operatorname{Pol}^{*}(D') sont déductibles des structures précédentes. Mais bien sûr, via l' correspondante des polygones déployés, car il suffit ( ) :

b) de savoir l' l' l'une des deux orientations, ce qui est connu, et

c) de savoir l'image du sommet (D, a) particulier de \widehat{\operatorname{Pol}}^{*}(D), qui est comme l'antipodique, dans \widehat{\operatorname{Pol}}(D'), du sommet (D', a) ! la rubrique « a) » n'est pas visible : la phrase précédente, dont la fin se lit mal, en tient lieu. Dans c), le second \widehat{\operatorname{Pol}} est écrit sans étoile

En fait, chaque fois qu'il y a une 2-cellule (avec bords isolés i.e. arêtes libres) dont les (vrais) sommets sont d'ordre 2, et dont les arêtes et coins sont pondérés [ pondération ] des arêtes , pondération totale de chaque sommet (somme des pondérations des arêtes et coins incidents) étant fixe, trouve des de transport entre les polygones locaux déployés, qui forment donc un syst. local sur la surface sous-jacente à la carte !

numéroté 14 en haut Dans le cas actuel, il se trouve que , \operatorname{Pol}^{*}(D) \to \operatorname{Pol}^{*}(D') les propriétés .

Il faudrait examiner à part la relation de spécialisation vers un \Delta supersingulier.

24.12. Finalement, il apparaît que c'est le polygone \operatorname{Pol}^{\wedge}(D) qui est le « bon », ou encore , le polygone au à la carte duale de celle considérée — c'est la carte duale qui est la plus intéressante le polygone \operatorname{Pol}(D) ( !) comme ~~le bord~~ associé au polytope, bord d'un petit voisinage tubulaire de D, ou encore bord du disque \Delta(D) compte de voisinage tubulaire, la carte qui intérieur peut être considérée comme obtenue en recollant les disques \Delta(D), d'une façon naturelle que je viens de m'expliquer , qui déduits des disques \Delta(D) ces disques en prenant pour bord les « arêtes libres ». « 24.12. » est écrit en tête de l'alinéa, en marge : date de sa main (24 décembre 1983, dans la suite datée 23.12.83 en page 11). « \operatorname{Pol}^{\wedge} » rend un exposant en forme de chevron

que ces ( et des générisations) spécialisations et on les la relation, de sorte qu'on trouve un disque \Delta'(D) dans lequel les sommets précédentes apparaissent comme segments du bord vers l'intérieur (si on garde la trace du syst. de droites ( ) à l'intérieur de \Delta'(D) (cf. figure ci-contre, voisinage du bord) au des points doubles figures au bas de la page : un grand disque (bord vert) traversé par un arrangement de pseudo-droites orange, des régions coloriées en jaune, les points du bord numérotés 1 à 12 au crayon, de petits segments bleus marquant les extrémités ; à côté, un petit disque au bord vert et bleu, d'où partent vers l'intérieur dix « éventails » de traits orange et verts numérotés 1 à 10 — le disque \Delta'(D), vu au voisinage du bord

page de dessins, sans texte : des faisceaux de pseudo-droites orange coupant une droite verte (pleine ou en pointillé), avec leurs arcs noirs, deux marqués b ; un point de concours entouré des étiquettes b, b-1, b+1, b\pm 2 lues en partie à l'envers ; une ellipse verte ; au crayon, deux fuseaux traversés de droites ; une générisation en pointillé vert passant sous deux faisceaux ; enfin un point double traversé d'une flèche orange en pointillé (une spécialisation traversant le sommet)

artificiels aux bords des disques, — i.e. certaines ps. droites des \Delta(D), qui ne se rencontrent pas dans \Delta(D), vont se rencontrer sur le bord de \Delta'(D) . Si on fait par contre les recollements des \Delta(D), sans faire les identifications qui mènent aux \Delta'(D), on trouve une surface à bord (bord ), d'où à nouveau, en bouchant par des disques \Delta_x les trous, une surface sans bord compacte. (On obtient la surface envisagée au début en contractant des ces disques en un point.) La surface tubulaire à bord obtenue est telle que les pts du bord sont tous d'indice 2 ou trois ~~doubles ou triples~~, et chaque sommet est sur le bord, elle est de la carte bord par le procédé canonique, consistant à entourer un petit disque autour de chaque sommet. En tous cas, les trous à boucher dans la surface à bord correspondent canoniquement aux sommets de la surface sans bord. le numéro de page n'est pas visible en haut ; la note marginale, écrite en biais, renvoie par une flèche au début de la colonne de droite

25.12 Il faudrait regarder la relation entre \operatorname{Pol}(D) et \operatorname{Pol}(D'), quand D \to D' et D' supercritique. Il faudrait déjà définir \operatorname{Pol}(D'), i.e. \operatorname{Pol}(\Delta) quand \Delta \in \Sigma, comme l'ens. des générisations de \Delta, avec une structure polygonale convenable dessus. Or on a vu que les générisations de \Delta correspondent aux sommets sur \widetilde{\Delta}, image inverse de \Delta dans \widetilde{X}. D'ailleurs pour un sommet s de \Delta, « 25.12 », souligné, est une date de sa main. Figures : deux disques au bord vert, traversés de pseudo-droites orange ; le premier hachuré au crayon sur sa moitié gauche, le second avec deux régions triangulaires coloriées en jaune au bord

les pts de \widetilde{\Delta} au-dessus de s i.e. les orientations de X en s, correspondent aux deux « rives » de \Delta \smallsetminus \lbrace s \rbrace dans X. La spécialisation D \to D' définit une de ces rives (celle balayée par la spécialisation), et on trouve un isom. combinatoire canonique entre le segment combinatoire correspondant à la rive des ~~spécialisations~~ générisations correspondant à la rive balayée de D, et celui i.e. le découpage de D' D' le droite d'une D' \smallsetminus \lbrace s \rbrace, (En termes de \widetilde{D}', un antipodique \widetilde{s}^{-}, ~~point~~ sommet \widetilde{s} de \widetilde{D}', d'où un deux orientations de \widetilde{D}' en deux arcs, correspondant aux deux arcs de \widetilde{D}' bordés par extrémités \widetilde{s}^{-}). ~~antipodisme \widetilde{D}' qui \widetilde{s}, \widetilde{s}^{-}~~ orientés d'origine \widetilde{s}, extrémité combinatoire deux arcs, et qui , combinatoire canonique l'antipodisme définit un isom. canonique entre les deux arcs, qui, combinatoirement, sont \mathrm{I}(D', s) un segment combinatoire. un isom. \begin{array}{c} \text{rive des spécialisations} \\ \text{de } D \text{ \uncertain{utilisée}} \end{array} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{I}(D', s) la moitié inférieure de la colonne est couverte d'un grand encadré barré de plusieurs traits obliques et de lignes biffées, avec des ajouts interlinéaires ; nous n'en donnons que ce qui se lit. « \mathrm{I}(D', s) » rend un I majuscule appuyé ; la formule finale est écrite seule, en haut de la colonne de droite, le reste de la feuille étant blanc

page de dessins, sans texte : cinq disques au bord vert, chacun traversé d'un arrangement de pseudo-droites orange, accolés les uns aux autres en chaîne autour d'un point où les bords se rejoignent ; sur l'un des bords, un arc vert foncé fléché porte les lettres p, q et un troisième signe peu net ; hachures et gribouillis au crayon sur deux disques — recollement des disques \Delta(D) décrit pages 25 et 27

Considérons un graphe comb. \Gamma = (S, \vec{A}, \sigma_0, \alpha) avec une semi-circularisation (structure polygonale donnée sur l'un des sommets issus d'un sommet donné) et ~~pour toute~~ d'isom. de transport \varphi_{\vec{a}} : \underbrace{\omega(\vec{A}_s)}_{\omega_s} \longrightarrow \underbrace{\omega(\vec{A}_t)}_{\omega_t} \qquad \text{pour } \vec{a} : s \to t (satisfaisant la seule condition \varphi_{-\vec{a}} = \varphi_{\vec{a}}^{-1}\ ). « semi-circularisation » est souligné ; \omega(\vec{A}_s) désigne, comme plus haut, l'ensemble des deux orientations de la structure polygonale de \vec{A}_s

On suppose pour simplifier que les ordres des sommets sont \geq 3 (sinon il faut se donner, pour les sommets d'ordre 1 \leq \nu \leq 2, une structure de polygone combinatoire \supset \vec{A}_s un de ses sommets…, cont. un des deux orientations, de façon à : la donnée des \varphi_{\vec{a}}). La surface associée aux \varphi_{\vec{a}} s'obtient ainsi : on considère la réalisation par disque polygonal topologique canonique du polygone dual du disque \vec{A}_s (ce qui via une décomposition barycentrique de \vec{A}_s, qui donne une réalisation de \overline{A}_s, et pour la réalisation \operatorname{Dis}_s du polygone dual, chaque branche comme réunion de 2\nu_s drapeaux correspondant aux repères de \vec{A}_s — ici les « \overline{A}_s » : la barre est ici horizontale, non fléchée ; la parenthèse ouverte n'est pas refermée sur la page

figure, en haut à droite : une carte à faces quadrangulaires tracée en vert foncé, son dual en vert clair, les faces hachurées au crayon ; un sommet s marqué d'un point, une arête fléchée \vec{a} de s vers t, et les orientations \omega_s, \omega_t figurées par de petites flèches courbes ; un cercle brun entoure un sommet de la carte cas \nu_s = 1, 2 n'est pas exclu en marge, en tête de la colonne de droite arêtes de ces polygones correspondant aux ~~faces~~ sommets de \vec{A}_s i.e. ~~dans pol~~ aux arêtes de \Gamma d'origine s. Ceci dit, on recolle, pour \vec{a} \in \vec{A}, ~~\vec{A}_s~~ pour s = \operatorname{or}(\vec{a}), t = \operatorname{ex}(\vec{a}) = \operatorname{or}(-\vec{a})) ~~l'arête de \operatorname{Dis}_s~~ l'arête \alpha_{\vec{a}} de \operatorname{Dis}_s correspondant à \vec{a}, avec l'arête \alpha_{-\vec{a}} de \operatorname{Dis}_t correspondant à -\vec{a}, moyennant un isom. sur les arêtes (donc défini de l'une des deux est déterminée, d'extrémités) à l'aide de l'isom. de transport \varphi_{\vec{a}} : la règle, c'est que si l'orientation \omega_s de \vec{A}_s i.e. de \operatorname{Dis}_s et \omega_t de \vec{A}_t i.e. de \operatorname{Dis}_t se correspondent, alors l'isom. d'identification \psi_{\vec{a}} : \alpha_{\vec{a}} \xrightarrow{\ \sim\ } \alpha_{-\vec{a}} doit renverser les orientations induites par \omega_s sur \alpha_{\vec{a}} resp. \omega_t sur \alpha_{-\vec{a}}. le nom de l'isomorphisme d'identification est lu \psi_{\vec{a}}, lecture probable

Par ces identifications, on trouve une surface topologique, compacte sans bord, dans laquelle la réalisation topologique |\Gamma| de \Gamma est canoniquement plongée. Les faces orientées de cette surface se réalisent comme les orbites sous l'opération \rho_f sur l'ens. \operatorname{Rep} des couples (\vec{a}, \omega), où \vec{a} \in \vec{A}, \quad \omega \in \underline{\omega}_s \overset{\mathrm{def}}{=} \underline{\omega}(\vec{A}_s), opération définie par ~~\rho_f(\vec{a}, \omega) =~~ \left\lbrace \begin{array}{l} \rho_f(\vec{a}, \omega_s) = (\vec{b}, \omega_t) \\ \vec{b} = \rho_{\omega_t}^{-1}(-\vec{a}) \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \text{où } \omega_t = \varphi_{\vec{a}}(\omega_s) \in \underline{\omega}(A_t) \\ \text{et où } b \in \vec{A}_t \ (t = \operatorname{ex}(\vec{a})) \\ \text{est donné par} \end{array} les accolades de sa main sont rendues par un tableau ; dans la première ligne, « \omega_t » est écrit au-dessus d'un terme raturé où \rho_{\omega_t} est la permutation circulaire sur \vec{A}_t définie par l'orientation \omega_t. C'est aussi l'opération de rotation autour des sommets de la carte \mathcal{C}^{*}, définie par la façon en question. « \mathcal{C}^{*} » : la carte duale, lecture probable de son C majuscule suivi d'une étoile

Si on veut une description combinatoire complète de la carte \mathcal{C} définie par (\Gamma, (\pi_s)_{s \in S}, (\varphi_{\vec{a}})_{\vec{a} \in \vec{A}}) il faut expliciter les opérations fondamentales sur \vec{A}_s \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 sur \operatorname{Rep} \mathcal{C}, ens. des repères. On trouve \left\lbrace \begin{array}{l} \sigma_0(\vec{a}, \omega_s) = (-\vec{a}, -\varphi_{\vec{a}}\,\omega_s) \\ \sigma_2(\vec{a}, \omega_s) = (\vec{a}, -\omega_s) \\ \sigma_1(\vec{a}, \omega_s) = (\rho_{\omega_s}(a), -\omega_s) \end{array} \right. (\pi_s)_{s \in S} : la lettre est peu nette (les structures polygonales données). Figure à gauche des formules : deux arêtes fléchées (vert foncé et vert clair) se croisant, s au bas, t en haut ; les quatre repères voisins, hachurés au crayon, sont marqués r, \sigma_0 r, \sigma_1 r, \sigma_2 r, une petite flèche courbe tournant autour de s

Soit encore, en termes des repères r des \vec{A}_s, en interprétant \operatorname{Rep}(\mathcal{C}) \simeq \coprod_{s \in S} \operatorname{Rep}(\vec{A}_s) sous \operatorname{Rep}(\vec{A}_s), accolade : « ens. des drapeaux », suivi d'un « ~~ens. de sommets~~ \vec{a} » biffé \left\lbrace \begin{array}{l} \sigma_0(r) = r', \text{ défini par } \left\lbrace \begin{array}{l} \vec{a}_{r'} = -\vec{a} \\ \omega_{r'} = -\varphi_{\vec{a}}(\omega_r) \end{array} \right. \\ \sigma_1(r) = \widetilde{\sigma}_0(r) \\ \sigma_2(r) = \widetilde{\sigma}_1(r) \end{array} \right. où \widetilde{\sigma}_0^{s}, \widetilde{\sigma}_1^{s} sont les opérations habituelles sur \operatorname{Rep}(\vec{A}_s), \widetilde{\sigma}_i^{s} changeant la composante du repère de dimension i, pas l'autre. dans la première ligne, un premier second membre est biffé et récrit « r' »

En termes de ces opérations, on trouve \left\lbrace \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{som}} = \sigma_2\sigma_1 \ \bigl(= \widetilde{\sigma}_0^{s}\widetilde{\sigma}_1^{s} = \widetilde{\rho}^{s}, \text{ opération de rotation sur les repères d'un polygone comb.}\bigr) \\ \rho_{\mathrm{face}} = \sigma_1\sigma_0 \end{array} \right. au-dessus de la parenthèse, en ajout : « sur \operatorname{Rep}_s = \operatorname{Rep}(\vec{A}_s) » d'où \rho_f = \sigma_2\sigma_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma, \qquad \sigma(\vec{a}, \omega_s) = (-\vec{a}, \varphi_{\vec{a}}\,\omega_s). « \rho_f » est écrit après un premier « \rho_{\mathrm{face}} » biffé ; la dernière formule est séparée par un trait vertical

La subdivision barycentrique de \mathcal{C}, qui est aussi celle de \mathcal{C}^{*}, est apparente sur les dessins donnés, ses faces sont les drapeaux qui ont servi de composants pour la construction des \operatorname{Dis}_s = |\vec{A}_s|. (Cf traits ) il renvoie à trois traits de couleur tracés dans la ligne : un trait vert foncé, un trait vert clair, un trait pointillé noir — les arêtes de \mathcal{C}, de \mathcal{C}^{*} et de la subdivision

On va donner une autre construction, de la surface \mathcal{X} sous-jacente à \mathcal{C}, qui s'obtient intuitivement en traçant des petits cercles autour des sommets de ~~la face~~ carte (centres des faces de \mathcal{C}) le dual, et enlevant les portions d'arêtes de \mathcal{C}^{*} (bleues) qui se trouvent à l'intérieur. La surface à bord déduite de \mathcal{C}^{*} en enlevant les disques, avec la décomposition cellulaire définie par la construction précédente ( les faces de \mathcal{C}^{*} étaient réalisées par les \operatorname{Dis}_s (s \in S)), s'obtient en remplaçant les \operatorname{Dis}_s par les \operatorname{Dis}'_s, obtenus en « enlevant les coins » de ces plaques polygonales. Chaque « bleues » : les arêtes de \mathcal{C}^{*} sont pourtant tracées en vert clair sur les dessins de cette page et de la page 30

\vec{A}_s est remplacé par le polygone combinatoire « doublé » \vec{A}'_s ~~(l'ens. des 2 sommets)~~ (dont les 2 arêtes sont les repères de \vec{A}_s), ~~dont le~~ d'ordre 2\nu, et on prend le polygone doublé, dont les « arêtes » (« d'insertion ») sont en corr. biunivoque avec les ~~repères~~ arêtes de \vec{A}_s et les « arêtes de recollement » avec les sommets de \vec{A}_s, ~~pour tout tel repère, c'est les sommets~~ de \vec{A}'_s. Ceci dit, on recolle les \operatorname{Dis}_s (s \in S) suivant les arêtes de recollement seulement, on trouve une carte à bord dont les faces sont les \operatorname{Dis}'_s, et les comp. connexes du bord sont en corr. 1-1 avec les faces de \mathcal{C} i.e. les sommets de \mathcal{C}^{*} — donc ce sont les orbites sous le groupe diédral \langle \sigma_1, \sigma_0 \rangle contenant \langle \rho_f \rangle comme sous-groupe d'indice (1 \text{ ou})\,2. Notons que dans le procédé de recollement précédent, chaque composante connexe ~~d'ordre~~ du bord apparaît comme un polygone topologique, l'ordre égal à l'ordre la seconde colonne commence en haut à droite de la feuille. Figures dans la marge de cette colonne : un disque au bord vert foncé, rayonné de quatre traits vert clair, avec de petits arcs bruns aux coins du bord (les coins enlevés) ; au-dessus, un petit polygone colorié en vert, marqué s et t

du sommet correspondant de \mathcal{C}^{*}. De façon plus précise, les arêtes correspondent biunivoquement aux arêtes du polygone local des arêtes issues de \sigma, ou encore aux sommets de \Gamma incidents à la face. Plus précisément encore, le polygone comb. associé à cette composante du bord est can. isom. au dual du polygone combinatoire correspondant à la face envisagée de \mathcal{C}.

Dans le cas qui nous intéresse, provenant d'un syst. de ps. droites \Sigma, en prenant la carte d' des toutes ses positions relatives, il se trouve que l'ordre des faces ces faces est (un diviseur de) 4. De plus, parmi les quatre arêtes de chaque comp. connexe du bord, correspondant donc à un coin de la carte \mathcal{C}, il y en a une qui est privilégiée. le \sigma de « issues de \sigma » désigne vraisemblablement le sommet de \mathcal{C}^{*} en question

Mais la propriété de « type » qui la distingue ne dépend pas (en général) que du sommet correspondant de \mathcal{C}, i.e. de \Gamma, mais bien du coin ~~qui le~~ particulier envisagé. Donc il n'y a pas question d'espérer, en général, de réaliser \mathcal{C} comme le graphe composé réunion de deux ~~cartes \mathcal{C}_0, \mathcal{C}~~ graphes \gamma, \gamma^{*}, correspondant respectivement à deux ~~graphes de~~ cartes duales l'une de l'autre, sur \mathcal{X}, les de . la fin de cet alinéa, écrite sur des lignes du listing, se lit mal

Soit \underline{\Sigma} = (X, \Sigma) un syst. de pseudodroites, et L une position relative (non triviale). On prend une ~~petite~~ étroite bande (de Möbius) B_L autour de L, dont le bord \widetilde{L} peut être vu comme revêt. à deux feuillets de L (cov. des rives), et le complémentaire de \mathring{B}_L est un disque, soit \Delta_L. Toute D_i \in \Sigma coupe \partial \Delta_L = \widetilde{L} en exactement deux points, et sa trace sur \Delta_L est un segment (ainsi que sa trace sur B_L). « cov. » : lecture douteuse (revêtement des rives) ; la lettre L est écrite sur un D biffé à sa première occurrence

figure en tête de la colonne de gauche : un disque au bord vert traversé de cordes orange ; sur le bord, six segments épais vert foncé, et six petits triangles coloriés en orange au voisinage du bord On trouve un « syst. de cordes » (d_i) = (D_i \cap \Delta) dans \Delta = \Delta_L qui a les propriétés suivantes

a) Deux d_i se coupent en au plus un point, lequel est intérieur à \Delta, et elles se croisent en ce point.

(cela fait partie de la notion = de « syst. de cordes », avec la condition que les d_i soient des segments topologiques et \partial d_i = d_i \cap \partial\Delta) « admis » est ajouté au-dessus de « cordes »

b) La relation dans I « d_i = d_j ou \partial d_i \cap \partial d_j = \emptyset » (« parallélisme ») est une relation d'équivalence, et si on a une classe d'équivalence \nu \geq 2 , alors l'ensemble des 2\nu sommets correspondants est réparti en 2 segments S', S'' de \nu, [naturellement] antipodiques [NB ceci a un sens précis combinatoire, les sommets des syst. étant munis rangés (\partial\Delta, ) S \cap S' et S \cap S'' réduits à un point \partial\Delta (\sim), et les sommets de \partial\Delta circulaires formant un c.c. et de C (s_1, s_2, \ldots, s_\nu) i.e. de sommets consécutifs adjacents. [Cette partition de l'ens. des 2\nu sommets est unique] b) est d'une écriture très rapide, sur les lignes du listing, avec des ratures ; les crochets sont de sa main et ne se referment pas tous

Ces conditions combinatoires nécessaires pour que le syst. de cordes soit isomorphe à celui d'une position relative pour un \Sigma convenable, sont aussi suffisantes. Elles impliquent que si on choisit un représentant dans chaque classe de parallélisme, on trouve un syst. de cordes strict (i.e. totalement parallèle). « totalement parallèle » : la lecture de l'adverbe est douteuse

Pour \mathcal{C} donné, considérons les arcs topologiques interceptés par les ensembles S', S'' on trouve deux arcs (topologiques, ou combinatoires), appelés arcs de générisation relatifs à L (et à \mathcal{C}). L'ens. de tous ces arcs, pour L variable, divisé par l'antipodisme, (est en corr. biunivoque avec l'ensemble L \cap S (S = S(\Sigma)).

On définit de plus les arcs de spécialisation, en considérant les triangles formés par le système de cordes, ~~adjacents~~ adjacents à \partial\Delta. On considère les ensembles de sommets le \mathcal{C} de « Pour \mathcal{C} donné » désigne vraisemblablement le système de cordes ; « arcs » et « générisation » sont soulignés

\sigma ayant les propriétés suivantes

a) ~~il existe~~ \operatorname{card}\sigma \geq 2, et \sigma forme un arc combinatoire dans l'un des sommets du syst. de cordes.

b) Les D_{i(s)} passant par les s \in \sigma sont mutuellement disjoints, passant par un même sommet (bien sûr unique) , et toutes ~~droites~~ cordes passant par t sont parmi les D_{i(s)}.

c) ~~Toutes~~ Les s \in \sigma ( qui vont \rightrightarrows, les s extrêmes) n'appartiennent pas à un arc de ~~spécialisation~~ générisation, que revient au \rightrightarrows, ne sont pas déjà un sommet S de \Sigma. la troisième ligne de b) commence par un mot biffé ; c) porte une ligne entière biffée, que nous ne lisons pas. Figure au bas de la colonne : quatre pseudo-droites orange issues d'un point t et coupant une droite vert clair aux points s_0, s_1, s_2, s_3

Sous ces conditions, et supposant bien fixé () le système \Sigma non trivial, ~~alors~~ il existe pour s \in \sigma un unique couple d'extrémités (t, s), et pour s, s' \in \sigma adjacents, un unique triangle de \Sigma de sommets t, s, s'. La réunion de tous ces triangles s'appelle un triangle de spécialisation. Sa base, qui est l'arc géom. intercepté par l'arc combinatoire \sigma, est appelée un arc de spécialisation (ordinaire) . Tous ces arcs (générés) l'arc ainsi défini est souligné par des traits dans le texte

~~Il y a aussi des « arcs de spécialisation mutuellement disjoints » exceptionnels, qui .~~ la fin de cette ligne biffée, « mutuellement disjoints », est reportée au-dessus, non biffée

On va aussi définir des arcs de spécialisation exceptionnels, qui correspondent aux couloirs de \Sigma \cup D adjacents à D comme et tels que le sommet du couloir soit sommet de \Sigma, ~~L et que~~ et que L rencontre l'intérieur du couloir la rive. Le couloir la longe de \partial\Delta = \widetilde{D}, qui est un des deux arcs ouverts de L, délimités par la classe d'équivalence de cordes définie par s. Ce n'est pas un arc de spécialisation ordinaire (car les cordes extrêmes sont dans la = classe des D_i) et on voit même que cet arc ne rencontre aucun arc de spécialisation ordinaire ni d'arc de générisation. les lettres L et D alternent dans cet alinéa, pour la même position relative. Figures : au milieu, une droite L (vert clair et vert foncé) passant par un sommet s où se coupent D_1 et D_2 (orange), traversée d'autres pseudo-droites, une petite flèche le long de L et, dans une accolade, « la rive » ; au bas, un disque au bord vert (clair et foncé) traversé de cordes orange, cinq régions voisines du bord hachurées en jaune, les extrémités de D_1 et D_2 marquées en haut et en bas du bord par de petits segments bleus

Il peut arriver que L admette deux arcs de spécialisation exceptionnels, ce qui est le cas ssi L est position « bissectrice » d'un couloir de \mathcal{C}. Dans ce cas, il n'existe pas d'autre arc de spécialisation, et exactement deux arcs de générisation, et l'ensemble de ces quatre arcs est l'ensemble des arêtes d'une structure de polygone topologique sur \widetilde{D}. figure : un disque au bord vert traversé de cordes orange ; en haut et en bas du bord, deux petits segments bleus où aboutit un faisceau de cordes presque parallèles arcs caractéristiques quand sont les arêtes d'un polygone caractéristique note écrite en biais dans la marge, reliée par un trait à la rubrique c) qui suit

Dans tous les cas, deux arcs de transition (i.e. de spécialisation ou de générisation) distincts ne se rencontrent que si l'un d'eux est un arc de spécialisation exceptionnelle, l'autre un arc de générisation, et alors ils sont adjacents.

On appelle arcs d'inertie (ordinaires) (les adhérences des composantes connexes du complémentaire de la réunion de l'ensemble des arcs de transition. En leur équivalent combinatoire en termes des sommets sur \widetilde{L}. Mais, « arcs d'inertie » est souligné ; la parenthèse n'est pas refermée

~~Ainsi~~ on appelle sommets de transition les sommets sur \widetilde{L} qui sont extrémités d'arcs de transition. Ces sommets partagent \widetilde{L} en des arcs, qui sont de trois types :

a)les arcs de générisation b)les arcs de spécialisation (ordinaires et exceptionnelles) c)les ~~arcs de~~ arcs qui ne sont ni de type a), ni de type b), et qu'on appelle arcs caractéristiques (ils sont « inertes » des arcs d'inertie les précurseurs des transitions d'une pos. rel. à une autre)

« sommets de transition » : « de transition » est souligné ; les trois rubriques sont réunies par une accolade dans la marge

Dans le cas où il n'y a pas d'arc de spécialisation exceptionnel, on pour deux arcs caractéristiques (adjacents), un est un seul est un arc d'inertie, l'autre étant dans des spécialisations. Deux arcs de générisation, ou de spécialisation ne sont jamais adjacents. D'inertie ne sont jamais adjacents, si deux arcs caractéristiques sont adjacents, si l'un et si l'aucun n'est un arc d'inertie, alors, l'un est de spécialisation exceptionnelle, l'autre est un arc de générisation. Parfois, le arc pour le \mathcal{C} se réduit au sommet qui la fin de la colonne, rapide et raturée, est lue en partie ; « ~~Deux~~ » biffé devant « arcs de générisation »

commun, i.e. ~~tout~~ un sommet qui est extrémité d'un arc de spéc. exceptionnel, s'appelle arc d'inertie exceptionnel (par abus de langage). Il peut être considéré de l'élargir, un peu forçant un peu la définition de l'arc de spécialisation exceptionnel, et le faisant s'arrêter aux premiers sommets suivant ses extrémités primitives (disons ses constitutives « initiales » des arêtes extrêmes de l'arc de spécialisation initial) : \widetilde{L} de l'arc de spécialisation (exceptionnel) « rétréci ».

Le bénéfice, c'est que les transitions ~~spécialisations~~ i.e. les arcs de ~~spécialisation~~ transition sont mutuellement disjoints dans tous les cas, et de deux arcs caractéristiques rétrécis adjacents, un et un seul est arc de neutralité (au sens « rétréci »), les arcs de faire d'exception. figure à gauche du texte : un disque au bord vert (clair et foncé) traversé de cordes orange, cinq régions voisines du bord hachurées en jaune, deux petits segments bleus en haut et en bas du bord

Comme le nom l'indique, les arcs de générisation servent : une opération de générisation, qui consiste à « écarter les brins » au-dessus dudit arc, de façon que les deux sommets antipodiques cessant d'être arcs de générisation figures : trois disques au bord vert, traversés de cordes orange, reliés par des flèches \mapsto et \leftarrow ; sur le premier, deux cordes D, D' se rejoignent en haut et en bas en deux petits segments verts ; le deuxième est couvert de hachures au crayon ; sur le troisième les extrémités de D et D' sont écartées en haut, croisées en bas (D', D), un petit triangle orange au bas du bord

(NB Le polygone structural \widetilde{L}, à isom. comb. canonique près, n'est pas changé par cette écriture en question est duale par arc de spécialisation. Dans X, l'opération se visualise comme un décollement du sommet s de \Sigma dans la direction voulue : celle où se trouve l'arc de générisation, qui « pousse » sur L, et en suivant L, donne l'arc de spécialisation correspondant. « décollement » est souligné ; « antibalayage », écrit au-dessus, est d'une lecture douteuse. Figure : deux pseudo-droites orange D, D' se croisant sur une droite verte (pleine et pointillée), un petit segment foncé au point de croisement, une flèche vers le bas ; \rightleftarrows ; la même figure, le croisement passé de l'autre côté de la droite verte

Ceci dit, si (L, a) et (L', a') (a arc de gén. de L, a' arc de spécialisation de L') se correspondent, il est utile d'attacher \Delta_L à \Delta_{L'}, par identification de a avec a', par un les la parenthèse ouverte après « (L, a) » n'est pas refermée. Figure à gauche : un disque au bord vert traversé par deux cordes orange qui se rejoignent au bas du bord, prolongé par des pointillés où elles se croisent au-dessous

qui applique l'extrémité de l'un des arcs, sur l'unique extrémité de l'autre qui appartienne à la « même » ~~pseudo-droite~~ corde i.e. pseudo-droite, donc en intervertissant les extrémités, donnant lieu à la ~~figure~~ figure ci-contre. figure : deux disques au bord vert traversés de cordes orange, régions voisines du bord coloriées en jaune ; sur chacun, les extrémités u, v en haut (une flèche au-dessus), et deux cordes D, D' ; « + » entre eux, puis « = » et une accolade qui renvoie à un troisième disque accolé au premier par le bas, les extrémités s, t et t, s se touchant au point de contact, de petites flèches courbes marquant l'échange des extrémités, et en bas v, u

En le faisant pour les deux arcs de générisation antipodiques, on trouve la figure ci-dessous. Mais réflexion faite, comme le recollement là correspond à un isom. de transport entre \underline{\omega}(\Delta_L) \simeq \underline{\omega}(L) et \underline{\omega}(\Delta_{L'}) \simeq \underline{\omega}(L') qui est l'isomorphisme « évident », il me semble que ce n'est pas le bon « tranche » l'isom. d'identification qu'il faudrait plutôt prendre, mais celui qui transforme s en s, t en t, de qui \simeq fait en intervertir D par D', D' par D ; de façon à faire la symétrie par à « l'axe » (s, t) = a, figures : un disque (D', D en haut) accolé par le bas, en un petit segment foncé où D et D' se croisent, à un second disque (D, D'), puis celui-ci à un troisième (D', D au bas) ; deux disques isolés à droite, reliés par des flèches au crayon aux points de contact

figure, en haut de la moitié droite : quatre disques au bord vert, traversés de cordes orange (pleines et pointillées), accolés deux à deux en quatre points de contact (petits segments foncés), autour d'un domaine central bordé d'arcs bruns ; les extrémités des cordes sont marquées D_0, D'_0, D_1, D'_1, et les coins voisins des contacts portent les lettres \alpha, \beta, \beta' Par cette identification toutes les « faces » sont d'ordre 4, où les sommets de la carte déduite de celle déduite du graphe des positions relatives, avec la semi-circularisation définie par les polygones caractéristiques et les isom. de transport par l'orientation qui est l'opposé de l'isom. tautologique. Les coins obtenus ici comme faces, qui sont déduits des coins formés par les arcs d'inertie, ont des sommets, correspondant aux arêtes des « coins caractéristiques », qui sont de trois types, suivant les types des arcs de transition qui les bordent : la phrase « où les sommets … tautologique » semble incomplète ; « carte déduite de celle déduite » est bien écrit ainsi

1 côté des ~~type~~ spécialisation (les arcs ~~qui~~ de transition sont de spécialisation)

1 côté des ~~type~~ générisation (les arcs de transition sont de gén.)

1 ~~côté du type~~ mixte. « côté des » est écrit au-dessus de « type » biffé, aux deux premières lignes ; « côté du type » est souligné et biffé à la troisième

Quand on contourne le coin en partant du côté spécialisation, on trouve dans l'ordre :

1) spécialisation \to spécialisation

2) générisation \to spécialisation

3) générisation — générisation

4) spécialisation \to générisation la deuxième rubrique porte un chiffre peu net, lu 2) ; à la troisième, un trait sans pointe

(~~Opérer~~ dans un sens, ou dans l'autre) donc il y a ~~deux côtés~~ une arête du type spéc., une autre du type générisation, et deux du type mixte. Les faces correspondent biunivoquement aux couples (L, a), où L est une position relative, et a un arc ~~de spécialisation~~ d'inertie du type spécialisation (ou du type générisation, au choix, il y a corr. 1-1 entre les deux types de couples). Le deuxième type est peut-être plus joli comme description, car il s'agit de trouver

a)les paires ~~de sommets~~ (s, t) (critiques fermées) de \Sigma et les p.r. qui y mènent ; b)Pour telles données (s, t, L),

la rubrique a) est corrigée à plusieurs reprises : « (s, t) » est écrit au-dessus, « (critiques fermées) » souligné, un mot avant « de \Sigma »

figure : un disque au bord vert, traversé de cordes orange, deux faisceaux de cordes se croisant ; autour du bord, quatre arcs fléchés numérotés 1, 2, 3, 4 au crayon s'il y a un arc de neutralité ayant ses extrémités au-dessus de (s, t) (a priori, il est parmi les quatre arcs ci-contre…) et les choisir. C'est suivant une description (très) particulière à expliciter, le cas particulier où les deux sommets désignés forment une unique position relative.

La construction de la surface cellulaire n'est pas complète, car on a laissé de côté, dans le processus de recollement, les positions relatives supercritiques, et les arcs de spécialisation et de générisation qui vont aux ou partent de ces dernières. Donc il manque encore des disques polygonaux qu'il faut recoller sur les arêtes qui restent libres pour ce recollement : on trouve ainsi « arc de neutralité » : le mot, peu net, est lu comme à la page 37 — lecture probable

ment, par le procédé incomplet précédent en recollant le long des arcs de spécialisation exceptionnelle, une surface à bord cellulaire (compacte), chose qui se présente quand on a un graphe \Gamma = (S, \vec{A}, \sigma, \sigma) pourvu des ~~bords libres~~ arêtes libres (i.e. des éléments de \vec{A} laissés fixes par \sigma), qui peuvent s'interpréter comme des « arêtes orientées sans extrémité » (n'allant nulle part). Quand on forme les disques polygonaux \operatorname{Dis}_s, et qu'on les recolle par des isom. d'identification pour les \bar{a} ordinaires (\sigma\bar{a} \neq \bar{a}), on trouve toujours une surface à bord. « \Gamma = (S, \vec{A}, \sigma, \sigma) » : les deux dernières lettres sont semblables sur la page ; la graphie \bar{a} (barre simple) est la sienne ici

Ici il s'agit de boucher les trous qui ~~restent~~, une fois bouchés les « trous quadrangulaires » qui viennent d'être (définis par des circuits de 4 arcs d'inertie), par les disques correspondant aux positions relatives supercritiques, qu'il s'agit de recoller suivant les arcs de spécialisation exceptionnels, correspondant ici aux arêtes libres. On est donc amené à étudier les circuits formés d'~~arêtes~~ arcs de spécialisation exceptionnels, et voir comment les boucher. « qui viennent d'être » est suivi d'un participe peu net ; « supercritiques » est souligné

~~Plus~~ Il sera plus simple peut être de s'inspirer de ce qui a déjà été fait, pour commençons l'étude au cas des spécialisations et pos. rel. exceptionnelles (= supercritiques). Tout d'abord, pour une L = D_i \in \Sigma, on définit encore \Delta_L, en considérant D_i comme p.r. de p.r. : \underline{\Sigma} = (X, \Sigma \smallsetminus \lbrace D_i \rbrace), — le \Sigma doublement souligné désigne ici le système privé de D_i, sans signe distinctif sur la page. La page s'arrête sur un tiret ; la suite est à la page 41 (lot 3)