Conventions particulières et constructions relatives aux pos. rel. supersingulières

titre de sa main, en tête de la colonne de gauche

Quatre possibilités :

1) On n'admet pas les p.r. supersing. parmi les sommets du graphe du dépl. A, i.e. comme définissant des faces de \mathcal{X}. On trouve une surface \mathcal{X}_0, dans laquelle les « pos. rel. supersingulières » correspondent aux à des « sommets supersinguliers » — ce sont les seuls sommets qui sont d'ordre 4n, au lieu d'être d'ordre 4.

2) On admet les p.r. supersingulières comme sommets, et les spécialisations directes ci-bas d'une p.r. sous-stable) vers celles-ci comme arêtes (correspondant, pour les p.r. sous-stables voisines, à certains arcs de spécialisation exceptionnels. « comme sommets » est écrit au-dessus de la ligne, lecture probable ; la parenthèse ouverte avant « correspondant » n'est pas refermée

Finalement, il y a intérêt à les choisir aussi courts que possible (alors qu'on disait plus haut aussi longs que possible), savoir de longueur combinatoire 1, et placés : à égale distance entre les arcs de transition (en fait, de générisation) les plus proches). Ainsi, autour de la face supersingulière F_i correspondant à une p.r. supersingulière donnée, vont se raccorder ( le long de 2(n-1) arcs de longueur combinatoire 1 chacun) les 2(n-1) faces correspondant aux positions relatives sous-stables proches, sans compter les positions relatives faces relatives-ax stables proches, qui sont comprises chacune entre deux faces sous-stables adjacentes. tout F un sommet considération, . Le nombre 2(n-1) est d'ailleurs commun courant, seulement dans le cas stable, alors que le cas général c'est 2n_i, où n_i est le nombre de sommets sur D_i (= \Sigma_i). Sur la surface \mathcal{X}_1 obtenue, tous les la lecture « faces relatives-ax », écrite au-dessus de « positions relatives » biffé, est très douteuse ; « F_i » est ajouté au-dessus de « correspondant »

Les 5 variantes de la surface de déploiement d'un syst. de pseudo-droites encadré de sa main en tête de la colonne de droite

NB Il n'y a pas de « bords libres » (marges) en un sommet supersingulier toute droite ps. dr. aboutissant deux faces F, F' incidentes : s) en s, de positions antipodiques F, F', sur la face F (en s) « F, F' » est ajouté en indice au-dessus de « faces » et au bout de la ligne figure : un faisceau d'une dizaine de droites (au crayon) passant par un point s, l'une d'elles, en rouge, allant de F à F' ; à droite la légende \mathcal{X}_0 et « (n=5) ». Au-dessous, deux disques cerclés de jaune, portant en rouge un arrangement de pseudo-droites avec deux points marqués aux extrémités d'un diamètre et un trait épais au bas du cercle, séparés par le mot « ou » ; puis un croquis : un arc jaune (la face F_i, légendée « face supercritique ») portant trois « éventails » de traits ; des flèches désignent les « faces sous-stables » et les « faces stables » qui s'y raccordent ; légende \mathcal{X}_1

numéroté 2 en haut sommets, y compris aux incidents deux faces supercritiques, sont d'ordre 4 — les sommets sur une telle face F_i correspondant aux 2n_i arêtes superficielles création du D_i. Pour l'étude des « bords libres » créés, supposons pour fixer les idées \Sigma stable, on trouve suivant la parité de n :

a) n pair, alors chaque face sous-stable donne deux bords libres placés aux extrémités de l'arête d'incidence, et chaque face stable qui touche F_i donne de plus un bord libre (), ce qui fait donc 2\bigl(2(n-1)\bigr) + 2(n-1) = 6(n-1) bords libres, ce qui fait un peu beaucoup.

b) n impair, alors on trouve que chaque face sous-stable adjacente donne 1 bord libre (au milieu de l'arête incidente commune), 0 sur les faces stables intermédiaires, en tout donc 2(n-1) bords libres — c'est juste ce qu'il faut pour exprimer les exactement recollements, des faces : une des complétions de (\mathcal{X}, \Sigma) « affinisé » par D_i. « exactement », souligné, est ajouté au-dessus de la ligne

Le cas n impair est satisfaisant, mais pour le cas pair tel quel, on n'y a redondance des bords libres. Une façon de s'en tirer dans tous les cas, c'est de prendre partir de la surface \mathcal{X}_0, et de la modifier en remplaçant chaque sommet supercritique s par un petit disque supercritique. Dans le cas n pair, chaque face sous-stable incidente à s contribue 1 bord libre, et chaque face stable incidente 1 bord, et il n'en est ; donc en tout il y a 2(n-1) bords libres qui bordent un F_s, qu'il forment un NB le polygone combinatoire cons. à celui obtenu D_i — les dernières lignes de la colonne, corrigées et en partie biffées, se lisent mal

NB Pour le recoll. de la face supercritique avec les faces sous-stables adjacentes, on doit encore définir sur \widetilde{D}_i (image inverse de D_i dans \widetilde{\mathcal{X}}) des arcs de générisation aux sommets de D_i, qu'on déduit de la longueur combinatoire 1 — on sait déf. les arêtes de la subdivision cellulaire de \widetilde{D}_i déduites de celles données par les sommets. Mais évidemment, il vaut mieux prendre \widetilde{D}_i les voisins de D_i, et définir l'arc de générisation relatif : une position relative sous-stable voisine de D_i correspond, sur la figure ci-contre, avec un arc de longueur 1 équidistant des deux sommets sur \widetilde{D}_i correspondants à s et des côtés où trouve la p.r. D figure : un disque dessiné en rouge, traversé par un arrangement de pseudo-droites, avec deux points noirs aux extrémités d'un diamètre horizontal et, en pointillé jaune, l'arc supérieur entre eux ; un trait séparateur au crayon descend entre les deux colonnes

numéroté 3 en haut façon particulièrement jolie de les raccorder, de façon à reconstituer l'affinisation supercritique de \Sigma sur F_i. On trouve une surface \mathcal{X}'_1, où les sommets supercritiques sur les faces supersingulières sont d'ordre 3, tous les autres sommets étant d'ordre 4. Il faudrait expliciter les arcs de spécialisation. Cet synthétiques, en générisation sur les \widetilde{D}_i), non seulement sur les p.r. sous-stables voisines de D_i, mais maintenant aussi sur les p.r. stables voisines. Cette fois, on a des arcs de spécialisation de longueur combinatoire k — ce qui amène à introduire la subdivision barycentrique déduite de la subdivision cellulaire qui a les \widetilde{D} et les \widetilde{D}_i. Cet figure : \mathcal{X}'_1 pour n = 5 — un petit disque au bord pointillé de rouge, traversé par un arrangement de pseudo-droites rouges, d'où rayonnent en alternance des traits rouges et jaunes

Le défaut commun aux à ces trois surfaces représentations \mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1, \mathcal{X}'_1 pour les p.r. est que le système local, via transport parallèle, des polygones combinatoires \operatorname{Pol}(D) n'est défini ici que sur le complémentaire de l'ensemble des sommets ou faces supercritiques, qui sont des lieux de ramification . Un autre défaut, sans doute important, est qu'on ne peut définir des dans X, ( dans le cas de \mathcal{X}'_1 — à regarder de façon détaillée…). C'est un défaut qu'il peut être les deux derniers alinéas, d'une écriture rapide, sont en grande partie reconstruits ; la troisième surface nommée est lue \mathcal{X}'_1 d'après la phrase suivante, l'indice étant peu net

numéroté 4 en haut utile d'introduire d'autres variantes.

3) Surface obtenue comme \mathcal{X}_0 en excluant les p.r. supersingulièrescritiques, mais en introduisant, par des sommets supercritiques, des arêtes supplémentaires du graphe \Gamma des p.r., savoir la « blow-up » dessin « p.r. supercritique » D_i et ceci par une p.r. voisine sous-stable, stable. Cela fait donc des arcs de transition supplémentaires, qui vérifient la deux arcs de spéc. supercritiques 2^{\circ}, mais qui ne sont plus des arcs de spécialisation, doit être considéré comme un arc de transition de poids 2, et non 1 comme les autres. On trouve, dans la surface cellulaire \mathcal{X}_2 obtenue, de (déployée par le graphe dual de \Gamma) des sommets qui sont tous d'ordre 4, nouveaux correspondant aux ( ) s de D_i, i.e. aux arêtes de la subdivision barycentrique des \mathcal{X} 2(n-1) dans le cas stable. Il y a D_i est plongée dans \mathcal{X}_2, la décomposition cell. des faces par les sommets de la subd. bar. de celle qui a D_i correspondant à des sommets de \mathcal{X}_2. « critiques » est écrit au-dessus de « singulières » biffé ; dans tout le lot nous lisons « supercritique » un mot dont la graphie reste douteuse. La moitié inférieure de la page porte plusieurs lignes biffées et des ajouts interlinéaires entre accolades, qui ne se lisent qu'en partie. L'indice de \mathcal{X}_2, à la dernière ligne, pourrait être un 3 figure, en haut à droite : un trait horizontal jaune coupé par cinq barres verticales

numéroté 5 en haut ; la feuille est écrite en largeur Cette carte \mathcal{X}_2 se déduit de \mathcal{X}_0 en faisant « éclater » les sommets supersinguliers , ou encore de \mathcal{X}'_1 en découpant l'int. des faces supersingulières et en identifiant des pts antipodiques sur leurs bords. — ce qui explicite aussi la façon dont les D_i sont plongées dans \mathcal{X}. Cette fois-ci, on a une carte où toutes les faces peuvent être considérées comme d'ordre ( 4n)), tous les sommets d'ordre pair cet = d'ordre 4). Sur cette carte, les \operatorname{Pol}(D) forment un syst. local mais — alors que sur \mathcal{X}_0, c'est rompu (sous de ramification ) autour de chaque sommet. Quant aux bords libres, on peut de D \subset \mathcal{X}, ils se raccordent de façon satisfaisante encore. Cette carte d'autre part ne s'envoie pas dans X (sauf erreur). la phrase « c'est rompu … autour de chaque sommet » est soulignée d'un long trait ondulé ; un trait rouge dans la marge renvoie à l'encadré qui suit

Mais pour quelles raisons, au juste, ne serait-il pas vrai qu'on a un syst. local sur \mathcal{X}_0 (ce qui est pourtant faux !) Il y a un pt qui en ce moment m'échappe. Je ne suis plus trop dans le coup, et devrait reconsulter des notes des semaines précédentes. remarque de sa main dans la moitié droite de la feuille, entourée d'un grand cercle rouge

4) La dernière concevable consiste présent pour la carte \mathcal{X}_3, qui par ailleurs

numéroté 6 en haut ; la feuille est écrite en largeur, sur deux colonnes ressemble davantage près : \mathcal{X}_3 (les surfaces avec jointures marquées, comme les surfaces : \mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1, \mathcal{X}'_1 le sont aussi elles). On l'obtient en les positions relatives supercritiques singulières parmi les « faces » admises, mais en considérant , pour une D_i fixée ayant n_i sommets, 2n_i positions relatives supercritiques correspondantes, suivant la position D'_i du pt d'intersection initial D_i \cap D'_i, qui doit être sur une des 2n_i facettes sur \widetilde{D}_i. On trouve encore que tous les sommets sont d'ordre 4. La ps. droite D_i \subset \mathcal{X}_2 bande (de Möbius) est ici remplacée par une D_i. Cela revient, à partir de \mathcal{X}'_1, à après depuis avoir découpé les faces supercritiques à les au lieu d'identifier directement des pts antipodiques de chaque des « bord » à « faces d'bord » une « p.r. », qui délimitent à ce bord près une bande, cette bande de Möbius. la colonne de gauche est lue en partie ; « de Möbius », entre parenthèses et souligné, est ajouté au-dessus de « bande »

Cette fois-ci on aurait une application \mathcal{X}_3 \to X, telle que l'image inverse de X_1 soit ce qu'il faut, Mais y compris les D_i de tout à l'heure. Mais on n'a toujours pas sur les faces superantiques de \mathcal{X}_3, et n'y a pas cette fois-ci de représentation affinisée de \Sigma = (X, \Sigma) comme dans le cas de \mathcal{X}'_1, mais plutôt une représentation d'une partie pertinente d'un voisinage tubulaire conv. de D_i dans X. D'autre part, les faces singulières naissant par des les autres, de sorte que \mathcal{X}_3 ne se prête pas à une interprétation en termes de la combinatoire interne, du syst. local des \operatorname{Pol}(D). « superantiques » (lecture douteuse) est ajouté au-dessus de « faces » ; au bas de la colonne, souligné : TSVP

numéroté 6' en haut : complément de la page précédente, écrit sur un feuillet de listing imprimé En plus de ces 5 variantes \mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1, \mathcal{X}'_1, \mathcal{X}_2, \mathcal{X}_3, il y a pour chacune les revêtements de ces cartes (ramifiés pour les trois premières) principaux de groupe \mathbb{D}_{2n}, associés aux \operatorname{Pol}(D). Ce sont ces revêtements \widetilde{\mathcal{X}}_i qui sont les déploiements ultimes.

Les surfaces les plus utiles me semblent ici \mathcal{X}'_1, \mathcal{X}_2, \mathcal{X}_3 et leurs revêtements \widetilde{\mathcal{X}}'_1, \widetilde{\mathcal{X}}_2, \widetilde{\mathcal{X}}_3. Peut-être peut-on se passer des \mathcal{X}_2, \mathcal{X}_3 et leurs tildés, au profit de \mathcal{X}'_1 et \widetilde{\mathcal{X}}'_1, et tout ce que \mathcal{X}'_1 s'envoie bien dans X comme prévu — je n'en suis pas tout tout à fait convaincu, des alentours, quelques comment se passer au voisinage du bord d'une face supercritique. au-dessus de « suis » un « n'en » ; une rature de lettre sur le tilde de \widetilde{\mathcal{X}}'_1

en tête, à gauche, la date 23.12.83 ; en haut au milieu, son numéro 1, début d'une nouvelle suite (pages 11 à 20, numérotées 1 à 10)

Structure sur l'ens. des positions relatives P = \mathrm{PR}(\underline{\Sigma}) d'un syst. \underline{\Sigma} = (X, \Sigma) de pseudodroites

titre de sa main ; le \Sigma souligné deux fois est rendu \underline{\Sigma}

a) Relations de spécialisation D \to D' (ou de générisation en sens inverse). À vrai dire, on a un ensemble \widetilde{P} de « flèches de spécialisation » ou paires (D, T), où D est des \mathrm{PR}. et T est un « triangle de spécialisation » pour D i.e. ens. de \nu \geq 1 sur D, non incidents à un sommet de \Sigma, formant un arc sur \widetilde{D} (ou ens. des côtés de D, avec sa structure polygonale) et dont les \nu+1 sommets sont non-sommets de \Sigma, et consécutifs de \widetilde{D}) correspondant à \nu+1 correspondant : les D_i \in \Sigma qui se rencontrent en un même point s d'ordre exactement \nu+1, et sans sommet de \Sigma dans le triangle s, r, t , sauf s… [On exclut le cas où \Sigma est trivial, qu'il vaut mieux traiter à part.] le passage « à un sommet de \Sigma … sauf s » est encadré et barré de quatre longs traits obliques ; nous le donnons tel qu'il se lit. Figure, à gauche : un faisceau de droites (en orange) issues d'un point s coupant un segment jaune (légendé « critère-rive ») entre deux points r et t, avec trois points marqués entre eux

On a une application \widetilde{P} \xrightarrow{\ (\mathrm{source},\,\mathrm{but})\ } P \times P qui associe à (D, T) le couple (D, D'), où D' est « déduit de D par le glissement-spécialisation de D au-dessus de T ». Cette application est-elle injective ? Quand on connaît (D, D'), on connaît aussi s (qui est l'unique sommet de \Sigma qui est dans D', non dans D) donc aussi l'ens. des des voisins de \Sigma \cup \lbrace D \rbrace qui sont inclus dans le triangle T — savoir les sommets communs à D et aux droites de \Sigma passant par s. D'autre part, on voit qu'aucune des droites faisant que ps. dr. de \Sigma' = \Sigma \cup \lbrace D \rbrace) n'est un bigone, (car sinon \Sigma serait trivial de centre s) ce qui implique que les arêtes contenues dans T qui joignent s aux sommets envisagés sur D, sont ici uniques. d'autre p. On voit de = que sur D \cap T, n'y a un autre sommet que ceux-là, ce qui indique que l'on et ce qui détermine bien T : \widetilde{P} \to P \times P est bien injectif. On trouve donc un graphe objet orienté P comme ens. des sommets, \widetilde{P} comme ens. d'arêtes, chaque arête étant orientée i.e. munie d'une origine privilégiée). NB on a toujours D \neq D', on D' \cap S = (D \cap S) \cup \lbrace s \rbrace

Soit, pour D \in P, \operatorname{Sp}_0(D) l'ens. de ses (immédiates) ou « successeurs » spécialisations, soit \operatorname{Gn}(D) , de ses qui correspond à l'ens. des triangles de spécialisation formés pour D. Soit de = \operatorname{Gn}_0(D) l'ens. de ses générisations (immédiates), qui correspond à l'ens. des couples (s, \widetilde{\xi}), où s \in D \cap S, et \widetilde{\xi} est un côté de D en s i.e. un pt de \widetilde{D} sur s. S désigne ici, semble-t-il, l'ensemble des sommets de \Sigma. Le \widetilde{\xi} de la dernière ligne est lu ainsi

numéroté 2 en haut. Figure en tête de la colonne de gauche : cinq faisceaux de pseudo-droites (en orange) coupant une droite horizontale (en jaune), sur laquelle un trait épais vert marque, pour chacun, l'arc de \widetilde{D} (ou le point) que définit la spécialisation ou la générisation Chaque élément de \operatorname{Sp}_0(D) définit un arc () sur \widetilde{D}, ses arcs étant mutuellement disjoints ; chaque pt de \operatorname{Gn}_0(D) définit un pt de \widetilde{D}, ces pt étant tous différents et non contenus dans les arcs précédents. Il en résulte une structure polygonale sur l'ens. \operatorname{Sp}_0(D) \amalg \operatorname{Gn}_0(D), qui s'identifie ainsi à l'ens. des arcs issus du sommet D du graphe \Gamma(\underline{\Sigma}). Ce polygone a au moins Cet ens. a au moins trois éléments je crois. Soit Il y en a au moins quatre bien sûr si \operatorname{card} S \cap D \geq 2, donc il suffit de regarder les cas \operatorname{card} S \cap D \in \lbrace 0, 1 \rbrace. Dans le cas d'une D « stable » i.e. \operatorname{card} S \cap D = 0, il faut prouver qu'il y a au moins deux trois triangles de spécialisation distincts, dans le cas de \operatorname{card} S \cap D = 1, il f. (cas sous-stable) il faut montrer qu'il y en a un au moins un.

figure en tête de la colonne de droite : un faisceau de droites orange (et grises) issues d'un point s, coupant une droite jaune en r et t ; les lettres A et B marquent les deux grands triangles de part et d'autre a) Cas D stable. On sait que D forme au moins trois triangles (i.e. il y a au moins 3 triangles de \Sigma' adjacents à D), considérons-en un. Il est immédiat qu'il est contenu dans un unique triangle de spécialisation T. Considérons les deux grands triangles défi. A et B (cf. figure) définis par T, adjacents le long de l'arc extérieur (t, r) à D, et incidents aux côtés (s, r) et (s, t). Dans chacun, il y a un triangle au moins de \widetilde{\Sigma}, adjacent à D. Chacun de ces triangles est contenu dans un seul unique triangle de spécialisation, T' resp. T''. D'où les trois triangles cherchés T, T', T''. la phrase « Dans chacun, il y a un triangle au moins de \widetilde{\Sigma} » porte bien un tilde, là où les lignes précédentes écrivent \Sigma'

b) Cas D sous-stable. Soit s le sommet de \Sigma qui est sur D. Il y a au moins trois triangles de de \Sigma' adj. à D, dont les considérons une générisation D' de D, sur laquelle on « relit » un arc bc (cf. figure), dans des triangles de « trois » est souligné deux fois

numéroté 3 en haut. Figure en tête : trois pseudo-droites orange concourantes en un point a d'une droite jaune ; au-dessus de a, en pointillé jaune, la générisation D', sur laquelle un trait vert marque l'arc bc spécialisation (a\,b\,c) de D'. Il y a au moins deux autres triangles de spécialisation pour D', qui auront une base sur D' qui rencontre (b, c) au plus en un sommet. l'un d'eux ne rencontre , on a gagné. Sinon, on la figure figure : deux pseudo-droites orange et un faisceau issu d'un point d'une droite jaune

Il y a effectivement un contre-exemple avec \Sigma = \mathrm{St}_4, et D la position sous-stable qui évite les deux carrés incidents à a et symétriques l'un de l'autre, triviaux. figure : l'arrangement standard de quatre pseudo-droites (orange) avec la droite jaune D ; quatre régions portent le chiffre 4 (quadrilatères). \mathrm{St}_4 est lu d'après la page ; il désigne vraisemblablement le système standard de 4 pseudo-droites

Mais je m'aperçois que dans la description de l'ens. des sommets P = \mathrm{Pr}(\Sigma) de \Gamma, j'ai oublié les cas les plus importants : les p.r. supercritiques, correspondant aux droites de \Sigma lui-même ! Il faut que je décide donc quelles sont les spécialisations vers un tel \Delta. Je crois clair qu'elles se déduisent (ou du moins des spécialisations immédiates,) : position d'une position stable qui contient… on doit avoir \operatorname{card}(S \cap D) = 1 i.e. D sous-stable. Soit S \cap D = \lbrace a \rbrace, il faut que a soit un sommet de \Delta. D'autre part, il doit y avoir un secteur (biangulaire) global de X, défini par D, \Delta, qui soit un « couloir » et la spécialisation se fait dans ce couloir, qui prend nom de couloir de spécialisation. je fais ! la note marginale, écrite en biais entre les deux colonnes, est en partie biffée figure : un arrangement de pseudo-droites orange, avec la droite jaune D et une droite \Delta qui la coupe en a ; le secteur entre D et \Delta est hachuré au crayon, une flèche courbe va de D vers \Delta

Il peut y avoir un couloir de spécialisation sur chaque côté de D en \lbrace a \rbrace. Quoi qu'il en soit, on considère les un couloir de spécialisation pour D, comme un « équivalent » d'un triangle de sp. pour D.

numéroté 4 en haut Quand il y en a un, l'extension de D \cdot \lbrace a \rbrace entre peut être bord de triangles de spécialisation pour D (il y en a deux sur la figure ci-dessus). L'ennui, c'est que les de les couloirs et spécialisation ne forment pas, avec les autres spéc. et gén. immédiates, une structure polygonale naturelle. Mais si D est orientée on peut Peut-être serait-il plus instructif de penser en \Delta, et regarder les positions immédiates. Mettons-nous dans le cas où il (immédiates) y en a plus « générisations » vers de \Delta mais si plusieurs \Delta figure : deux faisceaux de pseudo-droites orange, reliés par une droite orange ; de part et d'autre, des bandes jaunes et vertes, en trait plein et en pointillé, suivent la droite et s'écartent aux sommets, deux petites flèches doubles marquant l'écart

, les stables, et les sous-stables. les stables j'en vois deux par 2 orientations, chaque arête, correspondant aux deux parallèles le long de l'arête. les stables les gén. immédiates , gén. proches stables la note marginale, à droite de la figure, est d'une écriture serrée et se lit mal

Pour les sous-stables, j'en vois également deux par chaque sommet, correspondant aux deux orientations de X en ce sommet. Ainsi l'ens. des générisations correspond à l'ens. des sommets et des arêtes dans le vrai polygone topologique, image inverse de \Delta dans \widetilde{X}. On fera attention que le polygone ainsi canonique isom. polygone des positions proches regardé pour p.r. D non supercritique — le choix d'un isom. dépend de… du choix d'une orientation de \Delta. Aussi est-il clair que si \Delta est l'ens. des sommets immédiats de \Delta, l'ens. des générisations \Delta, l'ens. des générisations s'identifie aux sommets d'un polygone comb. d'ordre \underline{2\nu + 2\nu = 4\nu},^{*} d'ordre 2 de celui défini par \Delta. L'ens. des orientations de ce polygone est l'ens. des orientations de \Delta à l'ens. des orientations de \Delta lui-même.

renvoi de sa main au bas de la page : « ^{*} ou, d'ordre 2\nu seulement en se bornant aux gén. immédiates »

numéroté 5 en haut. Figure en tête : un arrangement de pseudo-droites orange et une droite jaune D ; un arc en pointillé vert, partant de D, longe une des droites orange jusqu'à un sommet, où il tourne Revenant à une p.r. D sous-stable passant par a \in S, on peut considérer que (si \widetilde{D} désigne l'ens. des côtés) un couloir de spécialisation correspond à un arc ouvert de \widetilde{D}, d'extrémités les deux sommets a', a'' de \widetilde{D} au-dessus de a. En identifiant De façon Ainsi on peut dire que les générisations, les spécialisations de D sont décrites par des arcs ouverts de \widetilde{D} - \lbrace a', a'' \rbrace, mutuellement disjoints, des contenus dans l'un deux composantes \widetilde{D}_1, \widetilde{D}_2 de \widetilde{D} \smallsetminus \lbrace a', a'' \rbrace. Il y a Ainsi, on voit qu'elles forment une structure polygonale sur a', a'', et \widetilde{D}_1, \widetilde{D}_2

Il y a au moins un arc de spécialisation, il est que le nb total des sommets du polygone de spécialisation-générisation est au moins égal à quatre. C'est Ainsi. Dans le graphe orienté \Gamma(\underline{\Sigma}) (où on maintenant pour comme sommets les p.r. supercritiques), pour sommet D, l'ens. des qui en sont (\simeq \operatorname{Sp}_0(D) \amalg \operatorname{Gn}_0(D)) est de cardinal au moins 3 (c'est au moins 4 si D n'est pas stable). (i.e. dans ses générisations) Il est muni d'une structure polygonale naturelle, d'où l'ens. des orientations et en l'ens. des orientations de D. Pour flèche D \to D' de spécialisation, on trouve une bijection naturelle entre \omega(D) et \omega(D'). NB L'ens. des générisations \operatorname{Gn}_0(D) \omega(D) s'identifie à l'image inverse de D \cap S dans \widetilde{D}, pour D non supercritique, \widetilde{D} désigne la des côtés, et pour D supercritique, image inverse dans \widetilde{X}. Toutes flèches \omega(D) est lu comme l'ensemble des orientations (deux éléments) du polygone attaché à D ; la note NB, ouverte par une accolade dans la colonne de droite, continue sur la page suivante

numéroté 6 en haut ; les trois premières lignes achèvent la note NB de la page précédente de spécialisation D \to D' définit une flèche \operatorname{Gn}_0(D) \hookrightarrow \operatorname{Gn}_0(D') injective, dont le complémentaire est formé de deux sommets éléments.

Plongement Plongement cellulaire canonique de \Gamma(\underline{\Sigma}) dans une surface \operatorname{Str}(\underline{\Sigma}) (la « surface structurante »),

sommets stables : toutes les arêtes qui en sortent partent de D ; sommets sous-stables : il y a exactement deux arêtes qui arrivent à D ; sommets critiques : au moins quatre arêtes qui arrivent à D ; sommets critiques et extérieurs : toutes les arêtes en D arrivent à D.

figures, à côté de la liste : pour chaque type de sommet, une étoile de flèches — au sommet stable trois flèches sortantes (deux croquis reliés par \simeq), au sommet sous-stable deux flèches épaisses entrantes et deux sortantes, au sommet critique quatre flèches épaisses entrantes ; à gauche, une étoile où cinq flèches épaisses entrent et trois fines sortent, une flèche courbe y renvoyant

Toute arête de \Gamma(\underline{\Sigma}) est munie d'un poids (\in \mathbf{N}^{*}) qui est le nb d'arêtes de spécialisation est égal au nb d'arêtes sur D (au sens de \underline{\Sigma}') interceptées par l'arête de spécialisation) — dans le cas de la figure ci-contre, correspondant au triangle de spécialisation T. figure : à gauche, un triangle de spécialisation T hachuré entre deux pseudo-droites orange et la droite jaune ; à droite, un faisceau de droites orange au-dessus d'un arc vert, avec une petite flèche verticale. \mathbf{N}^{*} rend son N ajouré suivi d'une étoile

Tout Secteur angulaire local de \operatorname{Str}(\underline{\Sigma}) en un sommet D correspond à un arc de \widetilde{D}, correspondant à l'arc compris entre deux arcs de spécialisation, consécutifs, ou deux arcs de sommets des spécialisations générisations consécutifs (sur \widetilde{D}, sans arc de spécialisation entre), ou les cas mixtes ; le nb d'arêtes sur cet arc (au sens de \underline{\Sigma}') est appelé poids du secteur angulaire. Avec ces données, on trouve une carte cellulaire pondérée à graphe orienté, et à arêtes et « coins » pondérés. Chaque dessin sommet D) « à graphe orienté » est souligné et en partie barré d'un trait

Somme des pondérations des arêtes tombant toutes les arêtes en D, et des pondérations des tous les coins en D est égal à 2n (où n = \operatorname{card} \Sigma) ce dernier alinéa est marqué d'un double trait vertical dans la marge

numéroté 7 en haut Plus précisément, considérons le polygone configuration déduit du polygone combinatoire \operatorname{Pol}(D) de D sur \operatorname{Str}(\underline{\Sigma}), en « éclatant » chaque sommet (correspondant à une arête de \Gamma(\underline{\Sigma}) en D) en autant de sommets que l'indique son poids, et en plaçant sur chaque arête (correspondant à un coin de \operatorname{Str} en D) autant de pts que l'indique son poids. On trouve un polygone \widehat{\operatorname{Pol}}(D), dont les sommets correspondent aux arêtes sur \widetilde{D}, visualisé comme un contour parallèle à D, avec ses arêtes correspondant aux sommets découpés par les \Delta_i \in \Sigma sur \widetilde{D}… les sommets Si I est l'ens. des \Delta_i, \widetilde{I} l'ens. d'indices par \Sigma, \overrightarrow{\Delta}_i orientés, on trouve par l'ens. des correspondance bijective canonique \widetilde{I} \;\underline{\simeq}\; \text{ens.\ des arêtes de } \widehat{P}(D) canonique plus haut d'où la relation. Comme \widehat{P}(D) est donc d'ordre pair, il admet un antipodisme, \widetilde{I} aussi et la bijection est compatible avec les antipodismes. NB Le « » \widehat{P}(D) gén. des sommets « » de l'un des \widehat{P}(D) qui … de P(D), et par l'antipodisme. la note marginale est écrite en biais au bas de la page, entre les deux colonnes, et ne se lit qu'en partie ; \widehat{P}(D) abrège \widehat{\operatorname{Pol}}(D)

Ainsi Il faudrait examiner : pour le cas de D supercritique, soit D = \Delta = \Delta_{i_0}, auquel cas il n'y a que des arêtes de générisation, issues de D = \Delta, qui correspondent pts de \widetilde{\Delta} (= image inverse de \Delta dans \widetilde{X}) qui sont au-dessus des sommets sur \Delta. Choisissons une orientation de \Delta, qui permet d'identifier \widetilde{\Delta} en \Pi de \Delta. Nous allons affecter chaque arête de \Gamma(\underline{\Sigma}) issue de \Delta, correspondant \in S \cap \Delta, des « poids » (définis par ) égal au distinctes de \Delta qui passent en s, i.e. le nb des sommets découpés au voisinage de s par une « parallèle » (un côté) à \Delta. Si nous « éclatons » chaque arête de \Gamma(\underline{\Sigma}), des sommets de figures : au milieu de la colonne de droite, deux faisceaux orange sur une droite orange \Delta, longée de part et d'autre par des bandes jaunes et vertes (traits pleins et pointillés), les « parallèles » ; au bas de la page, un faisceau orange issu de s coupé par une droite jaune parallèle à \Delta

numéroté 8 en haut \operatorname{Pol}(D), en autant de fragments que l'indique son poids, on trouve un nouveau polygone combinatoire \widehat{P}(\Delta), d'ordre 2(n-1), essentiellement celui découpé par les \Delta_i (i \neq i_0) sur une parallèle à \Delta. D'où on trouve une bijection canonique I \smallsetminus \lbrace i_0 \rbrace \;\simeq\; \text{ens.\ des \emph{sommets} de } \widehat{P}(\Delta_{i_0}), compatible avec les antipodismes. NB Cette bijection dépend du choix d'une orientation de \Delta_{i_0} — en le changeant, on transforme le précédent composé avec l'antipodisme. au-dessus de « I \smallsetminus \lbrace i_0 \rbrace », une accolade renvoie au mot « canonique » figures : un faisceau orange coupant une droite jaune, recouvert d'une spirale au crayon qui s'allonge vers la droite (le secteur est hachuré) ; au-dessous, une droite orange \Delta_{i_0} traversée de quatre faisceaux, et une droite jaune D qui la longe d'un côté puis, franchissant le sommet marqué d'un gros point, passe de l'autre côté, la bande entre elles étant hachurée

On aimerait comparer la pondération modifiée d'une arête en \Delta, avec sa pondération ordinaire. On trouve pour la pondération ordinaire \nu_0 \begin{align*} \nu_0 &= \text{nb d'arêtes découpées sur la génér.\ } \Delta \text{ par } \Sigma \text{ le long du couloir} \\ &= \text{nb d'arêtes en } D = \ldots n - \nu, \end{align*} d'où \nu + \nu_0 = n le dernier membre de la première formule est surchargé : un premier terme, peut-être \operatorname{card}(\ldots), est écrasé sous « n - \nu » donc la pondération modifiée résulte de la pondération ordinaire (si on connaît n…) mais on peut déduire de là la pondération ordinaire par les formules locales \textstyle\sum \text{toutes les pondérations en } D = 2n (où D est un sommet non supercritique, p.ex. stable).

On a ainsi trouvé une application canonique \underbrace{\text{Sommets de } \Gamma(\underline{\Sigma})}_{(= \mathrm{Pr}(\Sigma))} \smallsetminus \underbrace{\Sigma}_{\text{p.r.\ supercritiques}} \longrightarrow \begin{array}{c} \text{ens.\ des structures polygonales sur } \widetilde{I} \\ \text{compatibles avec l'antipodisme} \end{array} et il ne devrait pas être difficile de montrer que cette application est l'injection. Il faudrait de plus, pour bien faire, voir :

1) Comment « raccorder » les P(\Delta), \widehat{P}(\Delta) le long d'une flèche de spécialisation

numéroté 9 en haut et

2) Comment interpréter toute la structure de graphe orienté : plongement cellulaire, avec pondérations des arêtes et des coins, en termes de l'interprétation de ses sommets comme des str. polygonales sur \widetilde{I}.

Pour 1) L'examen (D \to D' dans le cas « ordinaire » (D' non supercritique)) de la situation montre que \operatorname{Pol}(D) et \operatorname{Pol}(D') i.e. l'ens. des arêtes sur \widetilde{\widetilde{D}} et sur \widetilde{\widetilde{D}}' (où le \approx indique la « parallèle ») i.e. des sur D et sur D' « sont les mêmes », sauf au voisinage des deux segments de points antipodiques correspondant à l'extrémité de l'arête de spécialisation issue de D (et l'antipodique), dans D' l'inverse. De façon plus précise, figures : en haut, une droite jaune D et, au-dessus, la spécialisation D' en pointillé, qui monte vers le sommet d'un faisceau orange (deux petites flèches verticales, un segment vert sur D) ; au bas de la page, la même situation avec les « parallèles » \widetilde{\widetilde{D}}, \widetilde{\widetilde{D}}' tracées en pointillé brun, deux flèches désignant les sommets \sigma et \sigma' ; dans la marge, deux petites étoiles de pseudo-droites en D et en D' reliées par une flèche orange, avec les secteurs \alpha, \beta, \alpha', \beta' et des points a, a' on trouve un isomorphisme canonique entre \widehat{P}(D) et \widehat{P}(D') ce membre de phrase est marqué d'un double trait vertical transformant l'un des sommets \sigma de \widehat{P}(D) provenant de \vec{a} en l'un antipodique \sigma' des sommets de \widehat{P}(D') correspondant à \vec{a}. Une autre façon de dire les choses est celle-ci : Désignons par a' l'arête de spécialisation « opposée » à a (en D'), on trouve un isom. des polygones \operatorname{Pol}(D) avec \operatorname{Pol}(D'), polygone \operatorname{Pol}(D'), transformant ( … à un \operatorname{Pol}(D') un certain polygone déduit de \operatorname{Pol}(D') en sommet a, de sorte que \hat{a} Cet isom. D aille sur a'. On peut donc trouver une unique arête \gamma de D, telle que le polygone \operatorname{Pol}'(D) déduit de \operatorname{Pol}(D) en plaçant un point a'' dessus, soit isom. à \operatorname{Pol}(D') par un isom. prolongeant le précédent. Cet isom. est compatible de plus avec les pondérations dans le sens suivant : segments des polygones (arêtes de \Gamma(\underline{\Sigma})) qui se correspondent deux = pondérations ( ), et aussi la pondération de \alpha) cercle : plus bas ! la marge gauche de la colonne de droite porte, en travers, « cercle ; plus bas ! » à côté d'un long trait vertical ; plusieurs lignes du milieu de la colonne sont biffées

page sans texte : seulement, en haut, un dessin en couleurs sur la même situation que page 19 — quelques pseudo-droites orange dont trois concourent en un point marqué, une droite jaune D en dessous, la spécialisation en pointillé jaune qui monte vers ce point, et des traits bleus (pleins et pointillés) parallèles à D de part et d'autre du sommet