Cote n° 154 · pages 1–175 · Lecture modernisée · [Système de pseudo-droites] : notes manuscrites (1983-1984, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1983-1984
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–175

Le fil du dossier, et les conventions

La donnée

Tout le dossier part d'une seule donnée. Un système de pseudo-droites est un plan projectif réel topologique \(X\) muni d'une famille finie \(\Sigma = (D_i)_{i \in I}\) de pseudo-droites — des courbes fermées simples qu'on ne peut pas rétracter, dont deux quelconques se coupent en exactement un point, en s'y croisant. On note \(n = \operatorname{card} I\), \(X_1 = \bigcup D_i\) la réunion des pseudo-droites, et \(S = S(\Sigma)\) l'ensemble des sommets, points où se coupent au moins deux \(D_i\) ; un sommet où passent \(\nu\) pseudo-droites est dit d'ordre, ou de multiplicité, \(\nu\). Le système est dit simple quand tous ses sommets sont doubles ; le dossier dit alors « \(\Sigma\) stable » (pages 2, 77, 119), et il faut ne pas confondre cet emploi avec celui qui suit.¹

L'objet de toutes les pages est une pseudo-droite de plus, \(D\), ajoutée à \(\Sigma\) de telle sorte que \(\Sigma \cup \lbrace D \rbrace\) soit encore un système de pseudo-droites. Sa position relative est sa classe à isotopie près, l'isotopie étant astreinte à ne jamais faire passer \(D\) par un nouveau sommet ni lui en faire quitter un (la page 87 le dit précisément). On note \(P = \mathrm{PR}(\Sigma)\) l'ensemble des positions relatives. La spécialité de \(D\) est le nombre \(\operatorname{card}(S \cap D)\) des sommets de \(\Sigma\) par lesquels elle passe (page 137). La position est stable si elle ne passe par aucun sommet, sous-stable si elle passe par exactement un (le dossier dit aussi « semi-stable », pages 71, 132, 135, 150), et critique si elle en contient au moins deux ; dans les dernières pages, « critique » veut dire, plus précisément, minimale pour la spécialisation (page 141).² Les positions supercritiques sont les \(D_i\) eux-mêmes, vus comme positions d'une pseudo-droite relativement aux autres ; le dossier les appelle aussi « supersingulières » et « exceptionnelles », et on ne garde ici que le premier mot.³

On passe d'une position à une autre par deux mouvements inverses. Une spécialisation \(D \to D'\) fait glisser \(D\) à travers un triangle de \(\Sigma \cup \lbrace D \rbrace\) jusqu'à ce qu'elle passe par un sommet de plus ; une générisation l'en décolle. C'est, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, le « flip » d'un triangle, ou mutation.⁴

Deux objets attachés à une position reviennent sur toutes les pages. Un voisinage tubulaire étroit de \(D\) dans \(X\) est une bande de Möbius ; son bord est un cercle qui revêt \(D\) deux fois, le revêtement des rives \(\widetilde{D}\), muni de l'involution sans point fixe qui échange les deux points au-dessus d'un même point de \(D\), l'antipodisme. Chaque \(D_i\) coupe \(D\) une fois, donc \(\widetilde{D}\) deux fois : les \(2n\) points ainsi obtenus (comptés avec multiplicité aux sommets) font de \(\widetilde{D}\) un polygone combinatoire d'ordre \(2n\), noté \(\operatorname{Pol}(D)\). On note \(\omega(D)\) l'ensemble à deux éléments de ses orientations. Le groupe des automorphismes d'un polygone combinatoire d'ordre \(2n\) est le groupe diédral \(\mathbb{D}_{2n}\), d'ordre \(4n\) ; son sous-groupe des rotations \(\mathbb{D}^{+}_{2n}\) est cyclique d'ordre \(2n\).⁵ On note enfin \(\widetilde{X}\) le revêtement d'orientation de \(X\), une sphère : la page 28 identifie les points de l'image inverse \(\widetilde{\Delta}\) d'une pseudo-droite \(\Delta\) situés au-dessus d'un sommet \(s\) aux deux orientations de \(X\) en \(s\), c'est-à-dire aux deux rives de \(\Delta \smallsetminus \lbrace s \rbrace\). Les deux revêtements doubles \(\widetilde{\Delta}\) (image inverse dans \(\widetilde{X}\), revêtement des rives) sont connexes et donc isomorphes, et le dossier passe librement de l'un à l'autre.

Deux notations du dossier ont un double sens, et on les sépare. Aux pages 17 à 24, « \(\operatorname{Pol}(D)\) » désigne aussi le polygone formé par les spécialisations et générisations immédiates de \(D\), rangées sur \(\widetilde{D}\) ; on l'appelle ici polygone des transitions et on le note \(\operatorname{Tr}(D)\), et \(\operatorname{Tr}^{*}(D)\) sa version agrandie des pages 22 à 24 (le « \(\operatorname{Pol}^{*}(D)\) » de la page). Et à la page 145, les \(\sigma_i\) sont les transpositions de brins voisins d'un diagramme de fils ; on les note \(s_i\), parce que partout ailleurs les \(\sigma\) sont les involutions qui agissent sur les drapeaux d'une carte.

Le but, et deux images duales

Le but du dossier se dit en une phrase : faire de l'ensemble \(P\) des positions relatives une surface compacte, décomposée en cellules, sur laquelle les polygones \(\operatorname{Pol}(D)\) forment un système local — de sorte qu'en suivant un chemin de positions on transporte le polygone de l'une sur celui de l'autre, et qu'un lacet agisse sur \(\operatorname{Pol}(D)\) par un élément de \(\mathbb{D}_{2n}\) (la monodromie). Le revêtement principal de groupe \(\mathbb{D}_{2n}\) associé est ce que la page 9 appelle le « déploiement ultime ».

Deux images de cette surface se succèdent, duales l'une de l'autre, et le lecteur doit savoir laquelle est en jeu.

• Les positions comme sommets (pages 11 à 24). Les positions sont les sommets d'un graphe orienté \(\Gamma(\Sigma)\) dont les arêtes sont les spécialisations immédiates ; ce graphe se plonge dans une surface \(\operatorname{Str}(\Sigma)\).
• Les positions comme faces (à partir de la page 25 : « c'est la carte duale qui est la plus intéressante »). Chaque position \(D\) est représentée par un disque \(\Delta(D)\), le complémentaire de la bande de Möbius autour de \(D\), et la surface s'obtient en recollant ces disques. C'est l'image du « déploiement » axiomatisé aux pages 43 et 170, et celle des pages 121 à 160, où les faces sont les positions stables, les arêtes les sous-stables et les sommets les critiques.

Dans le cas où les \(D_i\) sont de vraies droites, cette seconde image est connue de tous : la page 77 l'identifie à l'arrangement, dans le plan dual \(X^{\vee}\), des droites qui joignent deux à deux les points duaux des \(D_i\). En termes d'aujourd'hui, une position relative est une extension à un élément du matroïde orienté de rang \(3\) que définit \(\Sigma\), et la surface cherchée est un modèle cellulaire de son espace des extensions.⁶

Les stations

Les feuillets sont datés, pour beaucoup, de la main de Grothendieck, et ils ne sont pas dans l'ordre des dates : la première rédaction (pages 11 à 42) est de Noël 1983, la mise en axiomes (pages 43 à 54) du 31 décembre et du 2 janvier, les calculs de monodromie des 3, 4 et 5 janvier 1984, et les cinq pages qui ouvrent le dossier du 18 janvier ; une page (47) porte le 2 février 1984.⁷ On suit ici l'ordre des pages.

• Cinq variantes de la surface — pages 1 à 9 : cinq manières de traiter les positions supercritiques, et leurs défauts.
• La structure de l'ensemble des positions — pages 11 à 20 : le graphe \(\Gamma(\Sigma)\), ses polygones locaux, les couloirs, la surface \(\operatorname{Str}(\Sigma)\) et les poids.
• Polygones agrandis et carte duale — pages 21 à 29 : \(\operatorname{Tr}^{*}(D)\), la naissance d'un système local à partir des poids, puis les disques \(\Delta(D)\).
• Les cartes en général — pages 30 à 33 : un graphe, une semi-circularisation et un transport des orientations définissent une surface ; les opérations \(\sigma_0\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) sur les drapeaux.
• Le disque d'une position et ses arcs — pages 33 à 42 : systèmes de cordes, arcs de générisation, de spécialisation, d'inertie ; le recollement, jusqu'aux positions supercritiques.
• Le déploiement en axiomes — pages 43 à 54 : le triplet \((\mathcal{X}, K, L)\), l'application \(\varphi : \mathcal{X} \to X\), les signes \(\varepsilon_F(a)\), les bijections de symétrie, la Proposition de la page 53.
• La monodromie diédrale — pages 55 à 63 : le transport le long d'un demi-tour, les images de \(\pi_1\) dans \(\mathbb{D}_{2n}\), les caractères.
• Huit recollements — pages 64 à 80 : le choix du recollement, une erreur de deux semaines, la surface des positions stables, le cas des vraies droites.
• Surjectivité et généralisation — pages 81 à 100 : le revêtement principal est connexe ; les positions d'un cercle par rapport à un graphe sur une surface quelconque.
• Rotation autour d'une face — pages 101 à 120 : l'opération \(\rho(D, \omega, a)\), la bande supercritique, la caractéristique d'Euler.
• Fuseaux et repères — pages 121 à 149 : les quatre involutions \(\sigma_1\), \(\sigma\), \(\sigma_2\), \(\sigma_0\) ; les balayages d'un disque de sept pseudo-droites.
• La surface \(X^{*}\) des positions — pages 150 à 160 : sa structure locale, les types de fuseaux, le cube des générisations ; les facettes exceptionnelles.
• Dessins, et les axiomes repris — pages 161 à 175.

Deux reprises ne doivent pas être confondues avec des répétitions : les axiomes du déploiement sont écrits deux fois, pour une surface fermée (page 43) et pour une surface à bord (page 170) ; et le choix du recollement de deux disques est fait une première fois aux pages 37-38, puis refait entièrement aux pages 64 à 70, où Grothendieck constate qu'il s'était trompé. La moitié des feuillets, à partir de la page 80 surtout, sont des dessins en couleur ; chaque section dit en note ce qu'ils montrent. Seuls sont recomposés les graphes de flèches des pages 16, 138 et 156, et redessinées les figures des pages 46, 53 et 55, sur lesquelles le texte s'appuie.

Ce qui est annoncé et ne l'est pas

Beaucoup de choses sont posées comme questions et laissées là, et ce dossier est un état de travail : les sections le disent à mesure. Les principales : pourquoi les polygones ne forment pas de système local sur \(\mathcal{X}_0\) (page 6) ; l'injectivité de l'application de la page 18 ; la suffisance des axiomes de cordes (page 34) ; le bouchage des circuits d'arcs exceptionnels (pages 39-40) ; la relation entre bijections de symétrie et signes (page 49) ; les circuits généraux de la variante \(A_1\) (pages 70 et 74) ; la carte pentagonale (page 94) ; la valeur du signe \(\varepsilon\) (page 110) ; le sens de l'involution \(\sigma_0\) (pages 134 et 137) ; les extrémités d'une arête de \(X^{*}\) (page 150) ; la question 1) de la page 153. La « rectification b) » à laquelle renvoie la page 117 ne figure sur aucune page du dossier.

1–9

Cinq variantes de la surface de déploiement (pages 1 à 9, 18 janvier 1984)

Ces pages sont les dernières écrites de la première moitié du dossier, et elles en font le bilan : il existe au moins cinq façons raisonnables de fabriquer la surface des positions relatives, qui ne diffèrent que par la manière de traiter les positions supercritiques, et chacune a son défaut.⁸ Dans toutes, les faces correspondent aux positions relatives et les arêtes aux spécialisations — c'est la seconde des deux images de la section précédente —, et l'on note \(F_D\) la face d'une position \(D\).

\(\mathcal{X}_0\) : les positions supercritiques exclues

On n'admet pas les positions supercritiques parmi les faces. Elles deviennent alors des sommets de la surface \(\mathcal{X}_0\), les « sommets supercritiques », et ce sont les seuls qui ne soient pas d'ordre \(4\) : ils sont d'ordre \(4n\).⁹

\(\mathcal{X}_1\) : une face par position supercritique

On admet au contraire chaque position supercritique \(D_i\) comme une face \(F_i\), et les spécialisations d'une position sous-stable vers elle comme des arêtes, correspondant à des arcs de spécialisation exceptionnels qu'on choisit aussi courts que possible — de longueur combinatoire \(1\) — et placés à égale distance des arcs de générisation les plus proches. Autour de \(F_i\) se raccordent ainsi, le long de \(2n_i\) arcs, les faces des positions sous-stables voisines, où \(n_i\) est le nombre de sommets de \(\Sigma\) sur \(D_i\) (\(2(n-1)\) arcs quand \(\Sigma\) est simple) ; les faces des positions stables voisines viennent s'intercaler, chacune entre deux faces sous-stables adjacentes.

Tous les sommets de \(\mathcal{X}_1\) sont alors d'ordre \(4\), mais le recollement laisse des bords libres. Pour \(\Sigma\) simple, leur nombre dépend de la parité de \(n\) : si \(n\) est pair, chaque face sous-stable en donne deux et chaque face stable qui touche \(F_i\) un de plus, soit \[ 2 \cdot 2(n-1) + 2(n-1) = 6(n-1), \] « ce qui fait un peu beaucoup » ; si \(n\) est impair, chaque face sous-stable en donne un, au milieu de l'arête commune, et les faces stables aucun, soit \(2(n-1)\), exactement ce qu'il faut pour les recollements.¹⁰

\(\mathcal{X}'_1\) : un petit disque à la place du sommet

Une manière de s'en tirer dans tous les cas part de \(\mathcal{X}_0\) : on remplace chaque sommet supercritique par un petit disque. Chaque face incidente contribue alors un bord libre, soit \(2(n-1)\) bords qui entourent le disque, et l'on peut les raccorder de façon à reconstituer « l'affinisation supercritique » de \(\Sigma\) sur \(F_i\) — l'image affine qu'on obtient en envoyant \(D_i\) à l'infini. Sur la surface \(\mathcal{X}'_1\), les sommets situés sur les faces supercritiques sont d'ordre \(3\) et tous les autres d'ordre \(4\). Il faut alors des arcs de spécialisation de longueur combinatoire quelconque, et passer à la subdivision barycentrique.¹¹

Le défaut commun

Sur ces trois surfaces, le système local des polygones \(\operatorname{Pol}(D)\), défini par transport parallèle, n'existe que sur le complémentaire des sommets ou des faces supercritiques, qui sont des lieux de ramification.¹² Le revêtement principal associé est donc, pour elles, un revêtement ramifié.

\(\mathcal{X}_2\) : éclater le sommet

La quatrième surface part encore de \(\mathcal{X}_0\), mais « fait éclater » les sommets supercritiques en ajoutant des arcs de transition supplémentaires, de poids \(2\). On l'obtient aussi à partir de \(\mathcal{X}'_1\) en découpant l'intérieur des faces supercritiques et en identifiant les points antipodiques de leurs bords — c'est-à-dire en remplaçant chaque face supercritique par un cross-cap, une bande de Möbius. Tous les sommets sont d'ordre \(4\), et cette fois les \(\operatorname{Pol}(D)\) forment un système local, alors que sur \(\mathcal{X}_0\) il est rompu autour de chaque sommet supercritique. En revanche \(\mathcal{X}_2\) ne s'envoie pas dans \(X\) (« sauf erreur »).

En face de cette phrase, entourée d'un grand cercle rouge, une remarque qui dit l'état du travail :

Mais pour quelles raisons, au juste, ne serait-il pas vrai qu'on a un syst. local sur \(\mathcal{X}_0\) (ce qui est pourtant faux !) Il y a un pt qui en ce moment m'échappe. Je ne suis plus trop dans le coup, et devrait reconsulter des notes des semaines précédentes.

La réponse n'est pas écrite. Celle que suggèrent les calculs des pages 57 à 59, écrits quinze jours plus tôt, est la suivante, et elle est la nôtre.¹³ Un système local sur le complémentaire d'un point s'étend à travers ce point si et seulement si sa monodromie autour du point est triviale. Or un tour complet autour d'une position supercritique agit sur \(\operatorname{Pol}(D)\) par le carré de la translation \(t \mapsto t - (n-1)\) de la page 57, c'est-à-dire par \(t \mapsto t - 2(n-1)\) sur \(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}\), qui n'est l'identité que pour \(n = 1\). Le cross-cap de \(\mathcal{X}_2\) résout exactement cette difficulté : son âme réalise un demi-tour, dont le carré est le lacet du bord.

\(\mathcal{X}_3\) : une bande de Möbius à la place de \(D_i\)

La dernière variante garde les positions supercritiques parmi les faces, mais en distinguant, pour une \(D_i\) portant \(n_i\) sommets, \(2n_i\) positions supercritiques, suivant la facette de \(\widetilde{D}_i\) où tombe le point d'intersection initial avec la position voisine. Tous les sommets sont encore d'ordre \(4\) ; la pseudo-droite \(D_i\) est remplacée par une bande de Möbius. On l'obtient à partir de \(\mathcal{X}'_1\) en découpant les faces supercritiques et en recollant, au lieu d'identifier les points antipodiques, une bande dont les « faces de bord » sont des positions voisines de \(D_i\). Cette fois on a une application \(\mathcal{X}_3 \to X\) telle que l'image inverse de \(X_1\) soit ce qu'il faut, \(D_i\) compris. Mais on perd la représentation affine de \(\Sigma\) qu'offrait \(\mathcal{X}'_1\) — la surface représente plutôt un voisinage tubulaire de \(D_i\) — et \(\mathcal{X}_3\) ne se prête pas à une interprétation par la combinatoire interne du système local des \(\operatorname{Pol}(D)\).

Les déploiements ultimes

À chacune des cinq surfaces est associé le revêtement principal de groupe \(\mathbb{D}_{2n}\) défini par les \(\operatorname{Pol}(D)\) — ramifié pour les trois premières. Ce sont ces revêtements qui sont les « déploiements ultimes ».¹⁴ Les plus utiles lui semblent \(\mathcal{X}'_1\), \(\mathcal{X}_2\), \(\mathcal{X}_3\) et leurs revêtements ; peut-être peut-on se contenter de \(\mathcal{X}'_1\), pourvu qu'elle s'envoie bien dans \(X\) — ce dont il n'est « pas tout à fait convaincu », faute de voir ce qui se passe au voisinage du bord d'une face supercritique.¹⁵

11–20

La structure de l'ensemble des positions relatives (pages 11 à 20, 23 décembre 1983)

C'est le début chronologique du dossier, une suite numérotée de 1 à 14 qui court jusqu'à la page 25.¹⁶ Les positions y sont les sommets d'un graphe.

Les flèches de spécialisation

Soit \(D\) une position relative. Un triangle de spécialisation pour \(D\) est la donnée d'un arc de \(\widetilde{D}\) formé de \(\nu \geqslant 1\) arêtes consécutives de \(\operatorname{Pol}(D)\), dont les \(\nu + 1\) extrémités ne sont pas des sommets de \(\Sigma\), découpées par \(\nu + 1\) pseudo-droites de \(\Sigma\) qui concourent en un même sommet \(s\), d'ordre exactement \(\nu + 1\), le triangle de sommets \(s\) et des deux extrémités de l'arc ne contenant aucun autre sommet de \(\Sigma\).¹⁷ En faisant glisser \(D\) à travers ce triangle jusqu'à \(s\), on obtient une position \(D'\), sa spécialisation au-dessus de \(T\). Soit \(\widetilde{P}\) l'ensemble des couples \((D, T)\).

L'application \(\widetilde{P} \to P \times P\), \((D, T) \mapsto (D, D')\), est injective. Car \(D' \cap S = (D \cap S) \cup \lbrace s \rbrace\), ce qui détermine \(s\) ; aucune pseudo-droite de \(\Sigma \cup \lbrace D \rbrace\) ne bordant un bigone (sinon \(\Sigma\) serait trivial de centre \(s\)), les arêtes qui joignent \(s\) aux points de \(D\) à l'intérieur de \(T\) sont uniques, et \(D \cap T\) ne contient pas d'autre sommet : \(T\) est déterminé. On obtient donc un graphe orienté \(\Gamma(\Sigma)\), d'ensemble de sommets \(P\) et d'ensemble d'arêtes \(\widetilde{P}\).

Pour \(D \in P\), soit \(\operatorname{Sp}_0(D)\) l'ensemble de ses spécialisations immédiates — en bijection avec ses triangles de spécialisation — et \(\operatorname{Gn}_0(D)\) celui de ses générisations immédiates, en bijection avec les couples \((s, \tilde{\xi})\) où \(s \in D \cap S\) et \(\tilde{\xi}\) est l'un des deux points de \(\widetilde{D}\) au-dessus de \(s\) : décoller \(D\) de \(s\) d'un côté ou de l'autre. Chaque spécialisation définit un arc de \(\widetilde{D}\), ces arcs sont deux à deux disjoints, et chaque générisation un point de \(\widetilde{D}\), distinct des autres et hors de ces arcs. D'où une structure polygonale — un ordre cyclique défini au sens près — sur \[ \operatorname{Sp}_0(D) \amalg \operatorname{Gn}_0(D), \] l'ensemble des arêtes de \(\Gamma(\Sigma)\) issues du sommet \(D\) : c'est le polygone des transitions \(\operatorname{Tr}(D)\).¹⁸

Au moins trois transitions

Ce polygone a-t-il au moins trois éléments ? Au moins quatre si \(D\) contient deux sommets de \(\Sigma\), par les seules générisations. Pour \(D\) stable, il y a au moins trois triangles de \(\Sigma \cup \lbrace D \rbrace\) adjacents à \(D\) ; l'un est contenu dans un unique triangle de spécialisation \(T\), et chacun des deux grands triangles que \(T\) découpe de part et d'autre en contient un autre, d'où trois triangles de spécialisation distincts. Pour \(D\) sous-stable il faudrait au moins un triangle de spécialisation, et l'argument tenté échoue : la page 13 donne elle-même un contre-exemple, dans l'arrangement simple de quatre pseudo-droites, avec une position sous-stable qui évite les deux quadrilatères incidents à son sommet.¹⁹

La raison en est aussitôt trouvée : « j'ai oublié les cas les plus importants : les p.r. supercritiques ». Une position sous-stable \(D\), de sommet \(a\), peut se spécialiser vers une pseudo-droite \(\Delta\) de \(\Sigma\) elle-même, à condition que \(a\) soit un sommet de \(\Delta\) et que l'un des deux secteurs biangulaires de \(X\) délimités par \(D\) et \(\Delta\) soit un couloir²⁰ ; la spécialisation se fait dans ce couloir, le couloir de spécialisation, qui compte comme l'équivalent d'un triangle de spécialisation. Relevé dans \(\widetilde{D}\), un couloir est un arc ouvert d'extrémités les deux points \(a'\), \(a''\) au-dessus de \(a\), et les spécialisations de \(D\) sont alors décrites par des arcs ouverts deux à deux disjoints de \(\widetilde{D} \smallsetminus \lbrace a', a'' \rbrace\). Ainsi complété, le polygone \(\operatorname{Tr}(D)\) a toujours au moins trois éléments, et au moins quatre si \(D\) n'est pas stable (page 15, affirmé sans autre démonstration).

Vues depuis la position supercritique \(\Delta\), ses générisations immédiates sont de deux sortes : deux positions stables par arête de \(\Delta\), qui la longent de part et d'autre, et deux positions sous-stables par sommet, correspondant aux deux orientations de \(X\) en ce sommet. Elles sont donc en bijection avec les sommets et les arêtes du polygone topologique \(\widetilde{\Delta}\), ce qui fait un polygone d'ordre \(4\nu\) si \(\nu\) est le nombre de sommets de \(\Delta\), ou d'ordre \(2\nu\) si l'on se borne aux générisations immédiates. L'identification avec le polygone d'une position ordinaire voisine dépend du choix d'une orientation de \(\Delta\).²¹

Orientations, plongement cellulaire, poids

Chaque sommet \(D\) de \(\Gamma(\Sigma)\), positions supercritiques comprises, porte donc un polygone \(\operatorname{Tr}(D)\) ; soit \(\omega(D)\) l'ensemble de ses deux orientations, qu'on identifie à celui des orientations de \(D\). Une flèche de spécialisation \(D \to D'\) définit une bijection \(\omega(D) \to \omega(D')\), et une injection \(\operatorname{Gn}_0(D) \hookrightarrow \operatorname{Gn}_0(D')\) dont le complémentaire a deux éléments.²²

Ces données — un ordre cyclique au signe près en chaque sommet, et une bijection entre les orientations le long de chaque arête — définissent un plongement cellulaire canonique de \(\Gamma(\Sigma)\) dans une surface compacte, que la page 16 appelle la surface structurante \(\operatorname{Str}(\Sigma)\) ; la construction générale est celle des pages 30 à 33. Autour d'un sommet stable, toutes les arêtes partent ; autour d'un sommet sous-stable, exactement deux arrivent ; autour d'un sommet critique, au moins quatre arrivent ; et autour des sommets que la page appelle « critiques extérieurs », toutes arrivent.²³ La page dessine en regard une étoile pour chaque type ; les flèches épaisses, qui arrivent, sont rendues par \(\Rightarrow\).²⁴

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \cdot &  & &  & \cdot & \cdot \arrow[dl, Rightarrow] \\
 & D \arrow[u] \arrow[r] \arrow[dl] \arrow[d] & \cdot & &  & D \arrow[u] \arrow[dr] &  \\
\cdot & \cdot &  & & \cdot \arrow[ur, Rightarrow] & & \cdot \\
 & \text{stable} &  & &  & \text{sous-stable} &  \\
 & \cdot & \cdot \arrow[dl, Rightarrow] & & \cdot \arrow[dr, Rightarrow] & & \cdot \arrow[dl, Rightarrow] \\
\cdot \arrow[r, Rightarrow] & D \arrow[u] \arrow[d] \arrow[dr] & \cdot \arrow[l, Rightarrow] & &  & D &  \\
\cdot \arrow[ur, Rightarrow] & \cdot & \cdot & & \cdot \arrow[ur, Rightarrow] & & \cdot \arrow[ul, Rightarrow] \\
 & \text{critique} &  & &  & \text{critique extérieur} & 
\end{tikzcd}

Chaque arête reçoit un poids, entier \(\geqslant 1\) : le nombre d'arêtes de \(\operatorname{Pol}(D)\) qu'intercepte l'arc de spécialisation. Chaque secteur angulaire en \(D\) — un arc de \(\widetilde{D}\) compris entre deux transitions consécutives — reçoit comme poids le nombre d'arêtes qu'il contient. On obtient une carte cellulaire à graphe orienté, à arêtes et à coins pondérés, et en chaque sommet non supercritique \[ \sum \text{poids des arêtes en } D \;+\; \sum \text{poids des coins en } D \;=\; 2n, \] puisque ces arcs partagent les \(2n\) arêtes de \(\operatorname{Pol}(D)\).

Le polygone déployé, et l'ensemble \(\widetilde{I}\)

En éclatant chaque sommet de \(\operatorname{Tr}(D)\) en autant de sommets que l'indique son poids, et en plaçant sur chaque arête autant de points que l'indique le poids du coin correspondant, on reconstitue le polygone de \(\widetilde{D}\) : on obtient un polygone \(\widehat{\operatorname{Pol}}(D)\) dont les sommets correspondent aux arêtes de \(\operatorname{Pol}(D)\) et les arêtes aux points où les \(D_i\) coupent \(\widetilde{D}\) — le polygone dual de \(\operatorname{Pol}(D)\), visualisé comme un contour parallèle à \(D\). Soit \(\widetilde{I}\) l'ensemble des pseudo-droites orientées \(\vec{D}_i\), revêtement double de \(I\). On a une bijection canonique \[ \widetilde{I} \;\simeq\; \lbrace \text{arêtes de } \widehat{\operatorname{Pol}}(D) \rbrace , \] compatible aux antipodismes.

Pour \(D = \Delta = D_{i_0}\) supercritique, il n'y a que des arêtes de générisation ; on affecte à celle qui correspond au sommet \(s\) de \(\Delta\) le nombre de pseudo-droites autres que \(\Delta\) qui passent par \(s\), et l'on obtient de même un polygone \(\widehat{\operatorname{Pol}}(\Delta)\) d'ordre \(2(n-1)\) — celui que découpent les \(D_i\), \(i \neq i_0\), sur une parallèle à \(\Delta\) — et une bijection \[ \widetilde{I \smallsetminus \lbrace i_0 \rbrace} \;\simeq\; \lbrace \text{sommets de } \widehat{\operatorname{Pol}}(\Delta) \rbrace , \] compatible aux antipodismes, qui dépend du choix d'une orientation de \(\Delta\) : en la changeant, on la compose avec l'antipodisme.²⁵ Le poids ordinaire \(\nu_0\) d'une arête issue de \(\Delta\) — le nombre d'arêtes découpées par \(\Sigma\) sur la générisation le long du couloir — et le poids \(\nu\) qu'on vient de définir vérifient \[ \nu + \nu_0 = n . \]

On a ainsi une application canonique \[ P \smallsetminus \Sigma \;\longrightarrow\; \lbrace \text{structures polygonales sur } \widetilde{I} \text{ compatibles à l'antipodisme} \rbrace , \] des positions non supercritiques vers les ordres cycliques de \(\widetilde{I}\), dont « il ne devrait pas être difficile de montrer » qu'elle est injective.²⁶ Il resterait, pour bien faire, à voir (1) comment se raccordent les polygones \(\widehat{\operatorname{Pol}}\) le long d'une flèche de spécialisation et (2) comment lire toute la structure de graphe orienté — plongement, poids des arêtes et des coins — sur ces structures polygonales.

Pour (1), la page 19 constate que \(\operatorname{Pol}(D)\) et \(\operatorname{Pol}(D')\) « sont les mêmes », sauf au voisinage des deux segments antipodiques qui correspondent à l'extrémité de l'arête de spécialisation, et qu'il existe un isomorphisme canonique \(\widehat{\operatorname{Pol}}(D) \simeq \widehat{\operatorname{Pol}}(D')\) qui envoie l'un des sommets issus de cette arête sur l'antipodique du sommet correspondant de \(\widehat{\operatorname{Pol}}(D')\), compatible aux poids.²⁷

21–29

Polygones agrandis, système local, carte duale (pages 21 à 29, 23 au 25 décembre 1983)

Le polygone \(\operatorname{Tr}^{*}(D)\)

Les pages 21 à 24 sont d'une écriture très rapide et se lisent mal ; leur mouvement est cependant clair.²⁸ On agrandit \(\operatorname{Tr}(D)\) en y ajoutant les antipodiques des triangles de spécialisation — des « pseudo-spécialisations » — et des bords libres : c'est le polygone \(\operatorname{Tr}^{*}(D)\), stable par antipodisme. Le poids d'une arête de \(\operatorname{Tr}^{*}(D)\) peut être nul, entre deux générisations. Une spécialisation \(D \to D'\) induit une application \(\operatorname{Tr}^{*}(D) \to \operatorname{Tr}^{*}(D')\) qui n'est pas en général un isomorphisme, parce qu'une spécialisation peut créer des pseudo-spécialisations lorsque l'autre face adjacente au triangle \(T\) est un couloir. Si \(b\) est le sommet qui disparaît, entre les sommets \(x\) et \(a\), les poids sont additifs : \[ \text{poids de } \widehat{ax} \text{ dans } \operatorname{Tr}^{*}(D') \;=\; \text{poids de } \widehat{xb} + \text{poids de } b + \text{poids de } \widehat{ba} \text{ dans } \operatorname{Tr}^{*}(D). \] C'est la relation de la page 23.²⁹

La structure de graphe orienté, cellulaire et pondéré, de \(\Gamma^{*}(\Sigma)\) ne semble pas distinguer, parmi les arêtes issues d'un sommet, celles qui correspondent à des pseudo-spécialisations. Mais elle les distingue dès qu'on connaît les applications \(\operatorname{Tr}^{*}(D) \to \operatorname{Tr}^{*}(D')\), et celles-ci se déduisent de la structure — « Mais bien sûr » — en passant aux polygones déployés : il suffit de savoir comment se correspondent les orientations, ce qui est connu, et quelle est l'image d'un sommet particulier \((D, a)\), qui est l'antipodique, dans \(\widehat{\operatorname{Pol}}(D')\), du sommet \((D', a)\).

Un principe général

La page 24 en tire un principe qui vaut pour toute carte, et c'est le premier énoncé propre du dossier. Soit une carte dont les arêtes et les coins sont pondérés par des entiers \(\geqslant 0\), de sorte qu'en chaque sommet la somme des poids des arêtes et des coins incidents soit un même entier \(N\). Éclatons chaque sommet en un polygone d'ordre \(N\), dont les côtés sont répartis entre les arêtes et les coins selon leurs poids. Alors, à travers chaque arête, les polygones de ses deux extrémités se correspondent, et ces transports forment un système local de polygones d'ordre \(N\) sur la surface sous-jacente à la carte. Pour les positions relatives, \(N = 2n\), et le système local est celui des \(\operatorname{Pol}(D)\).³⁰

La carte duale : les disques \(\Delta(D)\) (24 décembre)

Le 24 décembre, changement de point de vue : « c'est la carte duale qui est la plus intéressante ». Le polygone de \(D\) se voit comme le bord d'un petit voisinage tubulaire de \(D\), ou, ce qui revient au même, comme le bord du disque \(\Delta(D)\) complémentaire de ce voisinage ; et la carte duale s'obtient en recollant les disques \(\Delta(D)\) d'une façon naturelle, les « arêtes libres » formant le bord. En gardant la trace, à l'intérieur de \(\Delta(D)\), du système de pseudo-droites, on obtient un disque \(\Delta'(D)\) où les transitions apparaissent comme des segments qui vont du bord vers l'intérieur ; mais les identifications qui y mènent créent des points doubles artificiels sur le bord : des pseudo-droites qui ne se rencontrent pas dans \(\Delta(D)\) se rencontrent sur le bord de \(\Delta'(D)\).

Si l'on recolle les \(\Delta(D)\) sans faire ces identifications, on obtient une surface à bord, dont les points du bord sont d'indice \(2\) ou \(3\) et dont chaque sommet est sur le bord ; en bouchant ses trous par des disques \(\Delta_x\), on retrouve une surface compacte sans bord, et l'on retrouve la surface du début en contractant ces disques en des points. Les trous de la surface à bord correspondent canoniquement aux sommets de la surface sans bord.³¹

Vers une position supercritique (25 décembre)

Reste à définir le polygone d'une position supercritique \(\Delta \in \Sigma\), comme l'ensemble de ses générisations muni d'une structure polygonale convenable. On a vu (page 14) que ces générisations correspondent aux sommets de \(\widetilde{\Delta}\) ; et pour un sommet \(s\) de \(\Delta\), les deux points de \(\widetilde{\Delta}\) au-dessus de \(s\) correspondent aux deux orientations de \(X\) en \(s\), c'est-à-dire aux deux rives de \(\Delta \smallsetminus \lbrace s \rbrace\). Une spécialisation \(D \to \Delta\) choisit l'une des rives, celle qu'elle balaie, et l'on trouve un isomorphisme combinatoire canonique entre le segment qui correspond à la rive balayée et un segment \(\mathrm{I}(\Delta, s)\) découpé sur \(\widetilde{\Delta}\) par l'antipodisme.³² La construction s'arrête là ; la question de la spécialisation vers une position supercritique revient aux pages 40 et 54.

30–33

Les cartes en général (pages 30 à 33)

Les pages 30 à 33 isolent, hors de toute pseudo-droite, la construction qui fait d'un graphe muni de polygones locaux une surface. C'est le formalisme des cartes combinatoires, et il est écrit ici avec une netteté qui permet de le redonner tel quel.

La donnée, et la surface

Soit \(\Gamma\) un graphe : un ensemble \(S\) de sommets, un ensemble \(\vec{A}\) d'arêtes orientées muni de l'involution sans point fixe \(\vec{a} \mapsto -\vec{a}\) et de l'application origine. Pour \(s \in S\), soit \(\vec{A}_s\) l'ensemble des arêtes d'origine \(s\). Une semi-circularisation de \(\Gamma\) est la donnée, pour tout \(s\), d'une structure polygonale sur \(\vec{A}_s\) — un ordre cyclique défini au sens près. Soit \(\omega_s = \omega(\vec{A}_s)\) l'ensemble de ses deux orientations. On se donne enfin, pour toute arête \(\vec{a} : s \to t\), une bijection de transport \[ \varphi_{\vec{a}} : \omega_s \longrightarrow \omega_t , \qquad \varphi_{-\vec{a}} = \varphi_{\vec{a}}^{-1} . \] On suppose, pour simplifier, que les sommets sont d'ordre au moins \(3\).³³

En termes d'aujourd'hui, c'est un système de rotation signé : l'ordre cyclique en chaque sommet est donné au sens près, et les \(\varphi_{\vec{a}}\) disent, arête par arête, si les deux sens se raccordent ou se croisent.³⁴

La surface se construit ainsi. Pour chaque sommet \(s\), soit \(\operatorname{Dis}_s\) un disque polygonal réalisant le polygone dual de \(\vec{A}_s\) : ses côtés \(\alpha_{\vec{a}}\) correspondent aux arêtes \(\vec{a}\) issues de \(s\), et il se décompose en \(2\nu_s\) drapeaux, un par repère de \(\vec{A}_s\). On recolle alors le côté \(\alpha_{\vec{a}}\) de \(\operatorname{Dis}_s\) au côté \(\alpha_{-\vec{a}}\) de \(\operatorname{Dis}_t\) par l'homéomorphisme \(\psi_{\vec{a}}\) qui renverse les orientations induites par \(\omega \in \omega_s\) et par \(\varphi_{\vec{a}}(\omega) \in \omega_t\). On obtient une surface topologique compacte sans bord \(\mathcal{X}\), dans laquelle la réalisation \(|\Gamma|\) est canoniquement plongée, les disques \(\operatorname{Dis}_s\) étant les faces de la carte duale \(\mathcal{C}^{*}\).

Les repères et les trois involutions

Soit \(\operatorname{Rep}\) l'ensemble des repères, les couples \((\vec{a}, \omega)\) avec \(\vec{a} \in \vec{A}_s\) et \(\omega \in \omega_s\). Pour \(\omega \in \omega_s\), soit \(\rho_{\omega}\) la permutation circulaire de \(\vec{A}_s\) qu'elle définit. La page 31 pose \[ \sigma_0(\vec{a}, \omega) = \bigl(-\vec{a}, -\varphi_{\vec{a}}(\omega)\bigr), \qquad \sigma_1(\vec{a}, \omega) = \bigl(\rho_{\omega}(\vec{a}), -\omega\bigr), \qquad \sigma_2(\vec{a}, \omega) = (\vec{a}, -\omega). \] Ce sont trois involutions — pour \(\sigma_1\), parce que \(\rho_{-\omega} = \rho_{\omega}^{-1}\) — et \(\sigma_0\), \(\sigma_2\) commutent. Leurs composés sont les rotations de la carte \(\mathcal{C}\) : \[ \rho_{\mathrm{som}} = \sigma_2\sigma_1 : (\vec{a}, \omega) \longmapsto (\rho_{\omega}(\vec{a}), \omega), \qquad \rho_{\mathrm{face}} = \sigma_1\sigma_0 : (\vec{a}, \omega) \longmapsto \bigl( \rho_{\omega_t}^{-1}(-\vec{a}), \omega_t \bigr), \ \omega_t = \varphi_{\vec{a}}(\omega), \] la rotation autour du sommet et le parcours du bord d'une face : les faces orientées de \(\mathcal{C}\) sont les orbites de \(\rho_{\mathrm{face}}\), comme le dit la page 31 en premier lieu. Le troisième composé, \[ \sigma = \sigma_2\sigma_0 = \sigma_0\sigma_2 : (\vec{a}, \omega) \longmapsto \bigl(-\vec{a}, \varphi_{\vec{a}}(\omega)\bigr), \] est l'involution qui retourne une arête en gardant l'orientation locale.³⁵ C'est, lettre pour lettre, la présentation d'une carte par son ensemble de drapeaux et le groupe cartographique \(\langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_i^2 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = 1 \rangle\) : \(\sigma_i\) change la composante de dimension \(i\) du drapeau.³⁶

La surface à bord, et le cas des pseudo-droites

La subdivision barycentrique de \(\mathcal{C}\), qui est aussi celle de \(\mathcal{C}^{*}\), a pour faces les drapeaux. Une seconde construction donne la surface privée de petits disques autour des centres des faces de \(\mathcal{C}\) : on « enlève les coins » de chaque \(\operatorname{Dis}_s\), ce qui donne un polygone \(\operatorname{Dis}'_s\) d'ordre \(2\nu_s\), dont les côtés alternent entre côtés de recollement, qui correspondent aux arêtes issues de \(s\), et côtés libres, qui correspondent aux coins. En ne recollant que les côtés de recollement, on obtient une carte à bord dont les faces sont les \(\operatorname{Dis}'_s\) et dont les composantes du bord correspondent aux faces de \(\mathcal{C}\), c'est-à-dire aux orbites du groupe diédral \(\langle \sigma_0, \sigma_1 \rangle\), qui contient \(\langle \rho_{\mathrm{face}} \rangle\) comme sous-groupe d'indice \(1\) ou \(2\). Chaque composante du bord est un polygone, canoniquement isomorphe au dual du polygone de la face correspondante.

Dans le cas qui intéresse le dossier — la carte de toutes les positions relatives d'un système de pseudo-droites —, les faces sont d'ordre divisant \(4\), et parmi les quatre côtés de chaque composante du bord, qui correspond à un coin de la carte, l'un est privilégié. Mais ce qui le distingue ne dépend pas seulement du sommet, et dépend du coin : on ne peut donc pas espérer, en général, réaliser \(\mathcal{C}\) comme la réunion de deux graphes \(\gamma\), \(\gamma^{*}\) associés à deux cartes duales l'une de l'autre sur la surface.³⁷

33–42

Le disque d'une position, ses arcs, et le recollement (pages 33 à 42)

Le disque \(\Delta_L\) et son système de cordes

Soit \(L\) une position relative non triviale. Une bande de Möbius étroite \(B_L\) autour de \(L\) a pour bord le revêtement des rives \(\widetilde{L}\), et le complémentaire de son intérieur est un disque \(\Delta_L\). Toute \(D_i\) coupe \(\partial\Delta_L = \widetilde{L}\) en exactement deux points, et sa trace \(d_i = D_i \cap \Delta_L\) est un segment. Le système de cordes \((d_i)\) a les propriétés suivantes.

• a)Deux cordes se coupent en au plus un point, intérieur à \(\Delta_L\), et s'y croisent.
• b)La relation « \(d_i\) et \(d_j\) ne se croisent pas dans \(\Delta_L\) » — le parallélisme — est une relation d'équivalence ; une classe de \(\nu \geqslant 2\) cordes a ses \(2\nu\) extrémités réparties en deux segments antipodiques \(S'\), \(S''\) de \(\nu\) points consécutifs de \(\partial\Delta_L\).³⁸

Ces conditions combinatoires, nécessaires pour que le système de cordes soit celui d'une position relative, sont données comme suffisantes — sans démonstration.³⁹ En choisissant un représentant dans chaque classe de parallélisme, on obtient un système de cordes strict, où deux cordes quelconques se croisent — l'image d'un arrangement de pseudo-droites dans un disque, celle qu'étudie le dossier 80.

Les arcs de transition

Sur le bord \(\widetilde{L}\), plusieurs familles d'arcs.

• Les arcs de générisation : les deux arcs interceptés par \(S'\) et \(S''\) pour chaque classe de parallélisme ; à l'antipodisme près, ils sont en bijection avec \(L \cap S\).
• Les arcs de spécialisation ordinaires : on considère les ensembles \(\sigma\) de sommets du bord qui forment un arc combinatoire, avec \(\operatorname{card}\sigma \geqslant 2\), tels que les cordes issues des points de \(\sigma\) passent par un même sommet \(t\) de \(\Sigma\) et épuisent les cordes qui passent par \(t\), et dont les extrémités ne sont pas dans un arc de générisation. Pour deux points voisins \(s\), \(s'\) de \(\sigma\) il existe alors un unique triangle de \(\Sigma\) de sommets \(t\), \(s\), \(s'\) ; leur réunion est un triangle de spécialisation, et sa base l'arc de spécialisation.
• Les arcs de spécialisation exceptionnels, qui correspondent aux couloirs de \(\Sigma \cup \lbrace L \rbrace\) adjacents à \(L\) dont le sommet est un sommet de \(\Sigma\) : ce sont des arcs ouverts de \(\widetilde{L}\) délimités par une classe de parallélisme. Ils ne rencontrent aucun arc de spécialisation ordinaire ni aucun arc de générisation.

\(L\) a deux arcs exceptionnels si et seulement si elle est la « bissectrice » d'un couloir ; elle n'a alors pas d'autre arc de spécialisation et exactement deux arcs de générisation, et ces quatre arcs sont les arêtes d'une structure de polygone sur \(\widetilde{L}\). Dans tous les cas, deux arcs de transition distincts (de spécialisation ou de générisation) ne se rencontrent que si l'un est un arc de spécialisation exceptionnel et l'autre un arc de générisation, et ils sont alors adjacents.

Les sommets de transition, extrémités des arcs de transition, découpent \(\widetilde{L}\) en arcs de trois types : de générisation, de spécialisation, et les autres, les arcs caractéristiques ou arcs d'inertie. Quitte à rétrécir un peu les arcs exceptionnels — à les arrêter aux premiers sommets qui suivent leurs extrémités —, les arcs de transition deviennent deux à deux disjoints, et de deux arcs caractéristiques adjacents un et un seul est un arc d'inertie.⁴⁰

Les arcs de générisation servent à ce que leur nom dit : la générisation consiste à « écarter les brins » au-dessus de l'arc. Dans \(X\), c'est un décollement du sommet \(s\) de \(\Sigma\) dans la direction de l'arc, qui « pousse » sur \(L\) ; le polygone \(\widetilde{L}\), à isomorphisme combinatoire canonique près, n'en est pas changé.⁴¹

Le recollement, première version

Si \((L, a)\) et \((L', a')\) se correspondent — \(a\) arc de générisation de \(L\), \(a'\) arc de spécialisation de \(L'\) —, on attache \(\Delta_L\) à \(\Delta_{L'}\) en identifiant \(a\) à \(a'\), par l'application qui envoie chaque extrémité de l'un sur l'extrémité de l'autre qui appartient à la même pseudo-droite, donc en intervertissant les extrémités. Mais, « réflexion faite », ce recollement correspond, sur les orientations \(\omega(\Delta_L) \simeq \omega(L)\) et \(\omega(\Delta_{L'}) \simeq \omega(L')\), à l'isomorphisme évident, et ce n'est pas le bon : il faut prendre celui qui fixe \(s\) et \(t\) et échange \(D\) et \(D'\), la symétrie par rapport à l'axe \((s, t) = a\). Le transport des orientations est alors l'opposé de l'isomorphisme tautologique.⁴²

Avec cette identification, toutes les faces de la carte obtenue sont d'ordre \(4\). Leurs coins, qui viennent des arcs d'inertie, ont des côtés de trois types — spécialisation, générisation, mixte — et, en faisant le tour d'une face à partir du côté de spécialisation, on rencontre dans l'ordre les transitions \[\begin{gather*} \text{spécialisation} \to \text{spécialisation}, \qquad \text{générisation} \to \text{spécialisation}, \\ \text{générisation} - \text{générisation}, \qquad \text{spécialisation} \to \text{générisation}, \end{gather*}\] soit une arête du type spécialisation, une du type générisation et deux du type mixte. Les faces correspondent bijectivement aux couples \((L, a)\) où \(a\) est un arc d'inertie du type spécialisation — ou du type générisation, les deux descriptions se correspondant.⁴³

Les trous, et les positions supercritiques

La construction n'est pas complète : on a laissé de côté les positions supercritiques et les arcs qui y mènent. Après avoir bouché les « trous quadrangulaires » — circuits de quatre arcs d'inertie —, il reste des trous à boucher par les disques des positions supercritiques, qu'il faut recoller le long des arcs de spécialisation exceptionnels, restés libres. La page 40 en donne le cadre : un graphe \(\Gamma = (S, \vec{A}, \sigma)\) dont certaines arêtes sont libres, laissées fixes par l'involution \(\sigma\), « arêtes orientées sans extrémité » ; en recollant les \(\operatorname{Dis}_s\) le long des arêtes ordinaires seulement, on obtient toujours une surface à bord. Il faut donc étudier les circuits formés d'arcs de spécialisation exceptionnels, et voir comment les boucher.⁴⁴

Pour \(L = D_i \in \Sigma\), on définit encore \(\Delta_L\) en voyant \(D_i\) comme position relative par rapport à \(\Sigma \smallsetminus \lbrace D_i \rbrace\) : un disque avec \(n - 1\) cordes, et un polygone d'ordre \(2(n-1)\). La spécialisation d'une position \(L\) vers \(D\) le long d'un couloir revient, sur \(\Delta_L\), à « tirer » l'arc de spécialisation par-dessus \(D\) ; la configuration obtenue est canoniquement celle de \((D, \Delta_D)\), et l'on recolle \(\Delta_L\) à \(\Delta_D\) par cet isomorphisme, dont le transport des orientations est à nouveau l'opposé de l'isomorphisme tautologique. L'ennui est que les arcs de générisation de \(D\) empiètent les uns sur les autres : chaque sommet de \(D\) en détermine deux.

Remède : « multiplier » chaque \(D \in \Sigma\) en autant d'exemplaires qu'elle a de sommets. Pour un couple \((D, s)\) il y a alors exactement deux arcs de générisation exceptionnels, qui n'empiètent pas : si \(s\) est un sommet double, ce sont les deux côtés d'un bigone ; sinon, avec les arcs ordinaires, ils forment un polygone. Dans les deux cas il n'y a pas d'arc d'inertie — « ce qui est un triomphe ! » — et l'on complète la surface en une surface compacte en recollant des bigones ou des carrés.⁴⁵

43–46

Le déploiement en axiomes (pages 43 à 54, 31 décembre 1983 au 2 janvier 1984)

Le 31 décembre, une nouvelle rédaction, titrée « Déploiement d'un système de pseudo-droites », renverse la démarche : au lieu de construire la surface, on en écrit les propriétés, de sorte qu'on puisse la reconnaître et, à la fin, reconstituer \(\Sigma\) à partir d'elle.⁴⁶

Les axiomes

Un déploiement de \(\Sigma\) est une surface compacte \(\mathcal{X} = \mathcal{X}(\Sigma)\) munie de deux graphes \(K\) et \(L\) qui la découpent cellulairement, avec les propriétés suivantes.

• a)Tous les sommets de \(K\) sont d'ordre \(4\) ; ceux de \(L\) sont d'ordre pair.
• b)Toute arête de \(K\) contient au plus un sommet de \(L\).
• c)La réunion \(K_0\) des adhérences des arêtes de \(K\) qui ne contiennent aucun sommet de \(L\) — les arêtes exceptionnelles — est une réunion finie de cercles. Il revient au même de dire que les voisins d'une arête exceptionnelle sont exceptionnels et que de tout sommet de \(K\) part au moins une arête ordinaire.
• d)Soit \(K_1\) la réunion des arêtes ordinaires, de sorte que \(K = K_0 \cup K_1\). On se donne, pour chaque arête ordinaire, une rive privilégiée : une section du revêtement des bords de l'immersion du déployé \(K'_1\) dans \(\mathcal{X}\).⁴⁷
• e)Un sommet exceptionnel — incident à une arête exceptionnelle — porte une multiplicité, lue sur les arêtes ordinaires qui en partent.⁴⁸
• f)En tout point \(x \in K \cap L\), les branches de \(K\) et de \(L\) se croisent, et trois cas se présentent : \(x\) n'est pas un sommet de \(L\) (il n'est alors pas un sommet de \(K\)) ; \(x\) est un sommet de \(L\) mais pas de \(K\) ; \(x\) est un sommet des deux. Un sommet exceptionnel de \(K\) n'est pas sur \(L\) (f').
• g)Pour un sommet ordinaire \(s\) de \(K\), le nombre de points de \(L\) entre \(s\) et l'unique sommet de \(L\) sur chacune des quatre arêtes issues de \(s\) ne dépend pas de l'arête ; on le note \(\nu(s)\), et l'on pose \(\varepsilon(s) = 1\) si \(s \in L\), \(\varepsilon(s) = 0\) sinon.⁴⁹
• h)Pour toute face \(F\) de \(K\), le nombre de points de \(L\) sur \(\partial F\), comptés avec leur multiplicité réduite, est \(2n\) ; pour une face ordinaire : \[ \sum_{s \text{ sommet de } F} \bigl( 2\nu(s) + \varepsilon(s) \bigr) \;+\; \sum_{a \text{ arête de } F} \nu(a) \;=\; 2n . \]

Le sens de ces axiomes : une face de \(K\) est le disque d'une position, son bord porte les \(2n\) points du polygone \(\operatorname{Pol}(D)\), et \(L\) est la trace des pseudo-droites de \(\Sigma\).

L'indexation

Les cellules de \((\mathcal{X}, K)\) sont indexées par la géométrie de \(\Sigma\) :

• les faces, par les positions relatives non supercritiques ; on note \(F_D\) la face de \(D\) ;
• les arêtes, par les couples \((D, D')\) où \(D \to D'\) est une spécialisation immédiate, l'arête étant ordinaire si et seulement si c'est une vraie spécialisation, et sa rive privilégiée celle de \(F_D\) ;
• les sommets ordinaires, par les quadruplets \((D, t, t', \beta)\) où \(D\) est une position non supercritique, \(t\) et \(t'\) deux triangles de spécialisation pour \(D\) et \(\beta\) l'arc de \(\widetilde{D}\) compris entre leurs arcs : les quatre faces autour du sommet sont \(D\), ses spécialisations \(D'\), \(D''\) à travers \(t\) et à travers \(t'\), et \(D'''\) à travers les deux à la fois ;⁵⁰
• les sommets exceptionnels, par les drapeaux \((s, a)\) de type \((0, 1)\) de \(\Sigma\) : un sommet \(s\) et une arête \(a\) d'une \(D_i\) en \(s\).

« Ces indications suffisent à construire le tout cellulaire \((\mathcal{X}, K)\), qui est une géométrie d'incidence. »

Corollaire (page 44). Les composantes connexes de \(K_0\) sont indexées par \(I\), et la composante \(K(i)\) est combinatoirement isomorphe à \(\widetilde{D}_i\), l'isomorphisme dépendant du choix d'une orientation de \(D_i\).

L'application structurale

(i) On a une application \(\varphi : \mathcal{X} \to X\), « l'application structurale », qui au voisinage des arêtes de \(K\) a la structure d'un « folding » (un pli) et au voisinage des sommets de \(K\) celle d'un « double folding », et telle que \[ K \cap L = (\varphi|_K)^{-1}(X_1) . \] La page écrit aussi \(L = \varphi^{-1}(X_1)\) ; ce n'est vrai qu'en dehors de \(K_0\), puisque chaque cercle exceptionnel \(K(i)\) revêt \(D_i\) par le corollaire précédent. L'énoncé juste est \[ \varphi^{-1}(X_1) = L \cup K_0 , \] et c'est celui que donne la page 159, le lendemain.⁵¹

Corollaire (page 45). Un point \(s \in K \cap L\) a pour image un sommet de \(\Sigma\) si et seulement si c'est un point critique de \(K\).

(j) Soit \(F\) une face. Aux points critiques \(s\) de \(K\) sur \(\partial F\) dont la rive privilégiée est extérieure à \(F\), corrigeons le contour de \(F\) par un petit renflement du côté privilégié, et soit \(F' \supset F\) la face ainsi corrigée. Alors la position relative de \(F\) est \(\varphi(\partial F')\), et la situation affine correspondante — le disque \(\Delta_D\) et ses cordes — est canoniquement isomorphe à \((F', F' \cap L)\).

k) à n) Une arête exceptionnelle est stable ou instable selon que ses deux positions incidentes sont stables ou non ; en un sommet exceptionnel, la rive privilégiée de la branche ordinaire est du côté de l'arête instable. Une loi de symétrie règle la structure autour d'une arête exceptionnelle, et l'indice des arêtes exceptionnelles se déduit des autres données numériques.⁵² La page en dessine une « figure canonique ».⁵³

\begin{tikzpicture}[scale=0.8, line cap=round,
  pd/.style={gorange, thick}, v/.style={gvertclair, line width=1.6pt}]
% les verticales vert clair, et l'axe, brun et vert foncé en alternance, avec ses marques bleues
\draw[v] (0,-2.1) -- (0,2.1);
\draw[v] (2.3,-2.1) -- (2.3,2.1);
\draw[v] (4.15,-2.1) -- (4.15,2.1);
\draw[v] (6.05,-2.1) -- (6.05,2.1);
\draw[v] (7.5,-2.1) -- (7.5,2.1);
\draw[v] (9.75,-2.1) -- (9.75,2.1);
\draw[gvertfonce, line width=1.8pt] (-.6,0) -- (0,0);
\draw[gbrun, line width=1.8pt] (0,0) -- (2.3,0);
\draw[gvertfonce, line width=1.8pt] (2.3,0) -- (4.15,0);
\draw[gbrun, line width=1.8pt] (4.15,0) -- (6.05,0);
\draw[gvertfonce, line width=1.8pt] (6.05,0) -- (7.5,0);
\draw[gbrun, line width=1.8pt] (7.5,0) -- (9.75,0);
\draw[gvertfonce, line width=1.8pt] (9.75,0) -- (10.35,0);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (0.08,-.16) -- (0.08,.16);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (2.38,-.16) -- (2.38,.16);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (4.23,-.16) -- (4.23,.16);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (6.13,-.16) -- (6.13,.16);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (7.58,-.16) -- (7.58,.16);
\draw[gbleu, line width=1.6pt] (9.83,-.16) -- (9.83,.16);
% au-dessus et au-dessous, les pseudo-droites orange qui se croisent sur les verticales
\draw[pd] (0,1.3) parabola bend (1.15,0.95) (2.3,1.3);
\draw[pd] (0,1.3) parabola bend (1.15,1.75) (2.3,1.3);
\draw[pd] (2.3,1.3) parabola bend (3.23,0.95) (4.15,1.3);
\draw[pd] (2.3,1.3) parabola bend (3.23,1.75) (4.15,1.3);
\draw[pd] (4.15,1.3) parabola bend (5.1,0.95) (6.05,1.3);
\draw[pd] (6.05,1.3) parabola bend (6.78,0.95) (7.5,1.3);
\draw[pd] (6.05,1.3) parabola bend (6.78,1.75) (7.5,1.3);
\draw[pd] (7.5,1.3) parabola bend (8.62,0.95) (9.75,1.3);
\draw[pd] (-0.22,1.18) -- (0.22,1.42) (-0.22,1.42) -- (0.22,1.18);
\draw[pd] (2.08,1.18) -- (2.52,1.42) (2.08,1.42) -- (2.52,1.18);
\draw[pd] (3.93,1.18) -- (4.37,1.42) (3.93,1.42) -- (4.37,1.18);
\draw[pd] (5.83,1.18) -- (6.27,1.42) (5.83,1.42) -- (6.27,1.18);
\draw[pd] (7.28,1.18) -- (7.72,1.42) (7.28,1.42) -- (7.72,1.18);
\draw[pd] (9.53,1.18) -- (9.97,1.42) (9.53,1.42) -- (9.97,1.18);
\draw[pd] (0,-1.3) parabola bend (1.15,-0.95) (2.3,-1.3);
\draw[pd] (2.3,-1.3) parabola bend (3.23,-0.95) (4.15,-1.3);
\draw[pd] (2.3,-1.3) parabola bend (3.23,-1.75) (4.15,-1.3);
\draw[pd] (4.15,-1.3) parabola bend (5.1,-0.95) (6.05,-1.3);
\draw[pd] (6.05,-1.3) parabola bend (6.78,-0.95) (7.5,-1.3);
\draw[pd] (6.05,-1.3) parabola bend (6.78,-1.75) (7.5,-1.3);
\draw[pd] (7.5,-1.3) parabola bend (8.62,-0.95) (9.75,-1.3);
\draw[pd] (-0.22,-1.18) -- (0.22,-1.42) (-0.22,-1.42) -- (0.22,-1.18);
\draw[pd] (2.08,-1.18) -- (2.52,-1.42) (2.08,-1.42) -- (2.52,-1.18);
\draw[pd] (3.93,-1.18) -- (4.37,-1.42) (3.93,-1.42) -- (4.37,-1.18);
\draw[pd] (5.83,-1.18) -- (6.27,-1.42) (5.83,-1.42) -- (6.27,-1.18);
\draw[pd] (7.28,-1.18) -- (7.72,-1.42) (7.28,-1.42) -- (7.72,-1.18);
\draw[pd] (9.53,-1.18) -- (9.97,-1.42) (9.53,-1.42) -- (9.97,-1.18);
% le fuseau hachuré au crayon
\draw[black!75, thin] (0.13,1.28) -- (0.25,1.41);
\draw[black!75, thin] (0.32,1.26) -- (0.44,1.52);
\draw[black!75, thin] (0.51,1.25) -- (0.64,1.61);
\draw[black!75, thin] (0.71,1.24) -- (0.83,1.67);
\draw[black!75, thin] (0.9,1.23) -- (1.02,1.71);
\draw[black!75, thin] (1.09,1.23) -- (1.21,1.72);
\draw[black!75, thin] (1.28,1.23) -- (1.4,1.71);
\draw[black!75, thin] (1.47,1.24) -- (1.59,1.67);
\draw[black!75, thin] (1.66,1.25) -- (1.78,1.61);
\draw[black!75, thin] (1.86,1.26) -- (1.98,1.52);
\draw[black!75, thin] (2.05,1.28) -- (2.17,1.41);
% les pseudo-droites qui traversent l'axe, seules ou par paires en fuseau
\draw[pd] (0.69,1.01) -- (0.69,-1.01);
\draw[pd] (1.17,0.95) .. controls (1.01,.5) and (1.01,-.5) .. (1.17,-0.95);
\draw[pd] (1.17,0.95) .. controls (1.33,.5) and (1.33,-.5) .. (1.17,-0.95);
\draw[pd] (1.61,1.01) -- (1.61,-1.01);
\draw[pd] (2.74,1.04) -- (2.74,-1.04);
\draw[pd] (3.13,0.95) .. controls (2.97,.5) and (2.97,-.5) .. (3.13,-0.95);
\draw[pd] (3.13,0.95) .. controls (3.29,.5) and (3.29,-.5) .. (3.13,-0.95);
\draw[pd] (3.56,1) -- (3.56,-1);
\draw[pd] (3.82,1.09) .. controls (3.66,.5) and (3.66,-.5) .. (3.82,-1.09);
\draw[pd] (3.82,1.09) .. controls (3.98,.5) and (3.98,-.5) .. (3.82,-1.09);
\draw[pd] (4.55,1.07) -- (4.55,-1.07);
\draw[pd] (4.93,0.96) -- (4.93,-0.96);
\draw[pd] (5.35,0.97) -- (5.35,-0.97);
\draw[pd] (5.59,1.04) -- (5.59,-1.04);
\draw[pd] (6.7,0.95) -- (6.7,-0.95);
\draw[pd] (8.04,1.04) .. controls (7.88,.5) and (7.88,-.5) .. (8.04,-1.04);
\draw[pd] (8.04,1.04) .. controls (8.2,.5) and (8.2,-.5) .. (8.04,-1.04);
\draw[pd] (8.45,0.96) -- (8.45,-0.96);
\draw[pd] (8.83,0.96) .. controls (8.67,.5) and (8.67,-.5) .. (8.83,-0.96);
\draw[pd] (8.83,0.96) .. controls (8.99,.5) and (8.99,-.5) .. (8.83,-0.96);
\draw[pd] (9.21,1.04) -- (9.21,-1.04);
\draw[pd] (9.46,1.14) -- (9.46,-1.14);
% au-dessus, les deux petites étoiles orange sur leurs traits vert et bleu
\draw[gvertclair, line width=1.4pt] (2.55,2.45) -- (3.45,2.45);
\draw[gbleu, line width=1.4pt] (2.8,2.6) -- (3.2,2.6);
\draw[pd] (3,2.2) -- (3,2.9) (2.75,2.25) -- (3.25,2.85) (2.75,2.85) -- (3.25,2.25);
\draw[gvertclair, line width=1.4pt] (4.5,2.45) -- (5.4,2.45);
\draw[gbleu, line width=1.4pt] (4.75,2.6) -- (5.15,2.6);
\draw[pd] (4.95,2.2) -- (4.95,2.9) (4.7,2.25) -- (5.2,2.85) (4.7,2.85) -- (5.2,2.25);
\end{tikzpicture}

Les sections de \(L\) sur les faces sont indexées par \(\widetilde{I}\) (m), et l'on doit pouvoir reconstituer \(\Sigma\) à partir de \(K\) et des données numériques \(\varepsilon(s) \in \lbrace 0, 1 \rbrace\), \(\nu(s) \in \mathbf{N}\), \(\nu(a)\) (n). Enfin il y a aussi une loi de symétrie autour d'une arête ordinaire \(a\) : si \(F'\), \(F''\) sont les deux faces incidentes et \(T\) un voisinage tubulaire de \(K \cup L\), une involution \(\sigma_a\) de \(T_a = (F' \cup F'') \cap T\) qui fixe \(a\) point par point et respecte la structure cellulaire induite par \(K \cup L\) ; pour deux arêtes incidentes au même sommet, \(\sigma_a\) et \(\sigma_b\) commutent sur \(T_a \cap T_b\).

47–54

La structure de \(K\) : sommets rouges et noirs, signes (pages 47 à 54)

On ajoute à \(K\) des sommets d'ordre \(2\) ; l'ensemble des sommets devient \(S_K = S'_K \amalg S''_K\), sommets « rouges » et « noirs » (ou orangés), comme sur les figures. Deux rédactions du placement de ces sommets, toutes deux du 2 janvier, se suivent aux pages 48 et 50 ; la seconde s'énonce ainsi : pour toute face \(F\), \(\partial F \cap S'_K\) est un polygone d'ordre \(2n\), et chacune de ses arêtes porte un point de \(S''_K\) et un seul ; les points rouges sur \(L\) sont les points de \(K \cap L\) autres que les points critiques d'ordre pair ; toute arête de \(K\) rencontre \(S'_K\) ; et près d'un point critique \(s\), le segment entre les deux points de \(L\) les plus proches contient \(\nu(s)\) points rouges.⁵⁴

Les signes. Chaque arête \(a\) d'une face \(F\) porte un signe \(\varepsilon_F(a) = \pm 1\), et l'on a les règles : \(\varepsilon_{F'}(a) = -\varepsilon_F(a)\) si \(F\) et \(F'\) sont les deux faces incidentes à \(a\) ; \(\varepsilon_F(a) = \varepsilon_F(b)\) si \(a\) et \(b\) sont adjacentes sur \(F\) en un sommet d'ordre \(2\) ; et \(\varepsilon_{F_1}(a_1) = \varepsilon_{F_2}(a_2)\) si \(F_1\), \(F_2\) sont adjacentes le long d'une arête \(b\) d'extrémité \(s\) d'ordre \(4\), \(a_i\) étant l'autre arête de \(F_i\) en \(s\).⁵⁵

Les bijections de symétrie. Toutes les faces ayant un polygone \(\operatorname{Pol}(F)\) du même ordre \(2n\), une arête \(a\) commune à \(F\) et \(F'\) définit une bijection de symétrie \[ \sigma_a^F : \operatorname{Pol}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pol}(F'), \qquad \sigma_a^F \sigma_a^{F'} = \mathrm{id}, \] caractérisée par le fait qu'elle fixe les deux extrémités de \(a\) ; elle fixe alors tout ce qui est sur la « grande arête » qui contient \(a\), entre les sommets d'ordre \(4\) les plus proches. « J'aimerais comprendre la relation entre les \(\sigma_a^F\) et les signes \(\varepsilon_F(a)\) » (page 49) : c'est la question que les pages suivantes attaquent, sans la résoudre entièrement.⁵⁶

Les points critiques. Soit \(C_K \subset S_K\) l'ensemble des points critiques : des sommets d'ordre \(2\), un exactement sur chaque grande arête non exceptionnelle, munis d'un poids \(\nu(s) \geqslant 1\) dont la parité dit la couleur.⁵⁷ On a : si \(s\) est critique sur \(F\) et \(s'\) son antipodique sur \(\partial F\), le signe vaut \(+1\) si et seulement si \(s'\) est aussi critique ; il y a au moins trois points critiques sur tout \(\partial F\), et au moins un de signe \(+1\) ; de chacun des deux arcs ouverts découpés par \(s\) et son antipodique, l'un au moins contient un point critique. La page 51 compare les points critiques de \(F\) et de \(F' = \sigma_a(F)\) le long d'une grande arête \(a\) : une bijection entre les points critiques de deux arcs qui se correspondent, qui conserve les signes sauf au point \(s\) de \(a\), où il change ; et un nombre \(N'\) de sommets d'un certain arc de \(F'\) compris entre \(N - 1\) et \(N + 1\).⁵⁸

Proposition (page 53). Soit \(a\) une grande arête de la face \(F\), et \(F' = \sigma_a(F)\) la face adjacente le long de \(a\). Soit \(A\) la réunion des grandes arêtes \(\alpha\) de \(F\) telles que \(\sigma_a(\alpha)\) soit une grande arête de \(F'\).

• a)\(A\) est un arc de \(\partial F\). Soit \(B\) l'arc complémentaire ; les nombres de grandes arêtes \(n_a(F)\) et \(n_a(F')\) qu'il porte, sur \(F\) et sur \(F'\), sont compris entre \(3\) et \(5\), et les possibilités sont, à l'échange de \(F\) et \(F'\) près, \((3, 3)\), \((3, 4)\) et \((3, 5)\). Dans les cas inégaux, c'est la face spéciale qui porte \(3\) arêtes, ce qui suffit à la déterminer.
• b)Pour une petite arête \(\alpha \neq a\) de \(F\) contenue dans \(A\), \(\varepsilon_{F'}(\alpha) = \varepsilon_F(\alpha)\) ; pour \(\alpha = a\), \(\varepsilon_{F'}(a) = -\varepsilon_F(a)\).
• c)Les distributions possibles des grandes arêtes sur \(B\) et de leurs signes sont les trois configurations \(1^{\circ}\), \(2^{\circ}\), \(3^{\circ}\) que la page dessine :

\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
  clair/.style={circle, fill=gvertclair, inner sep=1.7pt},
  fonce/.style={circle, fill=gvertfonce, inner sep=1.7pt},
  bout/.style={circle, fill=gvertfonce, draw=gvertclair, line width=.9pt, inner sep=1.3pt},
  every node/.style={font=\small}]
\foreach \n/\x/\foncs/\signes in {
    1/0/{90}/{180/90/\varepsilon_1, 90/0/\varepsilon_2},
    2/6/{140,40}/{180/140/\varepsilon_1, 140/40/-1, 40/0/\varepsilon_2},
    3/12/{140,90,40}/{180/140/\varepsilon_1, 140/90/-1, 90/40/-1, 40/0/\varepsilon_2}} {
  \begin{scope}[xshift=\x cm]
    \node at (-2.7, 1.8) {$\n^{\circ})$};
    % dehors, l'arc aux sommets clairs ; dedans, l'arc aux sommets foncés
    \draw (180:2 and 1.6) arc[start angle=180, end angle=0, x radius=2, y radius=1.6];
    \draw (180:2 and 1.15) arc[start angle=180, end angle=0, x radius=2, y radius=1.15];
    \foreach \a/\b/\l in {180/125/\varepsilon_1, 125/55/+1, 55/0/\varepsilon_2}
      \node at ({(\a+\b)/2}:2.45 and 2.05) {$\l$};
    \foreach \a/\b/\l in \signes
      \node at ({(\a+\b)/2}:1.5 and .72) {$\l$};
    \foreach \a in \foncs \node[fonce] at (\a:2 and 1.15) {};
    \node[clair] at (125:2 and 1.6) {};
    \node[clair] at (55:2 and 1.6) {};
    \node[bout] at (180:2 and 1.6) {};
    \node[bout] at (0:2 and 1.6) {};
  \end{scope}
}
% les lettres que la page porte en 1°) et 2°)
\foreach \x in {0, 6} {
  \begin{scope}[xshift=\x cm]
    \node[left] at (180:2.05 and 1.6) {$u$};
    \node[right] at (0:2.05 and 1.6) {$v$};
    \node at (118:2.35 and 1.95) {$x$};
    \node at (62:2.35 and 1.95) {$y$};
  \end{scope}
}
\node at (90:2 and .78) {$r$};
\node at ([xshift=6cm]128:2 and .95) {$r$};
\node at ([xshift=6cm]52:2 and .95) {$s$};
\end{tikzpicture}

Les trois cas sont numérotés sur la page sans être rattachés aux trois couples ; d'après la page 54, le cas \(2^{\circ}\) est le cas « symétrique », donc \((3, 3)\), et les cas \(1^{\circ}\) et \(3^{\circ}\) sont les deux cas inégaux.⁵⁹

Corollaire (page 54). La distribution des signes sur \(F\) détermine celle sur \(F'\). C'est clair dans les cas \(1^{\circ}\) et \(3^{\circ}\), où l'on sait laquelle des deux faces est la spécialisation de l'autre ; dans le cas symétrique, les deux grandes arêtes extrêmes ont les mêmes signes sur \(F\) et sur \(F'\), et celles qui vont par paires ont des signes opposés.

Second corollaire (page 54). Quand on connaît les signes pour une face, on les connaît pour toutes. La page l'appuie sur « la connexité de \(\mathcal{X}\) », qui n'est démontrée nulle part dans le dossier : elle revient à dire qu'on passe de toute position non supercritique à toute autre par une suite de spécialisations et de générisations.⁶⁰

La démonstration suppose que ni \(F\) ni \(F'\) ne correspond à une position supercritique, et « il faudrait que j'examine séparément le cas de telles faces ». Si cela marche, on aurait une description simple des signes à partir de la seule structure \((\mathcal{X}, K, S_K)\), sans points critiques et sans le graphe \(L\).

55–63

La monodromie diédrale (pages 55 à 63, 3 et 4 janvier 1984)

Le transport le long d'une chaîne de faces

Une page de calculs au crayon (page 55) met la loi de symétrie en formules. Soit une chaîne de faces \(F_0, F_1, \ldots, F_p\), chacune recollée à la suivante le long d'une arête \(a_i\), comme la page la dessine.⁶¹

\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={font=\small},
  sommet/.style={circle, fill, inner sep=1.2pt}, >=stealth]
% la droite verticale, parcourue vers le haut
\draw (0,-2.2) -- (0,9.2);
\draw[->, thick] (0,3.3) -- (0,4);
\draw[->, thick] (0,-1.1) -- (0,-.4);
% à droite, les faces F_i, chacune entre les arêtes a_{i-1} et a_i
\foreach \y/\f/\a in {0/F_0/a_0, 1.4/F_1/a_1, 2.8/F_2/a_2, 5.2/F_n/a_n, 6.6/F_{n+1}/a_{n+1}} {
  \draw (0,\y+1.4) -- (1.8,\y+1.4) -- (3,\y+.7) -- (1.8,\y) -- (0,\y);
  \node at (1.95,\y+.7) {$\f$};
  \node[above] at (.7,\y+1.4) {$\a$};
}
\node[below] at (.7,0) {$a_{-1}$};
\node at (1.95,4.75) {$\vdots$};
% à gauche, F_p en face de F_0, et F_{p-1} au-dessous
\foreach \y/\f/\a in {0/F_p/a_p, -1.4/F_{p-1}/a_{p-1}} {
  \draw (0,\y+1.4) -- (-1.8,\y+1.4) -- (-3,\y+.7) -- (-1.8,\y) -- (0,\y);
  \node at (-1.95,\y+.7) {$\f$};
  \node[above] at (-.75,\y+1.4) {$\a$};
}
\node[below] at (-1.1,-1.4) {$a_{p-2}$};
% les sommets dont la page donne lisiblement le nom
\foreach \y/\s in {0/{s_p = s_0}, 1.4/s_1}
  \node[sommet, label={[font=\scriptsize, inner sep=1.5pt]below left:$\s$}] at (0,\y) {};
\node[sommet, label={[font=\scriptsize, inner sep=1.5pt]right:$s_{p-1}$}] at (0,-1.4) {};
\node[right] at (3.2,.4) {$p = 2n$};
\end{tikzpicture}

Pour le tour d'une position supercritique \(D_i\), la chaîne a \(p = 2n\) faces, le signe est \(+1\), et la somme alternée \(\chi_{2n}\) vaut \[ \chi_{2n} = \sum_{s \in D_i \cap S} \bigl( \nu(s) - 1 \bigr) = n - 1 , \] puisque chaque autre pseudo-droite coupe \(D_i\) une fois, en un sommet de multiplicité \(\nu(s)\) où passent \(\nu(s) - 1\) d'entre elles.⁶³

Les images de \(\pi_1\) (3 janvier)

D'où la formule encadrée de la page 57 : le transport parallèle le long d'un demi-tour autour d'une position supercritique est la translation \[ \lambda(t) = t - (n - 1) \] de \(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}\). Or \(\operatorname{pgcd}(n - 1, 2n) = \operatorname{pgcd}(n - 1, 2)\) vaut \(1\) si \(n\) est pair et \(2\) si \(n\) est impair. Donc l'image de \(\pi_1(\mathcal{X}) \to \mathbb{D}_{2n}\) contient, si \(n\) est pair, tout le groupe des rotations \(\mathbb{D}^{+}_{2n} \simeq \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}\), et elle est d'indice \(1\) ou \(2\) ; si \(n\) est impair, elle contient le sous-groupe des rotations d'un nombre pair de pas, isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et elle est d'indice \(1\), \(2\) ou \(4\).⁶⁴

Sur le déployé \(\widetilde{\mathcal{X}}\) le long des composantes supercritiques de \(K\), où l'on ne franchit plus les positions supercritiques, seuls les tours complets restent, et l'on trouve la translation \(t \mapsto t - 2(n - 1)\) ; comme \(\operatorname{pgcd}(2(n-1), 2n) = 2\), l'image contient \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), sous-groupe d'indice \(4\) de quotient \(\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\). Cela ne dit rien de l'image dans le groupe \(\lbrace \pm 1 \rbrace\) par le caractère d'orientation \(\mathbb{D}_{2n} \to \lbrace \pm 1 \rbrace\).

La parité des pas

Pour atteindre ce caractère, il faut un lacet qui retourne l'orientation, et c'est une affaire de parité : chaque pas élémentaire est une réflexion. En faisant un demi-tour qui ramène \((D, \omega)\) à \((D, -\omega)\), on compte \[ 2\,(\text{sommets balayés}) + 2\,(\text{droites par-dessus lesquelles on balaie}) + 1 \ (\text{décollage}) + 1 \ (\text{atterrissage}), \] « merveilleux, c'est toujours pair ! ». Mais le raisonnement est incomplet : il faut compter dans le revêtement où l'on traverse les bandes supercritiques, et elles sont d'ordre \(2(n-1)\), non \(2n\). En partant plutôt d'une position voisine de \(D_i\), passant par un sommet \(s\) et déduite de \(D_i\) par un petit pivotement autour de \(s\), chaque droite franchie compte une seule fois, et le nombre de pas est \(2\,(\ldots) + \nu(s)\). L'image du circuit dans \(\lbrace \pm 1 \rbrace\) dépend donc de la parité de l'ordre \(\nu(s)\) de \(s\), et dès que \(\Sigma\) a un sommet double, \(\pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \lbrace \pm 1 \rbrace\) est surjectif. Pour \(n\) pair, joint à ce qui précède, \(\pi_1(\mathcal{X}) \to \mathbb{D}_{2n}\) est surjectif ; « mais peut-être pas » \(\pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n}\) — la question est tranchée à la page 86.⁶⁵

Un tour complet, carré de deux demi-tours, donne un transport qui conserve l'orientation ; la règle, au bout du compte, est que balayer au-dessus d'un sommet compte pour deux pas, et au-dessus d'une position supercritique pour un. « Voilà enfin une façon de voir que \(\pi_1(\mathcal{X}) \to \mathbb{D}_{2n}\) est surjectif » : partant d'une position stable \(D\) proche d'une position supercritique \(D_0\), on la spécialise vers le sommet \(s\) le plus proche, on fait un demi-tour autour de \(s\) et l'on revient ; c'est un nombre pair d'opérations qui change l'orientation de \(D\) et fixe \(s\) — c'est la réflexion par rapport à \(s\). Pour \(n\) pair, cette réflexion et les rotations engendrent \(\mathbb{D}_{2n}\). Pour \(n\) impair, elles n'engendrent que le sous-groupe d'indice \(2\) formé des rotations d'un nombre pair de pas et des réflexions par rapport aux sommets ; il faut encore une réflexion par rapport au milieu d'un côté, que fournissent les demi-circuits de la page 63 et la page 85.⁶⁶

Les caractères (4 janvier)

Pour tout chemin combinatoire \(c\) de faces, de \(F = F_D\) à \(F' = F_{D'}\), on a un isomorphisme de transport parallèle \(\operatorname{Pol}(c) : \operatorname{Pol}(F) \to \operatorname{Pol}(F')\), composé des réflexions le long des arêtes traversées, et donc pour un circuit une représentation \[ u_D : \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \operatorname{Aut}\bigl( \operatorname{Pol}(D) \bigr) \simeq \mathbb{D}_{2n} . \] Le groupe \(\mathbb{D}_{2n}\), pour un polygone d'ordre pair, a pour abélianisé \(\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\), et donc trois caractères non triviaux à valeurs dans \(\lbrace \pm 1 \rbrace\) : l'effet sur les orientations \(\chi_{\ast}\) ; l'effet sur les deux \(n\)-gones inscrits dans le polygone (les sommets de rang pair, ceux de rang impair), \(\chi_s\) ; et l'effet sur les deux classes d'arêtes, \(\chi_a\). Comme \(\omega(F) \simeq \varepsilon_s(F) \wedge \varepsilon_a(F)\), où \(\varepsilon_s\) et \(\varepsilon_a\) sont les ensembles à deux éléments des \(n\)-gones inscrits et des classes d'arêtes, \[ \chi_{\ast} = \chi_s\,\chi_a, \qquad \text{ou, plus symétriquement,} \qquad \chi_{\ast}\,\chi_s\,\chi_a = 1 . \] Ce sont les relations de la page 62.⁶⁷ Deux autres caractères s'y ajoutent : le caractère d'orientation \(\chi_{\mathcal{X}}\) de la surface, et le caractère « combinatoire » \(\chi_c\), qui donne la parité de la longueur d'un lacet. Comme le système local des orientations de la surface est défini par des transitions opposées au transport parallèle, \(\omega_{\mathcal{X}}(c) = \operatorname{par}(c)\,\omega_{\ast}(c)\), d'où \[ \chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast}\,\chi_c . \] C'est ce que dit la page 62, à une lettre près.⁶⁸ On choisit pour caractères fondamentaux \(\chi_{\ast}\), \(\chi_s\), \(\chi_c\), et l'on a \(\chi_a = \chi_{\ast}\chi_s\), \(\chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast}\chi_c\).

Sur les circuits fondamentaux, les valeurs sont les suivantes. Un circuit \(l_{D_i}\) qui franchit une fois la composante exceptionnelle de \(K\) attachée à \(D_i\) agit par \(u(l_{D_i}) = \) translation de \(n - 1\), avec \(\chi_{\mathcal{X}}(l_{D_i}) = 1\) et \(\chi_s(l_{D_i}) = (-1)^{n-1}\). Un demi-circuit autour d'un point de \(X\) — dans une face, sur une arête ou en un sommet — agit par une symétrie ; on les obtient toutes, et donc \[ u_D : \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \operatorname{Aut}(F_D) \ \text{ est surjectif — « ouf ! ».} \] Enfin \(\chi_c\) est trivial : si \(\operatorname{sing}_D\) désigne le nombre de sommets de \(\Sigma\) sur \(D\), le poids d'un pas entre deux positions voisines est congru à \(\operatorname{sing}_{D'} - \operatorname{sing}_D\) modulo \(2\) — on se ramène à un pas élémentaire, où c'est immédiat —, donc le poids d'un circuit est pair. D'où \[ \chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast} : \] « il n'y a pas d'autre caractère que ceux provenant de \(\mathbb{D}_2\) ! ». L'orientabilité de la surface est lue sur l'orientation des positions relatives.⁶⁹

64–80

Huit recollements, et une erreur de deux semaines (pages 64 à 80, 3 janvier 1984)

Les huit façons

Le choix du recollement des pages 37-38 est repris de zéro. Pour recoller \(\Delta_D\) à \(\Delta_{D'}\) le long d'une transition, il y a a priori huit façons « standard » : identifier l'un des deux arcs de transition \(a\), \(a'\) de \(\Delta_{D'}\) (l'arc et son antipodique) à l'un des deux arcs \(b\), \(b'\) de \(\Delta_D\), de l'une des deux manières. Toutes donnent le même graphe \(\Gamma\), mais un choix et celui qu'on en déduit en changeant partout d'antipodique définissent la même semi-circularisation et les mêmes transports d'orientation, donc des surfaces canoniquement isomorphes : il n'y a que quatre surfaces différentes, et l'on peut supposer que l'arc de \(\Delta_D\) est \(b\).⁷⁰

Si l'on veut une application naturelle de la surface recollée dans \(X\), qui sur \(\Delta_D\) et \(\Delta_{D'}\) se réduise aux plongements, il faut recoller \(b\) à \(a\) ; mais en remplaçant \(\Delta_D\) par un disque un peu plus petit \(\Delta^{*}_D\), dont le bord passe par le sommet \(s\), et en recollant le long de l'arc \(b^{*}\) correspondant, on obtient une application dans \(X\) dans tous les cas. Le choix le plus naturel pour l'application dans \(X\) semble alors \(b \leftrightarrow a'\) : la rive d'arrivée « fait face » à celle de départ, une rive se continue par la suivante, et \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion. Mais avec ce choix on n'a plus d'interprétation des trous, ou des sommets quand on les a bouchés, par la géométrie de \(\Sigma\).

« Je m'étais mélangé les pinceaux deux fois »

En vérifiant le transport des orientations, Grothendieck s'aperçoit que, dans les deux cas, l'orientation de \(D'\) qu'on obtient en continuant une orientation de \(\Delta_D\) à travers l'arc recollé est opposée à celle que donne le transport parallèle. Et il fait le compte de ses deux dernières semaines :

Pendant ces deux dernières semaines, c'est cette opération de recollage que j'ai (…). (…) je m'étais mélangé les pinceaux deux fois, il me semble : 1) je m'étais trompé sur les isom. de transition pour les orientations, et 2) je m'étais trompé également sur l'identification associée à une op. de générisation pour \(D'\) par un arc sur \(\partial\Delta_{D'}\) ; on prenait au lieu de la rive « d'en face » celle qui se déduit de \(a\) par transport parallèle, alors que c'est l'autre (l'antipodique), qu'il fallait prendre.⁷¹

Les quatre possibilités

Le bilan tient en une liste.

• A)Recollements qui donnent une application naturelle \(\mathcal{X} \to X\) : l'identification des arcs est celle du transport parallèle, à l'antipodisme près, et, sur les orientations, la transition \(\omega(D) \to \omega(D')\) est l'opposé du transport parallèle. \(A_1\) : on recolle l'arc de spécialisation \(b\) de \(\Delta_D\) à l'arc \(a'\) de la rive opposée ; \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion. \(A_2\) : on recolle \(b\) à l'arc \(a\) qui s'en déduit par transport parallèle ; \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion sur chaque face, mais fait un « retournement » (un pli) le long de chaque arc de transition.
• B)Recollements sans application naturelle dans \(X\) : la transition sur les orientations est le transport parallèle. \(B_1\) : on repère la générisation par l'arc qui fait face — un cas qu'il avait écarté « un peu vite ». \(B_2\) : par l'arc déduit par transport parallèle — un cas où il est impossible de faire tourner une position autour d'un trou.

Vérification faite, « sauf erreur », \(A_1\), \(A_2\) et \(B_1\) donnent les bons circuits autour d'une position supercritique, et seul \(B_2\) les dérange complètement — « or il semblerait que c'était sur \(B_2\) que je m'étais arrêté pendant une paire de semaines, Dieu sait pourquoi ! ». La plus intéressante après \(A_2\) serait \(A_1\), mais il n'arrive pas à en comprendre les circuits.⁷²

La surface des positions stables

On revient (page 71) à une surface faite des seules positions stables. Pour une telle \(D\), \(\Delta_D\) n'a que des arcs de spécialisation, et deux positions \(D\), \(D'\) se déduisent l'une de l'autre par balayage au-dessus d'un sommet ; on recolle le long des antipodiques des arcs de spécialisation, et il n'y a plus d'ambiguïté sur les arcs. Pour une figure symétrique, les couples \((a, b')\) et \((b, a')\) sont exclus par la symétrie, et \((a', b')\) se ramène à \((a, b)\) par antipodisme : restent deux choix du recollement le long de \((a, b)\), « de prolongation des rives ».

• Recoller par le transport parallèle : on obtient une immersion \(\varphi : \mathcal{X} \to X\), un graphe \(K\) dont les faces correspondent aux positions stables, et \(L = \varphi^{-1}(X_1)\) qui matérialise cette correspondance, à condition de renfler chaque face en ses points critiques. Mais l'orientation transportée par le recollement est, « avec surprise », l'opposée de celle du transport parallèle, et les circuits ne sont pas les bons autour des positions supercritiques.
• Recoller par l'opposé du transport parallèle : c'est alors la transition sur les orientations qui est le transport parallèle, et, contrairement à ce qu'il croyait, on trouve les bons circuits autour des positions supercritiques. « Mais les circuits plus généraux restent mystérieux pour moi. »

Les deux procédés donnent la même structure polygonale sur les arcs de spécialisation. Il y en a une autre : sur \(D\) elle-même, et non plus sur \(\widetilde{D}\), les arcs de spécialisation sont deux à deux disjoints, ce qui donne un polygone d'ordre \(n\), réalisé par un disque \(n\)-gonal. La surface faite de \(2n\)-gones ne serait-elle pas un revêtement double de celle faite de \(n\)-gones, ramifié aux centres des faces ? Les antipodismes des \(\Delta^{*}_D\) sont compatibles aux identifications, et le quotient devrait être la carte envisagée.⁷³

La description combinatoire de la surface des positions stables tient en trois données :

1. le graphe \(\Gamma\), dont les sommets sont les positions stables et les arêtes orientées les couples \((D, a)\), \(a\) un arc de transition sur \(D\) — un arc de spécialisation ou l'antipodique d'un tel —, l'opposée de \((D, a)\) étant \((D', a')\), où \(D'\) se déduit de \(D\) par balayage à travers l'antipodique de \(a\) et \(a'\) est l'antipodique du transporté de \(a\) ;
2. la structure polygonale évidente sur les arêtes issues de \(D\) ;
3. le transport des orientations, inverse du transport parallèle.

« Hélas on ne trouve pas les bons circuits supersinguliers » ; en prenant pour 3) le transport parallèle, on les trouve, mais on perd l'application naturelle \(\mathcal{X} \to X\). Une variante qui recolle \(a\) à \(b'\) et \(b\) à \(a'\) garde une application \(\mathcal{X} \to X\), non plus une immersion mais une application pliée le long des arêtes de \(K\) ; elle a la même qualité par antipodisme et les mêmes suites de positions dans les circuits, donc le même défaut.

Le cas des vraies droites

Que se passe-t-il quand \(\Sigma\) est un système de droites d'un vrai plan projectif réel \(X\) ? À chaque droite \(D_i\) correspond un point \(\delta_i\) du plan dual \(X^{\vee}\), et à chaque sommet \(D_i \cap D_j\) la droite \(\delta_i\delta_j\) de \(X^{\vee}\). Supposons \(\Sigma\) simple — les \(\delta_i\) non alignés trois à trois — et, quitte à perturber les \(\delta_i\), les sommets de l'arrangement des \(n(n-1)/2\) droites \(\delta_i\delta_j\) doubles en dehors des \(\delta_i\) eux-mêmes. Une droite \(D\) change de position relative exactement quand elle passe par un sommet \(D_i \cap D_j\), c'est-à-dire quand son point dual traverse la droite \(\delta_i\delta_j\) : les positions relatives de vraies droites sont les cellules de cet arrangement dual, les faces étant les positions stables et les points \(\delta_i\) les positions supercritiques.

Soit \(F\) une face, \(D = D_F\) sa position, et \(a_\alpha\) ses arêtes, portées par les droites \(\Delta_\alpha\) duales des sommets \(s_\alpha\) de \(\Sigma\) ; chacune correspond à une spécialisation \(D \to D_\alpha\) vers \(s_\alpha\), sommet d'un triangle de spécialisation de \(D\). Les orientations de \(F\) correspondent à celles de \(D\), et le transport continu d'une orientation de \(F\) vers la face voisine le long de \(a_\alpha\) correspond au transport continu — « parallèle » — de l'orientation de \(D\) au cours du balayage. Ce dessin « paraît rendre plausible le choix naïf » du transport d'orientation, celui qui donne les bons circuits ; et l'absence d'application naturelle \(\mathcal{X} \to X\) « se rapproche du fait qu'il n'y a pas d'application naturelle \(X^{\vee} \to X\) ».

Suivre une arête \(a_\alpha\) revient à faire pivoter \(D\) autour d'un point \(x\) jusqu'à ce qu'elle passe par \(s_\alpha\), puis à la faire pivoter autour de \(s_\alpha\) ; l'orientation de \(D\), celle du point dual sur \(\Delta_\alpha\) et la rive de balayage forment alors un système « anti-compatible » : l'orientation de la position est opposée à celle qu'induit l'orientation de \(X\) en \(s_\alpha\) sur la rive balayée. On pivote ainsi jusqu'au premier sommet rencontré, qui est aussi celui où le point dual atteint le sommet \(\Delta_\alpha \cap \Delta_\beta\) de la face, et l'on continue.⁷⁴

81–86

Surjectivité, et une généralisation (pages 81 à 100, 5 janvier 1984)

Une table barrée

La page 81, barrée de trois longs traits, dresse la table de trois caractères de la monodromie : \(\chi_0\), l'orientation de la position ; \(\chi_1\), l'effet sur les deux \(n\)-gones inscrits ; \(\chi_2\), la parité. Le caractère d'orientabilité de la surface y est \(\chi_0\chi_2\), ce qui est la relation \(\chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast}\chi_c\) de la page 62 sous d'autres noms. Mais la table donne à \(\chi_2\), sur un demi-tour autour d'un point d'ordre \(\alpha\), la valeur \(\alpha\) (modulo \(2\)), non triviale pour \(\alpha\) impair, alors que la page 63 affirmait \(\chi_c\) trivial. Les deux pages ne portent peut-être pas sur la même surface — celle de la page 85 permet de franchir les positions supercritiques — ; la page 81 est barrée, et le dossier ne revient pas sur la question.⁷⁵

Le revêtement principal est connexe

Le 5 janvier, le résultat. Soit \(\mathcal{X}\) la surface des positions non supercritiques, sans bord, où l'on permet de franchir les positions supercritiques par une arête ou par un sommet, compatiblement aux poids. Alors \(\pi_1(\mathcal{X}, D) \to \operatorname{Aut}\operatorname{Pol}(D) \simeq \mathbb{D}_{2n}\) est surjectif : son image contient, pour chaque arête et chaque sommet, la symétrie correspondante, réalisée par un lacet qui fait faire à \(D\) un demi-tour autour d'un sommet.

Si l'on interdit les franchissements — c'est la surface \(\widetilde{\mathcal{X}}\) —, le même raisonnement ne donne que les réflexions par rapport aux côtés, pas celles par rapport aux sommets. Elles engendrent le sous-groupe d'indice \(2\) formé des rotations d'un nombre pair de pas et des \(n\) réflexions par rapport aux côtés — l'un des trois sous-groupes d'indice \(2\) de \(\mathbb{D}_{2n}\), les deux autres étant le groupe des rotations et celui qu'engendrent les réflexions qui fixent deux sommets.⁷⁶ L'image de \(\pi_1(\widetilde{\mathcal{X}})\) est donc d'indice \(1\) ou \(2\). En comparant un lacet qui franchit une position supercritique au lacet qui la contourne par des demi-tours, et en partant d'une position qui passe par un sommet d'ordre pair, on trouve un lacet de \(\widetilde{\mathcal{X}}\) dont l'effet n'est pas dans ce sous-groupe. Donc, dans tous les cas, \(\pi_1(\widetilde{\mathcal{X}}) \to \mathbb{D}_{2n}\) est surjectif : le revêtement principal de groupe \(\mathbb{D}_{2n}\) de \(\widetilde{\mathcal{X}}\) est connexe.⁷⁷

87–100

Les positions d'un cercle sur une surface quelconque

Le même jour, la page 87 généralise le cadre. Soit \(X\) une surface compacte munie d'un graphe \(X_1\) qui la décompose cellulairement — le cas qui intéresse étant celui où tous les sommets de \(X_1\) sont d'ordre pair, par exemple un système de pseudo-droites. Un cercle \(D \subset X\) est en position standard s'il rencontre \(X_1\), en des points d'ordre pair, et s'il y coupe toutes les branches de \(X_1\). Deux tels cercles sont en même position relative si l'on passe de l'un à l'autre par une isotopie qui garde, à chaque instant, la position standard et l'intersection avec les sommets : il faut que \(D\) et \(D'\) rencontrent les mêmes facettes de \((X, X_1)\), et qu'il existe une famille continue \(f_t\) d'automorphismes de \((X, X_1)\), \(f_0 = \mathrm{id}\), \(f_1(D) = D'\). On définit le balayage au-dessus d'un sommet pair, la spécialisation et la générisation, les arcs de transition sur le revêtement double \(\widetilde{D}\), deux à deux disjoints, et le transport parallèle.

Pour les positions « à une seule rive » — \(\widetilde{D}\) connexe —, les transitions issues de \(D\) forment un polygone, et la construction la plus intrinsèque semble celle où la générisation « tire » sur \(D\) et où le transport des orientations est l'opposé du transport parallèle. Tous les sommets de la surface sont alors d'ordre \(4\), en bijection avec les couples \((D, a)\) où \(a\) est un « arc d'orientation » sur \(\widetilde{D}\) joignant deux points de \(D \cap S(X_1)\). La situation est la plus symétrique quand \(X\) découpé le long de \(D\) est un disque — ce qui revient à dire que \(X\) est un plan projectif réel et \(D\) une pseudo-droite —, condition stable par les opérations élémentaires.⁷⁸

Pourquoi deux sortes de sommets seulement

Les sommets de la surface ne sont pas tous d'ordre \(4\) : il y a une exception quand tout un arc de \(\widetilde{D}\) est un arc d'orientation. Ce qui, pour les pseudo-droites, permet de contrôler les sommets est la propriété suivante, notée (PS) : soit \(a\) un demi-cercle de \(\widetilde{D}\), \(D\) position relative d'un système de pseudo-droites ; alors l'intérieur de \(a\) contient un arc de transition ordinaire, sauf dans deux cas, l'un où les extrémités de \(a\) sont dans des arcs de générisation au-dessus de sommets de \(\Sigma\) et \(D\) se déduit d'une \(D_i\) par une petite rotation autour d'un tel sommet (cas où le point est un sommet), l'autre où elles sont dans des arcs de spécialisation et \(D\) se déduit de même d'une \(D_i\) par rapport à une arête (cas où il n'en est pas).⁷⁹ C'est ce qui assure qu'il n'y a que deux sortes de sommets : ceux d'ordre \(4\), et ceux de type (I), \((D_i, \beta, \omega)\) — une pseudo-droite, une facette \(\beta\) de celle-ci, une orientation de \(X\) en \(\beta\). « Sinon, on n'a pas de contrôle, a priori, sur le type des sommets » : sur une surface quelconque, il n'est pas clair que le transport parallèle des \(\operatorname{Pol}(D)\) provienne d'un système local.

La bande supercritique, et une carte pentagonale

Pour recoller autour d'une position supercritique, on peut aussi aplatir la bande supercritique sur son axe. Le transport parallèle qui franchit une position supercritique n'est alors pas celui que donne l'identification des côtés, mais son antipodique : pour un chemin sur \(\mathcal{X}\), \[ \tau_X = \underline{a}^{\nu}\,\tau_{\mathcal{X}} , \] où \(\tau_{\mathcal{X}}\) est le transport-réflexion sur la surface, \(\underline{a}\) l'antipodisme et \(\nu\) le nombre de franchissements d'une ligne supercritique.⁸⁰

Une remarque isolée (page 94) : une carte dont les sommets et les faces sont d'ordre pair donne naissance à une suite circulaire de cinq involutions, \(\sigma_0, \sigma_f, \sigma_1, \sigma_s, \sigma_2\), qu'il dit commutantes, et donc à une carte « pentagonale » dont les sommets sont d'ordre \(2\) ou \(4\). « Je n'arrive pas bien à visualiser cette dernière carte, en termes de la carte initiale… »⁸¹

La page 96 fixe enfin deux hypothèses : qu'il y ait une pseudo-droite qui ne passe par aucun des deux sommets \(s\), \(t\) considérés (on n'est pas dans le cas \(\mathrm{III}_{p,q}\)), et une qui ne passe par aucun des points \(u\), \(u'\) (pas dans le cas \(\mathrm{I}_n\)) ; quand il n'y en a qu'une, l'arc de spécialisation exceptionnel correspondant est de longueur nulle.⁸²

101–120

Rotation autour d'une face, et caractéristique d'Euler (pages 101 à 120)

Ces vingt feuillets sont, pour plus de la moitié, des dessins ; le texte tient en quelques pages.⁸³

L'opération de rotation

La page 103 définit une opération sur les triplets \((D, \omega, a)\) — une position, une orientation, un arc de transition orienté sur \(\widetilde{D}\) : \(\rho(D, \omega, a) = (D', \omega', a')\), où

• a)\(D'\) se déduit de \(D\) en transitant à travers \(a\) ;
• b)\(\omega'\) est l'orientation opposée à celle qu'on déduit de \(\omega\) par transport ;
• c)\(a'\) est l'arc de transition de \(\widetilde{D}'\) qui suit, dans la direction \(\omega'\), le transporté de \(a\).

C'est la rotation autour d'une face : les triplets \((D, \omega, a)\) sont les repères de la page 31, et \(\rho\) est le parcours \(\sigma_1\sigma_0\) du bord d'une face, pour le transport des orientations opposé au transport parallèle.⁸⁴ Il y a huit cas, groupés selon que \(a\) est un arc de spécialisation ou de générisation ; pour trouver \(a'\), on peut soit prendre l'arc de transition qui suit \(a\) sur \(\widetilde{D}\) dans le sens opposé à \(\omega\) et le transporter par balayage ou anti-balayage, soit transporter d'abord \(a\) en \(b\) et prendre le successeur de \(b\) pour \(\omega'\) — parce qu'une spécialisation induit, entre les arcs de transition de \(\operatorname{Pol}(D)\) non adjacents à \(a\) et ceux de \(\operatorname{Pol}(D')\) distincts de l'antipodique de \(b\), une bijection. La page 104 dessine un cycle de cinq positions qui revient à la première ; elle nomme arcs d'isotopie les arcs qui ne sont pas de transition, et note qu'il faudrait regarder à part les arcs exceptionnels, où il ne devrait pas y avoir de différence.

La bande supercritique

Les pages 110 à 113 comptent, sur la bande supercritique, les sommets de part et d'autre : \(n - \nu\) d'un côté, \((n - 1) - (\nu - 1) - (\nu' - 1) = n - (\nu + \nu' - 1)\) de l'autre, et introduisent un signe \(\varepsilon = +1\) si la face spéciale est « du type sommet », \(-1\) sinon — « Comment trouver la valeur de \(\varepsilon\) ? », sans réponse.⁸⁵ Aux pages 111 et 112, un essai de recollement au voisinage d'un sommet \(s\) fait disparaître le sommet (« non ! ») ; un autre le conserve, mais « je n'arrive pas à suivre les circuits autour d'un trou ». La page 113 note que, pour deux faces voisines, le nombre \(N'\) de sommets d'ordre \(4\) de l'une vaut \(N - 1\) ou \(N\), si \(N\) est celui de l'autre, avec des inégalités \(\alpha', \alpha'' \geqslant 1\), \(\gamma \geqslant 2\).

Un brouillon barré

La page 117, barrée d'un grand X vert, reprend les facettes exceptionnelles du déploiement : autour de chaque cercle exceptionnel \(K(i)\) on dispose d'un couloir canonique, isomorphe au voisinage tubulaire de \(\widetilde{D}_i\) dans \(\widetilde{X}\) ; les faces exceptionnelles adjacentes à \(D_i\) restituent le système \(\Sigma\) vu depuis \(D_i\) ; et, « à cause de la rectification b) », on ne peut plus caractériser les droites exceptionnelles de \(K\) comme celles qui ne contiennent pas de sommet de \(L'\) — ce sont plutôt celles qui peuvent en contenir plusieurs —, et l'on définit \(K'_0\) comme la réunion des composantes du déployé \(K'\) qui n'ont pas de bord global.⁸⁶

La caractéristique d'Euler

La page 119 compte. Si tous les sommets de la surface sont d'ordre \(4\), la somme des ordres des sommets est \(4s_0 = 2s_1\), donc \(s_1 = 2s_0\), et \[ \chi(\mathcal{X}) = s_0 - s_1 + s_2 = s_2 - s_0 , \] où \(s_2\) est le nombre des positions relatives non supercritiques et \(s_0\) celui des couples \((D, a)\), \(a\) un arc d'isotopie du type générisation-générisation, auxquels s'ajoutent les demi-drapeaux de type \((0, 1)\) de \(\Sigma\), au nombre de \(2n(n-1)\) pour un système simple.⁸⁷ C'est le seul endroit où le dossier cherche la topologie de la surface qu'il construit, et il ne va pas plus loin.

La page 118 esquisse la comparaison des deux transports d'orientation, par rotation et par le polygone, avec les écritures \(\omega_D \wedge \omega_{D'}\) et \(\rho_D \simeq \omega_{D'}\) ; elle se lit trop mal pour être restituée.⁸⁸

121–140

Fuseaux et repères (pages 121 à 149)

Dans les dernières soixante pages, le texte se raréfie et les dessins dominent. Le point de vue est désormais fixé : la surface \(X^{*}\) des positions⁸⁹ a pour faces les positions stables, pour arêtes les positions sous-stables, et pour sommets les positions critiques ; dans le cas des vraies droites, c'est exactement l'arrangement dual de la page 77.⁹⁰

Les fuseaux

Un fuseau est le bigone que balaie une position qui pivote autour d'un sommet fixé : « Fuseau \(\longleftrightarrow\) p.r. critique, avec sommet fixé dessus » (page 132). Il porte trois ensembles à deux éléments, ses deux rives \(a\) (les côtés du bigone), ses deux extrémités \(\varpi\) et ses deux orientations \(\Omega\), liés par \[ \Omega \simeq a \wedge \varpi . \] Les positions stables qui entourent un fuseau forment un circuit \(D_1, D_2, \ldots, D_8, D_9 = D_1\) ; ce circuit dépend de la position sous-stable de départ \(D\) avec son sommet \(s\), du choix de sa générisation de départ — une rive \(\rho\) de \(D\) en \(s\) — et d'une orientation \(\omega\) de \(D\), qui donne l'ordre dans lequel on parcourt les triangles ; moyennant \(\rho\), cela revient à se donner une orientation \(\varpi\) de \(X\) en \(s\). On parcourt le circuit inverse en changeant à la fois la rive et l'orientation. Donner \((D, \varpi, \omega)\), c'est donc donner le fuseau avec un « épinglage ».⁹¹

Les quatre involutions

Sur l'ensemble \(\operatorname{Rep}(X^{*})\) des repères de la surface opèrent quatre involutions, \(\sigma_1\), \(\sigma\), \(\sigma_2\), \(\sigma_0\). \(\sigma_2\) fixe \(\varpi\) et change la coorientation de \(D\) ; \(\sigma\) remplace un repère par son symétrique par rapport au sommet origine, et commute à \(\sigma_2\). \(\sigma\) et \(\sigma_2\) s'interprètent donc comme des opérations sur les fuseaux, et il reste à interpréter \(\sigma_1\) et \(\sigma_0\) : les classes modulo \(\sigma_1\) sont les secteurs angulaires de \(X^{*}\), qui correspondent aux « fuseaux locaux » ; pour \(\sigma_0\), la page 137 écrit seulement « \(\sigma_0 = {}\)? ».⁹²

Le dictionnaire de la page 135 fixe les cellules.

• Faces de \(X^{*}\) : les positions stables ; faces orientées : les positions stables orientées.
• Arêtes : les positions sous-stables.
• Repères : les quadruplets \((D, s, \omega, \varpi)\), où \(D\) est une position critique, \(s \in S \cap D\), \(\omega\) une orientation de \(D\) et \(\varpi\) une orientation de \(X\) en \(s\).
• Sommets : les positions critiques ; sommets orientés : les positions critiques orientées.

Un repère est bien un drapeau — un sommet, une arête qui en part, une face qui contient l'arête — : le sommet est la position critique \(D\), l'arête la position sous-stable qu'on obtient en la faisant pivoter autour de \(s\) en gardant ce seul sommet, et les orientations choisissent la face. La page 137 redit que les repères sont les positions orientées de spécialité au moins \(2\), munies d'un sommet et d'une orientation en ce sommet, c'est-à-dire d'une rive de \(D \smallsetminus \lbrace s \rbrace\).

Le graphe des couples

La page 138 porte, seul, un graphe en couleur sur les quatre involutions, leurs produits deux à deux et les couples qu'elles forment : chaque involution et chaque produit pointe vers le couple auquel il appartient.⁹³

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & \sigma_1\sigma_0 \arrow[d] & & & \\
 & & & (\sigma_1, \sigma_0) & & & \\
 & & \sigma_1\sigma_2 \arrow[dr] & & & & \\
 & \sigma_1 \arrow[rr] \arrow[d] \arrow[uurr, bend left] & & (\sigma_1, \sigma_2) & & \sigma_2 \arrow[ll] \arrow[d] \arrow[dll] & \\
\sigma_1\sigma \arrow[r] & (\sigma_1, \sigma) \arrow[urr] & & (\sigma, \sigma_2) \arrow[u] \arrow[dr] & & (\sigma_2, \sigma_0) \arrow[dl] & \sigma_0\sigma_2 \arrow[l] \\
 & & \sigma \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[rr] & & (\sigma, \sigma_0) & & \sigma_0 \arrow[ul] \arrow[ll] \arrow[uuuulll, bend right] \\
 & & & \sigma\sigma_2 \arrow[uu, dashed] & \sigma\sigma_0 \arrow[u] & &
\end{tikzcd}

Le plus petit modèle

La page 139 essaie ces opérations sur un modèle minimal : un segment de \(-1\) à \(+1\) passant par \(0\), dont les deux moitiés \(a\), \(b\) ont chacune deux rives, soit quatre repères \(a^{+}\), \(a^{-}\), \(b^{+}\), \(b^{-}\). \(\sigma_0\) et \(\sigma_2\) y coïncident et échangent \(a^{+}\) et \(a^{-}\), \(b^{+}\) et \(b^{-}\) ; \(\sigma_1\) échange \(a^{+}\) et \(b^{+}\), \(a^{-}\) et \(b^{-}\) ; \(\sigma\) échange \(a^{+}\) et \(b^{-}\), \(b^{+}\) et \(a^{-}\). Posant \(\sigma' = \sigma_0 = \sigma_2\), qui commute à \(\sigma\), on a \(\sigma_1 = \sigma\sigma'\) : le groupe engendré est un groupe de Klein qui agit simplement transitivement sur les quatre repères, et la page note, sous le mot « subdivision barycentrique », les deux manières d'y lire une carte, \((\sigma_1, \sigma, \sigma_2, \sigma_0) = (\sigma\sigma', \sigma, \sigma', \sigma')\) et \((\sigma'_0, \sigma'_1, \sigma'_2) = (\sigma\sigma', \sigma', \sigma)\).⁹⁴

141–149

Compter, et balayer

La page 141 compte, semble-t-il, les positions critiques les plus simples, celles qui passent par exactement deux sommets d'un système simple. Pour de vraies droites il y en a une par paire de sommets qui ne sont pas sur une même droite de \(\Sigma\) : il y a \(N = n(n-1)/2\) sommets, donc \(\frac12 N(N-1)\) paires, dont \(n \binom{n-1}{2} = \frac12 n(n-1)(n-2)\) sont sur une même droite, soit \[ \frac{1}{2}\,\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{n(n-1)}{2} - 1\right) - \frac{n(n-1)(n-2)}{2} \;\sim\; \frac{n^4}{8} \] positions critiques ; pour des pseudo-droites, rien ne dit que deux sommets ne portent qu'une position, et c'est la question 1) de la page 153.⁹⁵

Les pages 142 à 149 balaient un disque de sept pseudo-droites \(A, \ldots, G\) par une droite mobile, et enregistrent le balayage de deux façons. La page 144 l'écrit comme une suite de permutations, \[\begin{gather*} ABCDEFG,\ ABCEDGF,\ ABCEGDF,\ ABCGEDF, \\ ABGCEDF,\ AGBCEDF,\ \ldots,\ GAEDCFB, \end{gather*}\] chacune se déduisant de la précédente en renversant un ou plusieurs blocs de lettres voisines ; la page 145 l'écrit comme un diagramme de fils, où chaque croisement des brins de rangs \(i\) et \(i+1\) est noté par une transposition \(s_i\) : \(s_3, s_4, s_5, s_2, s_6, s_1, s_5, s_3, \ldots\) Ce sont, sous leurs noms d'aujourd'hui, les suites admissibles de Goodman et Pollack et les diagrammes de fils (« wiring diagrams ») de Goodman, où un arrangement de pseudo-droites se lit comme un mot réduit dans le groupe symétrique.⁹⁶

150–160

La surface \(X^{*}\) des positions (pages 150 à 160)

La structure locale

Soit \(X^{*} = \mathrm{Rel}(\Sigma)\) la surface cellulaire des positions relatives.⁹⁷ Un sommet \(\rho\) correspond à une position critique \(D_\rho\) ; soit \(S_\rho = D_\rho \cap S\). Une orientation de \(X^{*}\) en \(\rho\) correspond à une orientation \(\varpi_\rho\) de \(D_\rho\). Les arêtes qui partent de \(\rho\) correspondent aux couples \((s, \omega)\), \(s \in S_\rho\) et \(\omega\) une orientation : faire pivoter \(D_\rho\) autour de \(s\) dans un sens ou dans l'autre ; l'arête \(a_{s,\omega}\) est la position sous-stable \(D_{\rho,s,\omega}\) ainsi obtenue. Le sommet \(\rho\) est donc d'ordre \(2\operatorname{card} S_\rho\).

La difficulté n'est pas là. Elle est dans la description de \(X^{*}\) au voisinage d'une arête \(a_L\), correspondant à une position sous-stable \(L\) de sommet \(s\) : on voit bien les faces qui lui sont incidentes, mais pas ses deux extrémités. Une orientation de \(a_L\) revient à une orientation de \(X\) en \(s\), donc à une rive de \(L \smallsetminus \lbrace s \rbrace\) ; il s'agirait de décrire l'extrémité de l'arête orientée comme la position critique qu'on obtient en « bloquant » \(L\) par pivotement autour de \(s\) dans le sens indiqué. « L'ennui, c'est qu'il y a plusieurs choix naturels qui viennent à l'esprit, et qu'il n'est pas sûr qu'aucun de ces (…) ne marche ! »⁹⁸

Les types de fuseaux

La page 152 classe les fuseaux en couloirs, dont les deux rives sont supercritiques, semi-couloirs, dont une seule l'est, et fuseaux ordinaires. Elle en donne une définition : un fuseau est une composante connexe \(C\) déterminée par deux pseudo-droites \(D\), \(D'\) (qui peuvent être dans \(\Sigma\)) telles que

• a)\(\Sigma \cup \lbrace D, D' \rbrace\) soit un système de pseudo-droites ;
• b)\(D \neq D'\), et leur point commun soit un sommet de \(\Sigma\) ;
• c)\(C\) soit un couloir de \(\Sigma \cup \lbrace D, D' \rbrace\) ;
• d)\(D\) et \(D'\) soient critiques pour \(\Sigma\).

« Chaque fuseau détermine une p.r. sous-stable, et inversement » : à isotopie près, les fuseaux de \(X\) correspondent bijectivement aux positions sous-stables, c'est-à-dire aux arêtes de \(X^{*}\) ; \(D\) et \(D'\) sont les deux positions critiques qui en sont les extrémités.⁹⁹

Le cube des générisations

Soit \(D\) une position qui passe par \(\nu = \operatorname{card}(S \cap D) \geqslant 2\) sommets. En chacun, une générisation choisit de quel côté décoller \(D\) ; ces choix sont indépendants, et les générisations stables de \(D\) sont les \(2^{\nu}\) sommets d'un cube de dimension \(\nu\), les générisations sous-stables en sont les \(\nu 2^{\nu - 1}\) arêtes, et l'incidence est la relation de spécialisation.¹⁰⁰ La même page pose une question qu'elle laisse ouverte : toute position principale — donc critique — qui passe par \(S \cap D\) est-elle une spécialisation de \(D\) ?

Les balayages élémentaires

Les pages 154 et 155 dessinent les balayages élémentaires d'une position entre deux positions voisines 1 et 2 : \((\mathrm{I}_1)\), autour d'un seul sommet \(a\), asymétrique, la position 1 n'étant pas critique ; \((\mathrm{I}_2)\), autour de deux sommets \(a\), \(b\), symétrique, 1 critique si et seulement si 2 l'est ; \((\mathrm{I}_3)\), autour de trois sommets, asymétrique mais 1 critique si et seulement si 2 l'est ; et \((\mathrm{I}_n)\) pour \(n = 7\), « asymétrique car \(n\) impair ».

Les opérations sur un repère

La page 156 dessine l'action des involutions sur un repère \((D_0, \beta^{*}, \omega^{*})\) — une position, une coorientation, une orientation : \(\sigma\) change la coorientation, \(\sigma_0\) l'orientation, \(\sigma_2\) l'une et l'autre ; l'effet de \(\sigma_1\), comme les repères d'où partent \(\rho_s\) et \(\rho_f\), n'est donné qu'en dessins.¹⁰¹

\begin{tikzcd}
 & (D_0, -\beta^{*}, \omega^{*}) & \text{(dessins } \rho_s\text{)} \arrow[ddl, bend right, "\rho_s"'] & \text{(dessins } \rho_f\text{)} \arrow[ddll, "\rho_f"'] \\
 & & & (D_0, \beta^{*}, -\omega^{*}) \\
 & (D_0, \beta^{*}, \omega^{*}) \arrow[uu, "\sigma"] \arrow[urr, "\sigma_0"] \arrow[rr, "\sigma_1"] \arrow[drr, leftrightarrow, "\sigma_2"'] & & \text{(dessins } \sigma_1\text{)} \\
 & & & (D_0, -\beta^{*}, -\omega^{*})
\end{tikzcd}

La page écrit en haut \(\rho_s = \sigma_2\sigma_1\), \(\rho_f = \sigma_1\sigma_0\) et \(\rho_s\rho_f = \sigma\) — les relations de la page 31, où \(\sigma = \sigma_2\sigma_0\). Les orientations \(\alpha\) (le long de la droite), \(\beta\) (transverse) et \(\omega\) (rotation) sont dites « associées » quand \(\omega = \alpha \wedge \beta\) ; celles d'un repère ne le sont pas, \(\omega^{*} = -\alpha^{*} \wedge \beta^{*}\). La page 157 compare deux triangles duaux dans deux plans projectifs réels duaux \(X\) et \(\check{X}\), et constate que la dualité fait passer d'un système associé à un système qui ne l'est pas.¹⁰²

Les facettes exceptionnelles (1er janvier 1984)

La page 159, datée du 1er janvier 1984 et barrée d'une croix verte, complète le déploiement des pages 43 à 46 sur les facettes exceptionnelles. a) \(\varphi^{-1}(X_1) = L \cup K_0\), la correction dont on a parlé. b) Au voisinage des arêtes exceptionnelles, une facette exceptionnelle a la forme d'un cylindre dont les bords sont faits de fuseaux ; la loi de symétrie s'étend aux multiplicités des sommets de \(L\) situés sur les deux arêtes ordinaires incidentes. c) Pour une arête ordinaire qui passe par un sommet exceptionnel, la rive privilégiée est celle de la face instable. d) Pour avoir la position relative d'une face exceptionnelle, il faut modifier la construction de l'alinéa (j) de la page 45 en remplaçant le bord exceptionnel de la face par un chemin qui traverse son intérieur entre les deux points critiques principaux.¹⁰³

161–175

Dessins, et les axiomes repris (pages 161 à 175)

Les quinze dernières pages sont presque toutes des dessins en couleur, dans les conventions des pages précédentes : les pseudo-droites en rouge ou orange, la position mobile en vert clair, les bandes supercritiques et les couloirs en vert foncé, les rives marquées en bleu, les triangles en jaune.¹⁰⁴

Une seule page de texte, la page 170, reprend les axiomes du déploiement, cette fois pour une surface à bord \(\mathcal{X}\), munie de deux graphes \(K\) et \(L\) :

• a)tout sommet intérieur de \(K\) est d'ordre \(4\), les sommets du bord d'ordre \(1\) ;
• b)on a un déployé \(K'\) de \(K\) et une section des feuillets des bords de l'immersion \(K' \to \mathcal{X}\) (les rives marquées) ;
• c)les sommets de \(L\) sont d'un ordre qui ne se lit pas ;
• d)\(L \cap K\) est fini, et en chaque point commun toute branche de \(K\) croise toute branche de \(L\) ;
• e)chaque arête de \(K\) porte exactement un sommet de \(L\) ;
• f)en chaque sommet intérieur \(s\) de \(K\), le nombre \(\gamma_s\) de points de \(L\) entre \(s\) et le sommet de \(L\) sur chacune des quatre arêtes ne dépend pas de l'arête ;
• g)en chaque sommet intérieur \(s\), ou bien \(s \notin L\) et l'on pose \(\varepsilon_s = 0\), ou bien \(s\) est un sommet de \(L\) d'ordre réduit \(2\) et l'on pose \(\varepsilon_s = 1\) ;
• h)pour toute face \(F\) de \(K\), \[ \sum_{s \in S(K) \cap F} \bigl( 2\gamma_s + \varepsilon_s \bigr) \;+\; \sum_{a \in A(K),\ a \subset F} \gamma_a \;=\; 2n , \] avec \(n\) indépendant de \(F\).

C'est la seconde version des axiomes de la page 43, et non une copie : au « au plus un sommet de \(L\) » par arête de la page 43 répond ici « exactement un », et les cercles exceptionnels \(K_0\), qui portaient les arêtes sans sommet de \(L\), ont disparu au profit du bord.¹⁰⁵

La dernière page du dossier (175) dessine, en tête, le cycle \[ 1 \xrightarrow{\text{spéc}} 2 \xrightarrow{\text{gén}} 3 \xrightarrow{\text{gén}} 4 \xrightarrow{\text{spéc}} 5 = 1 : \] le tour d'une face carrée, le même que celui des pages 38 et 39, parcouru à partir d'un autre côté. Le dossier s'arrête là, sur la cellule élémentaire de la surface qu'il n'a pas fini de construire.