Fonds Grothendieck, cote n° 153, pages 1–10

les cinq feuillets de mathématiques portent sa pagination propre, un chiffre cerclé en haut du feuillet, 1 à 5, sur les pages 1, 3, 5, 7 et 9 des archivistes. La page 2 est le verso de la page 1 : il a écrit dans le tiers droit resté libre un bloc du même sujet, transcrit ici à son rang

k_0 anneau de base (cas important : k_0 = \mathbb{Z})

~~k_0\langle T\rangle~~ k_0-algèbre, contient T élément T, d'où

sic : le T est écrit deux fois. La notation k_0\langle T\rangle, biffée ici et aux deux lignes suivantes, est celle que \Omega_0 remplace

k_0[T] \overset{\varphi}{\longrightarrow} ~~k_0\langle T\rangle~~ \Omega_0

Opérations ~~k_0\langle T\rangle \times k_0\langle T\rangle~~ \longrightarrow ~~k_0\langle T\rangle~~ \Omega_0

au-dessus du produit biffé, en interligne : \Omega_0 \times \Omega_0

(F,G) \longmapsto F \circ G

plutôt W(\Omega_0) \times W(\Omega_0) \to W(\Omega_0)

a)(F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H) b)T \circ F = F \circ T = F ainsi que \varphi est défini en termes de l'opération F \circ G sur \Omega. c)\varphi(F \circ G) = \varphi(F) \circ \varphi(G) sous le F \circ G du membre de gauche, accoladé : « composition habituelle » d)F \longmapsto F \circ G : k_0\langle T\rangle \to k_0\langle T\rangle est k_0-alg. au-dessus de la ligne, en interligne et d'une plume qui n'appuie pas, un mot lu bilatérales e)F \circ (G + G') = f)F \circ (GG') =

e) et f) sont accolées ensemble et laissées sans second membre

\Omega_0 k_0-algèbre (év. sans unité)

sous le \Omega_0, un petit signe d'appartenance couché, sans suite

g)F \circ \lambda 1 = F(\lambda)\cdot 1 \bigl[ où \Omega_0 opère sur k_0 par (F,\lambda) \mapsto F(\lambda) \bigr]

W(\Omega_0) \times W(\Omega_0) \longrightarrow W(\Omega_0)

la moitié inférieure du feuillet est un champ d'essais, écrit plus vite et sans phrases suivies ; il est donné tel quel

F k_0 A k_0-algèbre commut. « sans unité »

E^1 S ~~\operatorname{End}(M)~~ W(A) \otimes_{k_0}-algèbre

\operatorname{End} W(A) . structures d'algèbre \otimes_{k_0}

(\lambda F)(x) = \lambda F(x) (F+G)(x) = F(x) + G(x) (FG)(x) = F(x)G(x)

structure d'anneau

W(\Omega_0) \longrightarrow \operatorname{End} W(A)

et une structure ~~additive~~ , et à la multiplication

\Omega_0 opère sur A (F \circ G)(x) = F(G(x))

\begin{tikzcd} W(\Omega_0) \arrow[r, no head] & W(A) \end{tikzcd}

F(x+y) = \Delta F(x,y) \qquad \Omega_0 \otimes \Omega_0 \qquad A \otimes A \qquad \begin{matrix} k_0 \\ | \\ \mathbb{Z} \end{matrix}

n \in \mathbb{N} F_n(T) = \frac{T(T-1)\cdots(T-n+1)}{n!} \in \mathbb{Q}[T]

(*) \qquad F_m(T)F_n(T) = \sum_{0 \leq p \leq m+n} c^{p}_{m,n} F_p(T) sous les c^{p}_{m,n}, accoladé : \in \mathbb{Z}

F_m(F_n(T)) = \sum_{0 \leq p \leq mn} d^{p}_{m,n} F_p(T)

\bigoplus_n \mathbb{Z}\cdot F_n \subset \mathbb{Q}[T]

est la \mathbb{Z}-algèbre comm. unit. engendrée par les F_n (n \in \mathbb{N}) soumis aux relations : F_0 = 1 et ces (on pose alors F_1 = T),

« comm. unit. » est en interligne au-dessus de « \mathbb{Z}-algèbre » ; la phrase reste en suspens sur le mot souligné

F_m(P(T) + Q(T)) = \sum \gamma^{m}_{ij} F_i(P(T)) F_j(Q(T))

\delta : \Omega \longrightarrow \Omega \otimes_{\mathbb{Z}} \Omega

F_m(P(T)Q(T)) = \sum \delta^{m}_{ij} (P(T)) la formule s'arrête là, la parenthèse ouverte sur F_m n'étant pas refermée

F_m(x+y) \qquad F_m(xy)

\sum a_i T^i \qquad a_i \in \mathbb{Q}

Soit ~~k_0 anneau intègre, K_0 son corps des fractions~~ Soit k_0 \subset K_0 inclusion, d'anneaux commutatifs.

\Omega \subset K_0[T], \qquad \Omega = \{\, F \in K_0[T] \mid F(\lambda) \in k_0 \ \ \forall \lambda \in k_0 \,\}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] K_0[T] \arrow[r] & \operatorname{Appl}(K_0,K_0) \\ \Omega \arrow[u, hook] \arrow[r, dashed] & \operatorname{Appl}\bigl((K_0,k_0),(K_0,k_0)\bigr) \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

le feuillet écrit les deux relations verticales comme des signes d'inclusion, non comme des flèches

Alors \Omega est une sous-k_0-algèbre de K_0[T], stable par F \circ G.

\Omega opère sur k_0, de façon que \begin{cases} (F+G)(x) = F(x) + G(x) \\ (\lambda F)(x) = \lambda(F(x)) \\ (FG)(x) = F(x)G(x) \\ (F \circ G)(x) = F(G(x)) \end{cases}

la deuxième ligne est d'abord écrite (\lambda F)(x) = \lambda F(x), puis reprise avec les parenthèses

Lemme : si M est un k_0-module libre, le sous-ens. \Omega_M \subset K_0[T] \otimes_{k_0} M formé des F tels que F(x) \in M \forall x \in k_0, s'identifie à \Omega \otimes_{k_0} M.

le mot souligné qui ouvre cet énoncé est formé d'un L suivi de quatre jambages ; il est lu « Lemme » et n'est pas assuré

De plus, on aura F(x+y) \overset{?}{=} \sum_i G_i(x) H_i(y) F(xy) \overset{?}{=} \sum_\alpha J_\alpha(x) K_\alpha(y)

où \sum_i G_i \otimes H_i est un élém. bien déterminé de \Omega \otimes_{k_0} \Omega, et \sum_\alpha J_\alpha \otimes K_\alpha est un él. bien déterminé de \Omega \otimes_{k_0} \Omega.

OK si \Omega est un k_0-module libre

cette remarque est écrite en biais, à environ 45°, le long du bord gauche du feuillet

En effet, dans K_0[X,Y] = K_0[X] \otimes_{k_0} K_0[Y], on aura F(X+Y) \overset{\text{déf}}{=} \Delta_a F(X,Y) F(XY) \overset{\text{déf}}{=} \Delta^{\times}_{m} F(X,Y) les deux opérateurs sont soulignés sur le feuillet ; le signe porté en exposant sur le second est peu net et se lit \times ou +, le premier n'en portant aucun

polynômes en X, Y, à coeff. \in K_0, qui pour des val. x,y \in k_0 ont des valeurs dans k_0.

F \circ (P+Q) = \sum_i (G_i \circ P)(H_i \circ Q) F \circ (PQ) = \sum_\alpha (J_\alpha \circ P)(K_\alpha \circ Q) F \circ \lambda T = \sum_\alpha J_\alpha(\lambda) K_\alpha \qquad \Bigl( = \sum_\alpha K_\alpha(\lambda) J_\alpha \Bigr)

Analyseur

le mot est de lui, souligné, en tête de la page 5

Analyseur \Omega : c'est un pseudo-anneau non unitaire (i.e. un groupe additif avec multiplication associative commutative, pas néc. unitaire)

x+y, \qquad xy

avec une loi d~~e composition arbitraire~~ de monoïde ~~(pas néc. )~~

~~loi additive~~ (F,G) \longmapsto F \circ G

(unité notée E I ou T) pas néc. commutative

« de monoïde » est écrit en interligne au-dessus du passage biffé

1)Pour mémoire : \begin{cases} + \ \text{ass., commutative, avec } 0 \\ xy \ \text{associative, commutative, biadditive} \\ x \circ y \ \text{associative, unitaire} \end{cases} 2)\forall G \in \Omega, F \longmapsto F \circ G est un hom. de pseudo-anneaux, i.e. \begin{cases} (F+F') \circ G = F \circ G + F' \circ G \\ (FF') \circ G = (F \circ G)(F' \circ G) \end{cases} 3)(Fonctorialité) a)\forall F \in \Omega, \exists famille finie (F'_i, F''_i), F'_i, F''_i \in \Omega, telle que F \circ (G' + G'') = \sum_i (F'_i \circ G')(F''_i \circ G'') b)\forall F \in \Omega, \exists famille finie (P'_\alpha, Q''_\alpha) F \circ (G'G'') = \sum_i (P'_\alpha \circ G')(Q''_\alpha \circ G'')

a) et b) sont les deux moitiés de la condition 3) et lui sont subordonnées sur le feuillet

en b), l'indice porté sous le signe somme est un i alors que la famille est indexée par \alpha

NB Que dire de F \circ 0 ? On a (F \circ 0) \circ G = F \circ \bigl(\underbrace{0 \circ G}_{0}\bigr) = F \circ 0 , donc F \circ 0 est « une constante » au sens suivant \vee

Déf Un \lambda \in \Omega est dit « constante » si \lambda \circ F = \lambda \forall F \in \Omega. \bigl[ Ne dépend que de la structure F \circ G \bigr]

Proposition L'ens. \Omega_0 des constantes de \Omega est un sous- de \Omega , car \lambda \circ \mu = \lambda pour \lambda, \mu \in \Omega. Pour F \in \Omega, \lambda \in \Omega_0, on a F \circ \lambda \in \Omega_0 (car (F \circ \lambda) \circ G = F \circ (\lambda \circ G) = F \circ \lambda, le \lambda \circ G étant accoladé \lambda).

Ainsi, \Omega « opère » sur \Omega_0 par (F,\lambda) \longmapsto F(\lambda) \overset{\text{déf}}{=} F \circ \lambda \Omega^{0} = \{\, F \in \Omega \mid F \circ 0 \overset{\text{déf}}{=} F(0) = 0 \,\} \qquad \text{On a} \quad \Omega = \Omega_0 \oplus \Omega^{0}

Déf Analyseur unitaire : la multiplication xy admet une unité 1, et celle-ci est une constante, i.e. 1 \circ F = 1 \qquad \forall F \in \Omega .

Dans \Omega_0 on a unitaire,

Ex 1 Soit k A un , \Omega_A = \operatorname{Appl}(A,A) . Alors on que \operatorname{Appl}(E,A), A ( si A est unitaire), et on que ~~\operatorname{Appl}~~(A,A), A

\Omega a une structure de ses A est unitaire), il y a une structure de composition, ~~monoïdal~~ unité. Les conditions 1°) et 2°) vérifiées. Les « cts » de \Omega sont les applications constantes, qui \Omega_0 : A. ( unit.)

« cts » est son abréviation pour « constantes ». Cette page est écrite très vite : les formules portent, la prose qui les relie ne porte pas, et elle est marquée plutôt que comblée

\Omega_A est dans les A l'.

Variante : si A est une k-algèbre, on peut prendre (\Omega_0 \simeq A), \underline{\Omega}_{A/k} = \operatorname{End}(W_k(A)) plus général, si A est une types, on dispose Anneau commutatif unitaire

\Omega(\struck{\ill{}}) = \operatorname{End}_{\text{faisceaux d'ens.}}(A) , deux structures xy et \lambda \circ y (Unitaire si A l'est)

\boxed{(\Omega_A)_0 \simeq \Gamma A \, ?}

Dans le cas où A = k, on trouve \Omega \simeq k[T], et la addition, multiplication la bilat. des

analyseurs ~~de tous les « standards »~~ des polynômes. Dans ce cas, les conditions 3°) vérifiées. Anneau des constantes est k.

On peut prendre k[[T]]^{+}, produit et \lambda \circ y, réduit à zéro (ou les a_0 + a_1T + \cdots avec a_0 nilpotent)

Soit \Omega un analyseur, ~~arbitraire~~ , \Omega_0 l'ens. des cts, alors F \longmapsto (\lambda \mapsto F \circ \lambda) : \Omega \longrightarrow \operatorname{Appl}(\Omega_0,\Omega_0) = \Omega_{\Omega_0} est un « hom. d'analyseurs », induisant sur les constantes. On est content que \Omega \to ~~\operatorname{App}~~ \Omega_{\Omega_0} soit injectif !

Ex 2 Relatif : un couple k_0 \subset K_0 d'anneaux commutatifs, \Omega \subset K_0[T], \qquad \Omega = \{\, P \in K_0[T] \mid P(\lambda) \in k_0 \ \ \forall \lambda \in k_0 \,\} structures +, \cdot, \circ induites par celles de K_0[T]. Le cas le plus intéressant \to celui des corps (\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} :

L'analyseur binomial (unitaire)

Ex 4 Analyseur des puissances divisées (pas unitaire)

Ex 3 Analyseur des \lambda-anneaux (unitaire).

un trait sépare l'Ex 2 des deux derniers ; ceux-ci sont écrits dans l'ordre 4 puis 3, le premier chiffre tracé par-dessus un autre, et une flèche partant de leur hauteur remonte vers ce trait