Cote n° 153 · batch 1 · pages 1–10 · Transcription · Analyseurs : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration

les cinq feuillets de mathématiques portent sa pagination propre, un chiffre cerclé en haut du feuillet, 1 à 5, sur les pages 1, 3, 5, 7 et 9 des archivistes. La page 2 est le verso de la page 1 : il a écrit dans le tiers droit resté libre un bloc du même sujet, transcrit ici à son rang

1

\(k_0\) anneau de base (cas important : \(k_0 = \mathbb{Z}\))

\(k_0\langle T\rangle\) \(k_0\)-algèbre, contient \(T\) élément \(T\), d'où

sic : le \(T\) est écrit deux fois. La notation \(k_0\langle T\rangle\), biffée ici et aux deux lignes suivantes, est celle que \(\Omega_0\) remplace

\(k_0[T] \overset{\varphi}{\longrightarrow}\) \(k_0\langle T\rangle\) \(\Omega_0\)

Opérations \(k_0\langle T\rangle \times k_0\langle T\rangle\) \(\longrightarrow\) \(k_0\langle T\rangle\) \(\Omega_0\)

au-dessus du produit biffé, en interligne : \(\Omega_0 \times \Omega_0\)

\[ (F,G) \longmapsto F \circ G \]

plutôt \(W(\Omega_0) \times W(\Omega_0) \to W(\Omega_0)\)

  1. a)\((F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)\)
  2. b)\(T \circ F = F \circ T = F\) ainsi q[ue] \(\varphi\) est défini en termes de l'opération \(F \circ G\) sur \(\Omega\).
  3. c)\(\varphi(F \circ G) = \varphi(F) \circ \varphi(G)\) sous le \(F \circ G\) du membre de gauche, accoladé : « composition habituelle »
  4. d)\(F \longmapsto F \circ G : k_0\langle T\rangle \to k_0\langle T\rangle\) est […] \(k_0\)-alg. au-dessus de la ligne, en interligne et d'une plume qui n'appuie pas, un mot lu bilatérales
  5. e)\(F \circ (G + G') = \)
  6. f)\(F \circ (GG') = \)

e) et f) sont accolées ensemble et laissées sans second membre

\(\Omega_0\) \(k_0\)-algèbre (év. sans unité)

sous le \(\Omega_0\), un petit signe d'appartenance couché, sans suite

  1. g)\(F \circ \lambda 1 = F(\lambda)\cdot 1\) \(\bigl[\) où \(\Omega_0\) opère sur \(k_0\) par \((F,\lambda) \mapsto F(\lambda)\) \(\bigr]\)

\[ W(\Omega_0) \times W(\Omega_0) \longrightarrow W(\Omega_0) \]

la moitié inférieure du feuillet est un champ d'essais, écrit plus vite et sans phrases suivies ; il est donné tel quel

\(F\) \(k_0\) \(A\) \(k_0\)-algèbre commut. « sans unité »

\(E^1\) \(S\) \(\operatorname{End}(M)\) \(W(A)\) \(\otimes_{k_0}\)-algèbre

\(\operatorname{End} W(A)\) . […] structures d'algèbre \(\otimes_{k_0}\)

\[ (\lambda F)(x) = \lambda F(x) \] \[ (F+G)(x) = F(x) + G(x) \] \[ (FG)(x) = F(x)G(x) \]

structure […] d'anneau

\[ W(\Omega_0) \longrightarrow \operatorname{End} W(A) \]

et une structure additive […], et […] à la multiplication

\(\Omega_0\) opère sur \(A\) \((F \circ G)(x) = F(G(x))\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
W(\Omega_0) \arrow[r, no head] & W(A)
\end{tikzcd}

\[ F(x+y) = \Delta F(x,y) \qquad \Omega_0 \otimes \Omega_0 \qquad A \otimes A \qquad \begin{matrix} k_0 \\ | \\ \mathbb{Z} \end{matrix} \]

2

\(n \in \mathbb{N}\) \[ F_n(T) = \frac{T(T-1)\cdots(T-n+1)}{n!} \in \mathbb{Q}[T] \]

\[ (*) \qquad F_m(T)F_n(T) = \sum_{0 \leq p \leq m+n} c^{p}_{m,n} F_p(T) \] sous les \(c^{p}_{m,n}\), accoladé : \(\in \mathbb{Z}\)

\[ F_m(F_n(T)) = \sum_{0 \leq p \leq mn} d^{p}_{m,n} F_p(T) \]

\[ \bigoplus_n \mathbb{Z}\cdot F_n \subset \mathbb{Q}[T] \]

est la \(\mathbb{Z}\)-algèbre [comm. unit.] engendrée par les \(F_n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) soumis aux relations : \(F_0 = 1\) et ces (on pose alors \(F_1 = T\)),

« comm. unit. » est en interligne au-dessus de « \(\mathbb{Z}\)-algèbre » ; la phrase reste en suspens sur le mot souligné

\[ F_m(P(T) + Q(T)) = \sum \gamma^{m}_{ij} F_i(P(T)) F_j(Q(T)) \]

\[ \delta : \Omega \longrightarrow \Omega \otimes_{\mathbb{Z}} \Omega \]

\[ F_m(P(T)Q(T)) = \sum \delta^{m}_{ij} (P(T)) \] la formule s'arrête là, la parenthèse ouverte sur \(F_m\) n'étant pas refermée

\[ F_m(x+y) \qquad F_m(xy) \]

\[ \sum a_i T^i \qquad a_i \in \mathbb{Q} \]

3

Soit \(k_0\) anneau intègre, \(K_0\) son corps des fractions Soit \(k_0 \subset K_0\) inclusion, d'anneaux commutatifs.

\[ \Omega \subset K_0[T], \qquad \Omega = \{\, F \in K_0[T] \mid F(\lambda) \in k_0 \ \ \forall \lambda \in k_0 \,\} \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K_0[T] \arrow[r] & \operatorname{Appl}(K_0,K_0) \\
\Omega \arrow[u, hook] \arrow[r, dashed] & \operatorname{Appl}\bigl((K_0,k_0),(K_0,k_0)\bigr) \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

le feuillet écrit les deux relations verticales comme des signes d'inclusion, non comme des flèches

Alors \(\Omega\) est une sous-\(k_0\)-algèbre de \(K_0[T]\), stable par \(F \circ G\).

\(\Omega\) opère sur \(k_0\), de façon que \[ \begin{cases} (F+G)(x) = F(x) + G(x) \\ (\lambda F)(x) = \lambda(F(x)) \\ (FG)(x) = F(x)G(x) \\ (F \circ G)(x) = F(G(x)) \end{cases} \]

la deuxième ligne est d'abord écrite \((\lambda F)(x) = \lambda F(x)\), puis reprise avec les parenthèses

Lemme : si \(M\) est un \(k_0\)-module libre, le sous-ens. \(\Omega_M \subset K_0[T] \otimes_{k_0} M\) formé des \(F\) tels que \(F(x) \in M\) \(\forall x \in k_0\), s'identifie à \(\Omega \otimes_{k_0} M\).

le mot souligné qui ouvre cet énoncé est formé d'un \(L\) suivi de quatre jambages ; il est lu « Lemme » et n'est pas assuré

De plus, on a[ura] \[ F(x+y) \overset{?}{=} \sum_i G_i(x) H_i(y) \] \[ F(xy) \overset{?}{=} \sum_\alpha J_\alpha(x) K_\alpha(y) \]

où \(\sum_i G_i \otimes H_i\) est un élém. bien déterminé de \(\Omega \otimes_{k_0} \Omega\), et \(\sum_\alpha J_\alpha \otimes K_\alpha\) est un él. bien déterminé de \(\Omega \otimes_{k_0} \Omega\).

OK si \(\Omega\) est un \(k_0\)-module libre

cette remarque est écrite en biais, à environ 45°, le long du bord gauche du feuillet

En effet, dans \(K_0[X,Y] = K_0[X] \otimes_{k_0} K_0[Y]\), on a[ura] \[ F(X+Y) \overset{\text{déf}}{=} \Delta_a F(X,Y) \] \[ F(XY) \overset{\text{déf}}{=} \Delta^{\times}_{m} F(X,Y) \] les deux opérateurs sont soulignés sur le feuillet ; le signe porté en exposant sur le second est peu net et se lit \(\times\) ou \(+\), le premier n'en portant aucun

polynômes en \(X\), \(Y\), à coeff. \(\in K_0\), qui pour des val. \(x,y \in k_0\) ont des valeurs dans \(k_0\).

\[ F \circ (P+Q) = \sum_i (G_i \circ P)(H_i \circ Q) \] \[ F \circ (PQ) = \sum_\alpha (J_\alpha \circ P)(K_\alpha \circ Q) \] \[ F \circ \lambda T = \sum_\alpha J_\alpha(\lambda) K_\alpha \qquad \Bigl( = \sum_\alpha K_\alpha(\lambda) J_\alpha \Bigr) \]

Analyseur

le mot est de lui, souligné, en tête de la page 5

5

Analyseur \(\Omega\) : c'est un pseudo-anneau non unitaire (i.e. un groupe additif avec multiplication associative commutative, pas néc. unitaire)

\[ x+y, \qquad xy \]

avec une loi de composition arbitraire [de monoïde] (pas néc. […])

loi additive \[ (F,G) \longmapsto F \circ G \]

(unité notée \(E\) \(I\) ou \(T\)) pas néc. commutative

« de monoïde » est écrit en interligne au-dessus du passage biffé

  1. 1)Pour mémoire : \[ \begin{cases} + \ \text{ass., commutative, avec } 0 \\ xy \ \text{associative, commutative, biadditive} \\ x \circ y \ \text{associative, unitaire} \end{cases} \]
  2. 2)\(\forall G \in \Omega\), \(F \longmapsto F \circ G\) est un hom. de pseudo-anneaux, i.e. \[ \begin{cases} (F+F') \circ G = F \circ G + F' \circ G \\ (FF') \circ G = (F \circ G)(F' \circ G) \end{cases} \]
  3. 3)(Fonctorialité)
  4. a)\(\forall F \in \Omega\), \(\exists\) famille finie \((F'_i, F''_i)\), \(F'_i, F''_i \in \Omega\), telle que \[ F \circ (G' + G'') = \sum_i (F'_i \circ G')(F''_i \circ G'') \]
  5. b)\(\forall F \in \Omega\), \(\exists\) famille finie \((P'_\alpha, Q''_\alpha)\) \[ F \circ (G'G'') = \sum_i (P'_\alpha \circ G')(Q''_\alpha \circ G'') \]

a) et b) sont les deux moitiés de la condition 3) et lui sont subordonnées sur le feuillet

en b), l'indice porté sous le signe somme est un \(i\) alors que la famille est indexée par \(\alpha\)

NB Que dire de \(F \circ 0\) ? On a \[ (F \circ 0) \circ G = F \circ \bigl(\underbrace{0 \circ G}_{0}\bigr) = F \circ 0 , \] donc \(F \circ 0\) est « une constante » au sens suivant \(\vee\)

Déf Un \(\lambda \in \Omega\) est dit « constante » si \(\lambda \circ F = \lambda\) \(\forall F \in \Omega\). \(\bigl[\) Ne dépend que de la structure \(F \circ G\) \(\bigr]\)

Proposition L'ens. \(\Omega_0\) des constantes de \(\Omega\) est un sous-[…] de \(\Omega\) […], car \(\lambda \circ \mu = \lambda\) pour \(\lambda, \mu \in \Omega\). Pour \(F \in \Omega\), \(\lambda \in \Omega_0\), on a \(F \circ \lambda \in \Omega_0\) (car \((F \circ \lambda) \circ G = F \circ (\lambda \circ G) = F \circ \lambda\), le \(\lambda \circ G\) étant accoladé \(\lambda\)).

Ainsi, \(\Omega\) « opère » sur \(\Omega_0\) par \[ (F,\lambda) \longmapsto F(\lambda) \overset{\text{déf}}{=} F \circ \lambda \] \[ \Omega^{0} = \{\, F \in \Omega \mid F \circ 0 \overset{\text{déf}}{=} F(0) = 0 \,\} \qquad \text{On a} \quad \Omega = \Omega_0 \oplus \Omega^{0} \]

Déf Analyseur unitaire : la multiplication \(xy\) admet une unité \(1\), et celle-ci est une constante, i.e. \[ 1 \circ F = 1 \qquad \forall F \in \Omega . \]

Dans \(\Omega_0\) on a […] unitaire, […]

7

Ex 1 Soit \(k\) […] […] \(A\) un […] […], \[ \Omega_A = \operatorname{Appl}(A,A) . \] Alors on […] que \(\operatorname{Appl}(E,A)\), \(A\) […] ([…] si \(A\) est unitaire), et on […] que \(\operatorname{Appl}\)\((A,A)\), \(A\) […]

\(\Omega\) a une structure de […] ses […] \(A\) est unitaire), il y a une structure de composition, monoïdal […] unité. Les conditions 1°) et 2°) […] vérifiées. Les […] « cts » de \(\Omega\) sont les applications constantes, qui […] \(\Omega_0\) […] : \(A\). ([…] unit.)

« cts » est son abréviation pour « constantes ». Cette page est écrite très vite : les formules portent, la prose qui les relie ne porte pas, et elle est marquée plutôt que comblée

\(\Omega_A\) est […] dans les \(A\) l'[…].

Variante : si \(A\) est une \(k\)-algèbre, on peut prendre (\(\Omega_0 \simeq A\)), \[ \underline{\Omega}_{A/k} = \operatorname{End}(W_k(A)) \] […] plus général, si \(A\) est une […] […] types, on dispose […] Anneau commutatif unitaire […]

\[ \Omega(\struck{\ill{}}) = \operatorname{End}_{\text{faisceaux d'ens.}}(A) , \] […] deux structures \(xy\) et \(\lambda \circ y\) […] (Unitaire si \(A\) l'est)

\[ \boxed{(\Omega_A)_0 \simeq \Gamma A \, ?} \]

Dans le cas où \(A = k\), on trouve \(\Omega \simeq k[T]\), et […] la [addition,] multiplication […] la bilat. des […]

[…] analyseurs de tous les « standards » des polynômes. Dans ce cas, les conditions 3°) […] vérifiées. Anneau des constantes est \(k\).

On peut […] prendre \(k[[T]]^{+}\), […] produit et \(\lambda \circ y\), […] réduit à zéro (ou les \(a_0 + a_1T + \cdots\) avec \(a_0\) nilpotent)

Soit \(\Omega\) un analyseur, arbitraire […], \(\Omega_0\) l'ens. des cts, alors \[ F \longmapsto (\lambda \mapsto F \circ \lambda) : \Omega \longrightarrow \operatorname{Appl}(\Omega_0,\Omega_0) = \Omega_{\Omega_0} \] est un « hom. d'analyseurs », induisant […] sur les […] constantes. On est content […] que \(\Omega \to\) \(\operatorname{App}\) \(\Omega_{\Omega_0}\) soit injectif !

9

Ex 2 Relatif : un couple \(k_0 \subset K_0\) d'anneaux commutatifs, \[ \Omega \subset K_0[T], \qquad \Omega = \{\, P \in K_0[T] \mid P(\lambda) \in k_0 \ \ \forall \lambda \in k_0 \,\} \] structures \(+\), \(\cdot\), \(\circ\) induites par celles de \(K_0[T]\). Le cas le plus intéressant \(\to\) […] celui des corps (\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) :

L'analyseur binomial (unitaire)

Ex 4 Analyseur des puissances divisées (pas unitaire)

Ex 3 Analyseur des \(\lambda\)-anneaux (unitaire).

un trait sépare l'Ex 2 des deux derniers ; ceux-ci sont écrits dans l'ordre 4 puis 3, le premier chiffre tracé par-dessus un autre, et une flèche partant de leur hauteur remonte vers ce trait