Cote n° 153 · pages 1–10 · Lecture modernisée · Analyseurs : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Un premier jeu d'axiomes (page 1).
2. 2.Les polynômes binomiaux (page 2).
3. 3.Polynômes à valeurs entières relatifs à \(k_{0} \subset K_{0}\) (page 3).
4. 4.Définition, constantes (page 5).
5. 5.Exemples (pages 7 et 9).

Les pages 1, 3, 5, 7 et 9 portent sa pagination 1 à 5 ; la page 2 est le verso de la page 1.

Conventions. \(\Omega\) est un analyseur, \(F \circ G\) sa composition, \(T\) l'unité de la composition. \(\Omega_{0}\) est l'ensemble de ses constantes, défini à la page 5, et \(\Omega^{0}\) celui des \(F\) tels que \(F \circ 0 = 0\). Pour \(n \in \mathbf{N}\), \(F_{n}(T) = \binom{T}{n} = \frac{T(T-1)\cdots(T-n+1)}{n!}\). Pour une inclusion d'anneaux commutatifs \(k_{0} \subset K_{0}\), on note \(\mathrm{Int}(k_{0}) = \{F \in K_{0}[T] \mid F(k_{0}) \subset k_{0}\}\), que la page 3 appelle \(\Omega\).

Une homonymie. La page 1 appelle \(\Omega_{0}\) l'objet même qu'elle axiomatise, et la page 5 l'appelle \(\Omega\), réservant \(\Omega_{0}\) aux constantes. On écrit \(\Omega\) dans les deux cas.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les axiomes e) et f) de la page 1, laissés sans second membre ; les analyseurs des puissances divisées et des \(\lambda\)-anneaux, nommés et non construits ; l'objet \(W_{k}(A)\) de la page 7, utilisé et non défini.

1–1

Un premier jeu d'axiomes (page 1)

Soit \(k_{0}\) un anneau de base — le cas important est \(k_{0} = \mathbf{Z}\) — et \(\Omega\) une \(k_{0}\)-algèbre, éventuellement sans unité, contenant un élément \(T\), d'où \(\varphi : k_{0}[T] \to \Omega\), et munie d'une opération \((F, G) \mapsto F \circ G\) telle que :¹

1. a)\((F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)\) ;
2. b)\(T \circ F = F \circ T = F\) ;
3. c)\(\varphi(F \circ G) = \varphi(F) \circ \varphi(G)\), la composition de gauche étant la composition habituelle des polynômes ;
4. d)\(F \mapsto F \circ G\) est un morphisme de \(k_{0}\)-algèbres ;
5. e)\(F \circ (G + G') = \ ?\) ;
6. f)\(F \circ (GG') = \ ?\) ;
7. g)\(F \circ \lambda 1 = F(\lambda) \cdot 1\), où \(\Omega\) opère sur \(k_{0}\) par \((F, \lambda) \mapsto F(\lambda)\).

Les deux axiomes e) et f), accolés, restent sans second membre : c'est précisément ce que la page 5 saura écrire.²

La moitié inférieure du feuillet est un champ d'essais : une \(k_{0}\)-algèbre commutative \(A\) « sans unité », les lois ponctuelles \((\lambda F)(x) = \lambda F(x)\), \((F + G)(x) = F(x) + G(x)\), \((FG)(x) = F(x)G(x)\), la composition \((F \circ G)(x) = F(G(x))\), un morphisme \(W(\Omega) \to \mathrm{End}\, W(A)\), et, pour la première fois, l'idée de la co-addition : \(F(x + y) = \Delta F(x, y)\) dans \(\Omega \otimes \Omega\).

2–2

Les polynômes binomiaux (page 2)

Les \(F_{n}\) sont dans \(\mathbf{Q}[T]\) et envoient \(\mathbf{Z}\) dans \(\mathbf{Z}\). On a \[ F_{m} F_{n} = \sum_{p \leq m+n} c^{p}_{m,n} F_{p}, \qquad F_{m} \circ F_{n} = \sum_{p \leq mn} d^{p}_{m,n} F_{p}, \qquad c^{p}_{m,n},\ d^{p}_{m,n} \in \mathbf{Z}, \] et \(\bigoplus_{n} \mathbf{Z} F_{n} \subset \mathbf{Q}[T]\) est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre commutative unitaire, stable par composition, engendrée par les \(F_{n}\) soumis aux relations \(F_{0} = 1\) et \((\ast)\) ; on pose alors \(F_{1} = T\). De plus³ \[ F_{m}(P + Q) = \sum_{i+j=m} F_{i}(P)\, F_{j}(Q), \qquad F_{m}(PQ) = \sum_{i,j} \delta^{m}_{ij}\, F_{i}(P)\, F_{j}(Q), \qquad \delta^{m}_{ij} \in \mathbf{Z}. \]

3–3

Polynômes à valeurs dans \(k_{0}\) (page 3)

Soit \(k_{0} \subset K_{0}\) une inclusion d'anneaux commutatifs, et \[ \Omega = \mathrm{Int}(k_{0}) = \{F \in K_{0}[T] \mid F(\lambda) \in k_{0}\ \forall \lambda \in k_{0}\}. \] C'est une sous-\(k_{0}\)-algèbre de \(K_{0}[T]\), stable par composition, et elle opère sur \(k_{0}\) de sorte que \((F + G)(x) = F(x) + G(x)\), \((\lambda F)(x) = \lambda F(x)\), \((FG)(x) = F(x)G(x)\) et \((F \circ G)(x) = F(G(x))\).

Lemme. Si \(M\) est un \(k_{0}\)-module libre, l'ensemble des \(F \in K_{0}[T] \otimes_{k_{0}} M\) tels que \(F(x) \in M\) pour tout \(x \in k_{0}\) s'identifie à \(\Omega \otimes_{k_{0}} M\) — coordonnée par coordonnée dans une base de \(M\).⁴

Les co-opérations. Supposons \(K_{0} \otimes_{k_{0}} K_{0} = K_{0}\) — par exemple \(K_{0}\) localisé de \(k_{0}\), comme \(\mathbf{Q}\) de \(\mathbf{Z}\) — et \(\Omega\) libre comme \(k_{0}\)-module. Alors \(K_{0}[X, Y] = K_{0}[X] \otimes_{k_{0}} K_{0}[Y]\)⁵ , et, pour \(F \in \Omega\), les polynômes \[ \Delta_{a} F(X, Y) = F(X + Y), \qquad \Delta_{m} F(X, Y) = F(XY) \] prennent des valeurs dans \(k_{0}\) sur \(k_{0} \times k_{0}\) ; par le lemme appliqué à \(M = \Omega\), ce sont des éléments bien déterminés de \(\Omega \otimes_{k_{0}} \Omega\), \[ F(X + Y) = \sum_{i} G_{i}(X) H_{i}(Y), \qquad F(XY) = \sum_{\alpha} J_{\alpha}(X) K_{\alpha}(Y). \] Il en résulte les deux règles \[ F \circ (P + Q) = \sum_{i} (G_{i} \circ P)(H_{i} \circ Q), \qquad F \circ (PQ) = \sum_{\alpha} (J_{\alpha} \circ P)(K_{\alpha} \circ Q), \] et, pour \(\lambda \in k_{0}\), \(F \circ \lambda T = \sum_{\alpha} J_{\alpha}(\lambda) K_{\alpha} = \sum_{\alpha} K_{\alpha}(\lambda) J_{\alpha}\).

5–5

Définition, et constantes (page 5)

Définition. Un analyseur est un pseudo-anneau \(\Omega\) — un groupe abélien muni d'une multiplication associative, commutative, biadditive, pas nécessairement unitaire — muni d'une loi de monoïde⁶ \((F, G) \mapsto F \circ G\), d'unité notée \(T\), pas nécessairement commutative, telle que :

1. 1)\(+\) est associative et commutative, d'élément neutre \(0\) ; \(xy\) est associative, commutative, biadditive ; \(\circ\) est associative et unitaire ;
2. 2)pour tout \(G\), \(F \mapsto F \circ G\) est un homomorphisme de pseudo-anneaux : \((F + F') \circ G = F \circ G + F' \circ G\) et \((FF') \circ G = (F \circ G)(F' \circ G)\) ;
3. 3a)(fonctorialité) pour tout \(F\), il existe une famille finie \((F'_{i}, F''_{i})\) telle que \(F \circ (G' + G'') = \sum_{i} (F'_{i} \circ G')(F''_{i} \circ G'')\) pour tous \(G'\), \(G''\) ;
4. 3b)pour tout \(F\), il existe une famille finie \((P'_{\alpha}, Q''_{\alpha})\) telle que \(F \circ (G'G'') = \sum_{\alpha} (P'_{\alpha} \circ G')(Q''_{\alpha} \circ G'')\) pour tous \(G'\), \(G''\).

N.B. Que dire de \(F \circ 0\) ? Par 2), \(0 \circ G = 0\), donc \((F \circ 0) \circ G = F \circ (0 \circ G) = F \circ 0\) : \(F \circ 0\) est une constante, au sens suivant.

Définition. \(\lambda \in \Omega\) est une constante si \(\lambda \circ F = \lambda\) pour tout \(F\). La notion ne dépend que de la loi \(\circ\).

Proposition. L'ensemble \(\Omega_{0}\) des constantes est un sous-pseudo-anneau de \(\Omega\), par 2). Pour \(F \in \Omega\) et \(\lambda \in \Omega_{0}\), \(F \circ \lambda \in \Omega_{0}\), car \((F \circ \lambda) \circ G = F \circ (\lambda \circ G) = F \circ \lambda\). Ainsi \(\Omega\) opère sur \(\Omega_{0}\) par \[ (F, \lambda) \longmapsto F(\lambda) \overset{\text{déf}}{=} F \circ \lambda . \] Posant \(\Omega^{0} = \{F \in \Omega \mid F(0) = 0\}\), on a \[ \Omega = \Omega_{0} \oplus \Omega^{0}, \qquad F = F(0) + \bigl(F - F(0)\bigr), \] somme directe de groupes abéliens, \(\Omega^{0}\) étant un idéal.⁷

Définition. L'analyseur est unitaire si la multiplication a une unité \(1\) et que celle-ci est une constante : \(1 \circ F = 1\) pour tout \(F\).

7–7

Exemples (page 7)

Exemple 1. Pour un pseudo-anneau commutatif \(A\), \(\Omega_{A} = \mathrm{Appl}(A, A)\), avec les lois ponctuelles et la composition des applications, satisfait 1) et 2), et il est unitaire si \(A\) l'est. Ses constantes sont les applications constantes, et \((\Omega_{A})_{0} \simeq A\). Il ne satisfait pas 3) en général : pour \(A\) infini, une application \((x, y) \mapsto F(x + y)\) n'est pas une somme finie de produits \(F'(x)F''(y)\).⁸

Variante. Si \(A\) est une \(k\)-algèbre, on peut prendre \(\Omega_{A/k} = \mathrm{End}(W_{k}(A))\), avec \(\Omega_{0} \simeq A\) ; et plus généralement, pour un anneau commutatif \(A\) d'un topos, \(\Omega = \mathrm{End}_{\text{faisceaux d'ens.}}(A)\), muni des lois \(xy\) et \(\lambda \circ y\), unitaire si \(A\) l'est. Il se demande, encadré : \((\Omega_{A})_{0} \simeq \Gamma A\) ? C'est vrai : une constante \(\lambda\) vérifie \(\lambda = \lambda \circ c_{0}\), où \(c_{0}\) est l'endomorphisme constant de valeur \(0\), donc se factorise par l'objet final, et les constantes sont les sections globales de \(A\).⁹

L'analyseur des polynômes. Pour \(A = k\), on trouve \(\Omega \simeq k[T]\), avec l'addition, la multiplication et la composition des polynômes : les endomorphismes de la droite affine. Les conditions 3) sont vérifiées — \(F(X + Y)\) et \(F(XY)\) sont dans \(k[X, Y] = k[X] \otimes_{k} k[Y]\) — et l'anneau des constantes est \(k\).

Séries formelles. On peut aussi prendre \(k[[T]]^{+}\), les séries sans terme constant, avec le produit et la composition ; les constantes s'y réduisent à zéro. On peut encore admettre les séries \(a_{0} + a_{1}T + \cdots\) dont le terme constant est nilpotent, pour lesquelles la composition converge. Ce ne sont pas des analyseurs au sens de 3).¹⁰

L'analyseur des constantes. Pour un analyseur quelconque \(\Omega\), \[ \Omega \longrightarrow \mathrm{Appl}(\Omega_{0}, \Omega_{0}) = \Omega_{\Omega_{0}}, \qquad F \longmapsto (\lambda \mapsto F \circ \lambda), \] est un homomorphisme d'analyseurs, qui induit l'identité sur les constantes. « On est content » quand il est injectif.¹¹

9–9

Exemples relatifs, et deux analyseurs nommés (page 9)

Exemple 2 (relatif). Pour un couple \(k_{0} \subset K_{0}\) d'anneaux commutatifs, \(\mathrm{Int}(k_{0}) \subset K_{0}[T]\), avec les lois induites par celles de \(K_{0}[T]\), est un analyseur, sous les hypothèses de la page 3 pour ce qui est de 3). Le cas le plus intéressant est celui de \(\mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}\) :

L'analyseur binomial \(\mathrm{Int}(\mathbf{Z}) = \bigoplus_{n} \mathbf{Z} F_{n}\), unitaire.¹²

Exemple 4. L'analyseur des puissances divisées, non unitaire.

Exemple 3. L'analyseur des \(\lambda\)-anneaux, unitaire.

Ces deux derniers sont nommés et ne sont pas construits.¹³