Cote n° 151 · batch 4 · pages 61–74 · Lecture modernisée · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

61–61

Le diagramme fondamental

On rassemble les tubes en une seule pièce par degré, \[ \mathcal{V}_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \ \subset \ \mathcal{V}_{\Delta_{1}} \ \text{(ouvert)}, \] ce qui donne un diagramme global reflétant, pour chaque couple \(i \leq j\), le diagramme fondamental :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \arrow[d, dashed] & X_{i}^{*} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\
X_{j}^{*} & X &
\end{tikzcd}

Les flèches en pointillé sont celles que le recollement doit fournir. Et l'auteur note aussitôt que le regroupement global n'est probablement pas utile, car le carré qu'il forme n'a rien de cocartésien : le diagramme en trait plein définit bien une limite inductive, mais elle n'a guère de chances d'être homéomorphe à \(X\) — dès que \(X\) est connexe, par exemple, la somme disjointe sur tous les couples \(i \leq j\) en compte trop.

L'observation est le ressort de tout ce qui suit : ce n'est pas un carré qu'il faut, mais un diagramme dont la forme est celle de l'ensemble ordonné \(I\) tout entier, et il faut d'abord savoir de quelles flèches il dispose.

62–63

Quelles inclusions subsistent entre les pierres

Les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) sont des germes de sous-espaces de \(X\), entre lesquels les seuls morphismes canoniques sont des inclusions. La question est donc de recenser lesquelles. Pour la traiter, deux hypothèses simplificatrices sont posées : \[ X_{i}^{*} \neq \emptyset \quad \text{pour tout } i, \qquad X_{i} \subset X_{j} \implies i \leq j, \] la seconde faisant de \(i \mapsto X_{i}\) un plongement d'ensembles ordonnés ;¹ et une troisième, dite « raisonnable » : \(\overline{X_{i}^{*}} = X_{i}\) pour tout \(i\) — la strate est dense dans son fermé.

Le recensement donne alors ceci. Entre les strates elles-mêmes, aucune inclusion pour des indices distincts. Entre tubes, \(\mathcal{V}_{i,j} \subset \mathcal{V}_{i',j'}\) force \(i = i'\), puisqu'il faudrait \(X_{i}^{*} \subset X_{i'}^{*}\), puis \(j = j'\) puisque le tube détermine la strate voisine dont il est le voisinage. Entre tubes épointés, \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset \mathcal{V}^{*}_{i',j'}\) donne d'abord \(i \leq i'\) par passage aux adhérences, puis, comme \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset X_{j}^{*}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{i',j'} \subset X_{j'}^{*}\) sont non vides et se rencontrent, \(j = j'\) ; et enfin \(i' = i\), puisque \(i \leq i' < j\) et que \(j\) est un successeur de \(i\).²

Restent les inclusions entre types différents, et il n'y en a que trois : \[ X_{i}^{*} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow X_{j}^{*}. \] Ce sont exactement les trois flèches en trait plein du diagramme fondamental. Rien d'autre n'est à envisager entre ces pièces élémentaires.³

64–65

Le diagramme \(\widetilde{I}\)

À l'ensemble ordonné \(I\) on associe un diagramme, noté \(\widetilde{I}\), dont les sommets sont des symboles \[ [i], \qquad [i,j], \qquad [i,j]^{*} \qquad (i,j \in I,\ j \text{ successeur de } i), \] et dont les flèches sont de trois types, toutes décrites par

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
{[i,j]}^{*} \arrow[r] \arrow[d] & {[i,j]} & {[i]}^{*} \arrow[l] \\
{[j]}^{*} & &
\end{tikzcd}

Notons \(e\) le nombre de drapeaux élémentaires — les couples \(i < j\) avec \(j\) successeur de \(i\). Alors \(\widetilde{I}\) a \(\mathrm{card}\,I + 2e\) sommets et \(3e\) flèches.⁴ Si \(I\) a deux éléments \(i < j\), on retrouve le diagramme ci-dessus lui-même.

Trois exemples sont explicités, en remplaçant les symboles par les espaces qu'ils désignent. Pour \(I = \Delta_{n} = (0 < 1 < \cdots < n)\), une chaîne, on trouve un escalier de \(n\) marches :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{0}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,1} & \mathcal{V}^{*}_{0,1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\
& & X_{1}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,2} & \mathcal{V}^{*}_{1,2} \arrow[l] \arrow[d] & & \\
& & & & X_{2}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{2,3} & \mathcal{V}^{*}_{2,3} \arrow[l] \arrow[d] \\
& & & & & & \cdots \arrow[d] \\
& & & & & & X_{n}^{*}
\end{tikzcd}

Pour \(I\) formé d'un indice \(0\) dominé par deux indices incomparables \(a\) et \(b\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{V}^{*}_{0,b} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{0,b} & X_{0}^{*} \arrow[l] \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,a} & \mathcal{V}^{*}_{0,a} \arrow[l] \arrow[d] \\
X_{b}^{*} & & & & X_{a}^{*}
\end{tikzcd}

Et pour \(I\) formé de deux indices \(a\), \(b\) incomparables dominés par un même \(c\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{a}^{*} \arrow[d] & & X_{b}^{*} \arrow[d] \\
\mathcal{V}_{a,c} & & \mathcal{V}_{b,c} \\
\mathcal{V}^{*}_{a,c} \arrow[u] \arrow[r] & X_{c}^{*} & \mathcal{V}^{*}_{b,c} \arrow[u] \arrow[l]
\end{tikzcd}

Dans les trois cas les comptes se vérifient : sept sommets et six flèches pour les deux derniers, \(3n+1\) sommets et \(3n\) flèches pour la chaîne.

La forme de ces diagrammes mérite d'être nommée. Chaque drapeau élémentaire \(i < j\) y contribue un motif \(X_{i}^{*} \to \mathcal{V}_{i,j} \leftarrow \mathcal{V}^{*}_{i,j} \to X_{j}^{*}\), c'est-à-dire un double cylindre d'application entre les deux strates, passant par le tube. C'est le motif standard par lequel un espace stratifié se reconstruit à partir de ses strates et de ses liens, et \(\widetilde{I}\) n'est que l'assemblage de ces motifs le long de l'ensemble ordonné.⁵

66–67

La fonction dimension

Le diagramme se simplifie si l'on dispose sur \(I\) d'une fonction à valeurs entières \[ d \colon I \longrightarrow \mathbb{Z}, \qquad \text{i.e.} \quad I = \coprod_{m} I_{m}, \] jouant le rôle d'une dimension, et satisfaisant : pour \(i \leq j\), \[ d(j) = d(i) + 1 \iff j \text{ est un successeur de } i. \] On peut alors regrouper par degré : \[ X_{m}^{*} = \coprod_{i \in I_{m}} X_{i}^{*}, \qquad \mathcal{V}_{m,m+1} = \coprod_{\substack{i \leq j \\ d(i)=m,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} = \coprod_{\substack{i \leq j \\ d(i)=m,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}^{*}_{i,j}, \] d'où un diagramme \((\mathrm{Diag})_{m}\) par degré,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
X_{m}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{m,m+1} & \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} \arrow[l] \arrow[d] \\
& & X^{*}_{m+1}
\end{tikzcd}

et l'escalier obtenu en les enchaînant, \(I\) étant supposé fini et les sommets occupés par des espaces vides n'étant pas écrits.

La variante par codimension est la même à l'orientation près : on considère alors les \(\mathcal{V}_{d,d-1}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{d,d-1}\) au lieu des \(\mathcal{V}_{d,d+1}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{d,d+1}\), et l'escalier descend au lieu de monter, de \(X_{n}^{*}\) à \(X_{0}^{*}\).⁶

68–68

Le théorème de recollement des tubes

Théorème (première version). Considérons le diagramme de type \(\widetilde{I}\) formé par les \(X_{i}^{*}\), les \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) et les \(\mathcal{V}_{i,j}\), pour \(i,j \in I\) avec \(j\) successeur de \(i\), et par les trois types de flèches en trait plein du diagramme fondamental. Alors \(X\) s'identifie à la limite inductive de ce diagramme.

Le mot que le manuscrit emploie pour l'opération est illisible ; « au topos » est écrit puis barré juste avant, ce qui indique une hésitation sur la catégorie où prendre la limite plutôt que sur la limite elle-même.⁷

L'énoncé se vérifie sur le cas dont tout le dossier est parti. Pour \(I\) à deux éléments \(0 < 1\), avec \(Y = X_{0}\) et \(X = X_{1}\), on a \(X_{0}^{*} = Y\), \(X_{1}^{*} = X \smallsetminus Y\), \(\mathcal{V}_{0,1} = \mathcal{V}_{Y,X}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{0,1} = \mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) ; le diagramme \(\widetilde{I}\) est alors \[ Y \longrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} \longleftarrow \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \longrightarrow X \smallsetminus Y, \] et sa limite inductive est exactement la somme amalgamée de la section 1, la flèche \(Y \to \mathcal{V}_{Y,X}\) n'y ajoutant rien puisqu'elle est une équivalence d'homotopie. Le théorème général est donc la mise en famille de ce cas-là, sur l'ensemble ordonné \(I\) tout entier.

Aucune démonstration n'est donnée. L'auteur annonce qu'elle sera heuristique, et qu'il veut d'abord un énoncé exprimant les « topos canoniques » associés à la situation en termes d'un diagramme de type \(\widetilde{I}\) formé de topos élémentaires. C'est l'objet de la section suivante, et le dossier s'interrompt avant d'y revenir.⁸

69–71

4. Topos canoniques : images inverses

Les axiomes de la section 2 sont d'abord rappelés : les \(X_{i}\) fermés et la famille localement finie ; \(i \leq j \Rightarrow X_{i} \subset X_{j}\) ; \(X = \bigcup X_{i}\) ; et \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,j} X_{k}\).

Transport par image inverse

Soit \(X' \to X\) un espace au-dessus de \(X\). La famille des \[ X'_{i} = X_{i} \times_{X} X' \] satisfait les mêmes conditions, et le système des drapeaux se transporte : \[ X'_{\Delta_{r}} \simeq X_{\Delta_{r}} \times_{X} X', \qquad X'^{\,*}_{\Delta_{r}} \simeq X^{*}_{\Delta_{r}} \times_{X} X', \qquad \dot{X}'_{\Delta_{r}} = \dot{X}_{\Delta_{r}} \times_{X} X'. \] Ces trois identités reposent sur le fait que le changement de base commute aux réunions de sous-objets, donc à la définition de \(\dot{X}_{i}\).

C'est ici que se paie une décision de la section 2. Après image inverse, un \(X'_{i}\) peut être vide, et deux indices distincts peuvent donner le même fermé : c'est précisément pour pouvoir prendre ces images inverses qu'il n'était pas commode de supposer les \(X_{i}\) ou les \(X_{i}^{*}\) non vides, ni que \(i \mapsto X_{i}\) soit un plongement d'ensembles ordonnés dans \(\mathcal{P}(X)\).⁹

Pour les tubes, le transport demande davantage. Si \(X' \to X\) est une immersion ouverte, tout va de soi. Si c'est une immersion locale, on a encore \[ R'_{i,j} = R_{i,j} \times_{X} X', \qquad S'_{i,j} = S_{i,j} \times_{X} X', \] et, dans le cas propre, des isomorphismes \[ \mathcal{V}'_{i,j} \simeq \mathcal{V}_{i,j} \times_{X} X', \qquad \mathcal{V}'^{\,*}_{i,j} \simeq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \times_{X} X', \qquad \mathcal{V}'^{\,j}_{i,k} \simeq \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \times_{X} X'. \] Le manuscrit est ici plus prudent qu'ailleurs, et il a raison de l'être : la formation d'un voisinage tubulaire ne commute pas en général à la restriction à une partie, et il faut que \(X' \to X\) soit assez proche d'une immersion ouverte pour que le tube d'une trace soit la trace du tube.¹⁰

Une conséquence : le théorème est local

De ces changements de base il résulte que la démonstration du théorème de recollement est une question locale sur \(X\). On peut donc se ramener à un ouvert au-dessus duquel la famille est finie — la locale finitude est faite pour cela — et supposer \(I\) fini. C'est le seul progrès que le dossier fasse en direction de la démonstration, et c'en est un vrai : il ramène un énoncé sur un ensemble ordonné quelconque à un énoncé sur un ensemble ordonné fini.

71–73

Les cribles

Une partie \(I' \subset I\) est un crible si elle est close vers le bas : \[ i \leq j \in I' \implies i \in I'. \] On lui associe la partie fermée \[ X_{I'} = \bigcup_{i \in I'} X_{i}. \] La correspondance est monotone, et elle respecte les deux opérations : \[ X_{\bigcup_{\alpha} I'_{\alpha}} = \bigcup_{\alpha} X_{I'_{\alpha}}, \qquad X_{\emptyset} = \emptyset, \qquad X_{I' \cap I''} = X_{I'} \cap X_{I''}, \qquad X_{I} = X, \] la troisième venant de la condition d) des axiomes — et de nulle part ailleurs.¹¹

Prenant \(X' = X_{I'}\), on obtient sur \(X'\) une stratification de type \(I'\), et les parties-cribles de \(X'\) pour cette stratification sont les traces sur \(X'\) des parties-cribles de \(X\). Les espaces élémentaires y sont les \(X_{i}^{*}\), les \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) et les \(\mathcal{V}_{i,j}\) pour \(i,j \in I'\).

Un cas particulier vaut d'être isolé, parce qu'il justifie une désinvolture antérieure. Soit \(I_{0}\) l'ensemble des \(i\) tels que \(X_{i} = \emptyset\) : c'est un crible, et tous les espaces qui lui sont associés sont vides. Le diagramme \(\widetilde{I}\), une fois les sommets vides négligés, ne change donc pas quand on remplace \(I\) par \(I \smallsetminus I'_{0}\) pour un crible \(I'_{0} \subset I_{0}\). Plus généralement, pour tout crible \(I'\) de \(I\), le diagramme \(\widetilde{I \smallsetminus I'}\) est contenu dans \(\widetilde{I}\) : le complémentaire d'un crible est clos vers le haut, donc un couple qui y est élémentaire l'était déjà dans \(I\).

Ouverts entre deux cribles

Soient maintenant deux cribles emboîtés \(I'' \subset I' \subset I\), d'où \(X_{I''} \subset X_{I'}\) et la partie localement fermée \[ \mathcal{U}_{I',I''} = X_{I'} \smallsetminus X_{I''}. \] On peut y regarder la stratification de type \(I' \smallsetminus I''\), définie par \[ X_{i',\,\mathcal{U}_{I',I''}} = X_{i'} \smallsetminus \bigl(X_{i'} \cap X_{I''}\bigr) \ \subset \ \mathcal{U}_{I',I''}, \] dont les espaces élémentaires sont les \(X_{i'}^{*}\) pour \(i' \in I' \smallsetminus I''\) et les tubes associés aux couples \((i',j')\) avec \(j'\) successeur de \(i'\). Ceux-ci se comparent aux tubes de \(X\) par un carré d'inclusions,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathcal{V}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{i',j'} \\
\mathcal{V}^{*}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] \arrow[u, hook] & \mathcal{V}^{*}_{i',j'} \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

mais — et l'avertissement est de l'auteur, il vaut d'être conservé tel quel — il n'est pas clair en général que ces inclusions soient des équivalences d'homotopie. Mieux vaut donc ne pas identifier trop vite les constructions faites sur un \(X_{I'}\) et celles faites sur un \(\mathcal{U}_{I',I''}\).

74–74

Où le dossier s'arrête

La partie C de la section 4 s'ouvre sur la promesse d'une famille \(\mathcal{V}^{\,I'''}_{I',I''}\), indexée par trois cribles \[ I',\ I''' \subset I'' \subset I, \qquad\text{d'où}\qquad X_{I'},\ X_{I'''} \subset X_{I''} \hookrightarrow X_{I} = X, \] et le dossier s'arrête ici. La page 74 est la dernière du fonds pour cette cote, et rien n'indique que la suite existe ailleurs.

La construction est donc inachevée, et cette édition ne lui invente pas de fin. Ce qui se dit sans risque tient à la notation seule : les trois cribles occupent les places qu'occupaient les trois indices \(i \leq j \leq k\) dans les tubes mixtes \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) de la section 3, l'exposant portant l'indice médian ; et le programme énoncé à la fin de cette même section plaçait les tubes mixtes en dernier, « eu égard aux cas des diviseurs à croisements normaux ». C'est cette dernière étape que la page 74 commence. Ce qu'elle aurait donné, on ne le lit pas ici.