Fonds Grothendieck, cote n° 151, pages 61–74 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-16) Opus 5 (claude-opus-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 151 Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.). Pages 61 à 74 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 4 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1981-à partir de 1990]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/151.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

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Introduction des tubes — suite

Posons déjà

(14) \qquad \begin{cases} \mathcal{V}_{\Delta_1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I^2 \\ i \leq j}} \mathcal{V}_{i,j} \\[10pt] \mathcal{V}^{*}_{\Delta_1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I^2 \\ i \leq j}} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \qquad \subset \mathcal{V}_{\Delta_1} \end{cases}

la seconde ligne s'ouvre sur un « \mathcal{V} » biffé ; le \subset porte « ouvert » écrit dessous

on a donc

(15)

\begin{tikzcd} \mathcal{V}^{*}_{\Delta_1} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \mathcal{V}_{\Delta_1} \arrow[d, dashed] & X^{*}_{\Delta_0} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\ X^{*}_{\Delta_0} & X & \end{tikzcd}

qui reflètent les diagrammes

(17)

\begin{tikzcd} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \arrow[d, dashed] & X^{*}_{i} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\ X^{*}_{j} & X & \end{tikzcd}

NB Le la note marginale, écrite en diagonale au bas à gauche, accompagne un petit diagramme ordonné — un sommet d'où partent deux traits, l'un vers un sommet qui en domine un troisième ; nous ne la relions pas avec certitude au texte

Notons Finalement, on n'est pas sûr que les notations (14) soient bien utiles — du fait que le carré dans (15) n'a rien de cocartésien, car le diagramme en trait plein, qui est le diagramme « sous-

p. 19 de l'auteur jacent » des diagrammes (17), définit une limite qui se reproduit dans comme espace topologique, a peu de chances d'être homéo. à X (p.ex. si X connexe …) !

Les \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} sont des germes de sous-espaces de X, dont les seuls relations d morphismes canoniques entre eux sont les morphismes d'inclusion — à quelle condition a-t-on

(18) \qquad \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \subset \mathcal{V}^{\,j'}_{i',k'} (19) \qquad i \leq j \leq k , \qquad i' \leq j' \leq k'

donnés ? Question il pour les espaces élémentaires

X_i^{*} , \quad \mathcal{V}^{*}_{i,j} , \quad \mathcal{V}_{i,j} \qquad (j \text{ successeur de } i) \ ?

Cela Je vais supposer pour simplifier \begin{cases} X_i^{*} \neq \emptyset \\ X_i \subset X_j \Rightarrow i \leq j \end{cases} — car sinon on aurait X_i^{*} = \emptyset (justifie …) Il n'y a donc pas de relations d'inclusion entre les X_i^{*} pour des indices distincts. Si pour \mathcal{V}_{i,j} \subset \mathcal{V}_{i',j'}, prenons deux « pts » des X'' genres d'après, il faut avoir X_i^{*} \subset X_{i'}^{*} d'où i = i' ; chose de que les j le long des X_i^{*} déterminent X_j (j successeur de i) bien voisinages \mathcal{V}) déjà j ce qui est devra avoir aussi j = j'. De même, on voit que si \mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset \mathcal{V}^{*}_{i',j'}, un des pts d'adhérence, ce qui met \overline{X_i^{*}} et X_{i'} X_{i'} et X_{i'}, sont en relation d'inclusion,

la page est ici surchargée de reprises ; nous donnons le fil de l'argument et laissons en ce qui ne se lit pas

dans le cas (raisonnable) où \overline{X_i^{*}} = X_i \forall i ; on donc i \leq i'. Dans le cas les cas i = i', on voit comme tout à l'heure que (« raisonnable ») j = j'. Mais le cas i < i' est-il possible ? Comme \emptyset \neq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset X_j^{*}, \mathcal{V}^{*}_{i',j'} \subset X_{j'}^{*}, on doit avoir X_j^{*} \cap X_{j'}^{*} \neq \emptyset donc j = j' si l'on avait (ci !)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & i' \arrow[r, no head] & j' & & X_{i'} \arrow[r, no head] & X_{j'} \\ i \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & & X_i \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & \\ & j & & & X_j & \end{tikzcd}

donc i \leq i' < j = j' et par suite i' = i puisque j successeur de i.

On voit de même que les seuls morphismes d'inclusion d'un X_i^{*} dans un des autres types est

X_i^{*} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j} \qquad (\text{dans les cas « raisonnables »})

il n'y a pas de morphismes d'un \mathcal{V}_{i,j} dans un des autres types, et \mathcal{V}_{i,j} enfin que le seul morphisme d'un \mathcal{V}^{*}_{i,j} dans un des autres types est

\mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow X_j^{*} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j}

les trois inclusions portent au manuscrit des numéros que nous ne lisons pas

en définitive, il n'y a plus lieu d'envisager d'autres morphismes entre ces types — pièces élémentaires.

p. 20 de l'auteur Ce sont aussi les diagrammes flèches en traits pleins des diagrammes fondamentaux (17).

Avec l'ens ordonné I, fabriquons donc un ens. ordonné diagramme dont les sommets sont considérés des symboles [i], [i,j], [i,j]^{*}, où i,j \in I, j successeur de i.

Les flèches du diagramme sont de trois types, qui sont toutes décrites dans

(19)

\begin{tikzcd} {[i,j]}^{*} \arrow[r] \arrow[d] & {[i,j]} & i^{*} \arrow[l] \\ {[j]}^{*} & & \end{tikzcd}

Désignons par \widetilde{I} ce diagramme, dont l'ens. des sommets s'identifie à en cardinal card I + 2\mathcal{V}, où \mathcal{V} card est l'ens. des drapeaux (i<j) « élémentaires », i.e. tels que j soit successeur de i et de des flèches est 3\mathcal{V}. Si I contient exactement deux éléments i,j avec i<j, si I \simeq \Delta_1 (ce diagramme est celui de (19)). Si I = \Delta_r = (0,1,\ldots,r), on trouve (en explicitant maintenant les symboles par les X_i^{*}, \mathcal{V}^{*}_{ij}, \mathcal{V}_{ij} qu'ils désignent) le diagramme

la page s'ouvre sur un début de tracé rayé, puis sur une première mise en place du même escalier, portée en haut à droite et annotée « NB on » ; nous ne donnons que la version au net

(20) \qquad \widetilde{\Delta}_n

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X_0^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,1} & \mathcal{V}^{*}_{0,1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & & & \\ & & X_1^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,2} & \mathcal{V}^{*}_{1,2} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\ & & & & X_2^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{2,3} & \mathcal{V}^{*}_{2,3} \arrow[l] \arrow[d] & & \\ & & & & & & X_3^{*} & & \\ & & & & & & \cdots \arrow[d] & & \\ & & & & & & X^{*}_{n-1} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n-1,n} & \mathcal{V}^{*}_{n-1,n} \arrow[l] \arrow[d] \\ & & & & & & & & X_n^{*} \end{tikzcd}

Si I est le diagramme a \leftarrow \bullet \rightarrow b, on trouve

(21)

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathcal{V}^{*}_{0,b} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{0,b} & X_0^{*} \arrow[l] \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,a} & \mathcal{V}^{*}_{0,a} \arrow[l] \arrow[d] \\ X_b^{*} & & & & X_a^{*} \end{tikzcd}

Si I est le diagramme a \rightarrow c \leftarrow b, on trouve

(22)

\begin{tikzcd} X_a^{*} \arrow[d] & & X_b^{*} \arrow[d] \\ \mathcal{V}_{a,c} & & \mathcal{V}_{b,c} \\ \mathcal{V}^{*}_{a,c} \arrow[u] \arrow[r] & X_c^{*} & \mathcal{V}^{*}_{b,c} \arrow[u] \arrow[l] \end{tikzcd}

etc.

La première chose qu'il faudrait préciser est le Supposons qu'on dispose sur I d'une fonction à valeurs entières

p. 21 de l'auteur (23) \qquad I \xrightarrow{\ d\ } \mathbb{Z} \qquad \Bigl( \text{i.e.} \quad I = \coprod_m I_m \Bigr)

jouant le rôle d'une fonction dimension (on une présentation en quelque sorte avec une fonction type codimension), satisfaisant la condition

(24) \qquad \text{si } i,j \in I ,\ i \leq j ,\ \text{ alors } d(j) = d(i)+1 \iff j \text{ succes. de } i

« I » est suivi d'un \emptyset biffé

Posons alors, pour m, n \in \mathbb{Z}

(25) \qquad \begin{cases} X_m^{*} = \coprod\limits_{i \in I_m} X_i^{*} \\[10pt] \mathcal{V}_{m,m+1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I \times I \\ i \leq j ,\ d(i)=m ,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}_{i,j} \\[16pt] \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} = \coprod\limits_{i,j \text{ comme dessus}} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \end{cases}

de sorte qu'on a les diagrammes

(26) \qquad (\mathrm{Diag})_m

\begin{tikzcd} X_m^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{m,m+1} & \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} \arrow[l] \arrow[d] \\ & & X^{*}_{m+1} \end{tikzcd}

s'enchaînant dans un diagramme comme

Enfin en principe, mais que nous c'est-à-dire forme d(I)d simplifier I fini, et en n'écrivant pas les parties du diagramme correspondant à des sommets occupés par des espaces vides :

les deux dernières lignes de la page sont reprises trois fois et biffées ; nous n'en donnons que ce qui se lit

Dans le cas d'une fonction codimension (\underline{d(j) = j-1} si j succ. de i), on pourra considérera des \mathcal{V}_{d,d-1}, \mathcal{V}^{*}_{d,d-1} au lieu des \mathcal{V}_{d,d+1}, \mathcal{V}^{*}_{d,d+1}, et le diagramme prend la forme

le manuscrit écrit bien « j-1 » ; le parallèle avec (24) demanderait « d(i)-1 »

(27) (cas d'une fonction codimension)

(27)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X_n^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n,n-1} & \mathcal{V}^{*}_{n,n-1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\ & & X^{*}_{n-1} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n-1,n-2} & \mathcal{V}^{*}_{n-1,n-2} \arrow[l] \arrow[d] & & \\ & & & & X^{*}_{n-2} & & \\ & & & & \cdots \arrow[d] & & \\ & & & & X_1^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,0} & \mathcal{V}^{*}_{1,0} \arrow[l] \arrow[d] \\ & & & & & & X_0^{*} \end{tikzcd}

p. 22 de l'auteur — c'est la page que la référence « le th. énoncé p. 22 » de la page 71 désigne Th. de recollement des tubes (première version) Considérons le diagramme de type \widetilde{I}, formé par les X_i^{*}, \mathcal{V}^{*}_{i,j}, \mathcal{V}_{i,j} (i,j \in I, j successeur de i) et les trois types de flèches précédents y figurant (en trait plein) explicités et indiqués dans (17). Alors X s'identifie au topos à la de ce type.

pour que ce soit précis, formes X déterminé par \mathrm{Top}(X) …note marginale écrite en diagonale le long du bord gauche, reprise plusieurs fois ; nous n'en donnons que ce qui se lit

Faute de disposer de définitions pour les voisinages tubulaires, je vais faire une démonstration, lorsqu'on en remplaçant \mathcal{V}_{i,j} par des vrais des \mathcal{V}_{i,j} \setminus R_{i,j} \cap \mathcal{V}_{i,j}, où X_j, de façon que \mathcal{V}_{i,j} est un voisinage de X_i dans X_j, et qu'on pose \mathcal{V}^{*}_{i,j} = \mathcal{V}_{i,j} \setminus X_i^{*}. Alors

tout ce paragraphe est barré de deux longs traits diagonaux ; nous en donnons le squelette

démonstration On va en donner une heuristique ci-dessous. Mais avant de le faire, et vu la généralisation, on va un énoncé qui permet d'exprimer ci- les « topos canoniques » associés à ce en termes de type \widetilde{I} formé des topos élémentaires.

4. Topos canoniques associés à une stratification globale

p. 23 de l'auteur On va montrer comment, à une situation stratifiée donnée, on peut en associer d'autres.

A) Images inverses générales. Rappelons les axiomes utilisés jusqu'à présent :

(1) \qquad \begin{cases} \text{a)} & X_i \text{ fermés},\ (X_i)_{i \in I} \text{ loc. fini} \\ \text{b)} & i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j \\ \text{c)} & X = \bigcup X_i \\ \text{d)} & \forall i,j \in I ,\ \ldots \quad X_i \cap X_j = \bigcup\limits_{k \leq i,j} X_k \end{cases}

Notons que pour tout X' au-dessus de X, la famille des

(2) \qquad X_i' \overset{\text{déf}}{=} X_i \times_X X'

le signe = est suivi d'un mot biffé que nous ne lisons pas

satisfait les mêmes conditions.

D'ailleurs le système \tfrac{1}{2} simpl. des X_{\Delta_r} — comme image inverse des X'_{\Delta_r}, défini par les X_i', Ainsi on a

(3) \qquad \begin{cases} X'_{\Delta_r} \simeq X_{\Delta_r} \times_X X' \\ X'^{\,*}_{\Delta_r} \simeq X^{*}_{\Delta_r} \times_X X' \\ \dot{X}'_{\Delta_r} = \dot{X}_{\Delta_r} \times_X X' \end{cases}

NB Nous appliquerons ces surtout au cas où X' est un ouvert de X. C'est pour pouvoir prendre de telles images inverses , qu'il n' pas été commode , de supposer les X_i ou les X_i^{*} non-vides, ou encore que I \mapsto X_i est un plongement d'ens ordonnés I \hookrightarrow \mathcal{P}(X).

Lorsque X' \to X est une immersion locale mais pas ( n'est une immersion ouverte !) alors la définition les images inverses fournies de X comment : la formation des voisinages tubulaires de une telle partie dans une entière. Notons

le haut de cette page est traversé par une longue note marginale diagonale, plusieurs fois reprise, qui recouvre le texte ; nous en donnons le fil et laissons en ce qu'elle rend illisible

d'ailleurs que pour i \leq j, on aura (sous l'hyp. d'ailleurs que X' \to X soit une immersion locale)

(4) \qquad \begin{cases} R'_{ij} = R_{ij} \times_X X' \\ S'_{ij} = S_{ij} \times_X X' \end{cases}

d'où, en le cas d'une immersion locale propre, des iso

(5) \qquad \begin{cases} \mathcal{V}'_{i,j} \simeq \mathcal{V}_{i,j} \times_X X' \\ \mathcal{V}'^{\,*}_{i,j} \simeq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \times_X X' \end{cases} \qquad i \leq j

p. 24 de l'auteur et plus généralement

(6) \qquad \mathcal{V}'^{\,j}_{i,k} \simeq \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \times_X X' ,

.

Ceci montre en particulier que la démonstration du th. de recollement, i.e. du th. énoncé p. 22, est une question locale sur X — ce qui permet p.ex. vides — on si I est fini.

la marge gauche porte ici une longue note diagonale et un appel de note \circledast ; ni l'une ni l'autre ne se lisent

Considérons p.ex. le cas où X' =

B) Cas d'un X_{I'}. Soit Soit I' une partie de I telle que

(7) \qquad i \leq j \in I' \implies i \in I'

et soit

(8) \qquad X_{I'} = \bigcup_{i \in I'} X_i \qquad (\text{partie fermée de } X)

(9) \qquad \text{On a bien sûr } I' \subset I'' \implies X_{I'} \subset X_{I''} , \text{ plus gén.!} (10) \qquad X_{I' \cup I''} = X_{I'} \cup X_{I''} \qquad \text{plus gén.} \begin{cases} X_{\cup I'_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha X_{I'_\alpha} \\ \text{avec } X_\emptyset = \emptyset \end{cases}

et aussi

(11) \qquad X_{I' \cap I''} = X_{I'} \cap X_{I''} \qquad (\text{donc } X_I = X)

qui vient de (1\ \mathrm{d}). Dans ces formules,

I', I'', les I'_\alpha sont des parties de I satisfaisant (7) (des cribles de I)

Si dans A) on prend X' = X, il est plus commode de travailler avec la stratification de X' définie par les X_i avec i \in I' — il est clair que les conditions (1) relatives : X' = X_{I'} sont satisfaites. Les « parties cribles » de X' pour cette stratification, on celles induites au sens général des espaces au-dessus de X, sont les mêmes — ou surtout les traces au induites sur X' = X_{I'} des parties-cribles de l'espace stratifié X.

Ici, les espaces élémentaires pour la stratification de type I' de X' = X_{I'}, sont les espaces

(12) \qquad X_i^{*} ,\ \mathcal{V}^{*}_{ij} ,\ \mathcal{V}_{ij} \quad \text{pour } i,j \in I' .

Combinant les deux opérations, on a p.ex. une stratification pour la \mathcal{U}' d'un X' = X_{I'}, on a les espaces élémentaires associés, qui sont donc les

(13) \qquad \mathcal{U}' \cap X_i^{*} ,\ \mathcal{U}' \cap \mathcal{V}^{*}_{ij} ,\ \mathcal{U} \cap \mathcal{V}_{ij} \qquad (i,j \in I')

ce dernier paragraphe et la formule (13) sont barrés d'une grande croix ; la formule est donnée ici sans rature, la rature portant sur le bloc entier

p. 25 de l'auteur Revenons pour un instant à X, et considérons l'ens des I_0 des i \in I tels que X_i = \emptyset. C'est un crible, et on a X_i^{*} = \emptyset, \mathcal{V}^{*}_{ij} = \mathcal{V}_{ij} = \emptyset si i \in I_0. Donc négligeant les espaces vides, on voit que le diagramme de type \widetilde{I} défini par l'espace stratifié X ne change pas quand on son I par I \setminus I_0, ou plus gén. par I \setminus I'_0, où I'_0 \subset I_0 est un crible, ce qui donne lieu : un diagramme \widetilde{I \setminus I'_0} qui est contenu dans \widetilde{I} (cela est vrai pour tout crible de I).

Si p.ex. on a deux cribles

(14) \qquad I'' \subset I' \subset I

d'où

(15) \qquad X_{I''} \subset X_{I'} \quad \text{et} \quad \mathcal{U}_{I',I''} \overset{\text{déf}}{=} X_{I'} \setminus X_{I''} ,

on peut (et on a) sur \mathcal{U}_{I',I''} regarder plutôt la filtration stratification de type I' \setminus I'', définie par les X_{i'} \setminus X_{i'} \cap X_{I''} (i' \in I') et

(16) \qquad X_{i',\, \mathcal{U}_{I',I''}} = X_{i'} \setminus X_{i'} \cap X_{I''} \subset \mathcal{U}_{I',I''}

dont les topos élémentaires sont donc les X_{i'}^{*} (i' \in I' \setminus I'') et des \mathcal{V}^{*}_{i,j',X'}, \mathcal{V}_{i,j',X'}

associés aux couples (i',j') avec i' \in I' \setminus I'', j' successeur de i'. On a

(17)

\begin{tikzcd} \mathcal{V}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{i',j'} \\ \mathcal{V}^{*}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] \arrow[u, hook] & \mathcal{V}^{*}_{i',j'} \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

mais il n'est pas clair en général que ce soient des seulement (des) équivalences d'homotopie …

Donc il faut mieux ne pas trop s' quand il s'agit de comparer les constructions sur un X_{I'}, et sur un \mathcal{U}_{I',I''} = X_{I'} \setminus X_{I''}.

Je vais en disposer par la suite des plus particulières ou qui se pour ce s'introduisent ainsi sur un ouvert \mathcal{U}_{I',I''} \ldots

C) Les \mathcal{V}^{\,I'''}_{I',I''}. On se donne trois cribles

(18) \qquad \begin{array}{c} I' \\ I''' \end{array} \subset I'' \subset I ,

d'où

(19) \qquad \begin{array}{c} X_{I'} \\ X_{I'''} \end{array} \subset X_{I''} \hookrightarrow X_I = X