Cote n° 151 · batch 4 · pages 61–74 · Transcription · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration

Introduction des tubes — suite

61Posons déjà

\[ (14) \qquad \begin{cases} \mathcal{V}_{\Delta_1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I^2 \\ i \leq j}} \mathcal{V}_{i,j} \\[10pt] \mathcal{V}^{*}_{\Delta_1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I^2 \\ i \leq j}} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \qquad \subset \mathcal{V}_{\Delta_1} \end{cases} \]

la seconde ligne s'ouvre sur un « \(\mathcal{V}\) » biffé ; le \(\subset\) porte « ouvert » écrit dessous

on a donc

\[ (15) \]

\begin{tikzcd}
  \mathcal{V}^{*}_{\Delta_1} \arrow[r, hook] \arrow[d]
    & \mathcal{V}_{\Delta_1} \arrow[d, dashed]
    & X^{*}_{\Delta_0} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\
  X^{*}_{\Delta_0} & X &
\end{tikzcd}

[…] qui reflètent les diagrammes

\[ (17) \]

\begin{tikzcd}
  \mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d]
    & \mathcal{V}_{i,j} \arrow[d, dashed]
    & X^{*}_{i} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\
  X^{*}_{j} & X &
\end{tikzcd}

NB Le […]la note marginale, écrite en diagonale au bas à gauche, accompagne un petit diagramme ordonné — un sommet d'où partent deux traits, l'un vers un sommet qui en domine un troisième ; nous ne la relions pas avec certitude au texte

Notons Finalement, on n'est pas sûr que les notations \((14)\) soient bien utiles — du fait […] que le carré dans \((15)\) n'a rien de cocartésien, car le diagramme en trait plein, qui est le diagramme « sous-

62p. 19 de l'auteur jacent » des diagrammes \((17)\), définit une limite qui se reproduit dans […] comme espace topologique, a peu de chances d'être homéo. à \(X\) (p.ex. si \(X\) connexe …) !

Les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) sont des germes de sous-espaces de \(X\), dont les seuls relations d[…] morphismes canoniques entre eux sont les morphismes d'inclusion — à quelle condition a-t-on

\[ (18) \qquad \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \subset \mathcal{V}^{\,j'}_{i',k'} \] \[ (19) \qquad i \leq j \leq k , \qquad i' \leq j' \leq k' \]

donnés ? Question […] il […] pour les espaces élémentaires

\[ X_i^{*} , \quad \mathcal{V}^{*}_{i,j} , \quad \mathcal{V}_{i,j} \qquad (j \text{ successeur de } i) \ ? \]

Cela Je vais […] supposer pour simplifier \[ \begin{cases} X_i^{*} \neq \emptyset \\ X_i \subset X_j \Rightarrow i \leq j \end{cases} \] — car sinon on aurait \(X_i^{*} = \emptyset\) (justifie …) Il n'y a donc pas de relations d'inclusion entre les \(X_i^{*}\) pour des indices distincts. Si pour \(\mathcal{V}_{i,j} \subset \mathcal{V}_{i',j'}\), prenons deux « pts » des \(X''\) […] genres d'après, il faut avoir \(X_i^{*} \subset X_{i'}^{*}\) d'où \(i = i'\) ; […] chose de […] que les \(j\) le long des \(X_i^{*}\) déterminent \(X_j\) (\(j\) successeur de \(i\)) […] bien voisinages […] \(\mathcal{V}\)) […] déjà \(j\) ce qui est […] devra avoir aussi \(j = j'\). De même, on voit que si \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset \mathcal{V}^{*}_{i',j'}\), […] un des pts d'adhérence, […] ce qui met \(\overline{X_i^{*}}\) et \(X_{i'}\) […] \(X_{i'}\) et \(X_{i'}\), sont en relation d'inclusion,

la page est ici surchargée de reprises ; nous donnons le fil de l'argument et laissons en […] ce qui ne se lit pas

63dans le cas (raisonnable) où \(\overline{X_i^{*}} = X_i\) \(\forall i\) ; on […] donc \(i \leq i'\). Dans le cas […] les cas \(i = i'\), on voit comme tout à l'heure que […] (« raisonnable ») \(j = j'\). Mais le cas \(i < i'\) est-il possible ? Comme \(\emptyset \neq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset X_j^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{i',j'} \subset X_{j'}^{*}\), on doit avoir \(X_j^{*} \cap X_{j'}^{*} \neq \emptyset\) donc \(j = j'\) si l'on avait […] (ci !)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & i' \arrow[r, no head] & j' & & X_{i'} \arrow[r, no head] & X_{j'} \\
  i \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & & X_i \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & \\
  & j & & & X_j &
\end{tikzcd}

donc \(i \leq i' < j = j'\) et par suite \(i' = i\) puisque \(j\) successeur de \(i\).

On voit de même que les seuls morphismes d'inclusion d'un \(X_i^{*}\) dans un des autres types est

\[ X_i^{*} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j} \qquad (\text{dans les cas « raisonnables »}) \]

il n'y a pas de […] morphismes d'un \(\mathcal{V}_{i,j}\) dans un des autres types, et \(\mathcal{V}_{i,j}\) enfin que le seul morphisme d'un \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) dans un des autres types est

\[ \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow X_j^{*} \] \[ \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j} \]

les trois inclusions portent au manuscrit des numéros que nous ne lisons pas

en définitive, il n'y a plus lieu d'envisager d'autres morphismes entre ces types — pièces élémentaires.

64p. 20 de l'auteur Ce sont aussi les diagrammes flèches en traits pleins des diagrammes fondamentaux \((17)\).

Avec l'ens ordonné \(I\), fabriquons donc un ens. ordonné diagramme dont les sommets sont considérés […] […] des symboles \([i]\), \([i,j]\), \([i,j]^{*}\), où \(i,j \in I\), \(j\) successeur de \(i\).

Les flèches du diagramme sont de trois types, qui sont toutes décrites dans

\[ (19) \]

\begin{tikzcd}
  {[i,j]}^{*} \arrow[r] \arrow[d] & {[i,j]} & i^{*} \arrow[l] \\
  {[j]}^{*} & &
\end{tikzcd}

Désignons par \(\widetilde{I}\) ce diagramme, dont l'ens. des sommets s'identifie à […] en cardinal card \(I + 2\mathcal{V}\), […] où \(\mathcal{V}\) card est l'ens. des drapeaux \((i<j)\) « élémentaires », i.e. tels que \(j\) soit successeur de \(i\) et de […] des flèches est \(3\mathcal{V}\). Si \(I\) contient exactement deux éléments \(i,j\) avec \(i<j\), si \(I \simeq \Delta_1\) (ce diagramme est celui de \((19)\)). Si \(I = \Delta_r = (0,1,\ldots,r)\), on trouve (en explicitant maintenant les symboles par les \(X_i^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{ij}\), \(\mathcal{V}_{ij}\) qu'ils désignent) le diagramme

65[…]la page s'ouvre sur un début de tracé rayé, puis sur une première mise en place du même escalier, portée en haut à droite et annotée « NB on […] » ; nous ne donnons que la version au net

\[ (20) \qquad \widetilde{\Delta}_n \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  X_0^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,1} & \mathcal{V}^{*}_{0,1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & & & \\
  & & X_1^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,2} & \mathcal{V}^{*}_{1,2} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\
  & & & & X_2^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{2,3} & \mathcal{V}^{*}_{2,3} \arrow[l] \arrow[d] & & \\
  & & & & & & X_3^{*} & & \\
  & & & & & & \cdots \arrow[d] & & \\
  & & & & & & X^{*}_{n-1} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n-1,n} & \mathcal{V}^{*}_{n-1,n} \arrow[l] \arrow[d] \\
  & & & & & & & & X_n^{*}
\end{tikzcd}

Si \(I\) est le diagramme \(a \leftarrow \bullet \rightarrow b\), on trouve

\[ (21) \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \mathcal{V}^{*}_{0,b} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{0,b}
    & X_0^{*} \arrow[l] \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,a}
    & \mathcal{V}^{*}_{0,a} \arrow[l] \arrow[d] \\
  X_b^{*} & & & & X_a^{*}
\end{tikzcd}

Si \(I\) est le diagramme \(a \rightarrow c \leftarrow b\), on trouve

\[ (22) \]

\begin{tikzcd}
  X_a^{*} \arrow[d] & & X_b^{*} \arrow[d] \\
  \mathcal{V}_{a,c} & & \mathcal{V}_{b,c} \\
  \mathcal{V}^{*}_{a,c} \arrow[u] \arrow[r] & X_c^{*} & \mathcal{V}^{*}_{b,c} \arrow[u] \arrow[l]
\end{tikzcd}

etc.

La première chose qu'il faudrait […] préciser est le Supposons qu'on dispose sur \(I\) d'une fonction à valeurs entières

66p. 21 de l'auteur \[ (23) \qquad I \xrightarrow{\ d\ } \mathbb{Z} \qquad \Bigl( \text{i.e.} \quad I = \coprod_m I_m \Bigr) \]

jouant le rôle d'une fonction dimension (on […] une présentation en quelque sorte […] avec une fonction type codimension), satisfaisant la condition

\[ (24) \qquad \text{si } i,j \in I ,\ i \leq j ,\ \text{ alors } d(j) = d(i)+1 \iff j \text{ succes. de } i \]

« \(I\) » est suivi d'un \(\emptyset\) biffé

Posons alors, pour \(m, n \in \mathbb{Z}\)

\[ (25) \qquad \begin{cases} X_m^{*} = \coprod\limits_{i \in I_m} X_i^{*} \\[10pt] \mathcal{V}_{m,m+1} = \coprod\limits_{\substack{(i,j) \in I \times I \\ i \leq j ,\ d(i)=m ,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}_{i,j} \\[16pt] \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} = \coprod\limits_{i,j \text{ comme dessus}} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \end{cases} \]

de sorte qu'on a les diagrammes

\[ (26) \qquad (\mathrm{Diag})_m \]

\begin{tikzcd}
  X_m^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{m,m+1} & \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} \arrow[l] \arrow[d] \\
  & & X^{*}_{m+1}
\end{tikzcd}

s'enchaînant dans un diagramme comme

Enfin en principe, mais que nous […] c'est-à-dire […] forme \(d(I)d\) […] simplifier \(I\) fini, et en n'écrivant pas les parties du diagramme […] correspondant à des […] sommets occupés par des espaces vides :

les deux dernières lignes de la page sont reprises trois fois et biffées ; nous n'en donnons que ce qui se lit

67Dans le cas d'une fonction codimension (\(\underline{d(j) = j-1}\) si \(j\) succ. de \(i\)), on pourra considérera des \(\mathcal{V}_{d,d-1}\), \(\mathcal{V}^{*}_{d,d-1}\) au lieu des \(\mathcal{V}_{d,d+1}\), \(\mathcal{V}^{*}_{d,d+1}\), et le diagramme prend la forme

le manuscrit écrit bien « \(j-1\) » ; le parallèle avec \((24)\) demanderait « \(d(i)-1\) »

(27) (cas d'une fonction codimension)

\[ (27) \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  X_n^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n,n-1} & \mathcal{V}^{*}_{n,n-1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\
  & & X^{*}_{n-1} \arrow[r] & \mathcal{V}_{n-1,n-2} & \mathcal{V}^{*}_{n-1,n-2} \arrow[l] \arrow[d] & & \\
  & & & & X^{*}_{n-2} & & \\
  & & & & \cdots \arrow[d] & & \\
  & & & & X_1^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,0} & \mathcal{V}^{*}_{1,0} \arrow[l] \arrow[d] \\
  & & & & & & X_0^{*}
\end{tikzcd}

68p. 22 de l'auteur — c'est la page que la référence « le th. énoncé p. 22 » de la page 71 désigne Th. de recollement des tubes (première version) Considérons le diagramme de type \(\widetilde{I}\), formé par les \(X_i^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\), \(\mathcal{V}_{i,j}\) (\(i,j \in I\), \(j\) successeur de \(i\)) et les trois types de flèches précédents y figurant (en trait plein) explicités et indiqué[s] dans \((17)\). Alors \(X\) s'identifie au topos à la […] de ce type.

pour que ce soit précis, […] formes […] \(X\) […] déterminé par \(\mathrm{Top}(X)\) …note marginale écrite en diagonale le long du bord gauche, reprise plusieurs fois ; nous n'en donnons que ce qui se lit

Faute de disposer de définitions […] pour les voisinages tubulaires, je vais faire une démonstration, lorsqu'on […] en remplaçant \(\mathcal{V}_{i,j}\) par des vrais […] des \(\mathcal{V}_{i,j} \setminus R_{i,j} \cap \mathcal{V}_{i,j}\), où \(X_j\), de façon que \(\mathcal{V}_{i,j}\) est un voisinage de \(X_i\) dans \(X_j\), et qu'on pose \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} = \mathcal{V}_{i,j} \setminus X_i^{*}\). Alors

tout ce paragraphe est barré de deux longs traits diagonaux ; nous en donnons le squelette

démonstration On va en donner une […] heuristique ci-dessous. Mais avant de le faire, et vu la généralisation, on va […] un énoncé qui permet d'exprimer ci-[…] les « topos canoniques » associés à ce […] en termes […] de type \(\widetilde{I}\) formé des topos élémentaires.

4. Topos canoniques associés à une stratification globale

69p. 23 de l'auteur On va montrer comment, à une situation stratifiée donnée, on peut en associer d'autres.

\medskip

A) Images inverses générales. Rappelons les axiomes utilisés jusqu'à présent :

\[ (1) \qquad \begin{cases} \text{a)} & X_i \text{ fermés},\ (X_i)_{i \in I} \text{ loc. fini} \\ \text{b)} & i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j \\ \text{c)} & X = \bigcup X_i \\ \text{d)} & \forall i,j \in I ,\ \ldots \quad X_i \cap X_j = \bigcup\limits_{k \leq i,j} X_k \end{cases} \]

Notons que pour tout \(X'\) au-dessus de \(X\), la famille des

\[ (2) \qquad X_i' \overset{\text{déf}}{=} X_i \times_X X' \]

le signe \(=\) est suivi d'un mot biffé que nous ne lisons pas

satisfait les […] mêmes conditions.

D'ailleurs le système \(\tfrac{1}{2}\) simpl. des \(X_{\Delta_r}\) — comme image inverse […] des \(X'_{\Delta_r}\), défini par les \(X_i'\), Ainsi on a

\[ (3) \qquad \begin{cases} X'_{\Delta_r} \simeq X_{\Delta_r} \times_X X' \\ X'^{\,*}_{\Delta_r} \simeq X^{*}_{\Delta_r} \times_X X' \\ \dot{X}'_{\Delta_r} = \dot{X}_{\Delta_r} \times_X X' \end{cases} \]

70NB Nous appliquerons ces […] surtout au cas où \(X'\) est un ouvert de \(X\). C'est pour pouvoir prendre de telles images inverses […], qu'il n'[…] pas été commode […], de supposer les \(X_i\) ou les \(X_i^{*}\) non-vides, ou encore que \(I \mapsto X_i\) est un plongement d'ens ordonnés \(I \hookrightarrow \mathcal{P}(X)\).

Lorsque \(X' \to X\) est une immersion locale mais pas ([…] n'est une immersion ouverte !) alors […] la définition les images inverses […] […] fournies de \(X\) comment : la formation des voisinages tubulaires d[e] une telle partie dans une entière. Notons

le haut de cette page est traversé par une longue note marginale diagonale, plusieurs fois reprise, qui recouvre le texte ; nous en donnons le fil et laissons en […] ce qu'elle rend illisible

d'ailleurs que pour \(i \leq j\), on aura (sous l'hyp. d'ailleurs que \(X' \to X\) soit une immersion locale)

\[ (4) \qquad \begin{cases} R'_{ij} = R_{ij} \times_X X' \\ S'_{ij} = S_{ij} \times_X X' \end{cases} \]

d'où, en le cas d'une immersion locale propre, des iso

\[ (5) \qquad \begin{cases} \mathcal{V}'_{i,j} \simeq \mathcal{V}_{i,j} \times_X X' \\ \mathcal{V}'^{\,*}_{i,j} \simeq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \times_X X' \end{cases} \qquad i \leq j \]

71p. 24 de l'auteur et plus généralement

\[ (6) \qquad \mathcal{V}'^{\,j}_{i,k} \simeq \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \times_X X' , \]

[…].

Ceci montre en particulier que la démonstration du th. de recollement, i.e. du th. énoncé p. 22, est une […] question locale sur \(X\) — ce qui permet p.ex. […] vides — on […] si \(I\) est fini.

[…]la marge gauche porte ici une longue note diagonale et un appel de note \(\circledast\) ; ni l'une ni l'autre ne se lisent

Considérons p.ex. le cas où \(X' = \)

\medskip

B) Cas d'un \(X_{I'}\). Soit Soit \(I'\) une partie de \(I\) telle que

\[ (7) \qquad i \leq j \in I' \implies i \in I' \]

et soit

\[ (8) \qquad X_{I'} = \bigcup_{i \in I'} X_i \qquad (\text{partie fermée de } X) \]

\[ (9) \qquad \text{On a bien sûr } I' \subset I'' \implies X_{I'} \subset X_{I''} , \text{ plus gén.!} \] \[ (10) \qquad X_{I' \cup I''} = X_{I'} \cup X_{I''} \qquad \text{plus gén.} \begin{cases} X_{\cup I'_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha X_{I'_\alpha} \\ \text{avec } X_\emptyset = \emptyset \end{cases} \]

et aussi

\[ (11) \qquad X_{I' \cap I''} = X_{I'} \cap X_{I''} \qquad (\text{donc } X_I = X) \]

qui vient de \((1\ \mathrm{d})\). Dans ces formules,

72\(I'\), \(I''\), les \(I'_\alpha\) sont des parties de \(I\) satisfaisant \((7)\) (des cribles de \(I\))

Si dans A) on prend \(X' = X\), il est plus commode de travailler avec la stratification de \(X'\) définie par les \(X_i\) avec \(i \in I'\) — il est clair que les conditions \((1)\) relatives : \(X' = X_{I'}\) sont satisfaites. Les « parties cribles » de \(X'\) pour cette stratification, on […] celles induites au sens général des espaces au-dessus de \(X\), sont les mêmes — ou surtout les traces au induites sur \(X' = X_{I'}\) des parties-cribles de l'espace stratifié \(X\).

Ici, les espaces élémentaires pour la stratification de type \(I'\) de \(X' = X_{I'}\), sont les espaces

\[ (12) \qquad X_i^{*} ,\ \mathcal{V}^{*}_{ij} ,\ \mathcal{V}_{ij} \quad \text{pour } i,j \in I' . \]

Combinant les deux opérations, on a p.ex. une stratification pour la […] \(\mathcal{U}'\) d'un \(X' = X_{I'}\), on a les espaces élémentaires associés, qui sont donc les

\[ (13) \qquad \mathcal{U}' \cap X_i^{*} ,\ \mathcal{U}' \cap \mathcal{V}^{*}_{ij} ,\ \mathcal{U} \cap \mathcal{V}_{ij} \qquad (i,j \in I') \]

ce dernier paragraphe et la formule \((13)\) sont barrés d'une grande croix ; la formule est donnée ici sans rature, la rature portant sur le bloc entier

73p. 25 de l'auteur Revenons pour un instant à \(X\), et considérons l'ens des \(I_0\) des \(i \in I\) tels que \(X_i = \emptyset\). C'est un crible, et on a \(X_i^{*} = \emptyset\), \(\mathcal{V}^{*}_{ij} = \mathcal{V}_{ij} = \emptyset\) si \(i \in I_0\). Donc négligeant les espaces vides, on voit que le diagramme de type \(\widetilde{I}\) défini par l'espace stratifié \(X\) ne change pas quand on […] son […] \(I\) par \(I \setminus I_0\), ou plus gén. par \(I \setminus I'_0\), où \(I'_0 \subset I_0\) […] est un crible, […] ce qui donne lieu : un diagramme \(\widetilde{I \setminus I'_0}\) qui est contenu dans \(\widetilde{I}\) (cela est vrai pour tout crible de \(I\)).

Si p.ex. on a deux cribles

\[ (14) \qquad I'' \subset I' \subset I \]

d'où

\[ (15) \qquad X_{I''} \subset X_{I'} \quad \text{et} \quad \mathcal{U}_{I',I''} \overset{\text{déf}}{=} X_{I'} \setminus X_{I''} , \]

on peut […] (et on a) sur \(\mathcal{U}_{I',I''}\) regarder plutôt la filtration stratification de type \(I' \setminus I''\), définie par les \(X_{i'} \setminus X_{i'} \cap X_{I''}\) (\(i' \in I'\)) et

\[ (16) \qquad X_{i',\, \mathcal{U}_{I',I''}} = X_{i'} \setminus X_{i'} \cap X_{I''} \subset \mathcal{U}_{I',I''} \]

dont les topos élémentaires sont donc les \(X_{i'}^{*}\) (\(i' \in I' \setminus I''\)) et des \(\mathcal{V}^{*}_{i,j',X'}\), \(\mathcal{V}_{i,j',X'}\)

74associés aux couples \((i',j')\) avec \(i' \in I' \setminus I''\), \(j'\) successeur de \(i'\). On a

\[ (17) \]

\begin{tikzcd}
  \mathcal{V}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{i',j'} \\
  \mathcal{V}^{*}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] \arrow[u, hook]
    & \mathcal{V}^{*}_{i',j'} \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

mais il n'est pas clair en général que ce soient des seulement (des) équivalences d'homotopie …

Donc il faut mieux ne pas trop s'[…] quand il s'agit de comparer les constructions sur un \(X_{I'}\), et sur un \(\mathcal{U}_{I',I''} = X_{I'} \setminus X_{I''}\).

Je vais en disposer par la suite des […] plus particulières ou qui se […] pour ce s'introduisent ainsi sur un ouvert \(\mathcal{U}_{I',I''} \ldots\)

\medskip

C) Les \(\mathcal{V}^{\,I'''}_{I',I''}\). On se donne trois cribles

\[ (18) \qquad \begin{array}{c} I' \\ I''' \end{array} \subset I'' \subset I , \]

d'où

\[ (19) \qquad \begin{array}{c} X_{I'} \\ X_{I'''} \end{array} \subset X_{I''} \hookrightarrow X_I = X \]