Cote n° 151 · batch 3 · pages 41–60 · Lecture modernisée · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

41–43

Les gerbes, ou ce que le niveau \(\Pi_{1}\) laissait échapper

La phrase interrompue au bas de la page 40 se termine ici, et elle énonce un principe de recollement d'un cran plus haut que celui des systèmes locaux : la donnée d'une gerbe \(\mathcal{G}_{X}\) sur \(X\) équivaut à celle d'une gerbe \(\mathcal{G}_{X^{*}}\) sur \(X^{*}\), d'une gerbe \(\mathcal{G}_{Y,X}\) sur le tube \(\mathcal{V}_{Y,X}\), et d'une équivalence entre leurs restrictions au tube épointé : \[ \mathcal{G}_{Y,X}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \;\simeq\; \mathcal{G}_{X^{*}}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X}. \] C'est le même schéma de recollement que pour les faisceaux constructibles, avec des gerbes à la place des systèmes locaux — et, comme il s'agit d'une équivalence entre objets d'une \(2\)-catégorie et non d'une égalité, c'est précisément là que loge l'information que la troncation en dimension 1 avait perdue.

Sur un \(K(\pi,1)\), une \(A\)-gerbe s'interprète canoniquement comme une extension de \(\pi\) par \(A\).¹ Se donner une gerbe sur \(X\) revient donc à se donner deux extensions — l'une de \(\pi_{1}(Y)\) par \(A\), l'autre de \(\pi_{1}(X^{*})\) par \(A\) — et un isomorphisme entre les deux extensions de \(D\) par \(A\) qu'elles induisent, \(D = \pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) étant le groupe de décomposition, muni de ses deux flèches vers \(\pi_{1}(Y)\) et \(\pi_{1}(X^{*})\).

Le calcul sur la sphère

Reprenons \(X = S^{2}\), \(Y = \{\infty\}\), \(X^{*} = \mathbb{C}\), où \(D \simeq \mathbb{Z}\) et où les deux groupes fondamentaux \(\pi_{1}(Y)\) et \(\pi_{1}(X^{*})\) sont triviaux. Les deux extensions sont alors triviales, et il ne reste rien à choisir que l'isomorphisme entre les deux extensions triviales de \(\mathbb{Z}\) par \(A\) qu'elles induisent — c'est-à-dire un automorphisme de l'extension triviale, c'est-à-dire un élément de \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},A) \simeq A\). D'où \[ H^{2}(S^{2}, A) \;\simeq\; A, \] la valeur correcte.²

Ce succès vaut confirmation de l'intuition d'ensemble : il y a une théorie des \(\varinjlim\) de types d'homotopie, et le type d'homotopie d'une limite inductive de topos est la limite inductive des types d'homotopie. Pour des espaces stratifiés dont les pièces sont des \(K(\pi,1)\) — l'exemple visé étant les espaces de modules de Teichmüller, leurs compactifiés et leurs voisinages tubulaires — le type d'homotopie doit s'exprimer en termes d'un système inductif convenable, le plus souvent fini, des groupoïdes fondamentaux des pièces. C'est le programme que sert tout le reste du dossier.³

44–49

2. Stratifications globales : le formalisme \(\tfrac{1}{2}\) simplicial, sans tubes

On quitte le cas de deux morceaux. Le cadre est un espace topologique \(X\) — plus tard, un topos quelconque — et une famille de sous-espaces indexée par un ensemble ordonné \(I\) : \[ (X_{i})_{i \in I}, \qquad X_{i} \subset X, \] soumise à deux conditions :

• a) les \(X_{i}\) sont fermés et la famille est localement finie ;
• b) \(i \leq j \implies X_{i} \subset X_{j}\).

Aucune hypothèse de trivialité locale n'est faite, et les conditions de connexité et de locale connexité qu'exigera la faisceautisation sur \(X\) sont délibérément différées.

Drapeaux

On pose \[ X_{\Delta_{0}} = \coprod_{i \in I} X_{i} = \bigl\{ (x,i) \in X \times I \ \big|\ x \in X_{i} \bigr\}, \] et la condition a) dit exactement que le morphisme canonique \(X_{\Delta_{0}} \to X\) est fini — propre, séparé, à fibres finies ; c'est aussi une immersion locale. On introduit ensuite la partie fermée \[ X_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \Gamma_{i,j} \;\subset\; X_{\Delta_{0}} \times X_{\Delta_{0}}, \qquad \Gamma_{i,j} \subset X_{i} \times X_{j} \text{ le graphe de } X_{i} \hookrightarrow X_{j}, \] qui n'est autre que le graphe d'une relation d'ordre sur \(X_{\Delta_{0}}\) : \[ (x,i) \leq (y,j) \iff x = y \text{ et } i \leq j, \] soit l'ordre induit par l'ordre produit de \(X \times I\), \(X\) étant muni de l'ordre discret. Le couple \((X_{\Delta_{0}}, X_{\Delta_{1}})\) est donc un objet ordonné de la catégorie des espaces topologiques : une catégorie interne, d'objet des objets \(X_{\Delta_{0}}\), d'objet des flèches \(X_{\Delta_{1}}\), de source \(\sigma\), de but \(b\), et de composition \[ X_{\Delta_{2}} = (X_{\Delta_{1}},b) \times_{X_{\Delta_{0}}} (X_{\Delta_{1}},\sigma) \longrightarrow X_{\Delta_{1}}, \qquad (x,y,z) \mapsto (x,z). \]

Les deux projections ne jouent pas le même rôle, et la dissymétrie est le fait technique central de la section :

• \(\sigma \colon X_{\Delta_{1}} \to X_{\Delta_{0}}\) est un revêtement étale, et même constant au-dessus de chaque \(X_{i}\), de fibre \(I_{i} = \{ j \in I \mid j \geq i \}\) — donc fini si les \(I_{i}\) le sont ;
• \(b \colon X_{\Delta_{1}} \to X_{\Delta_{0}}\) n'est qu'une immersion locale.

En degré quelconque, les produits fibrés itérés donnent les drapeaux : \[ \begin{aligned} X_{\Delta_{r}} &= \bigl\{ (x_{0},\ldots,x_{r}) \in X_{\Delta_{0}}^{\,r+1} \ \big|\ x_{0} \leq \cdots \leq x_{r} \bigr\} \\ &\simeq \bigl\{ (x, i_{0},\ldots,i_{r}) \ \big|\ x \in X_{i_{0}},\ i_{0} \leq \cdots \leq i_{r} \bigr\} \\ &\simeq \coprod_{i_{*} \in I(\Delta_{r})} X_{i_{0}}, \end{aligned} \] où \(I(\Delta_{r}) = \mathrm{Hom}_{\text{ens. ord.}}(\Delta_{r}, I)\) est l'ensemble des drapeaux de longueur \(r\) de \(I\). Autrement dit : \(X_{\Delta_{*}}\) est le nerf de l'objet ordonné, et il se plonge dans le produit \(X \times I_{\Delta_{*}}\), dont il hérite sa structure simpliciale : une application croissante \(\alpha \colon \Delta_{r'} \to \Delta_{r}\) induit \[ \alpha^{*} \colon X_{\Delta_{r}} \longrightarrow X_{\Delta_{r'}}, \qquad \alpha^{*}(x,i_{*}) = (x,\ i_{*} \circ \alpha). \]

Deux remarques du manuscrit méritent d'être conservées. D'abord, tout se généralise en remplaçant l'ensemble ordonné \(I\) par une catégorie \(\mathcal{C}\) et la famille par un foncteur de \(\mathcal{C}\) vers les parties fermées de \(X\). Ensuite, si l'on part d'une famille sans ordre, on peut toujours poser \(i \leq j \iff X_{i} \subseteq X_{j}\) ; mais la présentation adoptée n'exige ni que \(i \mapsto X_{i}\) soit injective, ni que ce soit un plongement d'ensembles ordonnés — la réciproque de b) n'est pas requise. C'est une liberté délibérée, et la section 4 dira pourquoi : elle est ce qui permet de prendre des images inverses sans avoir à jeter les indices devenus vides.

Ce qui est étale, ce qui ne l'est pas

La dissymétrie entre \(\sigma\) et \(b\) se propage à tous les degrés. Si \(\alpha \colon \Delta_{r'} \to \Delta_{r}\) vérifie \(\alpha(0) = 0\), alors \(\alpha^{*}\) est un morphisme de revêtements étales au-dessus de \(X\) ; en particulier \(X_{\Delta_{r}} \to X_{\Delta_{0}}\), \((x,i_{0},\ldots,i_{r}) \mapsto (x,i_{0})\), en est un. Plus précisément, au-dessus du composant \(X_{i'_{*}}\) de \(X_{\Delta_{r'}}\), le revêtement est constant de fibre l'ensemble des drapeaux de type \(\Delta_{r}\) qui s'envoient sur \(i'_{*}\) : \[ \alpha^{*-1}\bigl(X_{i'_{*}}\bigr) \;\simeq\; X_{i'_{*}} \times \bigl\{ i_{*} \in I(\Delta_{r}) \ \big|\ i_{*} \circ \alpha = i'_{*} \bigr\}. \] Sans la condition \(\alpha(0) = 0\), on ne peut affirmer que des immersions locales — et de même \(X_{\Delta_{r}} \to X\) n'est jamais qu'une immersion locale.⁴

Le manuscrit note enfin qu'on aurait intérêt à éliminer les redondances en se bornant aux drapeaux non dégénérés, c'est-à-dire aux suites strictement croissantes, ce qui oblige à ne garder que les \(\alpha\) strictement croissantes. C'est la variante semi-simpliciale, et c'est ce que l'auteur appelle « \(\tfrac{1}{2}\) simplicial ».⁵

50–53

Reconstituer \(X\)

La question posée est celle de savoir si le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_{\Delta_{1}} \arrow[dl, "\sigma"'] \arrow[dr, "b"] & \\
X_{\Delta_{0}} \arrow[dr, dashed] & & X_{\Delta_{0}} \arrow[dl, dashed] \\
& X &
\end{tikzcd}

est cocartésien, c'est-à-dire si \(X \simeq X_{\Delta_{0}} \amalg_{X_{\Delta_{1}}} X_{\Delta_{0}}\). Il y faut deux conditions de plus :

• c) \(X = \bigcup_{i} X_{i}\) ;
• d) pour tous \(i,j\), \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,\ k \leq j} X_{k}\).

Proposition. Sous a), b), c), d), l'application canonique \[ \varinjlim X_{\Delta_{*}} \xrightarrow{\ \sim\ } X \] est un homéomorphisme — et l'énoncé vaut pour les deux variantes, drapeaux quelconques ou drapeaux non dégénérés.

Le corollaire donne la réciproque, et c'est lui qui fait de la construction une équivalence de données. Soit \((X_{\Delta_{0}}, X_{\Delta_{1}})\) un espace topologique ordonné tel que \(X_{\Delta_{1}}\) soit fermé dans le produit et que, pour tous \(i,j\), la trace \(\Gamma_{i,j} = X_{\Delta_{1}} \cap (X_{i} \times X_{j})\) soit vide ou le graphe d'une immersion fermée \(X_{i} \hookrightarrow X_{j}\). Alors \(\sigma\) est un revêtement étale constant, \(b\) une immersion locale, la relation \(i \leq j \iff \Gamma_{i,j} \neq \emptyset\) est un ordre sur \(I\), et les \(X_{i}\) forment un système inductif d'espaces topologiques à morphismes de transition des immersions fermées. Si de plus \(I\) est fini et stable par bornes inférieures, \[ X = \varinjlim_{i \in I} X_{i} \;\simeq\; X_{\Delta_{0}} / \bigl(X_{\Delta_{1}} \rightrightarrows\bigr), \] les \(X_{i} \hookrightarrow X\) étant des immersions fermées.

Une limite inductive stricte, et pourquoi elle ne suffira pas

Cette proposition est vraie et n'est pas ce qu'il faudra. La limite inductive qu'elle exhibe est une limite d'espaces : le quotient de \(\coprod_{i} X_{i}\) par la relation d'équivalence engendrée par les inclusions, c'est-à-dire \(\varinjlim_{i \in I} X_{i}\). Elle redonne \(X\) comme espace, ce qui est exact ; mais elle ne dit rien de son type d'homotopie, parce que les \(X_{i}\) sont fermés les uns dans les autres. Entre deux morceaux voisins, la seule chose que ce diagramme enregistre est un bord — et un bord ne dit pas comment l'un s'approche de l'autre, comme la sphère l'a déjà montré à la section précédente.

C'est exactement pour cela que la section 3 remplacera les fermés \(X_{i}\) par des tubes, qui sont des voisinages. La limite inductive stricte restera la même ; la limite inductive homotopique, elle, deviendra la bonne.⁶

Faut-il que les intersections soient des morceaux ?

La condition d) demande que \(X_{i} \cap X_{j}\) soit réunion des \(X_{k}\) en dessous. Faut-il exiger davantage — que la borne inférieure \(i \wedge j\) existe et que \(X_{i \wedge j} = X_{i} \cap X_{j}\) ?

Le manuscrit répond non, et son contre-exemple est un dessin. Prenez le cercle, coupé en deux arcs \(A\) et \(B\) par deux points \(a\) et \(b\) : quatre strates, \(A \cap B = \{a\} \cup \{b\}\), deux strates connexes dont l'intersection ne l'est pas. Prenez-en le cône, de sommet \(o\) : une stratification locale en \(o\) à cinq strates. « Faut-il l'éliminer pour autant ? Il ne semble pas. La suite le montrera bien ! » — et il a raison, car ce sont précisément les stratifications de ce type qui se présentent dans la nature.

53–55

Les strates

Les \(X_{i}\) ne sont pas les morceaux : ils sont les fermés dont les morceaux sont les différences. Pour tout \(x \in X\), l'ensemble \(I_{x} = \{ i \in I \mid x \in X_{i}\}\) est fini par a), et filtrant décroissant par d) ; il a donc un plus petit élément \[ i(x) = \text{le plus petit } i \in I \text{ tel que } x \in X_{i}. \] Et pour tout \(i\) on pose \[ \dot{X}_{i} = \bigcup_{j < i} X_{j} \quad (\text{fermé de } X_{i}), \qquad X_{i}^{*} = X_{i} \smallsetminus \dot{X}_{i} \quad (\text{ouvert de } X_{i}). \]

Proposition. Les \(X_{i}^{*}\) sont deux à deux disjoints, leur réunion est \(X\), et \(i(x)\) est l'unique indice \(i\) tel que \(x \in X_{i}^{*}\).

Démonstration. Soient \(i \neq j\) et \(x \in X_{i}^{*} \cap X_{j}^{*}\). Alors \(x \in X_{i} \cap X_{j}\), donc par d) il existe \(k \leq i,j\) avec \(x \in X_{k}\). Si \(k = i\), alors \(i \leq j\), donc \(i < j\), et \(x \in \dot{X}_{j}\), ce qui contredit \(x \in X_{j}^{*}\). Donc \(k < i\), d'où \(X_{k} \subset \dot{X}_{i}\) et \(x \in \dot{X}_{i}\), ce qui contredit \(x \in X_{i}^{*}\). La réunion est \(X\) et l'unicité est immédiate par définition de \(i(x)\).⁷

La conséquence à retenir, et que le manuscrit n'énonce pas sous cette forme, est que \(x \mapsto i(x)\) est une application continue de \(X\) vers \(I\) muni de la topologie d'Alexandrov : les parties ouvertes de \(I\) y sont les parties croissantes, et l'image inverse d'une partie décroissante \(\{ j \mid j \leq i \}\) est précisément \(X_{i}\), qui est fermé. C'est la définition moderne d'un espace stratifié par un ensemble ordonné, et elle est ici entièrement contenue dans les conditions a) à d).⁸

Les mêmes définitions se propagent aux drapeaux : \[ \dot{X}_{\Delta_{0}} = \coprod_{i} \dot{X}_{i}, \qquad X^{*}_{\Delta_{0}} = X_{\Delta_{0}} \smallsetminus \dot{X}_{\Delta_{0}} = \coprod_{i} X_{i}^{*}, \] et en degré \(r\) par image inverse le long de \(\sigma_{r} \colon X_{\Delta_{r}} \to X_{\Delta_{0}}\), ce qui fait de \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) un fermé et de \(X^{*}_{\Delta_{r}}\) un ouvert de \(X_{\Delta_{r}}\). Les applications \(\alpha^{*}\) avec \(\alpha(0) = 0\) respectent la partition. En revanche — et l'avertissement est de l'auteur — les \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) ne forment pas un espace semi-simplicial : seule la moitié des applications les préserve.

« Moralement », dit-il, \(X^{*}_{\Delta_{r}}\) est la partie non singulière de \(X_{\Delta_{r}}\) et \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) son bord. Le propos reste, dans l'esprit de la section 1, de reconstituer \(X\) à partir des strates \(X_{i}^{*}\) — la section 1 étant le cas où \(I\) a deux éléments, \(X_{0} = Y\) et \(X_{1} = X\), avec \(Y = Y^{*}\) et \(X^{*} = X \smallsetminus Y\), et où il avait fallu introduire \(\mathcal{V}_{Y,X}\).

56–60

3. Stratifications globales : introduction des tubes

C'est le mot « il avait fallu » qui commande la section suivante. Pour tout couple \(i \leq j\) on pose \[ \overline{\mathcal{V}}_{i,j} = \mathcal{V}_{X_{i},X_{j}} \qquad (\text{voisinage tubulaire de } X_{i} \text{ dans } X_{j}), \] au sens laissé programmatique par la section 1, et l'on découpe dedans. Le découpage se fait avec une seule partie fermée auxiliaire : \[ R_{i,j} = \bigcup \bigl\{ X_{k} \ \big|\ k < j,\ X_{k} \not\supset X_{i} \bigr\}, \] la réunion des morceaux de \(X_{j}\) qui ne contiennent pas \(X_{i}\) — ceux qui « ne voient pas » la strate depuis laquelle on regarde.⁹

Le fait qui rend le découpage utilisable est le suivant, et il est démontré sur la page : \[ R_{i,j} \cap X_{i} = \dot{X}_{i}. \] En effet, si \(X_{k} \not\supset X_{i}\), l'intersection \(X_{k} \cap X_{i}\) est, par la condition d), la réunion des \(X_{\ell}\) avec \(\ell \leq k,i\) ; chacun de ces \(X_{\ell}\) est strictement contenu dans \(X_{i}\), donc \(\ell < i\) et \(X_{\ell} \subset \dot{X}_{i}\). L'inclusion inverse est triviale.

Trois espaces, et ce qu'ils valent

On pose alors \[ \mathcal{V}_{i,j} = \overline{\mathcal{V}}_{i,j} \smallsetminus R_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} = \overline{\mathcal{V}}_{i,j} \smallsetminus \dot{X}_{j} = \mathcal{V}_{i,j} \cap X_{j}^{*}, \] la seconde égalité valant parce que \(R_{i,j} \subset \dot{X}_{j}\). Et l'identité ci-dessus donne \[ \mathcal{V}_{i,j} \cap X_{i} = X_{i}^{*} : \] \(\mathcal{V}_{i,j}\) est un espace infinitésimal autour de la strate \(X_{i}^{*}\), et non autour du fermé \(X_{i}\). C'est le gain de tout le découpage. Pour \(i = j\) tout se dégénère proprement : \[ \overline{\mathcal{V}}_{i,i} = X_{i}, \qquad \mathcal{V}_{i,i} = \mathcal{V}^{*}_{i,i} = X_{i}^{*}, \] de sorte que les strates elles-mêmes sont des cas particuliers des tubes.

Les pierres de construction sont donc les \(\mathcal{V}_{i,j}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\), avec les inclusions incidentes :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_{i}^{*} \arrow[d, "\text{âme}"] \\
\mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \\
X_{j}^{*} &
\end{tikzcd}

\(X_{i}^{*}\) étant l'âme du tube : le mot est de l'auteur, et il est le bon, puisque c'est la section sur laquelle le tube se rétracte.

La géométrie du tube

Sous des hypothèses de lissité et de trivialité normale locale — pour une variété algébrique complexe stratifiée par des sous-variétés fermées, par exemple — les tubes prennent une forme précise, et c'est cette forme qui justifie qu'on les ait préférés aux fermés. Le tube épointé \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) est un fibré localement trivial sur \(X_{i}^{*}\), de fibre un cylindre ouvert \(\mathbb{R} \times C_{i,j}\) où \(C_{i,j}\) est une variété topologique compacte ; et \(\mathcal{V}_{i,j}\) est le fibré en cônes correspondant, de fibre le cône sur \(C_{i,j}\). Quand \(j\) n'est pas un successeur de \(i\), \(C_{i,j}\) est encore une variété, mais non compacte.¹⁰

L'auteur juge alors ses pierres mal taillées : trop générales d'un côté, pas assez de l'autre pour contenir les morceaux dont il aurait besoin, et il renvoie à un autre de ses textes.¹¹ La restriction qu'il retient est de se borner aux couples \(i \leq j\) où \(j\) est un successeur de \(i\) — c'est-à-dire où il n'existe aucun \(k\) avec \(i < k < j\). Ce sont ces pierres-là, dites élémentaires, dont le lot suivant fera le diagramme \(\widetilde{I}\).

Les tubes mixtes

Reste une famille intermédiaire, qui interpole entre \(\mathcal{V}^{*}_{i,k}\) et \(\mathcal{V}_{i,k}\). Étant donné \(i \leq j \leq k\), on pose \[ S_{j,k} = \bigcup \bigl\{ X_{\ell} \ \big|\ \ell < k,\ X_{\ell} \supset X_{j} \bigr\}, \qquad \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} = \overline{\mathcal{V}}_{i,k} \smallsetminus \bigl( R_{i,k} \cup S_{j,k} \bigr). \] Les deux parties \(R_{j,k}\) et \(S_{j,k}\) répondent à la partition de \(\{\ell \in I \mid \ell < k\}\) selon que \(X_{\ell}\) contient ou non \(X_{j}\), de sorte que \(R_{j,k} \cup S_{j,k} = \dot{X}_{k}\). Comme \(i \leq j\) entraîne \(R_{i,k} \subset R_{j,k}\), on a bien \(R_{i,k} \cup S_{j,k} \subset \dot{X}_{k}\), et la famille est croissante en \(j\) : \[ \mathcal{V}^{*}_{i,k} \;\subset\; \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \;\subset\; \mathcal{V}_{i,k}, \qquad \mathcal{V}^{\,i}_{i,k} = \mathcal{V}^{*}_{i,k}, \qquad \mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k}, \] les deux valeurs extrêmes venant de \(R_{i,k} \cup S_{i,k} = \dot{X}_{k}\) d'une part, de \(S_{k,k} = \emptyset\) de l'autre. On retrouve pour \(i = j = k\) la strate \(X_{i}^{*}\).¹²

Le tube mixte \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) tend lui aussi à être un fibré localement trivial de base \(X_{i}^{*}\), mais sa fibre peut être singulière : dans le cas \(\mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k}\) avec \(k\) successeur de \(i\), la singularité est isolée ; en général elle peut être de type arbitraire — il suffit de prendre \(X_{i} = X_{i}^{*}\) réduit à un point pour la mettre tout entière dans la fibre. C'est ce qui diminue l'intérêt des tubes mixtes comme pierres, et c'est pourquoi le programme annoncé à la fin de la section est celui-ci : exprimer tout avec les \(X_{i}^{*}\) et les tubes élémentaires \(\mathcal{V}_{i,j}\), \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) (\(j\) successeur de \(i\)) ; voir ensuite si certaines expressions se simplifient en admettant tous les \(i \leq j\) ; et seulement en dernier lieu, en vue du cas des diviseurs à croisements normaux, voir comment les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) s'insèrent dans ce formalisme.

C'est ce programme que le dernier lot exécute, dans l'ordre annoncé, et qu'il laisse inachevé à sa troisième étape.