Cote n° 151 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration

Gerbes sur une somme amalgamée — fin

41… uns « évidents », qui ici dit que la donnée d'une gerbe \(\mathcal{G}_X\) sur \(X\) revient : celle des gerbes \(\mathcal{G}_{X^{*}}\) sur \(X^{*}\) et \(\mathcal{G}_{Y,X}\) sur \(\mathcal{V}_{Y,X}\), et d'une iso. équivalence de telles gerbes

\[ (24) \qquad \mathcal{G}_{Y,X}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \;\simeq\; \mathcal{G}_{X^{*}}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X} . \]

Or sur un \(K(\pi,1)\), une \(A\)-gerbe s'interprète canoniquement comme une extension de \(\pi\) par \(A\). Donc la donnée d'une gerbe sur \(X\) \(S^{2}\) revient : celle […] de deux extensions, l'une de \(\pi_1(Y)\) par \(A\), l'autre de \(\pi_1(X^{*})\) par \(A\), et d'un isom. entre les deux extensions de \(D\) par \(A\) qui s'en déduisent […] (une description modulo […] que les « pièces » \(Y\), \(X^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) sont connexes, et que leur \(\pi_2\) est nul).

\(D \to \pi_1(Y)\), \(D \to \pi_1(X^{*})\).

42Dans le cas élémentaire de \(S^{2}\) [de (23)], on trouve donc que la donnée d'une gerbe sur \(S^{2}\) équivaut : celle d'un automorphisme de l'extension triviale de \(\mathbb{Z}\) par \(A\), donc : un élément de \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}, A) \simeq A\), d'où la valeur correcte

\[ (25) \qquad H^{2}(S^{2}, A) \;\simeq\; A , \]

un magnifique succès ! Sans aller plus loin dans des les vérifications, c'est un […] que l'intuition qu'il y a une théorie des limites inductives \(\varinjlim\) de types d'homotopie (ou un théorème ; le cas Kampen, disant que le type d'homotopie d'une \(\varinjlim\) de topos (topos « usuels ») est la \(\varinjlim\) des types d'homotopie), est bien correcte. En principe, pour

43des « espaces stratifiés » (en un sens qui va être précisé plus bas) dont les « pièces » sont des \(K(\pi,1)\), tels les espaces modulaires de Teichmüller et leurs compactifiés, et leurs sous-espaces et voisinages tubulaires […], qu'on peut leur associer quasi : leur stratification canonique, le type d'homotopie doit pouvoir s'exprimer en termes d'un système inductif convenable (le plus souvent : ens. d'indices fini) de groupoïdes fondamentaux des dites pièces.

Il me semble d'ailleurs, réflexion faite, que cette théorie « d'intégration » des types d'homotopie, que naguère je voyais comme un lien au grand yoga des relations entre structures homotopiques (ou catégories, sur un topos disons) et les […] groupoïdes, est en fait relativement triviale, et justiciable sans doute de techniques d'explicitation des plus standard. Je me réserve d'y revenir là-dessus par la suite.

2. Stratifications globales : formalisme \(\tfrac{1}{2}\) simplicial (sans tubes)

44Pour simplifier, je vais me placer sur un espace topologique \(X\) — par la suite \(X\) deviendra un topos quelconque. Les constructions qui suivent, relatives à une « stratification globale », seront « faisceautisées » sur \(X\) par le lecteur, de la façon habituelle — ce qui amènera [alors] à imposer des conditions supplémentaires de connexité et de locale connexité, qui pour le moment ne sont pas nécessaires. De même, il n'y a pas lieu pour le moment de s'encombrer d'hypothèses de locale trivialité usuelle des plongements d'espaces.

Soit \(I\) un ensemble ordonné, […]

\[ (1) \qquad (X_i)_{i \in I}, \qquad X_i \subset X \]

une famille de parties sous-espaces de \(X\). On suppose

\[ (1') \qquad \begin{cases} \text{a) Les } X_i \text{ fermés, la famille } (X_i) \text{ localement finie.} \\ \text{b) } i \leq j \implies X_i \subset X_j . \end{cases} \]

Posant

\[ (2) \qquad X_{\Delta_0} \;=\; \coprod_{i \in I} X_i \;=\; \bigl\{ (x,i) \in X \times I \ \big|\ x \in X_i \bigr\} \]

on a un morphisme canonique

45\[ (3) \qquad X_{\Delta_0} \longrightarrow X \]

et l'hypothèse a) signifie que ce morphisme […] est fini — i.e. propre séparé et à fibres finies. C'est aussi une immersion locale.

On introduit une partie fermée

\[ (4) \qquad X_{\Delta_1} \;\subset\; X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} \;=\; \coprod_{(i,j) \in I \times I} X_i \times X_j , \] \[ \phantom{(4)} \qquad X_{\Delta_1} \underset{\text{déf}}{=} \coprod_{i \leq j} \Gamma_{i,j} \]

\[ (5) \qquad \Gamma_{ij} \subset X_i \times X_j \quad \text{« graphe de l'inclusion } X_i \hookrightarrow X_j \text{ ».} \]

On voit alors que les deux projections du diagramme (6)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_{\Delta_1} \arrow[dl, "\sigma"'] \arrow[dr, "b"] & \\
X_{\Delta_0} & & X_{\Delta_0}
\end{tikzcd}

ont respectivement les propriétés suivantes :

\[ (7) \qquad \begin{cases} \text{a) } X_{\Delta_1} \xrightarrow{\ \sigma\ } X_{\Delta_0} \text{ est un revêtement étale} \\ \qquad (\text{sur chaque pièce } X_i) \text{ — en fait constant,} \\ \qquad \text{de fibre égale à } I_i = \{ j \in I \mid j \geq i \}, \\ \qquad \text{donc rev. fini si les } I_i \text{ sont finis} \\ \text{b) } X_{\Delta_1} \xrightarrow{\ b\ } X_{\Delta_0} \text{ est une immersion locale.} \end{cases} \]

46Par ailleurs \(X_{\Delta_1}\) est le graphe d'une relation d'ordre sur \(X_{\Delta_0} = \{ (x,i) \in X \times I \mid x \in X_i \}\), avec

\[ (8) \qquad (x,i) \leq (y,j) \iff x = y, \quad i \leq j \]

i.e. c'est la relation d'ordre induite par l'ordre produit de \(X \times I\), \(X\) étant […] muni de l'ordre discret. Par suite, le couple \(\bigl( X_{\Delta_0},\ X_{\Delta_1} \subset X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} \bigr)\) peut être regardé comme un « objet ordonné de la catégorie des espaces topologiques » — d'où une catégorie dans la catégorie des espaces topologiques, ayant \(X_{\Delta_0}\) comme objet des objets, \(X_{\Delta_1}\) comme objet des flèches, \(\sigma\) et \(b\) de (6) comme morphismes source et but, et la composition des flèches étant le morphisme (9)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{\Delta_2} \underset{\text{déf}}{=} (X_{\Delta_1}, b) \times_{X_{\Delta_0}} (X_{\Delta_1}, \sigma) \arrow[r] \arrow[d, hook] & X_{\Delta_1} \arrow[d, hook] \\
X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} & X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0}
\end{tikzcd}

induit par la projection \((x,y,z) \mapsto (x,z)\). Plus généralement, on introduit en

47termes de (6) les produits fibrés multiples de \(X_{\Delta_1}\) sur \(X_{\Delta_0}\), pour \(r \in \mathbb{N}\)

\[ (10) \qquad \begin{cases} X_{\Delta_r} = \bigl\{ (x_0, \ldots, x_r) \in X_{\Delta_0}^{\,r+1} \ \big|\ x_0 \leq \cdots x_r \bigr\} \\[2pt] \phantom{X_{\Delta_r}} \simeq \bigl\{ (x, i_0, \ldots, i_r) \in X \times I^{\,r+1} \ \big| \\ \qquad\qquad x \in X_{i_0},\ i_0 \leq \cdots \leq i_r \bigr\} \\[2pt] \phantom{X_{\Delta_r}} \simeq \coprod_{i_{*} \in I(\Delta_r)} X_{i_{*}} \\[2pt] \phantom{X_{\Delta_r}} \simeq \coprod_{i_0 \in I} X_{i_0} \times I_i(\Delta_{r-1}) \end{cases} \]

où

\[ (11) \qquad \begin{cases} I(\Delta_r) = \mathrm{Hom}_{\text{ens. ord.}}(\Delta_r, I) \\[2pt] X_{i_{*}} = X_{i_0, i_1, \ldots, i_r} \underset{\text{déf}}{=} X_{i_0} \quad \text{si } i_{*} \in I(\Delta_r) . \end{cases} \]

\(I(\Delta_r)\) : ens. des drapeaux de longueur \(r\) de \(I\).

Donc on peut considérer, soit \(X_{\Delta_r} \subset X_{\Delta_0}^{\,r+1}\), soit \(X_{\Delta_r} \subset X \times I^{\,r+1}\).

L'homomorphisme « de composition » (9) permet alors, de façon bien connue, de considérer les \(X_{\Delta_r}\) comme étant les composantes d'un espace \(\tfrac{1}{2}\) simplicial

\[ (12) \qquad X_{\Delta_{*}} = (X_{\Delta_r})_{r \geq 0} \]

d'où l'application \(\tfrac{1}{2}\) simpliciale

\[ (13) \qquad \alpha^{*} : X_{\Delta_r} \longrightarrow X_{\Delta_{r'}} \]

associée à une application croissante

48\[ (14) \qquad \alpha : \Delta_{r'} \longrightarrow \Delta_r \]

est donnée par

\[ \alpha^{*}(x, i_{*}) = \bigl( x,\ \alpha^{*}(i_{*}) \bigr), \qquad \alpha^{*}(i_{*}) \underset{\text{déf}}{=} i_{*} \circ \alpha \]

i.e. elle est induite par la structure semi-simpliciale produit dans le deuxième membre de

\[ (15) \qquad X_{\Delta_{*}} \subset X \times I_{\Delta_{*}} . \]

Remarques. a) Toutes ces constructions se généralisent […] où on remplacerait [l'ens. ordonné] \(I\) par une catégorie \(\mathcal{C}\), et l'application \(X \mapsto X_i\) par un foncteur \(\mathcal{C} \to\) catégorie des parties fermées de \(X\) et de leurs inclusions.

b) Si on part d'une famille \((X_i)_{i \in I}\), [\(I\) un ens.] sans plus, on peut introduire ad hoc une relation d'ordre dans \(I\) par […]

\[ i \leq j \iff X_i \subseteq X_j . \]

Mais dans la présentation adoptée, il n'est pas nécessaire de supposer que [(l'appl. croissante)] \(I \to\) ens. des parties fermées de \(X\) soit injective, et encore moins que ce soit un plongement d'ens. ordonnés, i.e. que l'on ait

\[ X_i \subseteq X_j \implies i \leq j \]

qui est une réciproque de (1' b)).

49On a

\[ (16) \qquad \begin{cases} \text{a) si } \alpha : \Delta_{r'} \to \Delta_r \text{ est tel que } \alpha(0) = 0, \text{ alors} \\ \qquad X_{\Delta_r} \xrightarrow{\ \alpha^{*}\ } X_{\Delta_{r'}} \text{ est un morphisme de rev. étale} \\ \qquad \text{(en particulier } X_{\Delta_r} \to X_{\Delta_0}, \\ \qquad\quad (x_0, \ldots, x_r) \mapsto x_0 \text{ ou } (x, i_0, \ldots, i_r) \mapsto x, \\ \qquad\quad \text{est un morphisme de rev. étale).} \end{cases} \]

En fait, la fibre de restriction de \(X_{\Delta_r}\) au dessus du composant \(X_{i'_{*}}\) (de \(X_{\Delta_{r'}}\)), où \(i'_{*} = \{ i'_0 \leq \cdots \leq i'_{r'} \}\), […] s'identifie à un rev. étale constant, de fibre type l'ens. des drapeaux \(i_{*}\) de \(I\), de type \(\Delta_r\), qui s'envoient sur \(i'_{*}\) par \(\alpha^{*}\) :

\[ (17) \qquad \alpha^{*-1}\bigl( \underbrace{X_{i'_{*}}}_{\textstyle = X_{i'_0} \times \{i'_{*}\}} \bigr) \;\simeq\; X_{i'_{*}} \times \bigl\{ i_{*} \in I_{\Delta_r} \ \big|\ \alpha^{*}(i_{*}) = i'_{*} \bigr\} . \]

Quand aux applications semi-simpliciales générales (13) (sans condition \(\alpha(0) = 0\) sur \(\alpha\)) on peut dire seulement qu'elles sont des immer. locales. En fait, tous les \(X_{\Delta_r}\) sont au dessus de \(X\), dont

\[ (18) \qquad X_{\Delta_r} \longrightarrow X \quad \text{imm. locale.} \]

50NB On aurait intérêt à éliminer les […] « redondances », en se bornant dans la définition de \(X_{\Delta_r} \subset X \times I_{\Delta_r}\) aux drapeaux « non dégénérés » de \(\subseteq I_{\Delta_r}\), i.e. aux suites strictement croissantes. Cela oblige alors à se restreindre aux [appl.] \(\tfrac{1}{2}\) simpliciales relatives : des \(\alpha : \Delta_{r'} \to \Delta_r\) qui sont strictement croissants. La définition de \(X_{\Delta_0}\) n'est pas changée, tandis que \(X_{\Delta_1}\) se trouve remplacé par \(X'_{\Delta_1}\) disjoint de \(X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0}\).

\medskip

Reconstitution de \(X\) à partir du syst. \(\tfrac{1}{2}\) simplicial \(X_{\Delta_{*}}\). Considérons d'abord le diagramme (19)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_{\Delta_1} \arrow[dl, "\sigma"'] \arrow[dr, "b"] & \\
X_{\Delta_0} \arrow[dr, dashed] & & X_{\Delta_0} \arrow[dl, dashed] \\
& X &
\end{tikzcd}

je voudrais qu'il soit cocartésien, i.e. qu'on récupère \(X\) comme une somme amalgamée

\[ (20) \qquad X \;\simeq\; X_{\Delta_0} \amalg_{X_{\Delta_1}} X_{\Delta_0} . \]

51Pour ceci, il faut supposer, en plus des conditions a) b) de (1'), les conditions

\[ (21) \qquad \begin{cases} \text{c) } X = \bigcup X_i \\[2pt] \text{d) } \forall (i,j) \in I \times I, \ \text{on a}\ \ X_i \cap X_j = \bigcup_{\substack{k \in I \\ k \leq i,\ k \leq j}} X_k , \end{cases} \]

qui expriment trivialement la relation (20), […] de façon « formelle » :

\medskip

Proposition. Sous les conditions a) b) c) d) de (1')(21), l'application canonique

\[ (22) \qquad \varinjlim X_{\Delta_{*}} \ \bigl( X_{\Delta_0} \leftleftarrows X_{\Delta_1} \Lleftarrow X_{\Delta_2} \cdots \bigr) \ \xrightarrow{\ \sim\ } \ X \]

est un homéomorphisme.

\medskip

Cette proposition est valable aussi sur les deux variantes (drapeaux quelconques, ou dégénérés) pour les espaces de drapeaux \(X_{\Delta_r}\).

\medskip

Corollaire. Soit \(\bigl( X_{\Delta_0},\ X_{\Delta_1} \subset X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} \bigr)\) un espace topologique ordonné, […]

La fin de l'énoncé du corollaire est entièrement recouverte de ratures et de reprises ; l'hypothèse est reprise au propre en tête de la page suivante, sous le numéro (23), et c'est cette rédaction-là que nous transcrivons.

52On suppose

\[ (23) \qquad \begin{cases} \text{a) } X_{\Delta_1} \text{ est un sous-espace top. fermé} \\ \qquad \text{de } X_{\Delta_0} \times X_{\Delta_0} \text{ (avec la top. induite)} \\[2pt] \text{b) } \forall (i,j) \in I \times I,\ \Gamma_{ij} \underset{\text{déf}}{=} X_{\Delta_1} \cap (X_i \times X_j) \\ \qquad \text{est ou bien vide, ou bien le graphe} \\ \qquad \text{d'une immersion fermée } X_i \hookrightarrow X_j . \end{cases} \]

Donc \(X_{\Delta_1} \xrightarrow{\ \sigma\ } X_{\Delta_0}\) est un morphisme de rev. [étale] (constant), et alors et \(X_{\Delta_1} \xrightarrow{\ b\ } X_{\Delta_0}\) une imm. locale […].

Alors la relation \((i \leq j) \underset{\text{déf}}{\iff} \Gamma_{ij} \neq \emptyset\) est une relation d'ordre sur \(I\), […] et les \(X_i\) (avec les \(X_i \to X_j\) de b)) forment un système inductif d'espaces topologiques, indexé par \(I\), aux morphismes de transition des immer. fermées ; et la donnée de l'espace [top.] ordonné \(X_{\Delta_0}\), ainsi avec la partition ensembliste de \(X_{\Delta_0}\), revenant : la donnée d'un tel syst. inductif, indexé par un ens. ordonné \(I\).

Supposons Supposons de plus, pour nous mettre à l'aise, que \(I\) est fini, et que les \(\mathrm{Inf}\) de deux éléments y existent — alors ([…])

\[ X = \varinjlim_{i \in I} X_i \ \simeq\ X_{\Delta_0} / (X_{\Delta_1} \rightrightarrows) \]

et les \(X_i \hookrightarrow X\) sont des immer. fermées de […]

53Question. Dans 21) d), faudrait-il renforcer la condition en

\[ (24) \qquad \begin{cases} \forall\, i,j \in I, \quad i \wedge j \underset{\text{déf}}{=} \mathrm{Inf}(i,j) \text{ existe, et} \\[2pt] X_{i \wedge j} = X_i \cap X_j \end{cases} \qquad ? \]

Il n'est pas clair qu'il le faille, car cela éliminerait, [ne serait-ce] au point de vue local, des stratifications comme celles déduites du cercle (quatre strates \(A\), \(B\), \(\{a\}\), \(\{b\}\), avec \(A \cap B = \{a\} \cup \{b\}\)) comme dessiné, ou en prenant le cône dessus, […] d'origine \(o\), d'où une stratification locale en \(o\), à cinq strates (dont \(o\)) : où deux strates connexes ont une intersection disconnexe — faut-il l'éliminer pour autant ? […] […] Il ne semble pas. La suite le montrera bien !

Le dessin porté dans la marge est un cercle coupé en deux arcs \(A\) et \(B\) par les deux points \(a\) et \(b\), puis le cône de sommet \(o\) tracé sur ce cercle, les deux génératrices \(oa\) et \(ob\) marquées.

Pour tout \(x \in X\), considérons [l'ens. \(I_x \subset I\)] des \(i \in I\) tels que \(X_i \ni x\) — il y en a un nb fini […] (par (1' a))), et l'ens. de ces \(I\) est filtrant décroissant par (21 d)), donc il y a un plus petit \(i \in I_x\) tel que, soit \(i(x)\) :

\[ (25) \qquad i(x) = \text{plus petit des } i \in I \text{ tels que } x \in X_i . \]

Soit d'autre part, pour tout \(i \in I\)

54\[ (26) \qquad \begin{cases} \dot{X}_i \underset{\text{déf}}{=} \bigcup_{j < i} X_j \quad (\text{fermé de } X_i) \\[2pt] X_i^{*} \underset{\text{déf}}{=} X_i \smallsetminus \dot{X}_i \quad (\text{ouvert de } X_i) . \end{cases} \]

NB On n'exclut pas que dans (26) des \(X_i\) soient \(= \emptyset\), ni […] \(X_i \neq \emptyset\) […] i.e. remplacer \(I\) par les […] telles que \(X_i^{*} \neq \emptyset\) distincts […] et les \((X_i)_{i \in I'}\) […]

Ce NB est écrit en diagonale dans la marge de gauche, sur une dizaine de lignes serrées et plusieurs fois reprises ; nous n'en donnons que ce qui se lit. Il y est question de restreindre \(I\) au sous-ensemble \(I'\) des indices pour lesquels \(X_i^{*} \neq \emptyset\).

Proposition. Les \(X_i^{*}\) (\(i \in I\)) sont mutuellement disjoints, et leur réunion est \(X\). Si \(x \in X\), \(i(x)\) est aussi l'unique \(i \in I\) tel que \(x \in X_i^{*}\).

Dém. Soit \(x \in X_i^{*} \cap X_j^{*}\) (\(i,j \in I\), \(i \neq j\)), alors \(x \in X_i \cap X_j\), donc \(\exists\, k \leq i,j\) […] avec \(x \in X_k\). Si on avait \(k = i\) on aurait \(i \leq j\) donc \(i < j\), absurde car \(x \in X_j^{*} = X_j \smallsetminus \dot{X}_j\). […] On a \(k < i\), donc \(x \in \dot{X}_i \supset X_k\), ce qui contredit \(x \in X_i^{*}\). Donc les \(X_i^{*}\) sont mutuellement disjoints. D'ailleurs \(x \in X_{i(x)}^{*}\) […] trivial par définition de \(i(x)\), d'où la prop.

Le signe entre \(\dot{X}_i\) et \(X_k\) est tracé d'un seul trait oblique ; nous lisons l'inclusion que demande l'argument.

On posera

\[ (27) \qquad \begin{cases} \dot{X}_{\Delta_0} = \coprod_{i \in I} \dot{X}_i \\[2pt] X^{*}_{\Delta_0} = X_{\Delta_0} \smallsetminus \dot{X}_{\Delta_0} = \coprod_{i \in I} X_i^{*} \end{cases} \]

puis plus plus généralement

\[ (28) \qquad \begin{cases} \dot{X}_{\Delta_r} = \text{image inverse de } \dot{X}_{\Delta_0} \text{ par } \sigma_r : X_{\Delta_r} \to X_{\Delta_0} \\ \qquad (\text{fermé de } X_{\Delta_r}) \\[2pt] X^{*}_{\Delta_r} = X_{\Delta_r} \smallsetminus \dot{X}_{\Delta_r} = \text{image inverse de } X^{*}_{\Delta_0} \text{ par } \sigma_r \\ \qquad (\text{ouvert de } X_{\Delta_r}) . \end{cases} \]

55Si \(\alpha : \Delta_{r'} \to \Delta_r\), \(\alpha(0) = 0\), alors

\[ (29) \qquad \alpha^{*} : X_{\Delta_r} \longrightarrow X_{\Delta_{r'}} \quad (\text{étale}) \]

satisfait

\[ \alpha^{*}\bigl( X^{*}_{\Delta_{r'}} \bigr) = X^{*}_{\Delta_r}, \qquad \text{i.e.} \qquad \alpha^{*}\bigl( \dot{X}_{\Delta_{r'}} \bigr) = \dot{X}_{\Delta_r} . \]

Dans les NB « Moralement », \(X^{*}_{\Delta_r}\) représente une sorte de partie « non singulière » de \(X_{\Delta_r}\), \(\dot{X}_{\Delta_r}\) la partie singulière ou « bord ». On fera attention que les \(\dot{X}_{\Delta_r}\) ne forment pas un espace semi-simplicial.

Pourtant, notre propos est, dans une certaine mesure, de reconstituer \(X\) à partir des « strates […] » \(X_i^{*}\) dans \(X\), dans l'esprit du n\textsuperscript{o} 1 (où il y a deux strates \(X_0 = Y\) et \(X_1 = X\), […] (\(Y \subset X\) inclusion fermée), et on […] donc \(Y = Y^{*}\), \(X^{*} = X \smallsetminus Y\) comme dans les notations du loc. cit., où il y avait lieu d'introduire \(\mathcal{V}_{Y,X}\).

3. Stratifications globales : introduction des tubes

56On garde les notations précédentes.

Pour tout couple \((i \leq j) \in I \times I\), considérons

\[ (1) \qquad \overline{\mathcal{V}}_{i,j} = \mathcal{V}_{X_i, X_j} \qquad (\text{voisinage tubulaire de } X_i \text{ dans } X_j) \]

(cf […]), et posons

\[ (2) \qquad \dot{\mathcal{V}}_{i,j} = \overline{\mathcal{V}}_{ij} \cap \bigl( R^{*}_{i,j} \bigr) = \overline{\mathcal{V}}_{ij} \cap R_i \]

Le membre du milieu de (2) est précédé d'un premier essai entièrement biffé ; le dernier membre s'arrête à \(R_i\) au bord de la feuille.

où on pose, pour \(i,j \in I\)

\[ (3) \qquad R^{*}_{i,j} = \Biggl(\ \bigcup_{\substack{k \in I \text{ tels que} \\ X_k \not\supset X_i}} X_k \Biggr) \cap X_j . \]

NB On a aussi \(X_k \subset X_j\) : \((3\text{bis})\) \(R_{ij} = \bigcup_{\substack{k < j \\ \text{tels que } X_k \cap X_i \neq X_i}} X_k\).

\(R_i\) partie fermée de \(X\).

On notera qu'on a […]

\[ (4) \qquad R^{*}_{i,j} \cap X_i = R_{ij} \cap X_i = \dot{X}_i . \]

En effet, si \(X_k \not\supset X_i\), i.e. \(X_k \cap X_i \subsetneq X_i\), comme \(X_k \cap X_i = \bigcup_{\ell \leq k,i} X_\ell\), on voit que […] \(\ell \leq k,i\) implique \(X_\ell \subsetneq X_i\), d'où \(\ell < i\) et \(X_\ell \subset \dot{X}_i\), donc \(X_k \cap X_i \subset \dot{X}_i\), d'où \(R_i \cap X_i \subset \dot{X}_i\) — l'inclusion en sens inverse étant triviale.

57On posera enfin

\[ (5) \qquad \mathcal{V}_{ij} = \overline{\mathcal{V}}_{ij} \smallsetminus \dot{\mathcal{V}}_{ij} = \overline{\mathcal{V}}_{ij} - \overline{\mathcal{V}}_{ij} \cap R_{ij} \]

qui est donc un espace infinitésimal autour de

\[ (6) \qquad \mathcal{V}_{ij} \cap X_i = X_i^{*} . \]

Je poserai enfin

\[ (7) \qquad \mathcal{V}^{*}_{ij} = \mathcal{V}_{ij} \smallsetminus \bigcup_{k < j} X_k \cap \overline{\mathcal{V}}_{ij} = \overline{\mathcal{V}}_{ij} \smallsetminus \dot{X}_j = \mathcal{V}_{ij} \cap X_j^{*} \subset \mathcal{V}_{i,j} . \]

Notons que pour \(i = j\), on trouve

\[ (8) \qquad \overline{\mathcal{V}}_{ii} = X_i , \qquad \dot{\mathcal{V}}_{i,i} = \dot{X}_i , \qquad \mathcal{V}_{i,i} = \mathcal{V}^{*}_{i,i} = X_i^{*} . \]

Nos « pierres » de construction, dans une première étape, vont être les \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\), \(\mathcal{V}_{ij}\) avec les inclusions incidentes (9)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_i^{*} \arrow[d, "\text{« âme »}"] \\
\mathcal{V}^{*}_{ij} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \\
X_j^{*} &
\end{tikzcd}

ces pierres comprenant les \(X_i^{*}\) comme

58cas particulier, en faisant \(i = j\).

À vrai dire, je vois maintenant que ces fameuses pierres telles quelles sont des côtés mal taillées — elles sont trop générales, […] pas assez pour contenir les morceaux

\[ \mathcal{V}^{\,d'_{*}}_{d_{*},\, d''_{*}} \;\simeq\; \widetilde{N}_{d_{*};\,(d'_0,\, d''_0)} \bigl|\ D^{*}_{d_{*}} \]

de (Str\(_{\infty}\) p. 84) — trop en un sens, que l'on peut s'en tirer avec des « pierres » plus petites […] certaines des précédentes, correspondant aux cas \(i \leq j\) où \(j\) est un successeur de \(i\) (i.e. \(\nexists\, k\) avec \(i < k < j\)).

Ces pierres sont particulières diverses […] un […] sens […]\ pour des hypothèses de lissité et de locale trivialité normales (ou « équisingularité ») convenables de type standard. Cet énoncé […] réalistes p. ex. pour une variété alg. complexe, [une stratification par] des sous-variétés alg. complexes fermées : \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) est homéomorphe : un fibré sur \(X_i^{*}\) (qui est une variété topologique), à fibre une variété topologique (et \(Z^{*}_{ij} = Z_{ij}\) vis à vis […]) : cylindre ouvert \(\mathbb{R} \times C_{ij}\), où \(C_{ij}\) est une variété top. compacte.

NB Mais ce dessin (dans le domaine réel) donne une situation peu vraisemblable — puisque […] « \(k > V\) » … et […]\ devrait […]

Cette page est entièrement reprise entre les lignes et dans les marges ; nous en transcrivons le fil de l'argument, en marquant par […] les mots recouverts. Le NB de la marge gauche est écrit en diagonale et accompagné d'un croquis à main levée où se lisent \(X_i\), \(X_i^{*}\), \(R_{ij}\) et \(C_{ij}\).

(NB \(\mathcal{V}_{i,j}\) serait homéomorphe : un fibré en cônes sur \(C_{ij}\) …). Quand \(j\) n'est pas un successeur de \(i\), alors \(C_{ij}\) sera encore une variété, mais non compacte. Quand

59aux espaces globaux […], \(\mathcal{V}_{ij}\) plus généraux que les \(\mathcal{V}^{*}_{ij}\) (et les \(\mathcal{V}_{ij}\)), ce sont les suivants : on considère

\[ i \leq j \leq k \qquad \text{d'où} \qquad X_i \subset X_j \subset X_k \]

on prend

\[ (10) \qquad \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \underset{\text{déf}}{=} \overline{\mathcal{V}}_{X_i, X_k} \smallsetminus \bigl( R_{j,k} \cup S_{j,k} \bigr) \]

i.e. \(R_{j,k}\) est défini dans (3)(3bis), et

\[ (11) \qquad S_{j,k} \underset{\text{déf}}{=} \bigcup_{\substack{\ell \in I \\ \text{avec } j \leq \ell \leq k}} X_\ell \]

NB \(S_{j,k} = \emptyset\) si \(j = k\) ; \(S_{j,k} = X_j\) si \(k\) est un successeur […].

(On a, en comparant avec (3bis), une partition de l'ens. \(I^{(k)} \underset{\text{déf}}{=} \{ \ell \in I \mid \ell \leq k \}\) en deux parties

\[ I^{(k)'} = \bigl\{ \ell \in I^{(k)} \ \big|\ X_\ell \not\supset X_j \bigr\} \quad \text{et} \] \[ I^{(k)''} = \bigl\{ \ell \in I^{(k)} \ \big|\ X_\ell \supset X_j \bigr\}, \]

de sorte que

\[ (12) \qquad \begin{cases} R_{j,k} = \bigcup_{\ell \in I^{(k)'}} X_\ell \\[2pt] S_{j,k} = \bigcup_{\ell \in I^{(k)''}} X_\ell \end{cases} \qquad \begin{aligned} &\text{Donc } R_{j,k} \cup S_{j,k} = \dot{X}_k \\ &(\text{avec } R_{j,k} \cap S_{j,k} = \dot{X}_i) . \end{aligned} \]

[…] On a donc

\[ (13) \qquad \mathcal{V}^{\,i}_{i,k} = \mathcal{V}^{*}_{i,k} , \qquad \mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k} , \] \[ \phantom{(13)} \qquad \mathcal{V}^{\,i}_{i,i} = \mathcal{V}_{i,i} = \mathcal{V}^{*}_{i,i} \ \ \text{d'où} \ = X_i^{*} . \]

\(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) a encore tendance à être une […] homéomorphes (ou du moins, homotopes, ou homéomorphes en un sens faible de germes, ce qu'il faudrait dégager …) : un fibré loc. trivial de base \(X_i^{*}\) — mais comme on voit déjà dans le cas \(\mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k}\) : la fibre pourrait être singulière. Dans le cas de \(\mathcal{V}^{\,k}_{i,k}\),

60avec \(k\) successeur de \(i\), il s'agit de singularité isolée, mais dans le cas des \(\mathcal{V}^{\,k}_{i,k}\) généraux, on peut trouver des singularités de type arbitraire — bien sûr en fibre (prendre \(X_i = X_i^{*}\) réduit à un pt !) — ce qui diminue l'intérêt, dans le cas de stratifications […] [ne soit pas] générales, des \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) généraux comme « pierres ». Les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k} = \mathcal{V}^{*}_{i,k}\) sont déjà plus intéressants, car […] c'est essentiellement un […] de \(X_k^{*}\), dans une singularité — ce qui s'exprime par le fait qu'on l'obtient comme fibré sur \(X_i^{*}\) non singulier, à fibre non singulière \(\mathcal{V}^{*}_{z,\, Z_{i,k}}\) …

Donc nous allons dans la suite systématiquement essayer d'exprimer les […] avec les \(X_i^{*}\) et les \(\mathcal{V}_{ij}\) \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\), \(\mathcal{V}_{i,j}\) « élémentaires » (\(j\) successeur de \(i\)), puis voir si certaines expressions peuvent prendre une forme plus sympathique en les \(X_i^{*}\) et utilisant aussi les \(\mathcal{V}_{i,j}\), \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) […] \(i \leq j\) […] plus — et dans un dernier temps seulement, peut-être (eu égard aux cas des diviseurs : croisements normaux) voir comment les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) s'insèrent dans ce formalisme.