Cote n° 151 · batch 2 · pages 21–40 · Lecture modernisée · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

21–24

Le système à trois étages : le cas pointé, achevé

Les quatre feuilles numérotées 4 à 7 par l'auteur poursuivent, sans coupure, le calcul des pages 2 à 8 et 16 à 20. Le système est celui de deux ensembles reliés par un couple section-rétraction, \[ d \colon E_{1} \longrightarrow E_{2}, \qquad p \colon E_{2} \longrightarrow E_{1}, \qquad p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}, \] avec \(\mathfrak{S}_{2} = \{1,\sigma\}\) opérant sur \(E_{1}\), \(\mathfrak{S}_{3}\) sur \(E_{2}\), un point marqué \(e_{1} \in E_{1}\) fixé par \(\sigma\), et \(e_{2} = d(e_{1})\).¹ C'est la page 21 qui donne enfin les conventions en coordonnées, valables pour tout le dossier : \[ d(x,y) = (x,y,y), \qquad p(x,y,z) = (x,y), \qquad \rho(x,y,z) = (y,z,x), \] \[ \sigma_{1}(x,y,z) = (x,z,y), \qquad \sigma_{2}(x,y,z) = (z,y,x), \qquad \sigma_{3}(x,y,z) = (y,x,z), \] chaque \(\sigma_{i}\) étant donc la transposition qui fixe la \(i\)-ième lettre.

Une contradiction apparente, et sa levée

La page encadre trois relations, \[ p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}, \qquad p\,\rho\,d = e, \qquad p\,\rho^{2}d = \sigma, \] où \(e\) désigne l'application constante de valeur \(e_{1}\) ; et deux relations d'équivariance, \(\sigma_{1}d = d\) et \(p\,\sigma_{3} = \sigma\,p\). La seconde paraît démentie par les coordonnées de la même page, qui donnent \(p\,\rho\,d(x,y) = (y,y)\), lequel n'est pas constant.

Il n'y a pas de contradiction, et la levée est instructive. Dans le modèle en coordonnées, \(E_{n} = F^{n+1}\) pour un ensemble \(F\), on a \((y,y) = \delta_{0}p_{1}(x,y)\) : c'est la diagonale, non une constante. La relation générale, valable sans hypothèse, est \[ p\,\rho\,d = \delta_{0}\,p_{1}, \] et elle ne devient \(p\,\rho\,d = e\) que sous l'hypothèse posée en tête de page, \(E_{0}\) réduit à un point — auquel cas \(\delta_{0}p_{1}\) se factorise par un point et est bien constante. Les deux écritures de la page appartiennent à deux régimes : les coordonnées au modèle général, les relations encadrées au cas pointé.²

Le sous-système engendré par \(d(E_{1})\)

Soit \(E'_{2}\) le sous-\(\mathfrak{S}_{3}\)-ensemble de \(E_{2}\) engendré par \(d(E_{1})\). Le stabilisateur de \(d(\xi)\) est \(\{1,\sigma_{1}\}\) pour tout \(\xi \neq e_{1}\), et \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier pour \(\xi = e_{1}\) ; d'où une orbite ponctuelle et des orbites à trois éléments, en bijection avec \(E^{*}_{1} = E_{1} \setminus \{e_{1}\}\) : \[ E'_{2} \;\simeq\; \{e_{2}\} \;\amalg\; \bigl(\mathfrak{S}_{3} \wedge_{\{1,\sigma_{1}\}} E^{*}_{1}\bigr), \] c'est-à-dire l'ensemble induit de \(E^{*}_{1}\), muni de l'action triviale de \(\{1,\sigma_{1}\}\), à \(\mathfrak{S}_{3}\).³ On pose alors \(E^{*}_{2} = E_{2} \setminus E'_{2}\), sur lequel la restriction \(p^{*}\) de \(p\) satisfait encore \(p^{*}\sigma_{3} = \sigma\,p^{*}\).

Quand \(E_{2}\) recouvre-t-il \(E_{1} \times E_{1}\) ?

La question posée est celle de la surjectivité de \((p,\ p\rho) \colon E_{2} \to E_{1} \times E_{1}\) — la même condition de concaténation que le lot précédent rencontrait sous la forme \((**)\). Sur \(E'_{2}\) l'image se calcule exactement : \[ (p, p\rho)(e_{2}) = (e_{1},e_{1}), \qquad (p, p\rho)\bigl(\rho^{i}d(\xi)\bigr) = \begin{cases} (\xi,\ e_{1}) & i = 0, \\ (e_{1},\ \sigma\xi) & i = 1, \\ (\sigma\xi,\ \xi) & i = 2, \end{cases} \] pour \(\xi \in E^{*}_{1}\). L'image est donc \(\Sigma = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{2} \cup \Delta'\), où \(\Sigma_{1} = E_{1} \times \{e_{1}\}\), \(\Sigma_{2} = \{e_{1}\} \times E_{1}\) et \(\Delta'\) est l'image de \(\delta' = (\sigma, \mathrm{id})\) ; les trois se coupent deux à deux, et toutes trois ensemble, en le seul point \((e_{1},e_{1})\).

D'où la réponse, complète : \(\Sigma = E_{1} \times E_{1}\) si et seulement si \(E_{1}\) a au plus deux éléments. En effet le complémentaire de \(\Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}\) est \(E^{*}_{1} \times E^{*}_{1}\), et il faut que \(\xi \mapsto (\sigma\xi,\xi)\) y soit surjectif, c'est-à-dire que \(\eta = \sigma\xi\) pour tous \(\xi,\eta \in E^{*}_{1}\) ; si \(E^{*}_{1}\) avait au moins deux éléments, deux orbites distinctes sous \(\sigma\), ou une orbite à deux éléments, fourniraient un contre-exemple.

Le carré cartésien

Il reste alors à examiner le cas \(E_{1} = \{e_{1},\xi\}\), où \(E_{2} = E'_{2}\) a quatre éléments. La question est de savoir si le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
E_{1} & E_{2} \arrow[l, "p"'] \\
E_{0} \arrow[u] & E_{1} \arrow[l] \arrow[u, "\delta_{3}"']
\end{tikzcd}

L'identification \(\delta_{3} = \rho\,d\sigma\) qui sert ici est écrite sur la page avec l'exposant de \(\rho\) raturé ; le calcul la donne sans ambiguïté, puisque \(d\sigma(x,y) = (y,x,x)\) et \(\rho(y,x,x) = (x,x,y) = \delta_{3}(x,y)\).⁴

26–29

1. La situation type : un fermé dans un espace

Le texte annoncé par le sommaire de la page 1 commence ici. La donnée est \[ Y \hookrightarrow X, \qquad Y \text{ fermé dans } X, \qquad X^{*} = X \setminus Y, \] des espaces topologiques, avec l'avertissement qu'il faudra plus tard les remplacer par des topos.

Trivialité normale locale

L'hypothèse posée est que la « structure normale » de \(X\) le long de \(Y\) soit localement triviale : pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(X'\) de \(y\) dans \(X\), un espace \(Z\) pointé par \(z\), et un homéomorphisme \(X' \simeq Y' \times Z\) (où \(Y' = Y \cap X'\)) échangeant l'inclusion \(Y' \hookrightarrow X'\) et \(Y' \times \{z\} \hookrightarrow Y' \times Z\) :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
Y' \arrow[r, hook] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
Y'\times\{z\} \arrow[r, hook] & Y'\times Z
\end{tikzcd}

L'espace \(Z\) est le modèle transverse, et \(z\) y est le point singulier : si \(Y\) et \(X^{*}\) sont des variétés, \(Z \setminus \{z\}\) en est une aussi, et \(X\) est « singulier le long de \(Y\) ».

Le tube

On introduit une factorisation canonique de l'inclusion, \[ Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X, \] où \(\mathcal{V}_{Y,X}\) est le voisinage tubulaire — un objet infinitésimal, dont le manuscrit dit qu'il faudra donner une définition techniquement souple, et dont il propose, pour \(X\) paracompact, le germe de \(X\) autour de \(Y\) : la limite projective, comme topos, des voisinages ouverts de \(Y\) dans \(X\).⁵

Les deux inclusions ont des comportements opposés, qui sont exactement ce dont on se servira : \(\mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X\) a les propriétés d'un ouvert, et \(Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}\) celles d'une immersion fermée. Sous les hypothèses de trivialité normale locale — et des conditions de modération ensemblistes, que le manuscrit invoque sans les détailler⁶ — on a une équivalence d'homotopie \[ Y \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{V}_{Y,X}. \]

Le tube épointé est ce qu'il reste quand on ôte \(Y\) : \[ \mathcal{V}^{*}_{Y,X} = \mathcal{V}_{Y,X} \cap X^{*} = \mathcal{V}_{Y,X} \setminus Y, \] et le carré des quatre espaces s'écrit, la flèche du haut étant ce que le manuscrit appelle joliment le « bouchage de trous le long de \(Y\) » :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & \mathcal{V}_{Y,X} \arrow[d, hook] \\
X^{*} \arrow[r, hook] & X
\end{tikzcd}

\(X\) comme somme amalgamée

L'assertion, posée indépendamment de toute hypothèse de trivialité ou de lissité, est que \(X\) s'obtient par recollement de \(\mathcal{V}_{Y,X}\) et de \(X^{*}\) le long de \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) : c'est la somme amalgamée du diagramme \[ X^{*} \longleftarrow \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}. \] Au niveau des espaces, l'énoncé est vrai et élémentaire dès que le tube est remplacé par un vrai voisinage ouvert : si \(U\) est un ouvert contenant \(Y\), alors \(\{U, X^{*}\}\) est un recouvrement ouvert de \(X\), \(U \cap X^{*} = U \setminus Y\), et tout espace est la somme amalgamée de deux ouverts le long de leur intersection.⁷ Ce que le manuscrit veut, et qui demande beaucoup plus, est la version homotopique : que le type d'homotopie de \(X\) soit la somme amalgamée homotopique des types d'homotopie des trois autres.

29–33

Van Kampen, et la fibration du tube épointé

Le carré cocartésien de groupoïdes

Le premier étage du programme est celui des groupoïdes fondamentaux. Le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, "p"] \arrow[d, "i"'] & \Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X} \arrow[d, dashed] \\
\Pi_{1}X^{*} \arrow[r, dashed] & \Pi_{1}X
\end{tikzcd}

doit être cocartésien.⁸ C'est le théorème de van Kampen sous sa forme groupoïdale, celle qui n'exige ni connexité ni choix de point base : pour un recouvrement ouvert par deux pièces, le groupoïde fondamental du tout est la somme amalgamée des groupoïdes fondamentaux des pièces au-dessus de celui de l'intersection.⁹

Sous ces hypothèses de connexité, l'énoncé prend la forme pointée \[ \Pi_{1}(X) \;\simeq\; \Pi_{1}(X^{*}) \ast_{\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}} \Pi_{1}(\mathcal{V}_{Y,X}), \qquad \Pi_{1}(\mathcal{V}_{Y,X}) \simeq \Pi_{1}(Y), \] un produit amalgamé de groupes. Tout revient donc à expliciter \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) et ses deux images, c'est-à-dire le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_{1}(Y) \\
\Pi_{1}(X^{*}) &
\end{tikzcd}

Ce que sert la trivialité normale locale

C'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse de trivialité normale locale travaille : elle doit fournir que l'inclusion \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}\) se comporte comme une fibration homotopique, de base \(Y \simeq \mathcal{V}_{Y,X}\) et de fibre le modèle transverse épointé \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) — le lien de la strate, en langue d'aujourd'hui. Le manuscrit propose de faire de cette propriété la définition de la trivialité normale locale dans les contextes où la formulation naïve n'a pas de sens, celui des schémas pour la topologie étale au premier chef ; l'hypothèse de lissité devient alors techniquement inutile et n'était qu'heuristique.¹⁰

D'où la suite exacte d'homotopie de la fibration, \[ \cdots \to \Pi_{i}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \Pi_{i}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{i}(Y) \to \Pi_{i-1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \cdots \] qui n'intéresse qu'en basses dimensions. Si la fibre \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) est connexe, la flèche \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{1}(Y)\) est surjective et \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) est une extension de \(\Pi_{1}(Y)\) par le quotient de \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) par l'image de \(\Pi_{2}(Y)\) — donc par \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) lui-même si \(\Pi_{2}(Y)\) est nul.¹¹

Lorsque de plus \(\Pi_{2}(Y) \to \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) est nulle, on obtient une extension \[ 1 \longrightarrow \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \longrightarrow \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \longrightarrow \Pi_{1}(Y) \longrightarrow 1, \] accompagnée de la flèche \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{1}(X^{*})\). Grothendieck baptise le sous-groupe de gauche inertie \(I\) et le groupe du milieu décomposition \(D\) : les noms sont ceux de la théorie des nombres, et l'analogie est exacte — l'inertie est la monodromie locale autour de la strate, la décomposition tout ce que le tube épointé voit.¹²

Un cas est distingué, et c'est celui dont tout le dossier se sert : celui où les pièces \(Y\), \(X^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) sont des \(K(\pi,1)\), c'est-à-dire ont tous leurs \(\Pi_{i}\) nuls pour \(i \geq 2\). La suite exacte montre alors qu'il en est de même de \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\), et bien sûr de \(\mathcal{V}_{Y,X} \simeq Y\).

34–37

Les faisceaux constructibles : la catégorie \(\mathfrak{F}\)

Indépendamment de toute hypothèse de nullité ou de trivialité locale, une chose se reconstruit à partir du seul carré de groupoïdes : la catégorie \(\mathfrak{F}\) des faisceaux \(F\) sur \(X\) tels que \(F|X^{*}\) et \(F|Y\) soient localement constants. Ce sont les faisceaux qu'on appelle aujourd'hui constructibles pour la stratification à deux strates.

Cette catégorie est équivalente à celle des triplets \[ \bigl(E_{X^{*}},\ E_{Y,X}\,;\ \varphi\bigr), \] où \(E_{X^{*}}\) est un système local sur \(\Pi_{1}X^{*}\), \(E_{Y,X}\) un système local sur \(\Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X} \simeq \Pi_{1}Y\) — c'est-à-dire un revêtement étale de \(Y\) —, et où \(\varphi\) est un morphisme de systèmes locaux sur \(\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) : \[ \varphi \colon p^{*}(E_{Y,X}) \longrightarrow i^{*}(E_{X^{*}}). \] Lorsque les trois groupoïdes sont connexes, cela se dit sans groupoïdes : \(E_{X^{*}}\) est un ensemble à opérateurs \(\Pi_{1}(X^{*})\), \(E_{Y,X}\) un ensemble à opérateurs \(\Pi_{1}(Y)\), et \(\varphi\) une application entre eux compatible aux opérations restreintes à \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\).

Le manuscrit en tire que \(\mathfrak{F}\) est un topos de préfaisceaux, \[ \mathfrak{F} \;\simeq\; \widehat{\mathcal{C}}, \] sur une catégorie \(\mathcal{C}\) fabriquée en collant les trois groupoïdes : ses flèches sont celles des trois groupoïdes, plus, d'un objet \(a\) de \(A = \Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) vers un objet \(b\) de \(B = \Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X}\) ou \(c\) de \(C = \Pi_{1}X^{*}\), les flèches \(p^{*}(a) \to b\) de \(B\), respectivement \(i^{*}(a) \to c\) de \(C\). C'est le collage des deux foncteurs — le cographe du profoncteur de spécialisation — et c'est, en langue d'aujourd'hui, la troncation en dimension 1 de la catégorie des chemins sortants de l'espace stratifié.¹³

Le plan complexe

Le cas typique pour la géométrie algébrique est celui d'une surface topologique \(X\) et d'un point \(Y = \{a\}\) : le tube est le disque infinitésimal \(D_{a}\), le tube épointé le disque épointé \(D^{*}_{a}\), et le diagramme des \(\Pi_{1}\) se réduit à

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathbb{Z}_{a,X} \arrow[r] \arrow[d] & \{1\} \\
\Pi_{1}(X^{*}) &
\end{tikzcd}

où \(\mathbb{Z}_{a,X} \simeq \mathbb{Z}\) est le module d'orientation de \(X\) en \(a\), dont les deux générateurs correspondent aux deux orientations, et où la flèche verticale est celle qui définit la structure locale en \(a\) du groupe fondamental de \(X^{*}\). Le produit d'un nombre arbitraire de copies de ce modèle donne les modèles-types des stratifications associées aux diviseurs à croisements normaux.

Pour \(X = \mathbb{C}\) et \(a = 0\), la flèche \(A \to C\) est un isomorphisme \(\Pi_{1}(D^{*}_{0}) \simeq \Pi_{1}(\mathbb{C}^{*})\) : la catégorie \(\mathcal{C}\) se réduit à deux objets, \(\mathrm{Aut}(a) = \mathbb{Z}\) et une seule flèche \(a \to b\), de sorte que \(b\) y est objet final. Une catégorie à objet final a un nerf contractile ; donc \(\widehat{\mathcal{C}}\), et avec lui \(\mathfrak{F}\), est de type d'homotopie trivial — ce qui est bien le type d'homotopie de \(X = \mathbb{C}\).

37–40

La sphère, ou pourquoi le niveau \(\Pi_{1}\) ne suffit pas

Prenons maintenant le compactifié : \[ X = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \simeq S^{2}, \qquad Y = \{\infty\}, \qquad X^{*} = \mathbb{C}. \] Le carré de recollement est

\begin{tikzcd}[column sep=large]
D^{*}_{\infty} \arrow[r, hook] \arrow[d] & D_{\infty} \arrow[d, dashed] \\
\mathbb{C} \arrow[r, dashed] & \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \simeq S^{2}
\end{tikzcd}

et sa somme amalgamée est bien \(S^{2}\), dont le type d'homotopie n'a rien de trivial. Le diagramme correspondant sur les \(\Pi_{1}\), lui, est

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 &
\end{tikzcd}

et la catégorie \(\mathcal{C}\) qui en sort est la catégorie \({\cdot} \to {\cdot}\), à deux objets et une flèche. Elle a un objet final, donc \(\mathfrak{F} \simeq \widehat{\mathcal{C}}\) est encore homotopiquement trivial, alors que \(X\) ne l'est pas — et les pièces de construction \(\{\infty\}\), \(\mathbb{C}\), \(D^{*}_{\infty}\) sont pourtant toutes des \(K(\pi,1)\), les deux premières étant même contractiles. Le morphisme canonique \[ X \longrightarrow \mathfrak{F} \] n'est donc pas une équivalence d'homotopie.

Ce que la troncation a perdu

Le diagnostic se dit en une phrase aujourd'hui, et il vaut la peine de le dire, parce qu'il montre que rien n'était faux dans la construction — seulement trop grossier. La catégorie des chemins sortants de \(\mathbb{P}^{1}\) stratifié par \(\{\infty\}\) a deux objets, et l'espace des chemins allant de \(\infty\) vers le stratum ouvert est le lien, \(D^{*}_{\infty} \simeq S^{1}\). L'espace classifiant de cette catégorie à homotopie près est la somme amalgamée homotopique \(\ast \leftarrow S^{1} \to \ast\), c'est-à-dire \(S^{2}\) : rien n'est perdu. Tronquer en dimension 1, c'est remplacer cet espace de chemins \(S^{1}\) par son \(\pi_{0}\), un point — d'où la flèche unique \(a \to b\) de \(\mathcal{C}\), d'où l'objet final, d'où la contractilité. C'est exactement ce cran-là que le calcul de la page 39 met en évidence.¹⁴

Le manuscrit tire lui-même la bonne conclusion, et c'est sur cette phrase que le lot s'achève :

J'avais craint un moment, par cet exemple, que le type d'homotopie de \(X\) ne pouvait pas se récupérer à partir de ceux de \(X^{*}\), \(Y\), \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) et du diagramme de recollement. Mais je me suis convaincu ensuite que cette crainte n'était pas fondée : le type \(\mathfrak{F}\) n'est pas suffisant, lui, pour exprimer le type d'homotopie.

Ce qui échoue est un invariant, non le programme. Reste à trouver l'invariant qui marche, et l'essai commence aussitôt, sur le cas de \(S^{2}\) : récupérer \(H^{2}(X,A)\) en interprétant cette cohomologie comme classifiant les gerbes sur \(X\) liées par \(A\). La phrase s'interrompt au bas de la page 40 ; elle se termine à la page 41, dans le lot suivant, et le calcul réussit.¹⁵