Fonds Grothendieck, cote n° 151, pages 21–40

Le système X_1, X_2, X_3 — suite

Les quatre pages qui suivent sont numérotées 4 à 7 par l'auteur, dans un cercle en haut de page : elles poursuivent sans coupure la série numérotée 1 à 3 du lot précédent. Ce sont des feuilles de travail, où les relations sont écrites, encadrées, biffées et reprises. Nous transcrivons les systèmes de relations et les phrases sans reproduire chaque reprise ; là où un fragment est recouvert au point de ne plus se lire, il est noté.

\mathfrak{S}_2 = \{1,\sigma\}, \qquad \mathfrak{S}_3 = \{1,\rho,\rho^2,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}, \sigma_i^2 = 1, \qquad \bigl[\ \rho^3 = 1, \quad \rho\,\sigma_i\,\rho^{-1} = \sigma_{i+1} \quad (\sigma_4 = \sigma_1)\ \bigr].

\begin{tikzcd}[column sep=large] X_1 & X_2 \arrow[r, "d", bend left=18] & X_3 \arrow[l, "p", bend left=18] \end{tikzcd}

avec X_1 = \{e_1\}, e_2 \in X_2, e_3 \in X_3, et \sigma e_2 = e_2.

Les opérations sont données en coordonnées :

d(x,y) = (x,y,y), \qquad \rho\,d(x,y) = (y,y,x), \qquad \rho^2 d(x,y) = (y,x,y), p(x,y,z) = (x,y), \rho(x,y,z) = (y,z,x), \qquad \rho^2(x,y,z) = (z,x,y), \sigma_1(x,y,z) = (x,z,y), \qquad \sigma_2(x,y,z) = (z,y,x), \qquad \sigma_3(x,y,z) = (y,x,z).

Les relations encadrées :

\boxed{p\,d = \mathrm{id}_{X_2}}, \qquad \boxed{p\,\rho\,d = e}, \qquad \boxed{p\,\rho^2 d = \sigma}, \boxed{\sigma_1 d = d}, \qquad \boxed{p\,\sigma_3 = \sigma\,p},

où e est l'application constante de valeur e_2.

La seconde relation encadrée ne s'accorde pas aux formules en coordonnées portées plus haut sur la même page : p\rho d(x,y) = (y,y), qui n'est pas constant. Nous transcrivons l'une et l'autre telles quelles ; la page ne tranche pas.

\mathfrak{S}_3 = \{1,\sigma_1\}\cdot\{1,\rho,\rho^2\} = \{1,\rho,\rho^2\}\cdot\{1,\sigma_1\}.

d(X_2) \subset X_3, et l'on cherche quand deux éléments \rho^i d(\xi) et \rho^{i'} d(\xi') coïncident : cela revient à i \equiv i' \pmod 3 et \xi = \xi', ou bien \xi = \xi' = e_2. Posant d(\xi') = \rho^j d(\xi) :

\begin{cases} \text{si } j = 0 : & \xi' = \xi \\ \text{si } j = 1 : & \xi' = p\,\rho\,d(\xi) = e_2 \\ \text{si } j = 2 : & \xi' = p\,\rho^2 d(\xi) = \sigma\xi \end{cases}

et dans le cas j = 1, d(\xi') = d(e_2) = e_3, donc \xi = p\,d(\xi) = p\,e_3 = e_2, donc \xi = \xi' = e_2. En regard : d\sigma(\xi) = \rho^2 d(\xi), d(\xi) = \rho\,d\sigma(\xi), d'où \xi = p\,\rho\,d\sigma(\xi) = e_2 et \xi' = e_2.

Cette discussion de cas occupe la moitié basse de la page, écrite deux fois, la seconde par-dessus la première, avec plusieurs lignes biffées ; nous donnons la chaîne complète et laissons les reprises. Un exposant de \rho y est raturé au point de ne plus se lire.

Ainsi, le sous-\mathfrak{S}_3-ens. X'_3 de X_3 engendré par d(X_2) a une unique orbite à 1 élément, savoir \{e_3\} = \{d\,e_2\}, toutes les autres orbites sont d'ordre 3 (dans le ), et elles sont en corr. biunivoque avec les éléments de X_2 \setminus \{e_2\} = X^{*}_2. Comme \mathfrak{S}_3-ens. X'_3 s'écrit conséquemment

X'_3 \simeq \{e_3\} \amalg \bigl(\mathfrak{S}_3 \wedge_{\{1,\sigma_1\}} X^{*}_2\bigr),

où \{1,\sigma_1\} opère trivialement sur X^{*}_2. On pose

X^{*}_3 \overset{\text{déf}}{=} X_3 \setminus \underbrace{X'_3}_{\mathfrak{S}_3\cdot d(X_2)}

comme \mathfrak{S}_3-ens., et l'application induite par p

\begin{tikzcd}[column sep=large] X^{*}_3 \arrow[r, "p^{*} = p|X^{*}_3"] & X_2 \end{tikzcd}

satisfont à : \boxed{p^{*}\sigma_3 = \sigma\,p^{*}}.

Le bas de la page gauche porte, écrit en diagonale sur cinq lignes, un paragraphe où reviennent X'_3 et un renvoi (*) ; il est trop recouvert pour être lu et nous ne le devinons pas.

X_3 \xrightarrow{\ (p,\,p\rho)\ } X_2 \times X_2 \quad \text{épi} :

pour \xi, \eta \in X_2, \exists\,\alpha \in X_3 avec p\alpha = \xi, p\rho\alpha = \eta, où l'on note p(x,y,z) = (x,y) et p'(x,y,z) = (y,z) = p\rho(x,y,z).

« Quelle est la partie de X_2 \times X_2 qui provient de X'_3 ? »

a)(p,p\rho)(e_3) = (e_2,e_2) b)\displaystyle (p,p\rho)\,\rho^i d(\xi) = \begin{cases} (\xi, e_2) & \text{si } i = 0 \\ (e_2, \sigma\xi) & \text{si } i = 1 \\ (\sigma\xi, \xi) & \text{si } i = 2 \end{cases} i \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \xi \in X^{*}_2 = X_2\setminus\{e_2\}.

Donc on trouve les éléments de

\underbrace{(X_2 \times \{e_2\})}_{\Sigma_1} \cup \underbrace{(\{e_2\} \times X_2)}_{\Sigma_2} \cup \Delta'

où \Delta' est l'image de X_2 \xrightarrow{\ \delta'\ } X_2 \times X_2, \delta' = (\sigma, \mathrm{id}_{X_2}).

NB Cette partie \Sigma de X_2 \times X_2 est la réunion des \Sigma_1, \Sigma_2, \Delta', dont l'intersection deux à deux (et prise des trois) est égale à \{(e_2,e_2)\}.

Quand est-ce qu'on a \Sigma = X_2 \times X_2 ? On a X_2 \times X_2 \setminus (\Sigma_1 \cup \Sigma_2) = X^{*}_2 \times X^{*}_2, donc il est que X^{*}_2 \to X^{*}_2 \times X^{*}_2 soit surj., i.e. que pour \xi, \eta \in X^{*}_2, on ait tjs \eta = \sigma\xi. Cela signifie qu'on est dans l'un des 2 cas suivants :

a)X^{*}_2 = \varnothing i.e. X_2 = \{e_2\} b)X^{*}_2 de cardinal 1 (donc \sigma y opère trivialement) i.e. X_2 de cardinal 2 (et \sigma y opère trivialement)

[Si X^{*}_2 est de cardinal \geq 2, alors s'il y a une seule orbite sous \sigma, celle-ci est de cardinal 2, et pour \xi \in X^{*}_2, (\xi,\xi) \notin \mathrm{Im}\,\delta' i.e. \xi \neq \sigma\xi ; ou s'il y a au moins deux orbites, on prend \xi, \eta dans deux orbites différentes et on a bien \eta \neq \sigma\xi.]

Supposons donc X_2 de cardinal 2, et X_3 = X'_3 (X_2 = \{e_2, \xi\}), donc

X_3 = \{e_3\} \amalg \{d\xi,\ \rho\,d\xi,\ \rho^2 d\xi\}.

Considérons les deux carrés, avec \delta_1 = d = \bigl((x,y) \mapsto (x,y,y)\bigr) et \delta_3 = \bigl((x,y) \mapsto (x,x,y)\bigr) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_3 \arrow[r, "\delta_1"] & X_2 \arrow[d, "\delta_0"] \\ X_2 \arrow[u, "\delta_3"] \arrow[r, "\delta_0"'] & X_1 = \{e_1\} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_2 & X_3 \arrow[l, "p = \mathrm{pr}_2"'] \\ X_1 = \{e_1\} \arrow[u, "\kappa_1"] & X_2 \arrow[l, "p_1"] \arrow[u, "\kappa'_2"'] \end{tikzcd}

sont-ils cartésiens ? On a \delta_3(x,y) = (x,x,y), et d\sigma(x,y) = d(y,x) = (y,x,x) = \rho^2\delta_3(x,y), i.e.

\delta_3 = \rho^{\ill}\,d\sigma .

L'exposant de \rho est raturé et ne se lit plus. Les carrés sont étiquetés (*) et (**) dans la marge gauche.

Dans un cas où l'on suppose seulement \mathrm{card}\,X_1 = 1 i.e. X_1 = \{e_1\} : quand a-t-on, pour \xi, \xi' \in X_2, d(\xi) = \rho^{\ill}\,d\sigma(\xi') ? Si \xi' = e_2, alors \xi = \xi'' = e_2 et c'est bien le cas. Reste la question

p^{-1}(e_2) \overset{?}{=} \delta_3(X_2) \quad \bigl[\ = \rho\,d\sigma(X_2) = \rho\,d(X_2)\ \bigr],

l'inclusion \supset étant acquise a priori, et X_3 = X'_3 \overset{\text{déf}}{=} \mathfrak{S}_3 \cdot d(X_2).

2^{\circ} \xi \in X'_3 \setminus \{e_3\} : il s'agit de prouver que \xi \in \rho\,d(X_2). On a p(\xi) = e_2, et \xi = \rho^i d(\eta) avec \eta \in X^{*}_2 et i \in \{0,1,2\}, et

p\xi = \begin{cases} \eta \ (\neq e_2) & \text{si } i = 0 \\ \sigma\eta \ (\neq e_2) & \text{si } i = 2 \end{cases}

donc p\xi = e_2 \implies i = 1, qed.

La moitié basse de cette page est un enchaînement d'essais raturés qui reprennent trois fois la même vérification ; nous n'en gardons que la chaîne qui aboutit, celle que l'auteur clôt par « qed ».

Structures stratifiées

Ce qui suit est le texte annoncé par le sommaire ouvrant le lot précédent. Il est d'une seule venue, et l'auteur numérote ses feuillets 1 à 8 en haut de page : le numéro paraît une page sur deux, le verso poursuivant le recto sans le porter.

Feuillet 1 de l'auteur.

Structures stratifiées.

1. La situation la plus élémentaire, en un sens qui apparaîtra, sera la suivante. On se donne des espaces (disons ! en attendant qu'on se décide sur les topos …)

(1) \qquad Y \hookrightarrow X

Y fermé dans X. On suppose que la « structure normale » de X le long de Y soit loc. triviale, i.e. que pour tout y \in Y, existe un voisinage ouvert X' de y et un espace Z pointé par z, et un diagramme commutatif (2) (où Y' = Y \cap X')

\begin{tikzcd}[column sep=large] Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "\mathrm{can}\,\wr"'] & X' \arrow[d, "\wr"] \\ Y'\times\{z\} \arrow[r, hook, "\mathrm{id}_{Y'} \times i_{z,Z}"'] & Y'\times Z \end{tikzcd}

où X' \simeq Y'\times Z est un homéomorphisme. On considère alors le voisinage tubulaire (« infinitésimal ») de Y dans X, soit

(3) \qquad Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X ,

dont il faudra donner une définition

techniquement souple.

Si X est ~~un espace~~ un espace paracompact, on pourra prendre (à titre provisoire !) pour \mathcal{V}_{Y,X} le « germe d'espace » de X autour de Y — qui est un topos, sav. la \varprojlim topologique des voisinages ouverts de Y dans X.

Intuitivement, \mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X a les propriétés d'un ouvert, et Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} celles d'une immersion fermée, et (3) constitue une factorisation canonique de (1). L'hypothèse de locale trivialité normale implique (moyennant des conditions de « modération » ensemblistes) une équivalence d'homotopie

(4) \qquad Y \xrightarrow{\ \text{équiv. d'homotopie}\ } \mathcal{V}_{Y,X}.

L'intuition \mathcal{V}_{Y,X} et Y équivalents (indépendamment de de locale trivialité).

Supposons Y et X - Y = X^{*} ~~des~~ variétés, et Z^{*} = Z \setminus \{z\} une variété (moyennant des hyp. de modération, l'hyp. sur Z devrait être une conséquence de la première hypothèse), alors que z est un pt singulier de Z, i.e. X est « singulier le long de Y ». Il est naturel alors de vouloir reconstituer X en termes des variétés Y et X^{*},

jouant le rôle de « pièces de construction » élémentaires. Ceci amène à introduire

(5) \qquad \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \overset{\text{déf}}{=} \mathcal{V}_{Y,X} \cap X^{*} = \mathcal{V}_{Y,X} \setminus Y \qquad (X^{*} = X \setminus Y),

et le diagramme (6)

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, "\text{bouchage de trous le long de } Y"] \arrow[d] & \mathcal{V}_{Y,X} \arrow[d] \\ X^{*} \arrow[r] & X \end{tikzcd}

Je vais regarder (indépendamment de toute hypothèse — de locale trivialité normale, — de lissité de X^{*} et Y) X comme obtenu par recollement de \mathcal{V}_{Y,X} et de X^{*} suivant leur intersection \mathcal{V}^{*}_{Y,X}, ou (en termes plus techniques) comme la somme amalgamée, comme espace ou topos limite du diagramme (7)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \mathcal{V}_{Y,X} \\ X^{*} & \end{tikzcd}

Si on dispose d'une théorie suffisamment souple des types d'homotopie, on devrait pouvoir en déduire le type d'homotopie de X comme « somme amalgamée » des types d'homotopie des trois ~~types~~ « » \mathcal{V}^{*}_{Y,X}, \mathcal{V}_{Y,X} et X^{*} (dont les deux premiers sont des êtres « infinitésimaux »). Par exemple, on doit avoir pour les espaces déduits en « tuant les \Pi_i pour i \geq 2 » — donc, essentiellement, pour les groupoïdes fondamentaux, un « théorème de van Kampen », qui s'exprime par le fait que le diagramme des groupoïdes fondamentaux (8)

\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}] \Pi_1\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, "p"] \arrow[d, "i"'] & \Pi_1\mathcal{V}_{Y,X}\ (\simeq \Pi_1 Y) \arrow[d, dashed] \\ \Pi_1 X^{*} \arrow[r, dashed] & (\Pi_1 X) \end{tikzcd}

Les deux flèches qui ferment ce carré sont pointillées sur la page, et les deux termes de droite mis entre parenthèses : c'est ce que l'énoncé de van Kampen doit fournir, non ce qu'on tient déjà.

Feuillet 3 de l'auteur.

est cocartésien — ou encore, si Y, X, X^{*} sont connexes, et qu'on choisisse un « pt base » de \Pi_1\mathcal{V}^{*}_{Y,X} (i.e. par définition, un rev. universel de \mathcal{V}^{*}_{Y,X}) (d'où pts bases de \Pi_1\mathcal{V}_{Y,X}, \Pi_1 X^{*}, \Pi_1 X), qu'on a un isom. can. des groupes fondamentaux

(9) \qquad \Pi_1(X) \simeq \Pi_1(X^{*}) \wedge_{\Pi_1\mathcal{V}^{*}_{Y,X}} \underbrace{\Pi_1(\mathcal{V}_{Y,X})}_{\simeq\ \Pi_1(Y)} ,

où \Pi_1(\mathcal{V}_{Y,X}) est isom. extérieurement à \Pi_1(Y).

Pour expliciter \Pi_1(X) en termes des données « élémentaires » \Pi_1(Y) et \Pi_1(X^{*}), il vaudrait ~~encore~~ à expliciter la structure de \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}), qui s'envoie dans l'un et dans l'autre, donnant lieu justement au diagramme (10)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_1(Y) \\ \Pi_1(X^{*}) & \end{tikzcd}

cette flèche définie mod. des choix (pt base de Y ).

qui exprime (8). C'est là que l'hypothèse

de locale trivialité normale a un rôle à jouer (celle de lissité devenant techniquement inutile, son rôle était plutôt de nature heuristique …). On doit se débrouiller, dans ce cas, pour démontrer que les propriétés homotopiques de l'inclusion \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} sont celles d'une fibration localement triviale de fibre \mathcal{V}^{*}_{z,Z} :

(11) \qquad \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \longrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}

est une « fibration homotopique » de fibre \mathcal{V}^{*}_{z,X}, de base Y \xrightarrow{\ \simeq\ \text{homot.}\ } \mathcal{V}_{Y,X} — et c'est cela qui devrait servir, dans le contexte topologique (p. ex. celui des schémas sur le typ. étale) de définition de la « locale trivialité normale » de l'inclusion Y \hookrightarrow X.

La fibre est écrite \mathcal{V}^{*}_{z,Z} dans la phrase soulignée et \mathcal{V}^{*}_{z,X} dans (11), deux lignes plus bas. Nous donnons chaque occurrence telle qu'elle est portée.

(Bien sûr, dans le contexte schématique, il faudra de plus travailler avec des ~~types~~ types d'homotopie profinis, et même « localiser » ces types d'homotopie

en l'un des nbs premiers qui sont distincts des caractéristiques résiduelles qui interviennent, que dans ce contexte modifié on peut prouver des théorèmes qu'il faut ~~de trivialité~~, cf Artin-Mazur …).

On aura en particulier une suite exacte d'homotopie (choisissant un « pt base » dans un sens de la fibre \mathcal{V}^{*}_{z,Z}) :

(12) \qquad \cdots \to \Pi_i(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \Pi_i(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_i(Y) \to \Pi_{i-1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \cdots ,

qui nous intéressera surtout en basses dimensions (13)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Pi_2(Y) \arrow[r] & \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \arrow[r] & \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[r] & \Pi_1(Y) \arrow[r] & \Pi_0(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \arrow[d] \\ & & & & \Pi_0(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[d] \\ & & & & \Pi_0(Y) \end{tikzcd}

Une accolade réunit sous (13) les termes \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_1(Y), avec la mention « qui intervient dans (10) ».

Si on suppose p. ex. que z est déconnectant vers Z localement, i.e. que la « fibre » \mathcal{V}^{*}_{z,Z} est connexe (ou encore, que Y est déconnectant dans X (loc.)), alors \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) est une extension de \Pi_1(Y) par un quotient de \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})

(savoir le quotient par l'image de \Pi_2(Y)), et = par \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) lui-même si \Pi_2(Y) est nul.

Si on suppose pour simplifier que \Pi_2(Y) \to \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) est nul, on trouve donc un diagramme (14) qui précise (10)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \arrow[r] & \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_1(Y) \arrow[r] & 1 \\ & & \Pi_1(X^{*}) & & \end{tikzcd}

où la ligne horizontale est exacte.

Deux noms sont portés sous cette suite : « (I ``inertie'') » sous \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}), et « (D ``décomposition'') » à droite de la flèche verticale. Nous rapportons la place qu'ils occupent sans décider à quel terme le second se rapporte.

Un cas intéressant est celui où les « pièces de construction » qui interviennent, savoir Y, X^{*} et \mathcal{V}^{*}_{z,Z}, sont des espaces « K(\pi,1) », i.e.

(15) \qquad \Pi_i(Y),\ \Pi_i(X^{*}),\ \Pi_i(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \text{ nuls pour } i \geq 2 ,

alors on en déduit qu'il en est de même pour \mathcal{V}^{*}_{Y,X} (et bien sûr pour \mathcal{V}_{Y,X} \simeq_{\text{homot.}} Y).

Si on a la « théorie souple des liens des types d'homotopie » à laquelle je faisais

Feuillet 5 de l'auteur. allusion, on devrait pouvoir exprimer alors le type d'homotopie de X (et non seulement les \Pi_i) en termes du diagramme des groupoïdes 8, — ou, ce qui revient au même, du diagramme de groupes (10).

En tout cas, il est clair (indépendamment de toute hypothèse de nullité de certains \Pi_i, ou de locale trivialité normale) comment reconstruire, en termes du diagramme 8, la catégorie \mathfrak{F} dans la cat. des faisceaux sur X, ~~dont~~ formée des F tels que l'on ait

(16) \qquad F|X^{*} \text{ et } F|Y \text{ localement triviaux} ,

Cette catégorie \mathfrak{F} est équivalente en effet à celle des systèmes

(17) \qquad (E_{X^{*}},\ E_{Y,X}\,;\ \varphi)

En regard de (17), et biffé : ~~(en un rev. étale de X^{*})~~, le mot « étale » étant réécrit au-dessus.

où E_{X^{*}} est un système local sur \Pi_1 X^{*}, E_{Y,X} un syst. local sur \Pi_1\mathcal{V}_{Y,X} (\simeq \Pi_1 Y) (donc un rev. ét. de Y) et enfin un hom. de syst. locaux sur \Pi_1\mathcal{V}^{*}_{Y,X}

(18) \qquad \varphi \colon p^{*}(E_{Y,X}) \longrightarrow i^{*}(E_{X^{*}}) .

En termes des diagrammes de groupes

(1) Quand les trois groupoïdes composants de (8) sont connexes, i.e. Y, X^{*} et \mathcal{V}^{*}_{Y,X} connexes, on peut aussi redéfinir en considérant E_{X^{*}} comme un ens. sur lequel \Pi_1(X^{*}) opère, E_{Y,X} un ens. sur lequel \Pi_1(Y) opère, et p^{*}(E_{Y,X}) et i^{*}(E_{X^{*}}) dans (18) comme étant ces mêmes ensembles, comme \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})-ensembles par restriction des opérateurs.

NB dans (14)

Une note de sept lignes, écrite en travers dans la marge gauche et numérotée (18 bis), y reprend E_{Y,X}, E_{X^{*}}, \Pi_1(Y) et I ; elle est trop recouverte pour être lue au-delà de ces termes.

Un cas particulièrement typique pour la géométrie algébrique, est celui où X est une surface top. et où Y est réduit à un pt a, donc \mathcal{V}_{Y,a} = D_a, disque (infinitésimal) (ouvert) de a, et \mathcal{V}^{*}_{Y,a} = D^{*}_a, disque épointé (inf.) autour de a, de sorte qu'on trouve le diagramme

(19)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] D^{*}_a \arrow[r, hook, "\text{« bouchage de trou en } a\text{ »}"] \arrow[d] & D_a \\ X^{*} = X \setminus \{a\} & \end{tikzcd}

Ici le diagramme (10) se réduit à (20)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{Z}_{a,X} \arrow[r] \arrow[d] & \{1\} \\ \Pi_1(X^{*}) & \end{tikzcd}

où \mathbb{Z}_{a,X} (\simeq \mathbb{Z}) est le « module d'orientation » de X en a, dont les deux gén. correspondent aux deux orientations de X en a. L'homom. vertical de (20) est l'homom. qui définit la structure « locale en a » du groupe fondamental X^{*}. Le cas le plus simple est celui où

(21) \qquad \begin{cases} X = \mathbb{C} \text{ plan complexe} \\ a = \{0\} \end{cases}

d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] D^{*}_0 \arrow[r] \arrow[d] & D_0 \\ \mathbb{C}^{*} & \end{tikzcd}

dont le produit avec lui-même un nb arbitraire de fois, donne les « modèles-types » des stratifications associées aux diviseurs à croisements normaux (dans les

domaines analytiques complexes).

Ici X = \mathbb{C} est topologiquement trivial, ce qui peut s'exprimer ainsi par le fait que son type d'homotopie est complètement décrit par celui des types \mathfrak{F} des systèmes (17). En effet, on aura

(22) \qquad \mathfrak{F} \simeq \widehat{C}

où C est le cas qui est où dans le diagramme (19) D \Rightarrow \Pi_1(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \simeq \Pi_1(X^{*}) iso défini comme la catégorie dont l'un des objets est l'unique de (18), et dont les flèches sont, en plus des flèches de ces trois groupoïdes, les flèches d'un objet a de A = \Pi_1\mathcal{V}^{*}_{Y,X} vers un objet b de B = \Pi_1(\mathcal{V}_{Y,X}) ou de C = \Pi_1(X^{*}), définies comme étant les flèches

p^{*}(a) \longrightarrow b \ \text{ dans } B \qquad (\text{resp. } i^{*}(a) \longrightarrow c \ \text{ dans } C).

Les deux premiers tiers de cette page sont recouverts de longues ratures horizontales et de deux traits obliques ; le texte que nous donnons est ce qui subsiste sous elles, et la phrase qui définit C y est reprise deux fois. Nous ne reproduisons pas la première version, entièrement biffée.

Dans le cas ~~actuel~~ présent, les groupoïdes A, B, C et les morphismes entre eux

Feuillet 7 de l'auteur. où I = D est le groupe des auto. de a, et où les seules autres flèches, à part les \gamma \in D et l'identité de b, est une flèche a \to b (de sorte que b est objet final de C). Comme C admet un objet final, \widehat{C} est (comme aussi \mathfrak{F}) de type d'homotopie trivial, ce qui signifie bien que \mathfrak{F} — le type d'homotopie de X = \mathbb{C}.

Prenons maintenant le cas où X est le compactifié \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} de \mathbb{C} par un pt à l'infini, disons

\begin{cases} X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \simeq S^2 \\ Y = \{\infty\} \\ X^{*} = \mathbb{C} \end{cases}

le diagramme (7) devient (23)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] D^{*}_{\infty} \arrow[r, hook] \arrow[d] & D_{\infty} \arrow[d, dashed] \\ \mathbb{C} \arrow[r, dashed] & \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \simeq S^2 \end{tikzcd}

dont la somme amalgamée est S^2, dont le type d'homotopie n'a rien de trivial ! Le ~~type~~ \mathfrak{F} se décrit maintenant à l'aide du diagramme correspondant sur les \Pi_1, savoir

(23)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ 1 & \end{tikzcd}

L'auteur donne à ce diagramme le numéro (23), déjà porté par celui de la page précédente.

on a maintenant une équivalence de types

\mathfrak{F} \simeq \widehat{C} ,

où C est la catégorie {\cdot} \to {\cdot}, qui a un objet final — donc \mathfrak{F} est encore homotopiquement trivial, alors que celle X ne l'est pas ! Pourtant les pièces de construction \{\infty\}, X^{*} \simeq \mathbb{C}, et \mathcal{V}^{*}_{z,Z} \simeq D^{*}_{\infty} sont bel et bien des K(\pi,1) — (les deux premières sont contractiles !). Cela montre que le type \mathfrak{F}, qui en principe semblait « tenir compte » des \Pi_1 des « pièces de construction » Y, X^{*}, \mathcal{V}^{*}_{Y,X} voisines, ne donne pas le type d'homotopie de X, même si les « morceaux » sont des K(\pi,1) — en d'autres termes le morphisme canonique

(24) \qquad X \longrightarrow \mathfrak{F}

n'est pas une équivalence d'homotopie.

Feuillet 8 de l'auteur.

J'avais craint un moment, par cet exemple, que le type d'homotopie de X ne pouvait pas (sous les hypothèses K(\pi,1) faites) se récupérer à partir de ceux de X^{*}, Y, \mathcal{V}^{*}_{Y,X} et du diagramme (7), i.e. du diagramme (8) ou (10). Mais je me suis convaincu ensuite que cette crainte n'était pas fondée, ou si : le type \mathfrak{F} n'est pas suffisant, lui, pour exprimer le type d'homotopie .

Essayons en effet, dans le cas qui nous occupe — le cas de la division cellulaire la plus simple de S^2, (qui est en même temps le cas le plus ~~simple~~ élémentaire d'un diviseur sur une courbe alg. complexe !) — de récupérer le H^2(X, A) (A un groupe abélien, disons) à partir du diagramme (23). J'interprète H^2(X,A) comme classifiant les gerbes sur X liées par A — et je constate que pour ~~de telles~~ gerbes, sur des types une théorie des « »

Le texte s'arrête ici, au bas de la page, en milieu de phrase : il se poursuit sur le feuillet suivant, hors de ce lot.