Cote n° 151 · batch 1 · pages 1–20 · Lecture modernisée · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le plan de « Structures stratifiées »

La première page est le sommaire d'un texte en quatre sections, avec la pagination de l'auteur en marge :

1. La situation type — préliminaires d'un programme (p. 1 de l'auteur).
2. Stratifications globales : le formalisme \(\tfrac{1}{2}\) simplicial (sans tubes) (p. 10).
3. Introduction des tubes (p. 15).
4. Topos canoniques associés à une stratification globale (p. 23).

Ce sommaire est tenu. Le texte lui-même commence à la page 26 du fonds, dans le lot suivant, et court sans interruption jusqu'à la dernière page du dossier : la section 1 occupe les pages 26 à 43, la section 2 les pages 44 à 55, la section 3 les pages 56 à 68, la section 4 les pages 69 à 74, où le dossier s'arrête au milieu d'une construction.¹

2–8

Le nerf de Čech tronqué : le système \(E_{0}, E_{1}, E_{2}\)

Quatre feuilles de travail, numérotées 1 à 4 par l'auteur, calculent dans un système à trois étages. Le modèle qui les rend toutes transparentes n'est pas écrit sur la page mais s'y lit dans les formules en coordonnées : partant d'un ensemble \(F\), on pose \[ E_{0} = F, \qquad E_{1} = F \times F, \qquad E_{2} = F \times F \times F, \] les \(p\) oubliant une coordonnée, les \(\delta\) en répétant une, et \(\mathfrak{S}_{n+1}\) permutant les facteurs de \(E_{n}\) : \[ p_{0}(x,y) = x, \quad p_{1}(x,y) = y, \quad \delta_{0}(x) = (x,x), \quad \sigma(x,y) = (y,x), \] \[ p_{12}(x,y,z) = (x,y), \quad p_{23}(x,y,z) = (y,z), \quad p_{31}(x,y,z) = (z,x), \] \[ \delta_{1}(x,y) = (y,x,x), \quad \delta_{2}(x,y) = (x,y,x), \quad \delta_{3}(x,y) = (x,x,y), \quad \rho(x,y,z) = (y,z,x). \] C'est le nerf de Čech de l'application \(F \to \{*\}\), tronqué au deuxième étage. Ce que les quatre feuilles cherchent est sa présentation : quel est le plus petit système de données et de relations dont ce modèle soit l'exemple libre.

La convention sur les transpositions

Une convention doit être fixée avant tout, car deux relations de ces pages sont fausses sans elle et vraies avec. Les transpositions \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\) de \(\mathfrak{S}_{3}\) sont indexées par la lettre qu'elles fixent : \[ \sigma_{1}(x,y,z) = (x,z,y), \qquad \sigma_{2}(x,y,z) = (z,y,x), \qquad \sigma_{3}(x,y,z) = (y,x,z). \] C'est la convention qu'exigent les relations d'équivariance \[ \sigma\, p_{12} = p_{12}\,\sigma_{3}, \qquad \sigma\, p_{23} = p_{23}\,\sigma_{1}, \qquad \sigma\, p_{31} = p_{31}\,\sigma_{2}, \] qui sont vraies dans le modèle et sont écrites telles quelles sur la page.²

Le système et ses relations

La donnée minimale est celle de trois ensembles \(E_{0}\), \((E_{1}, \mathfrak{S}_{2})\), \((E_{2}, \mathfrak{S}_{3})\) et de quatre applications \(p_{0} \colon E_{1} \to E_{0}\), \(\delta_{0} \colon E_{0} \to E_{1}\), \(p_{12} \colon E_{2} \to E_{1}\), \(\delta_{1} \colon E_{1} \to E_{2}\) ; tout le reste s'en déduit par les groupes : \[ p_{1} = p_{0}\sigma, \qquad p_{23} = p_{12}\rho, \qquad p_{31} = p_{12}\rho^{2}, \qquad \delta_{3} = \rho\,\delta_{1}, \qquad \delta_{2} = \rho^{2}\delta_{1}. \] Les relations que la page encadre, et qui sont toutes vraies dans le modèle, sont \[ p_{0}\delta_{0} = \mathrm{id}_{E_{0}}, \qquad \sigma\delta_{0} = \delta_{0}, \] \[ p_{12}\delta_{1} = \sigma, \qquad p_{12}\delta_{3} = \delta_{0}p_{0}, \qquad p_{12}\delta_{2} = \mathrm{id}_{E_{1}}, \] \[ \sigma_{1}\delta_{1} = \delta_{1}, \qquad p_{12}\sigma_{3} = \sigma\,p_{12}. \] Les trois du milieu sont les trois valeurs distinctes que prend \(p_{12}\) sur les trois faces \(\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}\) : une involution, un idempotent, l'identité. Elles sont, à la lettre, trois des identités simpliciales.³

Deux conséquences méritent d'être isolées, parce qu'elles servent plus loin. La première est que \(\delta_{1}\delta_{0}\) est invariante sous \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier : \[ g\,(\delta_{1}\delta_{0}) = \delta_{1}\delta_{0} \qquad (g \in \mathfrak{S}_{3}), \] ce qui est immédiat sur le modèle, où \(\delta_{1}\delta_{0}(x) = (x,x,x)\). La seconde est que \(p_{0}p_{12}\) est invariante à droite sous \(\sigma_{1}\) : \[ p_{0}\,p_{12}\,\sigma_{1} = p_{0}\,p_{12} = p_{0}\,p_{13}, \] \(\sigma_{1}\) ne touchant pas la première lettre.⁴

Une inégalité qui n'en est pas une

La page 2 porte, barrée et flanquée de deux points d'interrogation, \[ (p_{12}\rho)\,\delta_{1} \neq p_{23}\,(\rho\delta_{1}) \qquad ?? \] L'inégalité est vraie et n'a rien d'inquiétant. Comme \(p_{12}\rho = p_{23}\), le membre de gauche est \(p_{23}\delta_{1} = \delta_{0}p_{0}\) ; le membre de droite est \(p_{23}\delta_{3} = \mathrm{id}_{E_{1}}\). Ce ne sont pas deux parenthésages du même composé — le second n'est pas \(p_{12}(\rho\delta_{1})\) — et la composition n'est pas en cause. Les deux valeurs obtenues sont précisément les deux premières lignes de la boîte que la page écrit juste en dessous.⁵

Le cas pointé, et la lecture cocyclique

Si \(E_{0}\) est réduit à un point, \(E_{1}\) et \(E_{2}\) deviennent des ensembles pointés par \(e_{1} = \delta_{0}(*)\) et \(e_{2} = \delta_{1}(e_{1})\), les groupes respectent les pointages, et \(\delta_{0}p_{0}\) devient l'application constante. Les relations se réduisent à cinq : \[ p_{12}\delta_{1} = \sigma, \qquad p_{12}\delta_{3} = e, \qquad p_{12}\delta_{2} = \mathrm{id}_{E_{1}}, \qquad \sigma_{1}\delta_{1} = \delta_{1}, \qquad p_{12}\sigma_{3} = \sigma\,p_{12}, \] où \(e\) est l'application constante. La page 8 les récrit multiplicativement, et c'est le seul endroit du lot où le système soit lu comme une présentation : \[ \delta_{0}p_{0}(x) = 1, \qquad \sigma(x)\cdot x = 1, \qquad p_{12}(z)\,p_{23}(z)\,p_{31}(z) = 1 \quad (z \in E_{2}). \] Ce sont, dans l'ordre, la normalisation, l'inversion et la condition de cocycle. Autrement dit : \(E_{1}\) joue le rôle des données de transition d'un recouvrement, \(\sigma\) celui du passage à l'inverse, \(\delta_{0}\) celui des identités, et la troisième relation est la condition de cocycle de Čech sur les intersections triples.⁶

Une remarque de marge de la page 8 vaut d'être conservée, car c'est un critère et non une étape : \(\delta_{1}(x)\) est fixé par \(\rho\) — donc par \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier — si et seulement si \(x = \delta_{0}p_{0}(x)\), c'est-à-dire si et seulement si \(x\) est dégénéré.

10–14

Hyperrecouvrements

Cinq pages d'un texte suivi, paginées 1 à 5 par l'auteur, demandent ce que doit être un hyperrecouvrement d'un topos \(X\) indexé par une petite catégorie \(A\) quelconque, là où la notion reçue est indexée par un objet simplicial.⁷ La donnée est un foncteur \[ \varphi \colon A \longrightarrow X, \qquad \alpha \longmapsto U_{\alpha}, \] et la question est : quelles conditions sur \(\varphi\) ?

Les quatre axiomes

Ils sont posés dans cet ordre.

• Hyp 1. Les \(U_{\alpha}\), \(\alpha \in \mathrm{Ob}\,A\), recouvrent l'objet final \(e_{X}\).
• Hyp 1\({}'\). Pour tout \(\alpha_{0}\), le foncteur induit \(A/\alpha_{0} \to X/U_{\alpha_{0}}\) satisfait Hyp 1 : les \(U_{\alpha} \to U_{\alpha_{0}}\) indexées par les flèches \(\alpha \to \alpha_{0}\) forment une famille couvrante.
• Hyp 2. Pour \(\alpha, \beta\), la famille des \(U_{\gamma} \to U_{\alpha} \times U_{\beta}\), indexée par les objets de \(A/\alpha\times\beta\) — le produit étant pris dans \(\widehat{A}\) —, est couvrante.
• Hyp 2\({}'\). La version relative : pour tout diagramme \(\alpha_{1} \to \alpha_{0} \leftarrow \alpha_{2}\), la famille des \(U_{\gamma} \to U_{\alpha_{1}} \times_{U_{\alpha_{0}}} U_{\alpha_{2}}\), indexée par les objets de \(A/\alpha_{1}\times_{\alpha_{0}}\alpha_{2}\), est couvrante.

La version à \(n\) facteurs de Hyp 2 ne coûte rien : elle se déduit du cas \(n = 1\) par récurrence, puisque la composée de deux familles couvrantes est couvrante, en écrivant la famille des \(U_{\gamma'} \to U_{\gamma} \times U_{\alpha_{n+1}} \to (U_{\alpha_{0}} \times \cdots \times U_{\alpha_{n}}) \times U_{\alpha_{n+1}}\).⁸

La reformulation, et ce qu'elle dit

Soit \(\varphi_{!} \colon \widehat{A} \to X\) l'unique prolongement de \(\varphi\) commutant aux petites colimites — l'extension de Kan à gauche le long de Yoneda —, et soit \[ \varphi^{*} \colon X \longrightarrow \widehat{A}, \qquad \varphi^{*}(Y) = \bigl(\alpha \mapsto \mathrm{Hom}_{X}(\varphi\alpha, Y)\bigr) \] son adjoint à droite. Le premier est cocontinu, le second continu, et \(\varphi_{!} \dashv \varphi^{*}\).⁹

Alors Hyp 1, Hyp 2, Hyp 2\({}'\) sont exactement :

• a) \(\varphi_{!}(e_{\widehat{A}}) \to e_{X}\) est épi ;
• b) \(\varphi_{!}(\alpha\times\beta) \to \varphi_{!}(\alpha) \times \varphi_{!}(\beta)\) est épi, pour \(\alpha,\beta \in \mathrm{Ob}\,A\) ;
• c) \(\varphi_{!}(\alpha\times_{\alpha_{0}}\beta) \to \varphi_{!}(\alpha) \times_{\varphi_{!}(\alpha_{0})} \varphi_{!}(\beta)\) est épi, pour tout diagramme \(\alpha \to \alpha_{0} \leftarrow \beta\) dans \(A\).

Et comme tout objet de \(\widehat{A}\) est colimite de représentables, \(F = \varinjlim_{A/F}\alpha\), les conditions b) et c) valent alors pour des \(F, G\) quelconques de \(\widehat{A}\), ce qui permet de tout ramasser en un axiome unique : \[ \textbf{(Hyp)} \qquad \varphi_{!}\Bigl(\varprojlim_{I} F_{i}\Bigr) \longrightarrow \varprojlim_{I} \varphi_{!}(F_{i}) \quad \text{est épi}, \] pour tout diagramme fini \((F_{i})_{i \in I}\) dans \(\widehat{A}\) — et il suffit de le postuler pour \(I\) vide, discret à deux objets, et \(({\cdot} \to {\cdot} \leftarrow {\cdot})\), ce qui redonne respectivement Hyp 1, Hyp 2, Hyp 2\({}'\).¹⁰

Ce que dit (Hyp) est net : \(\varphi_{!}\) commute aux limites finies, à un recouvrement près. Si l'on y remplace « épi » par « iso », on obtient l'exactitude à gauche de \(\varphi_{!}\) ; le manuscrit relève lui-même ce cas comme « particulièrement agréable » et note qu'il équivaut à la donnée d'un morphisme de topos \(f \colon X \to \widehat{A}\) avec \(\varphi_{!} = f^{*}\). C'est le théorème de Diaconescu, et ce que le manuscrit appelle le cas agréable s'appelle aujourd'hui la platitude du foncteur \(\varphi\).¹¹

Le texte se termine sur une question, laissée ouverte :

Mais cette hypothèse peut-elle être vérifiée, sans que \(\varphi_{!}\) soit exact ? Quand ?

C'est exactement la question de l'écart entre la platitude et sa forme locale. L'écart est réel — les deux conditions ne coïncident pas en général, et c'est pour cela que la seconde a reçu un nom propre, covering flat — mais le dossier n'y revient pas.¹²

16–20

Le système \((E_{n}, \partial_{n}, k_{n})\) et son dual

Une seconde série numérotée, 1 à 3, reprend le calcul en toutes dimensions. Pour \(n \geq 1\), on se donne un \(\mathfrak{S}_{n}\)-ensemble \(E_{n}\) et un couple \[ \partial_{n} \colon E_{n} \longrightarrow E_{n+1}, \qquad k_{n} \colon E_{n+1} \longrightarrow E_{n}, \] les noms venant des applications d'indices sous-jacentes : \(\partial_{n}\) répond à l'inclusion \([1,n] \hookrightarrow [1,n+1]\) et \(k_{n}\) à sa rétraction. Les relations sont \[ k_{n}\partial_{n} = \mathrm{id}_{E_{n}}, \qquad \partial_{n}\sigma = i_{n}(\sigma)\,\partial_{n} \ \ (\sigma \in \mathfrak{S}_{n}), \qquad \sigma k_{n} = k_{n}\,i'_{n}(\sigma) \ \ (\sigma \in \mathfrak{S}_{n-1}), \qquad k_{n}\sigma_{n+1} = k_{n}, \] où \(i_{n} \colon \mathfrak{S}_{n} \hookrightarrow \mathfrak{S}_{n+1}\) est l'inclusion, \(i'_{n} = i_{n}i_{n-1}\), et \(\sigma_{m}\) la transposition \((m-1,m)\). La composée dans l'autre sens, \[ \rho_{n+1} = \partial_{n}k_{n} \colon E_{n+1} \longrightarrow E_{n+1}, \] est alors un idempotent, projecteur de \(E_{n+1}\) sur l'image de \(E_{n}\) : c'est la seule chose que \(k_{n}\partial_{n} = \mathrm{id}\) permette d'affirmer, et elle suffit.

Le système dual, et la condition de concaténation

Renversant toutes les flèches, on obtient \(E^{*}_{n}\) avec \(d_{n} = k^{*}_{n} \colon E^{*}_{n} \to E^{*}_{n+1}\) et \(p_{n} = \partial^{*}_{n} \colon E^{*}_{n+1} \to E^{*}_{n}\), satisfaisant les relations transposées. Deux familles d'applications de descente y sont définies, et il faut les distinguer soigneusement, car c'est leur couple qui porte tout l'énoncé : \[ \alpha^{*}_{n,p} = \partial^{*}_{p}\,\partial^{*}_{p+1}\cdots\partial^{*}_{n-1} \colon E^{*}_{n} \longrightarrow E^{*}_{p} \qquad (n > p \geq 1), \] \[ \beta^{*}_{n,q} = \partial'^{*}_{q}\,\partial'^{*}_{q+1}\cdots\partial'^{*}_{n-1} \colon E^{*}_{n} \longrightarrow E^{*}_{q} \qquad (n \geq q \geq 1), \qquad \partial'_{m} = \rho_{m}\,\partial_{m}, \] \(\rho_{m}\) étant la permutation circulaire de \(\mathfrak{S}_{m+1}\). Au niveau des indices, \(\alpha_{n,p}\) est l'inclusion du segment initial \([1,p] \subset [1,n]\) et \(\beta_{n,q}\) celle du segment final, \(i \mapsto i + (n-q)\) : \(\alpha^{*}\) est donc la restriction au début et \(\beta^{*}\) la restriction à la fin.

La condition que le système doit satisfaire, en plus des relations, est alors \[ (**) \qquad E^{*}_{p+q} \xrightarrow{\ (\alpha^{*}_{p+q,p},\ \beta^{*}_{p+q,q})\ } E^{*}_{p} \times E^{*}_{q} \quad \text{surjectif}, \qquad p,q \geq 1 : \] un objet de longueur \(p\) et un objet de longueur \(q\) étant donnés, il existe toujours un objet de longueur \(p+q\) dont ils sont respectivement le début et la fin. C'est une condition de concaténation, et c'est le dessin de la page 17 — deux segments mis bout à bout, avec le point de raccord marqué.¹³

Le même système écrit en trois termes

Les pages 18 à 20 redescendent au cas de trois étages et l'écrivent \(X_{1}, X_{2}, X_{3}\), avec \(p_{0} \colon X_{2} \to X_{1}\), \(p_{12} \colon X_{3} \to X_{2}\), \(\delta_{0} \colon X_{1} \to X_{2}\), \(\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3} \colon X_{2} \to X_{3}\) et les groupes \(\mathfrak{S}_{2}\), \(\mathfrak{S}_{3}\). C'est le système \(E_{0}, E_{1}, E_{2}\) des pages 2 à 8, décalé d'un cran.¹⁴

Deux carrés y sont déclarés cartésiens par l'auteur — il écrit « cart » en leur centre —, et ils sont ensuite récrits avec \(E\) au lieu de \(X\) et \(\partial\) au lieu de \(\delta\) : le passage d'un système à l'autre est ce que la page cherche. Le second de ces carrés,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
E_{1} & E_{2} \arrow[l, "p_{12}"'] \\
E_{0} \arrow[u, "\delta_{0}"] & E_{1} \arrow[l, "p_{0}"] \arrow[u, "\delta_{1}"']
\end{tikzcd}

dit exactement, une fois \(E_{0}\) réduit à un point, que l'image de \(E_{1}\) dans \(E_{2}\) est la fibre de \(p_{12}\) au-dessus du point marqué. C'est cette assertion que le lot suivant démontre, à la page 24.

La page 19 pose alors l'hypothèse qui ouvre le lot suivant : \(X_{1}\) réduit à un élément, donc \(E_{1}\) un \(\mathfrak{S}_{2}\)-ensemble pointé et \(E_{2}\) un \(\mathfrak{S}_{3}\)-ensemble pointé, reliés par \[ d \colon E_{1} \rightleftarrows E_{2} \colon p, \qquad p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}. \] La page 20 ne porte que trois lignes de calcul en coordonnées, qui reprennent \(d\) et \(\rho^{2}d\) ; elles sont reprises et menées à leur terme à la page 21.¹⁵

Une page intercalée

La page 17, écrite au dos de la même lettre administrative que ses voisines, n'appartient pas à cette série mais au texte « Hyperrecouvrements » : elle porte le calcul de \(\varphi_{!}(F \times G)\) par colimites qui justifie le passage des représentables aux objets quelconques, et le couple adjoint \((\varphi_{!}, \varphi^{*})\) écrit en toutes lettres — « \(u\) continu, \(v\) cocontinu ». Nous l'avons rendue à sa place logique, ci-dessus.