Cote n° 151 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

« Structures stratifiées » — le plan

1Structures stratifiées

1. La situation type — préliminaires d'un programme. 1.
2. Stratifications globales : le formalisme \(\tfrac12\) simplicial (sans tubes). 10
3. \ill Introduction des tubes. 15
4. Topos canoniques associés à une stratification (globale). 23

Les nombres qui ferment chaque ligne sont portés dans la marge droite du sommaire : ce sont les renvois de pagination du texte annoncé, et non les numéros de l'archiviste. Aucune des pages du présent lot ne porte cette pagination-là, sauf le texte « Hyperrecouvrements » ci-dessous, paginé 1 à 5 par l'auteur.

Au point 3, un mot est biffé si lourdement qu'il ne se lit plus ; les premières lettres suggèrent une majuscule, nous n'allons pas plus loin.

Le formalisme \(\tfrac12\)-simplicial : le système \(E_0, E_1, E_2\)

Les quatre pages qui suivent sont numérotées 1 à 4 par l'auteur, dans un cercle en haut de page ; ce sont des feuilles de travail, où les relations sont écrites, encadrées, biffées et reprises. Nous transcrivons les systèmes de relations et les phrases, sans reproduire chaque reprise : là où un fragment est recouvert au point de ne plus se lire, il est noté. Les accolades que l'auteur place sous un terme pour le renommer sont conservées telles quelles : ainsi \(\underbrace{\rho\delta_1}_{\delta_3}\).

2Le système est celui de trois ensembles et des applications qui les relient :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_0 \arrow[r, "\delta_0", bend left=18] & E_1 \arrow[l, "p_0"', bend left=18] \arrow[r, "\delta_1", bend left=18] & E_2 \arrow[l, "p_{12}"', bend left=18]
\end{tikzcd}

outre \(p_0\) et \(p_{12}\), le système comporte \(p_1 \colon E_1 \to E_0\), puis \(p_{23}, p_{31} \colon E_2 \to E_1\), et les faces \(\delta_2, \delta_3 \colon E_1 \to E_2\) : toutes sont nommées dans les relations ci-dessous.

\(\mathfrak{S}_2\) opère sur \(E_1\), d'élément \(\sigma\) ; \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \(E_2\), d'éléments \(\rho\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\), \(\rho^2\).

Le coin supérieur gauche de la page porte, sous ce diagramme, un faisceau de flèches recourbées reliant \(E_1\) à \(E_2\) et étiquetées \(\delta_1\), \(\delta_2\), \(\delta_3\), en partie recouvert de hachures. Nous ne dessinons qu'une flèche par sens, faute de pouvoir en séparer trois lisiblement ; aucune n'est perdue, les autres sont nommées à la ligne suivante et opèrent dans les relations.

Les opérations sont données en coordonnées :

\[ \delta_3(x,y) = (x,x,y), \qquad \delta_1(x,y) = (y,x,x), \qquad \delta_2(x,y) = (x,y,x), \] \[ p_{12}(x,y,z) = (x,y), \qquad p_{23}(x,y,z) = (y,z), \qquad p_{31}(x,y,z) = (z,x), \] \[ \rho(x,y,z) = (y,z,x). \]

En marge de la première boîte : \(\delta_1\sigma(x,y) = \uncertain{(y,y,x)}\), puis \(\delta_3\delta_3\).

\(p_1 = p_0\sigma\), \(p_0 = p_1\sigma\).

\(p_{12} = p_{23}\)

\[ \begin{cases} p_{23} = p_{12}\rho \\ p_{31} = p_{23}\rho = p_{12}\rho^2 \\ p_{12} = p_{31}\rho = p_{23}\rho^2 \end{cases} \qquad \begin{cases} \delta_1 = \rho\delta_2 = \rho^2\delta_3 \\ \delta_2 = \rho\delta_3 = \rho^2\delta_1 \\ \delta_3 = \rho\delta_1 = \rho^2\delta_2 \end{cases} \] \[ \sigma p_{12} = p_{12}\sigma_3, \qquad \sigma p_{23} = p_{23}\sigma_1, \qquad \sigma p_{31} = p_{31}\sigma_2. \]

Il suffit de se donner \(p_0, p_{12}, \delta_0, \delta_1\) avec les trois ensembles \(E_0\), \((E_1,\mathfrak{S}_2)\), \((E_2,\mathfrak{S}_3)\), avec les relations

\[ \boxed{p_0\delta_0 = \mathrm{id}_{E_0}}, \qquad \boxed{\sigma\delta_0 = \delta_0}, \] \[ \delta_0p_0 = p_{12}\,\underbrace{\rho\delta_1}_{\delta_3} = p_{23}\,\delta_1 = p_{31}\,\underbrace{\rho^2\delta_1}_{\delta_2}. \]

Cette dernière chaîne d'égalités est écrite deux fois sur la page, la seconde fois précédée d'un « i.e. », et les termes intermédiaires y sont surchargés d'accolades qui renomment \(\rho\delta_1\) en \(\delta_3\) et \(\rho^2\delta_1\) en \(\delta_2\). Une inégalité barrée la traverse, flanquée de deux points d'interrogation :

\[ (p_{12}\rho)\delta_1 \neq p_{23}(\rho\delta_1) \qquad ?? \]

Le désaccord porte sur l'ordre d'application, et il est tranché plus bas : la boîte suivante donne les trois valeurs, qui ne sont pas les mêmes selon le \(\delta\) auquel on compose.

\[ \begin{cases} \delta_0p_0 = p_{12}\,\underbrace{\rho\delta_1}_{\delta_3} \\ \mathrm{id}_{E_1} = p_{12}\,\underbrace{\rho^2\delta_1}_{\delta_2} \\ \sigma = p_{12}\,\delta_1 \end{cases} \] \[ \boxed{\sigma_3\delta_1 = \delta_1}, \qquad \boxed{p_{12}\sigma_3 = \sigma p_{12}}, \] \[ \boxed{\rho\,\delta_1\delta_0 = \sigma_1\,\delta_1\delta_0 = \delta_1\delta_0}, \qquad p_0\,p_{12} = p_0\,\underbrace{p_{12}\rho^2}_{p_{31}}. \]

4En tête de page, les générateurs sont recensés en trois colonnes — \(p_0/p_1\) et \(\delta_0\) ; \(p_{12}, p_{13}, p_{31}\) au-dessus de \(p_{21}, p_{32}, p_{23}\) ; \(\delta_1, \delta_2, \delta_3\) — puis \(\delta_0p_0, \delta_0p_1, \mathrm{id}, \sigma\). Trois longs traits obliques traversent le recensement.

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_0 \arrow[r, "\delta_0", bend left=18] & E_1 \arrow[l, "p_0", bend left=18] \arrow[r, "\delta_1"', bend right=18] & E_2 \arrow[l, "p_{12}"', bend right=18]
\end{tikzcd}

L'auteur inscrit \(\mathfrak{S}_2\) au-dessus de \(E_1\) et \(\mathfrak{S}_3\) au-dessus de \(E_2\) : c'est la donnée minimale annoncée à la page précédente, redessinée seule dans un cadre.

\[ \boxed{p_0\delta_0 = \mathrm{id}_{E_0}}, \qquad \boxed{\sigma\delta_0 = \delta_0}, \] \[ \begin{cases} p_{12}\delta_1 = \sigma & \text{(involution)} \\ p_{12}\,\underbrace{\rho\delta_1}_{\delta_3} = \delta_0p_0 & \text{(idempotent)} \\ p_{12}\,\underbrace{\rho^2\delta_1}_{\delta_2} = \mathrm{id} & \end{cases} \] \[ \boxed{\sigma_1\delta_1 = \delta_1}, \qquad \boxed{p_{12}\sigma_3 = \underbrace{\sigma\,p_{12}}_{p_{21}}}, \] \[ \boxed{\rho(\delta_1\delta_0) = \sigma_1(\delta_1\delta_0) = \delta_1\delta_0} \quad \text{i.e.} \quad g(\delta_1\delta_0) = \delta_1\delta_0 \ \text{ pour } g \in \mathfrak{S}_3, \] \[ \boxed{p_0\,p_{12}\,\sigma_3 = \underbrace{p_0\,p_{12}}_{p_1}}. \]

Quatre listes entourées occupent la marge droite : \(p_0, p_1\) ; \(\delta_1, \delta_2, \delta_3\) ; \(p_{12}, p_{23}, p_{31}, p_{21}, p_{32}, p_{13}\) ; \(g_1, g_2, g_3\) — et, contre la première, les définitions \(\delta'_1 = \delta_1\sigma\), \(\delta'_2 = \delta_2\sigma\), \(\delta'_3 = \delta_3\sigma\). Ce sont des inventaires de générateurs, non des relations.

6\[ p_0p_{12} = p_0p_{13} = p_0\,\underbrace{p_{12}\rho^2}_{p_{31}}\,\sigma_2, \qquad \rho^2\sigma_2 = \sigma_3\rho^2, \] \[ p_0\,p_{12}\,\sigma_1 = p_0\,p_{12}. \]

Le calcul de \(\rho^2\sigma_2\) est mené en coordonnées : \((x,y,z) \mapsto (z,y,x) \mapsto (y,x,z)\), et \((x,y,z) \mapsto (z,x,y)\), enfin \((x,z,y) = \sigma_1\).

Cette colonne de calculs est traversée de deux longues courbes qui enferment le résultat ; les images intermédiaires sont écrites plusieurs fois, et nous ne retenons que la chaîne complète. À gauche, \(\delta_1\sigma = \uncertain{(x,y,y)}\), avec les triplets \((x,x,y)\) et \((y,y,x)\) notés dessous.

Si \(E_0\) est réduit à un point, les \(\delta_0, \delta_1, \partial_0\), \(E_1\), \(E_2\) deviennent des ens. pointés, et \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_3\) respectent le pointage (« pointés »). \ill respectant le Dans, en plus des opérations de \(\mathfrak{S}_2, \mathfrak{S}_3\), on a

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_1 \arrow[r, "\delta_1", bend left=18] & E_2 \arrow[l, "p_{12}"', bend left=18]
\end{tikzcd}

i.e. \(\delta_1\) et \(p_{12}\) respectant les pointations, et on a \(p_{12}, \delta_1\) satisfaisant aux cinq relations supplémentaires

\[ \begin{cases} p_{12}\delta_1 = \sigma \\ p_{12}\,\underbrace{\rho\delta_1}_{\delta_3} = \text{application constante de valeur } e_1 \\ p_{12}\,\underbrace{\rho^2\delta_1}_{\delta_2} = \mathrm{id}_{E_1} \\ \sigma_1\delta_1 = \delta_1 \\ p_{12}\sigma_3 = \sigma\,p_{12} \end{cases} \]

Une seconde boîte, à droite de celle-ci, refait le même compte à partir de \(\delta_2\) au lieu de \(\delta_1\) : \(p_{12}\delta_2 = \mathrm{id}_{E_1}\), \(p_{12}\rho\delta_2 = \sigma\), \(p_{12}\rho^2\delta_2 = e_1\) — l'application constante — avec \(\sigma_2\delta_2 = \delta_2\) et \(p_{12}\sigma_3 = \sigma p_{12}\). Elle est en partie biffée, et une partie des indices y est illisible ; le lecteur y trouvera la même liste de cinq relations, transportée par \(\rho\).

8\[ p_{12}\delta_1(x) = \sigma(x), \qquad \underbrace{p_{12}\,\rho\delta_1}_{p_{23}}(x) = \delta_0p_0(x), \qquad \underbrace{p_{12}\,\rho^2\delta_1}_{p_{31}}(x) = x. \]

NB \(\delta_1(x)\) ne peut être fixé par \(\rho\) (donc par \(\mathfrak{S}_3\)) que si \(x = \delta_0p_0(x)\) (condition néc. et suff.).

\[ \begin{cases} \delta_0p_0(x) = 1 \\ \sigma(x)\cdot x = 1 \\ p_{12}(z)\,p_{23}(z)\,p_{31}(z) = 1 \end{cases} \qquad \sigma(x)\,\underbrace{\delta_0p_0(x)}_{=\,1}\,x = 1 \]

pour \(z \in E_2\) (une relation \ill supplémentaire par orbite sous \(\mathfrak{S}_3\) qui ne rencontre pas \(\delta_1(E_1)\)).

Les trois relations encadrées sont écrites multiplicativement, comme des relations de groupe : c'est le seul endroit du lot où le système \(\tfrac12\)-simplicial est lu comme une présentation.

Pour \(\alpha \in E_1\), avec \(F_\alpha \subset F \times F\) au-dessus de \(F\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F \times F \times F \arrow[d, "p_{12}", bend left=18] \arrow[d, "p_{13}"', bend right=18] \\
F \times F
\end{tikzcd}

\[ E_2(\alpha) \ni \delta_1(\alpha) = \delta_1\sigma(\alpha), \] \[ \Pi_0(F_\alpha \times_F F_\alpha) = \underbrace{p_{12}^{-1}(\alpha) \cap p_{13}^{-1}(\alpha)}_{E_2(\alpha)}, \quad \text{stable par } \sigma_1. \]

Prenons \(\alpha \neq \delta_1\), alors \(\delta_2 \notin p_{12}^{-1}(\alpha)\) ; les pts fixes par \(\sigma_1\) sont dans image \(\delta_1(E_1)\), mais \(p_{12}(\delta_1(x)) = p_{13}(\delta_1(x)) = \sigma x\), donc \ill \(\delta_1(x) \in E_2(\alpha) \iff \sigma x = \alpha\), i.e. \(x = \sigma\alpha\), et \(\delta_1\sigma(\alpha)\) est le seul des \(\delta_2 = \delta_1(\alpha)\).

La dernière proposition est écrite par-dessus une rature et le verbe ne se lit qu'à demi ; le sens — que \(\delta_1\sigma(\alpha)\) est le seul point fixe en jeu — est celui que porte la ligne, mais la lecture du mot reste douteuse.

Hyperrecouvrements

Ce qui suit est un texte suivi, d'une seule venue, paginé 1 à 5 par l'auteur en haut de page ; nous le donnons intégralement. C'est la seule partie du lot qui soit rédigée plutôt que calculée.

10Page 1 de l'auteur.

Hyperrecouvrements.

Soit \(X\) une catégorie \(U\)-topos. On veut définir une la notion d'hyperrecouvrement de \(X\) (ou encore, du topos défini par \(X\)), indexé par une petite catégorie \(A\). Un tel type C'est par définition un foncteur

\[ \varphi \colon A \longrightarrow X, \qquad \alpha \longmapsto U_\alpha\ (= \varphi(\alpha)), \]

satisfaisant certaines conditions, inspirées par les \ill des « Čechistes » recouvrements dont les nerfs, et le raffinement de ce \ill suggéré par Cartier (pour les espaces topologiques ou paracompacts). Voici les conditions qui me viennent à l'esprit :

La même abréviation de deux lettres, ponctuée, revient aux deux endroits marqués \ill — « les \ill des recouvrements », puis « ce \ill suggéré par Cartier ». Elle désigne un procédé, et non un objet, mais nous ne la lisons pas et ne la devinons pas. Le mot entre guillemets est inséré au-dessus de la ligne par un signe d'insertion.

\medskip Hyp 1 Les objets \(U_\alpha\) (\(\alpha \in \mathrm{Ob}\,A\)) recouvrent l'objet final \(e_X\) de \(X\).

\medskip Hyp 1\({}'\) Pour tout \(\alpha_0 \in \mathrm{Ob}\,A\), le foncteur induit \(A/\alpha_0 \to X/U_{\alpha_0}\) satisfait à Hyp 1, i.e. l'ens. des flèches \(U_\alpha \to U_{\alpha_0}\), associées aux flèches \(\alpha \to \alpha_0\) de but \(\alpha_0\) dans \(A\),

11soit couvrant.

Hyp 1\({}'\) est barrée d'une grande croix qui court sur les quatre dernières lignes de la page 10, et une note de quelques mots, écrite en travers dans le coin inférieur gauche, commence par « Est-ce que » ; elle est trop recouverte pour être lue. L'énoncé lui-même reste lisible et sert à la suite — il est repris tel quel à la page 3 de l'auteur.

\medskip Hyp 2 Pour \(\alpha, \beta \in \mathrm{Ob}\,A\), l'ens. des flèches diagrammes \(\gamma \to \alpha\), \(\gamma \to \beta\) dans \(A\) (i.e. l'ens. des objets de \(A/\alpha\times\beta\), où \(\alpha\times\beta\) est le produit cartésien dans \(\widehat{A}\)), indexant les flèches correspondantes \(U_\gamma \to U_\alpha \times U_\beta\), donne une famille couvrante \(U_\alpha \times U_\beta\).

\medskip [Hyp 2 généralisé :] Idem pour une suite finie \((\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n)\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) d'objets de \(A\), et les diagr. flèches \(U_\gamma \to U_{\alpha_0} \times U_{\alpha_1} \times \dots \times U_{\alpha_n}\) indexées par les objets de \(A/\alpha_0\times\alpha_1\times\dots\times\alpha_n\).

Pour \(n = 0\), on retrouve Hyp 1\({}'\), pour \(n = 1\), la formulation initiale de Hyp 2. Mais Hyp 2 pour \(n = 1\) implique-t-il Hyp 2 pour \ill \(n \geq 1\) ? On voit qu'il en est ainsi, par récurrence, en utilisant le fait que la famille composée de deux familles couvrantes

\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
U_{\gamma'} \arrow[r, "\varphi(v)"] & U_\gamma \times U_{\alpha_{n+1}} \arrow[r, "\varphi(u)\times\mathrm{id}"] & (U_{\alpha_0} \times \dots \times U_{\alpha_n}) \times U_{\alpha_{n+1}}
\end{tikzcd}

(\(u\) parcourant les flèches \(\gamma' \to \gamma \times \alpha_{n+1}\), et \(v\) les flèches \(\gamma \to \alpha_0 \times \dots \times \alpha_n\)) est couvrante. Ainsi Hyp 1\({}'\) \ill Hyp 2.

Les deux étiquettes de ce diagramme sont écrites très petit au-dessus des flèches ; nous lisons \(\varphi(v)\) sur la première et \(\varphi(u)\times \mathrm{id}\) sur la seconde, mais la phrase qui suit assigne à \(u\) le rôle de la première et à \(v\) celui de la seconde. L'un des deux est mal placé, sur la page ou sous notre lecture ; nous ne corrigeons pas. Le mot biffé de la dernière ligne portait vraisemblablement une implication, remplacée par un signe surchargé.

12Page 3 de l'auteur.

… forme initiale (avec \(\alpha, \beta\)) implique Hyp 2 sous sa forme générale (avec termes en \(\alpha_0, \alpha_1, \dots \alpha_n\)).

\medskip Hyp 2\({}'\) : Pour tout \(\alpha_0 \in \mathrm{Ob}\,A\), le foncteur induit \(A/\alpha_0 \twoheadrightarrow X/U_{\alpha_0}\) satisfait : Hyp 2, i.e. pour tout diagramme \(\alpha_1 \to \alpha_0 \leftarrow \alpha_2\), regardant les couples commutatifs de \(A\) qui les complètent

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \gamma \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\alpha_1 \arrow[dr] & & \alpha_2 \arrow[dl] \\
& \alpha_0 &
\end{tikzcd}

i.e. les objets de \(A/\alpha_1\times_{\alpha_0}\alpha_2\), la famille des flèches correspondantes

\[ U_\gamma \longrightarrow U_{\alpha_1} \times_{U_{\alpha_0}} U_{\alpha_2} \]

est couvrante (i.e., épimorphique).

Les hypothèses Hyp 1, 2, 2\({}'\) se reformulent plaisamment, en termes du prolongement canonique

\[ \varphi_! \colon \widehat{A} \longrightarrow X \]

de \(\varphi\) qui en un foncteur \(\widehat{A} \to X\) commutant et aux petites \(\varinjlim\). Ce sont en particulier

13Page 4 de l'auteur. les conditions :

1. [a)] \(\varphi_!(e_{\widehat{A}}) \longrightarrow e_X\) est épi
2. [b)] \(\varphi_!(\alpha\times\beta) \longrightarrow \varphi_!(\alpha)\times\varphi_!(\beta)\) est épi, \(\forall\,\alpha,\beta\) dans \(\mathrm{Ob}\,A\)
3. [c)] \(\varphi_!(\alpha\times_{\alpha_0}\beta) \longrightarrow \varphi_!(\alpha)\times_{\varphi_!(\alpha_0)}\varphi_!(\beta)\) est épi, \(\forall\) diagramme \(\alpha \to \alpha_0 \leftarrow \beta\) dans \(A\).

Un cas particulièrement agréable où ces conditions sont satisfaites, c'est quand \(\varphi_!\) est exact : gauche, i.e. qu'il correspond \ill à un morphisme de topos

\[ f \colon X \longrightarrow \widehat{A} \]

par la formule \(\varphi_! = f^*\).

Alors dans a) b) c) les flèches épi en question sont même des iso, et je puis que l'inverse est vrai également. Quand — il est essentiellement suivi, en écrivant conséquemment, pour un \(F \in \mathrm{Ob}\,\widehat{A}\), \(F = \varinjlim_{A/F}\alpha\) \ill. On voit que \ill b) et c)

Les deux dernières lignes de la page sont couvertes par une longue rature horizontale qui emporte le verbe principal ; ce qui reste lisible est donné ci-dessus, et les mots que nous ne tenons pas pour sûrs sont soulignés. La suite de la phrase se reprend au haut de la page suivante.

14Page 5 de l'auteur.

… impliquent

1. [b\({}'\))] \(\varphi_!(F\times G) \longrightarrow \varphi_!(F)\times\varphi_!(G)\) épi, \(\forall\,F,G\) dans \(\mathrm{Ob}\,\widehat{A}\)
2. [c\({}'\))] \(\varphi_!(G\times_F H) \longrightarrow \varphi_!(G)\times_{\varphi_!(F)}\varphi_!(H)\) épi, \(\forall\) diagramme \(G \to F \leftarrow H\) dans \(\widehat{A}\).

et de là, plus généralement, la forme équivalente unique de Hyp 1, 2, 2\({}'\) :

\medskip (Hyp) Pour tout diagramme fini \((F_i)_{i \in I}\) dans \(\widehat{A}\), la flèche canonique

\[ \varphi_!\Bigl(\varprojlim_I F_i\Bigr) \longrightarrow \varprojlim_I \varphi_!(F_i) \]

est épi.

(Il suffit d'ailleurs de le postuler quand les \(F_i\) sont dans \(A\), et dans trois cas particuliers \(I = {\cdot}\), \({\cdot}\ {\cdot}\), \(({\cdot} \to {\cdot} \leftarrow {\cdot})\), correspondants aux axiomes Hyp 1, Hyp 2, Hyp 2\({}'\).)

Mais cette hypothèse peut-elle être vérifiée, sans que \(\varphi_!\) soit \(=\) exact ? Quand ?

Le système \((E_n, \partial_n, k_n)\) et son dual

Seconde série numérotée par l'auteur, 1 à 3, dans un cercle en haut de page : pages 16, 18 et 19. La page 17, intercalée, poursuit le calcul de \(\varphi_!\) du texte précédent ; nous la laissons à sa place, qui est celle du papier.

16

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_n \arrow[r, "\partial_n", bend left=18] & E_{n+1} \arrow[l, "k_n", bend left=18]
\end{tikzcd}

\(n \in \mathbb{N}^*\) i.e. \(n \geq 1\).

\[ \partial_n \colon [1,n] \hookrightarrow [1,n+1] \quad \text{inclusion}, \qquad k_n \colon [1,n] \longleftarrow [1,n+1] \quad \text{rétraction}. \]

\(\mathfrak{S}_n\) opère sur \(E_n\) ; \(\mathfrak{S}_n \overset{i_n}{\hookrightarrow} \mathfrak{S}_{n+1}\).

\[ \begin{cases} k_n\partial_n = \mathrm{id}_{E_n} \\ \partial_n\sigma = i_n(\sigma)\,\partial_n & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_n,\ \text{pour } n \geq 1 \\ \sigma k_n = k_n\,i'_n(\sigma) & \text{si } \sigma \in \mathfrak{S}_{n-1},\ \text{pour } n \geq 2 \\ k_n\sigma_{n+1} = k_n & \end{cases} \]

avec \(\partial_nk_n \overset{\text{déf}}{=} \rho_{n+1}\) (projecteur dans \(E_{n+1}\), rétraction sur \(E_n \subset E_{n+1}\)), où \(i'_n = i_n i_{n-1} \colon \mathfrak{S}_{n-1} \to \mathfrak{S}_n \to \mathfrak{S}_{n+1}\) et où \(\sigma_m \in \mathfrak{S}_m\) est la transposition \((m-1,m)\).

Le système dual :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E^*_n \arrow[r, "d_n = k^*_n"', bend right=18] & E^*_{n+1} \arrow[l, "p_n = \partial^*_n"', bend right=18]
\end{tikzcd}

\[ (*) \quad \begin{cases} \partial^*_n k^*_n = \mathrm{id}_{E^*_n} \\ \sigma\,\partial^*_n = \partial^*_n\,i_n(\sigma) & (\sigma \in \mathfrak{S}_n) \\ k^*_n\,\sigma = i'_n(\sigma)\,k^*_n & \\ \sigma_{n+1}k^*_n = k^*_n & \end{cases} \]

réalisation dans (Ens) de syst. des \((E^*_n, \partial^*_n, k^*_n)\) satisfaisant \ill \(\mathfrak{S}_n\)-ens. aux relations \((*)\), plus

\[ (**) \quad E^*_{p+q} \xrightarrow{\ (\alpha^*_{p+q,p},\ \beta^*_{p+q,q})\ } E^*_p \times E^*_q \quad \text{surjectif pour } p, q \geq 1. \]

\[ \alpha^*_{n,p} \colon E^*_n \to E^*_p \quad (n > p \geq 1), \qquad \boxed{\alpha^*_{n,p} = \partial^*_p\,\partial^*_{p+1} \cdots \partial^*_{n-1}} \] \[ E^*_n \xrightarrow{\ \partial^*_{n-1}\ } E^*_{n-1} \xrightarrow{\ \partial^*_{n-2}\ } E^*_{n-2} \cdots \xrightarrow{\ \partial^*_p\ } E^*_p \] \[ \beta^*_{n,q} \colon E^*_n \to E^*_q \quad (n \geq q \geq 1), \qquad \boxed{\beta^*_{n,q} = \partial'^*_q\,\partial'^*_{q+1} \cdots \partial'^*_{n-1}} \] \[ E^*_n \xrightarrow{\ \partial'^*_{n-1}\ } E^*_{n-1} \xrightarrow{\ \partial'^*_{n-2}\ } E^*_{n-2} \cdots \xrightarrow{\ \partial'^*_q\ } E^*_q \] \[ \partial'^*_m \colon E^*_{m+1} \to E^*_m, \qquad \boxed{\partial'^*_m = \partial^*_m\,\rho^*_{m+1}} \]

avec \(\rho^*_{m+1} = \rho_{m+1}^{-1}\), la permutation circulaire directe dans \(\mathfrak{S}_{m+1}\).

Au bas de page, les versions non dualisées : \(\alpha_{n,p} \colon E_p \hookrightarrow E_n\) inclusion canonique ; \(\beta_{n,q} \colon E_q \hookrightarrow E_n\) avec \(\beta_{n,q}(i) = i + (n-q)\) ; \(\partial'_n\) avec \(\partial'_n(i) = i+1\) ; et \(\partial'_m = \rho_m\partial_m\) où \(\rho_m \in \mathfrak{S}_{m+1}\) est donnée par \(\rho_m(i) = i+1\) si \(i \in [1,m]\), \(\rho_m(i) = 1\) si \(i = m+1\) — la permutation circulaire.

17Cette page, écrite au dos de la lettre administrative, reprend le calcul de \(\varphi_!\) du texte « Hyperrecouvrements ». Deux longs traits obliques la traversent en X, sans que rien y soit remplacé : nous transcrivons ce qu'ils recouvrent.

\[ F = \varinjlim_{A/F}\alpha, \qquad G = \varinjlim_{A/G}\beta, \] \[ F \times G = \varinjlim_{A/F}\bigl(\alpha \times G\bigr) = \varinjlim_{A/F \times A/G} \alpha \times \beta, \] \[ \varphi_!(F \times G) = \varinjlim_{A/F \times A/G} \underbrace{\varphi_!(\alpha\times\beta)}_{\varphi_!(\alpha)\times\varphi_!(\beta)}, \] \[ \varphi_!(F) = \varinjlim_{A/F}\varphi_!(\alpha), \qquad \varphi_!(G) = \varinjlim_{A/G}\varphi_!(\beta). \]

Pour \(A \xrightarrow{\ \varphi\ } X\) :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
C = X \arrow[r, "u = \varphi^*"', bend right=18] & C' = \widehat{A} \arrow[l, "v = \varphi_!"', bend right=18]
\end{tikzcd}

\[ u(F) = \bigl(\alpha \longmapsto \mathrm{Hom}(\varphi(\alpha), F)\bigr), \qquad v(G) = \varinjlim_{\alpha \in A/G} \varphi(\alpha), \]

\(u\) continu, \(v\) cocontinu.

\[ X \longrightarrow \widehat{A}, \qquad Y \mapsto \bigl(a_i \to \varphi^*(Y)\bigr), \qquad \varphi(a_i) \to Y. \]

Le haut de la page porte deux segments étiquetés \(E_p\) et \(E'_q\), un point marqué \(\alpha\) sur le premier, et la mention \(E \setminus \{\alpha\}\) : un dessin de la surjection \((**)\) de la page précédente, laissé sans phrase. Le nombre porté dans la marge gauche n'est pas une pagination de l'auteur et nous ne le reproduisons pas.

18cond \(I, J, K \leq 3\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
I \arrow[r, "\text{épi}"] \arrow[dr, "\text{épi}"'] & J \\
& K
\end{tikzcd}

Les deux flèches ci-dessus portent une double pointe : ce sont des épimorphismes, et l'annotation « épi » est de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
I \arrow[r] \arrow[d] & J \arrow[r] \arrow[d] & J' \arrow[d] \\
K \arrow[r] & L \arrow[r] & M
\end{tikzcd}

Les deux sommets du bas à droite ne portent pas de lettre sur la page — le premier est biffé, le second réduit à un point ; nous les nommons \(L\) et \(M\) pour que le carré se dessine, et cette nomination est nôtre.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_0 & X_1 \arrow[l] & X_2 \arrow[l] \\
X'_0 \arrow[u] & X'_1 \arrow[l] \arrow[u] & X'_2 \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
I \arrow[r, hook] \arrow[d] & J = I \amalg K \arrow[d, no head] \\
I' \arrow[r, hook] & J' = I' \amalg K
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X(J) & X(I \amalg K) \arrow[l] \\
X(J') \arrow[u] & X(I' \amalg K') \arrow[l]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_n \arrow[r, "\partial_n"] & E_{n+1} \arrow[d, "k_{n-1}"] \\
& E_n
\end{tikzcd}

La moitié basse de la page est une énumération de cas, en deux colonnes numérotées I à V, chacune accompagnée d'un carré \(E_n \to E_{n+1}\), \(E_{n-1} \to E_{n-2}\) et d'une condition sur \(n\) (\(n \geq 1\), \(n \geq 2\), \(n \geq 3\), \(n \geq 4\)), avec en regard un décompte : \(2, 1, 1, 1, 0\) dans la première table ; \(2, 1, 1, 1\) dans la seconde, où les lignes portent \(p = 1, q = 3\) ; \(p = 2, q = 2\) ; \(n = 2\) ; \(n = 3\) ; \(n = 4\). Le coin inférieur droit est entièrement recouvert de ratures en boucle : des diagrammes \(E^2 \to E^1\) et \(X^2 \to X_1\) s'y devinent, rien ne s'y lit. Nous ne reproduisons pas ce décompte cellule par cellule : les carrés qui le portent sont ceux transcrits ci-dessus, répétés avec des indices décalés.

19

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X_1 & X_2 \arrow[l, "p_0"', bend left=18] & X_3 \arrow[l, "p_{12}"', bend left=18]
\end{tikzcd}

avec de même \(p_1 \colon X_2 \to X_1\) et \(p_{23}, p_{31} \colon X_3 \to X_2\).

avec \(\delta_0 \colon X_1 \to X_2\) et \(\delta_1, \delta_2, \delta_3 \colon X_2 \to X_3\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_3\), \(\rho, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\), et \(p_{31}\).

\(\rho = \sigma\)

\[ \mathfrak{S}_2 \ \Bigl|\ X_2 \twoheadrightarrow X_1 \times X_1, \qquad \underbrace{p_0\sigma}_{\|} = p_1, \quad (p_0,p_1) \text{ épi}, \]

avec \(\delta_0\) remontant de \(X_1\). iso ????

\[ X_3 \xrightarrow{\ (p_{12},\,p_{13})\ \text{épi}\ } X_2 \times X_1 \xrightarrow{\ (p_0,p_1)\times\mathrm{id}\ } X_1 \times X_1 \times X_1, \] \[ X_3 \xrightarrow{\ \text{épi}\ (p_{12},\,p_{23})\ } X_2 \times_{X_1} X_2 \xrightarrow{\ \text{épi}\ } X_2 \times_{X_1} (X_1 \times X_1), \]

les deux facteurs du second terme étant marqués \((p_1)\) et \((p_0)\).

Deux carrés cartésiens :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_3 \arrow[r, "p_1"] & X_2 \\
X_2 \arrow[u, "\delta_3"] & X_1 \arrow[l, "\delta_0"] \arrow[u, "\delta_0"']
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_2 & X_3 \arrow[l, "p_{12}"'] \\
X_1 \arrow[u, "k_1"] & X_2 \arrow[l, "\delta_1"] \arrow[u, "k'_2"']
\end{tikzcd}

L'auteur écrit « cart » au centre de chacun de ces deux carrés : c'est lui qui les déclare cartésiens. Les mêmes carrés sont écrits une seconde fois sur la page avec \(E\) au lieu de \(X\) et \(\partial\) au lieu de \(\delta\) — le passage d'un système à l'autre est ce que la page cherche.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_2 \arrow[r, "\partial_2"] \arrow[d, "k_1"'] & E_3 \arrow[d, "k'_2"] \\
E_1 \arrow[r, "\partial_1"'] & E_2
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_3 \arrow[r, "k_2"] \arrow[d, "k'_2"'] & E_2 \arrow[d, "k_1"] \\
E_2 \arrow[r, "k_1"'] & E_1
\end{tikzcd}

Supposons \(X_1\) réduit à un élément, donc \(X_2\) est un \(\mathfrak{S}_2\)-ens. à pt fixe marqué \(\delta_2\), \(X_3\) un \(\mathfrak{S}_3\)-ens. à pt fixe marqué \(\delta_3\) ; \ill \(\delta_2\) et \(k_2\) compatibles avec les \ill les pointations par \(\delta_2, \delta_3\), avec

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X_2 \arrow[r, "\delta_2", bend left=18] & X_3 \arrow[l, "k_2", bend left=18]
\end{tikzcd}

\[ k_2\delta_2 = \mathrm{id}_{X_2}. \]

Le bas de la page porte, à gauche, le système dual \(X_1 \rightleftarrows X_2 \rightleftarrows X_3\) étiqueté \(\delta^*_1, k^*_1, \delta^*_2, k^*_2\) avec \(\mathfrak{S}_2\) et \(\mathfrak{S}_3\) au-dessus, et plusieurs figures griffonnées — segments à deux ou trois points marqués, entourés — qui accompagnent visiblement le compte des points fixes. Elles ne portent aucune lettre et nous ne les dessinons pas.

20\[ \zeta = (x,y), \qquad d\sigma(\zeta) = \uncertain{(y,x,x)}, \qquad \rho^2 d(\zeta) = \uncertain{(y,x,y)}. \]

Trois lignes en haut d'une page par ailleurs vide, de la même encre que la page 19 : le calcul en coordonnées y est repris une dernière fois. Les deux triplets sont écrits petit et rapidement ; les lettres se ressemblent, d'où le doute.