Cote n° 151 · pages 1–74 · Lecture modernisée · Topos stratifié (1981) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981-à partir de 1990]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le plan de « Structures stratifiées »

La première page est le sommaire d'un texte en quatre sections, avec la pagination de l'auteur en marge :

1. La situation type — préliminaires d'un programme (p. 1 de l'auteur).
2. Stratifications globales : le formalisme \(\tfrac{1}{2}\) simplicial (sans tubes) (p. 10).
3. Introduction des tubes (p. 15).
4. Topos canoniques associés à une stratification globale (p. 23).

Ce sommaire est tenu. Le texte lui-même commence à la page 26 du fonds, dans le lot suivant, et court sans interruption jusqu'à la dernière page du dossier : la section 1 occupe les pages 26 à 43, la section 2 les pages 44 à 55, la section 3 les pages 56 à 68, la section 4 les pages 69 à 74, où le dossier s'arrête au milieu d'une construction.¹

2–8

Le nerf de Čech tronqué : le système \(E_{0}, E_{1}, E_{2}\)

Quatre feuilles de travail, numérotées 1 à 4 par l'auteur, calculent dans un système à trois étages. Le modèle qui les rend toutes transparentes n'est pas écrit sur la page mais s'y lit dans les formules en coordonnées : partant d'un ensemble \(F\), on pose \[ E_{0} = F, \qquad E_{1} = F \times F, \qquad E_{2} = F \times F \times F, \] les \(p\) oubliant une coordonnée, les \(\delta\) en répétant une, et \(\mathfrak{S}_{n+1}\) permutant les facteurs de \(E_{n}\) : \[ p_{0}(x,y) = x, \quad p_{1}(x,y) = y, \quad \delta_{0}(x) = (x,x), \quad \sigma(x,y) = (y,x), \] \[ p_{12}(x,y,z) = (x,y), \quad p_{23}(x,y,z) = (y,z), \quad p_{31}(x,y,z) = (z,x), \] \[ \delta_{1}(x,y) = (y,x,x), \quad \delta_{2}(x,y) = (x,y,x), \quad \delta_{3}(x,y) = (x,x,y), \quad \rho(x,y,z) = (y,z,x). \] C'est le nerf de Čech de l'application \(F \to \{*\}\), tronqué au deuxième étage. Ce que les quatre feuilles cherchent est sa présentation : quel est le plus petit système de données et de relations dont ce modèle soit l'exemple libre.

La convention sur les transpositions

Une convention doit être fixée avant tout, car deux relations de ces pages sont fausses sans elle et vraies avec. Les transpositions \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\) de \(\mathfrak{S}_{3}\) sont indexées par la lettre qu'elles fixent : \[ \sigma_{1}(x,y,z) = (x,z,y), \qquad \sigma_{2}(x,y,z) = (z,y,x), \qquad \sigma_{3}(x,y,z) = (y,x,z). \] C'est la convention qu'exigent les relations d'équivariance \[ \sigma\, p_{12} = p_{12}\,\sigma_{3}, \qquad \sigma\, p_{23} = p_{23}\,\sigma_{1}, \qquad \sigma\, p_{31} = p_{31}\,\sigma_{2}, \] qui sont vraies dans le modèle et sont écrites telles quelles sur la page.²

Le système et ses relations

La donnée minimale est celle de trois ensembles \(E_{0}\), \((E_{1}, \mathfrak{S}_{2})\), \((E_{2}, \mathfrak{S}_{3})\) et de quatre applications \(p_{0} \colon E_{1} \to E_{0}\), \(\delta_{0} \colon E_{0} \to E_{1}\), \(p_{12} \colon E_{2} \to E_{1}\), \(\delta_{1} \colon E_{1} \to E_{2}\) ; tout le reste s'en déduit par les groupes : \[ p_{1} = p_{0}\sigma, \qquad p_{23} = p_{12}\rho, \qquad p_{31} = p_{12}\rho^{2}, \qquad \delta_{3} = \rho\,\delta_{1}, \qquad \delta_{2} = \rho^{2}\delta_{1}. \] Les relations que la page encadre, et qui sont toutes vraies dans le modèle, sont \[ p_{0}\delta_{0} = \mathrm{id}_{E_{0}}, \qquad \sigma\delta_{0} = \delta_{0}, \] \[ p_{12}\delta_{1} = \sigma, \qquad p_{12}\delta_{3} = \delta_{0}p_{0}, \qquad p_{12}\delta_{2} = \mathrm{id}_{E_{1}}, \] \[ \sigma_{1}\delta_{1} = \delta_{1}, \qquad p_{12}\sigma_{3} = \sigma\,p_{12}. \] Les trois du milieu sont les trois valeurs distinctes que prend \(p_{12}\) sur les trois faces \(\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}\) : une involution, un idempotent, l'identité. Elles sont, à la lettre, trois des identités simpliciales.³

Deux conséquences méritent d'être isolées, parce qu'elles servent plus loin. La première est que \(\delta_{1}\delta_{0}\) est invariante sous \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier : \[ g\,(\delta_{1}\delta_{0}) = \delta_{1}\delta_{0} \qquad (g \in \mathfrak{S}_{3}), \] ce qui est immédiat sur le modèle, où \(\delta_{1}\delta_{0}(x) = (x,x,x)\). La seconde est que \(p_{0}p_{12}\) est invariante à droite sous \(\sigma_{1}\) : \[ p_{0}\,p_{12}\,\sigma_{1} = p_{0}\,p_{12} = p_{0}\,p_{13}, \] \(\sigma_{1}\) ne touchant pas la première lettre.⁴

Une inégalité qui n'en est pas une

La page 2 porte, barrée et flanquée de deux points d'interrogation, \[ (p_{12}\rho)\,\delta_{1} \neq p_{23}\,(\rho\delta_{1}) \qquad ?? \] L'inégalité est vraie et n'a rien d'inquiétant. Comme \(p_{12}\rho = p_{23}\), le membre de gauche est \(p_{23}\delta_{1} = \delta_{0}p_{0}\) ; le membre de droite est \(p_{23}\delta_{3} = \mathrm{id}_{E_{1}}\). Ce ne sont pas deux parenthésages du même composé — le second n'est pas \(p_{12}(\rho\delta_{1})\) — et la composition n'est pas en cause. Les deux valeurs obtenues sont précisément les deux premières lignes de la boîte que la page écrit juste en dessous.⁵

Le cas pointé, et la lecture cocyclique

Si \(E_{0}\) est réduit à un point, \(E_{1}\) et \(E_{2}\) deviennent des ensembles pointés par \(e_{1} = \delta_{0}(*)\) et \(e_{2} = \delta_{1}(e_{1})\), les groupes respectent les pointages, et \(\delta_{0}p_{0}\) devient l'application constante. Les relations se réduisent à cinq : \[ p_{12}\delta_{1} = \sigma, \qquad p_{12}\delta_{3} = e, \qquad p_{12}\delta_{2} = \mathrm{id}_{E_{1}}, \qquad \sigma_{1}\delta_{1} = \delta_{1}, \qquad p_{12}\sigma_{3} = \sigma\,p_{12}, \] où \(e\) est l'application constante. La page 8 les récrit multiplicativement, et c'est le seul endroit du lot où le système soit lu comme une présentation : \[ \delta_{0}p_{0}(x) = 1, \qquad \sigma(x)\cdot x = 1, \qquad p_{12}(z)\,p_{23}(z)\,p_{31}(z) = 1 \quad (z \in E_{2}). \] Ce sont, dans l'ordre, la normalisation, l'inversion et la condition de cocycle. Autrement dit : \(E_{1}\) joue le rôle des données de transition d'un recouvrement, \(\sigma\) celui du passage à l'inverse, \(\delta_{0}\) celui des identités, et la troisième relation est la condition de cocycle de Čech sur les intersections triples.⁶

Une remarque de marge de la page 8 vaut d'être conservée, car c'est un critère et non une étape : \(\delta_{1}(x)\) est fixé par \(\rho\) — donc par \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier — si et seulement si \(x = \delta_{0}p_{0}(x)\), c'est-à-dire si et seulement si \(x\) est dégénéré.

10–14

Hyperrecouvrements

Cinq pages d'un texte suivi, paginées 1 à 5 par l'auteur, demandent ce que doit être un hyperrecouvrement d'un topos \(X\) indexé par une petite catégorie \(A\) quelconque, là où la notion reçue est indexée par un objet simplicial.⁷ La donnée est un foncteur \[ \varphi \colon A \longrightarrow X, \qquad \alpha \longmapsto U_{\alpha}, \] et la question est : quelles conditions sur \(\varphi\) ?

Les quatre axiomes

Ils sont posés dans cet ordre.

• Hyp 1. Les \(U_{\alpha}\), \(\alpha \in \mathrm{Ob}\,A\), recouvrent l'objet final \(e_{X}\).
• Hyp 1\({}'\). Pour tout \(\alpha_{0}\), le foncteur induit \(A/\alpha_{0} \to X/U_{\alpha_{0}}\) satisfait Hyp 1 : les \(U_{\alpha} \to U_{\alpha_{0}}\) indexées par les flèches \(\alpha \to \alpha_{0}\) forment une famille couvrante.
• Hyp 2. Pour \(\alpha, \beta\), la famille des \(U_{\gamma} \to U_{\alpha} \times U_{\beta}\), indexée par les objets de \(A/\alpha\times\beta\) — le produit étant pris dans \(\widehat{A}\) —, est couvrante.
• Hyp 2\({}'\). La version relative : pour tout diagramme \(\alpha_{1} \to \alpha_{0} \leftarrow \alpha_{2}\), la famille des \(U_{\gamma} \to U_{\alpha_{1}} \times_{U_{\alpha_{0}}} U_{\alpha_{2}}\), indexée par les objets de \(A/\alpha_{1}\times_{\alpha_{0}}\alpha_{2}\), est couvrante.

La version à \(n\) facteurs de Hyp 2 ne coûte rien : elle se déduit du cas \(n = 1\) par récurrence, puisque la composée de deux familles couvrantes est couvrante, en écrivant la famille des \(U_{\gamma'} \to U_{\gamma} \times U_{\alpha_{n+1}} \to (U_{\alpha_{0}} \times \cdots \times U_{\alpha_{n}}) \times U_{\alpha_{n+1}}\).⁸

La reformulation, et ce qu'elle dit

Soit \(\varphi_{!} \colon \widehat{A} \to X\) l'unique prolongement de \(\varphi\) commutant aux petites colimites — l'extension de Kan à gauche le long de Yoneda —, et soit \[ \varphi^{*} \colon X \longrightarrow \widehat{A}, \qquad \varphi^{*}(Y) = \bigl(\alpha \mapsto \mathrm{Hom}_{X}(\varphi\alpha, Y)\bigr) \] son adjoint à droite. Le premier est cocontinu, le second continu, et \(\varphi_{!} \dashv \varphi^{*}\).⁹

Alors Hyp 1, Hyp 2, Hyp 2\({}'\) sont exactement :

• a) \(\varphi_{!}(e_{\widehat{A}}) \to e_{X}\) est épi ;
• b) \(\varphi_{!}(\alpha\times\beta) \to \varphi_{!}(\alpha) \times \varphi_{!}(\beta)\) est épi, pour \(\alpha,\beta \in \mathrm{Ob}\,A\) ;
• c) \(\varphi_{!}(\alpha\times_{\alpha_{0}}\beta) \to \varphi_{!}(\alpha) \times_{\varphi_{!}(\alpha_{0})} \varphi_{!}(\beta)\) est épi, pour tout diagramme \(\alpha \to \alpha_{0} \leftarrow \beta\) dans \(A\).

Et comme tout objet de \(\widehat{A}\) est colimite de représentables, \(F = \varinjlim_{A/F}\alpha\), les conditions b) et c) valent alors pour des \(F, G\) quelconques de \(\widehat{A}\), ce qui permet de tout ramasser en un axiome unique : \[ \textbf{(Hyp)} \qquad \varphi_{!}\Bigl(\varprojlim_{I} F_{i}\Bigr) \longrightarrow \varprojlim_{I} \varphi_{!}(F_{i}) \quad \text{est épi}, \] pour tout diagramme fini \((F_{i})_{i \in I}\) dans \(\widehat{A}\) — et il suffit de le postuler pour \(I\) vide, discret à deux objets, et \(({\cdot} \to {\cdot} \leftarrow {\cdot})\), ce qui redonne respectivement Hyp 1, Hyp 2, Hyp 2\({}'\).¹⁰

Ce que dit (Hyp) est net : \(\varphi_{!}\) commute aux limites finies, à un recouvrement près. Si l'on y remplace « épi » par « iso », on obtient l'exactitude à gauche de \(\varphi_{!}\) ; le manuscrit relève lui-même ce cas comme « particulièrement agréable » et note qu'il équivaut à la donnée d'un morphisme de topos \(f \colon X \to \widehat{A}\) avec \(\varphi_{!} = f^{*}\). C'est le théorème de Diaconescu, et ce que le manuscrit appelle le cas agréable s'appelle aujourd'hui la platitude du foncteur \(\varphi\).¹¹

Le texte se termine sur une question, laissée ouverte :

Mais cette hypothèse peut-elle être vérifiée, sans que \(\varphi_{!}\) soit exact ? Quand ?

C'est exactement la question de l'écart entre la platitude et sa forme locale. L'écart est réel — les deux conditions ne coïncident pas en général, et c'est pour cela que la seconde a reçu un nom propre, covering flat — mais le dossier n'y revient pas.¹²

16–20

Le système \((E_{n}, \partial_{n}, k_{n})\) et son dual

Une seconde série numérotée, 1 à 3, reprend le calcul en toutes dimensions. Pour \(n \geq 1\), on se donne un \(\mathfrak{S}_{n}\)-ensemble \(E_{n}\) et un couple \[ \partial_{n} \colon E_{n} \longrightarrow E_{n+1}, \qquad k_{n} \colon E_{n+1} \longrightarrow E_{n}, \] les noms venant des applications d'indices sous-jacentes : \(\partial_{n}\) répond à l'inclusion \([1,n] \hookrightarrow [1,n+1]\) et \(k_{n}\) à sa rétraction. Les relations sont \[ k_{n}\partial_{n} = \mathrm{id}_{E_{n}}, \qquad \partial_{n}\sigma = i_{n}(\sigma)\,\partial_{n} \ \ (\sigma \in \mathfrak{S}_{n}), \qquad \sigma k_{n} = k_{n}\,i'_{n}(\sigma) \ \ (\sigma \in \mathfrak{S}_{n-1}), \qquad k_{n}\sigma_{n+1} = k_{n}, \] où \(i_{n} \colon \mathfrak{S}_{n} \hookrightarrow \mathfrak{S}_{n+1}\) est l'inclusion, \(i'_{n} = i_{n}i_{n-1}\), et \(\sigma_{m}\) la transposition \((m-1,m)\). La composée dans l'autre sens, \[ \rho_{n+1} = \partial_{n}k_{n} \colon E_{n+1} \longrightarrow E_{n+1}, \] est alors un idempotent, projecteur de \(E_{n+1}\) sur l'image de \(E_{n}\) : c'est la seule chose que \(k_{n}\partial_{n} = \mathrm{id}\) permette d'affirmer, et elle suffit.

Le système dual, et la condition de concaténation

Renversant toutes les flèches, on obtient \(E^{*}_{n}\) avec \(d_{n} = k^{*}_{n} \colon E^{*}_{n} \to E^{*}_{n+1}\) et \(p_{n} = \partial^{*}_{n} \colon E^{*}_{n+1} \to E^{*}_{n}\), satisfaisant les relations transposées. Deux familles d'applications de descente y sont définies, et il faut les distinguer soigneusement, car c'est leur couple qui porte tout l'énoncé : \[ \alpha^{*}_{n,p} = \partial^{*}_{p}\,\partial^{*}_{p+1}\cdots\partial^{*}_{n-1} \colon E^{*}_{n} \longrightarrow E^{*}_{p} \qquad (n > p \geq 1), \] \[ \beta^{*}_{n,q} = \partial'^{*}_{q}\,\partial'^{*}_{q+1}\cdots\partial'^{*}_{n-1} \colon E^{*}_{n} \longrightarrow E^{*}_{q} \qquad (n \geq q \geq 1), \qquad \partial'_{m} = \rho_{m}\,\partial_{m}, \] \(\rho_{m}\) étant la permutation circulaire de \(\mathfrak{S}_{m+1}\). Au niveau des indices, \(\alpha_{n,p}\) est l'inclusion du segment initial \([1,p] \subset [1,n]\) et \(\beta_{n,q}\) celle du segment final, \(i \mapsto i + (n-q)\) : \(\alpha^{*}\) est donc la restriction au début et \(\beta^{*}\) la restriction à la fin.

La condition que le système doit satisfaire, en plus des relations, est alors \[ (**) \qquad E^{*}_{p+q} \xrightarrow{\ (\alpha^{*}_{p+q,p},\ \beta^{*}_{p+q,q})\ } E^{*}_{p} \times E^{*}_{q} \quad \text{surjectif}, \qquad p,q \geq 1 : \] un objet de longueur \(p\) et un objet de longueur \(q\) étant donnés, il existe toujours un objet de longueur \(p+q\) dont ils sont respectivement le début et la fin. C'est une condition de concaténation, et c'est le dessin de la page 17 — deux segments mis bout à bout, avec le point de raccord marqué.¹³

Le même système écrit en trois termes

Les pages 18 à 20 redescendent au cas de trois étages et l'écrivent \(X_{1}, X_{2}, X_{3}\), avec \(p_{0} \colon X_{2} \to X_{1}\), \(p_{12} \colon X_{3} \to X_{2}\), \(\delta_{0} \colon X_{1} \to X_{2}\), \(\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3} \colon X_{2} \to X_{3}\) et les groupes \(\mathfrak{S}_{2}\), \(\mathfrak{S}_{3}\). C'est le système \(E_{0}, E_{1}, E_{2}\) des pages 2 à 8, décalé d'un cran.¹⁴

Deux carrés y sont déclarés cartésiens par l'auteur — il écrit « cart » en leur centre —, et ils sont ensuite récrits avec \(E\) au lieu de \(X\) et \(\partial\) au lieu de \(\delta\) : le passage d'un système à l'autre est ce que la page cherche. Le second de ces carrés,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
E_{1} & E_{2} \arrow[l, "p_{12}"'] \\
E_{0} \arrow[u, "\delta_{0}"] & E_{1} \arrow[l, "p_{0}"] \arrow[u, "\delta_{1}"']
\end{tikzcd}

dit exactement, une fois \(E_{0}\) réduit à un point, que l'image de \(E_{1}\) dans \(E_{2}\) est la fibre de \(p_{12}\) au-dessus du point marqué. C'est cette assertion que le lot suivant démontre, à la page 24.

La page 19 pose alors l'hypothèse qui ouvre le lot suivant : \(X_{1}\) réduit à un élément, donc \(E_{1}\) un \(\mathfrak{S}_{2}\)-ensemble pointé et \(E_{2}\) un \(\mathfrak{S}_{3}\)-ensemble pointé, reliés par \[ d \colon E_{1} \rightleftarrows E_{2} \colon p, \qquad p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}. \] La page 20 ne porte que trois lignes de calcul en coordonnées, qui reprennent \(d\) et \(\rho^{2}d\) ; elles sont reprises et menées à leur terme à la page 21.¹⁵

Une page intercalée

La page 17, écrite au dos de la même lettre administrative que ses voisines, n'appartient pas à cette série mais au texte « Hyperrecouvrements » : elle porte le calcul de \(\varphi_{!}(F \times G)\) par colimites qui justifie le passage des représentables aux objets quelconques, et le couple adjoint \((\varphi_{!}, \varphi^{*})\) écrit en toutes lettres — « \(u\) continu, \(v\) cocontinu ». Nous l'avons rendue à sa place logique, ci-dessus. \pagerange{21}{24}

Le système à trois étages : le cas pointé, achevé

Les quatre feuilles numérotées 4 à 7 par l'auteur poursuivent, sans coupure, le calcul des pages 2 à 8 et 16 à 20. Le système est celui de deux ensembles reliés par un couple section-rétraction, \[ d \colon E_{1} \longrightarrow E_{2}, \qquad p \colon E_{2} \longrightarrow E_{1}, \qquad p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}, \] avec \(\mathfrak{S}_{2} = \{1,\sigma\}\) opérant sur \(E_{1}\), \(\mathfrak{S}_{3}\) sur \(E_{2}\), un point marqué \(e_{1} \in E_{1}\) fixé par \(\sigma\), et \(e_{2} = d(e_{1})\).¹⁶ C'est la page 21 qui donne enfin les conventions en coordonnées, valables pour tout le dossier : \[ d(x,y) = (x,y,y), \qquad p(x,y,z) = (x,y), \qquad \rho(x,y,z) = (y,z,x), \] \[ \sigma_{1}(x,y,z) = (x,z,y), \qquad \sigma_{2}(x,y,z) = (z,y,x), \qquad \sigma_{3}(x,y,z) = (y,x,z), \] chaque \(\sigma_{i}\) étant donc la transposition qui fixe la \(i\)-ième lettre.

Une contradiction apparente, et sa levée

La page encadre trois relations, \[ p\,d = \mathrm{id}_{E_{1}}, \qquad p\,\rho\,d = e, \qquad p\,\rho^{2}d = \sigma, \] où \(e\) désigne l'application constante de valeur \(e_{1}\) ; et deux relations d'équivariance, \(\sigma_{1}d = d\) et \(p\,\sigma_{3} = \sigma\,p\). La seconde paraît démentie par les coordonnées de la même page, qui donnent \(p\,\rho\,d(x,y) = (y,y)\), lequel n'est pas constant.

Il n'y a pas de contradiction, et la levée est instructive. Dans le modèle en coordonnées, \(E_{n} = F^{n+1}\) pour un ensemble \(F\), on a \((y,y) = \delta_{0}p_{1}(x,y)\) : c'est la diagonale, non une constante. La relation générale, valable sans hypothèse, est \[ p\,\rho\,d = \delta_{0}\,p_{1}, \] et elle ne devient \(p\,\rho\,d = e\) que sous l'hypothèse posée en tête de page, \(E_{0}\) réduit à un point — auquel cas \(\delta_{0}p_{1}\) se factorise par un point et est bien constante. Les deux écritures de la page appartiennent à deux régimes : les coordonnées au modèle général, les relations encadrées au cas pointé.¹⁷

Le sous-système engendré par \(d(E_{1})\)

Soit \(E'_{2}\) le sous-\(\mathfrak{S}_{3}\)-ensemble de \(E_{2}\) engendré par \(d(E_{1})\). Le stabilisateur de \(d(\xi)\) est \(\{1,\sigma_{1}\}\) pour tout \(\xi \neq e_{1}\), et \(\mathfrak{S}_{3}\) tout entier pour \(\xi = e_{1}\) ; d'où une orbite ponctuelle et des orbites à trois éléments, en bijection avec \(E^{*}_{1} = E_{1} \setminus \{e_{1}\}\) : \[ E'_{2} \;\simeq\; \{e_{2}\} \;\amalg\; \bigl(\mathfrak{S}_{3} \wedge_{\{1,\sigma_{1}\}} E^{*}_{1}\bigr), \] c'est-à-dire l'ensemble induit de \(E^{*}_{1}\), muni de l'action triviale de \(\{1,\sigma_{1}\}\), à \(\mathfrak{S}_{3}\).¹⁸ On pose alors \(E^{*}_{2} = E_{2} \setminus E'_{2}\), sur lequel la restriction \(p^{*}\) de \(p\) satisfait encore \(p^{*}\sigma_{3} = \sigma\,p^{*}\).

Quand \(E_{2}\) recouvre-t-il \(E_{1} \times E_{1}\) ?

La question posée est celle de la surjectivité de \((p,\ p\rho) \colon E_{2} \to E_{1} \times E_{1}\) — la même condition de concaténation que le lot précédent rencontrait sous la forme \((**)\). Sur \(E'_{2}\) l'image se calcule exactement : \[ (p, p\rho)(e_{2}) = (e_{1},e_{1}), \qquad (p, p\rho)\bigl(\rho^{i}d(\xi)\bigr) = \begin{cases} (\xi,\ e_{1}) & i = 0, \\ (e_{1},\ \sigma\xi) & i = 1, \\ (\sigma\xi,\ \xi) & i = 2, \end{cases} \] pour \(\xi \in E^{*}_{1}\). L'image est donc \(\Sigma = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{2} \cup \Delta'\), où \(\Sigma_{1} = E_{1} \times \{e_{1}\}\), \(\Sigma_{2} = \{e_{1}\} \times E_{1}\) et \(\Delta'\) est l'image de \(\delta' = (\sigma, \mathrm{id})\) ; les trois se coupent deux à deux, et toutes trois ensemble, en le seul point \((e_{1},e_{1})\).

D'où la réponse, complète : \(\Sigma = E_{1} \times E_{1}\) si et seulement si \(E_{1}\) a au plus deux éléments. En effet le complémentaire de \(\Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}\) est \(E^{*}_{1} \times E^{*}_{1}\), et il faut que \(\xi \mapsto (\sigma\xi,\xi)\) y soit surjectif, c'est-à-dire que \(\eta = \sigma\xi\) pour tous \(\xi,\eta \in E^{*}_{1}\) ; si \(E^{*}_{1}\) avait au moins deux éléments, deux orbites distinctes sous \(\sigma\), ou une orbite à deux éléments, fourniraient un contre-exemple.

Le carré cartésien

Il reste alors à examiner le cas \(E_{1} = \{e_{1},\xi\}\), où \(E_{2} = E'_{2}\) a quatre éléments. La question est de savoir si le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
E_{1} & E_{2} \arrow[l, "p"'] \\
E_{0} \arrow[u] & E_{1} \arrow[l] \arrow[u, "\delta_{3}"']
\end{tikzcd}

L'identification \(\delta_{3} = \rho\,d\sigma\) qui sert ici est écrite sur la page avec l'exposant de \(\rho\) raturé ; le calcul la donne sans ambiguïté, puisque \(d\sigma(x,y) = (y,x,x)\) et \(\rho(y,x,x) = (x,x,y) = \delta_{3}(x,y)\).¹⁹

26–29

1. La situation type : un fermé dans un espace

Le texte annoncé par le sommaire de la page 1 commence ici. La donnée est \[ Y \hookrightarrow X, \qquad Y \text{ fermé dans } X, \qquad X^{*} = X \setminus Y, \] des espaces topologiques, avec l'avertissement qu'il faudra plus tard les remplacer par des topos.

Trivialité normale locale

L'hypothèse posée est que la « structure normale » de \(X\) le long de \(Y\) soit localement triviale : pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(X'\) de \(y\) dans \(X\), un espace \(Z\) pointé par \(z\), et un homéomorphisme \(X' \simeq Y' \times Z\) (où \(Y' = Y \cap X'\)) échangeant l'inclusion \(Y' \hookrightarrow X'\) et \(Y' \times \{z\} \hookrightarrow Y' \times Z\) :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
Y' \arrow[r, hook] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
Y'\times\{z\} \arrow[r, hook] & Y'\times Z
\end{tikzcd}

L'espace \(Z\) est le modèle transverse, et \(z\) y est le point singulier : si \(Y\) et \(X^{*}\) sont des variétés, \(Z \setminus \{z\}\) en est une aussi, et \(X\) est « singulier le long de \(Y\) ».

Le tube

On introduit une factorisation canonique de l'inclusion, \[ Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X, \] où \(\mathcal{V}_{Y,X}\) est le voisinage tubulaire — un objet infinitésimal, dont le manuscrit dit qu'il faudra donner une définition techniquement souple, et dont il propose, pour \(X\) paracompact, le germe de \(X\) autour de \(Y\) : la limite projective, comme topos, des voisinages ouverts de \(Y\) dans \(X\).²⁰

Les deux inclusions ont des comportements opposés, qui sont exactement ce dont on se servira : \(\mathcal{V}_{Y,X} \hookrightarrow X\) a les propriétés d'un ouvert, et \(Y \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}\) celles d'une immersion fermée. Sous les hypothèses de trivialité normale locale — et des conditions de modération ensemblistes, que le manuscrit invoque sans les détailler²¹ — on a une équivalence d'homotopie \[ Y \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{V}_{Y,X}. \]

Le tube épointé est ce qu'il reste quand on ôte \(Y\) : \[ \mathcal{V}^{*}_{Y,X} = \mathcal{V}_{Y,X} \cap X^{*} = \mathcal{V}_{Y,X} \setminus Y, \] et le carré des quatre espaces s'écrit, la flèche du haut étant ce que le manuscrit appelle joliment le « bouchage de trous le long de \(Y\) » :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & \mathcal{V}_{Y,X} \arrow[d, hook] \\
X^{*} \arrow[r, hook] & X
\end{tikzcd}

\(X\) comme somme amalgamée

L'assertion, posée indépendamment de toute hypothèse de trivialité ou de lissité, est que \(X\) s'obtient par recollement de \(\mathcal{V}_{Y,X}\) et de \(X^{*}\) le long de \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) : c'est la somme amalgamée du diagramme \[ X^{*} \longleftarrow \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}. \] Au niveau des espaces, l'énoncé est vrai et élémentaire dès que le tube est remplacé par un vrai voisinage ouvert : si \(U\) est un ouvert contenant \(Y\), alors \(\{U, X^{*}\}\) est un recouvrement ouvert de \(X\), \(U \cap X^{*} = U \setminus Y\), et tout espace est la somme amalgamée de deux ouverts le long de leur intersection.²² Ce que le manuscrit veut, et qui demande beaucoup plus, est la version homotopique : que le type d'homotopie de \(X\) soit la somme amalgamée homotopique des types d'homotopie des trois autres.

29–33

Van Kampen, et la fibration du tube épointé

Le carré cocartésien de groupoïdes

Le premier étage du programme est celui des groupoïdes fondamentaux. Le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \arrow[r, "p"] \arrow[d, "i"'] & \Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X} \arrow[d, dashed] \\
\Pi_{1}X^{*} \arrow[r, dashed] & \Pi_{1}X
\end{tikzcd}

doit être cocartésien.²³ C'est le théorème de van Kampen sous sa forme groupoïdale, celle qui n'exige ni connexité ni choix de point base : pour un recouvrement ouvert par deux pièces, le groupoïde fondamental du tout est la somme amalgamée des groupoïdes fondamentaux des pièces au-dessus de celui de l'intersection.²⁴

Sous ces hypothèses de connexité, l'énoncé prend la forme pointée \[ \Pi_{1}(X) \;\simeq\; \Pi_{1}(X^{*}) \ast_{\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}} \Pi_{1}(\mathcal{V}_{Y,X}), \qquad \Pi_{1}(\mathcal{V}_{Y,X}) \simeq \Pi_{1}(Y), \] un produit amalgamé de groupes. Tout revient donc à expliciter \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) et ses deux images, c'est-à-dire le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_{1}(Y) \\
\Pi_{1}(X^{*}) &
\end{tikzcd}

Ce que sert la trivialité normale locale

C'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse de trivialité normale locale travaille : elle doit fournir que l'inclusion \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \hookrightarrow \mathcal{V}_{Y,X}\) se comporte comme une fibration homotopique, de base \(Y \simeq \mathcal{V}_{Y,X}\) et de fibre le modèle transverse épointé \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) — le lien de la strate, en langue d'aujourd'hui. Le manuscrit propose de faire de cette propriété la définition de la trivialité normale locale dans les contextes où la formulation naïve n'a pas de sens, celui des schémas pour la topologie étale au premier chef ; l'hypothèse de lissité devient alors techniquement inutile et n'était qu'heuristique.²⁵

D'où la suite exacte d'homotopie de la fibration, \[ \cdots \to \Pi_{i}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \Pi_{i}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{i}(Y) \to \Pi_{i-1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \to \cdots \] qui n'intéresse qu'en basses dimensions. Si la fibre \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) est connexe, la flèche \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{1}(Y)\) est surjective et \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) est une extension de \(\Pi_{1}(Y)\) par le quotient de \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) par l'image de \(\Pi_{2}(Y)\) — donc par \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) lui-même si \(\Pi_{2}(Y)\) est nul.²⁶

Lorsque de plus \(\Pi_{2}(Y) \to \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z})\) est nulle, on obtient une extension \[ 1 \longrightarrow \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}) \longrightarrow \Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \longrightarrow \Pi_{1}(Y) \longrightarrow 1, \] accompagnée de la flèche \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}) \to \Pi_{1}(X^{*})\). Grothendieck baptise le sous-groupe de gauche inertie \(I\) et le groupe du milieu décomposition \(D\) : les noms sont ceux de la théorie des nombres, et l'analogie est exacte — l'inertie est la monodromie locale autour de la strate, la décomposition tout ce que le tube épointé voit.²⁷

Un cas est distingué, et c'est celui dont tout le dossier se sert : celui où les pièces \(Y\), \(X^{*}\), \(\mathcal{V}^{*}_{z,Z}\) sont des \(K(\pi,1)\), c'est-à-dire ont tous leurs \(\Pi_{i}\) nuls pour \(i \geq 2\). La suite exacte montre alors qu'il en est de même de \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\), et bien sûr de \(\mathcal{V}_{Y,X} \simeq Y\).

34–37

Les faisceaux constructibles : la catégorie \(\mathfrak{F}\)

Indépendamment de toute hypothèse de nullité ou de trivialité locale, une chose se reconstruit à partir du seul carré de groupoïdes : la catégorie \(\mathfrak{F}\) des faisceaux \(F\) sur \(X\) tels que \(F|X^{*}\) et \(F|Y\) soient localement constants. Ce sont les faisceaux qu'on appelle aujourd'hui constructibles pour la stratification à deux strates.

Cette catégorie est équivalente à celle des triplets \[ \bigl(E_{X^{*}},\ E_{Y,X}\,;\ \varphi\bigr), \] où \(E_{X^{*}}\) est un système local sur \(\Pi_{1}X^{*}\), \(E_{Y,X}\) un système local sur \(\Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X} \simeq \Pi_{1}Y\) — c'est-à-dire un revêtement étale de \(Y\) —, et où \(\varphi\) est un morphisme de systèmes locaux sur \(\Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) : \[ \varphi \colon p^{*}(E_{Y,X}) \longrightarrow i^{*}(E_{X^{*}}). \] Lorsque les trois groupoïdes sont connexes, cela se dit sans groupoïdes : \(E_{X^{*}}\) est un ensemble à opérateurs \(\Pi_{1}(X^{*})\), \(E_{Y,X}\) un ensemble à opérateurs \(\Pi_{1}(Y)\), et \(\varphi\) une application entre eux compatible aux opérations restreintes à \(\Pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\).

Le manuscrit en tire que \(\mathfrak{F}\) est un topos de préfaisceaux, \[ \mathfrak{F} \;\simeq\; \widehat{\mathcal{C}}, \] sur une catégorie \(\mathcal{C}\) fabriquée en collant les trois groupoïdes : ses flèches sont celles des trois groupoïdes, plus, d'un objet \(a\) de \(A = \Pi_{1}\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) vers un objet \(b\) de \(B = \Pi_{1}\mathcal{V}_{Y,X}\) ou \(c\) de \(C = \Pi_{1}X^{*}\), les flèches \(p^{*}(a) \to b\) de \(B\), respectivement \(i^{*}(a) \to c\) de \(C\). C'est le collage des deux foncteurs — le cographe du profoncteur de spécialisation — et c'est, en langue d'aujourd'hui, la troncation en dimension 1 de la catégorie des chemins sortants de l'espace stratifié.²⁸

Le plan complexe

Le cas typique pour la géométrie algébrique est celui d'une surface topologique \(X\) et d'un point \(Y = \{a\}\) : le tube est le disque infinitésimal \(D_{a}\), le tube épointé le disque épointé \(D^{*}_{a}\), et le diagramme des \(\Pi_{1}\) se réduit à

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathbb{Z}_{a,X} \arrow[r] \arrow[d] & \{1\} \\
\Pi_{1}(X^{*}) &
\end{tikzcd}

où \(\mathbb{Z}_{a,X} \simeq \mathbb{Z}\) est le module d'orientation de \(X\) en \(a\), dont les deux générateurs correspondent aux deux orientations, et où la flèche verticale est celle qui définit la structure locale en \(a\) du groupe fondamental de \(X^{*}\). Le produit d'un nombre arbitraire de copies de ce modèle donne les modèles-types des stratifications associées aux diviseurs à croisements normaux.

Pour \(X = \mathbb{C}\) et \(a = 0\), la flèche \(A \to C\) est un isomorphisme \(\Pi_{1}(D^{*}_{0}) \simeq \Pi_{1}(\mathbb{C}^{*})\) : la catégorie \(\mathcal{C}\) se réduit à deux objets, \(\mathrm{Aut}(a) = \mathbb{Z}\) et une seule flèche \(a \to b\), de sorte que \(b\) y est objet final. Une catégorie à objet final a un nerf contractile ; donc \(\widehat{\mathcal{C}}\), et avec lui \(\mathfrak{F}\), est de type d'homotopie trivial — ce qui est bien le type d'homotopie de \(X = \mathbb{C}\).

37–40

La sphère, ou pourquoi le niveau \(\Pi_{1}\) ne suffit pas

Prenons maintenant le compactifié : \[ X = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \simeq S^{2}, \qquad Y = \{\infty\}, \qquad X^{*} = \mathbb{C}. \] Le carré de recollement est

\begin{tikzcd}[column sep=large]
D^{*}_{\infty} \arrow[r, hook] \arrow[d] & D_{\infty} \arrow[d, dashed] \\
\mathbb{C} \arrow[r, dashed] & \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \simeq S^{2}
\end{tikzcd}

et sa somme amalgamée est bien \(S^{2}\), dont le type d'homotopie n'a rien de trivial. Le diagramme correspondant sur les \(\Pi_{1}\), lui, est

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 &
\end{tikzcd}

et la catégorie \(\mathcal{C}\) qui en sort est la catégorie \({\cdot} \to {\cdot}\), à deux objets et une flèche. Elle a un objet final, donc \(\mathfrak{F} \simeq \widehat{\mathcal{C}}\) est encore homotopiquement trivial, alors que \(X\) ne l'est pas — et les pièces de construction \(\{\infty\}\), \(\mathbb{C}\), \(D^{*}_{\infty}\) sont pourtant toutes des \(K(\pi,1)\), les deux premières étant même contractiles. Le morphisme canonique \[ X \longrightarrow \mathfrak{F} \] n'est donc pas une équivalence d'homotopie.

Ce que la troncation a perdu

Le diagnostic se dit en une phrase aujourd'hui, et il vaut la peine de le dire, parce qu'il montre que rien n'était faux dans la construction — seulement trop grossier. La catégorie des chemins sortants de \(\mathbb{P}^{1}\) stratifié par \(\{\infty\}\) a deux objets, et l'espace des chemins allant de \(\infty\) vers le stratum ouvert est le lien, \(D^{*}_{\infty} \simeq S^{1}\). L'espace classifiant de cette catégorie à homotopie près est la somme amalgamée homotopique \(\ast \leftarrow S^{1} \to \ast\), c'est-à-dire \(S^{2}\) : rien n'est perdu. Tronquer en dimension 1, c'est remplacer cet espace de chemins \(S^{1}\) par son \(\pi_{0}\), un point — d'où la flèche unique \(a \to b\) de \(\mathcal{C}\), d'où l'objet final, d'où la contractilité. C'est exactement ce cran-là que le calcul de la page 39 met en évidence.²⁹

Le manuscrit tire lui-même la bonne conclusion, et c'est sur cette phrase que le lot s'achève :

J'avais craint un moment, par cet exemple, que le type d'homotopie de \(X\) ne pouvait pas se récupérer à partir de ceux de \(X^{*}\), \(Y\), \(\mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) et du diagramme de recollement. Mais je me suis convaincu ensuite que cette crainte n'était pas fondée : le type \(\mathfrak{F}\) n'est pas suffisant, lui, pour exprimer le type d'homotopie.

Ce qui échoue est un invariant, non le programme. Reste à trouver l'invariant qui marche, et l'essai commence aussitôt, sur le cas de \(S^{2}\) : récupérer \(H^{2}(X,A)\) en interprétant cette cohomologie comme classifiant les gerbes sur \(X\) liées par \(A\). La phrase s'interrompt au bas de la page 40 ; elle se termine à la page 41, dans le lot suivant, et le calcul réussit.³⁰ \pagerange{41}{43}

Les gerbes, ou ce que le niveau \(\Pi_{1}\) laissait échapper

La phrase interrompue au bas de la page 40 se termine ici, et elle énonce un principe de recollement d'un cran plus haut que celui des systèmes locaux : la donnée d'une gerbe \(\mathcal{G}_{X}\) sur \(X\) équivaut à celle d'une gerbe \(\mathcal{G}_{X^{*}}\) sur \(X^{*}\), d'une gerbe \(\mathcal{G}_{Y,X}\) sur le tube \(\mathcal{V}_{Y,X}\), et d'une équivalence entre leurs restrictions au tube épointé : \[ \mathcal{G}_{Y,X}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X} \;\simeq\; \mathcal{G}_{X^{*}}\bigl|\,\mathcal{V}^{*}_{Y,X}. \] C'est le même schéma de recollement que pour les faisceaux constructibles, avec des gerbes à la place des systèmes locaux — et, comme il s'agit d'une équivalence entre objets d'une \(2\)-catégorie et non d'une égalité, c'est précisément là que loge l'information que la troncation en dimension 1 avait perdue.

Sur un \(K(\pi,1)\), une \(A\)-gerbe s'interprète canoniquement comme une extension de \(\pi\) par \(A\).³¹ Se donner une gerbe sur \(X\) revient donc à se donner deux extensions — l'une de \(\pi_{1}(Y)\) par \(A\), l'autre de \(\pi_{1}(X^{*})\) par \(A\) — et un isomorphisme entre les deux extensions de \(D\) par \(A\) qu'elles induisent, \(D = \pi_{1}(\mathcal{V}^{*}_{Y,X})\) étant le groupe de décomposition, muni de ses deux flèches vers \(\pi_{1}(Y)\) et \(\pi_{1}(X^{*})\).

Le calcul sur la sphère

Reprenons \(X = S^{2}\), \(Y = \{\infty\}\), \(X^{*} = \mathbb{C}\), où \(D \simeq \mathbb{Z}\) et où les deux groupes fondamentaux \(\pi_{1}(Y)\) et \(\pi_{1}(X^{*})\) sont triviaux. Les deux extensions sont alors triviales, et il ne reste rien à choisir que l'isomorphisme entre les deux extensions triviales de \(\mathbb{Z}\) par \(A\) qu'elles induisent — c'est-à-dire un automorphisme de l'extension triviale, c'est-à-dire un élément de \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},A) \simeq A\). D'où \[ H^{2}(S^{2}, A) \;\simeq\; A, \] la valeur correcte.³²

Ce succès vaut confirmation de l'intuition d'ensemble : il y a une théorie des \(\varinjlim\) de types d'homotopie, et le type d'homotopie d'une limite inductive de topos est la limite inductive des types d'homotopie. Pour des espaces stratifiés dont les pièces sont des \(K(\pi,1)\) — l'exemple visé étant les espaces de modules de Teichmüller, leurs compactifiés et leurs voisinages tubulaires — le type d'homotopie doit s'exprimer en termes d'un système inductif convenable, le plus souvent fini, des groupoïdes fondamentaux des pièces. C'est le programme que sert tout le reste du dossier.³³

44–49

2. Stratifications globales : le formalisme \(\tfrac{1}{2}\) simplicial, sans tubes

On quitte le cas de deux morceaux. Le cadre est un espace topologique \(X\) — plus tard, un topos quelconque — et une famille de sous-espaces indexée par un ensemble ordonné \(I\) : \[ (X_{i})_{i \in I}, \qquad X_{i} \subset X, \] soumise à deux conditions :

• a) les \(X_{i}\) sont fermés et la famille est localement finie ;
• b) \(i \leq j \implies X_{i} \subset X_{j}\).

Aucune hypothèse de trivialité locale n'est faite, et les conditions de connexité et de locale connexité qu'exigera la faisceautisation sur \(X\) sont délibérément différées.

Drapeaux

On pose \[ X_{\Delta_{0}} = \coprod_{i \in I} X_{i} = \bigl\{ (x,i) \in X \times I \ \big|\ x \in X_{i} \bigr\}, \] et la condition a) dit exactement que le morphisme canonique \(X_{\Delta_{0}} \to X\) est fini — propre, séparé, à fibres finies ; c'est aussi une immersion locale. On introduit ensuite la partie fermée \[ X_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \Gamma_{i,j} \;\subset\; X_{\Delta_{0}} \times X_{\Delta_{0}}, \qquad \Gamma_{i,j} \subset X_{i} \times X_{j} \text{ le graphe de } X_{i} \hookrightarrow X_{j}, \] qui n'est autre que le graphe d'une relation d'ordre sur \(X_{\Delta_{0}}\) : \[ (x,i) \leq (y,j) \iff x = y \text{ et } i \leq j, \] soit l'ordre induit par l'ordre produit de \(X \times I\), \(X\) étant muni de l'ordre discret. Le couple \((X_{\Delta_{0}}, X_{\Delta_{1}})\) est donc un objet ordonné de la catégorie des espaces topologiques : une catégorie interne, d'objet des objets \(X_{\Delta_{0}}\), d'objet des flèches \(X_{\Delta_{1}}\), de source \(\sigma\), de but \(b\), et de composition \[ X_{\Delta_{2}} = (X_{\Delta_{1}},b) \times_{X_{\Delta_{0}}} (X_{\Delta_{1}},\sigma) \longrightarrow X_{\Delta_{1}}, \qquad (x,y,z) \mapsto (x,z). \]

Les deux projections ne jouent pas le même rôle, et la dissymétrie est le fait technique central de la section :

• \(\sigma \colon X_{\Delta_{1}} \to X_{\Delta_{0}}\) est un revêtement étale, et même constant au-dessus de chaque \(X_{i}\), de fibre \(I_{i} = \{ j \in I \mid j \geq i \}\) — donc fini si les \(I_{i}\) le sont ;
• \(b \colon X_{\Delta_{1}} \to X_{\Delta_{0}}\) n'est qu'une immersion locale.

En degré quelconque, les produits fibrés itérés donnent les drapeaux : \[ \begin{aligned} X_{\Delta_{r}} &= \bigl\{ (x_{0},\ldots,x_{r}) \in X_{\Delta_{0}}^{\,r+1} \ \big|\ x_{0} \leq \cdots \leq x_{r} \bigr\} \\ &\simeq \bigl\{ (x, i_{0},\ldots,i_{r}) \ \big|\ x \in X_{i_{0}},\ i_{0} \leq \cdots \leq i_{r} \bigr\} \\ &\simeq \coprod_{i_{*} \in I(\Delta_{r})} X_{i_{0}}, \end{aligned} \] où \(I(\Delta_{r}) = \mathrm{Hom}_{\text{ens. ord.}}(\Delta_{r}, I)\) est l'ensemble des drapeaux de longueur \(r\) de \(I\). Autrement dit : \(X_{\Delta_{*}}\) est le nerf de l'objet ordonné, et il se plonge dans le produit \(X \times I_{\Delta_{*}}\), dont il hérite sa structure simpliciale : une application croissante \(\alpha \colon \Delta_{r'} \to \Delta_{r}\) induit \[ \alpha^{*} \colon X_{\Delta_{r}} \longrightarrow X_{\Delta_{r'}}, \qquad \alpha^{*}(x,i_{*}) = (x,\ i_{*} \circ \alpha). \]

Deux remarques du manuscrit méritent d'être conservées. D'abord, tout se généralise en remplaçant l'ensemble ordonné \(I\) par une catégorie \(\mathcal{C}\) et la famille par un foncteur de \(\mathcal{C}\) vers les parties fermées de \(X\). Ensuite, si l'on part d'une famille sans ordre, on peut toujours poser \(i \leq j \iff X_{i} \subseteq X_{j}\) ; mais la présentation adoptée n'exige ni que \(i \mapsto X_{i}\) soit injective, ni que ce soit un plongement d'ensembles ordonnés — la réciproque de b) n'est pas requise. C'est une liberté délibérée, et la section 4 dira pourquoi : elle est ce qui permet de prendre des images inverses sans avoir à jeter les indices devenus vides.

Ce qui est étale, ce qui ne l'est pas

La dissymétrie entre \(\sigma\) et \(b\) se propage à tous les degrés. Si \(\alpha \colon \Delta_{r'} \to \Delta_{r}\) vérifie \(\alpha(0) = 0\), alors \(\alpha^{*}\) est un morphisme de revêtements étales au-dessus de \(X\) ; en particulier \(X_{\Delta_{r}} \to X_{\Delta_{0}}\), \((x,i_{0},\ldots,i_{r}) \mapsto (x,i_{0})\), en est un. Plus précisément, au-dessus du composant \(X_{i'_{*}}\) de \(X_{\Delta_{r'}}\), le revêtement est constant de fibre l'ensemble des drapeaux de type \(\Delta_{r}\) qui s'envoient sur \(i'_{*}\) : \[ \alpha^{*-1}\bigl(X_{i'_{*}}\bigr) \;\simeq\; X_{i'_{*}} \times \bigl\{ i_{*} \in I(\Delta_{r}) \ \big|\ i_{*} \circ \alpha = i'_{*} \bigr\}. \] Sans la condition \(\alpha(0) = 0\), on ne peut affirmer que des immersions locales — et de même \(X_{\Delta_{r}} \to X\) n'est jamais qu'une immersion locale.³⁴

Le manuscrit note enfin qu'on aurait intérêt à éliminer les redondances en se bornant aux drapeaux non dégénérés, c'est-à-dire aux suites strictement croissantes, ce qui oblige à ne garder que les \(\alpha\) strictement croissantes. C'est la variante semi-simpliciale, et c'est ce que l'auteur appelle « \(\tfrac{1}{2}\) simplicial ».³⁵

50–53

Reconstituer \(X\)

La question posée est celle de savoir si le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_{\Delta_{1}} \arrow[dl, "\sigma"'] \arrow[dr, "b"] & \\
X_{\Delta_{0}} \arrow[dr, dashed] & & X_{\Delta_{0}} \arrow[dl, dashed] \\
& X &
\end{tikzcd}

est cocartésien, c'est-à-dire si \(X \simeq X_{\Delta_{0}} \amalg_{X_{\Delta_{1}}} X_{\Delta_{0}}\). Il y faut deux conditions de plus :

• c) \(X = \bigcup_{i} X_{i}\) ;
• d) pour tous \(i,j\), \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,\ k \leq j} X_{k}\).

Proposition. Sous a), b), c), d), l'application canonique \[ \varinjlim X_{\Delta_{*}} \xrightarrow{\ \sim\ } X \] est un homéomorphisme — et l'énoncé vaut pour les deux variantes, drapeaux quelconques ou drapeaux non dégénérés.

Le corollaire donne la réciproque, et c'est lui qui fait de la construction une équivalence de données. Soit \((X_{\Delta_{0}}, X_{\Delta_{1}})\) un espace topologique ordonné tel que \(X_{\Delta_{1}}\) soit fermé dans le produit et que, pour tous \(i,j\), la trace \(\Gamma_{i,j} = X_{\Delta_{1}} \cap (X_{i} \times X_{j})\) soit vide ou le graphe d'une immersion fermée \(X_{i} \hookrightarrow X_{j}\). Alors \(\sigma\) est un revêtement étale constant, \(b\) une immersion locale, la relation \(i \leq j \iff \Gamma_{i,j} \neq \emptyset\) est un ordre sur \(I\), et les \(X_{i}\) forment un système inductif d'espaces topologiques à morphismes de transition des immersions fermées. Si de plus \(I\) est fini et stable par bornes inférieures, \[ X = \varinjlim_{i \in I} X_{i} \;\simeq\; X_{\Delta_{0}} / \bigl(X_{\Delta_{1}} \rightrightarrows\bigr), \] les \(X_{i} \hookrightarrow X\) étant des immersions fermées.

Une limite inductive stricte, et pourquoi elle ne suffira pas

Cette proposition est vraie et n'est pas ce qu'il faudra. La limite inductive qu'elle exhibe est une limite d'espaces : le quotient de \(\coprod_{i} X_{i}\) par la relation d'équivalence engendrée par les inclusions, c'est-à-dire \(\varinjlim_{i \in I} X_{i}\). Elle redonne \(X\) comme espace, ce qui est exact ; mais elle ne dit rien de son type d'homotopie, parce que les \(X_{i}\) sont fermés les uns dans les autres. Entre deux morceaux voisins, la seule chose que ce diagramme enregistre est un bord — et un bord ne dit pas comment l'un s'approche de l'autre, comme la sphère l'a déjà montré à la section précédente.

C'est exactement pour cela que la section 3 remplacera les fermés \(X_{i}\) par des tubes, qui sont des voisinages. La limite inductive stricte restera la même ; la limite inductive homotopique, elle, deviendra la bonne.³⁶

Faut-il que les intersections soient des morceaux ?

La condition d) demande que \(X_{i} \cap X_{j}\) soit réunion des \(X_{k}\) en dessous. Faut-il exiger davantage — que la borne inférieure \(i \wedge j\) existe et que \(X_{i \wedge j} = X_{i} \cap X_{j}\) ?

Le manuscrit répond non, et son contre-exemple est un dessin. Prenez le cercle, coupé en deux arcs \(A\) et \(B\) par deux points \(a\) et \(b\) : quatre strates, \(A \cap B = \{a\} \cup \{b\}\), deux strates connexes dont l'intersection ne l'est pas. Prenez-en le cône, de sommet \(o\) : une stratification locale en \(o\) à cinq strates. « Faut-il l'éliminer pour autant ? Il ne semble pas. La suite le montrera bien ! » — et il a raison, car ce sont précisément les stratifications de ce type qui se présentent dans la nature.

53–55

Les strates

Les \(X_{i}\) ne sont pas les morceaux : ils sont les fermés dont les morceaux sont les différences. Pour tout \(x \in X\), l'ensemble \(I_{x} = \{ i \in I \mid x \in X_{i}\}\) est fini par a), et filtrant décroissant par d) ; il a donc un plus petit élément \[ i(x) = \text{le plus petit } i \in I \text{ tel que } x \in X_{i}. \] Et pour tout \(i\) on pose \[ \dot{X}_{i} = \bigcup_{j < i} X_{j} \quad (\text{fermé de } X_{i}), \qquad X_{i}^{*} = X_{i} \smallsetminus \dot{X}_{i} \quad (\text{ouvert de } X_{i}). \]

Proposition. Les \(X_{i}^{*}\) sont deux à deux disjoints, leur réunion est \(X\), et \(i(x)\) est l'unique indice \(i\) tel que \(x \in X_{i}^{*}\).

Démonstration. Soient \(i \neq j\) et \(x \in X_{i}^{*} \cap X_{j}^{*}\). Alors \(x \in X_{i} \cap X_{j}\), donc par d) il existe \(k \leq i,j\) avec \(x \in X_{k}\). Si \(k = i\), alors \(i \leq j\), donc \(i < j\), et \(x \in \dot{X}_{j}\), ce qui contredit \(x \in X_{j}^{*}\). Donc \(k < i\), d'où \(X_{k} \subset \dot{X}_{i}\) et \(x \in \dot{X}_{i}\), ce qui contredit \(x \in X_{i}^{*}\). La réunion est \(X\) et l'unicité est immédiate par définition de \(i(x)\).³⁷

La conséquence à retenir, et que le manuscrit n'énonce pas sous cette forme, est que \(x \mapsto i(x)\) est une application continue de \(X\) vers \(I\) muni de la topologie d'Alexandrov : les parties ouvertes de \(I\) y sont les parties croissantes, et l'image inverse d'une partie décroissante \(\{ j \mid j \leq i \}\) est précisément \(X_{i}\), qui est fermé. C'est la définition moderne d'un espace stratifié par un ensemble ordonné, et elle est ici entièrement contenue dans les conditions a) à d).³⁸

Les mêmes définitions se propagent aux drapeaux : \[ \dot{X}_{\Delta_{0}} = \coprod_{i} \dot{X}_{i}, \qquad X^{*}_{\Delta_{0}} = X_{\Delta_{0}} \smallsetminus \dot{X}_{\Delta_{0}} = \coprod_{i} X_{i}^{*}, \] et en degré \(r\) par image inverse le long de \(\sigma_{r} \colon X_{\Delta_{r}} \to X_{\Delta_{0}}\), ce qui fait de \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) un fermé et de \(X^{*}_{\Delta_{r}}\) un ouvert de \(X_{\Delta_{r}}\). Les applications \(\alpha^{*}\) avec \(\alpha(0) = 0\) respectent la partition. En revanche — et l'avertissement est de l'auteur — les \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) ne forment pas un espace semi-simplicial : seule la moitié des applications les préserve.

« Moralement », dit-il, \(X^{*}_{\Delta_{r}}\) est la partie non singulière de \(X_{\Delta_{r}}\) et \(\dot{X}_{\Delta_{r}}\) son bord. Le propos reste, dans l'esprit de la section 1, de reconstituer \(X\) à partir des strates \(X_{i}^{*}\) — la section 1 étant le cas où \(I\) a deux éléments, \(X_{0} = Y\) et \(X_{1} = X\), avec \(Y = Y^{*}\) et \(X^{*} = X \smallsetminus Y\), et où il avait fallu introduire \(\mathcal{V}_{Y,X}\).

56–60

3. Stratifications globales : introduction des tubes

C'est le mot « il avait fallu » qui commande la section suivante. Pour tout couple \(i \leq j\) on pose \[ \overline{\mathcal{V}}_{i,j} = \mathcal{V}_{X_{i},X_{j}} \qquad (\text{voisinage tubulaire de } X_{i} \text{ dans } X_{j}), \] au sens laissé programmatique par la section 1, et l'on découpe dedans. Le découpage se fait avec une seule partie fermée auxiliaire : \[ R_{i,j} = \bigcup \bigl\{ X_{k} \ \big|\ k < j,\ X_{k} \not\supset X_{i} \bigr\}, \] la réunion des morceaux de \(X_{j}\) qui ne contiennent pas \(X_{i}\) — ceux qui « ne voient pas » la strate depuis laquelle on regarde.³⁹

Le fait qui rend le découpage utilisable est le suivant, et il est démontré sur la page : \[ R_{i,j} \cap X_{i} = \dot{X}_{i}. \] En effet, si \(X_{k} \not\supset X_{i}\), l'intersection \(X_{k} \cap X_{i}\) est, par la condition d), la réunion des \(X_{\ell}\) avec \(\ell \leq k,i\) ; chacun de ces \(X_{\ell}\) est strictement contenu dans \(X_{i}\), donc \(\ell < i\) et \(X_{\ell} \subset \dot{X}_{i}\). L'inclusion inverse est triviale.

Trois espaces, et ce qu'ils valent

On pose alors \[ \mathcal{V}_{i,j} = \overline{\mathcal{V}}_{i,j} \smallsetminus R_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} = \overline{\mathcal{V}}_{i,j} \smallsetminus \dot{X}_{j} = \mathcal{V}_{i,j} \cap X_{j}^{*}, \] la seconde égalité valant parce que \(R_{i,j} \subset \dot{X}_{j}\). Et l'identité ci-dessus donne \[ \mathcal{V}_{i,j} \cap X_{i} = X_{i}^{*} : \] \(\mathcal{V}_{i,j}\) est un espace infinitésimal autour de la strate \(X_{i}^{*}\), et non autour du fermé \(X_{i}\). C'est le gain de tout le découpage. Pour \(i = j\) tout se dégénère proprement : \[ \overline{\mathcal{V}}_{i,i} = X_{i}, \qquad \mathcal{V}_{i,i} = \mathcal{V}^{*}_{i,i} = X_{i}^{*}, \] de sorte que les strates elles-mêmes sont des cas particuliers des tubes.

Les pierres de construction sont donc les \(\mathcal{V}_{i,j}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\), avec les inclusions incidentes :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
& X_{i}^{*} \arrow[d, "\text{âme}"] \\
\mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \\
X_{j}^{*} &
\end{tikzcd}

\(X_{i}^{*}\) étant l'âme du tube : le mot est de l'auteur, et il est le bon, puisque c'est la section sur laquelle le tube se rétracte.

La géométrie du tube

Sous des hypothèses de lissité et de trivialité normale locale — pour une variété algébrique complexe stratifiée par des sous-variétés fermées, par exemple — les tubes prennent une forme précise, et c'est cette forme qui justifie qu'on les ait préférés aux fermés. Le tube épointé \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) est un fibré localement trivial sur \(X_{i}^{*}\), de fibre un cylindre ouvert \(\mathbb{R} \times C_{i,j}\) où \(C_{i,j}\) est une variété topologique compacte ; et \(\mathcal{V}_{i,j}\) est le fibré en cônes correspondant, de fibre le cône sur \(C_{i,j}\). Quand \(j\) n'est pas un successeur de \(i\), \(C_{i,j}\) est encore une variété, mais non compacte.⁴⁰

L'auteur juge alors ses pierres mal taillées : trop générales d'un côté, pas assez de l'autre pour contenir les morceaux dont il aurait besoin, et il renvoie à un autre de ses textes.⁴¹ La restriction qu'il retient est de se borner aux couples \(i \leq j\) où \(j\) est un successeur de \(i\) — c'est-à-dire où il n'existe aucun \(k\) avec \(i < k < j\). Ce sont ces pierres-là, dites élémentaires, dont le lot suivant fera le diagramme \(\widetilde{I}\).

Les tubes mixtes

Reste une famille intermédiaire, qui interpole entre \(\mathcal{V}^{*}_{i,k}\) et \(\mathcal{V}_{i,k}\). Étant donné \(i \leq j \leq k\), on pose \[ S_{j,k} = \bigcup \bigl\{ X_{\ell} \ \big|\ \ell < k,\ X_{\ell} \supset X_{j} \bigr\}, \qquad \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} = \overline{\mathcal{V}}_{i,k} \smallsetminus \bigl( R_{i,k} \cup S_{j,k} \bigr). \] Les deux parties \(R_{j,k}\) et \(S_{j,k}\) répondent à la partition de \(\{\ell \in I \mid \ell < k\}\) selon que \(X_{\ell}\) contient ou non \(X_{j}\), de sorte que \(R_{j,k} \cup S_{j,k} = \dot{X}_{k}\). Comme \(i \leq j\) entraîne \(R_{i,k} \subset R_{j,k}\), on a bien \(R_{i,k} \cup S_{j,k} \subset \dot{X}_{k}\), et la famille est croissante en \(j\) : \[ \mathcal{V}^{*}_{i,k} \;\subset\; \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \;\subset\; \mathcal{V}_{i,k}, \qquad \mathcal{V}^{\,i}_{i,k} = \mathcal{V}^{*}_{i,k}, \qquad \mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k}, \] les deux valeurs extrêmes venant de \(R_{i,k} \cup S_{i,k} = \dot{X}_{k}\) d'une part, de \(S_{k,k} = \emptyset\) de l'autre. On retrouve pour \(i = j = k\) la strate \(X_{i}^{*}\).⁴²

Le tube mixte \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) tend lui aussi à être un fibré localement trivial de base \(X_{i}^{*}\), mais sa fibre peut être singulière : dans le cas \(\mathcal{V}^{\,k}_{i,k} = \mathcal{V}_{i,k}\) avec \(k\) successeur de \(i\), la singularité est isolée ; en général elle peut être de type arbitraire — il suffit de prendre \(X_{i} = X_{i}^{*}\) réduit à un point pour la mettre tout entière dans la fibre. C'est ce qui diminue l'intérêt des tubes mixtes comme pierres, et c'est pourquoi le programme annoncé à la fin de la section est celui-ci : exprimer tout avec les \(X_{i}^{*}\) et les tubes élémentaires \(\mathcal{V}_{i,j}\), \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) (\(j\) successeur de \(i\)) ; voir ensuite si certaines expressions se simplifient en admettant tous les \(i \leq j\) ; et seulement en dernier lieu, en vue du cas des diviseurs à croisements normaux, voir comment les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) s'insèrent dans ce formalisme.

C'est ce programme que le dernier lot exécute, dans l'ordre annoncé, et qu'il laisse inachevé à sa troisième étape. \pagerange{61}{61}

Le diagramme fondamental

On rassemble les tubes en une seule pièce par degré, \[ \mathcal{V}_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{\Delta_{1}} = \coprod_{i \leq j} \mathcal{V}^{*}_{i,j} \ \subset \ \mathcal{V}_{\Delta_{1}} \ \text{(ouvert)}, \] ce qui donne un diagramme global reflétant, pour chaque couple \(i \leq j\), le diagramme fondamental :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{V}^{*}_{i,j} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{i,j} \arrow[d, dashed] & X_{i}^{*} \arrow[l] \arrow[dl, dashed] \\
X_{j}^{*} & X &
\end{tikzcd}

Les flèches en pointillé sont celles que le recollement doit fournir. Et l'auteur note aussitôt que le regroupement global n'est probablement pas utile, car le carré qu'il forme n'a rien de cocartésien : le diagramme en trait plein définit bien une limite inductive, mais elle n'a guère de chances d'être homéomorphe à \(X\) — dès que \(X\) est connexe, par exemple, la somme disjointe sur tous les couples \(i \leq j\) en compte trop.

L'observation est le ressort de tout ce qui suit : ce n'est pas un carré qu'il faut, mais un diagramme dont la forme est celle de l'ensemble ordonné \(I\) tout entier, et il faut d'abord savoir de quelles flèches il dispose.

62–63

Quelles inclusions subsistent entre les pierres

Les \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) sont des germes de sous-espaces de \(X\), entre lesquels les seuls morphismes canoniques sont des inclusions. La question est donc de recenser lesquelles. Pour la traiter, deux hypothèses simplificatrices sont posées : \[ X_{i}^{*} \neq \emptyset \quad \text{pour tout } i, \qquad X_{i} \subset X_{j} \implies i \leq j, \] la seconde faisant de \(i \mapsto X_{i}\) un plongement d'ensembles ordonnés ;⁴³ et une troisième, dite « raisonnable » : \(\overline{X_{i}^{*}} = X_{i}\) pour tout \(i\) — la strate est dense dans son fermé.

Le recensement donne alors ceci. Entre les strates elles-mêmes, aucune inclusion pour des indices distincts. Entre tubes, \(\mathcal{V}_{i,j} \subset \mathcal{V}_{i',j'}\) force \(i = i'\), puisqu'il faudrait \(X_{i}^{*} \subset X_{i'}^{*}\), puis \(j = j'\) puisque le tube détermine la strate voisine dont il est le voisinage. Entre tubes épointés, \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset \mathcal{V}^{*}_{i',j'}\) donne d'abord \(i \leq i'\) par passage aux adhérences, puis, comme \(\mathcal{V}^{*}_{i,j} \subset X_{j}^{*}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{i',j'} \subset X_{j'}^{*}\) sont non vides et se rencontrent, \(j = j'\) ; et enfin \(i' = i\), puisque \(i \leq i' < j\) et que \(j\) est un successeur de \(i\).⁴⁴

Restent les inclusions entre types différents, et il n'y en a que trois : \[ X_{i}^{*} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{i,j} \longrightarrow X_{j}^{*}. \] Ce sont exactement les trois flèches en trait plein du diagramme fondamental. Rien d'autre n'est à envisager entre ces pièces élémentaires.⁴⁵

64–65

Le diagramme \(\widetilde{I}\)

À l'ensemble ordonné \(I\) on associe un diagramme, noté \(\widetilde{I}\), dont les sommets sont des symboles \[ [i], \qquad [i,j], \qquad [i,j]^{*} \qquad (i,j \in I,\ j \text{ successeur de } i), \] et dont les flèches sont de trois types, toutes décrites par

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
{[i,j]}^{*} \arrow[r] \arrow[d] & {[i,j]} & {[i]}^{*} \arrow[l] \\
{[j]}^{*} & &
\end{tikzcd}

Notons \(e\) le nombre de drapeaux élémentaires — les couples \(i < j\) avec \(j\) successeur de \(i\). Alors \(\widetilde{I}\) a \(\mathrm{card}\,I + 2e\) sommets et \(3e\) flèches.⁴⁶ Si \(I\) a deux éléments \(i < j\), on retrouve le diagramme ci-dessus lui-même.

Trois exemples sont explicités, en remplaçant les symboles par les espaces qu'ils désignent. Pour \(I = \Delta_{n} = (0 < 1 < \cdots < n)\), une chaîne, on trouve un escalier de \(n\) marches :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{0}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,1} & \mathcal{V}^{*}_{0,1} \arrow[l] \arrow[d] & & & & \\
& & X_{1}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{1,2} & \mathcal{V}^{*}_{1,2} \arrow[l] \arrow[d] & & \\
& & & & X_{2}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{2,3} & \mathcal{V}^{*}_{2,3} \arrow[l] \arrow[d] \\
& & & & & & \cdots \arrow[d] \\
& & & & & & X_{n}^{*}
\end{tikzcd}

Pour \(I\) formé d'un indice \(0\) dominé par deux indices incomparables \(a\) et \(b\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{V}^{*}_{0,b} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{0,b} & X_{0}^{*} \arrow[l] \arrow[r] & \mathcal{V}_{0,a} & \mathcal{V}^{*}_{0,a} \arrow[l] \arrow[d] \\
X_{b}^{*} & & & & X_{a}^{*}
\end{tikzcd}

Et pour \(I\) formé de deux indices \(a\), \(b\) incomparables dominés par un même \(c\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_{a}^{*} \arrow[d] & & X_{b}^{*} \arrow[d] \\
\mathcal{V}_{a,c} & & \mathcal{V}_{b,c} \\
\mathcal{V}^{*}_{a,c} \arrow[u] \arrow[r] & X_{c}^{*} & \mathcal{V}^{*}_{b,c} \arrow[u] \arrow[l]
\end{tikzcd}

Dans les trois cas les comptes se vérifient : sept sommets et six flèches pour les deux derniers, \(3n+1\) sommets et \(3n\) flèches pour la chaîne.

La forme de ces diagrammes mérite d'être nommée. Chaque drapeau élémentaire \(i < j\) y contribue un motif \(X_{i}^{*} \to \mathcal{V}_{i,j} \leftarrow \mathcal{V}^{*}_{i,j} \to X_{j}^{*}\), c'est-à-dire un double cylindre d'application entre les deux strates, passant par le tube. C'est le motif standard par lequel un espace stratifié se reconstruit à partir de ses strates et de ses liens, et \(\widetilde{I}\) n'est que l'assemblage de ces motifs le long de l'ensemble ordonné.⁴⁷

66–67

La fonction dimension

Le diagramme se simplifie si l'on dispose sur \(I\) d'une fonction à valeurs entières \[ d \colon I \longrightarrow \mathbb{Z}, \qquad \text{i.e.} \quad I = \coprod_{m} I_{m}, \] jouant le rôle d'une dimension, et satisfaisant : pour \(i \leq j\), \[ d(j) = d(i) + 1 \iff j \text{ est un successeur de } i. \] On peut alors regrouper par degré : \[ X_{m}^{*} = \coprod_{i \in I_{m}} X_{i}^{*}, \qquad \mathcal{V}_{m,m+1} = \coprod_{\substack{i \leq j \\ d(i)=m,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}_{i,j}, \qquad \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} = \coprod_{\substack{i \leq j \\ d(i)=m,\ d(j)=m+1}} \mathcal{V}^{*}_{i,j}, \] d'où un diagramme \((\mathrm{Diag})_{m}\) par degré,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
X_{m}^{*} \arrow[r] & \mathcal{V}_{m,m+1} & \mathcal{V}^{*}_{m,m+1} \arrow[l] \arrow[d] \\
& & X^{*}_{m+1}
\end{tikzcd}

et l'escalier obtenu en les enchaînant, \(I\) étant supposé fini et les sommets occupés par des espaces vides n'étant pas écrits.

La variante par codimension est la même à l'orientation près : on considère alors les \(\mathcal{V}_{d,d-1}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{d,d-1}\) au lieu des \(\mathcal{V}_{d,d+1}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{d,d+1}\), et l'escalier descend au lieu de monter, de \(X_{n}^{*}\) à \(X_{0}^{*}\).⁴⁸

68–68

Le théorème de recollement des tubes

Théorème (première version). Considérons le diagramme de type \(\widetilde{I}\) formé par les \(X_{i}^{*}\), les \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) et les \(\mathcal{V}_{i,j}\), pour \(i,j \in I\) avec \(j\) successeur de \(i\), et par les trois types de flèches en trait plein du diagramme fondamental. Alors \(X\) s'identifie à la limite inductive de ce diagramme.

Le mot que le manuscrit emploie pour l'opération est illisible ; « au topos » est écrit puis barré juste avant, ce qui indique une hésitation sur la catégorie où prendre la limite plutôt que sur la limite elle-même.⁴⁹

L'énoncé se vérifie sur le cas dont tout le dossier est parti. Pour \(I\) à deux éléments \(0 < 1\), avec \(Y = X_{0}\) et \(X = X_{1}\), on a \(X_{0}^{*} = Y\), \(X_{1}^{*} = X \smallsetminus Y\), \(\mathcal{V}_{0,1} = \mathcal{V}_{Y,X}\) et \(\mathcal{V}^{*}_{0,1} = \mathcal{V}^{*}_{Y,X}\) ; le diagramme \(\widetilde{I}\) est alors \[ Y \longrightarrow \mathcal{V}_{Y,X} \longleftarrow \mathcal{V}^{*}_{Y,X} \longrightarrow X \smallsetminus Y, \] et sa limite inductive est exactement la somme amalgamée de la section 1, la flèche \(Y \to \mathcal{V}_{Y,X}\) n'y ajoutant rien puisqu'elle est une équivalence d'homotopie. Le théorème général est donc la mise en famille de ce cas-là, sur l'ensemble ordonné \(I\) tout entier.

Aucune démonstration n'est donnée. L'auteur annonce qu'elle sera heuristique, et qu'il veut d'abord un énoncé exprimant les « topos canoniques » associés à la situation en termes d'un diagramme de type \(\widetilde{I}\) formé de topos élémentaires. C'est l'objet de la section suivante, et le dossier s'interrompt avant d'y revenir.⁵⁰

69–71

4. Topos canoniques : images inverses

Les axiomes de la section 2 sont d'abord rappelés : les \(X_{i}\) fermés et la famille localement finie ; \(i \leq j \Rightarrow X_{i} \subset X_{j}\) ; \(X = \bigcup X_{i}\) ; et \(X_{i} \cap X_{j} = \bigcup_{k \leq i,j} X_{k}\).

Transport par image inverse

Soit \(X' \to X\) un espace au-dessus de \(X\). La famille des \[ X'_{i} = X_{i} \times_{X} X' \] satisfait les mêmes conditions, et le système des drapeaux se transporte : \[ X'_{\Delta_{r}} \simeq X_{\Delta_{r}} \times_{X} X', \qquad X'^{\,*}_{\Delta_{r}} \simeq X^{*}_{\Delta_{r}} \times_{X} X', \qquad \dot{X}'_{\Delta_{r}} = \dot{X}_{\Delta_{r}} \times_{X} X'. \] Ces trois identités reposent sur le fait que le changement de base commute aux réunions de sous-objets, donc à la définition de \(\dot{X}_{i}\).

C'est ici que se paie une décision de la section 2. Après image inverse, un \(X'_{i}\) peut être vide, et deux indices distincts peuvent donner le même fermé : c'est précisément pour pouvoir prendre ces images inverses qu'il n'était pas commode de supposer les \(X_{i}\) ou les \(X_{i}^{*}\) non vides, ni que \(i \mapsto X_{i}\) soit un plongement d'ensembles ordonnés dans \(\mathcal{P}(X)\).⁵¹

Pour les tubes, le transport demande davantage. Si \(X' \to X\) est une immersion ouverte, tout va de soi. Si c'est une immersion locale, on a encore \[ R'_{i,j} = R_{i,j} \times_{X} X', \qquad S'_{i,j} = S_{i,j} \times_{X} X', \] et, dans le cas propre, des isomorphismes \[ \mathcal{V}'_{i,j} \simeq \mathcal{V}_{i,j} \times_{X} X', \qquad \mathcal{V}'^{\,*}_{i,j} \simeq \mathcal{V}^{*}_{i,j} \times_{X} X', \qquad \mathcal{V}'^{\,j}_{i,k} \simeq \mathcal{V}^{\,j}_{i,k} \times_{X} X'. \] Le manuscrit est ici plus prudent qu'ailleurs, et il a raison de l'être : la formation d'un voisinage tubulaire ne commute pas en général à la restriction à une partie, et il faut que \(X' \to X\) soit assez proche d'une immersion ouverte pour que le tube d'une trace soit la trace du tube.⁵²

Une conséquence : le théorème est local

De ces changements de base il résulte que la démonstration du théorème de recollement est une question locale sur \(X\). On peut donc se ramener à un ouvert au-dessus duquel la famille est finie — la locale finitude est faite pour cela — et supposer \(I\) fini. C'est le seul progrès que le dossier fasse en direction de la démonstration, et c'en est un vrai : il ramène un énoncé sur un ensemble ordonné quelconque à un énoncé sur un ensemble ordonné fini.

71–73

Les cribles

Une partie \(I' \subset I\) est un crible si elle est close vers le bas : \[ i \leq j \in I' \implies i \in I'. \] On lui associe la partie fermée \[ X_{I'} = \bigcup_{i \in I'} X_{i}. \] La correspondance est monotone, et elle respecte les deux opérations : \[ X_{\bigcup_{\alpha} I'_{\alpha}} = \bigcup_{\alpha} X_{I'_{\alpha}}, \qquad X_{\emptyset} = \emptyset, \qquad X_{I' \cap I''} = X_{I'} \cap X_{I''}, \qquad X_{I} = X, \] la troisième venant de la condition d) des axiomes — et de nulle part ailleurs.⁵³

Prenant \(X' = X_{I'}\), on obtient sur \(X'\) une stratification de type \(I'\), et les parties-cribles de \(X'\) pour cette stratification sont les traces sur \(X'\) des parties-cribles de \(X\). Les espaces élémentaires y sont les \(X_{i}^{*}\), les \(\mathcal{V}^{*}_{i,j}\) et les \(\mathcal{V}_{i,j}\) pour \(i,j \in I'\).

Un cas particulier vaut d'être isolé, parce qu'il justifie une désinvolture antérieure. Soit \(I_{0}\) l'ensemble des \(i\) tels que \(X_{i} = \emptyset\) : c'est un crible, et tous les espaces qui lui sont associés sont vides. Le diagramme \(\widetilde{I}\), une fois les sommets vides négligés, ne change donc pas quand on remplace \(I\) par \(I \smallsetminus I'_{0}\) pour un crible \(I'_{0} \subset I_{0}\). Plus généralement, pour tout crible \(I'\) de \(I\), le diagramme \(\widetilde{I \smallsetminus I'}\) est contenu dans \(\widetilde{I}\) : le complémentaire d'un crible est clos vers le haut, donc un couple qui y est élémentaire l'était déjà dans \(I\).

Ouverts entre deux cribles

Soient maintenant deux cribles emboîtés \(I'' \subset I' \subset I\), d'où \(X_{I''} \subset X_{I'}\) et la partie localement fermée \[ \mathcal{U}_{I',I''} = X_{I'} \smallsetminus X_{I''}. \] On peut y regarder la stratification de type \(I' \smallsetminus I''\), définie par \[ X_{i',\,\mathcal{U}_{I',I''}} = X_{i'} \smallsetminus \bigl(X_{i'} \cap X_{I''}\bigr) \ \subset \ \mathcal{U}_{I',I''}, \] dont les espaces élémentaires sont les \(X_{i'}^{*}\) pour \(i' \in I' \smallsetminus I''\) et les tubes associés aux couples \((i',j')\) avec \(j'\) successeur de \(i'\). Ceux-ci se comparent aux tubes de \(X\) par un carré d'inclusions,

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
\mathcal{V}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{i',j'} \\
\mathcal{V}^{*}_{i',j',X'} \arrow[r, hook] \arrow[u, hook] & \mathcal{V}^{*}_{i',j'} \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

mais — et l'avertissement est de l'auteur, il vaut d'être conservé tel quel — il n'est pas clair en général que ces inclusions soient des équivalences d'homotopie. Mieux vaut donc ne pas identifier trop vite les constructions faites sur un \(X_{I'}\) et celles faites sur un \(\mathcal{U}_{I',I''}\).

74–74

Où le dossier s'arrête

La partie C de la section 4 s'ouvre sur la promesse d'une famille \(\mathcal{V}^{\,I'''}_{I',I''}\), indexée par trois cribles \[ I',\ I''' \subset I'' \subset I, \qquad\text{d'où}\qquad X_{I'},\ X_{I'''} \subset X_{I''} \hookrightarrow X_{I} = X, \] et le dossier s'arrête ici. La page 74 est la dernière du fonds pour cette cote, et rien n'indique que la suite existe ailleurs.

La construction est donc inachevée, et cette édition ne lui invente pas de fin. Ce qui se dit sans risque tient à la notation seule : les trois cribles occupent les places qu'occupaient les trois indices \(i \leq j \leq k\) dans les tubes mixtes \(\mathcal{V}^{\,j}_{i,k}\) de la section 3, l'exposant portant l'indice médian ; et le programme énoncé à la fin de cette même section plaçait les tubes mixtes en dernier, « eu égard aux cas des diviseurs à croisements normaux ». C'est cette dernière étape que la page 74 commence. Ce qu'elle aurait donné, on ne le lit pas ici.