Fonds Grothendieck, cote n° 150, pages 81–98

En haut à gauche, « 37 » de sa main : trente-septième feuillet de la suite « Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques) » (feuillets 6 à 16 au lot 2, 17 à 26 au lot 3).

Lemme. Soient I un ens. ordonné, J,L deux parties de I. Conditions équivalentes

a) 1°) J,L sont des bandes, 2°) tout élément de J est majoré par un élément de L, tout élément de L majore un élément de J, ~~3°) si j\in J, l\in L sont tels que l\le j, alors j,l\in J\cap L~~

i.e. J\prec Ldans la marge gauche, en face de a).

b) \exists une bande I' de I, telle que J soit un idéal de I', L un coidéal de I', et que tout élément de I' majore un élément de J et soit majoré par un élément de L.« idéal de I' » : l'accent est écrit avant le I.

Sous ces conditions, ~~il existe plus~~ la bande I' de b) est unique, c'est la plus petite bande I' contenant J et L satisfait b), et est donnée par (67)\qquad I'=\lbrace i\in I \mid \exists j\in J,\ l\in L \text{ avec } j\le i\le l\rbrace le numéro, écrit en marge, se lit mal ; « (67) » est suggéré par le (68) de la page suivante.

Dém. L'implication b) \Rightarrow a) triviale, (prouvons ainsi que le fait que I' est donnée par (67)) a) \Rightarrow b). Soit I' donné par (67), on a I'\supset J\cup L (par a) 2°)) I' est une bande (trivial), et c'est évidemment la plus petite bande \supset J\cup L. Prouvons que J est un idéal de I' i.e. j\in J, i\in I', i\le j\Rightarrow i\in J. Comme i\in I', \exists j_0\in J tel que j_0\le i, donc j_0\le i\le j avec j_0,j\in J, et comme J est une bande (par a) 1°), i\in J. On voit de même que L est un coidéal de I'. Soit i\in I', par définition de I' i majore un élément de I et est majoré par un élément de L, cqfd.on attend « de J ».

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 37.

Dans le cas actuel, on trouve donc

(68) \mathcal V_J^L\simeq le de la forme \mathcal V'^{\,L}_J, relatif à l'espace X'=X^{*}_{I'}, stratifié par les X'_i=X_i\cap X^{*}_{I'} (i\in I'), où X'_J est fermé, et X'_L est ouvert, ~~donc~~le mot après « le » commence par une lettre biffée ; il n'a pas pu être lu. Le signe devant « le » est un = surmonté d'un trait ondulé.

On trouve \mathcal V_J^L=\mathcal V_J\cap X^{*}_L=\Big(\bigcup_{j\in J}\mathcal V_j^{X'}\Big)\cap\underbrace{\Big(\bigcup_{l\in L}\mathcal V_l^{X'}\Big)}_{=X^{*}_L}=\bigcup_{j\in J,\ l\in L}\mathcal V^{X'}_{j,l} l'accolade est tracée au-dessus de la seconde parenthèse, avec l'annotation « X^{*}_L car X^{*}_L ouvert dans X' ».

Notons que \mathcal V^{X'}_{j,l}= \begin{cases} \emptyset & \text{si } j,l \text{ non comparables}^{*}\\ \mathcal V^{X'}_j & \text{si } j=l, \text{ cas dans } j,l\in J\cap L\\ \mathcal V^{X'}_{j,l} \text{ standard} & \text{si } j<l\\ \mathcal V^{X'}_{l,j} \text{ standard} & \text{si } l<j \text{ dans } l,j\in J\cap L \end{cases} (dans l\in J, j\in L !)« cas dans » et « dans » : lecture incertaine ; la dernière parenthèse est écrite sous la dernière ligne de l'accolade.

{}^{*} Pour raison les ouverts de X étant , X unibranche…note de renvoi écrite en travers dans la marge gauche ; lecture très incertaine.

\mathcal V_J^L=\bigcup_{\substack{j\in J\\ l\in L\\ j\le l}}\mathcal V^{X'}_{j,l} pour (où on a appelé que \mathcal V^{X'}_{j,j}=\mathcal V^{X'}_j)

NB Pour cette formule, , valable si J\prec L, on a (69) (équiv. d'homotopie) … \mathcal V_J^L\xrightarrow{(h)}\mathcal V_J\cap\mathcal V_L\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V_{J,L}, où \mathcal V_J^L\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V_J\cap X^{*}_Llongue note en travers dans la marge gauche, en face de la formule ; lecture très incertaine, sauf les formules. Le numéro (69) figure dans cette note.

Pour écrire \mathcal V_J^L par recollement des \mathcal V^{X'}_{j,l}, il faut expliciter les \mathcal V^{X'}_{j,l}\cap\mathcal V^{X'}_{j',l'} qui sont vides, sauf si \lbrace j,j',l,l'\rbrace est un drapeau. C'est un drapeau ~~dont~~ ayant au plus quatre termes (distincts), ceux-ci ~~qui~~ sont dans J\cup L, et il en est au ~~deux dans J, deux dans L, et au moins, un~~ moins un dans J, au moins un dans L. Ce sont donc des drapeaux de la forme

En haut à gauche, « 38 » de sa main.

(70)\quad \begin{cases} \mathcal V^{X'}_i & i\in J\cap L\\ \mathcal V^{X'}_{ij} & i\in J\smallsetminus J\cap L,\ j\in L\smallsetminus J\cap L \qquad (i<j)\\ \mathcal V^{X'}_{ijk} & i\in J,\ k\in L,\ j\in J\cup L \qquad (i<j<k)\\ \mathcal V^{X'}_{ijkl} & i,j\in J,\ k,l\in L \qquad (i<j<k<l) \end{cases} dans la deuxième ligne, « \smallsetminus J\cap L » après i\in J est ajouté au-dessus de la ligne.

NB le cas le plus intéressant est celui où J\cap L=\emptyset … \mathcal V^{X'}_i … il cas notes en travers dans la marge gauche, en face de (70) ; lecture très incertaine.

On peut donc dire que \mathcal V^L_J est la \varinjlim (réunion) des prolongements précédents, où entre ces espaces les morphismes semi-simpliciaux ~~qui en explicite~~.

~~Ceci~~ Si on les \mathcal V_{ijk} stables par intersections dans un système ~~semi-simplicial~~ d'espaces, qui par ~~recollement~~ \varinjlim donne \mathcal V^L_J, on prendra les (71)\qquad \mathcal V^{X'}_{i_0\ldots i_n}\quad\text{avec } i_0<\cdots<i_n,\quad \begin{cases} i_0,\ldots,i_n\in J\cup L\\ i_0\in J,\ i_n\in L\end{cases} les flèches entre ces espaces correspondant aux inclusions de drapeaux satisfaisant les conditions précédentes. Posons donc (72)\qquad \mathrm{Drap}^L_J(I)\subset\mathrm{Drap}(J\cup L)\subset\mathrm{Drap}(I) « drapeaux (i_0\ldots i_n) tels que i_0\in J, i_n\in L ».le J de \mathrm{Drap}(J\cup L) est récrit par-dessus une autre lettre.

On a donc un recouvrement de \mathcal V^L_J par les \mathcal V^{X'}_d, indexé par l'ens. ordonné précédent. On aura p. ex., pour un faisceau F sur \mathcal V^L_J (73)\qquad H^{*}(\mathcal V^L_J,F)\Longleftarrow E_2^{pq}=H^p\big(\mathrm{Drap}^L_J(I),\ d\mapsto H^q(\mathcal V^{X'}_d,F)\big)

En haut à gauche, « 16 » souligné, de sa main : c'est ici un numéro de paragraphe (le paragraphe 17 s'ouvre page 88), non un numéro de feuillet ; la page ne porte pas de numéro de feuillet. Le titre est en partie recouvert par la longue note écrite en travers de la marge.

16. \Sigma_J et \Sigma_{J,L}

Un point de vue plus les \Sigma_i, \Sigma_{i_0\ldots i_n} est \Sigma_J, \Sigma_J^L (70) X=\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(I)}\Sigma_d … \Sigma_i\supset X^{*}_i … \Sigma_J\supset X^{*}_J=\Sigma^{*}_J …longue note écrite en travers du coin supérieur gauche, par-dessus le titre ; seuls quelques fragments se lisent, dans une lecture très incertaine.

Soit J une bande de I, on définit \Sigma_J\subset X^{*}_J,\qquad \Sigma_J=X^{*}_J\smallsetminus X^{*}_J\cap\bigcup_{i\in\overline J\smallsetminus J}\overset{\circ}{T}_i ~~NB \bigcup_{j\in J}\Sigma_j, X^{*}_J\smallsetminus X^{*}_J\cap\bigcup_{i\in\overline J\smallsetminus J}T_i~~ligne barrée de plusieurs traits.

NB \overline J= idéal engendré par J =\lbrace i\in I\mid \exists j\in J \text{ avec } i\le j\rbraceà droite de la définition.

NB On a X_J=\bigcup_{j\in J}X_j \big(=\bigcup_{j\in\overline J}X^{*}_j=X^{*}_{\overline J}\big)dans la marge gauche, en travers.

On a donc (71)\quad \begin{cases} \Sigma_\emptyset=\emptyset,\quad \Sigma_{\lbrace j\rbrace}=\Sigma_j,\quad \Sigma_I=X\\ \Sigma_J=X_J\quad\text{si } J \text{ un idéal i.e. } J=\overline J \end{cases} les numéros (71) à (73) de cette page répètent ceux de la page 83 pour d'autres formules ; ils sont gardés tels qu'écrits.

, sauf erreur, on aura (72)\qquad \Sigma_J\simeq\varinjlim_{i,j\in J}\big(\Sigma_j,\ \Sigma_{ij},\ (s_{ij},b_{ij}:\Sigma_{ij}\rightrightarrows\Sigma_i,\Sigma_j)\big)\simeq\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(J)}\Sigma_d dans (72), s_{ij} va de \Sigma_{ij} dans \Sigma_i et b_{ij} dans \Sigma_j ; les deux flèches sont écrites l'une sous l'autre.

NB \Sigma_J (72) (\Sigma_j,\Sigma_{jk},s_{jk},b_{jk}) … j,k\in Ien travers dans la marge gauche ; lecture très incertaine.

(73)\qquad \Sigma_J\overset{h}{\underset{\sim}{\hookrightarrow}}X^{*}_J (équivalence d'homotopie)

On pose (74)\qquad \dot\Sigma_J=X_J\cap\big(\text{bord de }\underbrace{T_{\overline J\smallsetminus J}}_{\bigcup_{i\in\overline J\smallsetminus J}T_i}\big) =\bigcup_{\substack{i<j\\ i,j\in J}}\mathrm{Im}(\Sigma_{ij}\to\Sigma_j) =\varinjlim_{\substack{d\in\mathrm{Drap}\\ d \text{ ayant au moins 2 termes}}}\Sigma_d

En haut à gauche, « 39 » de sa main.

Soient J et L deux bandes disjointes, avec J\prec L, une bande I' telle que J soit un idéal de I', L un coidéal de I', I'\subset\widetilde J\cap\overline L (en fait I'=\widetilde J\cap\overline L). Soit J'=I'\smallsetminus L, donc dans I' on a une suite d'idéaux J\subset J'\subset I' (car J\cap L=\emptyset). Considérons ~~X^{*}_J\subset X^{*}_{J'}~~ le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small] X_J=X^{*}_{\overline J} \arrow[r, hook] & X_{J'}=X^{*}_{\overline{J'}} \arrow[r, hook] & X_{I'}=X^{*}_{\overline{I'}} \\ X_{J_0}=X^{*}_{J_0} \arrow[u, hook] \arrow[r, no head] & X_{J'_0}=X^{*}_{J'_0} \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & X_{I'_0}=X^{*}_{I'_0} \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

correspondant au diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small] \overline J \arrow[r, hook] & \overline{J'} \arrow[r, hook] & \overline{I'} \\ J_0 \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & J'_0 \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & I'_0 \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

où J_0=\overline J\smallsetminus J,\quad J'_0=\overline{J'}\smallsetminus J',\quad I'_0=\overline{I'}\smallsetminus I'. dans les deux diagrammes, les deux carrés portent la mention « cart » ; ses inclusions sont tracées comme un trait à crochet sans pointe, et les traits verticaux, qui se terminent en bas par un crochet, sont lus ici comme les inclusions X_{J_0}\hookrightarrow X_J, etc. ; le premier trait horizontal du bas est un simple trait. Les =X^{*}_{\ldots} du bas sont écrits sous les objets, avec un signe = vertical.

un pas vrai : que J\cap L=\emptyset on que J\prec L, on posait … \Sigma_{J,L}=\dot T_J\cap\Sigma_L … \dot T_J\overset{?}{=}\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(I)}\Sigma_d (d initial de d\in J) (=\Sigma_{J,I}) … \Sigma_{J,L}\overset{?}{=}\varinjlim\Sigma_d (d\in\mathrm{Drap}(J\cup L), initial de d\in J, \in L)longues notes en travers dans toute la marge gauche, en partie biffées ; seules les formules se lisent à peu près, avec des points d'interrogation de sa main au-dessus des signes =.

On a les inclusions \begin{array}{ccccc} \Sigma_J & \subset & \Sigma_{J'} & \subset & \Sigma_{I'}\\ \| & & \| & & \|{}^{?}\\ X_J\smallsetminus X_J\cap\overset{\circ}{T}_{I'_0} & & X_{J'}\smallsetminus X_{J'}\cap\overset{\circ}{T}_{I'_0} & & X_{I'}\smallsetminus X_{I'}\cap\overset{\circ}{T}_{I'_0} \end{array} le point d'interrogation à côté du dernier signe = est de sa main, mais sa lecture est incertaine.

Considérons donc le voisinage tubulaire de \Sigma_J dans \Sigma_{I'}

En haut à gauche, « 40 » de sa main.

(75)\qquad T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}=\Sigma_{I'}\cap\bigcup_{j\in J}T_j\quad\Big(=\Sigma_{I'}\cap\bigcup_{j\in\overline J}T_j\Big) sous le second signe =, relié à lui par un trait : « mais en général c'est différent… » ; le signe = est donc mis en doute par lui.

et considérons son bord (76)\qquad \dot T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}=\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(I')}(\Sigma_d)\qquad\big(\simeq\Sigma_{J,I'\smallsetminus J}\big) sous la limite : « premier terme de d est \in J, derniers termes sont dans I'\smallsetminus J ». La parenthèse de droite ajoute « avec la notation ci-dessous (77) ». Un essai d'écriture en \Sigma_{i_0,i_1,i_2} (i_0\in J, i_1,i_2\in I'\smallsetminus J) est barré de plusieurs traits à la suite de (\Sigma_d).

On pose (pour L=I'\smallsetminus J, ) (77)\quad \begin{cases} \Sigma_{J,L}=\dot T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}\smallsetminus\underbrace{\dot T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}\cap\underbrace{\overset{\circ}{T}_{J'}}_{\bigcup_{j\in J'}\overset{\circ}{T}_j}}_{\dot T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}\cap\bigcup_{j\in J'}\overset{\circ}{T}_j}\\[1ex] \qquad=\dot T_{\Sigma_J,\Sigma_{I'}}\cap\Sigma_L \end{cases} ici et dans (78)-(79), \Sigma_{J,L} porte un petit exposant biffé, qui n'a pas pu être lu. Dans \overset{\circ}{T}_{J'} et sous la réunion, une barre sur J' est biffée.

NB \Sigma_L=\Sigma_{I'}\smallsetminus\Sigma_{I'}\cap\overset{\circ}{T}_{J'}en travers dans la marge gauche, en face de (77).

On aura sauf erreur (78)\qquad \Sigma_{J,L}\simeq\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(J\cup L)}\Sigma_d sous la limite : « premier terme de d dans J, derniers termes dans L ».

On a (79)\qquad \begin{array}{ccc} \Sigma_{J,L} & \hookrightarrow & \Sigma_L\\ \downarrow & & \\ \Sigma_J & & \end{array} sous la flèche horizontale : « inclusion canonique » ; à gauche de la flèche verticale : « induite par \dot T_{\Sigma_J\Sigma_{I'}}\to\Sigma_J ».

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 40.

qui s'explicitent en termes de (78) en notant que tout drapeau de J\cup L intervenant dans (78) s'écrit de façon unique (80)\qquad (j_1\ldots j_p\,l_1\ldots l_q)\qquad j_1\ldots j_p\in J,\quad l_1\ldots l_q\in L,\quad p,q\ge 1 et on a des (81)\qquad \begin{array}{ccc} \Sigma_{j_1\ldots j_p l_1\ldots l_q} & \hookrightarrow & \Sigma_{l_1\ldots l_q}\\ \downarrow & & \\ \Sigma_{j_1\ldots j_p} & & \end{array} la page 87 passe de (79) à (80) et (81) sans lacune.

Remarque. Les \Sigma_{J,L} ont un sens (dans une catégorie isotopique ) indépendamment de rétractions coniques locales autour des X_i^{*}, du moins en théorie topologique modérée, ainsi que ces \Sigma_{J,L}\hookrightarrow\Sigma_L – et la description que j'en ai donnée ici est adaptée à ce cas – la structure \Sigma_{J,L}\to\Sigma_J par contre utilise les rétractions ~~structures côniques~~ locales. Quand on dispose de structures côniques locales (ce qui, en topologie modérée, et dans le cas équisingulier, est une donnée supplémentaire « »), il est plus commode,la parenthèse « (dans une catégorie isotopique …) » est ajoutée au-dessus de la ligne et entourée ; au-dessus de « côniques » biffé, deux mots, biffés aussi, n'ont pas été lus. Il écrit ici « rétractions coniques » sans accent, mais « structures côniques » avec. La page s'arrête sur « plus commode, » ; la suite ne se trouve pas à la page 88, qui ouvre le paragraphe 17.

En haut à gauche, « 41 » de sa main.

17. Récapitulation sur les \mathcal V_i, \mathcal V_{i_0\ldots i_n}, \mathcal V_J, \mathcal V_J^L, \mathcal V_{J,L}, et introduction des \mathcal V_{J_0,J_1,\ldots J_n}

Soit I un ens. ordonné. Une partie J de I est dite fermée si j\in J, i\le j\Rightarrow i\in J. Les parties fermées de I forment une ~~ens.~~ partie de \mathfrak P(I) stable par ~~intersection,~~ réunions ~~finies,~~ quelconques, et par ~~intersections~~ intersections quelconques, ce sont donc les fermés d'une topologie sur I, appelée la topologie inférieure. ~~Soit L=I\smallsetminus J,~~ On a donc pour une partie A de I (82)\qquad \overline A=\lbrace i\in I\mid \exists j\in A \text{ tel que } i\le j\rbrace (adhérence de A pour la top. inférieure de I)dans la phrase « par … intersections quelconques », le premier « intersection » biffé est en fin de ligne, le mot est récrit en surcharge ; « inférieure » est écrit au-dessus d'un mot biffé qui semble « coarctique » ou analogue, non lu.

Si Soit A\subset I, L=I\smallsetminus A, pour que J soit fermé, i.e. L soit ouvert, il faut et il suffit que L soit « cofermé » i.e. fermé pour la top. associée à l'ordre opposé à I celui de I, i.e. l\in L, ~~i\in\ldots~~ i\ge l\Rightarrow i\in L. L'adhérence d'une partie B de I pour la top. supérieure est notée \widetilde B : (83)\qquad \widetilde B=\lbrace i\in I\mid \exists j\in B \text{ tel que } i\ge j\rbrace ~~Donc~~ Ainsi \widetilde B est aussi le plus petit ouvert (pour la top. inf.) contenant B.« pour que J soit fermé » : il faut sans doute lire A ; la lettre est récrite. Dans « opposé à I celui de I », la lecture est incertaine.

~~Une~~ Pour une partie J de I, il revient au même qu'elle soit loc. fermée (i.e. intersection d'un fermé et d'un ouvert), ou qu'on ait J=\overline J\cap\widetilde J, ou encore

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 41.

que (j,k\in J et j\le i\le k)\Rightarrow i\in J. On dit ( j\le i\le k) aussi, dans ce cas, que J est une bande de I.

C'est par passage de I à I^{\circ}. Toute intersection de bandes est une bande. La plus petite bande contenant J est ~~\overline J\cap\widetilde J~~ . Soient J, K deux ~~bandes~~ parties de I, on écrit (85)\qquad J\prec K\ \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\ J\subset\overline K,\ K\subset\widetilde J (relation de domination). C'est une relation de préordre sur l'ens. \mathfrak P(I) des parties de I, la relation d'équivalence associée est (86)\qquad J\sim K\iff J\subset\underbrace{\overline K\cap\widetilde K}_{B(K)},\ K\subset\underbrace{\overline J\cap\widetilde J}_{B(J)}\iff B(J)=B(K) L'ens. ordonné quotient est l'ens. des bandes de I, ordonné par la relation de domination.

(84) \overline J\cap\widetilde J=\lbrace i\in I\mid \exists j,k\in J,\ j\le i\le k\rbrace\overset{\text{déf}}{=}B(J)en travers dans la marge gauche, en face des lignes « C'est … La plus petite bande contenant J est … » ; une accolade la rattache à cette phrase. C'est le seul lieu où figure le numéro (84).

Supposons maintenant que J et K soient des bandes, avec J\prec K, soit I' la bande engendrée par J\cup K, on a (87)\qquad I'=\lbrace i\in I\mid \exists j\in J,\ k\in K \text{ t.q. } j\le i\le k\rbrace=\widetilde J\cap\overline K et J est fermé dans I', K est ouvert dans I', et en fait K est dense dans I' et J codense dans I' i.e. I'=\overline K et I'\subset\widetilde J i.e. I'\subset\overline K\cap\widetilde J (on a égalité !). Inversement si \exists bande I' telle que J soit un fermé codense dans I', K un ouvert dense dans I', alors J et K sont des bandes, J\prec K, et on a I'=\widetilde J\cap\overline K.« I'=\overline K » : il faut sans doute lire I'\subset\overline K (le signe est écrit gras) ; lu ici tel quel.

En haut à gauche, « 42 » de sa main.

~~Une filtration ~~ordinaire~~ de type I~~ Soient X un espace, I un ens. ordonné. Une stratification ordinaire, de type I, de X, est une application I\longrightarrow\mathfrak P(X)\qquad i\longmapsto X_i satisfaisant les conditions

(Strat 1)les X_i fermés, la famille des X_i est un recouvrement loc. fini de X ; (Strat 2)i\le j\Rightarrow X_i\subset X_j i.e. i\mapsto X_i est croissante ; (Strat 3)\forall i,j\in I, on a X_i\cap X_j=\bigcup_{k\in\bar i\cap\bar j}X_k.

« les deux conditions » : il en énumère trois. En travers dans la marge gauche, en face des conditions : « les X_i les fermés » (lecture incertaine).

~~Posons les conditions~~ Pour tout drapeau d=(i_0<\cdots<i_n) de I, posons (88)\qquad X_d=X_{i_0}, alors ~~\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}\,I}~~ X_d forment un ~~syst.~~ espace semi-simplicial (pour des applications strictement croissantes sur les simplexes types) au-dessus de X, qui forme en un sens convenable une « résolution » semi-simpl. de X. Ainsi p. ex. pour tout faisceau abélien F sur X (89)\qquad H^{*}(X,F)\Longleftarrow E_2^{pq}=H^p\big(I,\ i\mapsto H^q(X_i,F)\big)=H^p_{ss}\big(\mathrm{Drap}(I),\ d\mapsto H^q(X_d,F)\big) Mais les X_i, X_d sont des espaces souvent compliqués, et la dévissage (89) souvent assez peu pratique, en remplaçant par les X_i^{*}, X_d^{*}=X^{*}_{i_0}, on pourrait

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 42.

(90)\qquad X_i^{*}=X_i\smallsetminus\bigcup_{j<i}X_j Les X_i^{*} non vides forment alors une partition de X. Les X_i^{*} sont les « strates ouvertes ».devant X_i, dans (90), un signe biffé.

On introduit parfois des axiomes supplémentaires :

(Strat 4)(fidélité) \forall i\in I, X_i^{*}\ne\emptyset.

Cet axiome a l'inconvénient de ne pas être stable par restriction à un ouvert de X. Il est parfois complété par l'axiome plus fort encore moins stable

(Strat 4 bis)(Canonicité de I) les X_i^{*} sont connexes non vides, i.e. (Strat 5)(densité) \forall i\in I, X_i^{*} dense dans X_i, i.e. X_i=\overline{X_i^{*}}, i.e. j<i\Rightarrow X_j rare dans X_i.

la ligne de (Strat 4 bis) s'achève sur « i.e. » et la ligne suivante porte (Strat 5) : on ne sait si (Strat 5) est l'explicitation de (Strat 4 bis) ou un axiome distinct. « (densité) \forall i\in I » et « i.e. X_i=\overline{X_i^{*}} » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

moyennant (Strat 5), la condition de fidélité équivaut : \forall i\in I, X_i\ne\emptyset (car X_i=\overline{X_i^{*}} donc X_i\ne\emptyset\Rightarrow X_i^{*}\ne\emptyset)en travers dans la marge gauche, en face de (Strat 5).

Cet axiome a l'avantage d'être stable par restriction à un ouvert. Mais on ne supposera (Strat 4) (voire Strat 4 bis) ou (Strat 5) que par mention expresse.

~~Stratifications de fidélité~~

On a pour tout i\in I (91)\qquad X_i=\bigcup_{j\in\bar i}X_j^{*}\qquad(\text{i.e. } j\le i) donc on aura, si i,j\in Jla suite de cette page est la page 93 (sans numéro, avec les formules (92) et (93)), et non la page 92 (feuillet 43, qui s'ouvre sur (94)) : les deux feuillets ont été numérisés dans l'ordre 92, 93, mais se lisent 91, 93, 92.

En haut à gauche, « 43 » de sa main.

~~X^{*}_J=X_{\overline J}~~

ligne barrée en tête de page. Ce feuillet fait suite à la page 93, où X^{*}_J est défini par (93).

Les compatibilité de J\mapsto X^{*}_J réunions et intersections (94)\qquad \bigcup_\alpha X^{*}_{J_\alpha}=X^{*}_{\bigcup_\alpha J_\alpha},\qquad \bigcap_\alpha X^{*}_{J_\alpha}=X^{*}_{\bigcap_\alpha J_\alpha} en particulier X^{*}_\emptyset=\emptyset,\qquad X^{*}_I=X. On a (95)\qquad X^{*}_J\subset X_J=X^{*}_{\overline J} un X biffé devant X^{*}_{\overline J} ; le signe d'inclusion est surchargé et ressemble à \in.

en particulier si J fermé, on a X_J=X^{*}_J, et X^{*}_J est ferméà droite de (95).

et (96)\qquad X^{*}_J=X^{*}_{\overline J}\smallsetminus X^{*}_{\underbrace{\scriptstyle\overline J\smallsetminus J}_{J_0}} Si J est une bande, J_0 est fermé donc X^{*}_J est loc. fermé.

(Strat 5), alors (97)\qquad \overline{X^{*}_J}=X_J\ (=X^{*}_{\overline J})=X^{*}_J\amalg X^{*}_{\overline J\smallsetminus J} à droite de (97) : « moyennant densité ».

~~\dot X^{*}_J\overset{\text{déf}}{=}\overline{X^{*}_J}\smallsetminus X^{*}_J~~

dans X^{*}_J le plus petit de X de la forme X^{*}_?, soit (97) X^{*}_J ouvert en travers dans la marge gauche, en face de (97) ; lecture très incertaine.

donc ~~\overline{X^{*}_J}~~ X^{*}_J est fermé i.e. égal à \overline{X^{*}_J} (=X^{*}_{\overline J}) ssi X^{*}_{\overline J\smallsetminus J}=\emptyset i.e. si les X_i^{*} (i\in\overline J\smallsetminus J) sont vides, i.e. (si strat. est fidèle) ssi \overline J\smallsetminus J=\emptyset i.e. J=\overline J i.e. J fermé.

Si L\subset I est ouvert, i.e. J=I\smallsetminus L fermé, alors (98)\qquad X^{*}_L=\complement_X X^{*}_J est ouvert (si L\subset I est ouvert)« ssi » est doublement souligné. Au début de la ligne « Si L\subset I est ouvert », une lettre biffée.

Sans numéro de sa main ; suite de la page 91 (voir la note en fin de page 91) : cette page précède, dans la lecture, le feuillet 43 (page 92).

X_i\subset X_j\iff\forall i'\in\bar i,\ X^{*}_{i'}\subset X_j=\bigcup_{i''\in\bar j}X^{*}_{i''} \iff \forall i'\in\bar i t.q. X^{*}_{i'}\ne\emptyset, on a i'\in\bar j i.e. i'\le j. Si la stratification est fidèle, alors on a donc (92)\qquad X_i\subset X_j\iff X_i^{*}\subset X_j\iff i\le j (si strat. fidèle)la première ligne se lit sur deux lignes, la seconde équivalence sous la première ; les indices sont surchargés.

ce qui implique que I\to\mathfrak P(X) est injective, et que la relation d'ordre de I est induite par la relation d'inclusion de \mathfrak P(X). ( peut identifier I à une partie de \mathfrak P(X)), et la donnée d'une str. fidèle équivaut à la donnée d'une famille loc. finie de parties fermées non vides de X, stable par l'intersection, satisfaisant la condition (Strat 3) les « strates fermées » ; de réunion X et la condition qu'aucune strate fermée n'est réunion de ses sous-strates strictement plus petites. Si on a Strat 5, cet axiome plus fort que les strates fermées.les ajouts interlinéaires de ce paragraphe sont reliés au texte par des traits ; leur place exacte est incertaine, de même que la fin du paragraphe.

Si J est une partie de I, on pose (93)\qquad \begin{cases} X^{*}_J=\bigcup_{j\in J}X^{*}_j & (\text{pas nécessairement fermé})\\ X_J=\bigcup_{j\in J}X_j & \text{fermé dans } X \end{cases} ~~Nous utiliserons les notations suivantes si J est une bande. Alors on a~~

NB J\mapsto X^{*}_J est compatible aux réunions, intersections : X^{*}_{J\cap K}=X^{*}_J\cap X^{*}_K, X^{*}_{J\cup K}=X^{*}_J\cup X^{*}_Knote encadrée, en travers dans le coin inférieur gauche, reliée par une flèche à (93) ; lecture incertaine dans le détail.

En haut à gauche, « 44 » de sa main : suite du feuillet 43 (page 92), qui s'arrête sur (98). Les numéros (94) à (97) de cette page répètent ceux des pages 92-93 pour d'autres formules ; ils sont gardés tels qu'écrits.

et moyennant densité et fidélité, la réciproque est vraie : X^{*}_L est ouvert ssi L est ouvert. Sous les mêmes hypothèses, pour que X^{*}_J soit loc. fermé i.e. \overline{X^{*}_J}\smallsetminus X^{*}_J =X^{*}_{\overline J\smallsetminus J} soit fermé, ~~i.e.~~ il faut et il suffit que \overline J\smallsetminus J soit fermé i.e. que J soit loct fermé i.e. soit une bande.

~~Soient les~~

Soit maintenant, pour tout i\in I, \mathcal V_i le pro-espace (94)\qquad \mathcal V_i=\mathcal V(X_i^{*},X) à droite : « donc X_i^{*}\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_i équivalence d'homotopie (X unibranche ) » ; lecture incertaine de la parenthèse.

et considérons \mathcal V_i\cap X_j^{*}, . (95)\qquad \mathcal V_i\cap X_j^{*}\ne\emptyset\iff\mathcal V_i\cap\overline{X_j^{*}}\ne\emptyset\iff X_i^{*}\cap\overline{X_j^{*}}\ne\emptyset \ \overset{(a)}{\Longrightarrow}\ X_i^{*}\cap X_j\ne\emptyset\ \overset{(b)}{\Longrightarrow}\ i\le j sous la flèche (a) : « équiv. si strat. dense » ; sous la flèche (b) : « équiv. si strat. fid. » (les lettres (a), (b) sont de l'éditeur). Sous le numéro (95), un signe biffé.

donc dans le cas d'une strat. dense et fidèle, \mathcal V_i\cap X_j^{*}\ne\emptyset\iff i\le j. .

On fera attention que cette relation n'est pas symétrique en (i,j), donc n'est pas de d'être « équivalente » : \mathcal V_i\cap\mathcal V_j\ne\emptyset. On a (96)\qquad \mathcal V_i\cap\mathcal V_j\ne\emptyset\ \overset{(c)}{\Longrightarrow}\ i \text{ et } j \text{ comparables i.e. } i\le j \text{ ou } j\le i et la réciproque (\Longleftarrow) si strat. fidèle.au-dessus de la flèche (c) : « si X métrisable, dans aux X » ; lecture très incertaine. La flèche réciproque, sous la première, porte « strat. fidèle ». Le numéro, écrit (95) ou (96), se lit mal.

On posera (97)\qquad \mathcal V_{ij}\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V_i\cap\mathcal V_j,

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 44.

en faisant attention que pour i et j incomparables, si X unibranche, on trouve donc \mathcal V_{ij}=\emptyset (dans par là fixés d'un coup !), et pour i=j, on trouve \mathcal V_{ij}=\mathcal V_{ii}=\mathcal V_i (dans par là besoin de l'introduire, \mathcal V_i suffit !), enfin si i et j sont distincts et comparables, comme \mathcal V_{ij}=\mathcal V_{ji}, il suffit d'introduire \mathcal V_{ij} pour i<j. Plus généralement, on introduit les (98)\qquad \mathcal V_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V_{i_0}\cap\cdots\cap\mathcal V_{i_n}, mais on se bornera en règle générale au cas où \lbrace i_0,\ldots,i_n\rbrace est un drapeau (sinon on trouve \emptyset) et où on fait les indices à jamais en ordre str. croissant i_0<i_1<\cdots<i_n pour éviter des redondances). Les pro-espaces{}^{*} sont les « pièces de construction » élémentaires, pour une construction des types d'homotopie, par \varinjlim (finies si I fini), compte tenu des morphismes semi-simpliciaux évidents entre les \mathcal V_d (d=(i_0,\ldots,i_n)\in\mathrm{Drap}(I)).(98) répète le numéro de la page 92 pour une autre formule. La phrase qui entoure les parenthèses se lit mal ; plusieurs mots n'ont été lus qu'avec doute.

{}^{*} (et de tels pro-espaces \mathcal V_{i_0,\ldots,i_n} )note de renvoi en travers dans la marge gauche, rattachée par l'astérisque à « pro-espaces » ; lecture incertaine.

En haut à gauche, « 45 » de sa main.

On pose, si Z est une partie de X, (99)\qquad \mathcal V^Z_{i_0,\ldots,i_n}=\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\cap Z\qquad(\hookrightarrow\mathcal V_{i_0\ldots i_n}) si Z est ~~fermé~~ une partie loct fermée qui contient X^{*}_{i_n} ~~X_{i_n}\smallsetminus\dot X_{i_0} (NB \dot X_{i_0}\overset{\text{déf}}{=}X_{i_0}\smallsetminus X^{*}_{i_0} =\bigcup_{i<i_0}X_i =\bigcup_{i<i_0}X^{*}_i)~~ (de sorte que X_{i_n}\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V^Z_{i_n} \overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_{i_n}), alors on a (100)\qquad \mathcal V^Z_{i_0\ldots i_n}\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\qquad(\text{équiv.\ d'homotopie}) (on suppose X unibranche…)la ligne barrée l'est d'un long trait. Au-dessus de « alors », un point d'interrogation. L'ajout entre parenthèses est écrit au-dessus de la ligne barrée ; son premier terme se lit mal (X_{i_n} ou X^{*}_{i_n}).

? à vérifier !dans la marge gauche, en face de (100) ; « vérifier » est souligné.

On va généraliser la définition des \mathcal V_i, \mathcal V_{i_0\ldots i_n} en des \mathcal V_J, \mathcal V_{J_0\ldots J_n}, où J est une bande de I, resp. J_0\prec\cdots\prec J_n un « drapeau de bandes » de I. On définit (101)\qquad \mathcal V_J=\mathcal V(X^{*}_J,X)=\bigcup_{j\in J}\mathcal V_j=\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(J)}\mathcal V_d à droite de la première égalité : « (pro-voisinage tubulaire) » (lecture incertaine du premier mot).

(NB la définition et les deux formules marchent encore pour J partie quelconque de I) (102)\qquad \mathcal V^Z_J=\mathcal V_J\cap Z On a donc (103)\qquad X^{*}_J\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_J\qquad(\text{équiv.\ d'hom.}) (104)\qquad X^{*}_J\overset{(h)}{\hookrightarrow}\underbrace{\mathcal V^Z_J}_{=\mathcal V(X^{*}_J,Z)}\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_J\qquad(\text{équiv.\ d'hom.})\ \text{si } Z\supset X_J « si » est doublement souligné ; sous \mathcal V^Z_J, un signe = vertical et « \mathcal V(X^{*}_J,Z) ».

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 45.

On aura (105)\qquad \mathcal V^Z_J=\bigcup_{j\in J}\mathcal V^Z_j=\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}(J)}\mathcal V^Z_d sous \mathcal V^Z_d, un signe \simeq vertical marqué (h) le relie à \mathcal V_d, avec la condition « si Z\supset X^{*}_J ». Plus bas, un mot biffé.

On pose, pour deux bandes J et L (106)\quad \begin{cases} \mathcal V_{J,L}=\mathcal V_J\cap\mathcal V_L, & \mathcal V^Z_{J,L}=\mathcal V_{J,L}\cap Z\\ \mathcal V^{L}_{J}=\mathcal V_J\cap X^{*}_L=\mathcal V_{J,L}\cap X^{*}_L=\mathcal V^{X^{*}_L}_{J,L} \end{cases} la seconde ligne : un exposant biffé après le L de \mathcal V^L_J ; sous \mathcal V_J\cap X^{*}_L, relié par un signe = vertical, « \mathcal V^{X^{*}_L}_J … notation (102) » ; sous le dernier terme, « avec Z=X^{*}_L », dont l'exposant X^{*}_L est récrit sur un Z.

Suggestion : \mathcal V^{\flat}_{J,L} au lieu de \mathcal V^L_J … \mathcal V^{\flat}_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V^{X^{*}_{i_n}}_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V_{i_0}\cap\ldots\cap\mathcal V_{i_{n-1}}\cap X^{*}_{i_n}dans la marge gauche, en face de (106), reliée à l'accolade par un trait. Le signe en exposant ressemble à un bémol ; lecture incertaine.

On aura donc (107)\qquad \mathcal V_{J,L}=\bigcup_{\substack{j\in J\\ l\in L}}\underbrace{\mathcal V_j\cap\mathcal V_l}_{\mathcal V_{j,l}} =\bigcup_{i\in J\cap L}\mathcal V_i\ \cup\bigcup_{\substack{j<l\\ j\in J,\ l\in L}}\mathcal V_{jl}\ \cup\bigcup_{\substack{l<j\\ j\in J,\ l\in L}}\mathcal V_{lj} après le premier membre, une réunion biffée, indexée par « j\in J, l\in L, j\le l ».

=\varinjlim_{\substack{d\in\mathrm{Drap}(J\cup L)\\ d\cap J\ne\emptyset,\ d\cap L\ne\emptyset}}\mathcal V_ddans la marge gauche, en face de la seconde ligne de (107).

~~\varinjlim_{d\in\mathrm{Drap}_{\ge 2}(J\cup L)}\mathcal V_d~~ donc si J\prec L, et J et L des bandes (108)\qquad \mathcal V_{J,L}=\bigcup_{i\in J\cap L}\mathcal V_i\ \cup\bigcup_{\substack{j<l\\ j\in J,\ l\in L}}\mathcal V_{jl} =\varinjlim_{\substack{d\in\mathrm{Drap}(J\cup L)\\ d\cap J\ne\emptyset,\ d\cap L\ne\emptyset}}\mathcal V_d la limite barrée l'est de plusieurs traits obliques ; son indice se lit mal.

NB ici les drapeaux qui interviennent i_0<\cdots<i_n, tous i_\alpha\in J\cup L, i_0\in J, i_n\in L, donc les i_\alpha qui sont \in J forment une segment initial, les i_\beta\in L un segment final{}^{*}en bas à droite, sous (108).

{}^{*} la réunion des deux segments … \lbrace i_0,\ldots,i_n\rbrace ; l'intersection \emptyset si J\cap L=\emptyset…en bas à gauche, rattachée à la note précédente par l'astérisque ; lecture incertaine.

En haut à gauche, « 46 » de sa main. Dernière page du dossier.

On aura de même, pour J et L quelconques (109)\qquad \mathcal V^Z_{J,L}=\varinjlim_{\substack{d\in\mathrm{Drap}(J\cup L)\\ d\cap J\ne\emptyset,\ d\cap L\ne\emptyset}}\mathcal V^Z_d sous \mathcal V^Z_d, une flèche verticale marquée \simeq (h) vers \mathcal V_d, avec la condition : « si J\prec L, J et L des bandes et si Z contient X^{*}_L, donc contient X^{*}_{i_n} si d=(i_0,\ldots,i_n) » (un mot biffé devant X^{*}_L).

donc si J,L des bandes et J\prec L, et si Z contient X^{*}_L, , (110)\qquad \mathcal V^Z_{J,L}\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_{J,L} devant « donc si », un mot biffé. Le J du second membre est surchargé.

en particulier (111)\qquad \mathcal V^L_J\ \Big(\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V^{X^{*}_L}_{J,L}\Big)\overset{(h)}{\hookrightarrow}\mathcal V_{J,L} Soient (112)\qquad J_0\prec J_1\prec\cdots\prec J_n des bandes, on pose (113)\qquad \mathcal V_{J_0,\ldots,J_n}=\mathcal V_{J_0}\cap\cdots\cap\mathcal V_{J_n} =\bigcup_{\substack{j_0\in J_0\\ \cdots\\ j_n\in J_n}}\mathcal V_{j_0 j_1\ldots j_n} =\varinjlim_{\substack{d\in\mathrm{Drap}(J_0\cup J_1\cup\cdots\cup J_n)\\ d\cap J_0\ne\emptyset,\ldots,\ d\cap J_n\ne\emptyset}}\mathcal V_d

au bas de la page, un bloc de formules, raturé en tous sens, n'a pas pu être lu. Le dossier s'arrête ici.