Sans numéro de sa main : suite du feuillet 28.

d) Les \Sigma_{j}\hookrightarrow\Sigma_{ji} sont bordants, et si x\in\Sigma_i, les dans les \Sigma_{ji}\ni x (pour j indexés j<i tels que l'on \Sigma. I_{<i,x}\overset{\text{déf}}{=}\lbrace j\in I\mid j<i,\ \Sigma_{ji}\ni x\rbrace, qui est totalement ordonné par b)) sont des sous-espaces-bords transversaux en x – i.e. les \Sigma_{ji} (j\in I_{<i}) sont des sous-espaces bords de \Sigma_i mutuellement transversaux.« \Sigma_{j}\hookrightarrow\Sigma_{ji} » tel quel ; on attend \Sigma_{ji}\hookrightarrow\Sigma_i.

e) \Sigma_{ij}\xrightarrow{s_{ij}}\Sigma_i est transversal p.r. au système transversal de morphismes bordants b_{ki} : \Sigma_{ki}\to\Sigma_i.

Si on pose \Sigma=\coprod_{i\in I}\Sigma_i,\qquad \Sigma^{*}(1)=\coprod_{\substack{i,j\in I\\ i<j}}\Sigma_{ij} et \underline s,\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma induits par les s_{ij}, b_{ij}, alors les conditions a) b) c) signifient que (\underline s,\underline b) : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\times\Sigma est inj. et a comme graphe image le graphe d'une relation d'ordre strict, \underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma immersion propre, et que l'application \varphi : \Sigma\to I est strictement croissante, et que pour tout x\in\Sigma, l'application induite \varphi : \Sigma_{<x}\to I_{<i} (i=\varphi(x)) est injective, que \Sigma_{<x} est tot. ordonné.Dans « \varphi : \Sigma\to I », \Sigma porte un exposant surchargé ; le I du but est gras. La fin de la page est serrée, les ajouts interlinéaires se lisent mal.

Sans numéro de sa main : suite du feuillet 29.

Cela posé Cette relation est évidemment symétrique réflexive, et elle est transitive grâce au fait que \pi_0(\Sigma(2))\longrightarrow\bigl(\pi_0(\Sigma(1)),\pi_0(\underline b)\bigr)\times_{\pi_0(\Sigma(0))}\bigl(\pi_0(\Sigma(1)),\pi_0(\underline s)\bigr) est surjective, ce qui est facile à prouver, grâce à l'hypothèse que \underline b est fibrant, par le« \underline b » tel quel ; l'hypothèse posée page 66 porte sur \underline s.

Lemme : Soit

un carré cartésien d'espaces top., avec f fibrant, alors \pi_0(X')\to\pi_0(X)\times_{\pi_0(Y)}\pi_0(Y') est surjectif.

Ceci posé, considérons la catégorie top. discrète associée à l'ens. préordonné I =\pi_0(\Sigma_0), que par abus de langage on désigne par I. On a alors un foncteur canonique de catégories topologiques canoniques \underline{\Sigma}\xrightarrow{\ f\ }\underline I qui est donc donné par des applications continues \left\lbrace \begin{array}{l} \Sigma(0)\xrightarrow{\ \varphi_0\ }I_0=I\\ \Sigma(1)\xrightarrow{\ \varphi_1\ }I_1=\text{graphe de la relation d'ordre}\\ \qquad=\text{image de }\pi_0(\Sigma_1)\text{ dans }\pi_0(\Sigma_0)\times\pi_0(\Sigma_0)=I\times I \end{array}\right. Sous « image de \pi_0(\Sigma_1) », une première fin « dans \pi_0(\Sigma_0)\times\Sigma_1 » est biffée.

i.e. des décompositions en sommes directes \Sigma(0)=\coprod_{i\in I}\Sigma_i,\qquad \Sigma(1)=\coprod_{\substack{i,j\in I\\ i\le j}}\Sigma_{ij} compatibles avec \underline s, \underline b, i.e. \underline s : \Sigma_{ij}\to\Sigma_i, \underline b : \Sigma_{ij}\to\Sigma_j, avec \Sigma(0)\xrightarrow{\ \delta\ }\Sigma(1)\qquad(\delta(x)=\mathrm{id}_x^{\underline{\Sigma}}) appliquant \Sigma_i dans \Sigma_{ii}, (ce qui indique déjà la compatibilité de \varphi=(\varphi_0,\varphi_1) avec la composition). De plus, \varphi a une

NB … … \Sigma_0 et \Sigma_1 …en travers dans la marge gauche ; illisible pour l'essentiel.

En haut à gauche, « 32 » de sa main.

14. Description heuristique des \Sigma_i, \Sigma_{ij}. (Peut se préciser considérablement dans un contexte de topologie modérée). Pour construire \Sigma_i, on prend un voisinage tubulaire « standard » T_{<i} de \dot X_i=\bigcup_{k<i}X_k, et on prend (42)\qquad \Sigma_i=X_i\setminus X_i\cap\mathring T_{<i}\qquad \mathring T_{<i}\overset{\text{déf}}{=}T_{<i}\setminus\dot T_{<i} . (NB Il suffirait en fait ici de prendre le voisinage tubulaire standard dans X_i lui-même, et de prendre donc \Sigma_i=X_i\setminus\mathring T_{<i}.)Le point sur \dot X_i surmonte une lettre surchargée. « (42) » est écrit en marge.

NB On prendra T_{<i}=\bigcup_{k<i}T_k, où T_k vois. tub. standard en travers dans la marge gauche, en face de (42) ; lecture incertaine.

Pour construire \Sigma_{ij}, on prend un voisinage tubulaire T'_{ij} de \Sigma_i dans X_j \mathring T_{<i}=X'_i (NB cette fois-ci il faut prendre d'abord prendre T_{<i} vois. tub. standard dans X, ou sinon, dans X_j). On prend T'_{ij} « suffisamment petit » p.r. au choix de T_{<i}. Puis on prend \dot T'_{ij}, et dans \dot T'_{ij} la trace des \bigcup_{i<k<j}X_k (donc c'est vide si j est un successeur de i), soit S\dot T'_{ij} (« partie singulière » de \dot T'_{ij}). On prend donc un voisinage tubulaire standard T(S\dot T'_{ij}) de de S\dot T'_{ij} dans \dot T'_{ij}, qu'on peut supposer induit par la réunion \bigcup T_k des voisinages tubulaires standard des X_k (i<k<j) dans X X_j (pris « assez petits » p.r. aux choix déjà faits de T_{<i} et T'_{ij}). On prendra aura alors (43)\qquad \Sigma_{ij}=\dot T'_{ij}\setminus\mathring T(S\dot T'_{ij}) Dans « dans X_j … \mathring T_{<i}=X'_i », une lettre surchargée précède \mathring T_{<i} ; l'indice i de X'_i est lu tel quel. En marge gauche de la seconde moitié de la page, un croquis : un disque avec son centre marqué, d'où partent trois traits horizontaux parallèles.

En haut à gauche, « 34 » de sa main.

15. Introduction des provoisinages : \mathcal V_{i_0\ldots i_n}, \mathcal V_J,Sur \mathcal V_J, et sur \mathcal V_i dans les deux lignes qui suivent, un petit exposant biffé (une étoile ?).

On désigne par \mathcal V_i provoisinage tubulaire (au sens des provoisinages) de X_i^{*}=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j dans X. Ainsi, (51)\qquad X_i^{*}\longrightarrow \mathcal V_i\qquad\text{équivalence d'homotopie des provoisinages.} Pour un drapeau Si i<j, on pose (52)\qquad \mathcal V_{ij}=\mathcal V_i\cap \mathcal V_j de sorte qu'on a

\bigl(X_i\xrightarrow[\approx]{(h)}\mathcal V_i\bigr)

NB \mathcal V_{ij} a un sens si i\neq j mais si i et j ne sont pas comparables, on a \mathcal V_i\cap \mathcal V_j=\emptyset, si i=j on a \mathcal V_{ii}=\mathcal V_i ( si les ouverts de X sont normaux, p.ex. X métrisable)à droite, en face de (52) et du diagramme ; lecture incertaine dans le détail.

Pour un \mathcal V_{ij}^{\ill{}}=\mathcal V_i\cap … équivalence d'homotopie ?en travers dans la marge gauche, en face de (52) ; lecture très incertaine.

On a : (53)\qquad X=\varinjlim\bigl(\mathcal V_i,\ \mathcal V_{ij},\ \rightrightarrows b_{ij},s_{ij}\bigr) X est obtenu par recollement des \mathcal V_i suivant les \mathcal V_{ij}.

On définit aussi, plus généralement, les (54)\qquad \mathcal V_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V_{i_0}\cap\cdots\cap \mathcal V_{i_n} pour un drapeau i_0<i_1<\cdots<i_n

NB L'expression a un sens pour (i_0,\ldots,i_n) quelconque, mais vide si ce n'est pas un drapeauen travers dans la marge droite, en face de (54) ; lecture incertaine.