Cote n° 150 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1981-1982
Édition de démonstration

61Sans numéro de sa main : suite du feuillet 26 (page 60). La page poursuit la « Scholie » de la page 60, interrompue à 3°) a) : elle commence par b).

b) L'application \[ \Sigma^{*}(2)\xrightarrow{\ (p_1\circ\underline s',\ p_1\circ\underline b')\ }\Sigma\times\Sigma \] se factorise par \[ \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ (p_1,\underline b)\ }\Sigma\times\Sigma \] en un morphisme \[ p_2 : \Sigma^{*}(2)\longrightarrow\Sigma^{*}(1) \] qui rend le carré

\begin{tikzcd}
\Sigma^{*}(2) \arrow[r, hook, "\underline b'"] \arrow[d, "p_2"'] & \Sigma^{*}(1) \arrow[d, "p_1"] \\
\Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "\underline b"] & \Sigma
\end{tikzcd}

cartésien, et \(p_1 : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) est transversal à l'[…] immersion-bord \(\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\).

NB Si \(\Sigma\to\) […] … \(\Sigma\times\Sigma\) … \(\Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma\) … il […] … \(\Sigma^{*}(1)\to\Sigma\times\Sigma\) … […]notes en travers dans la marge gauche, en face de b) ; une seconde, plus bas, commence par « cette condition … transversalité … » ; lecture très incertaine.

De façon équivalente, une telle structure est donnée par un espace topologique [ordonné] \(\Sigma\), muni d'une relation d'ordre \(x\le y\) satisfaisant les conditions suivantes dont le graphe est a) le graphe \(\Sigma^{*}(1)\) \(\Sigma(1)\) de cette relation est fermé dans \(\Sigma\times\Sigma\), et \(\Sigma(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma\) […] immersion […]. b) Si \(\Sigma^{*}(1)\) est le graphe de la relation d'ordre [stricte], \(\Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma\) est une immersion [bordante] propre (donc les […] \((=\Sigma^{*}(1)_x)\)). a) Si \(x\in\Sigma\), \(\Sigma_{<x}\) est un ens. (fini) tot. ordonné.Toute la moitié inférieure de la page, à partir de « De façon équivalente », est encadrée et barrée de longues diagonales ; lecture incertaine dans le détail. Elle est reprise, sous une autre forme, en tête de la page 62.

62En haut à gauche, « 27 » de sa main.

c) Si \((z_\alpha)_{\alpha\in I}\) est l'une des éléments de \(\Sigma_{<x}=\underline b^{-1}(\lbrace x\rbrace)\) (où \(\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\)), les […]Ces deux lignes sont barrées de deux diagonales et encadrées.

a) Pour tout \(x\in\Sigma\), l'ens. \(\Sigma_{<x}\) (fini, … \(\simeq\underline b^{-1}(\lbrace x\rbrace)\) [tot^t] ordonné

b) Si \(\Sigma^{*}(1)\) est le graphe de la relation \(x<y\), et \(\underline s,\underline b : \Sigma^{*}(1)\rightrightarrows\Sigma\) sont les applications source et but, l'application \(\underline b\) est une immersion […] propre (donc les \(\Sigma_{<x}=\underline b^{-1}(\lbrace x\rbrace)\) sont finis)

c) Si \((z_\alpha)_{\alpha\in I}\) sont les éléments de \(\Sigma_{<x}=\underline b^{-1}(\lbrace x\rbrace)\), alors [la famille] des […] germes [en \(x\)] de sous-espaces bordants [de \(\Sigma\)], images par \(\underline b\) des \((\Sigma^{*}(1),z_\alpha)\), est [une famille] […] [transversale] de sous-espaces bordants.

d) \(\underline s : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) est transversal p.r. à l'immersion bordante \(\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\). […]La lettre devant « : » est grasse et surchargée (\(\underline s\) ou \(p_1\)) ; le but est écrit \(\Sigma^{*}\), avec une étoile qu'on ne sait pas lire autrement.

au sens […] d'une […] … pour les \(z_\alpha\in\Sigma^{*}(1)\) … \(\in\Sigma^{*}\) …note en travers dans la marge gauche, en face de d) ; lecture très incertaine.

1°) Cas équisingulier : \(\underline s : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) fibrant [(propre)]

2°) Cas non singulier : \(\Sigma\) est une variété à bord, dont le bord est \(\underline b(\Sigma^{*}(1))\).

3°) Cas équisingulier-non singulier : \(\underline s : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) est [propre] fibrant, à fibres des variétés à bord, et le fibré des bords est l'image de \(\Sigma^{*}(2)\) par le morphisme \(\Sigma^{*}(2)\xrightarrow{\underline s'}\Sigma^{*}(1)\) […] [donné] par \((x<y<z)\longmapsto(x<z)\).

c'est sans doute conséquence de la conjonction des deux conditions 1°), 2°)en travers dans la marge gauche, en face de 3°).

63Sans numéro de sa main : suite du feuillet 27.

Les morphismes les plus importants dans la situation apparaissent dans le diagramme [hexagonal suivant]

(40)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "\underline b"] \arrow[dl, "\underline s"'] & \Sigma & \\
\Sigma & \Sigma^{*}(2) \arrow[u, hook, "\underline s'"] \arrow[rr, hook, "\underline b'"] \arrow[d, "p_2"'] & & \Sigma^{*}(1) \arrow[ul, hook, "\underline b"'] \arrow[dl, "\underline s"] \\
 & \Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "\underline b"] \arrow[ul, "\underline s"] & \Sigma &
\end{tikzcd}

où les flèches marquées \(\hookrightarrow\) (en fait \(\underline b\), […], \(\underline b'\), \(\underline s'\)) sont des immersions bordantes [(propres)], et les flèches marquées \(\longrightarrow\) (en fait, \(\underline s\) et \(p_2\)) sont (dans le cas équisingulier) fibrantes et propres (voir, de plus : fibres variétés à bord, dont le bord est dans le cas de \(\underline s : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) l'image de \(\Sigma^{*}(2)\xrightarrow{\underline s'}\Sigma^{*}(1)\) [i.e. l'ens. des \((x<y)\) tels que \(y\) ne soit pas successeur de \(x\)]). On fera attention que les applications fibrantes \(\underline s\), \(p_2\) n'ont aucune [rien] de surjectif – l'image de \(\underline s\) est formée des \(x\in\Sigma\) qui ne sont pas maximaux, celle de \(p_2\) est formée des \((x<y)\) tels que \(y\) ne soit pas maximal.

dans le cas de \(p_2 : \Sigma^{*}(2)\to\Sigma^{*}(1)\), le fibré des bords est l'image de \(\Sigma^{*}(3)\) …en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

64En haut à gauche, « 28 » de sa main.

Récapitulation

12.Numéro souligné, écrit au-dessus et à gauche du titre, au début de la note en travers de la marge. Récapitulation (des données de déploiement, sur un ens. ordonné \(I\), fini disons…)

a) Espaces \(\Sigma_i\) (\(i\in I\))

b) Espaces \(\Sigma_{ij}\) (\(i<j\), \(i,j\in I\))

c) Applications \(\Sigma_{ij}\xrightarrow{s_{ij}}\Sigma_i\), \(\Sigma_{ij}\xrightarrow{b_{ij}}\Sigma_j\)

C'est la structure […] envisagée dans les Scholie (p. 26/27) plus une application strictement croissante \(\Sigma\to I\) … injection … \(\Sigma_{<x}\) … \(I_{<i}\) …longue note en travers dans la marge gauche, en face du titre et de a)-c) ; « p. 26/27 » renvoie à ses feuillets 26 et 27 (pages 60 et 62) ; lecture incertaine dans le détail.

Conditions

a) \(\Sigma_{ij}\longrightarrow\Sigma_j\) […] plongement fermé bordant

[On identifie \(\Sigma_{ij}\) à un sous-espace fermé de \(\Sigma_j\) par \(b_{ij}\)]entre crochets, à droite de a).

b) \(\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}=\emptyset\) si \(i,j\) non comparables […] (NB \(i,j<k\))

c) Pour \(i<j<k\) posons \(\Sigma_{ijk}=\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}\subset\Sigma_k\). On a alors dans \(\Sigma_{jk}\) : \[ \Sigma_{ijk}=b_{ij}^{-1}(\Sigma_{ij}) \] Égalité soulignée et encadrée ; un premier membre et un « \(\Sigma_{ik}\cap\) » sont biffés. L'indice de \(b^{-1}\) est lu tel quel ; on attendrait \(s_{jk}^{-1}\).

NB La condition b) équivaut à dire que dans l'ens. ordonné \(\Sigma=\coprod\Sigma_i\), les \(\Sigma_{<x}\) sont tot^t ordonnésen travers dans la marge gauche, en face de b) et c).

On a donc, pour \(i<j<k\), un diagramme commutatif hexagonal

(41)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \Sigma_{ik} \arrow[r, hook, "b_{ik}"] \arrow[dl, "s_{ik}"'] & \Sigma_k & \\
\Sigma_i & \Sigma_{ijk} \arrow[u, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[d] & & \Sigma_{jk} \arrow[ul, hook, "b_{jk}"'] \arrow[dl, "s_{jk}"] \\
 & \Sigma_{ij} \arrow[r, hook, "b_{ij}"] \arrow[ul, "s_{ij}"] & \Sigma_j &
\end{tikzcd}

où les flèches \(\hookrightarrow\) sont des [cf. plus bas] immersions fermées (bordantes), et les flèches \(\longrightarrow\) sont des applications qui seront fibrantes et propres dans le cas équisingulier.

65Sans numéro de sa main : suite du feuillet 28.

d) Les \(\Sigma_{j}\hookrightarrow\Sigma_{ji}\) sont bordants, et si \(x\in\Sigma_i\), les dans les \(\Sigma_{ji}\ni x\) (pour \(j\) [indexés] \(j<i\) tels que l'on \(\Sigma\). \(I_{<i,x}\overset{\text{déf}}{=}\lbrace j\in I\mid j<i,\ \Sigma_{ji}\ni x\rbrace\), qui est totalement ordonné par b)) sont des sous-espaces-bords transversaux en \(x\) – i.e. les \(\Sigma_{ji}\) (\(j\in I_{<i}\)) sont des sous-espaces bords de \(\Sigma_i\) mutuellement transversaux.« \(\Sigma_{j}\hookrightarrow\Sigma_{ji}\) » tel quel ; on attend \(\Sigma_{ji}\hookrightarrow\Sigma_i\).

e) \(\Sigma_{ij}\xrightarrow{s_{ij}}\Sigma_i\) est transversal p.r. au système transversal de morphismes bordants \(b_{ki} : \Sigma_{ki}\to\Sigma_i\).

Si on pose \[ \Sigma=\coprod_{i\in I}\Sigma_i,\qquad \Sigma^{*}(1)=\coprod_{\substack{i,j\in I\\ i<j}}\Sigma_{ij} \] et \(\underline s,\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) induits par les \(s_{ij}\), \(b_{ij}\), alors les conditions a) b) c) signifient que \((\underline s,\underline b) : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\times\Sigma\) est inj. et a comme graphe [image] le graphe d'une relation d'ordre strict, \(\underline b : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\) [immersion] propre, et que l'application [[…]] \(\varphi : \Sigma\to I\) est strictement croissante, et que pour tout \(x\in\Sigma\), l'application induite \(\varphi : \Sigma_{<x}\to I_{<i}\) (\(i=\varphi(x)\)) est [injective], […] que \(\Sigma_{<x}\) est tot. ordonné.Dans « \(\varphi : \Sigma\to I\) », \(\Sigma\) porte un exposant surchargé ; le \(I\) du but est gras. La fin de la page est serrée, les ajouts interlinéaires se lisent mal.

66En haut à gauche, « 29 » de sa main.

Enfin, la condition d) signifie que cette structure [d'espace top. ordonné] (satisfait la condition c) du Scholie (p. 27)).« p. 27 » : son feuillet 27, page 62.

Cas équisingulier : les \(s_{ij}\) sont fibrants propres

Cas non singulier : les \(\Sigma_i\) sont des variétés topologiques, le bord de \(\Sigma_i\) est la réunion des \(\Sigma_{ji}\) pour \(j<i\) (NB il en suffit […]

On voudra que les \(\Sigma_{ij}\) soient des variétés à bord, par la réunion des […] \(\Sigma_{kij}\) … mais […] des conditions […] …en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

Cas équisingulier-non singulier \(s_{ij} : \Sigma_{ij}\to\Sigma_i\) est une fibration propre, à fibres des variétés à bord, le fibré des bords est réunion des \(\Sigma_{ijk}\) pour \(i<j<k\).L'indice \(ij\) de la source est surchargé, et le « \(j\) » de « \(i<j<k\) » est biffé puis récrit.

Une digression

13.Numéro lu « 13. » (le 1 et le 3 accolés pourraient se lire « B. ») ; le précédent est 12. (page 64), les suivants 14. (page 72) et 15. (page 76). Une digression. Revenons au cas de \(\Sigma\), \(\Sigma^{*}(1)\subset\Sigma\times\Sigma\), sans données de \(I\). Plus généralement, considérons une catégorie topologique \[ \begin{aligned} \underline{\Sigma}=\Bigl(&\Sigma(0)=\mathrm{Ob}(\underline{\Sigma}),\ \Sigma(1)=\mathrm{Fl}(\underline{\Sigma}),\ \Sigma(1)\overset{\underline s}{\underset{\underline b}{\rightrightarrows}}\Sigma(0),\\ &(\Sigma(1),\underline b)\times_{\Sigma(0)}(\Sigma(1),\underline s)\overset{\text{déf}}{\Longrightarrow}\Sigma(2)\xrightarrow[\text{compos.\ des flèches}]{\text{compl.}}\Sigma(1)\Bigr), \end{aligned} \] et supposons que \(\underline s : \Sigma(1)\to\Sigma(0)\) soit fibrant. Je dis qu'alors \(\pi_0(\Sigma(0))=I(\underline{\Sigma})\) est un ens. [pré]ordonné, en prenant comme graphe de la relation d'ordre l'image de \[ \pi_0(\Sigma(1))\xrightarrow{\ \pi_0(\underline s,\underline b)\ }\pi_0(\Sigma(0)\times\Sigma(0))\simeq\pi_0(\Sigma(0))\times\pi_0(\Sigma(0)) \] \(\underline{\Sigma}\) est souligné deux fois. L'étiquette au-dessus de la flèche vers \(\Sigma(1)\) se lit « compl. » ou « compo. », sous la flèche « composition des flèches ». Le « pré » d'« ens. préordonné » est écrit au-dessus d'un mot biffé. Le \(\simeq\) final est écrit vertical, sous \(\pi_0(\Sigma(0)\times\Sigma(0))\).

67Sans numéro de sa main : suite du feuillet 29.

Cela posé Cette relation est évidemment symétrique [réflexive], et elle est transitive grâce au fait que \[ \pi_0(\Sigma(2))\longrightarrow\bigl(\pi_0(\Sigma(1)),\pi_0(\underline b)\bigr)\times_{\pi_0(\Sigma(0))}\bigl(\pi_0(\Sigma(1)),\pi_0(\underline s)\bigr) \] est surjective, ce qui est facile à prouver, grâce à l'hypothèse que \(\underline b\) est fibrant, par le« \(\underline b\) » tel quel ; l'hypothèse posée page 66 porte sur \(\underline s\).

Lemme : Soit

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "f'"'] \arrow[d, "g'"] \\
Y & Y' \arrow[l, "g"]
\end{tikzcd}

un carré cartésien d'espaces top., avec \(f\) fibrant, alors \(\pi_0(X')\to\pi_0(X)\times_{\pi_0(Y)}\pi_0(Y')\) est surjectif.

Ceci posé, considérons la catégorie top. discrète associée à l'ens. [pré]ordonné \(I\) [\(=\pi_0(\Sigma_0)\)], que par abus de langage [[…]] on désigne par \(I\). On a alors un foncteur [canonique] de catégories topologiques canoniques \[ \underline{\Sigma}\xrightarrow{\ f\ }\underline I \] qui est donc donné par des applications continues \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \Sigma(0)\xrightarrow{\ \varphi_0\ }I_0=I\\ \Sigma(1)\xrightarrow{\ \varphi_1\ }I_1=\text{graphe de la relation d'ordre}\\ \qquad=\text{image de }\pi_0(\Sigma_1)\text{ dans }\pi_0(\Sigma_0)\times\pi_0(\Sigma_0)=I\times I \end{array}\right. \] Sous « image de \(\pi_0(\Sigma_1)\) », une première fin « dans \(\pi_0(\Sigma_0)\times\Sigma_1\) » est biffée.

i.e. des décompositions en sommes directes \[ \Sigma(0)=\coprod_{i\in I}\Sigma_i,\qquad \Sigma(1)=\coprod_{\substack{i,j\in I\\ i\le j}}\Sigma_{ij} \] compatibles avec \(\underline s\), \(\underline b\), i.e. \(\underline s : \Sigma_{ij}\to\Sigma_i\), \(\underline b : \Sigma_{ij}\to\Sigma_j\), avec \[ \Sigma(0)\xrightarrow{\ \delta\ }\Sigma(1)\qquad(\delta(x)=\mathrm{id}_x^{\underline{\Sigma}}) \] appliquant \(\Sigma_i\) dans \(\Sigma_{ii}\), […] (ce qui indique déjà la compatibilité de \(\varphi=(\varphi_0,\varphi_1)\) avec la composition). De plus, \(\varphi\) a une

NB … […] … \(\Sigma_0\) et \(\Sigma_1\) …en travers dans la marge gauche ; illisible pour l'essentiel.

68En haut à gauche, « 30 » de sa main.

propriété universelle évidente pour les morphismes de la catégories top. \(\underline{\Sigma}\) dans un ens. [pré]ordonné.

§ Supposons maintenant que \(\underline{\Sigma}\) satisfait les conditions : toute flèche inversible de \(\underline{\Sigma}\) est une identité, a) l'application \(\delta : \Sigma_0\to\Sigma_1\) est un plongement ouvert et fermé. Ceci est le cas si p.ex. \(\underline b : \Sigma_1\to\Sigma_0\) est une immersion propre …)Le début des conditions est encadré et barré de diagonales ; le « § » est de sa main.

a) \(\Sigma(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma(0)\) est une immersion propre (\(\Rightarrow\delta : \Sigma(0)\to\Sigma(1)\) est une immersion ouverte et fermée, de sorte que \(\Sigma(1)=\delta(\Sigma(0))\amalg\) \[ \Sigma(1)\simeq\delta(\Sigma(0))\amalg\Sigma^{*}(1)\ ) \]

b) \(\Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\underline b|\Sigma^{*}(1)}\Sigma(0)\) est une immersion à images localement rares i.e. : intérieurs vides…

c) Toute composante connexe de \(\Sigma(0)\) est de dim. finie.

Alors on trouve que \[ \Sigma^{*}_{ii}\overset{\text{déf}}{=}\Sigma_{ii}\cap\Sigma^{*}(1)=\emptyset , \] pour des raisons de dimension (car \(\Sigma^{*}_{ii}\) est fibré sur \(\Sigma_i\), donc s'il est non vide, de \(\dim\ge\dim\Sigma_i\), mais comme \(\Sigma^{*}_{ii}\to\Sigma_i\) est une immers. rare, on doit avoir aussi \(\dim\Sigma^{*}_{ii}<\dim\Sigma_i\), donc \(\Sigma^{*}_{ii}\) est vide), i.e. \[ \boxed{\Sigma_i\simeq\Sigma_{ii}} \] : toute flèche dans entre deux objets éléments de \(\Sigma(0)\) qui sont dans une même composante connexe est est une identité.

69Sans numéro de sa main : suite du feuillet 30.

Supposons en plus

d) toute flèche inversible de \(\underline{\Sigma}\) est une identité (p.ex. \(\underline{\Sigma}\) est une catégorie définie par un ens. ordonné).

Alors on conclut aisément que l'ens. préordonné \(I\) est ordonné, et que toute flèche de \(\underline{\Sigma}\) qui n'est pas une identité i.e. \(u\in\Sigma^{*}(1)\), a son image dans \(I(1)\) qui n'est pas une identité ; i.e. si \(\underline{\Sigma}\) est associé à un [espace top.] ens. ord. ordonné [\(\Sigma=\Sigma(0)\)], cela signifie que \(\Sigma\to I\) est strictement croissante.

Revenons alors à un catég ens. ordonné topologique \[ \underline{\Sigma}=\bigl(\Sigma(0),\ \Sigma(1)=\delta(\Sigma(0))\amalg\Sigma^{*}(1)\bigr),\qquad \Sigma(1)\subset\Sigma\times\Sigma , \] satisfaisant aux conditions a) b) c) et 1°) [au moins] de la page (27) (correspondant au déploiement d'une stratification localement équisingulière), et tel que les comp. connexes de \(\Sigma\) soient [[…]] de dim. finie. Considérons alors la factorisation [[…]] canonique \[ \underline{\Sigma}\longrightarrow\underline I\qquad\text{avec } I=\pi_0(\Sigma), \] et supposons de plus que pour \(i<j\) (\(i,j\in I\)) \[ \Sigma_{ij}\longrightarrow\Sigma_j\quad\text{soit \emph{mono} i.e.\ plongement fermé.} \] On est alors sous les conditions de p. 28, données a) b) c) \(\bigl(\Sigma_i,\ \Sigma_{ij},\ s_{ij},b_{ij} : \Sigma_{ij}\rightrightarrows\Sigma_i,\Sigma_j\bigr)\)« page (27) », « p. 28 » : ses feuillets 27 et 28 (pages 62 et 64). Sous \(\Sigma(1)\), un « \(\cap\) » vertical renvoie à \(\Sigma\times\Sigma\).

70En haut à gauche, « 31 » de sa main.

satisfaisant les conditions a) c), d) de p. 28.

Montrons aussi la condition b) de p. 28 \[ \Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}=\emptyset\quad\text{si } i,j<k,\ i,j\ \text{non comparables.} \] Si on avait \(x\in\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}\subset\Sigma_k\), donc on aurait deux éléments \(x_i\) et \(x_j\) de \(\Sigma\), au-dessus de \(i\) et \(j\) respectivement, qui sont \(<x\) (au-dessus de \(k\)), donc (comme \(\Sigma_{<x}\) est tot^t ordonné) on aurait \(x\) et \(y\) seraient comparables, donc aussi \(i\) et \(j\), absurde.

Conséquence Les structures « déploiements équisinguliers de stratifications, indexées par \(I\) », décrites dans la p. 28, équivalent à la structure suivante :

(a)lettre cerclée ; de même (b) plus bas. Un […] espace top. ordonné \(\Sigma\), satisfaisant aux conditions a) b) c) et 1°) de la page 27, et de plus : la condition […] que, pour tout posant \(\widetilde I=\pi_0(\Sigma)\), on ait, pour \(i,j\in\widetilde I\), \(i<j\), que le morphisme [bordant] \(\Sigma_{ij}\xrightarrow{b_{ij}}\Sigma_j\) soit une immersion propre mono

(b) Une application strictement croissante (pas nécessairement surjective) \[ \widetilde I\longrightarrow I \]

Si les […] […] des \(\Sigma_i\) […] de dim. finie…en travers dans la marge gauche, en face de (a) ; lecture incertaine.

71Sans numéro de sa main : suite du feuillet 31.

Remarque Dans deux contextes différents\({}^{*}\) de « déploiement » de […] stratification, on a rencontré des espaces topologiques ordonnés \(\Sigma\), satisfaisant les conditions suivantes

\({}^{*}\) en deux sens assez différentsen travers dans la marge gauche, rattachée par l'astérisque ; lecture incertaine.

a) \(\Sigma(1)\xrightarrow{\underline s}\Sigma\) […] \(=\Sigma(0)\) est une fibration propre

b) \(\Sigma(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma(0)\) est une immersion propre

c) Si \(x,y\in\Sigma\) sont dans une même composante connexe, alors \(x\le y\Rightarrow x=y\) (i.e. si \(x,y\in\Sigma\), \(x<y\), alors \(x,y\) sont dans des composantes connexes différentes […])

conséquence de a) b) si on suppose que \(\Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\underline b}\Sigma\) est […] et que les comp. connexes de \(\Sigma\) […] de dim. finie…en travers dans la marge gauche, en face de c) ; lecture incertaine.

Dans un contexte de déploiement d'une stratification de type \(I\) disons, par \(\Sigma=\coprod X_i\), \[ \Sigma_1=\coprod_{i,j\ \text{tels que}\ X_i\subset X_j}X_i\ ), \] \(\underline s\) est étale, bien entendu, et rien de plus spécial pour \(\underline b\). Dans le cas de la théorie présente [développée] ici des déploiements [de stratifications équisingulières], \(\underline b\) est bordant, et rien de spécial sur \(\underline s\). Dans l'un et l'autre cas, on peut appliquer la sortie des \(\widetilde I=\pi_0(\Sigma)\) – dans le premier cas, cela revient à remplacer la stratification par les \(X_i\) par celle par les comp. connexes des \(X_i\) (donnant un \(\widetilde I\)) ; dans le deuxième, […] itou pour les \[ X_i^{*}=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j . \]

Description heuristique des \(\Sigma_i\), \(\Sigma_{ij}\)

72En haut à gauche, « 32 » de sa main.

14. Description heuristique des \(\Sigma_i\), \(\Sigma_{ij}\). (Peut se préciser considérablement dans un contexte de topologie modérée). Pour construire \(\Sigma_i\), on prend un voisinage tubulaire [« standard » \(T_{<i}\)] […] de \(\dot X_i=\bigcup_{k<i}X_k\), et on prend \[ (42)\qquad \Sigma_i=X_i\setminus X_i\cap\mathring T_{<i}\qquad \mathring T_{<i}\overset{\text{déf}}{=}T_{<i}\setminus\dot T_{<i} . \] (NB Il suffirait en fait ici de prendre le voisinage tubulaire standard dans \(X_i\) lui-même, et de prendre donc \(\Sigma_i=X_i\setminus\mathring T_{<i}\).)Le point sur \(\dot X_i\) surmonte une lettre surchargée. « (42) » est écrit en marge.

NB On prendra \(T_{<i}=\bigcup_{k<i}T_k\), où \(T_k\) vois. tub. standard […]en travers dans la marge gauche, en face de (42) ; lecture incertaine.

Pour construire \(\Sigma_{ij}\), on prend un voisinage tubulaire \(T'_{ij}\) de \(\Sigma_i\) dans \(X_j\) […] \(\mathring T_{<i}=X'_i\) (NB cette fois-ci il faut prendre d'abord prendre \(T_{<i}\) vois. tub. standard dans \(X\), ou sinon, dans \(X_j\)). On prend \(T'_{ij}\) « suffisamment petit » p.r. au choix de \(T_{<i}\). Puis on prend \(\dot T'_{ij}\), et dans \(\dot T'_{ij}\) la trace des \(\bigcup_{i<k<j}X_k\) (donc c'est vide si \(j\) est un successeur de \(i\)), soit \(S\dot T'_{ij}\) (« partie singulière » de \(\dot T'_{ij}\)). On prend donc un voisinage tubulaire standard [\(T(S\dot T'_{ij})\)] de de \(S\dot T'_{ij}\) dans \(\dot T'_{ij}\), qu'on peut supposer induit par la réunion [\(\bigcup T_k\)] des voisinages tubulaires standard des \(X_k\) (\(i<k<j\)) dans \(X\) […] \(X_j\) (pris « assez petits » p.r. aux choix déjà faits de \(T_{<i}\) et \(T'_{ij}\)). On prendra [aura] alors \[ (43)\qquad \Sigma_{ij}=\dot T'_{ij}\setminus\mathring T(S\dot T'_{ij}) \] Dans « dans \(X_j\) … \(\mathring T_{<i}=X'_i\) », une lettre surchargée précède \(\mathring T_{<i}\) ; l'indice \(i\) de \(X'_i\) est lu tel quel. En marge gauche de la seconde moitié de la page, un croquis : un disque avec son centre marqué, d'où partent trois traits horizontaux parallèles.

73Sans numéro de sa main : suite du feuillet 32.

de sorte qu'on ait \[ \Sigma_{ij}\subset\Sigma_j \] à condition d'avoir ajusté de façon évidente les choix qui donnent \(\Sigma_i\), \(\Sigma_j\).

Cette construction donne

Pour ajuster ces choix, de façon à avoir, étant \(i<j<k\), des \(\Sigma_{ik}\) et \(\Sigma_{jk}\) dans \(\Sigma_k\) en relation de la forme position relative correcte, telle que leur intersection soit la somme des \(\Sigma_{ijk}\), on introduit comme plus haut une « fonction dimension » sur \(I\) ; qui soit \(I_0=\ldots\) \[ I\xrightarrow{\ \delta\ }\mathbb N \] qui soit strictement croissante, et on [[…]] comme on l'a vu plus haut), et on construit

(posant \(X_{(d)}=\bigcup_{\delta(i)\le d}X_i\)) \(T_0\) voisinage tubulaire standard de \(X_{(0)}\), \(T_1\) voisinage tubulaire standard de \(X_{(1)}\setminus\mathring T_0\) dans \(X^{(1)}=X\setminus\dot X_{(0)}\)Passage réuni par une accolade et traversé d'un long trait ondulé : lu comme biffé. Une formule en fin de ligne, sur \(X_{(0)}\), est surchargée de hachures.

On pose, pour \(d\in\mathbb Z\) \[ (44)\qquad X_{(d)}=\bigcup_{\substack{i\in I\\ \delta(i)\le d}}X_i \] d'où \[ (45)\qquad X_{-1}=\emptyset\subset X_{(0)}\subset X_{(1)}\subset\cdots\subset X_{(N)}=X\qquad\text{si } N=\sup_{i\in I}\delta(i) \] On construit par récurrence une filtration décroissante par des fermés \[ (46)\qquad X^{(0)}=X\supset X^{(1)}\supset\cdots\supset X^{(N+1)}=\emptyset \] avec \[ (47)\qquad X^{(i)}\subset X\setminus X_{i-1} \] i.e. \(X^{(1)}\subset X\setminus X_{(0)}\), \(X^{(2)}\subset X-X_{(1)}\), …, \(X^{(N+1)}\subset X\setminus X_{(N)}=X-X=\emptyset\).

74En haut à gauche, « 33 » de sa main.

On choisit un voisinage tubulaire standard \(T_{(0)}\) de \(X_{(0)}\) dans \(X\), et on pose \[ (48)\quad\left\lbrace \begin{array}{l} X^{(1)}=X\setminus\mathring T_{(0)}\\[4pt] X^{(1)}_{(d)}=X^{(1)}\cap X_{(d)}\qquad(=\emptyset\ \text{si}\ d\le0)\\[4pt] X^{(1)}_i=X^{(1)}\cap X_i\qquad\text{de sorte que}\quad X^{(1)}_{(d)}=\bigcup_{\substack{i\in I\\ \delta(i)\le d}}X^{(1)}\cap X_i \end{array}\right. \] On pose [prend] alors un voisinage tubulaire standard de standard \(T_1\) de \(X_{(1)}\) dans \(X\) (petit par rapport au choix de \(T_0\)), soit \(T^{(1)}_1\) sa trace dans \(X^{(1)}\), qui est un vois. tub. standard de \(X^{(1)}_{(1)}\) dans \(X^{(1)}\). On pose \[ (49)\qquad X^{(2)}=X^{(1)}\setminus\mathring T^{(1)}_{(1)}=X^{(1)}\cap(X\setminus\mathring T_1)=X\setminus(\mathring T_0\cup\mathring T_1) \] Les deux numéros sont biffés en marge ; ils sont repris plus bas pour d'autres formules. Dans la dernière égalité, \(X\) est écrit par-dessus une autre lettre.

On prend un voisinage tubulaire \(T_d\) de \(X_{(d)}\) dans \(X\), petit p.r. aux vois. tubulaires \(T_{d'}\) (\(d'<d\)) déjà construits, et on pose \[ (48)\qquad X^{(d)}=X-\bigcup_{\alpha<d}\mathring T_\alpha . \]

Ops \(T_d=\bigcup_{\substack{i\in I\\ \delta(i)\le d}}T_i\), où \(T_i\) vois. tub. de \(X_i^{*}\) dans \(X\)en travers dans la marge gauche, en face de (48) ; « Ops » tel quel ; lecture incertaine.

Ceci posé, on pose, pour \(i\in I\), \(d=\delta(i)\) \[ (49)\qquad \begin{aligned} \Sigma_i=X_i\cap X_{(d)}&=X_i\setminus\bigcup_{\alpha<d}X_i\cap\mathring T_\alpha\\ &=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_i\cap\mathring T_j\ \subset X_i^{*} \end{aligned} \] « \(X_{(d)}\) » tel quel (on attend \(X^{(d)}\)). En fin de première ligne, un « \(\cap X_i\) » est biffé ; sous « \(j<i\) », un trait ondulé.

75Sans numéro de sa main : suite du feuillet 33.

Si \(i<j\), \(d=\delta(i)\), \(d'=\delta(j)\) \[ (49)\qquad \Sigma_{ij}=\dot T_i\cap\Sigma_j\subset\Sigma_j \] Numéro (49) tel quel : il vient de servir, page 74. Après le signe \(=\), un premier membre illisible est biffé.

et pour un drapeau \(i_0<i_1<\cdots<i_n\) \[ (50)\qquad \begin{aligned} \Sigma_{i_0\ldots i_n}&=\dot T_{i_0}\cap\dot T_{i_1}\cap\cdots\cap\dot T_{i_{n-1}}\cap\Sigma_{i_n}\\ &=\Sigma_{i_0i_n}\cap\Sigma_{i_1i_n}\cap\cdots\cap\Sigma_{i_{n-1}i_n} \end{aligned} \] On a [de façon évidente] les morphismes de transition [entre les \(\Sigma_{i_0\ldots i_n}\)] pour les morphismes inclusions cofinales de drapeaux, mais non pour des inclusions quelconques, dont la définition dépend des choix de rétractions des \[ T_i^{(d)}=T_i\cap X^{(d)}\qquad(d=\delta(i)) \] sur \(X_i^{(d)}=X_i\cap X^{(d)}\), ce qui donne alors \[ \Sigma_{ij}\subset\dot T_i^{(d)}\subset T_i^{(d)}\longrightarrow X_i^{(d)}=\Sigma_i \] la structure complète \(\bigl(\Sigma_i,\ (\Sigma_{ij}),\ \Sigma_{ij}\rightrightarrows\Sigma_j,\Sigma_i\bigr)\).

(Mais il faut des hyp. d'équisingularité sur la stratification des \(X_i\), et une condition [de locale trivialité] [sur les] rétractions \(T_i^{(d)}\to X_i\) i.e. \(T^{(d)}_{(d)}\to X^{(d)}_{(d)}\), pour que les \(\Sigma_{ij}\to\Sigma_i\) soient des fibrations)

…

Introduction des provoisinages

76En haut à gauche, « 34 » de sa main.

15. Introduction des provoisinages : \(\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\), \(\mathcal V_J\),Sur \(\mathcal V_J\), et sur \(\mathcal V_i\) dans les deux lignes qui suivent, un petit exposant biffé (une étoile ?).

On désigne par \(\mathcal V_i\) […] [pro]voisinage tubulaire (au sens des provoisinages) de \(X_i^{*}=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j\) dans \(X\). Ainsi, […] \[ (51)\qquad X_i^{*}\longrightarrow \mathcal V_i\qquad\text{équivalence d'homotopie des provoisinages.} \] Pour un drapeau Si \(i<j\), on pose \[ (52)\qquad \mathcal V_{ij}=\mathcal V_i\cap \mathcal V_j \] de sorte qu'on a

\begin{tikzcd}
\mathcal V_{ij} \arrow[r, "b_{ij}"] \arrow[d, hook, "s_{ij}"'] & \mathcal V_j \\
\mathcal V_i &
\end{tikzcd}

\(\bigl(X_i\xrightarrow[\approx]{(h)}\mathcal V_i\bigr)\)

NB \(\mathcal V_{ij}\) a un sens si \(i\neq j\) mais si \(i\) et \(j\) ne sont pas comparables, on a \(\mathcal V_i\cap \mathcal V_j=\emptyset\), si \(i=j\) on a \(\mathcal V_{ii}=\mathcal V_i\) ([…] si les ouverts de \(X\) sont normaux, p.ex. \(X\) métrisable)à droite, en face de (52) et du diagramme ; lecture incertaine dans le détail.

Pour un […] \(\mathcal V_{ij}^{\ill{}}=\mathcal V_i\cap\) … équivalence d'homotopie ?en travers dans la marge gauche, en face de (52) ; lecture très incertaine.

On a : \[ (53)\qquad X=\varinjlim\bigl(\mathcal V_i,\ \mathcal V_{ij},\ \rightrightarrows b_{ij},s_{ij}\bigr) \] \(X\) est obtenu par recollement des \(\mathcal V_i\) suivant les \(\mathcal V_{ij}\).

On définit aussi, plus généralement, les \[ (54)\qquad \mathcal V_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V_{i_0}\cap\cdots\cap \mathcal V_{i_n} \] pour un drapeau \(i_0<i_1<\cdots<i_n\)

NB L'expression a un sens pour \((i_0,\ldots,i_n)\) quelconque, mais […] vide si ce n'est pas un drapeauen travers dans la marge droite, en face de (54) ; lecture incertaine.

77Sans numéro de sa main : suite du feuillet 34.

c'est un système inductif […] provoisinages sur l'ens. ordonné opposé de celui des drapeaux de \(I\) (avec l'inclusion), dont la limite est égale \(\approx X\).

Soit \(Z\) […] une partie ([loc^t] fermée) de \(X\), et posons, pour […] un \(i\) tel que \(X_i\subset X\) \[ (55)\qquad \mathcal V_i^{Z}=\mathcal V_i\cap Z\qquad\text{provoisinage tubulaire de } X_i^{*} \text{ dans } Z \] et on a \[ (56)\qquad X_i^{*}\hookrightarrow \mathcal V_i^{Z}\hookrightarrow \mathcal V_i\qquad\text{équivalences d'homotopie} \] Plus généralement, on pose (si \(X_{i_n}\subset Z\)) \[ \mathcal V^{Z}_{i_0\ldots i_n}=\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\cap Z=\mathcal V^{Z}_{i_0}\cap\cdots\cap \mathcal V^{Z}_{i_n} \] C'est aussi le \(\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\) relatif : la […] stratification de \(Z\) induite par les \(Z_i\overset{\text{déf}}{=}X_i\cap Z\), pour le système d'indices \(i_0\ldots i_n\). On a \[ (57)\qquad \mathcal V^{Z}_{i_0\ldots i_n}\hookrightarrow \mathcal V_{i_0\ldots i_n}\qquad\text{équiv.\ d'homotopie} \] Soit \(J\) une partie de \(I\), posons \[ (58)\qquad X_J^{*}=\bigcup_{i\in J}X_i^{*},\qquad X_J=\bigcup_{i\in J}X_i \]

78En haut à gauche, « 35 » de sa main.

Si \(J\) est un « idéal » i.e. \(i\in J\), \(j<i\Rightarrow j\in J\), alors on a \(X_J^{*}=X_J\), donc \(X_J^{*}\) est fermé.

Si \(J\) est une « bande » i.e. si \(i,j\in J\), \(i<j\), alors \(\forall k\in I\), \((i<k<j\Rightarrow k\in J)\), ou ce qui revient au même, si \(J'=\widetilde J\setminus J\) est un « idéal », où \(\widetilde J\) est l'idéal engendré par \(J\), alors on a \[ (59)\qquad X_J^{*}=X_{\widetilde J}\setminus X_{J'} \] différence de deux parties fermées, c'est une partie loc^t fermée de \(X\), dont les \[ X_i^{J}\overset{\text{déf}}{=}X_i\cap X_J^{*}\qquad(i\in J) \] forment une stratification.Sous (59), une formule biffée. Posons \[ (60)\qquad \mathcal V^{J}_{j_0\ldots j_n}=\mathcal V_{j_0\ldots j_n}\cap X_J^{*}=\mathcal V^{Z}_{j_0\ldots j_n}\qquad\text{pour } Z=X_J^{*} \] pour \(j_0,\ldots,j_n\in J\), \(j_0<j_1<\cdots<j_n\), […] ce sont alors les \(\mathcal V_{i_0\ldots i_n}\) associés à la stratification de type \(J\) de \(X_J^{*}=Z\). On a donc \[ (61)\qquad \begin{aligned} X_J^{*}&\simeq\varinjlim_{i,j\in J}\bigl(\mathcal V_i^{J},\mathcal V_{ij}^{J}\bigr)\\ &\simeq\varinjlim_{(i_0<\cdots<i_n)\in\mathrm{Drap}(J)}\bigl(\mathcal V^{J}_{i_0\ldots i_n}\bigr) \end{aligned} \] On s'intéresse : la situation des

79Sans numéro de sa main : suite du feuillet 35. Toute la page est barrée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins, et elle est donnée entière. La page 80 reprend ses numéros (62) et (63).

deux bandes \(J\subset J'\), d'où \[ X_J^{*}\subset X_{J'}^{*} \] et on prendra le [pro]voisinage tubulaire de \(X_J^{*}\) dans \(X_{J'}^{*}\), on trouve \[ \mathcal V_{X_J^{*},X_{J'}^{*}}=\varinjlim_{i,j\in J}\bigl(\mathcal V_i^{J'},\mathcal V_{ij}^{J'}\bigr)\qquad\Bigl(X_J^{*}=\varinjlim_{i,j\in J}\bigl(\mathcal V_i^{J},\mathcal V_{ij}^{J}\bigr)\Bigr) \] La formule entre parenthèses est entourée ; une flèche la relie, par « (62) », au premier membre. Un mot biffé sous « \(i,j\in J\) ».

[de plus] Ops \(J'=I\), [\(J\) un] idéal dans \(J'=I\), (NB quitte à remplacer \(I\) par un intervalle, \(J_0=\widetilde J\setminus J\) ; […] [on est ramené au cas où] \(I\supset J_0\subset J_1\subset J_2\) trois idéaux… \(J=J_1\setminus J_0\), \(J'=J_2\setminus J_0\) …).

Soit maintenant, de plus, \(K\subset I\) une partie de \(I\), et considérons […] \(\mathcal V_J^{J'}\setminus X_K\cap \mathcal V_J^{J'}=\) \[ \mathcal V^{J'}_{J;K}=\mathcal V(X_J^{*},X_{J'}^{*})\setminus X_K\cap \mathcal V(X_J^{*},X_{J'}^{*}) \] Notons que pour \(k\in I\) \[ (63)\qquad \mathcal V^{J'}_{J;k}\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V^{J'}_{J}\cap X_k=\emptyset\ \Longleftrightarrow\ X_J^{*}\cap X_k=\emptyset \] \(\Longleftrightarrow\ \forall i\in I,\ i\le k\Rightarrow i\notin J\)

et comme \(X_k\) est la réunion (disjointe) des \(X_i^{*}\) pour \(i\le k\), la relation (63) est conséquence de celle que \(i\le k\Rightarrow i\notin J\) i.e. […]

On pourrait […] (62) le \(\mathcal V_J^{J'}\). On \(\mathcal V_J^{J'}=\mathcal V_J^{J'_0}\) … \(J_0\subset J'\) … idéal … la condition \(X_J^{*}\) … fermé dans \(X_{J'}^{*}\) …notes en travers dans la marge gauche, sur toute la hauteur ; lecture très incertaine.

80En haut à gauche, « 36 » de sa main.

Le cas des \(\mathcal V\)

Posons, pour une bande \(J\) \[ (62)\qquad \begin{aligned} \mathcal V_J&=\text{provoisinage tubulaire de } X_J^{*} \text{ dans } X\\ &=\bigcup_{i\in J}\mathcal V_i=\varinjlim_{i,j\in J}\bigl(\mathcal V_i,\mathcal V_{ij}\bigr) \end{aligned} \] Le numéro (62), surchargé, reprend celui de la page 79, barrée.

On s'intéresse aux provoisinages de la forme \[ (63)\qquad \mathcal V_J^{L}\overset{\text{déf}}{=}\mathcal V_J\cap X_L^{*}, \] où \(J\), \(L\) sont deux bandes. Par exemple, on retrouve les \(X_J^{*}\) comme \[ (64)\qquad \mathcal V_J^{J}=X_J^{*} \]

Ex \(J\subset\hat J'\) inclusion de bandes, d'où \(X_J^{*}\subset X_{J'}^{*}\), on prend \(\mathcal V(X_J^{*},X_{J'}^{*})\setminus \mathcal V(X_J^{*},X_{J'}^{*})\cap X_K^{*}\) [\(K\) (idéal de \(J'\))]à droite de (63), relié par un trait à « la forme ».

provoisinage de […] second ordre entre \(X_J^{*}\) et \(X_L^{*}\) : \(\mathcal V_J^{L}\hookrightarrow X_L^{*}\hookrightarrow \mathcal V_L\) …en travers dans la marge gauche, en face de (63)-(64), suivie de griffonnages biffés ; lecture incertaine.

Soit \(L_0\) l'ens. des \(l\in L\) qui majorent un élément de \(J\), et \(J_0\) l'ens. des \(j\in J\) qui minorent un élément de \(L\), on a alors \[ (65)\qquad \mathcal V_J^{L}=\mathcal V_J^{L_0}=\mathcal V_{J_0}^{L}=\mathcal V_{J_0}^{L_0} \] i.e. \(J_0\), \(L_0\) sont des sous-bandes de \(J\), \(L\) respectivement (\(J_0\) est un idéal de \(J\), \(L_0\) un coidéal de \(L\)) telles que tout élément de \(J_0\) soit majoré par un élément de \(L_0\), tout élément de \(L_0\) majore un élément de \(J_0\). On est ainsi ramené au cas de bandes dans la relation de domination \[ (66)\qquad J\prec L \] qui signifie que tout élément de \(J\) est majoré par un élément de \(L\), tout élément de \(L\) majore un élément de \(J\).

donc