Fonds Grothendieck, cote n° 150, pages 41–60

Sans numéro de sa main : suite du feuillet 16 (page 40), dont la dernière phrase, « La donnée des \Sigma_{ijk}\to\Sigma_{ik} revient : », se poursuit ici. Le « (3) » renvoie à la condition (3) de la page 39. Écriture rapide ; la prose de liaison se lit mal, les formules passent.

une application composition, et l'axiome : formules pour avoir une extension des \Sigma_i\Sigma_j en des \Sigma_{i_0\cdots i_n}, et que cette composition (qui est compatible avec les unités, manifestement) par construction) soit une structure de \mathcal{M}-catégorie* . Donc la donnée de \Sigma satisfaisant (voir p. 15') (3) équivaut : celle d'une Catégorie dans \mathcal{M}, au-dessus de la catégorie I_{\mathcal{M}} : \Sigma_{\mathcal{M}}\longrightarrow I_{\mathcal{M}} .

* en en fait, c'est une catégorie ordonnée de \mathcal{M}, et \Sigma_{i_0\cdots i_n} s'identifie à l'ensemble des x_{i_0}\le x_{i_1}\le\cdots\le x_{i_n} de \Sigma_{*}, au-dessus des drapeaux i_0,\ldots,i_n de I. Donc pour vérifier (3) \Sigma_{i_0\cdots i_n}=\Sigma_{i_0i_1}\cap\cdots\cap\Sigma_{i_0i_n}\ \ill{} il suffit de le vérifier pour n=2, i.e. \Sigma_{ijk}=\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}, ce qui signifie que \forall z\in\Sigma_k, \Sigma_{*}\to I induit \Sigma_{*}(z)\hookrightarrow I(k),\qquad \Sigma_{*}(z)=\lbrace x\in\Sigma_{*}\mid x\le z\rbrace,\quad I(k)=\lbrace i\in I\mid i\le k\rbrace, ce qui est tel que l'on \Sigma_{*}(z) induit par celui de I(k). Longue note en travers dans la marge gauche, montant en diagonale, appelée par l'astérisque après « \mathcal{M}-catégorie » ; lecture d'ensemble incertaine, les formules sont sûres. Le renvoi « p. 15' », ajouté en travers devant « (3) », vise son feuillet 15 (page 38), où sont posées les conditions (1), (2), (3).

À l'aide de ces données, je vais construire un espace stratifié de type I, (je n'utilise en fait les conditions ~~la des~~ ~~hypothèses~~ (1) ~~de (3)~~, la condition (2) n'intervenant que sous la forme plus faible que \Sigma_{i_0\cdots i_n}\longrightarrow\Sigma_{i_0\cdots\hat\imath_p\cdots i_n}\qquad(p\neq n) est un plongement. (ceci en vue des constructions relatives de structures coniques d'espaces stratifiés)la marque au-dessus de l'indice i_p est lue comme un chapeau (indice omis).

Je considère pour ceci les couples d,d' (d\subset d') de deux drapeaux tels que d soit cofinal dans d'. (Pour d' =\lbrace i_0,\ldots,i_n\rbrace, ~~de longueur n~~ il y a donc 2^n choix possibles pour d).

En haut à gauche, « 17 » de sa main : numéro de feuillet de sa suite.

On considère pour cette donnée équivalente : celle d'une suite d'inclusions de drapeaux d_1\subset d_2\subset\cdots\subset d_p\subset d_{p+1}=d'\qquad(p=\mathrm{long.}\,d') dont chacun est un segment initial strict du suivant. d= \lbrace i_0,\ldots\rbrace d_1,\ldots,d_pCeci donne donc une suite de projections \Sigma_{d'}=\Sigma_{d_{p+1}}\longrightarrow\Sigma_{d_p}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\Sigma_{d_2}\longrightarrow\Sigma_{d_1} dont on considère le mapping-cylindre simultané que je désigne par C_\Sigma(d_1,d_2,\ldots,d_{p+1}) (d_{p+1}=d'), ou par C_{\Sigma,d,d'} . On veut définir les morphismes de transitions naturels entre les C_{\Sigma,d,d'}.On construction finalement …note en travers dans la marge gauche, en partie soulignée ; lecture très incertaine.

10. Reprenons la description (dans le cas \mathcal{M}=(\mathrm{Top}), pour fixer les idées – c'était le contexte adopté au début de ces notes).

(10)numéro cerclé, dans la marge. Alors on a un espace topologique (24)\qquad \Sigma_{*}, muni d'une relation d'ordre \Sigma_{**}\subset\Sigma_{*}\times\Sigma_{*} ayant un graphe fermé, et tel que \mathrm{pr}_1=\mathrm{but} \Sigma_{**}\to\Sigma_{*} soit un ~~plongement~~ – plusle numéro de la formule, encadré, se lit aussi bien 29 que 24 ; la suite (25), (26), (27) de la page 43 fait lire 24.

Suite de la page 42, sans numéro de sa main.

précisément, on a de plus une application croissante et continue (25)\qquad \Sigma_{*}\longrightarrow I dans la marge, devant le numéro, « (2°) ». \Big(\text{d'où}\quad \Sigma_{*}=\coprod_{i\in I}\Sigma_i,\qquad \Sigma_{**}=\coprod_{i\le j}\Sigma_{ij}\Big) sous la seconde égalité, une ligne biffée : ~~\Sigma_{ii}=\Sigma_i~~.

condition (a)« a » cerclé ; le passage qui suit est marqué d'un trait vertical. et on suppose que \forall i,j (i\le j), l'application but \Sigma_{ij}\longrightarrow\Sigma_j\qquad\text{« cylindrique »} est un ~~immersion~~ plongement fermé (– ce qui implique (par injectivité) que (25*) a la propriété que si z\in\Sigma_{*} est au-dessus de j et si i\le j, alors il existe au plus un y\in\Sigma_{*} au-dessus de i, avec y\le z.\Sigma_{*}^{\le z}\to I^{\le j} injectif

Cela implique aussi : (26)\qquad \Sigma_{ii}=\Sigma_i .

condition (b)le passage est marqué d'un trait vertical. Car ~~de plus, que pour z\in~~ ~~(27) i<j<k,~~ \Sigma(n) = ens. des drapeaux stricts de longueur n de \Sigma ~~\Sigma_i~~

et (27)\qquad \begin{array}{ccc} \Sigma(n) & \longrightarrow & \mathrm{Drap}_n(I)\quad(\text{drapeaux stricts})\\ \Vert & & \\ \displaystyle\coprod_{\substack{(i_0<\cdots<i_n)\ \text{drapeau strict}\\ \text{de } I \text{ de longueur } n}}\Sigma_{i_0\cdots i_n} & & \end{array} \qquad\text{OK} revenir à la condition ()devant « \mathrm{Drap}_n(I) », un \Sigma biffé ; « OK » est écrit à gauche de la réunion disjointe.

En haut à gauche, « 18 » de sa main.

condition (b)« b » cerclé. On suppose, pour i<j<k, (28)\qquad \Sigma_{ijk}=\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}\qquad(\text{a priori } \Sigma_{ijk}\subset\Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}) ce qui signifie aussi que \forall z\in\Sigma_{*} au-dessus de k\in I (i.e. z\in\Sigma_k), l'hom. déf. \Sigma_{*}\longrightarrow I\quad(\text{\uncertain{qui} \add{\uncertain{est} \ill{}} induit une application } \Sigma_{*\le z}\hookrightarrow I_{\le k})\ \text{induit} (29)\qquad (\Sigma_{*})_{\le z}\hookrightarrow I_{\le k} l'ordre de (\Sigma_{*})_{\le z} est induit par celui de I_{\le k}.

Considérons que si d,d' sont des drapeaux tels que d''=d\cup d' soit un drapeau et que d,d' , i.e. d,d'\subset , alors \Sigma_{d''}=\Sigma_d\cap\Sigma_{d'} dans \Sigma_i … injectionnote en travers dans la marge gauche, à hauteur de (28)–(29) ; lecture incertaine.

On suppose de plus que si i,j\le k dans I n'ont pas de minorant, alors \Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}=\emptyset condition (c)« c » cerclé ; à côté, « Gros ». (si i,j ont un minimum l, alors \Sigma_{ik}\cap\Sigma_{jk}\subset\ \ill{}\ ) Implique que si d,d' deux drapeaux et si , alors \Sigma_d\cap\Sigma_{d'}=\emptysetnote en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

(b) et (c) impliquent que, pour une famille (d_\alpha) de drapeaux ayant même point final k, les \Sigma_{d_\alpha}\subset\Sigma_k, \bigcap\Sigma_{d_\alpha} est vide si \bigcup d_\alpha n'est pas un drapeau, et =\Sigma_{\bigcup d_\alpha} sinonnote en travers dans la marge droite, « b » cerclé ; lecture incertaine.

On suppose enfin que le système des \Sigma_{ik} (pour k fixé, i\in I_{<k}), qui sont des sous-espaces ~~bordants~~ bordants de \Sigma_k, sont transversaux, et (28), ce qui signifie (grâce à : (30)) que si d est un drapeau d=(i_0,\ldots,i_n,k), alors les \Sigma_{i_0,k},\Sigma_{i_1,k},\ldots,\Sigma_{i_n,k} dans \Sigma_k sont des sous-espaces bordants qui se coupent transversalement le long de \Sigma_d=\Sigma_{i_0\cdots i_n,k}.

condition (d)« d » cerclé ; en travers dans la marge, une note : « implique que les \Sigma_d d' \Sigma_{d'}\subset\Sigma_d bordant dans \Sigma_d », lecture très incertaine.

Suite de la page 44, sans numéro de sa main.

Enfin, dans le cas d'un espace stratifié équisingulier, on suppose que les \Sigma_{ij}\longrightarrow\Sigma_i \Sigma_{d'}\to\Sigma_d ajout interlinéaire en partie barré.sont des fibrations (i.e. \Sigma_{**}\xrightarrow{\ s\ }\Sigma_{*} est une fibration), et dans le cas des strates non singulières, on suppose que les \Sigma_i sont des variétés à bord (i.e. \Sigma_{*} variété à bord) – ce qui implique que les \Sigma_{ji} ~~(j<i)~~ toujours distinctes) sont des sous-variétés à bord du ~~\Sigma_i~~ bord \dot\Sigma_i de \Sigma_i, et les \Sigma_{ji} (j<i) le long de codim. 1 forment une stratification cylindrique des variétés à bord – plus généralement les \Sigma_d=\Sigma_{i_1\cdots i_n} sont alors des variétés à bord et les \Sigma_{d'} (d'\supsetneq d, d cofinal dans d')* forment une stratification cylindrique du bord \dot\Sigma_d de \Sigma_d.

condition (e) « équisingularité ». Cela implique que \Sigma_d\to\Sigma_{\ill{}} fibrations, si d\subset d' condition (f) « non-singularité »notes en travers dans la marge gauche, en face des deux hypothèses.

* et l'ensemble des d' s'identifie à \widehat{\mathrm{Drap}}(I_{<i_1})\times\widehat{\mathrm{Drap}}(I_{i_1<\cdot<i_2})\times\cdots\times\widehat{\mathrm{Drap}}(\ill{}), où \widehat{\mathrm{Drap}} désigne les (y compris ) … il s'identifie à \mathrm{Drap}(I_{<i_1}\amalg I_{i_1<\cdot<i_2}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n})note en travers dans la marge gauche, reliée par une flèche à l'astérisque du texte ; lecture incertaine hors des formules.

Dans le cas équisingulier-non singulier, on suppose de plus (e) et (f), que les fibres des fibrations \Sigma_{ij}\longrightarrow\Sigma_i sont des variétés à bord – le fibré sur \Sigma_i des bords des fibres est réunion stratifié par les \Sigma_d, où d parcourt les drapeaux qui contiennent strictement \lbrace i,j\rbrace et ont i comme premier ~~élément ; produit \mathrm{Drap}(I_{i<\cdot<j})\times\mathrm{Drap}(I_{>j})~~sous les deux facteurs biffés, les légendes « drapeaux cot. stricts » et « drapeaux », également biffées ; la phrase continue page 46.,

En haut à gauche, « 19 » de sa main. Les six premières lignes sont biffées de trois longs traits obliques ; elles continuent le passage biffé de la fin de la page 45.

privé de (\emptyset,\emptyset) (qui correspond au drapeau \lbrace i,j\rbrace lui-même – si on ne l'excluait pas, on aurait une stratification de \Sigma_{(i,j)} lui-même, non de son bord. Pour que \Sigma_{ij}\to\Sigma_i soit lisse, il f. et s. donc que j soit un successeur de i, et que j soit maximal dans Idans la marge, en face de « lisse », « (hyp. C. I) » souligné, également sous les traits.

élément (pour être fibré sur \Sigma_i) et j comme dernier (pour être contenus dans \Sigma_j) d'où \simeq\mathrm{Drap}(I_{i<\cdot<j}). Il est vide ssi j est un successeur de i, qui est donc la condition pour que \Sigma_{ij}\to\Sigma_i soit lisse.

Plus généralement, si d\subsetneq d' est un segment initial, la fibration \Sigma_{d'}\to\Sigma_d est à fibres des variétés à bord, et le fibré des bords est stratifié cylindriquement par les \Sigma_{d''}, où d''\supsetneq d' (pour que \Sigma_{d''}\to\Sigma_{d'}) est tel que d' soit cofinal dans d'' (pour que \Sigma_{d''}\hookrightarrow\Sigma_{d'}) et que d soit segment initial de d'' (pour que \Sigma_{d''}\to\Sigma_d soit fibrant) i.e. ~~si d est le~~ si d'=(i_1,\ldots,i_n), d=(i_1,\ldots,i_p), ~~donc d'' est de la forme~~ d'où d'=d\amalg d'_0 plus grand élément de d d'_0=(i_{p+1},i_{p+2},\ldots,i_n), alors les d'' correspondant aux d' (d_\alpha, \alpha\le\beta), on a les drapeaux ayant \beta comme plus grand élément, de la forme d\amalg d''_0, où d''_0\subset I_{>\alpha} et ~~formé d'éléments~~ des drapeaux d''_0\subset I_{>i_p}, contenant strictement d'_0 et tels que d'_0 soit cofinal dans d''_0, l'ensemble de ces d''_0, ou des d''_0, est en correspondance bijective avec \mathrm{Drap}\big(I_{i_p<\cdot<i_{p+1}}\amalg I_{i_{p+1}<\cdot<i_{p+2}}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n}\big) le passage biffé, depuis « plus grand élément », est en partie encadré et barré d'une boucle ; au-dessus du symbole de la première flèche vers \Sigma_{d'}, un signe barré.

Suite de la page 46, sans numéro de sa main.

On a lissité ( ) ssi ~~i_p~~ la suite i_p\,i_{p+1}\ldots i_n (à partir de i_p, pas de i_1 !) est stricte, i.e. chaque terme est (le plus proche, au sens de I) successeur du précédent.

11. Digression : cas I.titre souligné, lecture incertaine ; le paragraphe traite d'un ensemble ordonné topologique \Sigma donné sans ensemble d'indices I.

Soit donné un ensemble ordonné topologique, i.e. un ~~espace topologique~~ ens. ordonné \Sigma=\Sigma(0),\Sigma(1), où \Sigma(0) est un espace topologique, \Sigma(1) une partie fermée de \Sigma(0)\times\Sigma(0), qui soit le graphe d'une relation d'ordre. On suppose autres

(a)« a » cerclé. \Sigma(1)\xrightarrow{\ \mathrm{but}\ }\Sigma(0) est une immersion localement bordante, et propre (à fibres finies)

(b)« b » cerclé, surchargé. Cela implique que \Sigma(0)\xrightarrow{\ \mathrm{diag}\ }\Sigma(1) est un isomorphisme sur une partie ouverte et fermée. Soit \Sigma^{*}(1)l'exposant, une petite étoile ou un point épais, est lu * ; il distingue ces espaces de drapeaux stricts de \Sigma(0), \Sigma(1), et de l'indice \Sigma_{*} des pages précédentes. le complémentaire de l'image, i.e. l'ens. des inégalités strictes i<j. On désigne par \Sigma^{*}(n) l'espace des drapeaux stricts i_0<i_1<\cdots<i_n de longueur n. Les \Sigma^{*}(n) forment un espace pré~~semi~~-simplicial (pas d'applications de dégénérescence, ils sont dans les \Sigma(n)…). ~~Les~~ Si on a un

En haut à gauche, « 20 » de sa main.

diagramme d'inclusions (croissantes) d'ens. tot. ordonnés

(31)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & d''=d\cup d' & \\ d \arrow[ur, hook] & & d' \arrow[ul, hook'] \\ & \delta=d\cap d' \arrow[ul, hook] \arrow[ur, hook'] & \end{tikzcd}

tel que ce soit un diagramme cocart. dans la cat. des ens. ordonnés (i.e. \delta segment initial de d, et contenant l'élément final de d) alors le diagramme correspondant

(32)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \Sigma^{*}(d'') \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \Sigma^{*}(d) \arrow[dr] & & \Sigma^{*}(d') \arrow[dl] \\ & \Sigma^{*}(\delta) & \end{tikzcd}

est cartésien. ~~(pour le cas )~~sur le schéma (31), les traits d'inclusion sont tracés sans tête nette ; on les oriente du plus petit au plus grand ensemble.

Plus précisément, on veut que pour x\in\Sigma^{*}(0), les z_\alpha\in\Sigma^{*}(1) au-dessus de x (par but) sont en correspondance biunivoque avec les (b) germes B_\alpha de sous-espaces bordants, images locales par des germes de \Sigma^{*}(1) en les z_\alpha, points de \Sigma^{*}(1) , transversaux, et correspondants, distincts au-dessus de les z_\alpha…longue note en travers dans la marge gauche, depuis le milieu de la page jusqu'en bas, « b » cerclé ; lecture très incertaine hors des formules.

Les conditions b c d des nos précédents s'écrivent ici en une seule (du type d).

Considérons un ens. ~~tot.~~ ordonné de « dim » \ge 1 d=(i_0,\ldots,i_n), ~~\Sigma^{*}(d)\to\Sigma(I)~~ et considérons le diagramme

(33)numéro écrit à gauche du diagramme, contre la note de la marge.

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] & \Sigma^{*}(i_0,i_n) \arrow[dr, "\varphi_0"] & \\ \Sigma^{*}(d) \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & \Sigma^{*}(i_1,i_n) \arrow[r, "\varphi_1"] & \Sigma^{*}(i_n) \\ & \Sigma^{*}(i_{n-1},i_n) \arrow[ur, "\varphi_{n-1}"'] & \end{tikzcd}

entre \Sigma^{*}(i_1,i_n) et \Sigma^{*}(i_{n-1},i_n), des points de suspension verticaux.

~~des applications bordantes~~ d'immersions, où \varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-1} sont bordantes. On suppose

Suite de la page 48, sans numéro de sa main.

que ~~la famille est~~ au voisinage de chaque pt de \Sigma^{*}(d)\to\Sigma^{*}(i_n) dans \Sigma^{*}(\lbrace i_n\rbrace)\simeq\Sigma^{*}(0), \Sigma^{*}(d) soit l'intersection des \Sigma^{*}(\lbrace\alpha,i_n\rbrace) (\simeq\Sigma^{*}(1)), et que cette famille soit transversale.

Cela implique la chose analogue pour tout morphisme d'immersion \Sigma^{*}(d')\longrightarrow\Sigma^{*}(d)\qquad d\subset d',\ d,d'\ \text{cofinaux (avec le plus grand élément)} ~~la structure~~, on considère des d'' entre d et d' (donc cofinaux avec d) qui sont de la forme d\cup\lbrace i\rbrace (i\in d'\setminus d) on regarde le diagramme

(34)

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small] & \Sigma^{*}(d\cup j_1) \arrow[dr, "\text{bordant}"] & \\ \Sigma^{*}(d') \arrow[ur] \arrow[dr] & & \Sigma^{*}(d) \\ & \Sigma^{*}(d\cup j_p) \arrow[ur, "\text{bordant}"'] & \end{tikzcd}

entre \Sigma^{*}(d\cup j_1) et \Sigma^{*}(d\cup j_p), des points de suspension verticaux ; les éléments de d'\setminus d sont notés j_1,\ldots,j_p.

qui généralise (33), et on ~~suppose~~ veut qu'il satisfasse la même condition de transversalité. Cela signifie que, les espaces envisagés, au voisinage des pts en jeu, i.e. des sous-espaces de \Sigma^{*}(\lbrace\alpha\rbrace)\simeq\Sigma^{*}(0), décrits (grâce à b) comme des intersections partielles des certains sous-espaces bordants de \Sigma^{*}(\lbrace\alpha\rbrace), se coupant transversalement…

En haut à gauche, « 21 » de sa main.

Il y a de plus des « conditions de circonstance » :

(c)« c » cerclé. L'application \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ \mathrm{source}\ }\Sigma^{*}(0) est propre et fibrante (« condition d'équisingularité »), cela implique que si d\subset d' est une inclusion d'ens. finis tot. ordonnés, telle que d soit segment initial de d', alors \Sigma^{*}(d')\to\Sigma^{*}(d) est fibrante.

(d)« d » cerclé. ~~Les~~ \Sigma^{*}(0) est une variété à bord, et \Sigma^{*}(1)\overset{\mathrm{bord}}{\hookrightarrow}\Sigma^{*}(0) a comme image son bord. (« condition non singulière ») donc aussi les \Sigma^{*}(d) (car un sous-espace bordant d'une variété à bord est une variété à bord de dimension < bord, = dim que celui-ci ??) ou on exige, ~~que les conditions~~ que les \Sigma^{*}(d) soient des variétés à bord…)

Dans tous les cas , \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\mathrm{bord}}\Sigma^{*}(0) une partie bordante…note en travers dans la marge gauche, à hauteur de (d) ; lecture très incertaine.

il faudrait vérifier que le bord de \Sigma^{*}(d) est réunion des \Sigma^{*}(d') pour d\subset d' cofinal (??) , si c'est vrai, ça risque d'être délicat ! (d'après ce qu'on a vu \Sigma en dessous de \lbrace 0,1,2\rbrace) … n'est pas une correspondance de d)…note en travers dans la marge gauche, en face de (e), le « ?? » cerclé ; lecture incertaine.

(condition mixte équisingulière-lisse)

(e)« e » cerclé, dans la marge. Le morphisme source \Sigma^{*}(1)\longrightarrow\Sigma^{*}(0) (qui est propre et fibrant) est de plus ~~(une fibration à fibres des variétés~~ à fibres des variétés à bord, et le fibré des bords est ~~le de par~~ l'image de \Sigma^{*}(2) par \Sigma^{*}(2)\to\Sigma^{*}(1) associé : \lbrace 0,2\rbrace\hookrightarrow\lbrace 0,1,2\rbrace

Suite de la page 50, sans numéro de sa main.

Je reviens sur la condition b), que j'ai précisée beaucoup, sans vraiment utiliser pleinement l'information qui était dans la version précédente.

b_1) Pour x\in\Sigma(0)=\Sigma^{*}(0), les z_\alpha\in\Sigma^{*}(1) au-dessus de x (par l'application but : \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ b\ }\Sigma^{*}(0)) sont en correspondance biunivoque avec les germes B_\alpha en x de sous-espaces bordants de \Sigma^{*}(0), images par b des germes de \Sigma^{*}(1) en les z_\alpha.

b_2) ~~Il existe un~~ Si n=\mathrm{card}(\lbrace z_\alpha\rbrace), il existe un élément unique de \Sigma^{*}(n), soit \tilde x, tel que les z_\alpha soient les images de \tilde x par les n applications \Sigma^{*}(n)\ \overset{\varphi_{0,n}}{\underset{\varphi_{n-1,n}}{\rightrightarrows}}\ \Sigma^{*}(1) de \widetilde\Sigma(n) dans \widetilde\Sigma(1).il écrit trois flèches superposées, \varphi_{0,n}, \varphi_{1,n}, …, \varphi_{n-1,n}, de \Sigma^{*}(n) vers \Sigma^{*}(1)\ni z_\alpha.

(Il en résulte qu'il y a une structure (l'une des « structures de totale ( sur dans \Sigma^{*}(0)=\Sigma) 1 » B_\alpha (passant par x.)

b_3) Pour tout ~~1\le d\le n,~~ 1\le d\le n, considérons l'application \Sigma^{*}(d)\longrightarrow\Sigma^{*}(0)\ni x induite par l'inclusion \lbrace d\rbrace\hookrightarrow\lbrace 0,1,\ldots,d\rbrace, associée : les pts z de \Sigma^{*}(d) au-dessus de x sont en correspondance biunivoque avec l'ens. des parties de card d d'un I des germes B_\alpha, ou encore l'ens. des parties de card d de l'ens. I des z_\alpha, ou encore avec \mathcal{P}_d([0,\ldots,n-1]), en associant : à une telle partie A l'application strictement croissante unique de \Delta_d=\lbrace 0,\ldots,d\rbrace dans

En haut à gauche, « 22 » de sa main.

\Delta_n=\lbrace 0,\ldots,n\rbrace ~~dont~~ ayant pour l'image soit A\cup\lbrace n\rbrace, et l'hom. simplicial correspondant \underset{\tilde x}{\Sigma^{*}(n)}\ \xrightarrow{\ \text{imm.}\ }\ \underset{z}{\Sigma^{*}(d)}\ \Big(\overset{\text{imm.}}{\dashrightarrow}\ \underset{x}{\Sigma^{*}(0)}\Big) et l'image de \tilde x par celui-ci.sous chaque espace, le point qu'il contient (\tilde x, z, x), relié par \in renversé ; sous \Sigma^{*}(d) un griffonnage biffé, et après \Sigma^{*}(d) une flèche biffée. De plus, pour z dans \Sigma^{*}(d) au-dessus de x, Z le germe de sous-espace de \Sigma^{*}(0) en x, image du germe de \Sigma^{*}(d) en z, est l'intersection des germes B_\alpha correspondant aux z_\alpha\in A.

On s'intéresse ici aux morphismes entre les \Sigma^{*}(n) correspondant aux applications strictement croissantes d'ens. tott ordonnés non vides d\hookrightarrow d' tel que d soit cofinal dans d'.

La catégorie de ces objets et morphismes équivaut : celle des ens. tot. ordonnés d (év. vides), par le foncteur qui à un tel d associe d\amalg\lbrace\omega\rbrace, où \omega est un « dernier élément », et à tout d'\hookrightarrow d str. croiss. le prolongement par \omega\mapsto\omega. On a donc un foncteur \Gamma : d\longmapsto\Sigma^{*}(d\amalg\lbrace\omega\rbrace) sur les ens. tot. ordonnés (év. vides), dont la donnée équivaut : celle des \Sigma^{*}(n), avec les appl. simpliciales « cofinales » entre eux. Et la donnée d'un tel foncteur \Gamma revient : la donnée de \Gamma(\emptyset) (ici \Sigma^{*}(0)) et

Suite de la page 52, sans numéro de sa main.

d'un objet (espace) simplicial au-dessus de \Gamma(\emptyset)=\Sigma^{*}(0). Ici il s'agit d'un espace simplicial relatif, et les conditions b_1, b_2, b_3 concernent cette structure – elles disent intuitivement que cette structure est associée : une stratification cylindrique locale de \Sigma^{*}(0)=\Sigma, et « ordonnée » (i.e. les strates de codim. 1 passant par un x\in\Sigma sont ordonnées, et cette relation d'ordre varie continûment avec x en un sens évident).NB \Gamma(n)=\Sigma^{*}(n+1)

Les ~~\Sigma^{*}(d) s'id.~~ \Gamma(d) =\Sigma^{*}(d+1) s'identifient alors aux ~~parties~~ espaces des (germes de) strates de codim. d+1, ~~les~~ germes identifiés ~~(grâce à la structure d'ordre)~~ aux ens. de germes de strates de codim. 1 \ni x. Les applications semi-simpliciales entre les \Gamma(d) proviennent alors de la structure d'ordre – par reconstitution les espaces de drapeaux associés : la stratification, à l'aide des \Gamma(d), grâce : cette structure ordonnée. En résumé, la donnée de \Gamma : d\mapsto\Gamma(d) (i.e. de \Sigma^{*} avec les app. semi-simpliciales cofinales) équivaut : celle d'un \Sigma=\Sigma^{*}(0),

En haut à gauche, « 23 » de sa main.

avec la structure de stratification cylindrique ordonnée locale. ~~Par exemple,~~ Une autre façon de décrire les \Gamma(d)=\Sigma^{*}(d+1), c'est de prendre la puiss. ~~sym.~~ cart. relative d-ième de \Gamma_0 =\Sigma^{*}(1) sur \Sigma (=\Gamma(\emptyset)), d'où on utilise les images \Gamma'(d) en dim. (d'\le d) des puiss. cart. relatives ~~définies~~ par les applications ½ simpliciales entre celles-ci. Cela donne : préciser les suites ordonnées de d germes de strates de codim. 1 en un pt ( distinctes), soit \Gamma'(d). On a alors \Gamma(d)\subset\Gamma'(d), \Gamma(d) est une partie : la fois ouverte et fermée de \Gamma'(d), et ~~\Gamma'(d)~~ (35)\qquad \Gamma'(d)\simeq\mathfrak{S}_d\times\Gamma(d) « ½ simpliciales » : le signe ½ pour semi-, comme ailleurs dans le fonds. Au-dessus de \Gamma(d)\subset\Gamma'(d), un exposant peu net sur le premier \Gamma.

Pour avoir la une structure d'ordre totale relative, de \Gamma_0=\Sigma^{*}(1) sur \Sigma=\Sigma^{*}(0), il suffit ~~suffit~~ de se donner, ~~dans \Gamma_1(2)=\Sigma^{*}(2), \Gamma' ()~~ dans \Gamma_0\times_\Sigma\Gamma_0\setminus\text{diagonale}, une partie (ouverte et fermée) \Gamma_1, telle que \Gamma_1\cup{}^{s}\Gamma_1=\Gamma_0\times\Gamma_0\setminus\mathrm{diag},\qquad \Gamma_1\cap{}^{s}\Gamma_1=\emptyset i.e. une section de \Gamma_0\times_\Sigma\Gamma_0\setminus\mathrm{diag} au-dessus de (\mathrm{Sym}^2_\Sigma\Gamma_0)^{*} (« choix d'un premier élément parmi deux éléments distincts »), avec la condition de transitivité (36)\qquad (\Gamma_1\times_\Sigma\Gamma_0)\cap(\Gamma_0\times_\Sigma\Gamma_1)\xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{13}\ }\Gamma_0\times\Gamma_0\quad\text{se factorise par }\Gamma_1, où l'intersection est prise dans \Gamma_0\times\Gamma_0\times\Gamma_0 et \Gamma_1\subset\Gamma_0\times\Gamma_0.{}^{s}\Gamma_1 : le symétrique de \Gamma_1. Les deux inclusions de la dernière ligne sont écrites sous la formule, verticalement ; « pr_{13} » surcharge un premier indice. Devant (36), un mot biffé.

~~il s'agit de~~ … \Gamma_1 se voit x<y … relations … ~~ou encore une section de \Gamma_0\times_\Sigma\Gamma_0 de \mathrm{Sym}^2(\ldots)~~notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées ; lecture très incertaine.

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 23 (page 54).

Je m'aperçois finalement que j'ai pas mal bafouillé pour arriver : trouver les formulations simples – car j'ai mélangé des propriétés purement ensemblistes de l'ens. ordonné \Sigma=\Sigma^{*}(0), ses interprétations semi-simpliciales et les aspects topologiques. Je reprends

~~\Sigma ens.~~

\Sigma=\Sigma(0) ens. ordonné, muni d'une topologie ~~séparée~~ (pas

Si \Sigma_1 est le graphe de la relation d'ordre, on suppose

(a)« a » cerclé. \Sigma(1)\xrightarrow{\ b=\mathrm{pr}_2\ }\Sigma(0) est propre et loc. immersif bordant (propriétés topologiques)

~~(b)~~la lettre cerclée est biffée. Cela implique ~~par l'implication~~ que l'application diagonale est ouverte, donc si \Sigma séparé, son image est une partie : la fois ouverte et fermée – et on peut alors introduire \Sigma^{*}_{f}(1)=\Sigma(1)\setminus\text{diagonale}. Si \Sigma est séparé, la propriété de \Sigma(1)\to\Sigma(0) implique aussi que \Sigma_1 est fermé dans \Sigma\times\Sigma ~~\Sigma(0)\times\Sigma(0)~~.l'indice f de \Sigma^{*}_{f}(1) est une lecture douteuse.

(b)« b » cerclé. Pour tout x\in\Sigma, l'ens. (fini) \Sigma_{\le x} (fibre de x dans \Sigma(1)) est tot. ordonné par l'ordre induit.

~~(c)~~ Donc la donnée d'un drapeau x_{i_0}\ldots x_{i_d} ~~de longueur~~ d dans \Sigma_{\le} équivaut : celle d'une partie de card. d+1

En haut à gauche, « 24 » de sa main.

de l'ens. à N(x) éléments, où N(x)=\mathrm{card}(\Sigma_{\le x}). On a encore, si on regarde l'application-but \Sigma^{*}(d)\longrightarrow\Sigma=\Sigma^{*}(0),\qquad (x_0<\cdots<x_d)\longmapsto x_d la fibre de x\in\Sigma s'identifie : l'ens. ~~des parties~~ \mathcal{P}_d(\lbrace 1,\ldots,N(x)\rbrace).

La structure relative de \Sigma^{*}(1) sur \Sigma=\Sigma^{*}(0) est donc celle d'un ens. tot. ordonné relatif, qui permet de reconstituer le système des \Sigma^{*}(d) (d\in\mathbb{N}) avec les applications semi-simpliciales (i.e. : toute condition) correspondant aux morphismes cofinaux entre ens. tot. ordonnés-types.tout ceci est purement ensembliste () indépendant des top. note en travers dans la marge gauche, avec un petit rond cerclé.

(c)« c » cerclé. \forall x\in\Sigma, les germes B_\alpha de sous-espaces bordants de \Sigma en x correspondants, par (a), aux z_\alpha\in\Sigma^{*}(1) au-dessus de x (par \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ b\ }\Sigma) sont mutuellement transversaux (et deux : deux distincts).le renvoi « par (a) » est un petit rond cerclé, lu comme (a).

Les germes intersections de certains des B_\alpha correspondent donc aux pts des \Sigma^{*}(d) au-dessus de x (par \Sigma^{*}(d)\xrightarrow{\ b\ }\Sigma), comme images du germe de \Sigma^{*}(d) en ces pts.

Les espaces \Sigma^{*}(d) (d\in\mathbb{N}) et les applications ½ simpliciales cofinales entre eux, ou encore l'espace relatif \Sigma^{*}(1) sur \Sigma^{*}(0) et la structure d'ordre relative, ces décrivent entièrement

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 24 (page 56).

\Sigma, muni d'une stratification locale cylindrique ordonnée : \Sigma^{*}(1) est l'espace des strates de codim. 1, \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ b\ }\Sigma l'application associée : un germe sa trace, \Sigma^{*}(2) est l'espace des paires de germes B,B' en x tels que \lbrace B\rbrace<\lbrace B'\rbrace…

Dans la marge gauche, en face, une colonne ; entre \Sigma^{*}(2) et \Sigma^{*}(1) il trace deux flèches parallèles, s' et b', réunies ici en une seule.

\begin{tikzcd}[row sep=small] \vdots \\ \Sigma^{*}(2) \arrow[d, "{s',\ b'}"] \\ \Sigma^{*}(1) \arrow[d, "b"] \\ \Sigma=\Sigma^{*}(0) \end{tikzcd}

Pour retrouver la relation d'ordre sur \Sigma=\Sigma^{*}(0) à partir de la structure d'ordre relative \Sigma^{*}(1) sur \Sigma^{*}(0) (ou de ce que \Sigma^{*}(1) soit les relations strictes x<y dans \Sigma) on doit se donner une application source (36)\qquad \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ \underline s=\mathrm{pr}_1\ }\Sigma=\Sigma^{*}(0) qui soit injective ~~et croissante~~ sur chaque fibre \underline b^{-1}(x) de \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ \underline b\ }\Sigma (i.e. \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{(\underline s,\underline b)}\Sigma\times\Sigma inj.) et d'image \not\ni x (i.e. \mathrm{Im}(\underline s,\underline b)\cap\mathrm{diag}(\Sigma\times\Sigma)=\emptyset)il écrit d'abord « \Sigma_\emptyset » (surchargé) pour la base ; le numéro (36) est déjà celui de la condition de transitivité de la page 54 : transcrit tel quel.

~~et on doit se donner de plus (37) \Sigma^{*}(2)\xrightarrow{\ \varphi_2\ }\Sigma^{*}(1)\ (\hookrightarrow\Sigma\times\Sigma)~~ ~~… (NB la donnée de \varphi_2 équivaut : celle des deux applications \mathrm{pr}_1\circ\varphi,\ \mathrm{pr}_2\circ\varphi : \Sigma^{*}(2)\rightrightarrows\Sigma qu'on se donne…)~~ ~~(38) \Sigma^{*}(2)\xrightarrow{(\mathrm{pr}_1\circ\varphi,\ \mathrm{pr}_2\circ\varphi,\ \psi)}\Sigma_0\times\Sigma_0\times\Sigma_0~~ ~~dont l'image est par construction (voir (37)) dans \Sigma_1\times\Sigma_0 et dans…~~Toute la moitié inférieure de la page, depuis « et on doit se donner de plus », est biffée de quatre longs traits obliques et s'arrête en cours de phrase ; le bas de la page est blanc. Dans la marge gauche, également sous les traits : « il de \mathrm{pr}_2 \mathrm{pr}_1 \mathrm{pr}_{13} ». Le « (37) » du renvoi est cerclé.

En haut à gauche, « 25 » de sa main, entouré d'accolades.

de telle façon qu'il existe (37)\qquad p_2 : \Sigma^{*}(2)\longrightarrow\Sigma^{*}(1) tel que (38)\qquad \underline b\circ p_2=\underline s\circ\underline b'\quad\text{i.e.\ le carré}

\begin{tikzcd} \Sigma^{*}(2) \arrow[r, hook, "\underline b'"] \arrow[d, "p_2"'] & \Sigma^{*}(1) \arrow[d, "p_1=\underline s"] \\ \Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "\underline b"'] & \Sigma \end{tikzcd}

au centre du carré, « (cart.) » ; les flèches horizontales partent d'un petit crochet en pointillé. La phrase « est commutatif », écrite plus bas, vaut pour les deux carrés.

p_1\circ p_2=p_1\circ\underline s'\quad\text{i.e.\ le carré}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \Sigma^{*}(1) \arrow[dl, "p_1"'] & \\ \Sigma & & \Sigma^{*}(2) \arrow[ul, "\underline s'"'] \arrow[dl, "p_2"] \\ & \Sigma^{*}(1) \arrow[ul, "p_1"] & \end{tikzcd}

est commutatif.les deux égalités de (38) sont réunies par une accolade ; entre les deux, une ligne en travers, « relatif », séparée par un trait.

Ce qui détermine p_2 de façon unique, puisque (\struck{\ill{}}\,p_1,\underline b) : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma\times\Sigma est mono).

De plus on ~~suppose~~ doit exiger que le premier carré (38) soit cartésien, et que p_1 : \Sigma^{*}(1)\to\Sigma soit transversal p.r. à l'immersion bordante l'unique \underline b : \Sigma^{*}(1)\overset{\underline b}{\hookrightarrow}\Sigma (ce qui est une condition de nature non purement algébrique…)

Posons alors, pour x,y\in\Sigma (39)\qquad x\prec y\iff\exists\,u\in\Sigma^{*}(1)\ \text{tel que}\ x=p_1u,\ y=\underline b u

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 25 (page 58).

On voit alors que x\prec y\ \text{et}\ y\prec z\ \Longrightarrow\ x\prec z car soient u,v\in\Sigma^{*}(1) tels que p_1u=x,\quad \underline b u=y,\quad p_1v=y,\quad \underline b v=z on a donc \underline b u=p_1v donc par le carré cartésien de (38), ~~\exists w~~ \exists!\,d\in\Sigma^{*}(2),\ \text{avec}\quad \underline b'(d)=v,\quad p_2(d)=u soit w=\underline s'(d)\in\Sigma^{*}(1) on a \begin{aligned} p_1(w)&=p_1(\underline s'(d))\overset{(38)}{=}p_1p_2(d)=p_1(u)=x\\ \underline b(w)&=\underline b(\underline s'(d))=\underline b(\underline b'(d))=\underline b(v)=z \end{aligned} donc w : x\prec z . sous « \underline b u=y,\ p_1v=y », une accolade réunit les deux égalités. Dans la seconde ligne, \underline b(\underline s'(d))=\underline b(\underline b'(d)) est écrit tel quel.

De plus, on a x\not\prec x\qquad\big(\text{car } \mathrm{Im}\big(\Sigma^{*}(1)\xrightarrow{(p_1,\underline b)}\Sigma\times\Sigma\big)\cap\mathrm{diag}=\emptyset\big) donc la relation x\prec y est la relation d'inégalité stricte associée : une relation d'ordre sur \Sigma. On récupère \Sigma^{*}(1) comme le graphe de la relation d'ordre stricte, \Sigma^{*}(2) comme les drapeaux x\prec y\prec z de longueur 2 dans \Sigma, et les applications

En haut à gauche, « 26 » de sa main.

\Sigma^{*}(1)\ \overset{p_1=\underline s}{\underset{\underline b}{\rightrightarrows}}\ \Sigma\qquad\qquad \Sigma^{*}(2)\ \overset{p_2}{\underset{\underline b'}{\rightrightarrows}}\ \Sigma^{*}(1) à droite, trois flèches parallèles, étiquetées p_2, \underline s' et \underline b' ; on n'en a gardé que les deux extrêmes dans la formule.

comme (39)\qquad\left\lbrace \begin{array}{l} (x\prec y)\xrightarrow{\ p_1=\underline s\ }x\\ (x\prec y)\xrightarrow{\ \underline b\ }y\\ (x\prec y\prec z)\xrightarrow{\ p_2\ }(x,y)\\ (x\prec y\prec z)\xrightarrow{\ \underline s'\ }(x,z)\\ (x\prec y\prec z)\xrightarrow{\ \underline b'\ }(y,z) \end{array}\right. le numéro (39) est déjà celui de la définition de \prec, page 58 : transcrit tel quel. Dans les deux dernières lignes, le premier terme de la paire est surchargé (x, resp. y, écrits par-dessus une autre lettre).

Scholie En résumé, la situation est décrite par ces données ~~suivantes~~

1°) Un espace top. ~~séparé~~ \Sigma, muni d'une stratification (pré)cylindrique – soit \Sigma_1 l'espace des strates de codim. 1, de sorte que \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ \underline b\ }\Sigma est une imm. bordante propre.

2°) Une relation d'ordre totale relative de \Sigma_1 sur \Sigma (définie par la donnée, pour tout x\in\underline b(\Sigma_1), d'un ordre total sur l'ens. des strates de codim. 1 qui passent par x, cette relation d'ordre totale étant soumise : la condition d'être donnée par une partie fermée de (\Sigma_1\times_\Sigma\Sigma_1)\ldots) – soit \Sigma^{*}(2)\ \overset{\underline s'}{\underset{\underline b'}{\rightrightarrows}}\ \Sigma^{*}(1)\xrightarrow{\ \underline b\ }\Sigma sous « (\Sigma_1\times_\Sigma\Sigma_1) », \Sigma^{*}(2) est écrit à gauche, en renvoi ; les indices de ce produit sont surchargés.

« stratification cylindrique loc. tot. ordonnée »note en travers dans la marge gauche, reliée par une accolade à 1°) et 2°) ; lecture incertaine.

3°) Une application continue p_1=\underline s : \Sigma^{*}(1)\longrightarrow\Sigma ayant les propriétés suivantes

a) (\underline s,\underline b) : \Sigma^{*}(1)\longrightarrow\Sigma\times\Sigma est injectif, et son image ne rencontre pas la diagonale, i.e. \forall u\in\Sigma^{*}(1), \underline s(u)\neq\underline b(u)