Fonds Grothendieck, cote n° 150, pages 21–40

Germes de voisinages côniques, ou cylindriques. Transversalité

En haut à gauche, « 6 » de sa main : sixième feuillet de la suite « Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques) » du lot 1 (feuillets 1) à 5), pages 11 à 19). Le titre est précédé du numéro de paragraphe (5) cerclé ; il reprend donc le paragraphe (5) de la page 20, biffée.

(5)numéro cerclé. Germes de voisinages côniques, ou cylindriques. ~~Compatibilités~~ Transversalité.

Soit Y\subset X. Deux voisinages T,T' côniques de Y dans X sont équivalents s'il existe \lambda,\lambda'\in\,]0,1[ tels que \lambda T=\lambda' T' (égalité compatible avec les structures côniques sur Y). C'est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence est un germe de voisinage cônique. On dit qu'un X_i\subset X est compatible avec un germe, représenté par T, s'il est \exists\lambda\in\,]0,1[ tel qu'il soit compatible avec \lambda T (donc aussi avec \lambda' T pour 0<\lambda'\le\lambda) – ce qui ne dépend pas du choix du représentant. Idem pour la notion de compatibilité stricte.

\varepsilon\in\,]0,1[, donc par \lambda T=\varepsilon\lambda' T'note en travers dans la marge gauche, en face de « \lambda T=\lambda'T' » ; lecture incertaine.

Si T et T' sont équivalents, ~~alors~~ T est cylindrique ssi T' l'est. On trouve ainsi la notion d'équivalence de voisinages cylindriques, et celle de germe de voisinages cylindriques. (Pour qu'il en existe, il faut que Y soit un sous-espace bordant.)

on dira aussi Y bordant X, bordant …note en travers dans la marge gauche, en face de la parenthèse ; lecture très incertaine.

Item pour équisingularité d'un germe de voisinages côniques.

Soit (\tilde X^{*},\dot T), où \dot T\subset\tilde X^{*} muni d'un germe de voisinage cylindrique. Soit \dot T\to Y application continue, alors X=\tilde X^{*}\amalg_{\dot T}Y\supset Y est muni d'un germe de voisinage cy cônique, qui est équisingulier ssi \dot T\to Y est fibrant.

En haut à gauche, un chiffre surchargé, illisible ; la page continue le feuillet 6 (page 21).

NB Th. un voisinage voisinage cylindrique (catégories )Plusieurs lignes en travers dans l'angle supérieur gauche, serrées contre le texte ; on ne lit sûrement que « NB », « voisinage cylindrique », « catégories ».

deux catégories : a) celle des ~~couples~~ systèmes (\tilde X^{*},\dot X,\mathcal E,Y,f), où \tilde X^{*} esp. top., \dot X partie fermée, \mathcal E un germe de voisinages cylindriques de \dot X dans \tilde X^{*}, Y esp. top., f:\dot X\to Y application continue ; b) celle des systèmes (X,Y,\mathcal T), où X esp. top., Y partie fermée, \mathcal T un germe de voisinages côniques de Y dans X. ~~Comme Alors~~ Alors le foncteur ci-dessus naturel de a) dans b) est une équivalence de catégories.

Rappelons que X=\tilde X^{*}\amalg_{\dot X}Y .

NB (\tilde X^{*},\dot X), germe de cônique de X (Y,\mathcal T)note en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

NB ~~Une~~ Une partie fermée X' de X revient donc à une partie \tilde X'^{*} de \tilde X^{*}, Y' de Y, ayant même image inverse dans \dot X, et X' est fermée ssi \tilde X'^{*} et Y' le sont. ~~Pour que X' soit~~ Pour que X' soit compatibles avec le germe de structure cônique \mathcal T, ~~il faut et suffit qu'une description que X'~~ il faut et suffit que l'on ait a) \tilde X' compatible avec le germe de structure cylindrique de (\tilde X,\dot X). Il y a lieu alors de compléter \tilde X' par \overline{X'\cap X^{*}} (=X^{*}=\tilde X\setminus\dot X), et le germe de \tilde X'_1 au voisinageAu-dessus de « \tilde X' », en fin de ligne, il a écrit « \tilde X'_1 » ; la phrase continue sur la page suivante.

En haut à gauche, « 7 » de sa main.

de \dot X\subset\tilde X est déterminé par la connaissance de \tilde X'_1\cap\dot X=\dot X'_1 .

Corollaire Les parties fermées X' de X compatibles avec le germe de structure cônique, sont en corr. 1-1 avec les couples (\tilde X'\subset\tilde X,\ Y'\subset Y) de parties ~~fermées~~ fermées de \tilde X et de Y, telles que

a)\tilde X' soit compatible avec le germe de structure cylindrique de \tilde X,\dot X ; b)f:\dot X\to Y applique \dot X'\overset{\text{déf}}{=}\tilde X'\cap\dot X dans Y'.

On aura X'=\underbrace{\mathrm{Im}\,(\tilde X'\ \text{par}\ \tilde X\to X)}_{X'\setminus Y\cap X'}\cup Y' Sous l'accolade, « Y\cap X' » est lui-même souligné d'une petite accolade marquée « Y' ».

Pour que X' soit ~~strictement compatible avec~~ cônique strict, ~~le germe de structure cônique~~ il faut et suffit que Y'=\mathrm{Im}\,(\dot X'\to Y).

Soit maintenant X_0\subset X une partie bordante de X, et \mathcal E une germe de structure cylindrique de X_0 dans X. On dit que \mathcal E est compatible avec le germe de structure cônique \mathcal T de X autour de Y, si \exists représentants E \simeq X_0\times\mathbf{I} voisinage cylindrique de X_0, et T voisinage cônique de Y (avec structure cônique), tels que

a) T\cap E, \dot T\cap E, et Y\cap E ~~compatible~~ soient des parties cylindriques ~~et E\cap T soit stable par les deux types d'homothéties x\mapsto\lambda.x que celles~~ …

on dira aussi « E est compatible » ou « » … donc stable par E-homothéties par \lambda\in[0,1]notes en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

Le bas de la page (depuis « et E\cap T soit stable ») est barré de longues diagonales et repris en haut de la page 24. On y lit encore, sous les traits : « i.e. » \dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I}, T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}, Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I}, avec T_0=X_0\cap T, Y_0=\dot X_0\cap Y.

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 7 (page 23).

\begin{array}{c} \dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I}\\ \cap\\ T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\\ \cup\\ Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I} \end{array} \qquad\text{où}\qquad \begin{array}{l} \dot T_0=\dot T\cap X_0\\ T_0=T\cap X_0\\ Y_0=Y\cap X_0 \end{array} Devant la deuxième ligne, un mot biffé (« i.e. »).

et si, symétriquement, ~~T\cap E, T\cap\dot E, X_0, T\cap E~~

b) E\cap T (=T\cap E), \dot E\cap T ~~\simeq T_0\times\partial\mathbf{I}~~, X_0\cap T (=T\cap X_0=T_0) sont des ensembles côniques de T, donc en particulier stables par T-homothéties. ~~Le fait que~~ Notons que les trois ensembles précédents s'identifient, grâce à a), à : T_0\times\mathbf{I}, T_0\times\lbrace1\rbrace, T_0\times\lbrace0\rbrace. On suppose enfin

c) Les homothéties ~~par~~ \lambda_E et \lambda_T commutent dans T\cap E, ce qui implique que l'application induite par \lambda_T (\lambda\in[0,1]) sur T_0\times\lbrace0\rbrace et T_0\times\lbrace1\rbrace s'identifie, via ~~homothétie~~ une opération de T_0\to T_0, soit \lambda_{T_0}, et que l'opération \lambda_T sur T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I} s'identifie à : \lambda_{T_0}\times\mathrm{id}_{\mathbf{I}}.

Donc les conditions a) b) c) équivalent à celle-ci :

Condition de compatibilité \exists homéomorphisme T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\qquad(\text{compatible avec } E\simeq X_0\times\mathbf{I}) ~~compatible avec structure~~ induisant \dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I},\qquad Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I} tel que la structure cônique de T sur Y induite sur T_E sur Y_E ~~soit~~ soit la structure cônique produit par \mathbf{I}, d'une structure cônique de T_0 sur Y_0\subset T_0, ~~par \mathbf{I}~~

En haut à gauche, « 8 » de sa main.

NB Cette condition implique que pour \lambda_0,\lambda'_0\in[0,1], \lambda_{0E}E et \lambda'_{0T}T sont compatibles.

Si T est aussi cylindrique, la condition envisagée de compatibilité des deux structures cylindriques est symétrique.

Prop. (Si (X,Y,\mathcal T) est décrit par (\tilde X,\dot X,\mathcal E_{\dot X},Y,\dot X\to Y)), alors les couples (X_0,\mathcal E) germes de structures cylindriques compatibles avec le germe de structure cônique \mathcal T correspondent aux ~~couples~~ systèmes (\tilde X_0,\ \mathcal E_{\tilde X_0},\ Y_0,\ \mathcal E_{Y_0}) où \tilde X_0 est une partie bordante de \tilde X, munie d'un germe de voisinages cylindriques \mathcal E_{\tilde X_0}, où Y_0 est une partie bordante de Y, munie d'un germe de ~~voisin~~ voisinages cylindriques \mathcal E_{Y_0}, ces données satisfaisant aux conditions suivantes :

a) \mathcal E_{\tilde X_0} et \mathcal E_{\dot X} sont des germes de structures cylindriques compatibles dans \tilde X, donc \dot X_0\subset\dot X (\dot X_0=\tilde X_0\cap\dot X) hérite d'un ~~germe~~ germe de structure cylindrique (induit par \mathcal E_{\tilde X_0}) ;

b) Le morphisme \dot X\xrightarrow{\ p\ }Y ~~(\dot X,\ldots)\to(Y,\ldots)~~ est compatible avec (\dot X_0,\mathcal E_{\dot X_0}) et (Y_0,\mathcal E_{Y_0}), dans le sens que \dot X_0=p^{-1}(Y_0), et qu'il existe des voisinages cylindriques respectifs de ces germes, munis de E_{\dot X}\simeq\dot X_0\times\mathbf{I}, E_Y\simeq Y_0\times\mathbf{I}, tels que

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 8.

p\,|\,\dot X_0\times\mathbf{I} induise \dot X_0\times\mathbf{I}\to Y_0\times\mathbf{I}, s'identifiant à p_0\times\mathrm{id}_{\mathbf{I}}, où p_0:X_0\to Y_0.Il écrit ici X_0 sans point ; on attend \dot X_0.

~~Compatibilité~~ Transversalité d'une famille finie (B_i,E_i) de voisinages cylindriques de parties B_i de X.

La condition s'exprime en disant que pour tout J\subset I, I fini, la structure de \bigcap_{i\in J}E_{B_i}\overset{\text{déf}}{=}E_J, au-dessus de B_J\overset{\text{déf}}{=}\bigcap_{i\in J}B_i, est isomorphe à celle de B_J\times\mathbf{I}^J, l'homothétie \lambda_{E_j} (pour j\in J) de E_J (ci-dessus) correspondant à (b,(t_\alpha)_{\alpha\in J})\longmapsto(b,(t'_\alpha)),\qquad t'_\alpha=t_\alpha\ \text{si}\ \alpha\neq j,\quad t'_\alpha=\lambda t_\alpha\ \text{si}\ \alpha=j .

et homéomorphisme E_J\simeq B_J^{\mathbf{I}} … \dot B_J=\bigcap_{i\in J}\dot E_i …notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées ; lecture très incertaine.

Cela peut aussi s'expliciter en exigeant que E_J soit cylindrique dans chaque E_{B_j} …

Cette relation de transversalité pour un germe

On dit que la famille précédente et un voisinage cônique T de Y\subset X sont transversaux si de plus \forall J comme dessus, ~~compatible si la structure des T\cap E_J~~ : \begin{array}{lll} E_J\cap T\simeq T_J\times\mathbf{I}^J & & (\text{où } T_J=T\cap B_J)\\ \qquad\cup & & \\ \dot E_J\cap\dot T\simeq\dot T_J\times\mathbf{I}^J & \text{induisant} & (\text{où } \dot T_J=\dot T\cap B_J)\\ E_J\cap Y\simeq Y_J\times\mathbf{I}^J & \text{induisant} & (\text{où } Y_J=Y\cap B_J) \end{array} En marge, en face de la première ligne : « induit par E_J\simeq B_J\times\mathbf{I}^J ». Dans la deuxième ligne il écrit \dot E_J\cap\dot T, dans la parenthèse finale de la troisième Y\sim B_J pour Y\cap B_J.

En haut à gauche, « 9 » de sa main.

avec E_J\cap T cônique sur T, et la structure cônique ~~induite~~ étant la structure produit par \mathbf{I}^J d'une structure cônique sur (T_J,Y_J), ayant \dot T_J comme partie-bord des cônes sur Y_J…

Relations avec stratifications de type I

(6.)numéro cerclé. Relations avec stratifications de type I (I un ordonné fini).

Une telle stratification ( espace X) est la donnée d'une famille croissante de parties fermées X_i. On dit que la stratification est précylindrique si :

a) \forall j'\leftrightarrow j, j successeur de j', X_{j'}\hookrightarrow X_j est bordant ;

b) ~~\forall j~~ \forall j fixé, j' variable parmi les prédécesseurs, les transversaux dans X_j I_{:j} ] La structure de un

c) \forall i\leftrightarrow j, k tel que i\le k\le j est celle de l'un variété d'un ~~simplexe~~ (=S_{ij}) – ce qui signifie que si S est l'ens. des prédécesseurs de j dans I_{i:j}, i.e. des éléments minimaux de I_{i:j}\setminus\lbrace j\rbrace, et si pour tout k\in I_{ij}, on désigne par s_k la partie s_k\subset S formée des J\in S tels que J\ge s_k (donc s_k=s_{kJ}), l'application k\longmapsto s_k (qui est décroissante) ~~est un~~ est un anti-isomorphisme de I_{ij} sur \mathfrak P(S) ordonné par inclusion.

i.e. voisinages cylindriques transversaux … X_{j'} … NB Cela de l'existence d'un simplexe … On des (c) dans Longues notes en travers dans la marge gauche, en face de b) et c) ; lecture très incertaine. Dans la marge droite, un trait vertical ponctué de petits signes accompagne c). Tout ce passage est serré et surchargé : la lecture de b) et de la première ligne de c) est très incertaine.

Combinant b) et c), on voit que la

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 9.

structure locale de X_j le long d'un X_i (avec la stratification induite de type I_{ij}) est « cubique » (coin de cube de dimension n=\mathrm{card}\,S).À droite, un croquis : un coin de carré (deux axes), une courbe au-dessus et une demi-droite hachurée issue du sommet.

~~La condition~~ c) implique que si j' est un prédécesseur de j, et si k\in I est \le j mais non \le j', et s'il existe un i majoré par k et j', alors k'=\inf(k,j') existe, et k' est un prédécesseur de k.

\begin{tikzcd} & j' \arrow[r, leftrightarrow, "\text{préd}"'] \arrow[d, no head, "\geq" description] & j \arrow[d, no head, "\geq" description] \\ & k' \arrow[r, leftrightarrow] & k \\ i \arrow[uur] \arrow[urr] & & \end{tikzcd} Croquis de sa main : les traits verticaux portent le signe d'ordre (couché), les flèches horizontales ont une pointe à chaque bout, et deux traits partent de i vers j' et vers k.

(Il suffit de voir que dans un ens. ordonné de la forme \mathfrak P(F), les inf existent (l'intersection) et si J'\subset J=J'\amalg\lbrace\alpha\rbrace, et k\in J mais non k\subset J', alors k=k'\amalg\lbrace\alpha\rbrace avec k'=k\cap J', …)

\sigma sur Fen marge gauche.

Ceci posé, considérons le diagramme

\begin{tikzcd} X_{j'} \arrow[r] & X_j \\ X_{k'} \arrow[u] \arrow[r] & X_k \arrow[u] \end{tikzcd}

où les flèches verticales, par l'hyp. , sont des plongements bordants. Ceci posé, on voit (par b, c) que ~~(X_k\to X)~~ (X_k,X_{k'})\to(X_j,X_{j'})

Stratifications et voisinages côniques

Sans numéro de sa main.

7. Stratifications et voisinages côniques : le jeu des récurrences…

(X_i)_{i\in I}, famille croissante de parties de X, satisfaisant (14)\qquad \begin{array}{ll} a) & \forall i,j\in I,\ \text{on a}\ X_i\cap X_j=\bigcup_{\alpha\le i,j}X_\alpha .\\[4pt] b) & X=\bigcup_{i\in I}X_i \end{array} Numéro (14) tel quel : il a déjà servi à la page 18 (lot 1) pour une autre formule.

Cette condition généralise … \bigcap X_i=\bigcup_{k\in I,\ k\le\ldots}X_k … …notes en travers dans la marge gauche, en face de (14) ; lecture très incertaine.

Transversalité : un syst. de parties bordantes B_\alpha B_\alpha de X, muni de germes de cylindres associés (mutuellement transversaux entre eux) : si on par des cylindres représentant les germes que les X_i soient transversaux E_{B_\alpha}, supposons de l'E_{B_\alpha} – cela implique que l'isom. E_J\cap X_i\simeq(X_{iJ}\times\mathbf{I}^J)\qquad\text{(induit par } E_J\simeq B_J\times\mathbf{I}^J\text{, où } X_{iJ}=X_i\cap B_J\text{)}.

J pour d'indicesen marge gauche.

Soit I_0\subset I une partie de I formée d'éléments minimaux, et soit X_{I_0}=\bigcup_{i\in I_0}X_i=\coprod_{i\in I_0}X_i .

La donnée d'un germe strict ~~de structure~~ de X_{I_0} équivaut : d'un voisinage cônique équivaut à celle d'un syst. de voisinages côniques T_i (i\in I_0) mutuellement disjoints des X_i. – celle d'un germe de voisinage cônique de X, à celle d'une famille de germes de vois. côniques des X_i dans X.« strict » est ajouté au-dessus de « germe » ; les deux « équivaut » sont tels quels, la phrase a été reprise sans être remise en ordre. « de X » : on attend X_{I_0}.

En haut à gauche, « 10 » de sa main. La page reprend la suite de la page 28 (fin de c) de (6.)).

~~Soit~~ « transversal » i.e. \exists voisinage cylindrique de X_{j'}, ~~et un~~ de X_{k'} dans X_k, tel que l'application X_k\to X_j induise un morphisme ~~homéomorphisme~~ sur les cylindres (compatible avec les structures cylindriques) et de plus E_{k;k}=p_{jk}^{-1}(E_{j';j}) . (avec X_{j'} dans les X_j)Indices lus tels quels : on attend E_{k';k}.

Système de voisinages cylindriques compatible avec une stratification : tel que dans b), les E_{j';j} (j fixé, j' prédécesseur) soient compatibles. Notion correspondante pour les germes de voisinages cylindriques.

Stratification cylindrique : stratification munie d'une telle « structure cylindrique », en termes de germes de voisinages cylindriques.

~~Mettre~~

NB Une stratification précylindrique resp. cylindrique ~~est sûrement~~ est « équisingulière » un sens plus fort que (C) suite.

Mais j'ai oublié une condition, que j'exigerai pour les stratifications : \forall i,j\in I,\ \text{on a}\ X_i\cap X_j=\bigcup_{k\le i,j}X_k . Corollaire : si X_i\cap X_j\neq\emptyset, alors i,j ont un minorant k (tel que X_k\neq\emptyset…)

NB si i,j ont un h, \inf(i,j) X_i\cap X_j=X_h minorantnote en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

En haut à gauche, « 11 » de sa main ; suite de la page 29.

Prenons T_{I_0}=\coprod_{\beta\in I_0}T_\beta voisinage cônique strict de X_{I_0}, supposons le strict transversal aux (B_i,\mathcal E_i), et ~~aussi~~ que les X_i (i\in I^{*}\overset{\text{déf}}{=}I\setminus I_0) soient str. admissibles pour T_{I_0}.

Notons que en vertu de (14), si \beta\in I_0 donc minimal dans I, on a pour i\in I… (14')\qquad X_i\cap X_\beta= \begin{cases} \emptyset & \text{si } i\not\ge\beta\\ X_\beta & \text{si } i\ge\beta\ \text{(cas trivial)} \end{cases} Soit I_\beta \subset I^{*} l'ens. des i\in I tels que i>\beta. On a donc (15)\qquad i\in I^{*}\setminus I_\beta\Longrightarrow X_i\cap T_\beta=\emptyset (car X_i\cap X_\beta=\emptyset et X_i admissible pour T_\beta), (16)\qquad i\in I_\beta\Longrightarrow X_i\supset X_\beta Donc on a (16')\qquad X_i\cap T_\beta=\mathbf{I}.\underbrace{X_i\cap\dot T_\beta}_{\dot X_i}\cup X_\beta

Ainsi, le système (17)\qquad\bigl(X,\ (X_i)_{i\in I},\ (B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in R},\ (T_\beta)_{\beta\in I_0}\bigr) se reconstitue à l'aide de …Numéros (15), (16) tels quels : le lot 1 a déjà une formule (15), page 20 (biffée). Le reste de la page – une première écriture du système (18) : X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}_{I_0}, (\dot X_\beta) avec \dot X_\beta=\dot T_\beta, (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha) avec B^{*}_\alpha=B_\alpha\cap X^{*}, \mathcal E^{*}_\alpha=\mathcal E_\alpha|X^{*}, (X_{\beta\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha})_{\beta\in I_0}=(B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)|X_\beta, (\dot X_\beta\to X_\beta)_{\beta\in I_0} – est barré de longues diagonales et repris à la page 32.

En haut à gauche, « 12 » de sa main.

(18)\quad\left\lbrace \begin{array}{l} \overbrace{X^{*},\ (\dot X_\beta)_{\beta\in I_0},\ (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}}^{\text{syst. de cylindres-bords transversaux}},\ (X^{*}_i)_{i\in I^{*}}\ ;\ (X_\beta)_{\beta\in I},\ (B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})_{\alpha\in\Lambda,\ \beta\in I_0},\\[6pt] (\dot X_\beta\xrightarrow{\ p_\beta\ }X_\beta)_{\beta\in I_0} \end{array}\right\rbrace avec X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}_{I_0}, \dot X_\beta=\dot T_\beta, (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)=(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)|X^{*}, X^{*}_i=X_i\cap X^{*}, (B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})=(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)|X_\beta, de façon suivante :Ces égalités sont écrites sous les termes de (18), reliées par des « = » verticaux. L'indice \beta\in I de (X_\beta) est tel quel ; on attend \beta\in I_0. L'accolade supérieure est de sa main.

(19)\quad\left\lbrace \begin{array}{l} \hat X=X^{*}\amalg_{\dot X=\coprod\dot X_\beta}\underbrace{\mathcal C\bigl(p=\textstyle\coprod p_\beta\bigr)}_{\coprod_\beta\mathcal C(p_\beta)},\\[10pt] T_\beta=\mathcal C(p_\beta)\\[4pt] X_\beta\ \text{pour}\ \beta\in I_0\ \text{clair}\\[4pt] X_i\ \text{pour}\ i\in I^{*}\ \text{est donné par}\\[4pt] \qquad\bar X_i=X^{*}_i\cup\bigcup_{\beta\in I_0,\ \beta\le i}\bigl(\mathbf{I}.\dot X_{i\beta}\cup X_\beta\bigr),\qquad \dot X_{i\beta}\overset{\text{déf}}{=}X^{*}_i\cap\dot X_\beta\\[10pt] B_\alpha=B^{*}_\alpha\cup\bigcup_{\beta\in I_0}\mathbf{I}.\dot B_\alpha,\qquad \dot B_\alpha\overset{\text{déf}}{=}B^{*}_\alpha\cap\dot X_\beta\\[10pt] \mathcal E_\alpha\ \text{défini par}\ \mathcal E^{*}_\alpha\ \text{et les}\ (B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha}) \end{array}\right. Dans la marge gauche de (19) : « les \dot X_\beta disjoints ». Sur la ligne de X_i, une première écriture « X_i=\mathbf{I}.\dot X_i … » est biffée, et dans la formule de \bar X_i un terme en \dot X_{\beta} est biffé d'un gribouillis ; l'indice « \beta\le i » remplace une première écriture biffée. Le \hat X (lettre coiffée) et le \bar X_i sont tels quels.

Conditions sur (18) (20)\quad \begin{array}{ll} (a) & \text{Les } X_\beta \text{ disjoints}\\ (b) & \text{Chaque } \dot X_\beta \text{ transverse : } (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)\ \Longrightarrow\ \text{le syst. induit dans } (\dot X_\beta,\ldots)\ (\dot B^{\alpha},\dot{\mathcal E}^{\alpha})\\ (c) & (\dot X_\beta,\underbrace{\dot B_{\beta\alpha},\dot{\mathcal E}_{\beta\alpha}}_{\text{induit sur }\dot X_\beta\text{ par }(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)})\longrightarrow(X_\beta,B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})\ \text{est transverse}\\ (d) & \text{Les } X^{*}_i \text{ transverses aux } \bigl((\dot X_\beta,\mathcal E_\beta)_{\beta\in I_0},(B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}\bigr) \end{array} Les lettres (a) à (d) sont cerclées. Une accolade réunit (a) et (b), d'où part la flèche vers « le syst. induit dans \dot X_\beta » (lecture incertaine, en bord de page), et une autre, en marge gauche, réunit (b) à (d) ; le numéro (20) est porté en marge. En face de (c), à droite : « est transverse ».

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 12.

Il faut de plus des conditions qui assurent, à partir des données (18), que i\mapsto X_i est croissant, et que la condition (14) X_i\cap X_j=\bigcup_{k\le i,j}X_k . Pour ~~les~~ exprimer ces conditions, introduisons pour tout \beta\in I_0 l'ens. (21)\qquad I^{*}_\beta=\lbrace i\in I^{*}\mid i>\beta\rbrace donc la donnée de (I,I') (I ens. ordonné) équivaut à celle de I^{*}, I_0 (ens. ordonnés) et de la famille des I^{*}_\beta\subset I^{*} (\beta\in I_0) ( j\in I^{*}).« (I,I') » tel quel ; on attend (I,I_0).

Pour ~~exprimer~~ exprimer que i\le j implique X_i\subset X_j, on distingue le cas où i\in I_0 (=\beta), où c'est clair sur (19), et celui où i\in I^{*}, où où c'est clair aussi sur (19), compte tenu de la condition suivante évidente : (e)\qquad i,j\in I^{*},\ i\le j\Longrightarrow X^{*}_i\subset X^{*}_j ~~Pour on doit exiger~~ On doit avoir aussi, manifestement (f)\qquad i,j\in I^{*}\Longrightarrow X^{*}_i\cap X^{*}_j=\bigcup_{h\le i,j}X^{*}_h

Pour la relation X_i\cap X_j=\bigcup_{h\le i,j}X_h\qquad(i,j\in I) il est clair qu'il suffit de prouver le cas où i,j ne sont pas comparables. Quand un des deux, soit \beta, est \in I_0, alors cette relation ~~est~~ signifie que pour \beta\in I_0, i\in I^{*}\setminus I_\beta, on a X_\beta\cap X_i=\emptyset, ce qui résulte de (19).

En haut à gauche, « 13 » de sa main.

Si i,j\in I^{*}, il suffit (grâce à (f)) de vérifier que pour tout \beta, on a X_i\cap X_j\cap T_\beta=\bigcup_{h\le i,j}X_h\cap T_\beta (il suffit de prouver \subset, car \supset trivial). Si X_i\cap X_j\cap T_\beta=\emptyset c'est trivial, on peut donc supposer X_i\cap X_j\cap T_\beta\neq\emptyset ~~i.e. X_i\cap X_j\cap~~ donc X_i\cap T_\beta\neq\emptyset, X_j\cap T_\beta\neq\emptyset i.e. i,j\in I_\beta. Alors ~~cela~~ cela résulte de (f) induit sur \dot T_\beta=\dot X_\beta\subset X^{*}, et de la formule (19). Donc

Th. Les systèmes (17), satisfaisant aux conditions ~~(14)~~ (14) des stratifications, et aux conditions de transversalité explicitées plus haut, équivalent aux systèmes (18), satisfaisant aux conditions (20), en plus des conditions (e) (f) exprimant que les (X^{*}_i)_{i\in I^{*}} forment une stratification de X^{*}.

Structure cônique sur un espace stratifié

8. Structure cônique sur un espace stratifié

Pour X stratifié de type I I par des (X_i)_{i\in I}, alors des sous-espaces bordants donnés (B_\alpha)_{\alpha\in\Lambda} et des ~~germes~~ germes de voisinages cylindriques sur B_\alpha, tels que ~~mutuellement~~ mutuellement transverses, et les (B_\alpha) soient transverses aux X_i, on va ~~construire~~ définir

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 13 (page 34).

par récurrence sur \mathrm{card}\,I la notion de donnée de cônique sur ~~cette base~~ (X,(X_i)_{i\in I},(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}). ~~On posera~~ Si I=\emptyset, on pose la structure vide (il y en a une et une seule). Si I\neq\emptyset, on prend I_0 ens. des éléments minimaux de I, et une donnée cônique sur par définition la donnée

(a)lettre cerclée. d'un vois. con. strict T_{I_0} de X_{I_0}=\bigcup_{\beta\in I_0}X_\beta, transversal aux (B_\alpha,\mathcal E_\alpha) et ~~admissible~~ côniquement transversal aux X_i (i\in I).

– ce qui permet donc d'introduire la structure (19), et en particulier (22)\qquad \underbrace{X^{*},\ (X^{*}_i)_{i\in I^{*}=I\setminus I_0}}_{\text{stratification de } I^{*}},\ \underbrace{\bigl((B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda},\ (\dot X_\beta,\mathcal E_\beta)_{\beta\in I_0}\bigr)}_{\text{famille transversale}} Sous la seconde accolade, en cinq lignes : « famille transversale de sous-espaces bordants « cylindrisés » de X, transversaux aux X_i ». Devant B_\alpha, une lettre biffée (un point surmonté, peut-être \dot B_\alpha ou \mathcal E).

en plus de (23)\qquad \bigl((X_\beta)_{\beta\in I_0},\ (B_{\beta\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha})_{\beta\in I_0,\ \alpha\in\Lambda}\bigr)

On doit avoir de plus :

(b)lettre cerclée. Une structure cônique sur (22) (ce qui a un sens, par récurrence…)

En haut à gauche, « 14 » de sa main.

Remarques 1) Avec des hypothèses de « non singularité » sur la donnée initiale (X,(X_i)_{i\in I},(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}), il doit être vrai qu'il existe une structure cônique. Si la stratification est équisingulière le long de tout X_i^{\circ}\overset{\text{déf}}{=}X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j , alors il doit y avoir une structure cônique équisingulière (avec la définition ad-hoc évidente) – il suffit de savoir construire un tube équisingulier autour de X_{I_0}…Sous l'indice j<i, une seconde écriture « j\le i ».

2) A priori, si on a une suite str. croissante de parties \emptyset\subset I_0\subset I_1\subset\ldots\subset I_{n-1}\subset I_n=I, avec ~~I_i formé d'él. minimaux~~ I_i\setminus I_{i-1} formé d'él. minimaux de I\setminus I_{i-1}, alors on pourrait définir par récurrence une notion de structure cônique pour cette « filtration » de I. Mais on peut montrer que cette notion ne dépend pas, en fait, essentiellement, de la filtration choisie.

3) Au lieu d'une famille de (B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}, on peut supposer donnée sur X une stratification cylindrique ~~de type~~ ( celui où l'ensemble ordonné qui indexe la stratification cylindrique est \mathfrak P(\Lambda)^{\circ}.

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 14.

Il n'y a pas de difficulté essentielle au traitement fait ici. Plus tard, on généralisera cette notion de stratification cylindrique (globale) en une notion de stratification cylindrique locale – et …

Description d'une stratification cônique de type I

9. Description d'une ~~structure~~ stratification cônique de type I (I un ordonné fini).

Pour simplifier, on prend d'abord le cas où on ne se donne pas de stratifications cylindriques sur X par dessus le marché.

Un mot biffé ; le reste de la page est blanc.

En haut à gauche, « 15 » de sa main.

Stratification ~~équisingulière~~ équisingulière de type I (I un ens. ordonné fini) : présentation standard. On suppose donné une « ~~catégorie~~ catégorie topologique modèle » \mathcal M ( par ex. pour fixer les idées, pour que ce puisse être aussi celle des espaces topologiques…). La présentation est donnée par un foncteur \Sigma:\mathrm{Drap}(I)\longrightarrow\mathcal M,\qquad (i_0,\ldots,i_n)\longmapsto\Sigma_{i_0\ldots i_n} avec les propriétés suivantes

(1) Les morphismes \Sigma_{i_0\ldots i_n}\longrightarrow\Sigma_{i_0,\ldots,i_p} (relatifs : une inclusion de drapeaux d\hookrightarrow d' telle que d soit un segment initial de d') sont fibrants{}^{*} ~~(2)~~ (il suffit de le supposer pour \Sigma_{i_0\ldots i_n}\to\Sigma_{i_0\ldots i_{n-1}})

{}^{*} C'est trop faible, si on veut l'équisingularité – il faut supposer que pour d fixé, et pour d'=d\amalg\delta, \delta variable (i.e. \delta est donné comme drapeau quelconque des I^{\,\ill{}}, ) la famille des \Sigma_{d'} au-dessus de \Sigma_d est loc. trivialeNote de renvoi, écrite en travers dans la marge droite, rattachée par l'astérisque à « fibrants » ; lecture incertaine dans le détail.

(2) Les morphismes \Sigma_{i_0\ldots i_n}\longrightarrow\Sigma_{i_0\ldots\widehat{i_p}\ldots i_n},\qquad (p\neq n) ~~\Sigma_{d'}\to\Sigma_d~~ sont des plongements-bord (NB si p=n, c'est un morphisme fibrant) i.e. plongements bords cylindriques.« p\neq n » est entouré.

NB cette condition équisingulière … On veut de plus une structure cylindrique conditions (2), notes en travers dans la marge gauche ; lecture très incertaine.

Cor. Soit d\hookrightarrow d' tel que d et d' aient même , alors \Sigma_{d'}\to\Sigma_d est un plongement.

Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 15. La page est très chargée : notes en haut, à droite et, en travers, dans toute la marge gauche.

{}^{*} Il suffit déjà que l'on ait que si d\cap d' soit segment initial de d' et contienne le plus grand élément de d, ce qui signifie par (D), \Sigma_d\to\Sigma_\delta et \Sigma_{d''}\to\Sigma_d est fibrantNote en tête de page, séparée du texte par un trait, rattachée par l'astérisque à « sans plus » ; lecture incertaine. (D) est cerclé.

(3) Soient d,d' deux drapeaux tels que sans plus{}^{*} le dernier élément i de d soit le premier élément de d' et considérons d''=d\cup d' et le diagramme

\begin{tikzcd} \Sigma_{d''} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_{d'} \arrow[d] \\ \Sigma_d \arrow[r, hook] & \Sigma_i \end{tikzcd}

Ce dernier est cartésien. (Pour d ou d' i.e. réduit à \lbrace i\rbrace, cette condition est triviale)

Il suffit de le supposer quand d et d' sont de longueur 2 ( ). On en déduit plus généralement que lorsque d,d' sont deux drapeaux et que d''=d\cup d' soit un drapeau, d''=d\amalg_\delta d' , alors (D) \Sigma_{d''}\to\Sigma_{d'}, \Sigma_d\to\Sigma_\delta cartésien.Note encadrée à droite, en face du diagramme, écrite serrée ; (D) est cerclé et accompagne un petit carré \Sigma_{d''}\to\Sigma_{d'}, \Sigma_d\to\Sigma_\delta ; lecture incertaine.

De plus, il faut supposer que lorsque d est de longueur 2, alors \Sigma_{d'}\to\Sigma_\delta est transverse aux sous-espaces cylindriques \Sigma_d de \Sigma_{\ill{}} – et pour ces structures cylindriques Passage serré, ajouté en face de la fin de (3) ; lecture incertaine.

Cela revient donc à \Sigma_{\ill{}} construire les \Sigma_d, précisément connaissant les \Sigma_i, \Sigma_{ij} (i<j) et les morphismes

\begin{tikzcd} \Sigma_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_j \\ \Sigma_i & \end{tikzcd}

~~Pour~~ (NB, la verticale est fibrante, et l'horizontale un morphisme-bord). Pour avoir les morphismes de transition entre les \Sigma_{d'} (construits par récurrence sur long d, pour long 0 et 1 étant déjà donné) il faut se donner les morphismes \underbrace{\Sigma_{ij}\times_{\Sigma_j}\Sigma_{jk}}_{\overset{\text{déf}}{=}\Sigma_{ijk}}\longrightarrow\Sigma_{i,k} satisfaisant aux conditions…

\mathrm{Dr}(I) … a) \Sigma_d\cap\Sigma_{d'}=\emptyset si … \Sigma_{i_0\ldots i_n}=\Sigma_{i_0}\cap\ldots … b) \Sigma_{i_0\ldots i_n} … (\Leftarrow \Sigma_d\cap\Sigma_{d'}=\Sigma_{d\cup d'}) … c) On cylindriques transverses Longues notes en travers dans toute la marge gauche, sur une douzaine de lignes serrées ; seuls quelques fragments se lisent, dans une lecture très incertaine.

En haut à gauche, « 16 » de sa main.

La donnée des \Sigma_i équivaut : à la donnée d'un \Sigma_{*}\in\mathcal M (\Sigma_{*}=\coprod\Sigma_i) et d'une partition de type I de \Sigma_{*} i.e. d'un morphisme \Sigma_{*}\to I_{\mathcal M}. Celle des \Sigma_{ij} équivaut : celle d'un objet \Sigma_{**} au-dessus de I\times I ~~\mathrm{Drap}_2(I)~~. ~~I\times I~~ (on pose \Sigma_{ij}=\emptyset si i\not\le j, \Sigma_{ii}=\Sigma_i)

La donnée des

\begin{tikzcd} \Sigma_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_j \\ \Sigma_i & \end{tikzcd}

équivaut : celle de deux morphismes « source » et « but »

\begin{tikzcd} \Sigma_{**} \arrow[r, "\underline b"] \arrow[d, "\underline s"'] & \Sigma_{*} \\ \Sigma_{*} & \end{tikzcd}

compatibles avec les \mathrm{pr}_1 et \mathrm{pr}_2 de I\times I dans I (~~NB la~~ Comme la bigraduation de type I de \Sigma_{**} est déduite de ~~celle~~ la graduation de type I de \Sigma_{*}, et de \underline b et \underline s) – où \underline b est loc.t un morphisme bord (i.e. est une immersion ~~bord~~) et \underline s est une fibration. On a de plus \underline i:\Sigma_{*}\longrightarrow\Sigma_{**} « morphisme identité », dont le composé avec \underline b et \underline s est l'identité. La donnée des \Sigma_{ijk}\to\Sigma_{ik} revient :