Cote n° 150, pages 21–40

Cote n° 150 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1981-1982
Édition de démonstration

Germes de voisinages côniques, ou cylindriques. Transversalité

21En haut à gauche, « 6 » de sa main : sixième feuillet de la suite « Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques) » du lot 1 (feuillets 1) à 5), pages 11 à 19). Le titre est précédé du numéro de paragraphe (5) cerclé ; il reprend donc le paragraphe (5) de la page 20, biffée.

(5)numéro cerclé. Germes de voisinages côniques, ou cylindriques. Compatibilités Transversalité.

Soit \(Y\subset X\). Deux voisinages […] [\(T,T'\)] côniques de \(Y\) dans \(X\) sont équivalents s'il existe \(\lambda,\lambda'\in\,]0,1[\) tels que \(\lambda T=\lambda' T'\) (égalité [compatible] avec les structures côniques sur \(Y\)). C'est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence est un germe de voisinage cônique. On dit qu'un \(X_i\subset X\) est compatible avec un germe, représenté par \(T\), s'il est [\(\exists\lambda\in\,]0,1[\) tel qu'il soit] compatible avec \(\lambda T\) (donc aussi avec \(\lambda' T\) pour \(0<\lambda'\le\lambda\)) – ce qui ne dépend pas du choix du représentant. Idem pour la notion de compatibilité stricte.

\(\varepsilon\in\,]0,1[\), donc par \(\lambda T=\varepsilon\lambda' T'\)note en travers dans la marge gauche, en face de « \(\lambda T=\lambda'T'\) » ; lecture incertaine.

Si \(T\) et \(T'\) sont équivalents, alors \(T\) est cylindrique ssi \(T'\) l'est. On trouve ainsi la notion d'équivalence de voisinages cylindriques, et [celle] de germe de voisinages cylindriques. (Pour qu'il en existe, il faut que \(Y\) soit un sous-espace bordant.)

on dira aussi […] \(Y\) bordant \(X\), […] […] […] bordant …note en travers dans la marge gauche, en face de la parenthèse ; lecture très incertaine.

Item pour équisingularité d'un germe de voisinages côniques.

Soit \((\tilde X^{*},\dot T)\), où \(\dot T\subset\tilde X^{*}\) muni d'un germe de voisinage cylindrique. Soit \(\dot T\to Y\) application continue, alors […] \[ X=\tilde X^{*}\amalg_{\dot T}Y\supset Y \] est muni d'un germe de voisinage cy cônique, qui est équisingulier ssi \(\dot T\to Y\) est fibrant.

22En haut à gauche, un chiffre surchargé, illisible ; la page continue le feuillet 6 (page 21).

NB […] […] Th. […] […] […] un voisinage […] […] […] […] voisinage cylindrique […] (catégories […])Plusieurs lignes en travers dans l'angle supérieur gauche, serrées contre le texte ; on ne lit sûrement que « NB », « voisinage cylindrique », « catégories ».

[…] [deux] catégories […] : a) celle des couples [systèmes] \((\tilde X^{*},\dot X,\mathcal E,Y,f)\), où \(\tilde X^{*}\) esp. top., \(\dot X\) partie fermée, \(\mathcal E\) un germe de voisinages cylindriques de \(\dot X\) dans \(\tilde X^{*}\), \(Y\) esp. top., \(f:\dot X\to Y\) application continue ; b) celle des systèmes \((X,Y,\mathcal T)\), où \(X\) esp. top., \(Y\) partie fermée, \(\mathcal T\) un germe de voisinages côniques de \(Y\) dans \(X\). Comme Alors Alors le foncteur [ci-dessus] naturel de a) dans b) est une équivalence de catégories.

Rappelons que \[ X=\tilde X^{*}\amalg_{\dot X}Y . \]

NB \((\tilde X^{*},\dot X)\), germe de […] cônique de […] \(X\) […] \((Y,\mathcal T)\)note en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

NB Une [Une partie fermée \(X'\)] de \(X\) revient donc à une partie \(\tilde X'^{*}\) de \(\tilde X^{*}\), \(Y'\) de \(Y\), ayant même image inverse dans \(\dot X\), et \(X'\) est fermée ssi \(\tilde X'^{*}\) et \(Y'\) le sont. Pour que \(X'\) soit [Pour que \(X'\) soit] compatibles avec le germe de structure cônique \(\mathcal T\), il faut et suffit qu'une description […] que \(X'\) il faut et suffit que l'on ait a) \(\tilde X'\) compatible avec le germe de structure cylindrique de \((\tilde X,\dot X)\). Il y a lieu alors de compléter \(\tilde X'\) par \(\overline{X'\cap X^{*}}\) (\(=X^{*}=\tilde X\setminus\dot X\)), et le germe de \(\tilde X'_1\) au voisinageAu-dessus de « \(\tilde X'\) », en fin de ligne, il a écrit « \(\tilde X'_1\) » ; la phrase continue sur la page suivante.

23En haut à gauche, « 7 » de sa main.

de \(\dot X\subset\tilde X\) est déterminé par la connaissance de \[ \tilde X'_1\cap\dot X=\dot X'_1 . \]

Corollaire Les parties [fermées] \(X'\) de \(X\) compatibles avec le germe de structure cônique, sont en corr. 1-1 avec les couples \((\tilde X'\subset\tilde X,\ Y'\subset Y)\) de parties fermées fermées de \(\tilde X\) et de \(Y\), telles que

a)\(\tilde X'\) soit compatible avec le [germe de] structure cylindrique de \(\tilde X,\dot X\) ;
b)\(f:\dot X\to Y\) applique […] \(\dot X'\overset{\text{déf}}{=}\tilde X'\cap\dot X\) dans \(Y'\).

On aura \[ X'=\underbrace{\mathrm{Im}\,(\tilde X'\ \text{par}\ \tilde X\to X)}_{X'\setminus Y\cap X'}\cup Y' \] Sous l'accolade, « \(Y\cap X'\) » est lui-même souligné d'une petite accolade marquée « \(Y'\) ».

Pour que \(X'\) soit strictement compatible avec [cônique strict], le germe de structure cônique il faut et suffit que \(Y'=\mathrm{Im}\,(\dot X'\to Y)\).

Soit maintenant \(X_0\subset X\) une partie bordante de \(X\), et \(\mathcal E\) une [germe de] structure cylindrique de \(X_0\) dans \(X\). On dit que \(\mathcal E\) est compatible avec le germe de structure cônique \(\mathcal T\) de \(X\) autour de \(Y\), si \(\exists\) représentants \(E\) [\(\simeq X_0\times\mathbf{I}\)] voisinage cylindrique de \(X_0\), et \(T\) voisinage cônique de \(Y\) (avec structure cônique), tels que

a) \(T\cap E\), \(\dot T\cap E\), et \(Y\cap E\) compatible [soient] des parties cylindriques et \(E\cap T\) soit stable par les deux types d'homothéties \(x\mapsto\lambda.x\) que celles […]…

on dira aussi « \(E\) est compatible » ou « […] […] » … donc stable par \(E\)-homothéties par \(\lambda\in[0,1]\)notes en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

Le bas de la page (depuis « et \(E\cap T\) soit stable ») est barré de longues diagonales et repris en haut de la page 24. On y lit encore, sous les traits : « i.e. » \(\dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I}\), \(T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\), \(Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I}\), avec \(T_0=X_0\cap T\), \(Y_0=\dot X_0\cap Y\).

24Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 7 (page 23).

\[ \begin{array}{c} \dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I}\\ \cap\\ T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\\ \cup\\ Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I} \end{array} \qquad\text{où}\qquad \begin{array}{l} \dot T_0=\dot T\cap X_0\\ T_0=T\cap X_0\\ Y_0=Y\cap X_0 \end{array} \] Devant la deuxième ligne, un mot biffé (« i.e. »).

et si, symétriquement, \(T\cap E\), \(T\cap\dot E\), \(X_0\), \(T\cap E\)

b) \(E\cap T\) \((=T\cap E)\), \(\dot E\cap T\) \(\simeq T_0\times\partial\mathbf{I}\), \(X_0\cap T\) \((=T\cap X_0=T_0)\) sont des ensembles côniques de \(T\), donc en particulier stables par \(T\)-homothéties. Le fait que Notons que les trois ensembles précédents s'identifient, grâce à a), à : \(T_0\times\mathbf{I}\), \(T_0\times\lbrace1\rbrace\), \(T_0\times\lbrace0\rbrace\). On suppose enfin

c) Les homothéties par \(\lambda_E\) et \(\lambda_T\) [commutent] dans \(T\cap E\), ce qui implique que l'application induite par \(\lambda_T\) (\(\lambda\in[0,1]\)) sur \(T_0\times\lbrace0\rbrace\) et \(T_0\times\lbrace1\rbrace\) s'identifie, via homothétie une opération de \(T_0\to T_0\), […] soit \(\lambda_{T_0}\), et que l'opération \(\lambda_T\) sur \(T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\) s'identifie à : […] \(\lambda_{T_0}\times\mathrm{id}_{\mathbf{I}}\).

Donc les conditions a) b) c) équivalent à celle-ci :

Condition de compatibilité \(\exists\) homéomorphisme \[ T\cap E\simeq T_0\times\mathbf{I}\qquad(\text{compatible avec } E\simeq X_0\times\mathbf{I}) \] compatible avec structure induisant \[ \dot T\cap E\simeq\dot T_0\times\mathbf{I},\qquad Y\cap E\simeq Y_0\times\mathbf{I} \] tel que la structure cônique de \(T\) sur \(Y\) [induite] sur \(T_E\) sur \(Y_E\) soit [soit] la structure cônique produit [par \(\mathbf{I}\),] d'une structure cônique de \(T_0\) sur \(Y_0\subset T_0\), par \(\mathbf{I}\)

25En haut à gauche, « 8 » de sa main.

NB Cette condition implique que pour \(\lambda_0,\lambda'_0\in[0,1]\), \(\lambda_{0E}E\) et \(\lambda'_{0T}T\) sont compatibles.

Si \(T\) est aussi cylindrique, la condition envisagée de compatibilité des deux structures cylindriques est symétrique.

Prop. [(]Si \((X,Y,\mathcal T)\) est décrit par \((\tilde X,\dot X,\mathcal E_{\dot X},Y,\dot X\to Y)\)[)], alors les [couples] \((X_0,\mathcal E)\) [germes de] structures cylindriques compatibles avec le germe de structure cônique \(\mathcal T\) correspondent aux couples [systèmes] \[ (\tilde X_0,\ \mathcal E_{\tilde X_0},\ Y_0,\ \mathcal E_{Y_0}) \] où \(\tilde X_0\) est une partie bordante de \(\tilde X\), munie d'un germe de voisinages cylindriques \(\mathcal E_{\tilde X_0}\), où \(Y_0\) est une partie bordante de \(Y\), munie d'un germe de voisin voisinages cylindriques \(\mathcal E_{Y_0}\), ces données satisfaisant aux conditions suivantes :

a) \(\mathcal E_{\tilde X_0}\) et \(\mathcal E_{\dot X}\) sont des [germes de] structures cylindriques compatibles dans [\(\tilde X\)], donc \(\dot X_0\subset\dot X\) [(\(\dot X_0=\tilde X_0\cap\dot X\))] hérite d'un germe germe de structure cylindrique (induit par \(\mathcal E_{\tilde X_0}\)) ;

b) Le morphisme \(\dot X\xrightarrow{\ p\ }Y\) \((\dot X,\ldots)\to(Y,\ldots)\) est compatible avec \((\dot X_0,\mathcal E_{\dot X_0})\) et \((Y_0,\mathcal E_{Y_0})\), dans le sens [que \(\dot X_0=p^{-1}(Y_0)\), et] qu'il existe des voisinages cylindriques respectifs de ces germes, munis de […] \(E_{\dot X}\simeq\dot X_0\times\mathbf{I}\), \(E_Y\simeq Y_0\times\mathbf{I}\), tels que

26Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 8.

\(p\,|\,\dot X_0\times\mathbf{I}\) induise \(\dot X_0\times\mathbf{I}\to Y_0\times\mathbf{I}\), s'identifiant à \(p_0\times\mathrm{id}_{\mathbf{I}}\), où \(p_0:X_0\to Y_0\).Il écrit ici \(X_0\) sans point ; on attend \(\dot X_0\).

Compatibilité Transversalité d'une famille finie \((B_i,E_i)\) de voisinages cylindriques de parties \(B_i\) de \(X\).

La condition s'exprime en disant que pour tout \(J\subset I\), \(I\) fini, la structure de \(\bigcap_{i\in J}E_{B_i}\overset{\text{déf}}{=}E_J\), au-dessus de \(B_J\overset{\text{déf}}{=}\bigcap_{i\in J}B_i\), [est isomorphe] à celle de \(B_J\times\mathbf{I}^J\), l'homothétie \(\lambda_{E_j}\) [(pour \(j\in J\))] de \(E_J\) (ci-dessus) correspondant à \[ (b,(t_\alpha)_{\alpha\in J})\longmapsto(b,(t'_\alpha)),\qquad t'_\alpha=t_\alpha\ \text{si}\ \alpha\neq j,\quad t'_\alpha=\lambda t_\alpha\ \text{si}\ \alpha=j . \]

et homéomorphisme \(E_J\simeq B_J^{\mathbf{I}}\) […] […] … \(\dot B_J=\bigcap_{i\in J}\dot E_i\) …notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées ; lecture très incertaine.

Cela peut aussi s'expliciter en exigeant que \(E_J\) soit cylindrique dans chaque \(E_{B_j}\) …

Cette relation de transversalité […] pour un germe […]

On dit que la famille précédente et un voisinage cônique \(T\) de \(Y\subset X\) sont transversaux si [de plus] \(\forall J\) […] comme dessus, compatible si la structure des \(T\cap E_J\) : \[ \begin{array}{lll} E_J\cap T\simeq T_J\times\mathbf{I}^J & & (\text{où } T_J=T\cap B_J)\\ \qquad\cup & & \\ \dot E_J\cap\dot T\simeq\dot T_J\times\mathbf{I}^J & \text{induisant} & (\text{où } \dot T_J=\dot T\cap B_J)\\ E_J\cap Y\simeq Y_J\times\mathbf{I}^J & \text{induisant} & (\text{où } Y_J=Y\cap B_J) \end{array} \] En marge, en face de la première ligne : « induit par \(E_J\simeq B_J\times\mathbf{I}^J\) ». Dans la deuxième ligne il écrit \(\dot E_J\cap\dot T\), dans la parenthèse finale de la troisième \(Y\sim B_J\) pour \(Y\cap B_J\).

27En haut à gauche, « 9 » de sa main.

avec \(E_J\cap T\) cônique sur \(T\), et la structure cônique induite étant la structure produit par \(\mathbf{I}^J\) d'une structure cônique sur \((T_J,Y_J)\), ayant \(\dot T_J\) comme partie-bord des cônes sur \(Y_J\)…

Relations avec stratifications de type \(I\)

(6.)numéro cerclé. Relations avec stratifications de type \(I\) (\(I\) un ordonné fini).

Une telle stratification ([…] [espace] \(X\)) est la donnée d'une famille croissante de parties fermées \(X_i\). On dit que la stratification est précylindrique si :

a) \(\forall j'\leftrightarrow j\), \(j\) successeur de \(j'\), \(X_{j'}\hookrightarrow X_j\) est [bordant] ;

b) \(\forall j\) \(\forall j\) fixé, \(j'\) variable parmi les prédécesseurs, les […] transversaux […] dans \(X_j\) \(I_{:j}\) ] La structure de […] un

c) \(\forall i\leftrightarrow j\), […] […] […] \(k\) tel que \(i\le k\le j\) est celle de l'un variété d'un simplexe [(=\(S_{ij}\))] – ce qui signifie que si \(S\) est l'ens. des prédécesseurs de \(j\) dans \(I_{i:j}\), i.e. des éléments minimaux de \(I_{i:j}\setminus\lbrace j\rbrace\), et si pour tout \(k\in I_{ij}\), on désigne par \(s_k\) […] [la] partie \(s_k\subset S\) formée [des] \(J\in S\) tels que \(J\ge s_k\) (donc \(s_k=s_{kJ}\)), l'application \(k\longmapsto s_k\) (qui est décroissante) est un est un anti-isomorphisme de \(I_{ij}\) sur \(\mathfrak P(S)\) […] ordonné par inclusion.

i.e. voisinages cylindriques […] […] transversaux … \(X_{j'}\) … NB Cela […] de l'existence d'un simplexe … On […] […] […] […] des […] (c) dans […]Longues notes en travers dans la marge gauche, en face de b) et c) ; lecture très incertaine. Dans la marge droite, un trait vertical ponctué de petits signes accompagne c). Tout ce passage est serré et surchargé : la lecture de b) et de la première ligne de c) est très incertaine.

Combinant b) et c), on voit que la

28Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 9.

structure locale de \(X_j\) le long d'un \(X_i\) (avec la stratification induite de type \(I_{ij}\)) est « cubique » (coin de cube de dimension \(n=\mathrm{card}\,S\)).À droite, un croquis : un coin de carré (deux axes), une courbe au-dessus et une demi-droite hachurée issue du sommet.

La condition c) implique que si \(j'\) est un prédécesseur de \(j\), et si \(k\in I\) est \(\le j\) mais non \(\le j'\), et s'il existe un \(i\) majoré par \(k\) et \(j'\), alors \(k'=\inf(k,j')\) existe, et \(k'\) est un prédécesseur de \(k\).

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & j' \arrow[r, leftrightarrow, "\text{préd}"'] \arrow[d, no head, "\geq" description] & j \arrow[d, no head, "\geq" description] \\
 & k' \arrow[r, leftrightarrow] & k \\
i \arrow[uur] \arrow[urr] & &
\end{tikzcd}

Croquis de sa main : les traits verticaux portent le signe d'ordre (couché), les flèches horizontales ont une pointe à chaque bout, et deux traits partent de \(i\) vers \(j'\) et vers \(k\).

(Il suffit de voir que dans un ens. ordonné de la forme \(\mathfrak P(F)\), les inf existent (l'intersection) et si \(J'\subset J=J'\amalg\lbrace\alpha\rbrace\), et \(k\in J\) mais non \(k\subset J'\), alors […] \(k=k'\amalg\lbrace\alpha\rbrace\) avec \(k'=k\cap J'\), …)

\(\sigma\) sur \(F\)en marge gauche.

Ceci posé, considérons le diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X_{j'} \arrow[r] & X_j \\
X_{k'} \arrow[u] \arrow[r] & X_k \arrow[u]
\end{tikzcd}

où les flèches verticales, par l'hyp. […], sont des plongements bordants. Ceci posé, on voit [(par b, c)] que \((X_k\to X)\) \((X_k,X_{k'})\to(X_j,X_{j'})\)

Stratifications et voisinages côniques

29Sans numéro de sa main.

7. Stratifications et […] voisinages côniques : le jeu [des récurrences]…

\((X_i)_{i\in I}\), famille croissante de parties de \(X\), satisfaisant \[ (14)\qquad \begin{array}{ll} a) & \forall i,j\in I,\ \text{on a}\ X_i\cap X_j=\bigcup_{\alpha\le i,j}X_\alpha .\\[4pt] b) & X=\bigcup_{i\in I}X_i \end{array} \] Numéro (14) tel quel : il a déjà servi à la page 18 (lot 1) pour une autre formule.

Cette condition généralise … \(\bigcap X_i=\bigcup_{k\in I,\ k\le\ldots}X_k\) … […] […] […] …notes en travers dans la marge gauche, en face de (14) ; lecture très incertaine.

Transversalité : un syst. de parties bordantes \(B_\alpha\) [\(B_\alpha\)] de \(X\), muni de germes de cylindres associés (mutuellement transversaux entre eux) : si on […] […] par des cylindres […] représentant les germes que […] […] les \(X_i\) soient transversaux \(E_{B_\alpha}\), […] […] supposons de l'\(E_{B_\alpha}\) – cela implique que l'isom. \[ E_J\cap X_i\simeq(X_{iJ}\times\mathbf{I}^J)\qquad\text{(induit par } E_J\simeq B_J\times\mathbf{I}^J\text{, où } X_{iJ}=X_i\cap B_J\text{)}. \] […]

\(J\) […] […] pour […] d'indicesen marge gauche.

[…] Soit \(I_0\subset I\) une partie de \(I\) formée d'éléments minimaux, […] et soit \[ X_{I_0}=\bigcup_{i\in I_0}X_i=\coprod_{i\in I_0}X_i . \]

[…] La donnée d'un germe [strict] de structure [de] \(X_{I_0}\) équivaut : d'un voisinage cônique équivaut à celle d'un syst. de voisinages côniques \(T_i\) (\(i\in I_0\)) mutuellement disjoints des \(X_i\). – celle d'un germe de voisinage cônique de \(X\), à celle d'une famille de germes de vois. côniques des \(X_i\) dans \(X\).« strict » est ajouté au-dessus de « germe » ; les deux « équivaut » sont tels quels, la phrase a été reprise sans être remise en ordre. « de \(X\) » : on attend \(X_{I_0}\).

30En haut à gauche, « 10 » de sa main. La page reprend la suite de la page 28 (fin de c) de (6.)).

Soit « transversal » i.e. \(\exists\) voisinage cylindrique [de \(X_{j'}\),] et un de \(X_{k'}\) dans \(X_k\), tel que l'application \(X_k\to X_j\) induise un [morphisme] homéomorphisme sur les cylindres (compatible avec les structures cylindriques) et de plus \[ E_{k;k}=p_{jk}^{-1}(E_{j';j}) . \] (avec \(X_{j'}\) dans les \(X_j\))Indices lus tels quels : on attend \(E_{k';k}\).

Système de voisinages cylindriques […] compatible avec une stratification : tel que dans b), les \(E_{j';j}\) (\(j\) fixé, \(j'\) prédécesseur) soient compatibles. Notion correspondante pour les germes de voisinages cylindriques.

Stratification cylindrique : stratification munie d'une telle « structure cylindrique », en termes de germes de voisinages cylindriques.

Mettre

NB Une stratification précylindrique [resp. cylindrique] est sûrement est « équisingulière » […] un sens […] plus fort que […] […] (C) suite.

Mais j'ai oublié une condition, que j'exigerai pour les stratifications : \[ \forall i,j\in I,\ \text{on a}\ X_i\cap X_j=\bigcup_{k\le i,j}X_k . \] Corollaire : si \(X_i\cap X_j\neq\emptyset\), alors \(i,j\) ont un minorant \(k\) (tel que \(X_k\neq\emptyset\)…)

NB si \(i,j\) ont un […] \(h\), \(\inf(i,j)\) […] \(X_i\cap X_j=X_h\) […] […] […] minorantnote en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

31En haut à gauche, « 11 » de sa main ; suite de la page 29.

Prenons \(T_{I_0}=\coprod_{\beta\in I_0}T_\beta\) voisinage […] [cônique] strict de \(X_{I_0}\), supposons le strict transversal aux \((B_i,\mathcal E_i)\), et aussi que les \(X_i\) (\(i\in I^{*}\overset{\text{déf}}{=}I\setminus I_0\)) soient str. admissibles pour \(T_{I_0}\).

Notons que en vertu de (14), si \(\beta\in I_0\) donc minimal dans \(I\), on a pour \(i\in I\)… \[ (14')\qquad X_i\cap X_\beta= \begin{cases} \emptyset & \text{si } i\not\ge\beta\\ X_\beta & \text{si } i\ge\beta\ \text{(cas trivial)} \end{cases} \] Soit \(I_\beta\) [\(\subset I^{*}\)] l'ens. des \(i\in I\) tels que \(i>\beta\). On a donc \[ (15)\qquad i\in I^{*}\setminus I_\beta\Longrightarrow X_i\cap T_\beta=\emptyset \] (car \(X_i\cap X_\beta=\emptyset\) et \(X_i\) admissible pour \(T_\beta\)), \[ (16)\qquad i\in I_\beta\Longrightarrow X_i\supset X_\beta \] Donc on a \[ (16')\qquad X_i\cap T_\beta=\mathbf{I}.\underbrace{X_i\cap\dot T_\beta}_{\dot X_i}\cup X_\beta \]

Ainsi, le système \[ (17)\qquad\bigl(X,\ (X_i)_{i\in I},\ (B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in R},\ (T_\beta)_{\beta\in I_0}\bigr) \] se reconstitue à l'aide de …Numéros (15), (16) tels quels : le lot 1 a déjà une formule (15), page 20 (biffée). Le reste de la page – une première écriture du système (18) : \(X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}_{I_0}\), \((\dot X_\beta)\) avec \(\dot X_\beta=\dot T_\beta\), \((B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)\) avec \(B^{*}_\alpha=B_\alpha\cap X^{*}\), \(\mathcal E^{*}_\alpha=\mathcal E_\alpha|X^{*}\), \((X_{\beta\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha})_{\beta\in I_0}=(B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)|X_\beta\), \((\dot X_\beta\to X_\beta)_{\beta\in I_0}\) – est barré de longues diagonales et repris à la page 32.

32En haut à gauche, « 12 » de sa main.

\[ (18)\quad\left\lbrace \begin{array}{l} \overbrace{X^{*},\ (\dot X_\beta)_{\beta\in I_0},\ (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}}^{\text{syst. de cylindres-bords transversaux}},\ (X^{*}_i)_{i\in I^{*}}\ ;\ (X_\beta)_{\beta\in I},\ (B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})_{\alpha\in\Lambda,\ \beta\in I_0},\\[6pt] (\dot X_\beta\xrightarrow{\ p_\beta\ }X_\beta)_{\beta\in I_0} \end{array}\right\rbrace \] avec \(X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}_{I_0}\), \(\dot X_\beta=\dot T_\beta\), \((B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)=(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)|X^{*}\), \(X^{*}_i=X_i\cap X^{*}\), \((B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})=(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)|X_\beta\), de façon suivante :Ces égalités sont écrites sous les termes de (18), reliées par des « = » verticaux. L'indice \(\beta\in I\) de \((X_\beta)\) est tel quel ; on attend \(\beta\in I_0\). L'accolade supérieure est de sa main.

\[ (19)\quad\left\lbrace \begin{array}{l} \hat X=X^{*}\amalg_{\dot X=\coprod\dot X_\beta}\underbrace{\mathcal C\bigl(p=\textstyle\coprod p_\beta\bigr)}_{\coprod_\beta\mathcal C(p_\beta)},\\[10pt] T_\beta=\mathcal C(p_\beta)\\[4pt] X_\beta\ \text{pour}\ \beta\in I_0\ \text{clair}\\[4pt] X_i\ \text{pour}\ i\in I^{*}\ \text{est donné par}\\[4pt] \qquad\bar X_i=X^{*}_i\cup\bigcup_{\beta\in I_0,\ \beta\le i}\bigl(\mathbf{I}.\dot X_{i\beta}\cup X_\beta\bigr),\qquad \dot X_{i\beta}\overset{\text{déf}}{=}X^{*}_i\cap\dot X_\beta\\[10pt] B_\alpha=B^{*}_\alpha\cup\bigcup_{\beta\in I_0}\mathbf{I}.\dot B_\alpha,\qquad \dot B_\alpha\overset{\text{déf}}{=}B^{*}_\alpha\cap\dot X_\beta\\[10pt] \mathcal E_\alpha\ \text{défini par}\ \mathcal E^{*}_\alpha\ \text{et les}\ (B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha}) \end{array}\right. \] Dans la marge gauche de (19) : « les \(\dot X_\beta\) disjoints ». Sur la ligne de \(X_i\), une première écriture « \(X_i=\mathbf{I}.\dot X_i\) … » est biffée, et dans la formule de \(\bar X_i\) un terme en \(\dot X_{\beta}\) est biffé d'un gribouillis ; l'indice « \(\beta\le i\) » remplace une première écriture biffée. Le \(\hat X\) (lettre coiffée) et le \(\bar X_i\) sont tels quels.

Conditions sur (18) \[ (20)\quad \begin{array}{ll} (a) & \text{Les } X_\beta \text{ disjoints}\\ (b) & \text{Chaque } \dot X_\beta \text{ transverse : } (B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)\ \Longrightarrow\ \text{le syst. induit dans } (\dot X_\beta,\ldots)\ (\dot B^{\alpha},\dot{\mathcal E}^{\alpha})\\ (c) & (\dot X_\beta,\underbrace{\dot B_{\beta\alpha},\dot{\mathcal E}_{\beta\alpha}}_{\text{induit sur }\dot X_\beta\text{ par }(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)})\longrightarrow(X_\beta,B_{\beta,\alpha},\mathcal E_{\beta,\alpha})\ \text{est transverse}\\ (d) & \text{Les } X^{*}_i \text{ transverses aux } \bigl((\dot X_\beta,\mathcal E_\beta)_{\beta\in I_0},(B^{*}_\alpha,\mathcal E^{*}_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}\bigr) \end{array} \] Les lettres (a) à (d) sont cerclées. Une accolade réunit (a) et (b), d'où part la flèche vers « le syst. induit dans \(\dot X_\beta\) » (lecture incertaine, en bord de page), et une autre, en marge gauche, réunit (b) à (d) ; le numéro (20) est porté en marge. En face de (c), à droite : « est transverse ».

33Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 12.

Il faut de plus des conditions qui assurent, à partir des données (18), que \(i\mapsto X_i\) est croissant, et que la condition (14) \[ X_i\cap X_j=\bigcup_{k\le i,j}X_k . \] Pour les exprimer ces conditions, introduisons pour tout \(\beta\in I_0\) l'ens. \[ (21)\qquad I^{*}_\beta=\lbrace i\in I^{*}\mid i>\beta\rbrace \] donc la donnée de \((I,I')\) [(I ens. ordonné)] équivaut à celle de \(I^{*}\), \(I_0\) [(ens. ordonnés)] et de la famille des \(I^{*}_\beta\subset I^{*}\) (\(\beta\in I_0\)) [([…] \(j\in I^{*}\))].« \((I,I')\) » tel quel ; on attend \((I,I_0)\).

Pour exprimer [exprimer] que \(i\le j\) implique \(X_i\subset X_j\), on distingue le cas où \(i\in I_0\) [(\(=\beta\))], […] où c'est clair sur (19), et celui où \(i\in I^{*}\), où où c'est clair aussi sur (19), compte tenu de la condition suivante évidente : \[ (e)\qquad i,j\in I^{*},\ i\le j\Longrightarrow X^{*}_i\subset X^{*}_j \] Pour on doit exiger On doit avoir aussi, manifestement \[ (f)\qquad i,j\in I^{*}\Longrightarrow X^{*}_i\cap X^{*}_j=\bigcup_{h\le i,j}X^{*}_h \]

Pour la relation \[ X_i\cap X_j=\bigcup_{h\le i,j}X_h\qquad(i,j\in I) \] il est clair qu'il suffit de prouver le cas où \(i,j\) ne sont pas comparables. Quand un des deux, soit \(\beta\), est \(\in I_0\), alors cette relation est signifie que pour \(\beta\in I_0\), \(i\in I^{*}\setminus I_\beta\), on a \(X_\beta\cap X_i=\emptyset\), ce qui résulte de (19).

34En haut à gauche, « 13 » de sa main.

Si \(i,j\in I^{*}\), il suffit [(grâce à (f))] de vérifier que pour tout \(\beta\), on a \[ X_i\cap X_j\cap T_\beta=\bigcup_{h\le i,j}X_h\cap T_\beta \] (il suffit de prouver \(\subset\), car \(\supset\) trivial). Si \(X_i\cap X_j\cap T_\beta=\emptyset\) c'est trivial, on peut donc supposer \(X_i\cap X_j\cap T_\beta\neq\emptyset\) i.e. \(X_i\cap X_j\cap\) donc \(X_i\cap T_\beta\neq\emptyset\), \(X_j\cap T_\beta\neq\emptyset\) i.e. \(i,j\in I_\beta\). Alors cela cela résulte de (f) induit sur \(\dot T_\beta=\dot X_\beta\subset X^{*}\), et de la formule (19). Donc

Th. Les systèmes (17), satisfaisant aux conditions (14) (14) des stratifications, et aux conditions de transversalité explicitées plus haut, équivalent aux systèmes (18), satisfaisant aux conditions (20), en plus des conditions (e) (f) exprimant que les \((X^{*}_i)_{i\in I^{*}}\) forment une stratification de \(X^{*}\).

Structure cônique sur un espace stratifié

8. Structure cônique sur un espace stratifié

Pour \(X\) stratifié de type \(I\) \(I\) par des \((X_i)_{i\in I}\), alors des sous-espaces bordants donnés \((B_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}\) et des germes germes de [voisinages] cylindriques sur \(B_\alpha\), tels que […] mutuellement [mutuellement] transverses, et les \((B_\alpha)\) soient transverses aux \(X_i\), on va construire définir

35Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 13 (page 34).

par récurrence sur \(\mathrm{card}\,I\) la notion de donnée de cônique sur cette base \[ (X,(X_i)_{i\in I},(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}). \] On posera Si \(I=\emptyset\), on pose la structure vide (il y en a une et une seule). Si \(I\neq\emptyset\), on prend \(I_0\) ens. des éléments minimaux de \(I\), et une donnée cônique sur par définition la donnée

(a)lettre cerclée. d'un […] [vois. con. strict] \(T_{I_0}\) de […] \(X_{I_0}=\bigcup_{\beta\in I_0}X_\beta\), transversal aux \((B_\alpha,\mathcal E_\alpha)\) et […] admissible côniquement transversal aux \(X_i\) (\(i\in I\)).

– ce qui permet donc d'introduire la structure (19), et en particulier \[ (22)\qquad \underbrace{X^{*},\ (X^{*}_i)_{i\in I^{*}=I\setminus I_0}}_{\text{stratification de } I^{*}},\ \underbrace{\bigl((B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda},\ (\dot X_\beta,\mathcal E_\beta)_{\beta\in I_0}\bigr)}_{\text{famille transversale}} \] Sous la seconde accolade, en cinq lignes : « famille transversale de sous-espaces bordants « cylindrisés » de \(X\), transversaux aux \(X_i\) ». Devant \(B_\alpha\), une lettre biffée (un point surmonté, peut-être \(\dot B_\alpha\) ou \(\mathcal E\)).

en plus de \[ (23)\qquad \bigl((X_\beta)_{\beta\in I_0},\ (B_{\beta\alpha},\mathcal E_{\beta\alpha})_{\beta\in I_0,\ \alpha\in\Lambda}\bigr) \]

On doit avoir de plus :

(b)lettre cerclée. Une structure cônique sur (22) (ce qui a un sens, par récurrence…)

36En haut à gauche, « 14 » de sa main.

[…] Remarques 1) Avec des hypothèses de « non singularité » sur la donnée initiale \((X,(X_i)_{i\in I},(B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda})\), il doit être vrai qu'il existe une structure cônique. Si la stratification […] est équisingulière le long de tout \[ X_i^{\circ}\overset{\text{déf}}{=}X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j , \] alors il doit y avoir une structure cônique équisingulière (avec la définition ad-hoc évidente) – il suffit de savoir construire un tube équisingulier autour de \(X_{I_0}\)…Sous l'indice \(j<i\), une seconde écriture « \(j\le i\) ».

2) A priori, si on a une suite [str.] croissante de parties \(\emptyset\subset I_0\subset I_1\subset\ldots\subset I_{n-1}\subset I_n=I\), avec \(I_i\) formé d'él. minimaux [\(I_i\setminus I_{i-1}\)] formé d'él. minimaux de \(I\setminus I_{i-1}\), alors on pourrait définir [par récurrence] une notion de structure cônique pour cette « filtration » de \(I\). Mais on peut montrer que cette notion ne dépend pas, en fait, essentiellement, de la filtration choisie.

3) Au lieu d'une famille de \((B_\alpha,\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}\), on peut supposer donnée sur \(X\) une stratification cylindrique de type ([…] […] […] […] celui où l'ensemble ordonné qui indexe la stratification cylindrique est \(\mathfrak P(\Lambda)^{\circ}\).

37Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 14.

Il n'y a pas de difficulté essentielle au traitement fait ici. Plus tard, on généralisera cette notion de stratification cylindrique (globale) en une notion de stratification cylindrique locale – et […] […] […]…

Description d'une stratification cônique de type \(I\)

9. Description d'une structure [stratification] cônique de type \(I\) (\(I\) un ordonné fini).

Pour simplifier, on prend [d'abord] le cas où on ne se donne pas de stratifications cylindriques sur \(X\) par dessus le marché.

[…]Un mot biffé ; le reste de la page est blanc.

38En haut à gauche, « 15 » de sa main.

Stratification équisingulière [équisingulière] de type \(I\) (\(I\) un ens. ordonné fini) : présentation standard. On suppose donné une « catégorie catégorie topologique modèle » \(\mathcal M\) ([…] par ex. pour fixer les idées, pour que ce puisse être aussi celle des espaces topologiques…). La présentation est donnée par un foncteur \[ \Sigma:\mathrm{Drap}(I)\longrightarrow\mathcal M,\qquad (i_0,\ldots,i_n)\longmapsto\Sigma_{i_0\ldots i_n} \] avec les propriétés suivantes

(1) Les […] morphismes \[ \Sigma_{i_0\ldots i_n}\longrightarrow\Sigma_{i_0,\ldots,i_p} \] (relatifs : une inclusion de drapeaux \(d\hookrightarrow d'\) telle que \(d\) soit un segment initial de \(d'\)) sont fibrants\({}^{*}\) (2) (il suffit de le supposer pour \(\Sigma_{i_0\ldots i_n}\to\Sigma_{i_0\ldots i_{n-1}}\))

\({}^{*}\) C'est trop faible, si on veut l'équisingularité – il faut supposer que pour \(d\) fixé, et pour \(d'=d\amalg\delta\), \(\delta\) variable (i.e. \(\delta\) est donné comme drapeau quelconque des \(I^{\,\ill{}}\), […] […] […]) la famille des \(\Sigma_{d'}\) au-dessus de \(\Sigma_d\) est loc. trivialeNote de renvoi, écrite en travers dans la marge droite, rattachée par l'astérisque à « fibrants » ; lecture incertaine dans le détail.

(2) Les morphismes \[ \Sigma_{i_0\ldots i_n}\longrightarrow\Sigma_{i_0\ldots\widehat{i_p}\ldots i_n},\qquad (p\neq n) \] \(\Sigma_{d'}\to\Sigma_d\) sont des plongements-bord (NB si \(p=n\), c'est un [morphisme] fibrant) [i.e. plongements bords cylindriques].« \(p\neq n\) » est entouré.

NB cette condition […] […] […] […] équisingulière … On veut de plus […] une structure cylindrique […] […] […] conditions (2), […] […] […]notes en travers dans la marge gauche ; lecture très incertaine.

Cor. Soit \(d\hookrightarrow d'\) tel que \(d\) et \(d'\) aient même […] […] […] […] […], alors \(\Sigma_{d'}\to\Sigma_d\) est un plongement.

39Sans numéro de sa main ; suite du feuillet 15. La page est très chargée : notes en haut, à droite et, en travers, dans toute la marge gauche.

\({}^{*}\) Il suffit déjà que l'on ait que si \(d\cap d'\) soit segment initial de \(d'\) et contienne le plus grand élément de \(d\), ce qui signifie par (D), \(\Sigma_d\to\Sigma_\delta\) […] et \(\Sigma_{d''}\to\Sigma_d\) est fibrantNote en tête de page, séparée du texte par un trait, rattachée par l'astérisque à « sans plus » ; lecture incertaine. (D) est cerclé.

(3) Soient \(d,d'\) deux drapeaux tels que [sans plus]\({}^{*}\) le dernier élément \(i\) de \(d\) soit le premier élément de \(d'\) et considérons \(d''=d\cup d'\) et le diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\Sigma_{d''} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_{d'} \arrow[d] \\
\Sigma_d \arrow[r, hook] & \Sigma_i
\end{tikzcd}

Ce dernier est cartésien. (Pour \(d\) ou \(d'\) […] i.e. réduit à \(\lbrace i\rbrace\), cette condition est triviale)

Il suffit de le supposer quand \(d\) et \(d'\) sont de longueur 2 ([…] […] […]). On en déduit plus généralement que lorsque \(d,d'\) sont deux drapeaux et que \(d''=d\cup d'\) soit un drapeau, […] \(d''=d\amalg_\delta d'\) […] […], alors (D) \(\Sigma_{d''}\to\Sigma_{d'}\), \(\Sigma_d\to\Sigma_\delta\) […] cartésien.Note encadrée à droite, en face du diagramme, écrite serrée ; (D) est cerclé et accompagne un petit carré \(\Sigma_{d''}\to\Sigma_{d'}\), \(\Sigma_d\to\Sigma_\delta\) ; lecture incertaine.

De plus, il faut supposer que lorsque \(d\) est de longueur 2, alors \(\Sigma_{d'}\to\Sigma_\delta\) est transverse aux sous-espaces cylindriques \(\Sigma_d\) de \(\Sigma_{\ill{}}\) – et […] pour ces structures cylindriques […] […]Passage serré, ajouté en face de la fin de (3) ; lecture incertaine.

Cela revient donc à […] […] \(\Sigma_{\ill{}}\) […] […] construire les \(\Sigma_d\), précisément […] connaissant les \(\Sigma_i\), \(\Sigma_{ij}\) [(\(i<j\))] et les morphismes

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\Sigma_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_j \\
\Sigma_i &
\end{tikzcd}

Pour (NB, la verticale est fibrante, et l'horizontale un morphisme-bord). Pour avoir les morphismes de transition entre les \(\Sigma_{d'}\) (construits par récurrence sur long \(d\), pour long 0 et 1 étant déjà donné) il faut se donner les morphismes \[ \underbrace{\Sigma_{ij}\times_{\Sigma_j}\Sigma_{jk}}_{\overset{\text{déf}}{=}\Sigma_{ijk}}\longrightarrow\Sigma_{i,k} \] satisfaisant aux conditions…

[…] \(\mathrm{Dr}(I)\) … a) \(\Sigma_d\cap\Sigma_{d'}=\emptyset\) si […] … \(\Sigma_{i_0\ldots i_n}=\Sigma_{i_0}\cap\ldots\) … b) \(\Sigma_{i_0\ldots i_n}\) […] … (\(\Leftarrow\) \(\Sigma_d\cap\Sigma_{d'}=\Sigma_{d\cup d'}\)) … c) On […] […] cylindriques […] […] […] transverses […]Longues notes en travers dans toute la marge gauche, sur une douzaine de lignes serrées ; seuls quelques fragments se lisent, dans une lecture très incertaine.

40En haut à gauche, « 16 » de sa main.

La donnée des \(\Sigma_i\) équivaut : à la donnée d'un \(\Sigma_{*}\in\mathcal M\) (\(\Sigma_{*}=\coprod\Sigma_i\)) et d'une partition de type \(I\) de \(\Sigma_{*}\) i.e. d'un morphisme \(\Sigma_{*}\to I_{\mathcal M}\). Celle des \(\Sigma_{ij}\) équivaut : celle d'un objet \(\Sigma_{**}\) […] au-dessus de \(I\times I\) \(\mathrm{Drap}_2(I)\). \(I\times I\) (on pose \(\Sigma_{ij}=\emptyset\) si \(i\not\le j\), \(\Sigma_{ii}=\Sigma_i\))

La donnée des

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\Sigma_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_j \\
\Sigma_i &
\end{tikzcd}

équivaut : celle de deux morphismes « source » et « but »

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\Sigma_{**} \arrow[r, "\underline b"] \arrow[d, "\underline s"'] & \Sigma_{*} \\
\Sigma_{*} &
\end{tikzcd}

compatibles avec les \(\mathrm{pr}_1\) et \(\mathrm{pr}_2\) de \(I\times I\) dans \(I\) (NB la […] Comme la bigraduation [de type \(I\)] de \(\Sigma_{**}\) est déduite de celle la graduation de type \(I\) de \(\Sigma_{*}\), et de \(\underline b\) et \(\underline s\)) – où \(\underline b\) est [loc.^t] un morphisme bord (i.e. est une immersion bord) et \(\underline s\) est une fibration. On a de plus \[ \underline i:\Sigma_{*}\longrightarrow\Sigma_{**} \] « morphisme identité », dont le composé avec \(\underline b\) et \(\underline s\) est l'identité. La donnée des \(\Sigma_{ijk}\to\Sigma_{ik}\) revient :