Cote n° 150 · pages 1–98 · Lecture modernisée · Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1981-1982
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets se suivent dans l'ordre de reliure, à deux exceptions près que les notes signalent : les pages 29 et 30 sont interverties (la page 30 continue la page 28, la page 31 la page 29), et les pages 92 et 93 aussi. À partir de la page 11, une seule suite numérotée par lui, intitulée « Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques) », court jusqu'à la fin (ses feuillets 1 à 46) ; ses paragraphes sont numérotés de (1) à 17.

• Page 1 : le plan du déploiement, avant toute définition.
• Pages 2 à 4 : ordre de spécialisation, partitions et stratifications.
• Pages 6, 7, 9 : le cas de trois strates, en axiomes.
• Pages 11 à 20 : voisinages coniques, colliers, compatibilité, équisingularité (§ 1 à 5).
• Pages 21 à 37 : germes, transversalité, stratifications précylindriques, et la structure conique définie par récurrence (§ 5 à 9).
• Pages 38 à 47 : la présentation standard par un foncteur sur les drapeaux (§ 9 et 10).
• Pages 47 à 71 : l'espace ordonné \(\Sigma\) sans ensemble d'indices, la reprise, la récapitulation, et la catégorie topologique (§ 11 à 13).
• Pages 72 à 75 : la construction heuristique par voisinages tubulaires (§ 14).
• Pages 76 à 98 : provoisinages, bandes, domination (§ 15 à 17).

Conventions. \(I\) est un ensemble ordonné, fini sauf mention contraire. Un drapeau de \(I\) est une suite strictement croissante \(d = (i_0 < \cdots < i_n)\) ; \(\mathrm{Drap}(I)\) est l'ensemble des drapeaux, ordonné par inclusion. Pour \(d \subset d'\), on dit que \(d\) est un segment initial de \(d'\) s'il en est une section commençante, et qu'il est cofinal dans \(d'\) s'il a le même plus grand élément. Les strates fermées sont les \(X_i\), les strates ouvertes \(X^{*}_i = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_j\). Le complémentaire d'un tube ouvert est noté \(X^{\sharp}\)¹ .

Un sous-espace fermé \(Y\) de \(X\) est à collier (« partie bordante » sur la page) s'il possède un voisinage \(E\) et un homéomorphisme \(E \simeq Y \times [0,1]\) envoyant \(y\) sur \((y,0)\) ; un tel \(E\) est un collier (« voisinage cylindrique »)² .

1–1

Le plan du déploiement (page 1)

Le dossier s'ouvre sur ce qu'il veut obtenir³ . Pour trois indices \(i < j < k\), on veut des espaces \(\Sigma_i, \Sigma_j, \Sigma_k\) (les strates déployées), des tubes de raccord \(\Sigma_{ij}, \Sigma_{jk}, \Sigma_{ik}\), et une jonction \(\Sigma_{ijk}\), reliés par le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal]
 & \Sigma_{ik} \arrow[dl] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{k} & \\
\Sigma_{i} & & \Sigma_{ijk} \arrow[ul, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[dl] & & \Sigma_{jk} \arrow[ul, hook] \arrow[dl] \\
 & \Sigma_{ij} \arrow[ul] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{j} &
\end{tikzcd}

où les flèches \(\hookrightarrow\) sont des plongements à collier (sur le bord), les autres des fibrations propres, de fibres \(F_{ij}\), \(F_{jk}\), \(F_{ik}\) (« fibres de raccord »), et où les deux losanges de droite sont cartésiens. La strate \(\Sigma_i\) est « l'âme » du tube \(\Sigma_{ij}\), \(\Sigma_j\) en est la strate ambiante.

Dans le cas non singulier : \(\Sigma_i\) est une variété à bord dont le bord est la réunion des \(\Sigma_{ji}\), \(j < i\)⁴ ; et \(\Sigma_{ik} \to \Sigma_i\) est une fibration à fibres des variétés à bord compactes, le fibré des bords étant la réunion des \(\Sigma_{ijk}\), \(i<j<k\)⁵ . En général, pour un drapeau \(d = (i_0 < \cdots < i_n)\) :

1. a)\(\Sigma_d\) est une variété à bord, dont le bord est la réunion des \(\Sigma_{d'}\) pour \(d' \supsetneq d\) et \(d\) cofinal dans \(d'\) ; il suffit des \(d' = d \cup \{j\}\), avec \(j\) pris avant \(i_0\) ou dans l'un des intervalles ouverts \(]i_k, i_{k+1}[\) ;
2. b)pour \(\delta = (i_0, …, i_p)\) segment initial de \(d\), \(\Sigma_d \to \Sigma_\delta\) est une fibration à fibres des variétés à bord compactes, le fibré des bords étant la réunion des \(\Sigma_{d'}\), \(d' = d \cup \{j\}\) avec \(j\) dans l'un des intervalles \(]i_k, i_{k+1}[\), \(k \geq p\).

C'est le programme du dossier ; il est repris et prouvé pas à pas aux pages 45 à 47.

2–4

L'ordre d'une partition (pages 2 à 4)

Espaces et ensembles préordonnés

Un espace topologique \(X\) est préordonné par la spécialisation : \(x \leq y\) si \(\overline{\{x\}} \subset \overline{\{y\}}\), c'est-à-dire si \(x \in \overline{\{y\}}\) ; c'est un ordre si et seulement si \(X\) est \(T_0\). Inversement un ensemble préordonné \(I\) porte la topologie d'Alexandrov : les fermés sont les parties stables vers le bas, les ouverts les parties stables vers le haut, et les \(I_{\geq x}\) forment une base d'ouverts ; l'adhérence de \(\{x\}\) est \(I_{\leq x}\).

Une application entre ensembles préordonnés est croissante si et seulement si elle est continue, et plus généralement une application \(I \to X\) est continue si et seulement si elle est croissante pour la spécialisation de \(X\). D'où une adjonction \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Esp}}(\mathrm{Alex}(I), X) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Préord}}(I, \mathrm{Spéc}(X)), \] avec \(\mathrm{Spéc} \circ \mathrm{Alex} = \mathrm{id}_{\mathrm{Préord}}\) et une coünité \(\mathrm{Alex}(\mathrm{Spéc}\,X) \to X\) donnée par l'identité de \(X\), qui est un homéomorphisme si et seulement si toute réunion de fermés de \(X\) est fermée⁶ . Les espaces de ce type sont ceux d'Alexandrov.

Pseudo-partitions et ordre récupéré

Une application \(\varphi : X \to I\) est la même chose qu'une partition de \(X\) en parties \(X^{*}_i = \varphi^{-1}(i)\), éventuellement vides. Elle est continue si et seulement si les \(\bigcup_{j \geq i} X^{*}_j\) sont ouverts ; cela exige que les \(X_i = \bigcup_{j \leq i} X^{*}_j\) soient fermés, et c'est suffisant si la famille des \(X_i\) est localement finie⁷ .

La question posée est l'inverse : quand l'ordre de \(I\) est-il déterminé par la partition ? Il faut que \(\varphi\) soit surjective, et l'on voudrait que la topologie de \(I\) soit la topologie quotient. Pour une partition localement finie indexée par un ensemble préordonné, avec \(\varphi\) continue, on a trois conditions :

1. 1°)la topologie de \(I\) est finale pour \(\varphi\) : \(X^{*}_J\) fermé implique \(J\) fermé ;
2. 2°)\(\varphi\) est surjective ;
3. 3°)\(\varphi\) est ouverte, ce qui revient à \(\overline{X^{*}_j} = \bigcup_{i \leq j} X^{*}_i\) pour tout \(j\).

Sous 1° et 2°, l'ordre de \(I\) est l'inclusion des adhérences \(\overline{X^{*}_i}\). Une partition satisfaisant 1° à 3° équivaut à une relation d'équivalence localement finie et ouverte, et \(I\) en est l'ensemble quotient ; \(I\) est ordonné, et non seulement préordonné, si et seulement si les classes \(X^{*}_i\) sont localement fermées. On dit alors que la partition est stratifiante.

Stratifications strictes

Du côté des strates fermées, la donnée correspondante est une famille croissante localement finie de fermés \((X_i)_{i \in I}\), recouvrant \(X\), telle que

1. 1°)\(i \mapsto X_i\) est croissante ;
2. 2°)\(X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i,\, k \leq j} X_k\) ;

c'est une stratification. Elle est stricte si de plus

1. 3°)chaque \(X^{*}_i = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_j\) est non vide (fidélité) ;
2. 4°)chaque \(X^{*}_i\) est dense dans \(X_i\) (densité).

Les partitions stratifiantes sont alors exactement les stratifications strictes⁸ .

Les conditions 1° et 2° passent aux images inverses, la fidélité non (un ouvert peut éviter une strate), la densité passe aux ouverts. La fidélité au sens faible — \(X_i \subset X_j\) implique \(i \leq j\) — ne suffit pas à la non-vacuité des strates ouvertes : pour \(I = \{a, b < c\}\) et \(X_c = X = X_a \amalg X_b\) avec \(X_a, X_b\) non vides, l'indexation est fidèle mais \(X^{*}_c\) est vide. Sous 1°, 2° et cette fidélité faible, les traces sur un ouvert forment encore une stratification du même type, d'où un préfaisceau de stratifications et la notion de stratification locale.

Enfin, la condition 1° se ramène, pour \(I\) fini, à une condition sur un seul indice à la fois. Si \(J\) est minimal parmi les parties non fermées à \(X^{*}_J\) fermé, \(J\) a un plus grand élément \(j\) et \(J_0 = J \smallsetminus \{j\}\) est fermé ; d'où l'équivalence de 1° avec : chaque fois que la frontière \(X^{\bullet}_j = \overline{X^{*}_j} \smallsetminus X^{*}_j\) est contenue dans \(X_{J_0}\) pour un fermé \(J_0\), on a \(I_{\leq j} \subset J_0 \cup \{j\}\), et la même condition vaut dans \(I_{<j}\)⁹ . La page mentionne aussi la question, en topologie modérée, d'une plus petite stratification modérée majorant une partition donnée par des parties localement fermées modérées.

6–9

Trois strates (pages 6, 7 et 9)

Les dessins des pages 6 et 9 montrent le cas type : un point \(\Sigma_0\), une demi-droite \(\Sigma_1\) qui en part, un plan \(\Sigma_2\). Les strates déployées s'obtiennent en ôtant les tubes ouverts des strates inférieures : \[ \Sigma_i = X_i \smallsetminus \Bigl(X_i \cap \bigcup_{k<i} \overset{\circ}{\mathrm{Tub}}(X_k, X_i)\Bigr), \] et le tube de raccord \(\Sigma_{ij}\) est le bord du tube de \(\Sigma_i\) dans la strate \(j\) ainsi rognée, plongé dans \(\Sigma_j\).

La page 7 met ce cas en axiomes. On se donne des espaces \(\Sigma_0, \Sigma_1, \Sigma_2\) et des fermés \(\Sigma_{01} \subset \Sigma_0 \times \Sigma_1\), \(\Sigma_{12} \subset \Sigma_1 \times \Sigma_2\), \(\Sigma_{02} \subset \Sigma_0 \times \Sigma_2\)¹⁰ , et l'on pose \(\Sigma_{012} = (\Sigma_{01} \times \Sigma_2) \cap (\Sigma_0 \times \Sigma_{12})\).

1. a)L'image de \(\Sigma_{012}\) dans \(\Sigma_0 \times \Sigma_2\) est dans \(\Sigma_{02}\) ; autrement dit, \(\Sigma_0 \amalg \Sigma_1 \amalg \Sigma_2\) porte un ordre au-dessus de \(\{0 < 1 < 2\}\).
2. b)Les projections \(\Sigma_{01} \to \Sigma_1\), \(\Sigma_{02} \to \Sigma_2\), \(\Sigma_{12} \to \Sigma_2\) sont injectives, à collier ; donc \(\Sigma_{012} \to \Sigma_{12}\) aussi.
3. c)\(\Sigma_{012} = \Sigma_{02} \cap \Sigma_{12}\), l'intersection étant prise dans \(\Sigma_2\) : le carré supérieur du diagramme est cartésien¹¹ .
4. d)\(\Sigma_{12} \to \Sigma_1\) est transverse au plongement à collier \(\Sigma_{01} \to \Sigma_1\) ; donc \(\Sigma_{012} \to \Sigma_{12}\) est à collier.
5. e)\(\Sigma_{02}\) et \(\Sigma_{12}\) sont des parties à collier transverses de \(\Sigma_2\) ; donc \(\Sigma_{012} \to \Sigma_{02}\) est à collier.
6. f)\(\Sigma_{01} \to \Sigma_0\), \(\Sigma_{02} \to \Sigma_0\), \(\Sigma_{12} \to \Sigma_1\) sont des fibrations (lisses), donc \(\Sigma_{012} \to \Sigma_{02}\) et \(\Sigma_{012} \to \Sigma_{01}\) aussi.

11–20

Voisinages coniques (pages 11 à 20)

(1) La définition

Soit \(Y\) un espace. Un voisinage conique de \(Y\) est un espace \(T \supset Y\), muni d'un fermé \(\dot T\) (le bord du tube) et d'une action \((\lambda, t) \mapsto \lambda t\) du monoïde multiplicatif \(\mathbf{I} = [0,1]\) telle que \(\lambda y = y\) sur \(Y\), \(0 \cdot T \subset Y\), et que le carré

\begin{tikzcd}
\mathbf{I} \times \dot T \arrow[r] & T \\
\{0\} \times \dot T \arrow[u, hook] \arrow[r, "f"'] & Y \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

soit cocartésien, où \(f(x) = 0 \cdot x\). Autrement dit \(T\) est le cylindre de l'application \(f : \dot T \to Y\), recollement de \(\mathbf{I} \times \dot T\) et de \(Y\) le long de \(\{0\} \times \dot T\), avec l'action évidente¹² . Les \(\lambda_T\) forment une homotopie de l'identité à une rétraction de \(T\) sur \(Y\), fixe sur \(Y\). Le bord est déterminé par l'action : l'intérieur du tube est \(\overset{\circ}{T} = \bigcup_{\lambda < 1} \lambda T\).

Les \(T_\lambda = \lambda T\) forment une famille croissante de fermés, et pour \(\lambda < 1\) l'intérieur topologique de \(T_\lambda\) est \(\lambda \overset{\circ}{T}\). Pour \(\varepsilon \in \,]0,1]\), l'épaississement \(E_\varepsilon(T) = T \smallsetminus \overset{\circ}{T}_{1-\varepsilon}\) est un voisinage de \(\dot T\), homéomorphe à \([1-\varepsilon, 1] \times \dot T\).

(2) Voisinage conique dans un espace, colliers

Si \(Y\) est fermé dans \(X\), un voisinage conique de \(Y\) dans \(X\) est un voisinage \(T\) muni d'une telle structure. Les \(\lambda T\) en sont d'autres, et pour \(\lambda < 1\) la frontière de \(\lambda T\) dans \(X\) est \(\lambda \dot T\) ; pour \(\lambda = 1\), ce peut être faux (prendre \(X = T\)).

Les colliers en sont le cas particulier où \(f : \dot T \to Y\) est un homéomorphisme. Si \(T\) est un voisinage conique de \(Y\), \(\dot T\) est à collier dans \(T\) et dans chaque \(T_\lambda\). Dans un espace compact, une réunion finie de fermés disjoints est à collier si et seulement si chacun l'est.

Voisinages coniques stricts

Soit \(X^{\sharp} = X \smallsetminus \overset{\circ}{T}\), fermé de \(X\).

Proposition (page 14). Pour \(\lambda \in \,]0,1[\) donné, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(\dot T\) est à collier dans \(X^{\sharp}\) ;
2. b)il existe un homéomorphisme de \(X\) envoyant \((T, \dot T)\) sur \((T_\lambda, \dot T_\lambda)\) ;
3. b')de même, avec un homéomorphisme égal à l'identité sur un \(T_{\lambda'}\), \(0 < \lambda' < \lambda\) donné ;
4. c)il existe un voisinage conique \(T'\) de \(Y\) avec \(T = \lambda T'\), de façon compatible aux structures.

Le voisinage est alors dit strict. Sa frontière est \(\dot T\), et pour tout voisinage conique \(T\) les \(T_\lambda\), \(\lambda < 1\), sont stricts. Une note en marge propose de prendre les voisinages stricts comme notion de base.

(3) Sous-espaces coniques et compatibilité

Une partie \(T' \subset T\) est conique si elle est stable par l'action et en fait un voisinage conique de \(Y' = T' \cap Y\)¹³ . Elle équivaut alors à un fermé \(\dot T' = T' \cap \dot T\) et à un fermé \(Y' \supset 0 \cdot \dot T'\) de \(Y\), avec \(T' = \mathbf{I} \cdot \dot T' \cup Y'\). Elle est conique stricte si \(Y' = 0 \cdot \dot T'\), c'est-à-dire si \(T'\) n'a sur \(Y\) que la pointe de ses propres cônes.

Un voisinage conique \(T\) de \(Y\) dans \(X\) est compatible avec un fermé \(X'\) si \(X' \cap T\) est conique dans \(T\) ; strictement compatible si de plus \(T\) est strict et si \(\dot T\) admet dans \(X^{\sharp}\) un collier \(E \simeq \dot T \times [0,1]\) dans lequel \(X' \cap E\) s'écrit \(X'_0 \times [0,1]\). De même, un fermé est compatible avec un collier \(E \simeq B \times [0,1]\) si sa trace y est un produit \(B' \times [0,1]\)¹⁴ .

(4) Équisingularité

Un voisinage conique est équisingulier si \(f : \dot T \to Y\) est une fibration localement triviale, et équisingulier pour une famille de parties coniques \(T_i\) si la famille des \(\dot T_i \subset \dot T\) est globalement localement triviale au-dessus de \(Y\). Si \(X_i \cap Y\) est ouvert et fermé dans \(Y\) connexe, on a l'alternative : ou bien \(X_i \cap T = \emptyset\), ou bien \(X_i \supset Y\)¹⁵ . Un système \((X, (X_i))\) est équisingulier le long de \(Y\) s'il existe un voisinage conique équisingulier pour les \(X_i\).

(5) La reconstruction

Proposition (page 19). Les systèmes \((X, Y, (X_i)_{i \in I}, T)\), où \(T\) est un voisinage conique de \(Y\) strictement compatible avec les \(X_i\), équivalent — morphismes : les isomorphismes — aux systèmes \((X^{\sharp}, \dot X, (X^{\sharp}_i), Y, f : \dot X \to Y)\), où \(\dot X\) et les \(X^{\sharp}_i\) sont fermés dans \(X^{\sharp}\) ; on passe du second au premier par \(X = X^{\sharp} \amalg_{\dot X} \mathcal{C}(f)\)¹⁶ . Le voisinage \(T\) est strict et transverse aux \(X_i\) si et seulement si \(\dot X\) est à collier dans \(X^{\sharp}\), compatible avec les \(X^{\sharp}_i\) ; il est équisingulier pour les \(X_i\) si et seulement si \(\dot X \to Y\), avec les \(\dot X_i = X_i \cap \dot X\), est une fibration localement triviale simultanée.

La page 20, biffée, commence une définition par récurrence de la « conification » d'une stratification finie munie d'un sous-espace à collier \(\dot X\) strictement compatible : vide si \(I\) est vide, voisinage conique strict compatible avec \(\dot X\) si \(I\) a un seul élément. Elle est reprise aux pages 29 à 35.

21–27

Germes et transversalité (pages 21 à 27)

Deux voisinages coniques \(T, T'\) de \(Y\) dans \(X\) sont équivalents s'il existe \(\lambda, \lambda' \in \,]0,1[\) avec \(\lambda T = \lambda' T'\), structures comprises ; une classe est un germe de voisinage conique. La compatibilité avec un fermé, la strictité, l'équisingularité et le caractère cylindrique ne dépendent que du germe.

Équivalence de catégories (page 22). Les systèmes \((\tilde X, \dot X, \mathcal{E}, Y, f)\) — un espace, un fermé \(\dot X\) muni d'un germe de collier \(\mathcal{E}\), un espace \(Y\) et une application \(f : \dot X \to Y\) — équivalent aux systèmes \((X, Y, \mathcal{T})\) — un espace, un fermé, un germe de voisinage conique —, par \(X = \tilde X \amalg_{\dot X} Y\) : l'image du collier y devient le cylindre de \(f\). Le germe obtenu est équisingulier si et seulement si \(f\) est une fibration.

Corollaire (page 23). Les fermés \(X'\) de \(X\) compatibles avec le germe conique correspondent aux couples \((\tilde X' \subset \tilde X, Y' \subset Y)\) de fermés, \(\tilde X'\) compatible avec le germe de collier, tels que \(f(\dot X') \subset Y'\) où \(\dot X' = \tilde X' \cap \dot X\) ; on a \(X' = \mathrm{Im}(\tilde X') \cup Y'\), et \(X'\) est conique strict si et seulement si \(Y' = f(\dot X')\).

Collier compatible avec un germe conique. Soit \(X_0\) à collier dans \(X\), de germe de collier \(\mathcal{E}\). On dit que \(\mathcal{E}\) et le germe conique \(\mathcal{T}\) sont compatibles s'il existe des représentants \(E \simeq X_0 \times \mathbf{I}\) et \(T\) tels que \(T \cap E \simeq T_0 \times \mathbf{I}\), avec \(\dot T \cap E \simeq \dot T_0 \times \mathbf{I}\) et \(Y \cap E \simeq Y_0 \times \mathbf{I}\) (\(T_0 = T \cap X_0\), etc.), la structure conique induite étant le produit par \(\mathbf{I}\) d'une structure conique de \(T_0\) sur \(Y_0\). Cela résume trois conditions : les traces de \(T\), \(\dot T\), \(Y\) sont cylindriques dans \(E\) ; celles de \(E\), \(\dot E\), \(X_0\) sont coniques dans \(T\) ; les deux familles d'homothéties commutent.

Proposition (page 25). Si \((X, Y, \mathcal{T})\) est décrit par \((\tilde X, \dot X, \mathcal{E}_{\dot X}, Y, p : \dot X \to Y)\), les germes de colliers \((X_0, \mathcal{E})\) compatibles avec \(\mathcal{T}\) correspondent aux systèmes \((\tilde X_0, \mathcal{E}_{\tilde X_0}, Y_0, \mathcal{E}_{Y_0})\) — des parties à collier de \(\tilde X\) et de \(Y\) avec leurs germes — tels que : a) \(\mathcal{E}_{\tilde X_0}\) et \(\mathcal{E}_{\dot X}\) sont compatibles, de sorte que \(\dot X_0 = \tilde X_0 \cap \dot X\) hérite d'un germe de collier ; b) \(\dot X_0 = p^{-1}(Y_0)\), et \(p\) s'écrit \(p_0 \times \mathrm{id}_{\mathbf{I}}\) sur des colliers convenables, où \(p_0 : \dot X_0 \to Y_0\)¹⁷ .

Transversalité. Une famille finie de colliers \((B_\alpha, E_\alpha)\) est transverse si, pour toute partie \(J\) des indices, \(E_J = \bigcap_{\alpha \in J} E_\alpha\) est isomorphe au-dessus de \(B_J = \bigcap_{\alpha\in J} B_\alpha\) à \(B_J \times \mathbf{I}^J\), l'homothétie du collier \(\alpha\) agissant sur la seule coordonnée \(\alpha\). C'est une structure de coin : localement, l'espace est un coin de cube¹⁸ . La famille est transverse à un voisinage conique \(T\) de \(Y\) si de plus \(E_J \cap T \simeq T_J \times \mathbf{I}^J\), avec les bords et \(Y\), la structure conique étant le produit par \(\mathbf{I}^J\) d'une structure conique de \((T_J, Y_J)\).

27–30

Stratifications précylindriques (pages 27, 28 et 30)

Soit \((X_i)_{i \in I}\) une famille croissante de fermés, \(I\) fini. Elle est précylindrique si :

1. a)pour \(j'\) prédécesseur immédiat de \(j\), \(X_{j'} \hookrightarrow X_j\) est à collier ;
2. b)pour \(j\) fixé, les colliers des prédécesseurs de \(j\) sont transverses dans \(X_j\) ;
3. c)pour \(i \leq j\), l'intervalle \([i, j]\) est un treillis booléen : si \(S\) est l'ensemble des prédécesseurs immédiats de \(j\) dans \([i,j]\), l'application \(k \mapsto s_k = \{ s \in S \mid s \geq k \}\) est un anti-isomorphisme de \([i,j]\) sur \(\mathfrak{P}(S)\)¹⁹ .

Ensemble, b) et c) disent que la structure locale de \(X_j\) le long de \(X_i\) est cubique : un coin de cube de dimension \(\mathrm{card}\, S\). Dans un treillis booléen les bornes inférieures existent ; donc, si \(j'\) est un prédécesseur de \(j\), \(k \leq j\) sans être \(\leq j'\), et s'il existe un minorant commun à \(k\) et \(j'\), alors \(k' = \inf(k, j')\) existe et est un prédécesseur de \(k\). On demande alors que le carré \((X_k, X_{k'}) \to (X_j, X_{j'})\) soit transverse : les colliers se correspondent, \(E_{k';k}\) étant l'image inverse de \(E_{j';j}\)²⁰ .

Un système de colliers compatible avec ces conditions fait de la stratification une stratification cylindrique. La page 30 ajoute enfin une condition « oubliée », exigée désormais pour toutes les stratifications : \[ X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i,\, k \leq j} X_k , \] d'où : si \(X_i \cap X_j\) est non vide, \(i\) et \(j\) ont un minorant.

29–35

La structure conique, par récurrence (pages 29 à 35)

Soit \((X_i)_{i \in I}\) une stratification (\(X_i \cap X_j = \bigcup_{\alpha \leq i,j} X_\alpha\), \(X = \bigcup X_i\)), et \((B_\alpha, \mathcal{E}_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}\) une famille transverse de parties à collier, transverse aux \(X_i\). Soit \(I_0\) l'ensemble des éléments minimaux de \(I\) ; les \(X_\beta\), \(\beta \in I_0\), sont disjoints, et un germe de voisinage conique strict de \(X_{I_0}\) est une famille de germes de voisinages coniques des \(X_\beta\)²¹ .

Prenons \(T_{I_0} = \coprod T_\beta\) strict, transverse aux colliers, et les \(X_i\), \(i \in I^{*} = I \smallsetminus I_0\), strictement compatibles avec lui. Alors \(X_i \cap T_\beta = \emptyset\) si \(i \not> \beta\), et \(X_i \cap T_\beta = \mathbf{I} \cdot (X_i \cap \dot T_\beta) \cup X_\beta\) si \(i > \beta\)²² . Le système \[ \bigl(X, (X_i)_{i\in I}, (B_\alpha, \mathcal{E}_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}, (T_\beta)_{\beta \in I_0}\bigr) \] se reconstitue donc à partir de \[ \bigl(X^{\sharp}, (\dot X_\beta), (B^{\sharp}_\alpha, \mathcal{E}^{\sharp}_\alpha), (X^{\sharp}_i)_{i \in I^{*}}\ ;\ (X_\beta),\ (B_{\beta\alpha}, \mathcal{E}_{\beta\alpha}),\ (p_\beta : \dot X_\beta \to X_\beta)\bigr), \] avec \(X^{\sharp} = X \smallsetminus \overset{\circ}{T}_{I_0}\), \(\dot X_\beta = \dot T_\beta\), et les traces évidentes, par \[ X = X^{\sharp} \amalg_{\coprod \dot X_\beta} \coprod_\beta \mathcal{C}(p_\beta), \qquad X_i = X^{\sharp}_i \cup \bigcup_{\beta < i} \bigl(\mathbf{I}\cdot \dot X_{i\beta} \cup X_\beta\bigr),\quad \dot X_{i\beta} = X^{\sharp}_i \cap \dot X_\beta , \] et de même pour les \(B_\alpha\).

Les conditions (20) sur ces données : (a) les \(X_\beta\) sont disjoints ; (b) chaque \(\dot X_\beta\) est transverse aux \((B^{\sharp}_\alpha, \mathcal{E}^{\sharp}_\alpha)\) ; (c) les \(p_\beta\) respectent les systèmes de colliers induits ; (d) les \(X^{\sharp}_i\) sont transverses à la famille formée des \(\dot X_\beta\) et des \(B^{\sharp}_\alpha\). S'y ajoutent (e) \(i \leq j\) implique \(X^{\sharp}_i \subset X^{\sharp}_j\), et (f) \(X^{\sharp}_i \cap X^{\sharp}_j = \bigcup_{h \leq i,j} X^{\sharp}_h\), qui disent que les \(X^{\sharp}_i\) forment une stratification de \(X^{\sharp}\). La relation \(X_i \cap X_j = \bigcup_{h\leq i,j} X_h\) se vérifie dans chaque \(T_\beta\) à partir de (f) sur \(\dot X_\beta\), et hors des tubes par (f) même.

Théorème (page 34). Les systèmes du premier type, satisfaisant aux axiomes des stratifications et aux conditions de transversalité, équivalent aux systèmes du second, satisfaisant à (20), (e) et (f).

D'où la définition, par récurrence sur \(\mathrm{card}\, I\), d'une structure conique sur \((X, (X_i), (B_\alpha, \mathcal{E}_\alpha))\) : vide si \(I\) est vide ; sinon, la donnée (a) d'un voisinage conique strict \(T_{I_0}\) de \(X_{I_0}\), transverse aux colliers et coniquement transverse aux \(X_i\), et (b) d'une structure conique sur le système plus petit \[ \bigl(X^{\sharp},\ (X^{\sharp}_i)_{i\in I^{*}},\ (B_\alpha, \mathcal{E}_\alpha)_{\alpha \in \Lambda} \cup (\dot X_\beta, \mathcal{E}_\beta)_{\beta \in I_0}\bigr), \] où les bords des tubes rejoignent la famille des colliers. C'est, à la topologie près, la récurrence des données de contrôle de Mather.

36–37

Trois remarques (pages 36 et 37)

1) Sous des hypothèses de non-singularité, une structure conique « doit » exister ; si la stratification est équisingulière le long de chaque strate ouverte, il doit en exister une équisingulière, et il suffit de savoir construire un tube équisingulier autour de \(X_{I_0}\). 2) On pourrait faire la récurrence le long de n'importe quelle filtration de \(I\) par des parties dont les différences successives sont formées d'éléments minimaux ; la notion n'en dépendrait pas « essentiellement ». 3) La famille des \(B_\alpha\) peut être remplacée par une stratification cylindrique indexée par \(\mathfrak{P}(\Lambda)^{\circ}\). Aucune de ces trois affirmations n'est démontrée dans le dossier²³ .

Le paragraphe 9, « Description d'une stratification conique de type \(I\) », ne dit que son intention — d'abord sans stratification cylindrique supplémentaire — et la page 37 s'arrête là.

38–42

La présentation standard (pages 38 à 42)

Soit \(\mathcal{M}\) une « catégorie topologique modèle » — les espaces topologiques, pour fixer les idées. Une stratification équisingulière de type \(I\) se présente par un foncteur \[ \Sigma : \mathrm{Drap}(I) \longrightarrow \mathcal{M}, \qquad (i_0, …, i_n) \longmapsto \Sigma_{i_0 … i_n}, \] contravariant pour l'inclusion des drapeaux, tel que :

1. (1)pour \(d\) segment initial de \(d'\), \(\Sigma_{d'} \to \Sigma_d\) est une fibration (il suffit de le demander pour l'oubli du dernier terme) ;
2. (2)l'oubli d'un terme autre que le dernier, \(\Sigma_{i_0 … i_n} \to \Sigma_{i_0 … \widehat{i_p} … i_n}\), \(p \neq n\), est un plongement au bord, à collier ;
3. (3)si le dernier élément \(i\) de \(d\) est le premier de \(d'\), le carré ci-dessous est cartésien.

\begin{tikzcd}
\Sigma_{d \cup d'} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \Sigma_{d'} \arrow[d] \\
\Sigma_d \arrow[r, hook] & \Sigma_i
\end{tikzcd}

Une note marginale corrige (1) : « fibrant » est trop faible pour l'équisingularité ; il faut que, \(d\) fixé, la famille des \(\Sigma_{d \amalg \delta}\) au-dessus de \(\Sigma_d\) soit localement triviale. Une autre ajoute la transversalité des \(\Sigma_{d'} \to \Sigma_\delta\) aux sous-espaces à collier, pour \(d\) de longueur 2²⁴ .

Par (3), tout se ramène aux \(\Sigma_i\), aux \(\Sigma_{ij}\) (\(i<j\)) avec la fibration \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) et le plongement au bord \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_j\), et aux compositions \[ \Sigma_{ijk} = \Sigma_{ij} \times_{\Sigma_j} \Sigma_{jk} \longrightarrow \Sigma_{ik}. \] Les \(\Sigma_i\) forment un objet \(\Sigma_* = \coprod \Sigma_i\) au-dessus de \(I\), les \(\Sigma_{ij}\) un objet \(\Sigma_{**}\) au-dessus de \(I \times I\) (avec \(\Sigma_{ii} = \Sigma_i\), et \(\Sigma_{ij}\) vide si \(i \not\leq j\)), muni d'une source \(s\) (une fibration), d'un but \(b\) (localement un plongement au bord) et d'une identité \(\iota : \Sigma_* \to \Sigma_{**}\). Avec la composition, la donnée de \(\Sigma\) équivaut à celle d'une catégorie interne à \(\mathcal{M}\), au-dessus de la catégorie \(I_{\mathcal{M}}\) définie par l'ordre de \(I\). C'est même un espace ordonné : \(\Sigma_{i_0 … i_n}\) est l'espace des chaînes \(x_{i_0} \leq \cdots \leq x_{i_n}\) de \(\Sigma_*\) au-dessus de \(d\), et la condition (3) se ramène au cas \(n = 2\), \(\Sigma_{ijk} = \Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk}\) : pour \(z \in \Sigma_k\), l'ensemble \((\Sigma_*)_{\leq z}\) s'envoie injectivement dans \(I_{\leq k}\), avec l'ordre induit.

Pour reconstruire l'espace stratifié, Grothendieck considère les couples \(d \subset d'\) avec \(d\) cofinal dans \(d'\) (\(2^n\) choix pour \(d'\) de longueur \(n\)) ; chacun équivaut à une chaîne \(d_1 \subset \cdots \subset d_{p+1} = d'\) de segments initiaux stricts, d'où une suite de fibrations \(\Sigma_{d'} \to \Sigma_{d_p} \to \cdots \to \Sigma_{d_1}\) et son cylindre d'application simultané \(C_{\Sigma, d, d'}\). Il reste à écrire les morphismes de transition entre ces cylindres ; la page ne le fait pas.

42–47

Le cas des espaces topologiques (paragraphe 10, pages 42 à 47)

Pour \(\mathcal{M} = (\mathrm{Top})\), les données sont un espace \(\Sigma_*\), un ordre de graphe fermé \(\Sigma_{**} \subset \Sigma_* \times \Sigma_*\), une application croissante continue \(\Sigma_* \to I\) (d'où \(\Sigma_* = \coprod \Sigma_i\), \(\Sigma_{**} = \coprod_{i \leq j} \Sigma_{ij}\)), avec les conditions :

1. (a)pour \(i \leq j\), le but \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_j\) est un plongement fermé ; donc, pour \(z\) au-dessus de \(j\) et \(i \leq j\), il existe au plus un \(y \leq z\) au-dessus de \(i\), et \(\Sigma_{ii} = \Sigma_i\) ;
2. (b)pour \(i<j<k\), \(\Sigma_{ijk} = \Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk}\) ;
3. (c)si \(i, j \leq k\) n'ont pas de minorant, \(\Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk} = \emptyset\) ;
4. (d)pour \(k\) fixé, les \(\Sigma_{ik}\), \(i<k\), sont des sous-espaces à collier transverses de \(\Sigma_k\), se coupant le long des \(\Sigma_d\), \(d = (i_0, …, i_n, k)\) ;
5. (e)(équisingularité) les \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) sont des fibrations ;
6. (f)(non-singularité) les \(\Sigma_i\) sont des variétés à bord.

Par (b) et (c), pour des drapeaux \(d_\alpha\) de même dernier terme \(k\), \(\bigcap \Sigma_{d_\alpha}\) est vide si \(\bigcup d_\alpha\) n'est pas un drapeau, et vaut \(\Sigma_{\bigcup d_\alpha}\) sinon. Sous (f), les \(\Sigma_{ji}\), \(j<i\), forment une stratification cylindrique du bord de \(\Sigma_i\), et plus généralement les \(\Sigma_{d'}\), \(d' \supsetneq d\), \(d\) cofinal dans \(d'\), une stratification cylindrique du bord de \(\Sigma_d\) ; l'ensemble de ces \(d'\) s'identifie aux drapeaux non vides de la somme ordinale \(I_{<i_1} \amalg I_{]i_1, i_2[} \amalg \cdots \amalg I_{]i_{n-1}, i_n[}\).

Sous (e) et (f), les fibres de \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) sont des variétés à bord ; le fibré des bords est stratifié par les \(\Sigma_d\), \(d\) contenant strictement \(\{i,j\}\), de premier terme \(i\) et de dernier \(j\), et l'ensemble de ces \(d\) est celui des drapeaux non vides de \(I_{]i,j[}\). Il est vide si et seulement si \(j\) est un successeur immédiat de \(i\) : c'est la condition pour que \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) soit lisse, c'est-à-dire à fibres sans bord. Plus généralement, pour \(d = (i_1, …, i_p)\) segment initial strict de \(d' = (i_1, …, i_n)\), le fibré des bords de \(\Sigma_{d'} \to \Sigma_d\) est stratifié par les drapeaux non vides de \(I_{]i_p, i_{p+1}[} \amalg \cdots \amalg I_{]i_{n-1}, i_n[}\), et la fibration est lisse si et seulement si chacun de \(i_p, i_{p+1}, …, i_n\) est successeur immédiat du précédent — « à partir de \(i_p\), pas de \(i_1\) ! ». C'est l'énoncé b) de la page 1, désormais démontré.

47–54

Digression : l'espace ordonné sans ensemble d'indices (paragraphe 11, pages 47 à 54)

L'ensemble \(I\) disparaît. On se donne un espace ordonné \(\Sigma\) : un espace \(\Sigma(0)\) et un fermé \(\Sigma(1) \subset \Sigma(0) \times \Sigma(0)\), graphe d'un ordre. Soit \(\Sigma^{*}(1)\) le graphe de l'ordre strict et \(\Sigma^{*}(n)\) l'espace des chaînes strictes \(x_0 < \cdots < x_n\) ; ils forment un espace semi-simplicial (sans dégénérescences)²⁵ . Les conditions :

1. (a)le but \(\Sigma(1) \to \Sigma(0)\) est une immersion propre localement à collier ; la diagonale est alors ouverte et fermée dans \(\Sigma(1)\) ;
2. (b)pour tout carré cocartésien d'ensembles totalement ordonnés \(\delta = d \cap d'\), \(d'' = d \cup d'\), avec \(\delta\) segment initial de \(d\) contenant le dernier élément de \(d\), le carré des \(\Sigma^{*}\) correspondant est cartésien ; et pour \(d = (i_0, …, i_n)\), au voisinage de chaque point, \(\Sigma^{*}(d)\) est l'intersection transverse des sous-espaces à collier \(\Sigma^{*}(i_\alpha, i_n) \to \Sigma^{*}(i_n)\) ; de même pour toute inclusion cofinale ;
3. (c)(équisingularité) la source \(\Sigma^{*}(1) \to \Sigma^{*}(0)\) est propre et fibrante ; donc \(\Sigma^{*}(d') \to \Sigma^{*}(d)\) l'est pour \(d\) segment initial de \(d'\) ;
4. (d)(non-singularité) \(\Sigma^{*}(0)\) est une variété à bord dont le bord est l'image du but ;
5. (e)(mixte) les fibres de la source sont des variétés à bord, le fibré des bords étant l'image de \(\Sigma^{*}(2) \to \Sigma^{*}(1)\), \((x<y<z) \mapsto (x<z)\).

Une marge doute : le bord de \(\Sigma^{*}(d)\) est-il bien la réunion des \(\Sigma^{*}(d')\), \(d \subset d'\) cofinal ? « Si c'est vrai, ça risque d'être délicat ! »

La condition (b) est ensuite précisée en trois points. Pour \(x \in \Sigma\) : b\(_1\)) les \(z_\alpha \in \Sigma^{*}(1)\) de but \(x\) correspondent bijectivement aux germes en \(x\) de sous-espaces à collier \(B_\alpha\), images des germes de \(\Sigma^{*}(1)\) en les \(z_\alpha\) ; b\(_2\)) si les \(z_\alpha\) sont au nombre de \(n\), il existe un unique \(\tilde x \in \Sigma^{*}(n)\) dont ils sont les images par les \(n\) faces ; b\(_3\)) pour \(1 \leq d \leq n\), les points de \(\Sigma^{*}(d)\) au-dessus de \(x\) correspondent aux parties à \(d\) éléments de \(\{z_\alpha\}\), et le germe de \(\Sigma^{*}(d)\) en un tel point a pour image l'intersection des \(B_\alpha\) correspondants.

D'où une reformulation. Les inclusions cofinales d'ensembles totalement ordonnés non vides forment une catégorie équivalente à celle des ensembles totalement ordonnés \(d\), éventuellement vides, par \(d \mapsto d \amalg \{\omega\}\). Le foncteur \(\Gamma(d) = \Sigma^{*}(d \amalg \{\omega\})\) est donc un espace semi-simplicial au-dessus de \(\Gamma(\emptyset) = \Sigma\), et b\(_1\) à b\(_3\) disent qu'il provient d'une stratification cylindrique locale ordonnée de \(\Sigma\) : les strates de codimension 1 passant par \(x\) sont totalement ordonnées, continûment en \(x\), et \(\Gamma(d)\) est l'espace des germes de strates de codimension \(d+1\).

Autre description : \(\Gamma'(d)\), l'espace des suites de \(d\) germes distincts de strates de codimension 1 en un point, est la puissance relative \(d\)-ième de \(\Gamma_0 = \Sigma^{*}(1)\) sur \(\Sigma\) privée des diagonales, et \(\Gamma'(d) \simeq \mathfrak{S}_d \times \Gamma(d)\). Un ordre total relatif est la donnée d'une partie ouverte et fermée \(\Gamma_1\) de \(\Gamma_0 \times_\Sigma \Gamma_0\) privé de la diagonale, telle que \(\Gamma_1\) et son symétrique la partagent, et transitive : \((\Gamma_1 \times_\Sigma \Gamma_0) \cap (\Gamma_0 \times_\Sigma \Gamma_1)\) s'envoie par \(\mathrm{pr}_{13}\) dans \(\Gamma_1\).

55–63

La reprise (pages 55 à 63)

« Je m'aperçois finalement que j'ai pas mal bafouillé … Je reprends. » Soit \(\Sigma\) un ensemble ordonné muni d'une topologie séparée, \(\Sigma(1)\) le graphe de son ordre.

1. (a)Le but \(b = \mathrm{pr}_2 : \Sigma(1) \to \Sigma\) est propre et localement une immersion à collier. Alors la diagonale est ouverte et fermée dans \(\Sigma(1)\), son complémentaire est \(\Sigma^{*}(1)\), et \(\Sigma(1)\) est fermé dans \(\Sigma \times \Sigma\).
2. (b)Pour tout \(x\), l'ensemble fini \(\Sigma_{\leq x}\) est totalement ordonné. Les chaînes de longueur \(d\) de but \(x\) correspondent donc aux parties à \(d+1\) éléments de \(\Sigma_{\leq x}\), et la fibre de \(\Sigma^{*}(d) \to \Sigma\) en \(x\) à \(\mathfrak{P}_d(\{1, …, N(x)\})\), \(N(x) = \mathrm{card}\, \Sigma_{<x}\)²⁶ . Tout cela est purement ensembliste.
3. (c)Pour tout \(x\), les germes \(B_\alpha\) de sous-espaces à collier correspondant aux \(z_\alpha\) de but \(x\) sont deux à deux distincts et mutuellement transverses.

Les germes d'intersection des \(B_\alpha\) correspondent alors aux points des \(\Sigma^{*}(d)\) au-dessus de \(x\) : \(\Sigma\) est muni d'une stratification cylindrique locale ordonnée, \(\Sigma^{*}(1)\) étant l'espace des strates de codimension 1.

Retrouver l'ordre

Inversement, partons de la stratification et de l'ordre relatif. Pour retrouver l'ordre de \(\Sigma\), on se donne une application source \(s : \Sigma^{*}(1) \to \Sigma\), injective sur chaque fibre du but et d'image ne rencontrant pas la diagonale — c'est-à-dire \((s, b) : \Sigma^{*}(1) \to \Sigma \times \Sigma\) injective, d'image disjointe de la diagonale —, et l'on demande qu'il existe \(p_2 : \Sigma^{*}(2) \to \Sigma^{*}(1)\) avec \(b \circ p_2 = s \circ b'\) et \(s \circ p_2 = s \circ s'\) ; \(p_2\) est alors unique, et l'on exige que le carré

\begin{tikzcd}
\Sigma^{*}(2) \arrow[r, hook, "b'"] \arrow[d, "p_2"'] & \Sigma^{*}(1) \arrow[d, "s"] \\
\Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "b"'] & \Sigma
\end{tikzcd}

soit cartésien, et que \(s\) soit transverse à l'immersion à collier \(b\).

Posons \(x \prec y\) s'il existe \(u \in \Sigma^{*}(1)\) avec \(s(u) = x\), \(b(u) = y\). C'est transitif : pour \(u : x \prec y\) et \(v : y \prec z\), on a \(b(u) = s(v)\), donc par le carré cartésien un unique \(\delta \in \Sigma^{*}(2)\) avec \(b'(\delta) = v\), \(p_2(\delta) = u\), et \(w = s'(\delta)\) vérifie \(s(w) = s(p_2 \delta) = x\), \(b(w) = b(b'\delta) = z\)²⁷ . C'est irréflexif, puisque l'image de \((s, b)\) évite la diagonale. Donc \(\prec\) est l'ordre strict d'un ordre sur \(\Sigma\), dont \(\Sigma^{*}(1)\) est le graphe strict et \(\Sigma^{*}(2)\) l'espace des chaînes \(x \prec y \prec z\), les faces étant \((x,y,z) \mapsto (x,y), (x,z), (y,z)\).

Scholie (pages 60 à 62). La situation est décrite par : 1°) un espace \(\Sigma\) muni d'une stratification précylindrique, dont l'espace des strates de codimension 1 s'immerge par \(b\), immersion propre à collier ; 2°) un ordre total relatif sur ces strates, donné par une partie fermée de \(\Sigma^{*}(1) \times_\Sigma \Sigma^{*}(1)\) ; 3°) une application source \(s\) telle que a) \((s, b)\) est injective et d'image disjointe de la diagonale, b) \(s \circ s'\) se factorise par \((s, b)\) en un \(p_2\) rendant le carré ci-dessus cartésien, avec \(s\) transverse à \(b\).

Ce qui se redit, en termes d'espace ordonné : a) chaque \(\Sigma_{<x}\) est totalement ordonné ; b) le but \(b\) est une immersion propre, donc les \(\Sigma_{<x}\) sont finis ; c) les germes en \(x\) images des \((\Sigma^{*}(1), z_\alpha)\) forment une famille transverse de sous-espaces à collier ; d) \(s\) est transverse à \(b\). Puis trois cas : équisingulier (\(s\) fibrante propre), non singulier (\(\Sigma\) variété à bord de bord \(b(\Sigma^{*}(1))\)), et les deux à la fois (\(s\) fibration propre à fibres des variétés à bord, le fibré des bords étant l'image de \(s' : \Sigma^{*}(2) \to \Sigma^{*}(1)\)). Une marge suggère que le troisième est conséquence des deux premiers.

Les flèches principales forment l'hexagone

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "b"] \arrow[dl, "s"'] & \Sigma & \\
\Sigma & \Sigma^{*}(2) \arrow[u, hook, "s'"] \arrow[rr, hook, "b'"] \arrow[d, "p_2"'] & & \Sigma^{*}(1) \arrow[ul, hook, "b"'] \arrow[dl, "s"] \\
 & \Sigma^{*}(1) \arrow[r, hook, "b"] \arrow[ul, "s"] & \Sigma &
\end{tikzcd}

aux deux carrés cartésiens, où \(b, b', s'\) sont des immersions à collier propres et \(s, p_2\) des fibrations propres. Ces fibrations ne sont pas surjectives : l'image de \(s\) est l'ensemble des points non maximaux, celle de \(p_2\) celui des \(x<y\) avec \(y\) non maximal.

64–66

Récapitulation (paragraphe 12, pages 64 à 66)

Les données de déploiement sur un ensemble ordonné fini \(I\) sont des espaces \(\Sigma_i\), des espaces \(\Sigma_{ij}\) (\(i<j\)), des applications \(s_{ij} : \Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) et \(b_{ij} : \Sigma_{ij} \to \Sigma_j\), avec :

1. a)\(b_{ij}\) est un plongement fermé, par lequel on identifie \(\Sigma_{ij}\) à une partie de \(\Sigma_j\) ;
2. b)\(\Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk} = \emptyset\) si \(i, j<k\) sont incomparables ;
3. c)pour \(i<j<k\), on pose \(\Sigma_{ijk} = \Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk} \subset \Sigma_k\), et l'on a \(\Sigma_{ijk} = s_{jk}^{-1}(\Sigma_{ij})\) dans \(\Sigma_{jk}\)²⁸ ;
4. d)les \(\Sigma_{ji} \hookrightarrow \Sigma_i\) sont à collier, et en \(x \in \Sigma_i\) ceux qui contiennent \(x\) — totalement ordonnés par b) — sont mutuellement transverses²⁹ ;
5. e)\(s_{ij}\) est transverse au système des \(b_{ki}\).

D'où l'hexagone de la page 64, semblable au précédent, pour \(i<j<k\). Avec \(\Sigma = \coprod \Sigma_i\) et \(\Sigma^{*}(1) = \coprod_{i<j} \Sigma_{ij}\), les conditions a) à c) disent que \((s, b)\) est injective, d'image le graphe d'un ordre strict, que \(b\) est une immersion propre, que \(\varphi : \Sigma \to I\) est strictement croissante et injective sur chaque \(\Sigma_{<x}\), lequel est totalement ordonné ; d) est la condition c) de la scholie. Cas équisingulier : les \(s_{ij}\) fibrations propres ; non singulier : les \(\Sigma_i\) variétés à bord, de bord la réunion des \(\Sigma_{ji}\) ; les deux : \(s_{ij}\) fibration propre à fibres des variétés à bord, le fibré des bords étant la réunion des \(\Sigma_{ijk}\).

66–71

Une digression : catégories topologiques (paragraphe 13, pages 66 à 71)

Soit \(\underline{\Sigma}\) une catégorie topologique — objets \(\Sigma(0)\), flèches \(\Sigma(1)\), source et but \(s, b\), composition — dont la source est une fibration. Alors \(\pi_0(\Sigma(0))\) est un ensemble préordonné, le graphe étant l'image de \(\pi_0(\Sigma(1))\) dans \(\pi_0(\Sigma(0)) \times \pi_0(\Sigma(0))\). La relation est réflexive par les identités, transitive parce que \(\pi_0(\Sigma(2)) \to \pi_0(\Sigma(1)) \times_{\pi_0 \Sigma(0)} \pi_0(\Sigma(1))\) est surjective, par le lemme suivant appliqué à la source³⁰ .

Lemme (page 67). Dans un carré cartésien d'espaces \(X' = X \times_Y Y'\), avec \(f : X \to Y\) une fibration, \(\pi_0(X') \to \pi_0(X) \times_{\pi_0(Y)} \pi_0(Y')\) est surjective³¹ .

Le foncteur canonique \(\underline{\Sigma} \to I = \pi_0(\Sigma(0))\), vers la catégorie discrète de l'ensemble préordonné, découpe \(\Sigma(0) = \coprod \Sigma_i\) et \(\Sigma(1) = \coprod_{i \leq j} \Sigma_{ij}\) ; il est universel parmi les foncteurs vers un ensemble préordonné. Supposons de plus :

1. a)le but \(\Sigma(1) \to \Sigma(0)\) est une immersion propre, de sorte que l'identité \(\delta : \Sigma(0) \to \Sigma(1)\) est un plongement ouvert et fermé et \(\Sigma(1) \simeq \delta(\Sigma(0)) \amalg \Sigma^{*}(1)\) ;
2. b)la restriction du but à \(\Sigma^{*}(1)\) est une immersion d'images localement rares ;
3. c)les composantes de \(\Sigma(0)\) sont de dimension finie.

Alors \(\Sigma^{*}_{ii} = \Sigma_{ii} \cap \Sigma^{*}(1)\) est vide : fibré sur \(\Sigma_i\), il serait de dimension au moins \(\dim \Sigma_i\), et, d'image rare par une immersion, de dimension moindre. Donc \(\Sigma_i \simeq \Sigma_{ii}\) : toute flèche entre deux objets d'une même composante est une identité³² . Si de plus d) toute flèche inversible est une identité — par exemple si \(\underline{\Sigma}\) vient d'un espace ordonné —, \(I\) est ordonné et \(\Sigma \to I\) est strictement croissante.

Conséquence (page 70). Les déploiements équisinguliers de stratifications indexés par \(I\), au sens de la récapitulation, équivalent aux données : (a) d'un espace ordonné \(\Sigma\) satisfaisant aux conditions a), b), c) et au cas équisingulier de la scholie, dont les composantes connexes sont de dimension finie, tel qu'en posant \(\tilde I = \pi_0(\Sigma)\), chaque \(b_{ij} : \Sigma_{ij} \to \Sigma_j\), \(i<j\) dans \(\tilde I\), soit un plongement fermé ; (b) d'une application strictement croissante, non nécessairement surjective, \(\tilde I \to I\). La condition b) de la récapitulation se démontre : un point de \(\Sigma_{ik} \cap \Sigma_{jk}\) donnerait deux éléments \(< x\) au-dessus de \(i\) et de \(j\), comparables puisque \(\Sigma_{<x}\) est totalement ordonné, donc \(i\) et \(j\) comparables.

Remarque (page 71). Deux contextes de « déploiement » ont produit de tels espaces ordonnés — \(s\) fibration propre, \(b\) immersion propre, deux points distincts d'une même composante incomparables. Pour une stratification par les \(X_i\), \(\Sigma = \coprod X_i\) et \(\Sigma(1) = \coprod_{X_i \subset X_j} X_i\) : \(s\) est étale, rien de spécial sur \(b\). Pour la théorie présente, \(b\) est à collier et rien de spécial sur \(s\). Dans les deux cas, passer à \(\tilde I = \pi_0(\Sigma)\) revient à remplacer les strates par leurs composantes connexes³³ .

72–75

Construction heuristique des \(\Sigma_i\), \(\Sigma_{ij}\) (paragraphe 14, pages 72 à 75)

À préciser « considérablement » en topologie modérée. Pour \(\Sigma_i\), on ôte de \(X_i\) l'intérieur d'un voisinage tubulaire standard \(T_{<i}\) de \(\bigcup_{k<i} X_k\) : \(\Sigma_i = X_i \smallsetminus \overset{\circ}{T}_{<i}\). Pour \(\Sigma_{ij}\), on prend un voisinage tubulaire \(T'_{ij}\) de \(\Sigma_i\) dans \(X_j\), petit devant \(T_{<i}\), son bord \(\dot T'_{ij}\), la trace \(S \dot T'_{ij}\) des \(X_k\), \(i<k<j\) — vide si \(j\) est successeur immédiat de \(i\) —, et l'on ôte un voisinage tubulaire de cette partie singulière : \(\Sigma_{ij} = \dot T'_{ij} \smallsetminus \overset{\circ}{T}(S \dot T'_{ij}) \subset \Sigma_j\).

Pour que les \(\Sigma_{ik}\) et \(\Sigma_{jk}\) soient en position correcte dans \(\Sigma_k\), on fixe une fonction dimension strictement croissante \(\delta : I \to \mathbb{N}\), on pose \(X_{(d)} = \bigcup_{\delta(i) \leq d} X_i\), et l'on construit une filtration décroissante par des fermés \(X = X^{(0)} \supset X^{(1)} \supset \cdots \supset X^{(N+1)} = \emptyset\) : \(T_d\) voisinage tubulaire de \(X_{(d)}\), petit devant les précédents, et \(X^{(d)} = X \smallsetminus \bigcup_{\alpha < d} \overset{\circ}{T}_\alpha\). On pose alors, pour \(\delta(i) = d\), \[ \Sigma_i = X_i \cap X^{(d)} = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_i \cap \overset{\circ}{T}_j, \qquad \Sigma_{ij} = \dot T_i \cap \Sigma_j , \] \[ \Sigma_{i_0 … i_n} = \dot T_{i_0} \cap \cdots \cap \dot T_{i_{n-1}} \cap \Sigma_{i_n} = \Sigma_{i_0 i_n} \cap \cdots \cap \Sigma_{i_{n-1} i_n}. \] La page écrit ici \(X_i \cap X_{(d)}\)³⁴ . Les morphismes de transition pour les inclusions cofinales de drapeaux sont évidents ; les autres dépendent d'un choix de rétractions des \(T_i^{(d)}\) sur \(X_i^{(d)} = \Sigma_i\), et pour que les \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_i\) soient des fibrations il faut des hypothèses d'équisingularité et la locale trivialité de ces rétractions.

76–83

Provoisinages (paragraphe 15, pages 76 à 83)

Le point de vue change : au lieu de choisir un voisinage, on prend le système de tous. Soit \(\mathcal{V}_i\) le provoisinage tubulaire de la strate ouverte \(X^{*}_i\) dans \(X\) — le système projectif de ses voisinages, vu comme pro-espace —, et \(\mathcal{V}_{ij} = \mathcal{V}_i \cap \mathcal{V}_j\)³⁵ . L'inclusion \(X^{*}_i \to \mathcal{V}_i\) est supposée une équivalence d'homotopie de pro-espaces³⁶ , et \(\mathcal{V}_{ij}\) est vide si \(i, j\) sont incomparables dès que \(X\) est héréditairement normal, par exemple métrisable : \(X^{*}_i\) et \(X^{*}_j\) sont alors séparés, aucune n'adhérant à l'autre, donc à voisinages disjoints³⁷ . L'espace s'obtient par recollement : \[ X = \varinjlim \bigl(\mathcal{V}_i, \mathcal{V}_{ij} \rightrightarrows\bigr) = \varinjlim_{d \in \mathrm{Drap}(I)} \mathcal{V}_d, \qquad \mathcal{V}_{i_0 … i_n} = \mathcal{V}_{i_0} \cap \cdots \cap \mathcal{V}_{i_n}, \] limite prise niveau par niveau sur des voisinages ouverts recouvrant \(X\).

Relativement à une partie localement fermée \(Z\) : \(\mathcal{V}^Z_d = \mathcal{V}_d \cap Z\), et \(\mathcal{V}^Z_{i_n} \to \mathcal{V}_{i_n}\) est une équivalence d'homotopie si \(Z\) contient \(X^{*}_{i_n}\). Pour une partie \(J\) de \(I\), \(X^{*}_J = \bigcup_{j \in J} X^{*}_j\) ; c'est un fermé si \(J\) est un idéal (stable vers le bas), et une partie localement fermée si \(J\) est une bande (convexe : \(i<k<j\), \(i,j \in J\) impliquent \(k \in J\)), car \(X^{*}_J = X_{\tilde J} \smallsetminus X_{J'}\) où \(\tilde J\) est l'idéal engendré et \(J' = \tilde J \smallsetminus J\)³⁸ . Les \(X_i \cap X^{*}_J\) stratifient \(X^{*}_J\), et \[ X^{*}_J \simeq \varinjlim_{d \in \mathrm{Drap}(J)} \mathcal{V}^{J}_d . \]

Pour deux bandes \(J, L\), on s'intéresse à \(\mathcal{V}^L_J = \mathcal{V}_J \cap X^{*}_L\), « provoisinage de second ordre ». Il ne change pas si l'on remplace \(J\) par ses éléments qui minorent un élément de \(L\), et \(L\) par ses éléments qui majorent un élément de \(J\) ; on se ramène ainsi au cas \(J \prec L\) : tout élément de \(J\) est majoré par un élément de \(L\), et tout élément de \(L\) majore un élément de \(J\).

Lemme (page 81). Pour deux parties \(J, L\) de \(I\), sont équivalents : a) \(J\) et \(L\) sont des bandes et \(J \prec L\) ; b) il existe une bande \(I'\) dont \(J\) est un idéal et \(L\) un filtre, chaque élément de \(I'\) majorant un élément de \(J\) et minorant un élément de \(L\). La bande \(I'\) est alors unique : \(I' = \{ i \mid \exists j \in J, l \in L,\ j \leq i \leq l \}\), la plus petite bande contenant \(J \cup L\)³⁹ .

Alors \(\mathcal{V}^L_J\) se calcule dans \(X' = X^{*}_{I'}\), où \(X'_J\) est fermé et \(X'_L\) ouvert : \[ \mathcal{V}^L_J = \bigcup_{\substack{j \in J,\ l \in L\\ j \leq l}} \mathcal{V}^{X'}_{j,l} = \varinjlim_{d \in \mathrm{Drap}^L_J(I)} \mathcal{V}^{X'}_d , \] où \(\mathrm{Drap}^L_J(I)\) est l'ensemble des drapeaux de \(J \cup L\) commençant dans \(J\) et finissant dans \(L\) ; les intersections deux à deux sont vides sauf si la réunion des indices est un drapeau, d'au plus quatre termes. Pour un faisceau \(F\) sur \(\mathcal{V}^L_J\), d'où une suite spectrale \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(\mathrm{Drap}^L_J(I),\ d \mapsto H^q(\mathcal{V}^{X'}_d, F)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(\mathcal{V}^L_J, F). \] Les \(H^p\) sont ceux de l'ensemble ordonné à coefficients dans le foncteur⁴⁰ .

84–87

\(\Sigma_J\) et \(\Sigma_{J,L}\) (paragraphe 16, pages 84 à 87)

On revient aux strates déployées, désormais indexées par des bandes. Notons \(\bar J\) l'idéal engendré par \(J\) et \(\tilde J\) le filtre engendré. Pour une bande \(J\), \[ \Sigma_J = X^{*}_J \smallsetminus X^{*}_J \cap \bigcup_{i \in \bar J \smallsetminus J} \overset{\circ}{T}_i , \] de sorte que \(\Sigma_\emptyset = \emptyset\), \(\Sigma_{\{j\}} = \Sigma_j\), \(\Sigma_I = X\), et \(\Sigma_J = X_J\) si \(J\) est un idéal. « Sauf erreur », \[ \Sigma_J \simeq \varinjlim_{d \in \mathrm{Drap}(J)} \Sigma_d, \qquad \Sigma_J \hookrightarrow X^{*}_J \ \text{équivalence d'homotopie}, \] et le bord \(\dot \Sigma_J\) est la réunion des images des \(\Sigma_{ij} \to \Sigma_j\), \(i<j\) dans \(J\), limite des \(\Sigma_d\) pour \(d\) d'au moins deux termes.

Pour deux bandes disjointes \(J \prec L\), avec \(I' = \tilde J \cap \bar L\) et \(J' = I' \smallsetminus L\), on a des idéaux \(J \subset J' \subset I'\) et des inclusions \(\Sigma_J \subset \Sigma_{J'} \subset \Sigma_{I'}\). Le tube de \(\Sigma_J\) dans \(\Sigma_{I'}\) est \(\Sigma_{I'} \cap \bigcup_{j \in J} T_j\), et l'on pose \[ \Sigma_{J,L} = \dot T_{\Sigma_J, \Sigma_{I'}} \cap \Sigma_L \ \simeq\ \varinjlim \Sigma_d , \] la limite étant prise sur les drapeaux de \(J \cup L\) de premier terme dans \(J\) et de dernier dans \(L\) (« sauf erreur ») ; chacun s'écrit uniquement \((j_1 … j_p\, l_1 … l_q)\), \(p, q \geq 1\), d'où l'inclusion \(\Sigma_{J,L} \hookrightarrow \Sigma_L\) et la projection \(\Sigma_{J,L} \to \Sigma_J\), induites par \(\Sigma_{j_1 … j_p l_1 … l_q} \hookrightarrow \Sigma_{l_1 … l_q}\) et \(\Sigma_{j_1 … j_p l_1 … l_q} \to \Sigma_{j_1 … j_p}\).

Remarque (page 87). Les \(\Sigma_{J,L}\) et les inclusions \(\Sigma_{J,L} \to \Sigma_L\) ont un sens, dans une catégorie isotopique, indépendamment de tout choix de rétractions coniques locales autour des strates, du moins en topologie modérée ; la projection \(\Sigma_{J,L} \to \Sigma_J\), elle, utilise ces rétractions. La phrase suivante s'arrête sur « il est plus commode, » ; la page 88 ouvre un nouveau paragraphe.

88–98

Récapitulation sur les provoisinages (paragraphe 17, pages 88 à 98)

Topologie inférieure, bandes, domination

Les parties fermées de \(I\) — stables vers le bas — sont les fermés de la topologie inférieure, celle d'Alexandrov des pages 2 à 4 : l'adhérence de \(A\) est \(\bar A = \{ i \mid \exists j \in A,\ i \leq j \}\), et le plus petit ouvert contenant \(B\) est \(\tilde B = \{ i \mid \exists j \in B,\ i \geq j \}\). Une partie est localement fermée si et seulement si \(J = \bar J \cap \tilde J\), si et seulement si c'est une bande. Toute intersection de bandes est une bande, et la bande engendrée par \(J\) est \(B(J) = \bar J \cap \tilde J\).

La domination \(J \prec K\), définie par \(J \subset \bar K\) et \(K \subset \tilde J\), est un préordre sur les parties de \(I\) ; \(J \sim K\) si et seulement si \(B(J) = B(K)\), et l'ensemble ordonné quotient est celui des bandes, ordonné par domination. Pour deux bandes \(J \prec K\), la bande engendrée par \(J \cup K\) est \(I' = \tilde J \cap \bar K\) ; \(J\) y est fermé et codense (\(I' \subset \tilde J\)), \(K\) ouvert et dense (\(I' \subset \bar K\))⁴¹ , et réciproquement.

Stratifications ordinaires

Une stratification ordinaire de type \(I\) est une application \(i \mapsto X_i\) satisfaisant (Strat 1) les \(X_i\) sont fermés et forment un recouvrement localement fini ; (Strat 2) \(i \mapsto X_i\) est croissante ; (Strat 3) \(X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i,\, k \leq j} X_k\)⁴² . Pour un drapeau \(d\), posons \(X_d = X_{i_0}\) : on obtient un espace semi-simplicial au-dessus de \(X\), résolution de \(X\), d'où pour un faisceau abélien \(F\) \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(I,\ i \mapsto H^q(X_i, F)\bigr) = H^p_{ss}\bigl(\mathrm{Drap}(I),\ d \mapsto H^q(X_d, F)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(X, F), \] suite spectrale d'un recouvrement fermé localement fini⁴³ , « souvent assez peu pratique » parce que les \(X_i\) sont compliqués.

Les strates ouvertes \(X^{*}_i = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_j\) non vides forment une partition de \(X\). Axiomes supplémentaires, à n'invoquer que par mention expresse : (Strat 4) fidélité, \(X^{*}_i \neq \emptyset\) — non stable par restriction à un ouvert ; (Strat 4 bis) les \(X^{*}_i\) sont connexes non vides ; (Strat 5) densité, \(X_i = \overline{X^{*}_i}\), c'est-à-dire \(X_j\) rare dans \(X_i\) pour \(j<i\) — stable par restriction à un ouvert⁴⁴ . Moyennant la densité, la fidélité équivaut à \(X_i \neq \emptyset\).

On a \(X_i = \bigcup_{j \leq i} X^{*}_j\). Si la stratification est fidèle, \(X_i \subset X_j\), \(X^{*}_i \subset X_j\) et \(i \leq j\) sont équivalents : \(I\) s'identifie à une famille de parties de \(X\), et une stratification fidèle équivaut à une famille localement finie de fermés non vides, recouvrant \(X\), satisfaisant (Strat 3), dont aucun membre n'est réunion des membres strictement plus petits⁴⁵ .

Pour \(J \subset I\), \(X^{*}_J = \bigcup_{j \in J} X^{*}_j\) et \(X_J = \bigcup_{j \in J} X_j = X^{*}_{\bar J}\). L'application \(J \mapsto X^{*}_J\) commute aux réunions et aux intersections quelconques. On a \(X^{*}_J = X^{*}_{\bar J} \smallsetminus X^{*}_{\bar J \smallsetminus J}\) ; si \(J\) est une bande, \(\bar J \smallsetminus J\) est fermé et \(X^{*}_J\) localement fermé ; sous la densité, \(\overline{X^{*}_J} = X_J = X^{*}_J \amalg X^{*}_{\bar J \smallsetminus J}\). Si \(L\) est ouvert, \(X^{*}_L\) est le complémentaire de \(X^{*}_{I \smallsetminus L}\), donc ouvert. Sous densité et fidélité, les réciproques valent : \(X^{*}_J\) est fermé si et seulement si \(J\) est fermé, \(X^{*}_L\) ouvert si et seulement si \(L\) l'est, \(X^{*}_J\) localement fermé si et seulement si \(J\) est une bande.

Les provoisinages, définitivement

Soit \(\mathcal{V}_i = \mathcal{V}(X^{*}_i, X)\) le pro-espace des voisinages de \(X^{*}_i\). Alors \[ \mathcal{V}_i \cap X^{*}_j \neq \emptyset \iff X^{*}_i \cap \overline{X^{*}_j} \neq \emptyset \Longrightarrow X^{*}_i \cap X_j \neq \emptyset \Longrightarrow i \leq j , \] la première implication étant une équivalence sous la densité, la seconde sous la fidélité ; pour une stratification dense et fidèle, \(\mathcal{V}_i \cap X^{*}_j \neq \emptyset\) si et seulement si \(i \leq j\). La relation n'est pas symétrique ; en revanche, si \(X\) est héréditairement normal, \(\mathcal{V}_i \cap \mathcal{V}_j \neq \emptyset\) implique que \(i\) et \(j\) sont comparables, avec réciproque sous la fidélité⁴⁶ .

On pose \(\mathcal{V}_{i_0 … i_n} = \mathcal{V}_{i_0} \cap \cdots \cap \mathcal{V}_{i_n}\) pour les drapeaux ; ce sont les « pièces de construction » élémentaires des types d'homotopie, par limites inductives finies si \(I\) est fini. Pour \(Z\) localement fermé contenant \(X^{*}_{i_n}\), \(\mathcal{V}^Z_{i_0 … i_n} = \mathcal{V}_{i_0 … i_n} \cap Z \to \mathcal{V}_{i_0 … i_n}\) « est » une équivalence d'homotopie — la marge porte « ? à vérifier ! ». Pour une bande \(J\), et pour deux bandes \(J, L\) : \[ \mathcal{V}_J = \mathcal{V}(X^{*}_J, X) = \bigcup_{j \in J} \mathcal{V}_j = \varinjlim_{d \in \mathrm{Drap}(J)} \mathcal{V}_d , \qquad X^{*}_J \hookrightarrow \mathcal{V}^Z_J \hookrightarrow \mathcal{V}_J \ \ (Z \supset X_J), \] \[ \mathcal{V}_{J,L} = \mathcal{V}_J \cap \mathcal{V}_L = \varinjlim_{\substack{d \in \mathrm{Drap}(J \cup L)\\ d \cap J \neq \emptyset,\ d \cap L \neq \emptyset}} \mathcal{V}_d \quad (J \prec L), \qquad \mathcal{V}^L_J = \mathcal{V}_J \cap X^{*}_L \hookrightarrow \mathcal{V}_{J,L} , \] cette dernière inclusion étant une équivalence d'homotopie si \(J \prec L\) sont des bandes. Dans le cas \(J \prec L\), les drapeaux en jeu commencent dans \(J\), finissent dans \(L\), et leurs termes dans \(J\) forment un segment initial, ceux dans \(L\) un segment final. Une marge propose la notation \(\mathcal{V}^{\flat}_{i_0 … i_n} = \mathcal{V}_{i_0} \cap \cdots \cap \mathcal{V}_{i_{n-1}} \cap X^{*}_{i_n}\).

Enfin, pour une chaîne de bandes \(J_0 \prec J_1 \prec \cdots \prec J_n\), \[ \mathcal{V}_{J_0, …, J_n} = \mathcal{V}_{J_0} \cap \cdots \cap \mathcal{V}_{J_n} = \bigcup_{j_\alpha \in J_\alpha} \mathcal{V}_{j_0 … j_n} = \varinjlim_{\substack{d \in \mathrm{Drap}(J_0 \cup \cdots \cup J_n)\\ d \cap J_\alpha \neq \emptyset\ \forall \alpha}} \mathcal{V}_d . \] Le dossier s'arrête sur cette formule ; un bloc de calculs raturés au bas de la dernière page n'a pas pu être lu.