Cote n° 15 · batch 12 · pages 221–227 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

222le feuillet commence au milieu d'un raisonnement ; la phrase qui précède est vraisemblablement au lot 11 (le feuillet 221 est une page dactylographiée étrangère)

Peut-on remplacer \(\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{R}\) ??

Il s'agirait de construire \(X\) projectif lisse sur \(k\), tel que \(H^{*}(X_{v}, \mathbb{Z})\) et \(H^{*}(X_{v'}, \mathbb{Z})\) non isomorphes comme anneaux. On devrait mettre Serre à contribution. les indices de \(X\) sont mal formés ; \(v\), \(v'\) sont lus d'après la suite du feuillet, où \(v\) désigne une place de \(k\). Un double trait horizontal sépare ce paragraphe du suivant

Soit \(k\) un corps de nombres, \(v_{0}\) une place de \(k\), \(M\) un motif sur \(k\), d'où \(G_{M,v_{0}} = G_{v_{0}}\) groupe algébrique défini sur \(\mathbb{Z}\). Toute autre place […] \(v\) définit un fibré principal homogène \(P_{v}\) sous \(G_{v_{0}}\), […] […] […] été dit [conjecturé] plus haut, [en admettant que \(M\) est vraiment assez général,] \(v \neq v' \Rightarrow P_{v} \neq P_{v'}\). On peut aller plus loin et se demander (en \(G_{M}\) assez grand) […] si les fibrés principaux homogènes \(P_{v}\) sous \(G_{v_{0}}\) d'une place \(v\) réelle / les […] […] […] […]. Attention, la condition d'avoir un isomorphisme de foncteurs \(\xi(M) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \simeq M_{\infty} \otimes_{k} \mathbb{C}\), fonctoriel, satisfaisant aux conditions de compatibilité genre Riemann–Hodge, risque d'être une condition restrictive sérieuse… cette note marginale, écrite en biais dans la marge gauche, est appelée par un signe à tête ronde qui barre le mot biffé après « place \(v\) » ; la fin de la phrase est illisible \[ G_{M,v_{0}}(\mathbb{Z}) = \pi^{1}_{\mathbf{M}}(k, v) \, . \] un groupe a priori un […] […] […]

Vers : groupe fondamentaux [(arithmétiques)] discrets. « fondamentaux » est souligné ; le mot entre parenthèses est ajouté au-dessus de la ligne et renvoyé par un trait avant « discrets »

224[…] note de quatre ou cinq mots dans le coin supérieur gauche, biffée et illisible

On a vu plus haut qu'un […] est très loin d'être caractérisé par le foncteur fibre correspondant, Mais considéré comme foncteur dans les \(\mathbb{Z}\)-modules. Mais que se passe-t-il si on le regarde comme foncteur dans les […] […] […] et structure de Hodge ? […] [Vrai pour un […] kählérien, et par là] la phrase ajoutée dans l'interligne court au-dessus du début du passage biffé qui suit ; sa liaison avec lui n'est pas claire

Attention, il faut faire […] […] […] […] […] […] […] […] structure […] de Hodge … la note marginale est écrite en biais dans la marge gauche ; au-dessous, un petit croquis relie \(\mathbb{Q}\), \(k_{0}\) (?), \(k\) et \(X\) par des traits, sans doute la tour de corps du passage biffé ci-dessous

[…], on est ramené au cas où […] plus coïncide avec […], \(k_{0}\) = clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\), et puis […] au […] \(X\) est de type fini sur \(\mathbb{Q}\), puis on […] de base […] […] \(X\) est connexe de type fini sur \(\mathbb{C}\), [ordinaires] […] de \(X\) […] […] […] quasi-projectif), […] \(X\) […] […] au […] \(X = \mathbb{P}^{r}_{\mathbb{C}}\) tout ce passage est encadré et biffé de longs traits diagonaux ; les lignes sont en outre barrées une à une. Seuls les fragments donnés se lisent ; l'ordre des lignes est celui de la page

Il semble qu'on se ramène facilement au [[…] […] […] […] en […],] cas de \[ X = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} - (0) - (1) - (\infty) , \] où la théorie […] doit le donner — [[…] comme motif celui défini par un schéma en courbes elliptiques sur \(X\), d'invariant l'indéterminée]. « facilement » est relié par un trait au bas du cadre biffé, là où se lit \(X = \mathbb{P}^{r}_{\mathbb{C}}\). L'exposant de \(\mathbb{P}\) est lu \(1\), conformément aux trois points retirés

226en vertu de la conjecture de Hodge note encerclée dans le coin supérieur gauche, sans renvoi explicite

D'autre part, quels sont les foncteurs multiplicatifs de Motifs, à valeurs dans [(i.e. pour les motifs sur \(\mathbb{C}\))] les structures de Hodge, qui sont motivés, i.e. les plus ordinaires ? Plus généralement, dans quelle mesure un […] [[…] \(X - Y\) et il] […] […] le foncteur sur les motifs [(loc. cit.)], et dans quelle mesure un foncteur [multiplicatif] peut-il être pris arbitrairement ?!? « un morphisme » se lit peut-être au début de la ligne ; au-dessus, « \(X - Y\) » et une ligne illisible sont ajoutés dans l'interligne

C'est lié au Pb de construction des schémas de modules pour les motifs [[…]] polarisés ; si \(Y\) admet un […] polarisé […] tel que \(Y \to \mathrm{Modules}\) soit […] ([…] …) une immersion) et alors on […] […]. Kif kif si \(Y\) est […] \(\leftarrow\) […] de problèmes […] ayant […] la […] propriété. Moralement […] particulier si \(Y\) est le spectre d'un corps ….. la phrase s'arrête sur ces points de suspension, aux deux tiers du feuillet ; c'est la dernière page manuscrite du dossier