Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 181–200

Généralités fonctorielles-catégoriques sur la distribution des Frobenius dans les gpes de Galois motiviques

ces mots sont de sa main, seuls, en haut à droite du feuillet 181, qui sert de couverture ; ils deviennent ici le titre de section

Soit M une catégorie de motifs géométriques, [de type fini,] sur le préschéma S de type fini sur \mathbb{Z}. Pour simplifier, supposons que les degrés de M soient pairs (sinon, il sera possible, pour [néanmoins] [traiter] la question de la distribution des Frobenius, de remplacer M par M^{(\mathrm{pair})}). Tout choix d'un permet de définir des pts fermés s \in S « \mathbb{R}-points motiviques » ~~de M~~ . Pour fixer les idées, un pt \mathbb{R}-valué algébrique G_{\mathbb{R}} sur \mathbb{R} de M, .

Il y a lieu de [démultiplier] les points [fermés] de S, en considérant les couples s' = (s, \xi), où s \in S^{0}, et géométrique est du type i : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G(s)_{\mathbb{C}} Galois motivique associé à M_s, — \mathbb{C}(s) désigne la complexe. À tout s'

l'existence d'un désigne généraux note oblique dans la marge gauche, le dernier mot souligné

~~Alors~~ Soit S' l'ensemble des \mathbb{R}-points motiviques de M, et déterminé à isom. près \xi(s') \in H^{1}(\mathbb{R}, G^{0u}_{\mathbb{R}}) où G^{0u} est le noyau de G^{0}_{\mathbb{R}} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{G}_m. De plus, si G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')} est le « tordu » de G_{\mathbb{R}} par torsion par \xi(s'), on obtient un homomorphisme u(s') : G(s')_{\mathbb{R}} = G(s)_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')} compatible avec \varepsilon_{\mathbb{R}}, i_{\mathbb{R}}, et déterminé en fait mod ~~automorphismes intérieurs~~ [] par un élément de G^{0u}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}). l'exposant de G^{0u} se lit mal : un rond suivi d'une boucle, lu « 0u » ; on pourrait aussi y voir « 0n ». Un premier G en tête de la formule \xi(s') est surchargé

De plus, on a une structure [\pi] privilégiée sur G^{0}_{\mathbb{R}}, qui peut ~~définir~~ s'exprimer définie par un hom i : \mu_{2,\mathbb{C}} \longrightarrow G^{0}_{\mathbb{C}} (comme on en envoyant un tore [] ()). D'autre part, G(s')_{\mathbb{C}} est muni de i(s') : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G(s')_{\mathbb{C}}, et par restriction [à \mu_2] on obtient canoniquement \psi(s') = u(s')_{\mathbb{C}} \circ \bigl(i(s') \vert \mu_2\bigr) : \mu_{2,\mathbb{C}} \longrightarrow G_{\mathbb{C}}^{\xi(s')} ~~D'autre part~~ Ceci posé, il faut que \pi^{\xi(s')} ( de G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')} déduite de \pi sur G par transport) soit celle définie par les \mu_{2,\mathbb{C}}. la lettre du premier membre, \psi(s'), est douteuse : une sorte de \mathrm{v} à queue

Par conséquent, puisqu'il s'agit [de ] de G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')} [] que \xi(s') [à conjugaison près], les \pi-structures en question doivent être identiques — u(s') doivent être une condition non tautologique [] ce qui donne une [restriction] sur u(s')). [Notons cependant que la distribution des \pi-structures d'un gpe réel H, définie en termes des hom. \mu_{2,\mathbb{C}} \to H_{\mathbb{C}}, commutatif en tous cas !] « identiques » et « tautologique » portent un trait au-dessus ; dans la parenthèse finale, un mot est biffé avant « \pi-structures »

? d'ailleurs finie, [si ] dominance. les restrictions deux lignes rapides, précédées d'un « ? » dans la marge gauche, dont presque rien ne se lit

Enfin, conjecturalement [avec les conjectures de] Tate vérifiées, la connaissance des u(s') de la structure d'effectivité dans la catégorie

des G_{\mathbb{R}}-modules de dim. finie sur \mathbb{R}. La condition qui exprime cette effectivité est ~~singulière~~ par les ~~réels~~ noyaux définis par les v(s') [sous forme « analytique »]. C'est un fait qui exprime [le fait que les] Frobenius f(s') \in G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')}(\mathbb{R}) ont par leurs valeurs propres, dans représentation de G_{\mathbb{R}}^{\xi(s')} ~~(\mathbb{R})~~ de G_{\mathbb{C}}^{\xi(s')} — sont des entiers algébriques, ce qui est une condition arithmétique assez draconienne ! « entiers » est souligné. Le premier mot de la deuxième ligne, « singulière », est souligné puis biffé ; l'exposant de f se lit (s'). Le texte s'arrête au tiers supérieur du feuillet, le reste est blanc

Théorie de Galois des Motifs. Généralités

deux lignes de sa main, au crayon, soulignées, seules sur le feuillet 188, qui sert de couverture ; elles deviennent ici le titre de section

Foncteurs fibres motiviques et gp fondamental motivique

titre de sa main, seul sur le feuillet 189, qui sert de couverture

X préschéma connexe, ~~réduit, ce qui ne restreint pas~~

1°) X_{\mathrm{réd}} de car. p > 0. Alors dans le pro-torseur fondamental (T_\alpha), il n'y a pas en général de sections pour les T_\alpha.

On dispose uniquement, ~~de façon canonique~~ Coh. \ell-adique

(i)des \xi_\ell^{(\alpha)} \in T_\alpha(\mathbb{Z}_\ell), \ell \neq p, provenant sans doute de \xi_\ell \in T_\alpha(\widetilde{\mathbb{Z}_{\ell\mathbb{Z}}}) hensélisé (ii)d'un \xi_p^{(\alpha)} \in T_\alpha(W_p(k)) si ~~X déf.~~ k est un corps parfait sur X ~~le corps parfait k~~ [\xi_p provenant sans doute d'un \xi_p \in T_p(\widetilde{\mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}})] hensélisé strict. (iii)réduit \xi_p^{(\alpha)\,0} \in T_\alpha(k) « De Rham-Hodge »

les items (ii) et (iii) sont réunis par une accolade, précédée d'un « ? ». « hensélisé » et « hensélisé strict » sont écrits sous les deux anneaux marqués d'un tilde, qu'ils glosent. « De Rham-Hodge » est écrit au-dessus de (iii), avec une flèche vers le k de T_\alpha(k)

Coh. p-adique. Structure supplémentaire : opérations F et V, ½ linéaires relativement au Frobenius Coh. Hodge-de Rham. Mais ici, il faut ~~sans doute~~ travailler dans la catégorie dérivée. Tenir compte aussi de la filtration Hodge-De Rham ces notes marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche, en face de (i), (ii), (iii) respectivement : la deuxième est entourée d'un trait qui la rattache à (ii) ; dans la deuxième, « ½ linéaires relativement au Frobenius » est surchargé de plusieurs traits

N.B. Si X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_q, il y a en général des obstructions non triviales dans des H^2(\mathbb{Q}, G) — le \mathbb{Q} de H^2(\mathbb{Q}, G) est douteux ; le signe initial, en marge, est une sorte de monogramme, lu N.B.

On utilise des « foncteurs fibres » qui induisent sur les motifs effectifs de poids 0 le foncteur canonique. Alors les points de T_\alpha(\mathbb{Z}_\ell) sont sans doute uniques [à isom. près] (th. de Lang), de même ceux de T_\alpha(W_p(k)) si k fini (ii), [plus précis.] pour un k parfait de dim. coh. 1 (?). En général, il faut s'attendre que T_\alpha(k) ait plus d'un élément à isom. près, mais il est possible que T_\infty(k) = \varprojlim T_\alpha(k) n'ait qu'un élément à isom. près, celui donné par la théorie de De Rham-Hodge.

relation galoisienne ?? Ce doit être équivalent, cf. Manin note écrite en oblique dans la marge gauche, en bas, reliée par un long trait de crayon à la note sur la cohomologie p-adique ; « Manin » est souligné

les \xi_\ell dépendant du choix d'un pt géom. de X, mais à isom. unique près (dépendance du \pi_1(X)) [\pi_1(X) opère sur \xi_\ell] ~~sont~~ indépendants de ce choix. « dépendance du \pi_1(X) » est souligné deux fois

Les \xi_p^{\alpha} dépendent du choix d'un ~~corps~~ pt géom. [de X] à valeurs dans un corps parfait sans plus, si on veut les k(x)^{\mathrm{pf}} (clôture parfaite de k(x)), et pour k donné, il ne semble pas qu'il y ait de choix des isom. entre les \xi_{p,a}^{(\alpha)} correspondant aux divers pts à valeurs dans k (c'est-à-dire « points » du géom. qui des maximaux), s'ils sont localisés en le même x \in X, si k est alg. clos, ils sont conjugués par autom. de k [(éléments de W_p(k))] alg., mais sont conjugués autom. de k … il est à général qu'il semble l'un de l'autre… Le gpe \pi_1(X) n'opère plus sur \xi_p^{\alpha}, En revanche, on a comme structure supplémentaire les opérations F, V avec FV = p par contre le groupe des autom. de k sur k(x) opère ½ linéairement sur \xi_p^{(\alpha)} — fibre \ell-adique en « ½ linéairement » est ajouté dans l'interligne et souligné ; une insertion biffée au-dessus de la ligne se termine par un signe de renvoi qui mène à la note marginale ci-dessous

élégante. D'autre part, un autom. \sigma de k qui induit sur k(x) l'identité transforme en général \xi_{x,p} en un \xi_{x,p}^{\sigma} qui n'est plus isom. à \xi_{x,p} — les deux notes marginales sont écrites verticalement dans la marge gauche ; dans la seconde, les indices et exposants des deux premiers \xi sont douteux

Notations,

(i)\xi_{\bar{x},\ell} ; \xi_{x,\ell} pour x \in X ou un pt de x à val. dans un corps quelc. (\xi_{x,\ell} déf. à isom. non unique près) (ii)\xi_{x,p}, \xi_{x,p}^{0} : x pt de X à val. dans un corps parfait.

Gros point subtil note de trois lignes soulignées, en bas de la marge gauche

2°) X ~~réd~~ dominant \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, i.e. X contient des pts de car. résiduelle nulle.

Alors ~~en plus [dessus] éventuellement (iii) d'inégales car.)~~ ~~(iii bis)~~ deux lignes biffées d'un trait

(i)

\xi_\ell \in \mathbf{T}(\mathbb{Z}_\ell) \forall\, \ell \in \mathbb{P}, \xi_\ell provenant sans doute de T_\alpha(\widetilde{\mathbb{Z}_{\ell\mathbb{Z}}}).

\xi_\ell dépend du choix d'un pt géom. quelconque de X, et est indép. de ce choix modulo opération de \pi_1, notation \xi_{\bar{x},\ell}, \xi_{x,\ell}.

(ii)

Si X a des points x de car. p > 0, on a également des \xi_{x,p}, \xi_{x,p}^{0}.

Conjecture : relation, si y est un pt de car. p > 0 et un pt de car. 0, entre \xi_{y,p} et \xi_{x,p} \otimes_{\mathbb{Z}_p} W(k) [y pt à val. dans un corps parfait k]

Ils ne sont en général pas isomorphes, sans doute. ~~ils sont~~ « Ils ne sont en général pas isomorphes » est souligné ; suivent deux lignes surchargées et biffées, que la marge gauche désigne d'un mot lui-même biffé

(iii)Si x est un pt à val. dans un corps [k] de car. 0, on a \xi_{x,\infty} \in T_\alpha(k) par Hodge-de Rham [avec ses 2 filtrations ]. Il n'y a pas lieu de

« car. 0 » est souligné ; l'insertion « avec ses 2 filtrations » se rattache à « Hodge-de Rham », et le « 2 » est entouré

l'une est celle qui donne comme gradué associé un H^{\bullet}(X, \Omega^{P}), l'autre (authentique) fait penser à : la filtration canonique des motifs. (Celle-ci est définie pour les motifs , filtration est originaire du foncteur Hodge-De Rham, bien qu'on s'attende qu'elle ne provienne pas d'une filtration sur motif, c'est une filtration en … note écrite verticalement dans la marge gauche, en face de (iii), rattachée par un trait aux « 2 filtrations »

penser que pour ces pts définis à val. dans le même k, les deux foncteurs fibres, soient isom. (pas plus que dans le cas (ii)). Il n'y a plus en général d'opération de \pi_1(X) sur \xi_{x,\infty}, mais encore comme dans (ii) les autom. de k sur k(x) opèrent sur \xi_{x,\infty} ½ linéairement (donnée de descente). Un autom. de k qui l'identité sur k définit \xi_{x,\infty}^{\sigma} qui à priori n'est plus isomorphe à \xi_{x,\infty}. « ½ linéairement » est souligné

Un cas intéressant est celui où k = \mathbb{Q}, on trouve alors un ~~trivial~~ \xi_{x,\infty} \in T_\alpha(\mathbb{Q}), i.e. une trivialisation de T_{\mathbb{Q}}. Deux trivialisations de T_{\mathbb{Q}} ne sont en général pas isom. à priori les mêmes. De plus, il n'y a pas d'isom. canoniques privilégiés entre \xi_{x,\infty} \xi_{x,\infty} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell et \xi_{\bar{x},\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell — ~~bien que pas~~ et comme la première à priori ne provient pas d'un objet de T_\alpha(\mathbb{Z}_\ell) mais seulement de T(\mathbb{Q}_\ell), il n'y a pas lieu de penser qu'il y ait un isom. en effet, ils sont divisés sur les motifs de poids et niveau 0 Ainsi, tt pt rat. /\mathbb{Q} définit une classe de coh. dans les H^{1}(\mathbb{Q}_\ell, G_\ell^{(\alpha)}). Dès en général, il faut remplacer \mathbb{Q}_\ell « canoniques » est souligné. La note marginale, oblique, est séparée du texte par un trait vertical en face de « ne provient pas d'un objet de T_\alpha(\mathbb{Z}_\ell) ». L'exposant de H^{1} peut se lire 1 ou 2 (comparer le H^2 du feuillet 190) ; le G porte un rond au-dessus, peut-être un G^{0}

par \mathbb{Q}_\ell(k) — c'est particulièrement intéressant dans le cas un corps de nbs.

(iv)Si x est un pt à valeurs dans \mathbb{C}, il lui correspond \xi_{x,\mathbb{Z}} \in \mathbf{T}_\alpha(\mathbb{Z}) \qquad \xi_\alpha(\mathbb{Z})(F) = \text{réseau entier dans } F_x , ~~Quand~~ ~~De plus, le gpe \xi_{x,\mathbb{Z}} et \xi_{x,\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opère~~ ~~complexe)~~, et des isom. can. \begin{cases} \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_\ell \simeq \xi_{x,\ell} \\ \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \simeq \xi_{x,\infty} \end{cases}

« dans \mathbb{C} » est souligné. Entre les deux formules, deux lignes et un encadré sont biffés ; on y lit \xi_{x,\mathbb{Z}}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} et « complexe »

D'ailleurs \xi_{x,\mathbb{Z}} est défini en termes d'un pt à val. dans un corps [top.] K isom. à \mathbb{C} (i.e. isom. ) en d'autres termes il y a un isom. canonique « involutif » \xi_{x,\mathbb{Z}} \simeq \xi_{\tau x,\mathbb{Z}} où \tau x est le pt complexe conjugué.

~~Donc~~ On peut dire aussi si x est localisé en a \in X, que [a) si k(a) est dense dans \mathbb{C}, alors,] \xi_{x,\mathbb{Z}} dépend de la donnée d'une topologie [archimédienne] (ou valuation) sur k(a), à complété \mathbb{C} b) Si k(a) dense dans

\mathbb{C}, i.e. \overline{k(a)} \simeq \mathbb{R} [isom. unique can.], alors \xi_{x,\mathbb{Z}} est encore défini par la valuation archimédienne sur k(a), mais ~~suivant~~ [compte tenu] ~~des~~ les choix possibles de la clôture algébrique de k(a), le gpe de Galois de \mathbb{C} = \overline{\mathbb{R}} sur \mathbb{R} opère dans \xi_{x,\mathbb{Z}}, [les invts \xi_{x,\mathbb{Z}} de \xi_{x,\mathbb{Z}}, ] [ ] et cette opération, qui est compatible avec l'action ½ linéaire sur \xi_{\bar{a},\infty} correspondant à \tau, il n'y est pas question par contre d'un réseau stable]. « et cette opération » est souligné deux fois, « ½ linéaire » une fois

a choisi clôture algébrique à val. dans \mathbb{C}

Dans ce cas, les invariants sont

\begin{array}{l} \xi_{a,\infty} \in T_\alpha(\mathbb{R}) \\ \xi_{\bar{a},\mathbb{Z}} \in T_\alpha(\mathbb{Z}) \end{array} \qquad \xi_{\bar{a},\infty} \in T_\alpha(\mathbb{C}) sur la page, les deux éléments de gauche sont reliés à celui de droite par deux traits obliques ; au-dessus de \xi_{\bar{a},\mathbb{Z}}, une première formule est biffée, \xi_{a,\infty} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq

\xi_{\bar{a},\infty} \overset{\mathrm{can}}{\simeq} \xi_{a,\infty} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq \xi_{\bar{a},\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}

\pi_1(X) n'opère plus à priori dans \xi_{a,\mathbb{Z}}, les seules opérations sont celles de \tau si a est réel. Cependant, sur \xi_{\bar{a},\infty}, il y a (en plus éventuellement de \tau, si a est réel) les opérations de \mathrm{Aut}_{k(a)}(\mathbb{C}), qui sont ½ linéaires. « réel » est souligné dans la première phrase