Alors un plong. l'on on ait une
réduction des scalaires à K, et que la filtration
H_{\xi}(V)^{p,q}_{\mathbb{C}} fasse de V un réseau de Hodge,
G^{0} étant alors exactement le groupe de Galois de la
structure de Hodge. Si le plong. est réel, alors
Calculs de cohomologie absolue des Motifs de Tate
\mathbb{Z}(n).
titre de sa main sur un feuillet par ailleurs vierge (feuillet 171),
qui sert de couverture aux feuillets qui suivent
k = \mathbb{F}_{q} \;\text{---}\; \bar{k}, \qquad \pi \simeq
\hat{\mathbb{Z}} \ \text{engendré par } f = \mathrm{frob}^{q}
M un \mathbb{Z}_{\ell}-module de t.f. sur lequel \pi opère
continûment.
\begin{aligned}
H^{0}(\pi, M) &= M^{\pi} = M^{(1-f)} = \operatorname{Ker}(1-f)_{M} \\
H^{1}(\pi, M) &= M_{\pi} = M_{(1-f)} = \operatorname{Coker}(1-f)_{M} = M/(1-f)M \\
H^{i}(\pi, M) &= 0 \quad \text{si } i \geq 2
\end{aligned}
H^{0}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) = 0 \ \text{si } n \neq 0, \quad =
\mathbb{Z}_{\ell} \ \text{si } n = 0
\begin{aligned}
H^{1}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) &\underset{\text{non canoniquement}}{\simeq}
\mathbb{Z}_{\ell}/(1-q^{n})\mathbb{Z}_{\ell} \\
&= \begin{cases}
\mathbb{Z}_{\ell} & \text{si } n = 0 \\
0 & \text{si } \ell \nmid (1-q^{n}) \ \text{i.e. } n \not\equiv 0 \ (w_{\ell}(q)) \\
\mathbb{Z}/\ell^{v_{\ell}(1-q^{n})} & \text{si } \ell \mid 1-q^{n},\ n \neq 0 \ \text{i.e. } n \equiv 0 \ (w_{\ell}(q))
\end{cases}
\end{aligned}
w_{\ell}(q) = ordre de q mod \ell dans
(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*}
la note marginale, en haut à droite et d'encre brune, est reliée par
un trait aux conditions « i.e. … », ajoutées de la même encre ; sous la
première, un mot est biffé
\left\{
\begin{aligned}
& H^{i}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}(n)) = 0 \quad \text{si } n \neq 0, \ \text{quel que soit } i \\
& H^{0}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathbb{Q}_{\ell}, \quad H^{1}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathbb{Q}_{\ell}
\end{aligned}
\right.
H^{i}(\pi, \mathbb{Z}(n)
\left\{
\begin{aligned}
& \mathbb{H}^{i}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}(n)) = 0 \quad \text{si } n \neq 0, \ \text{quel que soit } i \\
& \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Q}, \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}) = \underset{\sim}{\mathbb{Q}}.
\end{aligned}
\right.
\left\{
\begin{aligned}
& \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?}), \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?}) \\
& \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n)) = 0 \ (\text{id}), \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n)) = \mathbb{Z}/(1-q^{n})\mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?})
\end{aligned}
\right.
dans la dernière accolade, le \underset{\sim}{\mathbb{Z}} de la
première ligne est écrit sur un \underset{\sim}{\mathbb{Q}} ; sous les
deux \underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n) de la seconde, un trait renvoie à « n
\neq 0 ». Les « (mod p-groupes ?) » et « (id) » sont d'encre brune. Un
trait horizontal traverse ensuite la page
\begin{aligned}
\mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}(1)) &=
\begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 3 \\ \mathbb{Z} & \text{si } i = 3 \end{cases} \\
\mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) &=
\begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ \mathbb{Z} & \text{si } i = 0 \end{cases}
\end{aligned}
\mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}), \mathbb{Q}(n))
\xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{H}^{i}(U, \mathbb{Q}(n))
si U ouvert de Zariski de \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, et n \neq 0
(tout i).
ces trois lignes, à droite, sont d'encre brune
\operatorname{Spec} \mathbb{Z}
suit un croquis : un trait horizontal, un point marqué x
i_{x}^{!}(M) = i_{x}^{*}(M)(-1)\,[-2]
\cdots \to H^{i-2}(x, i_{x}^{*}(M)(-1)) \to H^{i}(X, M) \to H^{i}(U, M) \to
H^{i-1}(x, i_{x}^{*}(M)(-1)) \to \cdots
devant i_{x}^{*}(M), dans la première formule, un trait isolé
M = \underset{\sim}{\mathbb{Q}}(n)
le \mathbb{Q} est écrit sur un \mathbb{Z}
H^{i} i \neq 1, 2, 3 :
H^{i}(X, M) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, M)
pour des , car si i \geq 4, les deux membres
devraient être = 0
\begin{aligned}
0 &\to H^{1}(X, M) \to H^{1}(U, M) \to H^{0}(S, i^{*}(M)(-1)) \to H^{2}(X, M) \\
&\to H^{2}(U, M) \to H^{1}(S, i^{*}(M)(-1)) \to H^{3}(X, M) \\
&\to \underset{0\,?}{H^{3}(U, M)} \to 0
\end{aligned}
M = \mathbb{Z} \mathbb{Q}_{\ell}(n), i^{*}(M)(-1) =
\mathbb{Q}(n-1)_{S}
l'indice \ell de \mathbb{Q}_{\ell} est peu sûr ; à droite du
premier membre, un signe biffé
Si n \neq 1
H^{i}(X, \mathbb{Q}(n)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, \mathbb{Q}(n))
\qquad \text{tout } i \quad [\text{est-ce vrai ??}]
Si n = 1
\begin{aligned}
0 &\to H^{1}(X, \mathbb{Q}(1)) \to H^{1}(U, \mathbb{Q}(1)) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{2}(X, \mathbb{Q}(1)) \to \\
&\to H^{2}(U, \mathbb{Q}(1)) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{3}(X, \mathbb{Q}(1)) \to 0
\end{aligned}
H^{i}(X, \mathbb{Q}(1)) = 0 sauf pour i = 3, où on trouve \mathbb{Q} !
le feuillet entier est barré de deux longues diagonales
k = \mathbb{F}_{q} \;\text{---}\; \bar{k}, \qquad \pi = \hat{\mathbb{Z}}
\ \text{engendré par } \mathrm{frob}^{q}_{q}
\begin{aligned}
H^{0}(\pi, M) &= M^{\pi} \\
H^{1}(\pi, M) &= \varprojlim_{n} H^{1}(\pi, M/\ell^{n}M) =
\end{aligned}
a) si \pi opère trivialement, c'est \mathrm{Hom}(\pi, M)
b) si M est fini, donc \pi opère à travers \pi/\mathfrak{U} \simeq
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
0 \to \underset{\substack{\parallel \\ M}}{H^{1}(\pi/\mathfrak{U}, M^{\mathfrak{U}})}
\to H^{1}(\pi, M) \to
\underset{\substack{\parallel \\ \mathrm{Hom}(\mathfrak{U}, M^{\pi})}}{H^{0}(\pi/\mathfrak{U}, \mathrm{Hom}(\mathfrak{U}, M))}
\to \underset{\substack{\parallel \\ M}}{H^{2}(\pi/\mathfrak{U}, M^{\mathfrak{U}})}
M_{\pi} \dfrac{\operatorname{Ker} N}{\operatorname{Im}(1-f)}
la dernière flèche de la suite descend vers H^{2}, écrit plus bas
à droite ; « H^{1}(\pi, M) » est aussi écrit seul, à gauche, en marge
\begin{aligned}
\varphi(xy) &= \varphi(x) + x\varphi(y) \\
\varphi(x) &= xa - a \\
\varphi(xy) &= xya - a = xa - a + x(ya - a)
\end{aligned}
N \quad 1 - f, \quad N = 1 + f + \cdots + f^{n-1}
\begin{aligned}
\varphi(x^{2}) &= \varphi(x) + x\varphi(x) \\
\varphi(x^{3}) &= \varphi(x) + x\varphi(x) + x^{2}\varphi(x) \\
\varphi(x^{n}) &= (1 + x + \cdots + x^{n-1})\varphi(x) \\
\text{or } \varphi(x^{-1}x) &= \varphi(x^{-1}) + x^{-1}\varphi(x) \\
\varphi(x^{-1}) &= -x^{-1}\varphi(x) \\
\varphi(x^{-n}) &= -(1 + x^{-1} + \cdots + x^{-(n-1)})x^{-1}\varphi(x)
= -\frac{1 - x^{-n}}{1 - x^{-1}}\, x^{-1}\varphi(x) = \frac{1 - x^{-n}}{1 - x}
\end{aligned}
\varphi(f^{n}) =
\begin{cases}
(1 + x + \cdots + x^{n-1})\varphi(x) = \dfrac{1 - x^{n}}{1 - x}\,\varphi(x) & \text{si } n \geq 1 \\
0 & \text{si } n = 0
\end{cases}
\varphi(f^{n}) = 1 + x + \cdots + x^{n-1} \qquad \frac{1 - f^{n}}{1 - f}\,\varphi(f)
\begin{aligned}
Z^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq M \\
B^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq (1-f)M \\
H^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq M/(1-f)M
\end{aligned}
si n \equiv 0 \ (N), \ 1 + f + \cdots + f^{n-1}
calculs épars, dans le désordre de la page : la colonne des
\varphi(x^{n}) est à gauche, sous la première diagonale ; quelques
égalités intermédiaires sont biffées (dont un premier \varphi(x^{n}) =
\varphi(x) + \cdots) ; la troisième ligne de l'accolade de \varphi(f^{n})
est commencée et laissée. La dernière égalité de la colonne s'arrête au
quotient, sans \varphi(x)
Lorsque X est on est dans les conditions de les
anneaux locaux stricts de X sont factoriels, on tire aisément de (5.3.)
H^{1}(X, \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}) = 0
d'où la proposition
Proposition 5.4. Supposons que [l'on soit dans les conditions de 5.1.
a)], [X étant irréductible de pt gén. y.] Alors les homomorphismes
canoniques
H^{2}(X, \mathbb{G}_{m,X}) \to H^{2}(X, R^{*}_{X}) \to H^{2}(y,
\mathbb{G}_{m,y}) = \mathrm{Br}(y)
sont injectifs.
les deux crochets sont des ajouts de sa main dans l'interligne,
au-dessus de « Supposons que » et de « Alors les homomorphismes » ; « (X
étant irréductible …) » est d'abord écrit plus bas, puis remonté
Comme \mathrm{Br}(X) \subset H^{2}(X,
\mathbb{G}_{m,X}), il s'ensuit
Corollaire 5.5. Sous les mêmes conditions,
\mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(y)
est injectif.
Ainsi, \mathrm{Br}(X) s'identifie [] à un sous-groupe du groupe de
Brauer \mathrm{Br}(K) du corps des fonctions K = k(y) de X.
Théorème 5.6. [Soit X un préschéma, \xi \in H^{2}(X,
\mathbb{G}_{m})] a) Si X est un schéma local, et
\xi \in H^{2}(X, \mathbb{G}_{m,X}), pour que \xi
provienne d'un élément de [soit dans \mathrm{Br}(X)], il faut et il
suffit qu'il existe un extension morphisme fini étale surjectif
(galoisien si on veut) f : X' \to X, tel que \xi | X' soit qui
splitte annule \xi.
les ajouts de la fin, depuis « morphisme », sont d'encre brune ; le
feuillet s'arrête sur cette phrase
\mu_{n} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{n} \mathbb{G}_{m}
\mu
H^{3}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{3}
\mathcal{H}^{i}_{x}(
H^{i}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{i}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{i}(U,
\mathbb{G}_{m}) \to H^{i+1}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) \to
\mathcal{H}^{i}_{x}(\mathbb{G}_{m}) =
\begin{cases}
0 & \text{si } i = 0 \\
\mathbb{Z}_{x} & \text{si } i = 1 \\
0 & \text{si } i \geq 2
\end{cases}
H^{i}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) = H^{i-1}(S, \mathbb{Z}) =
\begin{cases}
0 & \text{si } i = 0 \\
\mathbb{Z}^{S} & \text{si } i = 1 \\
0 & \text{si } i = 2 \\
H^{1}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) & \text{si } i = 3 \\
0 & \text{si } i \geq 4
\end{cases}
0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0
les lignes i = 1, 2, 3 de la dernière accolade sont réunies à
droite par un crochet ; à gauche de la suite suivante, isolé, « i = 1, 3 ;
i = 0, 2 »
Si i \neq 0, 1, 2, 3, H^{i}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})
\xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, \mathbb{G}_{m}) pour des , car les deux
membres sont nuls.
\begin{aligned}
0 &\to \underset{\substack{\parallel \\ \mathbb{Z}^{*} = \{+1, -1\}}}{H^{0}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})}
\to H^{0}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) \to \mathbb{Z}^{S}
\to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{1}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})}
\to \underset{\substack{\parallel \\ 0\,!}}{H^{1}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m})}
\to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{2}_{S}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \\
0 &\to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{2}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})}
\to H^{2}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m})
\to \underset{\substack{\parallel \\ (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S}}}{H^{1}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})}
\to \underset{\substack{\parallel \\ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}}}{H^{3}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})}
\to \underset{\substack{\parallel \\ 0\,?}}{H^{3}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m})} \to 0
\end{aligned}
sous la seconde suite, une flèche double relie (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S}
à \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, marquée d'un mot au-dessus (« somme » ?) et d'un
autre au-dessous (« surject. » ?), tous deux peu lisibles. La barre de
\overline{X} dans « Si i \neq 0, 1, 2, 3 » est incertaine
\begin{aligned}
H^{0}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= \mathbb{Z}/2 + \mathbb{Z}^{S} \\
H^{1}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= 0 \\
H^{2}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= \operatorname{Ker}\bigl((\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \\
H^{i}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= 0 \quad \text{si } i \geq 3
\end{aligned}
la première ligne est d'encre brune
0 \to \mu_{\ell^{n}} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ell^{n}}
\mathbb{G}_{m} \to 0
d'où
\begin{aligned}
H^{1}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &\simeq (\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})^{S} \\
H^{2}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &\simeq \operatorname{Ker}\bigl((\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})^{S} \to (\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})\bigr) \\
H^{i}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &= 0 \quad \text{si } i \geq 3
\end{aligned}
H^{0}(\overline{U}, \mathbb{Z}_{\ell}) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}
\left\{
\begin{aligned}
H^{1}(U, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) &\simeq \mathbb{Z}_{\ell}^{S} \\
H^{2}(\overline{U}, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) &\simeq \operatorname{Ker}(\mathbb{Z}_{\ell}^{S} \to \mathbb{Z}_{\ell})
\end{aligned}
\right.
petite modification pour \ell = 2 en dim. 0
\left\{
\begin{aligned}
H^{0}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\
H^{1}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\
H^{2}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\
H^{3}(X, \mathbb{Q}(1)) &= \mathbb{Q}
\end{aligned}
\right.
On peut supposer X irréductible de pt générique y. L'inclusion
y \to X définit une suite spectrale (pour la cohomologie étale)
H^{*}(y, \mathbb{G}_{m}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}(X,
R^{q}i_{*}(\mathbb{G}_{m}))
Or on connaît les H^{q}(y, \mathbb{G}_{m}) et les
fibres de R^{q}i_{*}(\mathbb{G}_{m}), qui s'explicitent par de la
cohomologie galoisienne, et sont des groupes de torsion pour q
> 0, on trouve que les groupes [sont un groupe de torsion
pour p > 0,]
(*) H^{p}(X, R^{*}_{X}), où R^{*}_{X} = R^{0}i_{*}(\mathbb{G}_{m}) où R^{*}_{X} =
i_{*}(\mathbb{G}_{m}) est le faisceau [ cités] des fonctions
rationnelles [non nulles] sur X , si X est
« sans idéaux premiers immergés »,
tout ce début est encadré d'un trait brun et barré de deux longues
diagonales ; les ajouts entre crochets y sont d'encre brune
D'autre part, on a la suite exacte
(5.1.) \qquad 0 \to \mathbb{G}_{m,X} \to R^{*}_{X} \to
\mathcal{D}\mathrm{iv}_{X} \to 0
où \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X} est le faisceau (pour la top. [étale]) des
diviseurs [positifs] (de Cartier) sur X, ce qui
ne sera pas utilisé L'hypothèse de factorialité d'autre part
implique l'isomorphisme qu'on a un isomorphisme de
faisceaux étales :
Démonstration du corollaire 5.4.
« \mathcal{D}\mathrm{iv} » est souligné, pour un faisceau ; les
ajouts entre crochets et la fin du feuillet, depuis « L'hypothèse », sont
d'encre brune. La note marginale, à gauche en biais, est d'encre brune, deux
fois soulignée : le feuillet 175 appelle 5.4 une proposition. Le feuillet
s'arrête sur les deux-points ; la suite n'est pas dans ce lot
le feuillet 179, par ailleurs vierge, porte seul, au crayon, « Calculs
de cohomologie absolue des motifs de Tate \mathbb{Z}(n) » : les mots de la
couverture du feuillet 171, repris