Cote n° 15 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

162Si \(\bar{\xi}\) est réelle, on a une structure de Hodge à involution.

le mot entre \(\bar{\xi}\) et « réelle » est surchargé

Comment se relient ces structures de Hodge ??

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\overline{\mathcal{M}}_{0} \arrow[rr, "\text{fibre en } \tilde{\xi}"] \arrow[rr, bend right=25, "\text{fibre en } \xi'"'] & & G^{0}\text{-Modules} \arrow[rr, "\Phi_{\tilde{\xi}}"] \arrow[rr, bend right=25, no head, "\varphi"'] & & \text{Réseaux de Hodge}
\end{tikzcd}

\(\overline{\mathcal{M}}_{0}\) motifs définis sur \(\widetilde{K}\) provenant de \(K\).

le diagramme est redessiné d'après l'esquisse : la légende de \(\overline{\mathcal{M}}_{0}\) est écrite sous le symbole, à gauche ; devant « \(G^{0}\)-Modules », un premier mot (« Variét. » ?) est biffé. Sur la page, les deux flèches de la seconde ligne partent de \(\overline{\mathcal{M}}_{0}\) et de sous « \(G^{0}\)-Modules » ; la seconde, marquée \(\varphi\), est un simple trait sans pointe, et leurs buts ne sont pas écrits

[…] La donnée de \(\xi\) […] de \(K^{*}\) et \(N_{K^{*}/\mathbb{Q}}\) ; NB Le seul […] ainsi […] \(K^{*}\)-modules […] \(K\). […] Si \(E^{0} \neq 0\), […] réel. Les […] \(K^{*}\) opère […] \(\mathbb{Z}\). […]

\(V\) un \(G^{0}\)-module, \(V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\) muni des […] structure de Hodge — \(H^{V}_{\xi}\) (cf. plan des \(K\)) et d'un sous-\(\widetilde{K}\)-espace vectoriel \(H^{V}_{\xi}\)

toute la moitié inférieure du feuillet, à partir de « NB », est biffée de traits horizontaux, encadrée, puis barrée de deux longues diagonales ; le passage est en grande partie illisible. \(K^{*}\) y est souligné deux fois. Les trois dernières lignes sont un premier état de la définition reprise au feuillet 164

164\(V\) un \(G^{0}\)-module [de poids \(p\) (N.B. le même […] des poids-\(\mathbb{Z}\))], \(V_{\mathbb{C}} = V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\).

Alors un plong. […] \(\xi\) permet de définir [coh. de De Rham] un sous-\(\overline{K}\)-espace vectoriel \[ H_{\xi}(V) \subset V_{\mathbb{C}}, \] filtré par des \(H_{\xi}(V)^{p,q}\), tel que l'on on ait une réduction des scalaires à \(K\), et que la filtration \(H_{\xi}(V)^{p,q}_{\mathbb{C}}\) fasse de \(V\) un réseau de Hodge, \(G^{0}\) étant alors exactement le groupe de Galois de la structure de Hodge. Si le plong. est réel, alors

les crochets de la première ligne sont de sa main : « de poids \(p\) » et la parenthèse sont ajoutés au-dessus de la ligne ; « coh. de De Rham » est ajouté au crayon, très pâle, au-dessus de « de définir » ; « \(\overline{K}\)- » est ajouté dans l'interligne. « plong. » abrège sans doute « plongement » ; le feuillet s'interrompt sur « alors »

\(\Psi\) \(V\) un \(E\)-module,

\(\xi\) un plong. de \(K\) \[ \overline{V}_{\xi} = V \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{K}_{\xi} \supset H_{\xi}(V)^{(p)} \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
K_{\xi_{1}} & K_{\xi_{2}} & K_{\xi_{3}} \\
 & K \arrow[ul, no head] \arrow[u, no head] \arrow[ur, no head] & \\
 & \mathbb{Q} \arrow[u, no head] &
\end{tikzcd}

Les \(H_{\xi}(V)^{p} \otimes_{K} K_{\xi}\) définissent sur \((V, V_{K})\) une structure de Hodge, le le groupe de Galois étant […] contenu \(\mathrm{Im}\, G^{0}\).

le petit diagramme des corps est tracé à gauche, en marge ; l'indice du troisième \(K\) est mal formé. Dans \(H_{\xi}(V)^{(p)}\), un premier exposant est biffé

Si \(\xi\) est réelle, on a une involution dans \(V\) provenant de l'élém. […] \(\mathrm{Frob}_{\xi}\) de \(G(\mathbb{Q})\) et […] […] prolonge \(\mathrm{Frob}_{\xi}\) en forme semi-linéaire de \(\overline{V}_{\xi}\), \(\mathrm{Frob}_{\xi}\) induit l'identité sur \(H_{\xi}(V)\) [et par suite \(\mathrm{Frob}_{\xi}\) est compatible avec la structure de Hodge…]

« semi-linéaire » est écrit « ½linéaire », selon son usage

Unités

titre en tête du feuillet 167. Ce feuillet, à l'encre bleue sur papier quadrillé perforé, est d'une écriture ronde et appliquée, très différente de la sienne dans le reste du lot ; il est transcrit comme les autres

167Soit \(K\) un corps de nombres algébriques plongé dans \(\mathbb{C}\). Les conditions suivantes sont alors équivalentes : a) pour toute unité \(\varepsilon\) de \(K\), il y a \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 0\) tel que \(\varepsilon^{n}\) soit réel ; b) […] ou bien \(K \subset \mathbb{R}\) ou bien \(K\) se met sous la forme \(K_{0}(\alpha)\), avec \(K_{0}\) totalement réel, \(\alpha^{2} \in K_{0}\), \(\alpha^{2}\) totalement négatif.

Supposons \(K \not\subset \mathbb{R}\) et soit \(K' = K \cap \mathbb{R}\) ; \(K\) est extension quadratique [de degré \(p \geq 2\)] de \(K'\). Soient \(r_{1}\) (resp. \(r'_{1}\)) le nombre de conjugués réels de \(K\), \(r_{2}\) (resp. \(r'_{2}\)) la moitié du nombre de conjugués imaginaires de \(K'\) ; on a \([K : K'] = 2\), d'où \(r_{1} + 2r_{2} = p(r'_{1} + 2r'_{2})\). Si a) est satisfaite, le groupe des unités de \(K'\) a même rang que celui de \(K\), d'où […] \(r_{1} + r_{2} = r'_{1} + r'_{2}\) ; il en résulte que \(0 \geq r_{1} + 2r'_{2}\), d'où \(r_{1} = r'_{2} = 0\) : \(K'\) est totalement réel et \(K\) totalement imaginaire. Réciproquement, si b) est satisfaite, on a \(r_{1} = r'_{2} = 0\), \(r_{2} = r'_{1}\), \(r_{1} + r_{2} = r'_{1} + r'_{2}\), et le groupe des unités de \(K'\) a même rang que celui de \(K\), d'où a).

les soulignements de l'énoncé sont rendus en italique. « de degré \(p \geq 2\) » remplace dans l'interligne « quadratique » biffé, et le \(p\) de \(p(r'_{1} + 2r'_{2})\) est repassé d'une encre plus foncée, sur un premier chiffre ; « \([K : K'] = 2\) » est resté tel quel. La ligne « \(0 \geq r_{1} + 2r'_{2}\) » est transcrite comme écrite

Exemple. La condition a) est satisfaite si \(K = \mathbb{Q}(\zeta)\), \(\zeta^{m} = 1\), car, \(K/\mathbb{Q}\) étant abélienne, le corps des nombres réels de \(K\) est totalement réel tandis que \(K\) est totalement imaginaire.

Foncteurs fibres motiviques, et groupes fondamentaux motiviques.

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 169, d'une encre plus brune que la liste

169À examiner :

« OK » et les astérisques sont dans la marge gauche, au droit des items ; les numéros (1), (2), (3) sont cerclés, et le 8) est écrit sur un autre chiffre. « Conditions de Hodge-Riemann … » est ajouté entre les lignes 0) et (1), et la fin de la ligne 0) touche le bord déchiré du feuillet. Dans l'item 4), les deux lignes entre crochets sont séparées de leur titre par un trait vertical

Positivité à la Hodge en se ramenant à des questions de diviseurs par récurrence, […] variétés de drapeaux ??

Calculs de cohomologie absolue des Motifs de Tate \(\mathbb{Z}(n)\).

titre de sa main sur un feuillet par ailleurs vierge (feuillet 171), qui sert de couverture aux feuillets qui suivent

172\[ k = \mathbb{F}_{q} \;\text{---}\; \bar{k}, \qquad \pi \simeq \hat{\mathbb{Z}} \ \text{engendré par } f = \mathrm{frob}^{q} \] \(M\) un \(\mathbb{Z}_{\ell}\)-module de t.f. sur lequel \(\pi\) opère continûment. \[ \begin{aligned} H^{0}(\pi, M) &= M^{\pi} = M^{(1-f)} = \operatorname{Ker}(1-f)_{M} \\ H^{1}(\pi, M) &= M_{\pi} = M_{(1-f)} = \operatorname{Coker}(1-f)_{M} = M/(1-f)M \\ H^{i}(\pi, M) &= 0 \quad \text{si } i \geq 2 \end{aligned} \]

\[ H^{0}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) = 0 \ \text{si } n \neq 0, \quad = \mathbb{Z}_{\ell} \ \text{si } n = 0 \] \[ \begin{aligned} H^{1}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) &\underset{\text{non canoniquement}}{\simeq} \mathbb{Z}_{\ell}/(1-q^{n})\mathbb{Z}_{\ell} \\ &= \begin{cases} \mathbb{Z}_{\ell} & \text{si } n = 0 \\ 0 & \text{si } \ell \nmid (1-q^{n}) \ \text{i.e. } n \not\equiv 0 \ (w_{\ell}(q)) \\ \mathbb{Z}/\ell^{v_{\ell}(1-q^{n})} & \text{si } \ell \mid 1-q^{n},\ n \neq 0 \ \text{i.e. } n \equiv 0 \ (w_{\ell}(q)) \end{cases} \end{aligned} \] \(w_{\ell}(q) =\) ordre de \(q\) mod \(\ell\) dans \((\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*}\)

la note marginale, en haut à droite et d'encre brune, est reliée par un trait aux conditions « i.e. … », ajoutées de la même encre ; sous la première, un mot est biffé

\[ \left\{ \begin{aligned} & H^{i}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}(n)) = 0 \quad \text{si } n \neq 0, \ \text{quel que soit } i \\ & H^{0}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathbb{Q}_{\ell}, \quad H^{1}(\pi, \mathbb{Q}_{\ell}) = \mathbb{Q}_{\ell} \end{aligned} \right. \]

\(H^{i}(\pi, \mathbb{Z}(n)\)

\[ \left\{ \begin{aligned} & \mathbb{H}^{i}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}(n)) = 0 \quad \text{si } n \neq 0, \ \text{quel que soit } i \\ & \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Q}, \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Q}}) = \underset{\sim}{\mathbb{Q}}. \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} & \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?}), \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?}) \\ & \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n)) = 0 \ (\text{id}), \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n)) = \mathbb{Z}/(1-q^{n})\mathbb{Z} \ (\text{mod } p\text{-groupes ?}) \end{aligned} \right. \]

dans la dernière accolade, le \(\underset{\sim}{\mathbb{Z}}\) de la première ligne est écrit sur un \(\underset{\sim}{\mathbb{Q}}\) ; sous les deux \(\underset{\sim}{\mathbb{Z}}(n)\) de la seconde, un trait renvoie à « \(n \neq 0\) ». Les « (mod \(p\)-groupes ?) » et « (id) » sont d'encre brune. Un trait horizontal traverse ensuite la page

\[ \begin{aligned} \mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}(1)) &= \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 3 \\ \mathbb{Z} & \text{si } i = 3 \end{cases} \\ \mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) &= \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ \mathbb{Z} & \text{si } i = 0 \end{cases} \end{aligned} \]

\[ \mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}), \mathbb{Q}(n)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{H}^{i}(U, \mathbb{Q}(n)) \] si \(U\) ouvert de Zariski de \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), et \(n \neq 0\) (tout \(i\)).

ces trois lignes, à droite, sont d'encre brune

173\(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\)

suit un croquis : un trait horizontal, un point marqué \(x\)

\[ i_{x}^{!}(M) = i_{x}^{*}(M)(-1)\,[-2] \] \[ \cdots \to H^{i-2}(x, i_{x}^{*}(M)(-1)) \to H^{i}(X, M) \to H^{i}(U, M) \to H^{i-1}(x, i_{x}^{*}(M)(-1)) \to \cdots \]

devant \(i_{x}^{*}(M)\), dans la première formule, un trait isolé

\(M = \underset{\sim}{\mathbb{Q}}(n)\)

le \(\mathbb{Q}\) est écrit sur un \(\mathbb{Z}\)

\(H^{i}\) \(i \neq 1, 2, 3\) : \[ H^{i}(X, M) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, M) \] pour des […], car si \(i \geq 4\), les deux membres devraient être \(= 0\) \[ \begin{aligned} 0 &\to H^{1}(X, M) \to H^{1}(U, M) \to H^{0}(S, i^{*}(M)(-1)) \to H^{2}(X, M) \\ &\to H^{2}(U, M) \to H^{1}(S, i^{*}(M)(-1)) \to H^{3}(X, M) \\ &\to \underset{0\,?}{H^{3}(U, M)} \to 0 \end{aligned} \]

\(M =\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Q}_{\ell}(n)\), \(i^{*}(M)(-1) = \mathbb{Q}(n-1)_{S}\)

l'indice \(\ell\) de \(\mathbb{Q}_{\ell}\) est peu sûr ; à droite du premier membre, un signe biffé

Si \(n \neq 1\) \[ H^{i}(X, \mathbb{Q}(n)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, \mathbb{Q}(n)) \qquad \text{tout } i \quad [\text{est-ce vrai ??}] \]

Si \(n = 1\) \[ \begin{aligned} 0 &\to H^{1}(X, \mathbb{Q}(1)) \to H^{1}(U, \mathbb{Q}(1)) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{2}(X, \mathbb{Q}(1)) \to \\ &\to H^{2}(U, \mathbb{Q}(1)) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{3}(X, \mathbb{Q}(1)) \to 0 \end{aligned} \] \(H^{i}(X, \mathbb{Q}(1)) = 0\) sauf pour \(i = 3\), où on trouve \(\mathbb{Q}\) !

174le feuillet entier est barré de deux longues diagonales

\[ k = \mathbb{F}_{q} \;\text{---}\; \bar{k}, \qquad \pi = \hat{\mathbb{Z}} \ \text{engendré par } \mathrm{frob}^{q}_{q} \] \[ \begin{aligned} H^{0}(\pi, M) &= M^{\pi} \\ H^{1}(\pi, M) &= \varprojlim_{n} H^{1}(\pi, M/\ell^{n}M) = \end{aligned} \] a) si \(\pi\) opère trivialement, c'est \(\mathrm{Hom}(\pi, M)\)

b) si \(M\) est fini, donc \(\pi\) opère à travers \(\pi/\mathfrak{U} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) \[ 0 \to \underset{\substack{\parallel \\ M}}{H^{1}(\pi/\mathfrak{U}, M^{\mathfrak{U}})} \to H^{1}(\pi, M) \to \underset{\substack{\parallel \\ \mathrm{Hom}(\mathfrak{U}, M^{\pi})}}{H^{0}(\pi/\mathfrak{U}, \mathrm{Hom}(\mathfrak{U}, M))} \to \underset{\substack{\parallel \\ M}}{H^{2}(\pi/\mathfrak{U}, M^{\mathfrak{U}})} \] \(M_{\pi}\) \(\dfrac{\operatorname{Ker} N}{\operatorname{Im}(1-f)}\)

la dernière flèche de la suite descend vers \(H^{2}\), écrit plus bas à droite ; « \(H^{1}(\pi, M)\) » est aussi écrit seul, à gauche, en marge

\[ \begin{aligned} \varphi(xy) &= \varphi(x) + x\varphi(y) \\ \varphi(x) &= xa - a \\ \varphi(xy) &= xya - a = xa - a + x(ya - a) \end{aligned} \] \(N \quad 1 - f\), \(\quad N = 1 + f + \cdots + f^{n-1}\) \[ \begin{aligned} \varphi(x^{2}) &= \varphi(x) + x\varphi(x) \\ \varphi(x^{3}) &= \varphi(x) + x\varphi(x) + x^{2}\varphi(x) \\ \varphi(x^{n}) &= (1 + x + \cdots + x^{n-1})\varphi(x) \\ \text{or } \varphi(x^{-1}x) &= \varphi(x^{-1}) + x^{-1}\varphi(x) \\ \varphi(x^{-1}) &= -x^{-1}\varphi(x) \\ \varphi(x^{-n}) &= -(1 + x^{-1} + \cdots + x^{-(n-1)})x^{-1}\varphi(x) = -\frac{1 - x^{-n}}{1 - x^{-1}}\, x^{-1}\varphi(x) = \frac{1 - x^{-n}}{1 - x} \end{aligned} \] \[ \varphi(f^{n}) = \begin{cases} (1 + x + \cdots + x^{n-1})\varphi(x) = \dfrac{1 - x^{n}}{1 - x}\,\varphi(x) & \text{si } n \geq 1 \\ 0 & \text{si } n = 0 \end{cases} \] \[ \varphi(f^{n}) = 1 + x + \cdots + x^{n-1} \qquad \frac{1 - f^{n}}{1 - f}\,\varphi(f) \] \[ \begin{aligned} Z^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq M \\ B^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq (1-f)M \\ H^{1}(\mathbb{Z}, M) &\simeq M/(1-f)M \end{aligned} \] si \(n \equiv 0 \ (N)\), \(\ 1 + f + \cdots + f^{n-1}\)

calculs épars, dans le désordre de la page : la colonne des \(\varphi(x^{n})\) est à gauche, sous la première diagonale ; quelques égalités intermédiaires sont biffées (dont un premier \(\varphi(x^{n}) = \varphi(x) + \cdots\)) ; la troisième ligne de l'accolade de \(\varphi(f^{n})\) est commencée et laissée. La dernière égalité de la colonne s'arrête au quotient, sans \(\varphi(x)\)

175Lorsque \(X\) est […] on est dans les conditions de les anneaux locaux stricts de \(X\) sont factoriels, on tire aisément de (5.3.) \[ H^{1}(X, \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}) = 0 \] d'où la proposition

Proposition 5.4. Supposons que [l'on soit dans les conditions de 5.1. a)], [\(X\) étant irréductible de pt gén. \(y\).] Alors les homomorphismes canoniques \[ H^{2}(X, \mathbb{G}_{m,X}) \to H^{2}(X, R^{*}_{X}) \to H^{2}(y, \mathbb{G}_{m,y}) = \mathrm{Br}(y) \] sont injectifs.

les deux crochets sont des ajouts de sa main dans l'interligne, au-dessus de « Supposons que » et de « Alors les homomorphismes » ; « (\(X\) étant irréductible …) » est d'abord écrit plus bas, puis remonté

Comme \(\mathrm{Br}(X)\) \(\subset\) \(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m,X})\), il s'ensuit

Corollaire 5.5. Sous les mêmes conditions, \[ \mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(y) \] est injectif.

Ainsi, \(\mathrm{Br}(X)\) s'identifie [[…]] à un sous-groupe du groupe de Brauer \(\mathrm{Br}(K)\) du corps des fonctions \(K = k(y)\) de \(X\).

Théorème 5.6. [Soit \(X\) un préschéma, \(\xi \in H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})\)] a) Si \(X\) est un schéma local, et \(\xi \in H^{2}(X, \mathbb{G}_{m,X})\), pour que \(\xi\) provienne d'un élément de [soit dans \(\mathrm{Br}(X)\)], il faut et il suffit qu'il existe un extension morphisme fini étale surjectif (galoisien si on veut) \(f : X' \to X\), tel que \(\xi | X'\) soit qui splitte annule \(\xi\).

les ajouts de la fin, depuis « morphisme », sont d'encre brune ; le feuillet s'arrête sur cette phrase

176\(\mu_{n} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{n} \mathbb{G}_{m}\)

\(\mu\)

\(H^{3}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{3}\)

\(\mathcal{H}^{i}_{x}(\) \[ H^{i}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{i}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{i}(U, \mathbb{G}_{m}) \to H^{i+1}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) \to \] \[ \mathcal{H}^{i}_{x}(\mathbb{G}_{m}) = \begin{cases} 0 & \text{si } i = 0 \\ \mathbb{Z}_{x} & \text{si } i = 1 \\ 0 & \text{si } i \geq 2 \end{cases} \] \[ H^{i}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) = H^{i-1}(S, \mathbb{Z}) = \begin{cases} 0 & \text{si } i = 0 \\ \mathbb{Z}^{S} & \text{si } i = 1 \\ 0 & \text{si } i = 2 \\ H^{1}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) & \text{si } i = 3 \\ 0 & \text{si } i \geq 4 \end{cases} \] \[ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0 \]

les lignes \(i = 1, 2, 3\) de la dernière accolade sont réunies à droite par un crochet ; à gauche de la suite suivante, isolé, « \(i = 1, 3\) ; \(i = 0, 2\) »

Si \(i \neq 0, 1, 2, 3\), \(H^{i}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(U, \mathbb{G}_{m})\) pour des […], car les deux membres sont nuls. \[ \begin{aligned} 0 &\to \underset{\substack{\parallel \\ \mathbb{Z}^{*} = \{+1, -1\}}}{H^{0}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \to H^{0}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) \to \mathbb{Z}^{S} \to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{1}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \to \underset{\substack{\parallel \\ 0\,!}}{H^{1}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m})} \to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{2}_{S}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \\ 0 &\to \underset{\substack{\parallel \\ 0}}{H^{2}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \to H^{2}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) \to \underset{\substack{\parallel \\ (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S}}}{H^{1}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})} \to \underset{\substack{\parallel \\ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}}}{H^{3}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m})} \to \underset{\substack{\parallel \\ 0\,?}}{H^{3}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m})} \to 0 \end{aligned} \]

sous la seconde suite, une flèche double relie \((\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S}\) à \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), marquée d'un mot au-dessus (« somme » ?) et d'un autre au-dessous (« surject. » ?), tous deux peu lisibles. La barre de \(\overline{X}\) dans « Si \(i \neq 0, 1, 2, 3\) » est incertaine

177\[ \begin{aligned} H^{0}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= \mathbb{Z}/2 + \mathbb{Z}^{S} \\ H^{1}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= 0 \\ H^{2}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= \operatorname{Ker}\bigl((\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \\ H^{i}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) &= 0 \quad \text{si } i \geq 3 \end{aligned} \]

la première ligne est d'encre brune

\[ 0 \to \mu_{\ell^{n}} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ell^{n}} \mathbb{G}_{m} \to 0 \] d'où \[ \begin{aligned} H^{1}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &\simeq (\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})^{S} \\ H^{2}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &\simeq \operatorname{Ker}\bigl((\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})^{S} \to (\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z})\bigr) \\ H^{i}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) &= 0 \quad \text{si } i \geq 3 \end{aligned} \] \[ H^{0}(\overline{U}, \mathbb{Z}_{\ell}) \simeq \mathbb{Z}_{\ell} \] \[ \left\{ \begin{aligned} H^{1}(U, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) &\simeq \mathbb{Z}_{\ell}^{S} \\ H^{2}(\overline{U}, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) &\simeq \operatorname{Ker}(\mathbb{Z}_{\ell}^{S} \to \mathbb{Z}_{\ell}) \end{aligned} \right. \] petite modification pour \(\ell = 2\) en dim. 0 \[ \left\{ \begin{aligned} H^{0}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\ H^{1}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\ H^{2}(X, \mathbb{Q}(1)) &= 0 \\ H^{3}(X, \mathbb{Q}(1)) &= \mathbb{Q} \end{aligned} \right. \]

178On peut supposer \(X\) irréductible de pt générique \(y\). L'inclusion \(y \to X\) définit une suite spectrale (pour la cohomologie étale) \(H^{*}(y, \mathbb{G}_{m}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}(X, R^{q}i_{*}(\mathbb{G}_{m}))\) Or […] on connaît les \(H^{q}(y, \mathbb{G}_{m})\) et les fibres de \(R^{q}i_{*}(\mathbb{G}_{m})\), qui s'explicitent par de la cohomologie galoisienne, et sont des groupes de torsion pour \(q > 0\), on trouve que […] les groupes [sont un groupe de torsion pour \(p > 0\),] (*) \(H^{p}(X, R^{*}_{X})\), où \(R^{*}_{X} = R^{0}i_{*}(\mathbb{G}_{m})\) où \(R^{*}_{X} = i_{*}(\mathbb{G}_{m})\) est le faisceau [[…] cités] des fonctions rationnelles [non nulles] sur \(X\) […], si \(X\) est « sans idéaux premiers immergés »,

tout ce début est encadré d'un trait brun et barré de deux longues diagonales ; les ajouts entre crochets y sont d'encre brune

D'autre part, on a la suite exacte \[ (5.1.) \qquad 0 \to \mathbb{G}_{m,X} \to R^{*}_{X} \to \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X} \to 0 \] où \(\mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}\) est le faisceau (pour la top. [étale]) des diviseurs [positifs] (de Cartier) sur \(X\), ce qui […] [implique], compte tenu de (*), que \[ H^{i}(X, \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{i+1}(X, \mathbb{G}_{m,X}) \] est bijectif mod torsion […] si \(i \geq 1\). […] […] ne sera pas utilisé L'hypothèse de factorialité d'autre part implique l'isomorphisme qu'on a un isomorphisme de faisceaux étales :

Démonstration du corollaire 5.4.

« \(\mathcal{D}\mathrm{iv}\) » est souligné, pour un faisceau ; les ajouts entre crochets et la fin du feuillet, depuis « L'hypothèse », sont d'encre brune. La note marginale, à gauche en biais, est d'encre brune, deux fois soulignée : le feuillet 175 appelle 5.4 une proposition. Le feuillet s'arrête sur les deux-points ; la suite n'est pas dans ce lot

le feuillet 179, par ailleurs vierge, porte seul, au crayon, « Calculs de cohomologie absolue des motifs de Tate \(\mathbb{Z}(n)\) » : les mots de la couverture du feuillet 171, repris