Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 61–80

la phrase commence au bas du feuillet 60 (lot 3) : « … si C admet un gén. strict X, (tout objet ». La rédaction des feuillets 62 à 77 n'est pas paginée par lui

de C est de la forme P \otimes_{o} X (o = \mathrm{End}(X)), avec P projectif de t.f. sur o) sous la condition que ces produits tensoriels soient raisonnables ; il suffit que les P \otimes_{o} X soient définis, et indiquer que C est équivalente à une sous-catégorie pleine de \mathbb{P}_{d}(o) (o-modules à droite projectifs de t.f.) contenant l'objet 1 (et inversement ?). Alors la condition de plénitude est automatiquement satisfaite. « à droite » est ajouté dans l'interligne

D'autre part, si catégorie C jolie, considérons ~~les objets X de C~~ les sous-catégories « strictement monogènes » de C, celles-ci forment un croissant de sous-catégories pleines, ~~et C~~ et C en est la limite inductive. « de sous-catégories pleines, » est ajouté dans l'interligne ; le mot qui précède « croissant » n'est pas lu

Catégorie A-linéaire jolie \Longleftrightarrow limite inductive de sous-catégories pleines équivalentes chacune à des catégories du type \mathbb{P}_{d}(o), contenant l'élément o, la page s'arrête sur cette virgule

C catégorie de Deuring (Picard)

C \simeq \mathbb{P}(o/A)

\mathrm{Brdt}\, C opère sur C donc

\mathrm{Brdt}(C) = \pi_{0}(\mathrm{Brdt}\, C) opère sur \mathrm{Is}(C)

Le quotient est l'ens. des classes d'isomorphie d'algèbres o sur A apparentées à C (i.e. à o)

Le groupe de stabilité d'un élément X, si \mathrm{Brdt}(A) = 0, est isomorphe au groupe \mathrm{Ext}(o) des autom. extérieurs de o « \mathrm{Brdt}(A) » : le premier mot est surchargé ; on attendrait \mathrm{Pic}(A), que la page ne porte pas

0 \to o^{Z*} \to o^{*} \to \mathrm{Aut}_{A}\, o \to \mathrm{Brdt}(C) \to \mathrm{Is}\, C \to \mathrm{Is}\, \mathcal{O} \to 0 sous les termes de la suite, reliés par des signes d'égalité verticaux : sous o^{Z*}, « A^{*} dans le centre de o », puis \pi_{1}\, \mathrm{Brdt}(C) ; sous o^{*}, \mathrm{Aut}_{C}(X), puis \pi_{1}(C,X) (l'exposant Z semble biffé sur ce second terme) ; sous \mathrm{Brdt}(C), \pi_{0}\, \mathrm{Brdt}(C) ; sous \mathrm{Is}\, C, \pi_{0}(C,X) ; sous \mathrm{Is}\, \mathcal{O}, « (catégorie des algèbres apparentées à o) » et « \pi_{0}(\mathcal{O}) = »

Catégorie de Brandt : \mathcal{B} Catégorie de Deuring : C Catégorie des anneaux apparentés à C : \mathcal{O}

X \in \mathrm{Ob}\, C, o = \mathrm{End}(X) \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{O}, 1 \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{B} \begin{align*} \cdot \to \pi_{1}(\mathcal{B},1) &\to \pi_{1}(C,X) \to \pi_{1}(\mathcal{O},o) \to \pi_{0}(\mathcal{B},1) \\ &\to \pi_{0}(C,X) \to \pi_{0}(\mathcal{O},o) \to 1 \end{align*} suite encadrée par lui, sur une seule ligne

à gauche de l'encadré, trois lignes écrites de biais, hachurées

On a envie de dire que C est fibrée sur \mathcal{O}, de ~~groupe~~ fibre \mathcal{B} un double trait vertical dans la marge gauche signale ces deux lignes

~~C \mapsto A, A = centre~~ A est le centre de o, …

\mathrm{Pic}(A) \to \mathcal{B} (pl. fidèle)

\pi_{1}(\mathcal{B},1) = \pi_{1}(\mathrm{Pic}(A)) \simeq A^{*}

\to \mathrm{Pic}(A) \to \pi_{0}(\mathcal{B},1) \to \mathrm{Ram}(C/A) \to 0 sous \mathrm{Ram}(C/A) : « groupe de ramification de C sur A » \mathrm{Ram}(C/A) \simeq \coprod_{p} \mathbb{Z}/e_{p}\mathbb{Z} \quad \text{dans le cas Deuring-Brandt} \to ordres dans ~~des complétés~~ Somme des \mathrm{Br}(\hat{K}_{p})/\mathrm{Br}(\hat{A}_{p}) ??? ces deux dernières notes sont au coin inférieur droit, la seconde entourée ; au-dessus, un premier essai biffé \mathrm{Br}(\hat{A}_{p})/p

C catégorie de Deuring. On a donc la gr-catégorie \mathrm{Eqv}(C), qui opère sur C, donc \mathrm{Brd}(C) = \pi_{0}(\mathrm{Eqv}) \quad \text{opère sur} \quad \text{Cl. d'isom. de } C formule encadrée ; « Classes d'isom. de C » est d'abord écrit, puis biffé

Ceci dit, le quotient est l'ens. des classes d'isomorphie des A-algèbres apparentées à C (donc, dans le cas des R ordres maximaux …, le quotient est formé des classes de conjugaison de tous ordres maximaux), tandis que \pi_{0}(\mathrm{Eqv}) correspond ~~aux~~ est le groupe des classes d'isomorphie de o-bimodules = bimodules inversibles de o mod ceux provenant de ~~Pic~~ A^{*} ?, ~~Notons~~ que \mathrm{Is}(C) est l'ens. des classes d'isomorphie de o-modules : droits « inv. » ou objets des o-modules inversibles à droite]. Dans le cas les o centraux ~~sur A~~ [on dit C central sur A], on a un foncteur pleinement fidèle \mathrm{Pic}(A) \longrightarrow \mathrm{Eqv}(C), \qquad L \longmapsto (X \mapsto L \otimes_{A} X) d'où une suite exacte \cdot \to \mathrm{Pic}(A) \to \mathrm{Brdt}(C) \to \frac{\mathrm{Brdt}(C)}{\mathrm{Pic}(A)} \to 0 Dans le cas de Brandt (et ordres maximaux, o) \frac{\mathrm{Brd}\, C}{\mathrm{Pic}(A)} \simeq \frac{\mathrm{Div}(C)}{\mathrm{Div}(A)} = \coprod_{\substack{p \in \mathrm{Max}\, A \\ p\ \text{ramifié en}\ C}} \mathbb{Z}/e_{p}\mathbb{Z} sous \mathbb{Z}/e_{p}\mathbb{Z} : « (ramification en p »

Supposons A ~~local~~ Dedekind local (cas Brandt) du fini

\mathrm{Is}(C) = 1, \mathrm{Brd}(C) = \mathbb{Z}/e\mathbb{Z} (ramification

\mathrm{Pic}(A) = 0

et on trouve \mathrm{Autext}(o) = \mathrm{Brd}\, C = \mathbb{Z}/e\mathbb{Z} Donc il y a obstruction locale à ce que ses autom. de o soient nec. intérieurs, il y a e classes d'autom. ext. de o …

Supposons (que un autom. de o soit localement dans un global intérieur (par ex. ) [i.e. dans \mathrm{Ram}(C/A) nulle]). ~~Alors les~~ Il définit alors une section de o^{*}/\mathbb{G}_{m,A}, et l'obstruction est une classe de \mathrm{Pic}(A), H^{1}(A, o^{*}) i.e. donnant une classe triviale dans \mathrm{Is}(C) … ce qui se voyait aussi par les suites exactes précédentes. lecture très incertaine de tout ce paragraphe, surchargé d'ajouts interlinéaires

Cas des corps gauches de Deuring ramifiés en p et \infty : la suite exacte suivante \cdot \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to o^{*} \to \mathrm{Aut}(o) \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \pi_{0}(C,X) \to \pi_{0}(\mathcal{O},o) \to 1

sous le premier \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : engendré par -1 ; sous o^{*} : = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} sauf si j = 0 ou j = 12^{3} (où on trouve \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} resp. \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} si p \neq 2,3) ; sous le second \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : engendré par Frobenius ; et, relié par un trait à la flèche \mathrm{Aut}(o) \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : épim. ssi la courbe elliptique X d'anneau o se descend à \mathbb{F}_{p}, i.e. ssi j \in \mathbb{F}_{p} ; sous \pi_{0}(C,X) : classes d'iso. des classes de courbes elliptiques de Hasse nul mod l'opération de « Frobenius » donnée par E \mapsto E^{(p)} ; sous \pi_{0}(\mathcal{O},o) : classes de conjugaison possibles d'ordres maximaux.

« resp. » apparie j = 0 à \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} et j = 12^{3} à \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ; c'est l'appariement inverse (j = 12^{3}, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} ; j = 0, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) qu'on attendrait. Transcrit tel qu'écrit on voudrait savoir pour quels p ces j sont d'inv. de Hasse nul … note en bas à gauche, reliée par un trait à « j = 0 ou j = 12^{3} » ; voir les calculs du feuillet 76

Question : o^{*} est-il tjs égal la phrase s'arrête là ; le feuillet 71 commence autre chose

Soit \mathcal{O} la catégorie des A-algèbres apparentées à une A-algèbre déterminée, ~~et soit~~ soit K l'anneau total des fractions de A, ~~considérons o \in \mathcal{O}, supposons qu'il existe une partie S de A^{\mathrm{reg}}~~ dans A \subset K, et supposons K ½ local. passage très retravaillé ; les ajouts interlinéaires sont insérés à la place qu'indiquent ses traits

Donc pour o \in \mathcal{O}, o' \in \mathcal{O}, les bimodules sur o, o' loc. libres de rang 1 des deux côtés loc. sur S-\mathrm{Spec}\, A et libres isomorphes sur o_{K} \simeq E et sur o'_{K}, dès que [si tout autom. de E est intérieur] la condition entre crochets est encadrée et soulignée trois fois

a) o'_{K} \simeq E donc o' se plonge dans E, et b) L avec la structure (o,o')-bimodule, les plongés dans E comme E à isom. près un défini par o, seulement de \mathcal{O}

La 2-catégorie \mathcal{B} (pleine de (\mathrm{Cat})) dont les objets sont les cat. de : celles de Deuring de type o, et qui est équivalente : celle \mathcal{B}_{1} dont les objets sont les objets de \mathcal{O}, \mathrm{Hom}(o,o') étant les catégories des bimodules sur o, o' qui sont loc. libres de rang 1 loc. sur S, et la composition étant ({}_{o}L_{o'}, {}_{o'}M_{o''}) \longmapsto L \otimes_{o'} M , au-dessus, une première écriture de la même formule, biffée ; \mathcal{B}_{1} est écrit au bout de la ligne « … : celles »

\mathcal{B}_{2} est aussi équivalente au 2-groupoïde de Brandt dont les objets sont les sous-anneaux o de E ~~apparentés~~, \in \mathcal{O},

\mathrm{Hom}(o,o') = ~~ensemble des catégorie des~~ (o,o')-bimodules L dans E tels que des deux côtés, loc. libres de rang 1 loc. sur S \mathrm{Hom}(L,M) = ens. des \lambda \in E^{\natural} tels que \lambda L = M, si L, M sont des (o,o') bimodules « spéciaux »

sous E^{\natural} : « centre de E » ; l'exposant est un petit signe noté ici \natural

On notera que les 2-foncteurs \mathcal{B}_{2} \to \mathcal{B}_{1} \to \mathcal{B} = \mathcal{B}. ne sont pas des équivalences « naturelles » !

Supposons maintenant la condition suivante satisfaite (un classique : tout autom. de E est intérieur)

(C) Pour tout o \subset E, o \in \mathcal{O}, la loi de composition dans \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}_{1}}(o,o) = ensemble des (o,o)-~~biinversibles~~ spéciaux (L, M \mapsto L.M) \quad \text{est commutative :} \quad LM = ML .

Je crois (et il faut si A est Dedekind de dim 1) que ce sont vrai pour les localisés en idéaux maximaux (ou leurs complétés, cf. Auslander). Dans le cas local est équivalent à la relation LM = ML pour L, M des classes idéaux bilatères biinversibles de o

Soit alors \mathcal{B}_{0} une catégorie de Deuring, C \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{B}_{0}, et X \in \mathrm{Ob}\, C, on pose et identifie o = \mathrm{End}_{C}(X) \in \mathcal{O} ; on peut choisir ~~supposer~~ E \simeq o_{K}. Nous allons définir sur la catégorie \mathrm{Eqv}(C) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}_{0}}(C,C) qui forme une cat. de Picard stricte , une contrainte de commutativité, indépendante du choix de X. En effet, on a une équivalence \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}_{0}}(C,C) \overset{\alpha_{X}}{\simeq} \mathrm{Hom}_{\mathcal{B}_{1}}(o,o) = \text{catégorie des } (o,o)\text{-bimodules spéciaux} « spéciaux sous » est d'abord écrit, puis biffé et remplacé cette dernière catégorie étant cat. de Picard stricte comm. (en fait, munie d'une contrainte d'associativité et de commutativité qui sont des identités). On trouve donc une contrainte de comm. stricte sur \mathrm{Eqv}(C) par transport de structure. Voici l'explicitation ainsi : si L, M sont des (o,o)-bimodules spéciaux, on définit c : L \otimes_{o} M \simeq M \otimes_{o} L en utilisant des isom. de (o,o) bimodules L \simeq L' \subset E , \qquad M \simeq M' \subset E avec L', M' des (o,o)-bimodules, et notant que L \otimes M \simeq L'M' = M'L' \simeq M \otimes L . les deux dernières égalités sont écrites l'une sous l'autre, L'M' et M'L' reliés par un signe d'égalité vertical

Il est immédiat que ~~cette~~ isom. ne dépend pas du choix des plongements L \hookrightarrow E, M \hookrightarrow E.

Proposition. La contrainte de commutativité précédente ne dépend pas du choix de X \in \mathrm{Ob}\, C.

[~~Considérons en effet un autre X' de~~ Il est clair qu'elle ne change pas par remplacement de X par un objet isomorphe ; il faudrait une petite démonstration : dans une gr-catégorie \mathcal{B}, les ~~foncteurs~~ autoéquivalences ~~qui~~ transforment une contrainte de comm. (stricte ou non) en elle-même …] \pi_{0}

Soit X' un autre choix, défini par un P \in \mathbb{P}(o/A). On peut supposer P \subset E, soit o' = \mathrm{End}(P), de sorte que o' est maintenant plongé dans E (c'est l'ensemble des \lambda \in E tels que \lambda P \subset P). Ainsi P est un ~~bimod~~ (o',o)-bimodule. On a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\small}] & \mathrm{Eqv}(C,C) \arrow[dl, "\alpha_{X}"'] \arrow[dr] & \\ (o,o)\text{-bimodules spéciaux} \arrow[rr, "L \mapsto PLP^{-1}"] & & (o',o')\text{-bimodules spéciaux} \end{tikzcd}

les deux sommets inférieurs portent « Catégorie des … » ; la flèche de droite n'a pas d'étiquette

Il suffit donc de prouver que L \mapsto P.L respecte les contraintes de commutativité \begin{array}{ccc} LM & \text{transformé par } P \text{ en} & P(LM)P^{-1} = (PLP^{-1})(PMP^{-1}) \\ c_{X} = 1 \ \| & & \| \ P(c_{X}) = 1 \qquad \| \ c_{X'} = 1 \\ ML & & P(M.L)P^{-1} = (PMP^{-1})(PLP^{-1}) \end{array}

OK.

notes éparses de sa main, écrites en travers d'un feuillet du cours dactylographié étranger à ce dossier ; transcrites sans ordre, dans leur disposition de haut en bas

\mathbb{Z}_{p}( ; \mathbb{Q}(i)^{*} ; T

\mathcal{B}_{c}(\mathbb{Z})

-1 carré mod p ; p \equiv 1 (4)

\left[\dfrac{-1}{p}\right] = -1

TORSC près de « -1 », une formule entourée, illisible ; ces calculs semblent répondre à la question du feuillet 69 (pour quels p les valeurs j = 0, j = 12^{3} sont d'invariant de Hasse nul)

Conclusion. Les catégories \mathrm{Eqv}(C), C \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{B}_{0}, sont munies canoniquement d'une structure de ~~des gr-catégories munies de str.~~ catégorie de Picard strictes ~~commutatives~~. ~~Elles sont~~ Ces cat. de Picard sont canoniquement équivalentes entre elles, et peuvent donc s'identifier à une catégorie de Picard \mathcal{B} (catégorie de Picard de Brandt). Donc \mathcal{B} opère sur chaque C, et pour C, C' \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{B}_{0}, la catégorie ~~Hom~~ \mathrm{Eqv}(C,C') est canoniquement munie d'une structure de torseur-catégorie sous \mathcal{B}. De façon précise, \begin{array}{ccc} & C' \longmapsto \mathrm{Eqv}(C,C') & \\ \mathcal{B}_{0} & \longrightarrow & \text{la catégorie des torseurs-catégories sous } \mathcal{B} \end{array} est une équivalence de 2-catégories.

Si on a un chgt de base A \to A', et si les C_{A'} satisfait les mêmes conditions que les C, alors on a un homom. de ~~gr-~~catégories de Picard \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{B}' et l'homom. C \longrightarrow C_{A'} est compatible avec les opérations de \mathcal{B}, \mathcal{B}' … sous A \to A', un petit carré : A \subset K, A' \subset K', K \to K'

Localisation pour les variétés abéliennes

titre dactylographié, en tête du feuillet 80. Le feuillet est le premier d'un tapuscrit ; les ajouts manuscrits sont donnés comme notes marginales de sa main, les corrections faites à la machine sont transcrites directement. Comme souvent sur ces frappes, les flèches manquent ; elles sont rétablies et signalées

1. Soit A un anneau commutatif. Soit C une catégorie A-linéaire (pas nécessairement additive ; les Hom sont munis de structures A-linéaires, les accouplements sont A-bilinéaires). Pour toute A-algèbre A', soit C_{A'} la catégorie ayant mêmes objets que C, et où les Hom sont \mathrm{Hom}_{C_{A'}}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{C}(X,Y) \otimes_{A} A' . \underline{C} lettre doublement soulignée, dans la marge gauche, en regard de la phrase suivante On trouve ainsi une ~~champ en~~ catégorie fibrée \underline{C} en catégories A-linéaires sur le site annelé des schémas affines \mathrm{Spec}(A') sur S = \mathrm{Spec}(A). Elle n'est pratiquement jamais un champ sur ce gros site, même pour une topologie assez grossière comme la topologie de Zariski. Cependant, si on se restreint au petit site affine de Zariski de S des ouverts affines de S, on a souvent un champ (pour la topologie de Zariski), soit \underline{C}. ~~Ceci a des conséquences~~ On dit alors que C est localisable sur A. Supposons cette condition satisfaite. On a des conséquences agréables, comme : « catégorie fibrée » et « affine » sont frappés dans l'interligne ; « soit \underline{C} » aussi

a) Soit R une A-algèbre (pas néc. commutative), et X un objet de C muni d'une opération A-linéaire de R. Alors pour tout R-module à droite P, qui est isomorphe localement sur S à R_{d}, le produit tensoriel P \otimes_{R} X dans C existe, et si R \to \mathrm{End}_{C}(X) est bijectif, le foncteur \underline{P}(R) \longrightarrow C , \qquad P \longmapsto P \otimes_{R} X de la catégorie des R-modules à droite localement isomorphes à R sur S dans la catégorie C est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des X \in \mathrm{Ob}\, C qui sont « localement isomorphes à X » sur A. « si R \to \mathrm{End}_{C}(X) est bijectif » est frappé dans l'interligne, sans la flèche ; dans le foncteur, la flèche manque aussi et \underline{P}(R) est frappé sous la place où elle devait aller

b) Supposons que C soit additive. Alors \underline{C} est un champ en catégories additives A-linéaires. Pour tout X, R comme dessus, et et tout module à droite P sur R qui est localement sur S libre de type fini, le produit tensoriel P \otimes_{R} X existe, et si R \to \mathrm{End}_{C}(X), le foncteur P \longmapsto P \otimes_{R} X la frappe s'arrête ici, au bas du feuillet ; la phrase continue au feuillet 81 (lot 5), « de la catégorie de ces modules vers C est pleinement fidèle, … »