Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 41–60

Ici on a donné la (C'(A'), T') [catégorie de Deuring déployée] sur A' = \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell} comme associée à la gerbe des racines carrées de A'(1) (définie par le choix d'une clôture algébrique \overline{\mathbb{F}}_{p} de \mathbb{F}_{p}), et la catégorie de Deuring C(\mathbb{Z}_{p}) comme celle des F-cristaux sur \overline{\mathbb{F}}_{p} [avec le F-cristal de Tate] (à iso.) qui sont de rang 2, pente \tfrac{1}{2}, et la ~~gerbe~~ catégorie C(\mathbb{Z}_{\infty}) = C(\mathbb{R}) comme associée à la gerbe g''_{\infty} sur \mathbb{R}, on trouve un torseur [\mathcal{T}'(C)] certain torseur sous le groupe A'^{*}/A'^{*2} \times \bigl(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\bigr) \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} = \Gamma' . un premier \mathbb{Z}_{p}, biffé, précède la formule. La lecture de l'indice de g''_{\infty} et des mots qui suivent est incertaine

Le groupe [\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}] des ~~classes~~ d'isomorphie d'autoéquivalences de C opère sur ce torseur, de façon compatible avec son opération triviale sur , donc par translations, via l'image f [(Frobenius)] de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans ce groupe, et il opère donc via l'image [gén.] f de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans les 3 facteurs [respectivement] \bigl(p, \; f = (0, 1), \; p\bigr) N.B. ~~On peut dire~~, [comme p \in \mathbb{R}^{*2}] ~~plus~~ , l'un des , ~~distingué canonique de~~ ~~\mathrm{Pl}(C)~~ il y a un système transitif d'isom. plusieurs ! la note N.B. est rattachée par une flèche au troisième terme p ; ses deux premières lignes sont raturées en plusieurs couches

Considérons le quotient \Gamma = \Gamma' / f(\pm 1) et soit \mathcal{T}(C) le quotient de \mathcal{T}'(C) par \pm 1, qui est donc un torseur sous \Gamma. Ce torseur [à isom. unique près] ne dépend pas de C, [i.e. on identifie \mathcal{T} à \mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p})]. D'ailleurs si \Gamma'_{0} est le sous-groupe de \Gamma' A'^{*}/A'^{*2} \times \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} = \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}) sous \mathbb{A}, en petit : « adèles » ; \mathbb{A} surcharge un premier signe biffé on trouve que \Gamma' = \Gamma'_{0} \times f(\pm 1), donc \Gamma \simeq \Gamma'_{0} can., donc la phrase se poursuit au feuillet 43

\mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p}) \ \text{est un torseur canonique sous} \ \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}) = \prod_{\ell} \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} \quad (\text{y compris } p \text{ et } \infty) . le signe = est écrit verticalement sous \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}), le produit au-dessous ; « (y compris p et \infty) » est en petit sous l'indice \ell

Ce torseur ici dépend encore de \overline{\mathbb{F}}_{p}, et cette dépendance est précisée par la connaissance des opérations de \widehat{\mathbb{Z}} \ni f sur \mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p}). Cette opération se fait via [les opérations habituelles sur A'(1), ] les opérations de \widehat{\mathbb{Z}} sur C(A', T'), [] [C(A_{p}, T_{p})] (via opération de ~~\mathbb{Z}~~ f sur C(A_{p}, T_{p}) par Frobenius) et l'opération triviale sur C(A_{\infty}, T_{\infty}). Donc on trouve que f \in \widehat{\mathbb{Z}} opère par le = élément (p, f, p) que plus haut, donc f \ \text{opère trivialement sur} \ \mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p}) . Ainsi, on a un torseur canonique [\mathcal{T}] sous \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}).

: l'objet : quaternions (M, o) : isom. il y a deux classes d'isomorphie, (M, o) est l'une d'elles, l'autre est (M^{(p)}, o) distinguées par Frobenius note marginale à gauche, en haut du feuillet, écrite le long du bord et encadrée ; un trait la relie au NB qui suit. Le premier mot est surchargé

[ [ NB Ceci suggère qu'il y a une ~~, canonique~~ [gerbe triviale (un] ~~trivialisée~~) de ~~faisceau~~ \mu_{2} sur \mathbb{A}, dont \mathcal{T} serait le torseur des classes d'isomorphie. On peut Plutôt considérons les couples (C, \struck{\ill{}}\,\alpha), [d'où T_{C} = T,] où C est une catégorie de Deuring de type \xi \in \operatorname{Br}(\mathbb{Q}), et \alpha une classe d'équivalences des classes d'isomorphie [d'équivalences] de (C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} avec (C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})), modulo les équivalences provenant de \mathrm{Pic}(\mathbb{Z}_{p}) ; i.e. une section du torseur de groupe \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} déduit de celui de groupe \text{Éq}(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})) = \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par extension du groupe structural à l'aide de \mathrm{pr}_{2}. le sigle devant (C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})) est lu « Éq » par analogie avec le lot 2 ; la lecture est incertaine. \mathrm{Pic} est souligné deux fois

Trop compliqué : il suffit de fixer une classe d'isomorphie d'équivalences de cat. de Deuring C_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq C(\mathbb{Z}_{p}) — en termes concrets, un \alpha est donné (si C défini par o) en se donnant une structure de o \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{p} sur l'anneau des endom. d'un cristal sur \overline{\mathbb{F}}_{p} (de rang 2, pente \tfrac{1}{2} ), de Tate note marginale à gauche, en bas du feuillet, écrite en oblique ; les deux dernières lignes sont raturées et entourées

Alors C admet un \alpha, et deux (C, \alpha), (C', \alpha') la phrase se poursuit au feuillet 45

sont canoniquement équivalentes, [l'équivalence donnée à isom. près] Si on a [] un couple essentiellement identifiés entre eux les différents (C, \alpha), et on a ainsi une catégorie de Deuring canonique) les trois premières lignes et le mot « canonique », souligné, sont encadrés et biffés de traits obliques sont équivalents : la catégorie des équivalences de (C, \alpha) avec (C', \alpha') est un groupoïde connexe de ~~\pi_{1},~~ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : i.e. toutes les équivalences sont isom., et si on a deux équiv. \varphi, \varphi', il y a à signe près un seul isom. entre \varphi et \varphi'.

~~Soit donné un couple (C, \alpha)~~

Soit donné maintenant un couple (C, \alpha), il lui est associé une ~~torseur sous~~ gerbe [de (C, T)] sur \mathbb{A} = \prod_{\ell} \mathbb{Z}_{\ell} [\ell y compris \ell = p et \ell = \infty] de groupe \mu_{2}, [savoir] celle des équivalences avec le ~~gerbe~~ couple type CC(\mathbb{A}, T), qui en la place p soit compatible avec la donnée de \alpha. Cette gerbe \mathcal{G}(C, \alpha) est déterminée, à une « signe près » équivalence unique près, indépendamment du choix de (C, \alpha) (puisqu'il en est ainsi des (C, \alpha) lui-même = \cdots), ~~et \mathcal{G} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_{p}/ \mathbb{F}_{p}) y opère trivialement.~~ mais elle dépend [= pour (C, \alpha) fixé, du choix] d'un \overline{\mathbb{F}}_{p} ~~(ou du moins d'un \mathbb{F}_{p^{2}})~~ — tout comme la structure elle-même ! « CC(\mathbb{A}, T) » est lu tel quel

~~Car le F-cristal de rang 2, pente \tfrac{1}{2} sur \overline{\mathbb{F}}_{p} se descend canoniquement à \mathbb{F}_{p^{2}}~~ note marginale à gauche, biffée de traits obliques

On veut s'en tirer en définissant canoniquement un \mathbb{F}_{p^{2}} (ou même un \overline{\mathbb{F}}_{p}, si on y tenait …) par les polynômes cyclotomiques \Phi_{p^{n}-1}, \overline{\mathbb{F}}_{p} = \varinjlim_{n} \bigl( \mathbb{F}_{p^{n}} = \mathbb{F}_{p}[T]/\Phi_{p^{n}-1}(T) \bigr) \qquad \text{-----}

Considérons cette gerbe \mathcal{G} ~~sur~~ [sur] \mathbb{A} = \prod_{p} \mathbb{Z}_{p}, de groupe \mu_{2}, définie « au signe près » (de façon précise, on a une 2-catégorie \mathcal{S} des (C, \alpha), qui satisfait \pi_{0} = \pi_{1} = 0, \pi_{2} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, et on a [une famille de gerbes] indexée par \mathcal{S}, i.e. un 2-foncteur de \mathcal{S} dans la 2-catégorie des 2-gerbes sur \mathbb{A}, groupe \mu_{2}). Dans cette gerbe, on a une « section définie à isom. can. au signe près ». ] ] les deux dernières lignes sont soulignées et fermées par un double crochet dans la marge de droite attention : ici bis, un deuxième signe !

un court trait de séparation

Autre façon d'expliquer : la ~~catégorie des Éq~~ [foncteur des] catégories de Picard comp. \text{Éq}(C_{\pi}) \longrightarrow \text{Éq}(C, T) \longrightarrow \text{Éq}(C_{p}, T_{p}) \underset{\mathrm{can}}{\simeq} \text{Éq}\bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr) le sigle, souligné, est lu « Éq » comme au feuillet 43 ; l'indice de C_{\pi} est douteux ; le dernier terme est écrit sous \text{Éq}(C_{p}, T_{p}), relié par « \simeq can » est pleinement fidèle, la catégorie de Picard quotient est une catégorie rigide, qui n'est autre que \mathcal{Z}[\,0 \to \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\,]. Donc la catégorie des équivalences de (C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} avec \bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr) \longrightarrow modulo action de \text{Éq}(C) est une catégorie rigide, ~~torseur~~ dont l'ens. des classes d'isom. est un torseur ~~canonique~~ sous \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} (on devrait ~~la gerbe~~ [dire un vrai \mathcal{T}_{p}] !!!), indépendant à isom. can. près de C. ~~On en déduit pour à can.~~ \xi \in \mathcal{T}_{p}. ~~pour considérer d'une~~ les ~~Grâce à ce choix,~~ \alpha est une équivalence (C, \alpha), i.e. (C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq \bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr) dans la classe de \xi_{p}, on dans telle gerbe, elles sont ~~isomorphes~~ équiv. de façon canonique. la fin du feuillet est raturée en plusieurs couches, et l'ordre des mots y est incertain ; « modulo action de » est souligné. Le symbole \mathcal{Z} devant le crochet est douteux

Donc on peut ~~considérer que~~ [identifier] les (C, \alpha) entre eux , en tenant compte des \bigl[\,C(\xi), \alpha(\xi)\,\bigr] \quad \text{canoniques.} On peut donc considérer sur \mathbb{A}'' [= \mathbb{A}' \times \mathbb{A}_{\infty}] (anneau des adèles premiers à p), [de groupe \mu_{2}] la gerbe g'' qui sur \mathbb{A}' est la gerbe des racines carrées de A'(1), et sur \mathbb{A}_{\infty} est la gerbe type g'_{\infty} déjà envisagée, passage encadré et biffé de traits obliques

En fonction de ce choix, on trouve une gerbe canonique \mathcal{G}(\xi) sur l'anneau des adèles, de groupe \mu_{2}, savoir la gerbe qui sur \mathbb{A}'' = \mathbb{A}' \times \mathbb{A}_{\infty} est la gerbe des équivalences de la gerbe \mathcal{G}_{\mathbb{Z}[1/p]} [de groupe \mu_{2}] définie sur \mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}] par (C, T) avec la gerbe g'_{\mathbb{A}''} déjà envisagée plus haut (sur \mathbb{A}' c'est la \sqrt{\phantom{x}} de A'(1), sur \mathbb{A}_{\infty} c'est g'_{\infty} déjà envisagée plus haut) et qui sur \mathbb{A}_{p} est la gerbe ~~dite~~ [triviale]. ~~[sections ; isom.] Cette gerbe est la triviale, et l'une des \mathcal{T} sous \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}) dit,~~ ~~Cette gerbe près équiv. définie par \mathcal{G}(\xi) de \mathcal{G}(\xi)~~ ~~section canonique~~ [de Deuring] [envisagée plus haut, qui est indép. de \xi.] le bas de ce passage est encadré et raturé en plusieurs couches ; on a gardé ce qui se lit. Dans la marge de gauche, deux mots biffés,

Tout ceci posé, la théorie des [courbes elliptiques] d'inv. de Hasse nul nous fournit

a)un élément \xi_{p} \in \mathcal{T}_{p} (l'élément de Deuring) b)une section ~~correspondante~~ \hat{\xi} de \mathcal{G}(\xi_{p}), définie [au signe près à l'infini] à isom. près, unique , dont la valeur en p est la section unité, et la valeur en \infty est la [polarisation donnée par T ….] de \mathcal{G}(\xi_{p})_{\mathbb{Z}_{p}}, [et] |\xi| de \mathcal{T}, pour la

On trouve donc un [élément] ~~section~~ [dont la] compos. suivant p est \xi_{p}. « de Deuring » est écrit au-dessus de « la théorie des », sans qu'on voie à quoi il se rattache ; la fin de b) est raturée et se lit mal

À l'infini, la situation n'est pas très belle encore. Je sais seulement dire :

Pour tout \xi_{p} \in \mathcal{T}_{p}, [considérons la gerbe \mathfrak{h}(\xi_{p})] ~~la valeur en \infty de \mathcal{G}(\xi)~~ de groupe \mu_{2} sur \mathbb{Z}_{1/p} définie par \bigl(C(\xi_{p}), T(\xi_{p})\bigr), [considérons] \mathfrak{h}(\xi_{p})_{\mathbb{R}}, qu'elle est une gerbe canonique sur \mathbb{R} de groupe \mu_{2} [pour \xi_{p} = élément de Deuring,] ~~j'ignore~~ [elle a une description indépendante] de la théorie des catégories de Deuring (et de celle des courbes elliptiques). Ceux sont en tous cas qu'elle est triviale ; elle est, pour \xi_{p} = élément de Deuring, munie d'une polarisation \xi_{\infty} (ce qui revient à d'une classe d'isomorphie [d'équivalences] avec la gerbe type g_{\infty}), mais il reste l'ambiguïté de signe. page écrite d'une encre plus pâle, au crayon par endroits ; plusieurs mots de liaison se perdent. « \mathbb{Z}_{1/p} » est écrit ainsi, pour \mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]

Catégorie C(\xi_{p})_{/\infty} — \approx catégorie des [droites V de dim. 1] vectoriels ~~à gauche~~ sur \mathbb{H} (= quaternions ordinaires), avec V foncteur norme ordinaire vers cat. de Picard de \mathbb{R}.

Ainsi il y a un foncteur « canonique au signe près » C(\xi_{p}) \xrightarrow{\ \varphi_{C_{\infty}}\ } \mathcal{C}\ell(\mathbb{R}) le but surcharge un premier but biffé, ~~C(\mathbb{H}) catégorie~~ ; sous lui, \mathbb{H} ; la lecture \mathcal{C}\ell(\mathbb{R}) du but et celle de l'indice de la flèche sont incertaines muni par ailleurs de C(\xi_{p}) pour tout C note à gauche de la formule, reliée à elle par une flèche (le foncteur dans les vectoriels quaternioniens de dim. 1 unitaires a deux isom. chiales !) ~~(T(\xi_{p}) défini n'est autre~~ [à un autre choix] défini au signe près, , l'isom.

Prenant \xi_{p} = élément de ~~Frobenius~~ Deuring, on trouve un foncteur [ess. canonique] ~~des~~ [courbes elliptiques] de H. nul [droite unitaire] vers les vectoriels de dim. 1. La Norme, la transposition correspond : à polarisation, la transposition l'écriture se défait dans les deux dernières lignes ; la fin du feuillet est blanche. « H. nul » est lu « de Hasse nul », comme au feuillet 49

Détermination de \xi_{p} ?

Explicitons d'abord \mathcal{T}_{p}. Un élément [\xi] de \mathcal{T}_{p} est une fonction qui à tout couple (M, o), d'un o \in \mathcal{O} et d'un F-cristal M sur \mathbb{F}_{p^{2}} (ou même sur \overline{\mathbb{F}}_{p}) de rang 2, muni d'une opération de o, associe un ~~isom~~ élément de u_{\xi}(M, o) \in \mathrm{Isom}\bigl(\textstyle\bigwedge^{2} M, T_{p}\bigr) / \mathbb{Z}_{p}^{*2} sous T_{p}, en petit : « cristal de Tate » de façon à ce que les conditions suivantes soient satisfaites :

(i)Stabilité par isomorphismes (M, o) \to (M', o') (ii)Pour (M, o) et P un o-module à droite projectif de rg 1, si o' [= \mathrm{End}_{o}(P)] est son commutant, on a le couple (\underbrace{P \otimes_{o} M}_{M'}, o') et on a alors un isom. can. de F-cristaux \det M' \simeq (\mathrm{N}_{o/\mathbb{Z}} P) \otimes_{\mathbb{Z}} \det M \underset{c}{\simeq} \det M grâce à l'isom. can. \mathrm{N}_{o/\mathbb{Z}}(P) \simeq \mathbb{Z}. On veut que l' commute

\begin{tikzcd}[column sep=small] \det(M) \arrow[rr, "c"] \arrow[dr, no head, "u_{\xi}(M{,}o)"'] & & \det M' \arrow[dl, no head, "u_{\xi}(M'{,}o')"] \\ & T_{p} & \end{tikzcd}

les deux côtés obliques sont des traits sans pointe ; celui de droite porte « \approx », celui de gauche un signe qui ressemble à un « 2 » en exposant, peut-être le même « \approx » ; la flèche horizontale porte « c » au-dessus de « \simeq »

NB En présence de (ii), ~~(i)~~ (i) interprété au sens strict [~~\otimes désignant n'importe~~ (en termes de o, o' \in \mathcal{O}, bimodules {}_{o}P_{o'} …, et [donné] isom. entre ({}_{o}P_{o'}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{p} et le bimodule \mathrm{Hom}_{\mathrm{cris}}(M, M')] la condition (i) équivaut à la condition de stabilité par isom. \bar{k} \to \bar{k}', ou encore par l'automorphisme de Frobenius de \bar{k} (ou de \mathbb{F}_{p^{2}}) ….

Il est équivalent de se donner [les] u_{\xi} pour un triple (M_{0}, o, i), où ~~(M, o)~~ M_{0} est un cristal ~~sur~~ \mathbb{F}_{p^{2}}, o ~~opérant~~ opérant sur [M = M_{0} \otimes \mathbb{F}_{p^{2}}], et i : R \to o une inclusion (R l'anneau des entiers de \mathbb{Q}[T]/(T^{2} + p)) ; il revient au même de se donner i, ou une descente [M_{0}] de M à \mathbb{F}_{p}, telle que [Frobenius sur M_{0} satisfasse F^{2} + p = 0] ~~telle que R opère sur M_{0}~~ (i.e. son opération sur M se descend à \mathbb{F}_{p}). Les conditions sont

(i)stabilité par isom. de triples (M_{0}, o, i) \simeq (M'_{0}, o', i') (ii)~~Stab~~ compatibilité avec twist par un module inversible P_{0} sous R, compte tenu de l'isom. can. \det_{\mathbb{Z}} P_{0} \simeq \mathbb{Z}.

l'expression entre crochets M = M_{0} \otimes \mathbb{F}_{p^{2}} surcharge une première version raturée ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

Catégories de Deuring

feuillet dactylographié, qui fait partie du tapuscrit du dossier ; les ajouts à la main de l'auteur sont donnés entre crochets ou en note marginale, et signalés. Le titre ci-dessus est celui du tapuscrit

1. Catégories A-linéaires et \otimes-enveloppes.

A est un anneau commutatif. Soit C une catégorie A-linéaire (i.e. les Hom dans A sont des A-modules, l'accouplement des Hom étant bilinéaire). Un foncteur A-linéaire F : C \longrightarrow C' de C dans une autre catégorie A-linéaire C' est dit « admissible » ou « compatible au produit tensoriel externe » si pour tout objet X de C sur lequel opère (A-linéairement) une A-algèbre o, et tout o-module à droite P tel que P \otimes_{o} X existe dans C, P \otimes_{o} F(X) existe dans C' et l'homomorphisme naturel P \otimes_{o} F(X) \longrightarrow F(P \otimes_{o} X) est un isomorphisme. dans la marge de gauche, dactylographié et relié au texte par une accolade : « notion duale "coadmissible" : compatible avec Hom ». « "admissible" ou » est dactylographié dans l'interligne ; une première frappe, recouverte de x, précède (P) \otimes_{o} F(X) [P \otimes_{o} X \simeq \mathrm{Hom}_{o}(\check{P}, X)] ajout à la main au-dessus de l'homomorphisme naturel Si C est une catégorie de Deuring, alors il suffit de poser cette condition pour un objet fixé X de C, et pour o = \mathrm{End}_{C}(X), P un module \in \mathbb{P}(o/A) = catégorie des o-modules à droite [équiv.] qui sont localement sur S = \operatorname{Spec}(A) libres de rang 1. Dans ce cas, la catégorie des foncteurs F en question est équivalente, par F \longmapsto F(X) : \mathrm{Hom}_{A\text{-adm}}(C, C') \hookrightarrow \mathrm{Mod}(o, C') , à la catégorie des objets [X'] de C' avec opération [A-linéaire] de o, tels que P \otimes_{o} X' existe dans C' pour tout P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(o/A). En tous cas, la catégorie des foncteurs admissibles de C dans C' est A-linéaire. Hom est souligné deux fois, et \mathbb{P} souligné, à la machine ; un premier \mathbb{P}(o/A) est frappé par-dessus après « un module \in »

il suffit que C admette un X « générateur strict » i.e. tout objet de C est de la forme P \otimes_{o} X, avec P projectif de type fini, alors P \longmapsto P \otimes_{o} X ( \mathbb{P}(o)X) pour P \otimes_{o} X existe) note à la main dans la marge de gauche, à l'encre brune, écrite en oblique à hauteur de « est un isomorphisme. Si C … » ; elle annonce le « générateur strict » du feuillet 62 (lot 4)

Soit C(1) = \mathrm{Hom}_{A\text{-adm}}(C^{\circ}, \mathrm{Mod}(A)) , on a alors un foncteur pleinement fidèle canonique C \xrightarrow{\ i\ } C(1) associant à tout objet X de C le foncteur Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(Y, X) qu'il représente. l'indice « A-adm » de ce Hom est frappé par-dessus un premier indice recouvert ; dans la marge, à la main : « coadm »

[Si X est un objet de C tel que tout objet Y de C s'écrit sous la forme P \otimes_{o} X, avec P un o-module à droite projectif de type fini (o = \mathrm{End}_{C}(X)).] ces trois dernières lignes sont à la main, au bas du feuillet dactylographié

le feuillet est entièrement à la main, sur le papier du tapuscrit ; il continue la phrase manuscrite qui clôt le feuillet 58 Alors pour tout objet Y de X, ~~i(X)(Y)~~ posant F = i(X), F(Y) est un module [à droite] projectif de type fini sous o'^{\circ}, où o' = \mathrm{End}(Y). Soit ~~C_{sp}~~, dans le cas général, C_{sp}(1) la catégorie de ces foncteurs [(dits « spéciaux »)]. On trouve donc ici une inclusion (sans réserver d'existence des gén. strict) C \xrightarrow{\ i\ } C_{sp}(1) et le choix d'un ~~générateur~~ [strict] X de C permet d'identifier C_{sp}(1) à la catégorie des o-modules à droite projectifs de type fini. Et On l'appelle la [saturée-projective] [simple] (ou la saturée) de C. « de X » à la première ligne est écrit ainsi, pour « de C » peut-être. Dans la marge de gauche, à hauteur de la définition de C_{sp}(1), une note de cinq lignes biffée de traits obliques, il faut être prudent : partout : loc. libre de rang fini sur \operatorname{Spec} A = S note à l'encre brune dans la marge de gauche, en bas, écrite en oblique ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

(1) Soit C une catégorie A-linéaire. Soit X un objet de C, avec op. d'une A-algèbre o, et soit P un o-module [à droite] [projectif de type fini], si P \otimes_{o} X existe [(que P soit)] dans C, on a un hom. o-linéaire naturel \check{P} \longrightarrow \mathrm{Hom}(P \otimes_{o} X, X) , d'où un hom. de [contrav.] foncteurs sur C [i.e. sur C^{\circ}] P \otimes_{o} X \longrightarrow \mathrm{Hom}_{o}(\check{P}, X) à droite de la formule, en petit : « P \otimes_{o} X » suivi d'un trait qui renvoie à la ligne suivante On dit que le produit tensoriel externe est strict si la flèche précédente est un isom. On dit que ~~l'objet P~~ « les produits tensoriels externes de C sont raisonnables » si la condition précédente est satisfaite chaque fois que P est ~~projectif~~ [projectif] de type fini ; [Ceci si C est additive et karoubienne,] ~~suffit pour~~ dans cette condition est satisfaite, et la P \otimes_{o} X existe pour tout P projectif de t.f. sur o. [Il ~~condition~~ suffit de l'exiger pour o = \mathrm{End}(X).] Alors le foncteur P \longmapsto P \otimes_{o} X sur la sous-catégorie des P proj. de t.f. tels que [P \otimes_{o} X existe, est pleinement fidèle.] (condition automatique) la note marginale, à l'encre brune, est placée à hauteur de « de type fini ; » ; la fin de la phrase, « P \otimes_{o} X existe, est pleinement fidèle », est écrite dans la marge de gauche et renvoyée ici par une flèche

(2) C est une catégorie ~~de Deuring (resp. de )~~ jolie si ~~(resp. catégorial) si les P \otimes~~ « les produits tensoriels y sont raisonnables » et si pour deux objets \{X, X'\}, \mathrm{Hom}(X, X') comme ~~bimodule~~ module sous o [o'] ~~o et comme module sous o'~~ est projectif de t.f. [et admet o' comme commutant]. Si C admet un gén. strict X, (tout objet la phrase se poursuit au feuillet 62 (lot 4)