Cote n° 15 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

41Ici on a donné la […] \((C'(A'), T')\) [catégorie de Deuring déployée] sur \(A' = \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell}\) comme associée à la gerbe des racines carrées de \(A'(1)\) (définie par le choix d'une clôture algébrique \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) de \(\mathbb{F}_{p}\)), et la catégorie de Deuring \(C(\mathbb{Z}_{p})\) comme celle des \(F\)-cristaux sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) [avec le \(F\)-cristal de Tate] (à iso.) qui sont de rang \(2\), […] pente \(\tfrac{1}{2}\), et la gerbe catégorie \(C(\mathbb{Z}_{\infty}) = C(\mathbb{R})\) comme associée à la gerbe \(g''_{\infty}\) […] sur \(\mathbb{R}\), on trouve un torseur […] [\(\mathcal{T}'(C)\)] certain torseur sous le groupe \[ A'^{*}/A'^{*2} \times \bigl(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\bigr) \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} = \Gamma' . \] un premier \(\mathbb{Z}_{p}\), biffé, précède la formule. La lecture de l'indice de \(g''_{\infty}\) et des mots qui suivent est incertaine

Le groupe [\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)] des classes d'isomorphie d'autoéquivalences de \(C\) […] opère sur ce torseur, de façon compatible avec son opération triviale sur […], donc par translations, via l'image \(f\) [(Frobenius)] de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) dans ce groupe, et il opère donc via […] l'image [gén.] \(f\) de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) dans les \(3\) facteurs [respectivement] \[ \bigl(p, \; f = (0, 1), \; p\bigr) \] N.B. On peut dire, [comme \(p \in \mathbb{R}^{*2}\)] plus […], […] l'un des […], distingué canonique de \(\mathrm{Pl}(C)\) il y a un système transitif d'isom. plusieurs ! la note N.B. est rattachée par une flèche au troisième terme \(p\) ; ses deux premières lignes sont raturées en plusieurs couches

Considérons le quotient \[ \Gamma = \Gamma' / f(\pm 1) \] […] et soit \(\mathcal{T}(C)\) le quotient de \(\mathcal{T}'(C)\) par \(\pm 1\), qui est donc un torseur sous \(\Gamma\). Ce torseur [à isom. unique près] ne dépend pas de \(C\), [i.e. on identifie \(\mathcal{T}\) à \(\mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p})\)]. D'ailleurs si \(\Gamma'_{0}\) est le sous-groupe de \(\Gamma'\) \[ A'^{*}/A'^{*2} \times \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} = \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}) \] sous \(\mathbb{A}\), en petit : « adèles » ; \(\mathbb{A}\) surcharge un premier signe biffé on trouve que \(\Gamma' = \Gamma'_{0} \times f(\pm 1)\), donc \(\Gamma \simeq \Gamma'_{0}\) can., donc la phrase se poursuit au feuillet 43

43\[ \mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p}) \ \text{est un torseur canonique sous} \ \mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2}) = \prod_{\ell} \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} \quad (\text{y compris } p \text{ et } \infty) . \] le signe \(=\) est écrit verticalement sous \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2})\), le produit au-dessous ; « (y compris \(p\) et \(\infty\)) » est en petit sous l'indice \(\ell\)

Ce torseur ici dépend encore de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\), […] et cette dépendance est précisée par la connaissance des opérations de \(\widehat{\mathbb{Z}} \ni f\) sur \(\mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p})\). Cette opération se fait via [les opérations habituelles sur \(A'(1)\), […]] les opérations de \(\widehat{\mathbb{Z}}\) sur \(C(A', T')\), [[…]] [\(C(A_{p}, T_{p})\)] (via opération de \(\mathbb{Z}\) \(f\) sur \(C(A_{p}, T_{p})\) par Frobenius) et l'opération triviale sur \(C(A_{\infty}, T_{\infty})\). Donc on trouve que \(f \in \widehat{\mathbb{Z}}\) opère par le \(=\) élément \((p, f, p)\) que plus haut, donc \[ f \ \text{opère trivialement sur} \ \mathcal{T}(\overline{\mathbb{F}}_{p}) . \] Ainsi, on a un torseur canonique [\(\mathcal{T}\)] sous \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2})\).

[…] : l'objet : quaternions \((M, o)\) : isom. […] il y a deux classes d'isomorphie, […] \((M, o)\) est l'une d'elles, l'autre est \((M^{(p)}, o)\) […] distinguées par Frobenius note marginale à gauche, en haut du feuillet, écrite le long du bord et encadrée ; un trait la relie au NB qui suit. Le premier mot est surchargé

[ [ NB Ceci suggère qu'il y a une […], canonique [gerbe triviale (un] trivialisée) de faisceau \(\mu_{2}\) sur \(\mathbb{A}\), dont \(\mathcal{T}\) serait le torseur des classes d'isomorphie. On peut Plutôt considérons les couples \((C, \struck{\ill{}}\,\alpha)\), [d'où \(T_{C} = T\),] où \(C\) est une catégorie de Deuring de type \(\xi \in \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\), et \(\alpha\) une […] classe d'équivalences des classes d'isomorphie [d'équivalences] de \((C, T)_{\mathbb{Z}_{p}}\) avec \((C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p}))\), modulo les équivalences provenant de \(\mathrm{Pic}(\mathbb{Z}_{p})\) ; i.e. une section du torseur de groupe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) déduit de celui de groupe \(\text{Éq}(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})) = \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par extension du groupe structural à l'aide de \(\mathrm{pr}_{2}\). le sigle devant \((C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p}))\) est lu « Éq » par analogie avec le lot 2 ; la lecture est incertaine. \(\mathrm{Pic}\) est souligné deux fois

Trop compliqué : il suffit de fixer une classe d'isomorphie d'équivalences de cat. de Deuring \(C_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq C(\mathbb{Z}_{p})\) — en termes concrets, un \(\alpha\) est donné (si \(C\) défini par \(o\)) en se donnant une structure de \(o \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{p}\) sur l'anneau des endom. d'un […] cristal sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) (de rang \(2\), pente \(\tfrac{1}{2}\) […]), […] […] de Tate note marginale à gauche, en bas du feuillet, écrite en oblique ; les deux dernières lignes sont raturées et entourées

Alors […] \(C\) admet un \(\alpha\), et deux \((C, \alpha)\), \((C', \alpha')\) la phrase se poursuit au feuillet 45

45sont canoniquement équivalentes, [l'équivalence donnée à isom. près] Si on a [[…]] un couple essentiellement identifiés entre eux les différents \((C, \alpha)\), et on a ainsi une catégorie de Deuring canonique) les trois premières lignes et le mot « canonique », souligné, sont encadrés et biffés de traits obliques sont équivalents : la catégorie des équivalences de \((C, \alpha)\) avec \((C', \alpha')\) est un groupoïde connexe de \(\pi_{1}\), \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) : i.e. […] toutes les équivalences sont isom., et si on a deux équiv. \(\varphi, \varphi'\), il y a à signe près un seul isom. entre \(\varphi\) et \(\varphi'\).

Soit donné un couple \((C, \alpha)\)

Soit donné maintenant un couple \((C, \alpha)\), il lui est associé une torseur sous gerbe [de \((C, T)\)] sur \(\mathbb{A} = \prod_{\ell} \mathbb{Z}_{\ell}\) [\(\ell\) y compris \(\ell = p\) et \(\ell = \infty\)] de groupe \(\mu_{2}\), [savoir] celle des équivalences avec le gerbe couple type \(CC(\mathbb{A}, T)\), qui en la place \(p\) soit compatible avec la donnée de \(\alpha\). Cette gerbe \(\mathcal{G}(C, \alpha)\) est déterminée, à une « signe près » […] équivalence unique près, indépendamment du choix de \((C, \alpha)\) (puisqu'il en est ainsi des \((C, \alpha)\) lui-même \(= \cdots\)), et \(\mathcal{G} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_{p}/ \mathbb{F}_{p})\) y opère trivialement. mais elle dépend [\(=\) pour \((C, \alpha)\) fixé, du choix] d'un \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) (ou du moins d'un \(\mathbb{F}_{p^{2}}\)) — tout comme la structure elle-même ! « \(CC(\mathbb{A}, T)\) » est lu tel quel

Car le \(F\)-cristal de rang \(2\), pente \(\tfrac{1}{2}\) sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) se descend canoniquement à \(\mathbb{F}_{p^{2}}\) note marginale à gauche, biffée de traits obliques

On veut s'en tirer en définissant canoniquement un \(\mathbb{F}_{p^{2}}\) (ou même un \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\), si on y tenait …) par les polynômes cyclotomiques \(\Phi_{p^{n}-1}\), \[ \overline{\mathbb{F}}_{p} = \varinjlim_{n} \bigl( \mathbb{F}_{p^{n}} = \mathbb{F}_{p}[T]/\Phi_{p^{n}-1}(T) \bigr) \qquad \text{-----} \]

47Considérons cette gerbe \(\mathcal{G}\) sur [sur] \(\mathbb{A} = \prod_{p} \mathbb{Z}_{p}\), de groupe \(\mu_{2}\), définie « au signe près » (de façon précise, on a une \(2\)-catégorie \(\mathcal{S}\) des \((C, \alpha)\), qui satisfait \(\pi_{0} = \pi_{1} = 0\), \(\pi_{2} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), et […] on a [une famille de gerbes] […] indexée par \(\mathcal{S}\), i.e. un \(2\)-foncteur de \(\mathcal{S}\) dans la \(2\)-catégorie des \(2\)-gerbes sur \(\mathbb{A}\), groupe \(\mu_{2}\)). Dans cette gerbe, on a une « section définie à isom. can. au signe près ». ] ] les deux dernières lignes sont soulignées et fermées par un double crochet dans la marge de droite attention : ici bis, […] un deuxième signe !

un court trait de séparation

Autre façon d'expliquer : la catégorie des Éq [foncteur des] catégories de Picard comp. \[ \text{Éq}(C_{\pi}) \longrightarrow \text{Éq}(C, T) \longrightarrow \text{Éq}(C_{p}, T_{p}) \underset{\mathrm{can}}{\simeq} \text{Éq}\bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr) \] le sigle, souligné, est lu « Éq » comme au feuillet 43 ; l'indice de \(C_{\pi}\) est douteux ; le dernier terme est écrit sous \(\text{Éq}(C_{p}, T_{p})\), relié par « \(\simeq\) can » est pleinement fidèle, la catégorie de Picard quotient est […] une catégorie rigide, qui n'est autre que \(\mathcal{Z}[\,0 \to \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\,]\). Donc la catégorie des équivalences de \((C, T)_{\mathbb{Z}_{p}}\) avec \(\bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr)\) \(\longrightarrow\) modulo action de \(\text{Éq}(C)\) est une catégorie rigide, torseur dont l'ens. des classes d'isom. est un torseur canonique sous \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\) (on devrait la gerbe [dire un vrai \(\mathcal{T}_{p}\)] !!!), indépendant à isom. can. près de \(C\). On en déduit […] pour […] à can. \(\xi \in \mathcal{T}_{p}\). […] pour considérer […] d'une […] les Grâce à ce choix, […] \(\alpha\) est une équivalence \((C, \alpha)\), i.e. […] \((C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq \bigl(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})\bigr)\) dans la classe de \(\xi_{p}\), on […] dans telle gerbe, elles sont isomorphes équiv. de façon canonique. la fin du feuillet est raturée en plusieurs couches, et l'ordre des mots y est incertain ; « modulo action de » est souligné. Le symbole \(\mathcal{Z}\) devant le crochet est douteux

49Donc on peut considérer que [identifier] les \((C, \alpha)\) […] entre eux […], en tenant compte des \[ \bigl[\,C(\xi), \alpha(\xi)\,\bigr] \quad \text{canoniques.} \] On peut donc considérer sur \(\mathbb{A}''\) [\(= \mathbb{A}' \times \mathbb{A}_{\infty}\)] (anneau des adèles premiers à \(p\)), [de groupe \(\mu_{2}\)] la gerbe \(g''\) qui sur \(\mathbb{A}'\) est la gerbe des racines carrées de \(A'(1)\), et sur \(\mathbb{A}_{\infty}\) est la gerbe type \(g'_{\infty}\) déjà envisagée, passage encadré et biffé de traits obliques

En fonction de ce choix, on trouve une gerbe canonique \(\mathcal{G}(\xi)\) sur l'anneau des adèles, de groupe \(\mu_{2}\), savoir la gerbe qui sur \(\mathbb{A}'' = \mathbb{A}' \times \mathbb{A}_{\infty}\) est la gerbe des équivalences de la gerbe \(\mathcal{G}_{\mathbb{Z}[1/p]}\) [de groupe \(\mu_{2}\)] définie sur \(\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]\) par \((C, T)\) […] avec la gerbe \(g'_{\mathbb{A}''}\) déjà envisagée plus haut (sur \(\mathbb{A}'\) c'est la \(\sqrt{\phantom{x}}\) de \(A'(1)\), sur \(\mathbb{A}_{\infty}\) c'est \(g'_{\infty}\) déjà envisagée plus haut) et qui sur \(\mathbb{A}_{p}\) est la gerbe dite [triviale]. [sections ; isom.] Cette gerbe est la triviale, et l'une des […] \(\mathcal{T}\) sous \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{A}, \mu_{2})\) dit, Cette gerbe […] près […] équiv. […] définie par […] \(\mathcal{G}(\xi)\) de \(\mathcal{G}(\xi)\) section canonique [de Deuring] [envisagée plus haut, qui est indép. de \(\xi\).] le bas de ce passage est encadré et raturé en plusieurs couches ; on a gardé ce qui se lit. Dans la marge de gauche, deux mots biffés, […]

Tout ceci posé, la théorie des [courbes elliptiques] d'inv. de Hasse nul nous fournit

On trouve donc un [élément] section [dont la] compos. suivant \(p\) est \(\xi_{p}\). « de Deuring » est écrit au-dessus de « la théorie des », sans qu'on voie à quoi il se rattache ; la fin de b) est raturée et se lit mal

51À l'infini, la situation n'est pas très belle encore. Je sais seulement dire :

Pour tout \(\xi_{p} \in \mathcal{T}_{p}\), [considérons la gerbe \(\mathfrak{h}(\xi_{p})\)] la valeur en \(\infty\) de \(\mathcal{G}(\xi)\) de groupe \(\mu_{2}\) sur \(\mathbb{Z}_{1/p}\) définie par \(\bigl(C(\xi_{p}), T(\xi_{p})\bigr)\), […] [considérons] \(\mathfrak{h}(\xi_{p})_{\mathbb{R}}\), qu'elle est une gerbe canonique sur \(\mathbb{R}\) de groupe \(\mu_{2}\) [pour \(\xi_{p} =\) élément de Deuring,] j'ignore […] [elle a une description indépendante] de la théorie des catégories de Deuring (et de celle des courbes elliptiques). Ceux sont en tous cas […] qu'elle est triviale ; elle est, pour \(\xi_{p} =\) élément de Deuring, munie d'une polarisation \(\xi_{\infty}\) (ce qui revient à […] d'une classe d'isomorphie [d'équivalences] avec la gerbe type \(g_{\infty}\)), mais il reste l'ambiguïté de signe. page écrite d'une encre plus pâle, au crayon par endroits ; plusieurs mots de liaison se perdent. « \(\mathbb{Z}_{1/p}\) » est écrit ainsi, pour \(\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]\)

Catégorie \(C(\xi_{p})_{/\infty}\) — \(\approx\) catégorie des [droites \(V\) de dim. \(1\)] vectoriels à gauche sur \(\mathbb{H}\) (\(=\) quaternions ordinaires), avec […] \(V\) foncteur norme ordinaire vers cat. de Picard de \(\mathbb{R}\).

Ainsi il y a un foncteur « canonique au signe près » \[ C(\xi_{p}) \xrightarrow{\ \varphi_{C_{\infty}}\ } \mathcal{C}\ell(\mathbb{R}) \] le but surcharge un premier but biffé, \(C(\mathbb{H})\) catégorie ; sous lui, \(\mathbb{H}\) ; la lecture \(\mathcal{C}\ell(\mathbb{R})\) du but et celle de l'indice de la flèche sont incertaines muni par ailleurs de \(C(\xi_{p})\) pour tout \(C\) note à gauche de la formule, reliée à elle par une flèche (le foncteur […] dans les vectoriels quaternioniens de dim. \(1\) unitaires a deux isom. chiales !) \((T(\xi_{p})\) […] défini […] n'est autre […] [à un autre choix] défini au signe près, […], l'isom.

Prenant \(\xi_{p} =\) élément de Frobenius Deuring, on trouve un foncteur [ess. canonique] des [courbes elliptiques] de H. nul [droite unitaire] vers les vectoriels de dim. \(1\). La […] Norme, la transposition correspond : à polarisation, la transposition l'écriture se défait dans les deux dernières lignes ; la fin du feuillet est blanche. « H. nul » est lu « de Hasse nul », comme au feuillet 49

53Détermination de \(\xi_{p}\) ?

Explicitons d'abord \(\mathcal{T}_{p}\). Un élément [\(\xi\)] de \(\mathcal{T}_{p}\) est une fonction qui à tout couple \((M, o)\), d'un \(o \in \mathcal{O}\) et d'un \(F\)-cristal \(M\) sur \(\mathbb{F}_{p^{2}}\) (ou même sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\)) de rang \(2\), muni d'une opération de \(o\), associe un isom élément de \[ u_{\xi}(M, o) \in \mathrm{Isom}\bigl(\textstyle\bigwedge^{2} M, T_{p}\bigr) / \mathbb{Z}_{p}^{*2} \] sous \(T_{p}\), en petit : « cristal de Tate » de façon à ce que les conditions suivantes soient satisfaites :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  \det(M) \arrow[rr, "c"] \arrow[dr, no head, "u_{\xi}(M{,}o)"'] & &
  \det M' \arrow[dl, no head, "u_{\xi}(M'{,}o')"] \\
  & T_{p} &
\end{tikzcd}

les deux côtés obliques sont des traits sans pointe ; celui de droite porte « \(\approx\) », celui de gauche un signe qui ressemble à un « \(2\) » en exposant, peut-être le même « \(\approx\) » ; la flèche horizontale porte « \(c\) » au-dessus de « \(\simeq\) »

NB En présence de (ii), (i) (i) interprété au sens strict [\(\otimes\) désignant n'importe (en termes de \(o, o' \in \mathcal{O}\), bimodules \({}_{o}P_{o'}\) …, et [donné] isom. entre \(({}_{o}P_{o'}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{p}\) et le bimodule \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{cris}}(M, M')\)] la condition (i) équivaut à la condition de stabilité par isom. \(\bar{k} \to \bar{k}'\), ou encore par l'automorphisme de Frobenius de \(\bar{k}\) (ou de \(\mathbb{F}_{p^{2}}\)) ….

55Il est équivalent de se donner [les] \(u_{\xi}\) pour un triple \((M_{0}, o, i)\), où \((M, o)\) […] \(M_{0}\) est un cristal sur \(\mathbb{F}_{p^{2}}\), \(o\) […] opérant opérant sur [\(M = M_{0} \otimes \mathbb{F}_{p^{2}}\)], et \(i : R \to o\) une inclusion (\(R\) l'anneau des entiers de \(\mathbb{Q}[T]/(T^{2} + p)\)) ; il revient au même de se donner \(i\), ou une descente [\(M_{0}\)] de \(M\) à \(\mathbb{F}_{p}\), telle que [Frobenius sur \(M_{0}\) satisfasse \(F^{2} + p = 0\)] telle que \(R\) opère sur \(M_{0}\) (i.e. son opération sur \(M\) se descend à \(\mathbb{F}_{p}\)). Les conditions sont

l'expression entre crochets \(M = M_{0} \otimes \mathbb{F}_{p^{2}}\) surcharge une première version raturée ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

Catégories de Deuring

58feuillet dactylographié, qui fait partie du tapuscrit du dossier ; les ajouts à la main de l'auteur sont donnés entre crochets ou en note marginale, et signalés. Le titre ci-dessus est celui du tapuscrit

1. Catégories \(A\)-linéaires et \(\otimes\)-enveloppes.

\(A\) est un anneau commutatif. Soit \(C\) une catégorie \(A\)-linéaire (i.e. les Hom dans \(A\) sont des \(A\)-modules, l'accouplement des Hom étant bilinéaire). Un foncteur \(A\)-linéaire \[ F : C \longrightarrow C' \] de \(C\) dans une autre catégorie \(A\)-linéaire \(C'\) est dit « admissible » ou « compatible au produit tensoriel externe » si pour tout objet \(X\) de \(C\) sur lequel opère (\(A\)-linéairement) une \(A\)-algèbre \(o\), et tout \(o\)-module à droite \(P\) tel que \(P \otimes_{o} X\) existe dans \(C\), \(P \otimes_{o} F(X)\) existe dans \(C'\) et l'homomorphisme naturel \[ P \otimes_{o} F(X) \longrightarrow F(P \otimes_{o} X) \] est un isomorphisme. dans la marge de gauche, dactylographié et relié au texte par une accolade : « notion duale "coadmissible" : compatible avec Hom ». « "admissible" ou » est dactylographié dans l'interligne ; une première frappe, recouverte de x, précède \((P) \otimes_{o} F(X)\) [\(P \otimes_{o} X \simeq \mathrm{Hom}_{o}(\check{P}, X)\)] ajout à la main au-dessus de l'homomorphisme naturel Si \(C\) est une catégorie de Deuring, alors il suffit de poser cette condition pour un objet fixé \(X\) de \(C\), et pour \(o = \mathrm{End}_{C}(X)\), \(P\) un module \(\in \mathbb{P}(o/A) =\) catégorie des \(o\)-modules à droite [équiv.] qui sont localement sur \(S = \operatorname{Spec}(A)\) libres de rang \(1\). Dans ce cas, la catégorie des foncteurs \(F\) en question est équivalente, par \[ F \longmapsto F(X) : \mathrm{Hom}_{A\text{-adm}}(C, C') \hookrightarrow \mathrm{Mod}(o, C') , \] à la catégorie des objets [\(X'\)] de \(C'\) avec opération [\(A\)-linéaire] de \(o\), tels que \(P \otimes_{o} X'\) existe dans \(C'\) pour tout \(P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(o/A)\). En tous cas, la catégorie des foncteurs admissibles de \(C\) dans \(C'\) est \(A\)-linéaire. Hom est souligné deux fois, et \(\mathbb{P}\) souligné, à la machine ; un premier \(\mathbb{P}(o/A)\) est frappé par-dessus après « un module \(\in\) »

il suffit que \(C\) admette un \(X\) « générateur strict » i.e. tout objet de \(C\) est de la forme \(P \otimes_{o} X\), avec \(P\) projectif de type fini, alors \(P \longmapsto P \otimes_{o} X\) ([…] \(\mathbb{P}(o)X\)) […] pour \(P \otimes_{o} X\) existe) note à la main dans la marge de gauche, à l'encre brune, écrite en oblique à hauteur de « est un isomorphisme. Si \(C\) … » ; elle annonce le « générateur strict » du feuillet 62 (lot 4)

Soit \[ C(1) = \mathrm{Hom}_{A\text{-adm}}(C^{\circ}, \mathrm{Mod}(A)) , \] on a alors un foncteur pleinement fidèle canonique \[ C \xrightarrow{\ i\ } C(1) \] associant à tout objet \(X\) de \(C\) le foncteur \(Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(Y, X)\) qu'il représente. l'indice « A-adm » de ce Hom est frappé par-dessus un premier indice recouvert ; dans la marge, à la main : « coadm »

[Si \(X\) est un objet de \(C\) tel que tout objet \(Y\) de \(C\) s'écrit sous la forme \(P \otimes_{o} X\), avec \(P\) un \(o\)-module à droite projectif de type fini (\(o = \mathrm{End}_{C}(X)\)).] ces trois dernières lignes sont à la main, au bas du feuillet dactylographié

59le feuillet est entièrement à la main, sur le papier du tapuscrit ; il continue la phrase manuscrite qui clôt le feuillet 58 Alors pour tout objet \(Y\) de \(X\), \(i(X)(Y)\) posant \(F = i(X)\), \(F(Y)\) est un module [à droite] projectif de type fini sous \(o'^{\circ}\), où \(o' = \mathrm{End}(Y)\). Soit \(C_{sp}\), dans le cas général, \(C_{sp}(1)\) la catégorie de ces foncteurs [(dits « spéciaux »)]. On trouve donc ici une inclusion (sans réserver d'existence des gén. strict) \[ C \xrightarrow{\ i\ } C_{sp}(1) \] et le choix d'un générateur [strict] \(X\) de \(C\) permet d'identifier \(C_{sp}(1)\) à la catégorie des \(o\)-modules à droite projectifs de type fini. Et On l'appelle la […] [saturée-projective] […] [simple] (ou la saturée) de \(C\). « de \(X\) » à la première ligne est écrit ainsi, pour « de \(C\) » peut-être. Dans la marge de gauche, à hauteur de la définition de \(C_{sp}(1)\), une note de cinq lignes biffée de traits obliques, […] il faut être prudent : […] partout : loc. libre de rang fini sur \(\operatorname{Spec} A = S\) note à l'encre brune dans la marge de gauche, en bas, écrite en oblique ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

60(1) Soit \(C\) une catégorie \(A\)-linéaire. Soit […] \(X\) un objet de \(C\), avec op. d'une \(A\)-algèbre \(o\), et soit \(P\) un \(o\)-module [à droite] [projectif de type fini], si \(P \otimes_{o} X\) existe [(que \(P\) soit)] dans \(C\), on a un hom. \(o\)-linéaire naturel \[ \check{P} \longrightarrow \mathrm{Hom}(P \otimes_{o} X, X) , \] d'où un hom. de [contrav.] foncteurs […] sur \(C\) [i.e. sur \(C^{\circ}\)] \[ P \otimes_{o} X \longrightarrow \mathrm{Hom}_{o}(\check{P}, X) \] à droite de la formule, en petit : « \(P \otimes_{o} X\) » suivi d'un trait qui renvoie à la ligne suivante On dit que le produit tensoriel externe est strict si la flèche précédente est un isom. On dit que l'objet \(P\) « les produits tensoriels externes de \(C\) sont raisonnables » si la condition précédente est satisfaite chaque fois que \(P\) est projectif [projectif] de type fini ; [Ceci si \(C\) est additive et karoubienne,] […] suffit pour […] dans cette condition est satisfaite, et la \(P \otimes_{o} X\) existe pour tout \(P\) projectif de t.f. sur \(o\). [Il condition suffit de l'exiger pour \(o = \mathrm{End}(X)\).] Alors le foncteur \(P \longmapsto P \otimes_{o} X\) sur la sous-catégorie des \(P\) proj. de t.f. tels que [\(P \otimes_{o} X\) existe, est pleinement fidèle.] (condition automatique) la note marginale, à l'encre brune, est placée à hauteur de « de type fini ; » ; la fin de la phrase, « \(P \otimes_{o} X\) existe, est pleinement fidèle », est écrite dans la marge de gauche et renvoyée ici par une flèche

(2) \(C\) est une catégorie de Deuring (resp. de […]) […] jolie si (resp. […] catégorial) si les \(P \otimes\) « les produits tensoriels y sont raisonnables » et si pour deux objets \(\{X, X'\}\), \(\mathrm{Hom}(X, X')\) comme bimodule module sous \(o\) [\(o'\)] \(o\) et comme module sous \(o'\) est projectif de t.f. [et admet \(o'\) comme commutant]. Si \(C\) admet un gén. strict \(X\), (tout objet la phrase se poursuit au feuillet 62 (lot 4)