Groupe de Galois motivique commutatif. Cas d'un corps de base fini
Catégorie des motifs sur
\mathbb{F}_p = k
titre souligné, de sa main, en tête du feuillet
\mathcal{M} admet un foncteur fibre T_\ell sur \mathbb{Q}_\ell (à valeurs dans
\mathrm{Mod}(\widehat{\mathbb{Z}}, \mathbb{Q}_\ell)) pour tt \ell \neq p ; pour \ell = p, il y a un
foncteur T_p sur \mathbb{Q}_p : cohomologie cristalline (foncteur à valeurs dans \mathrm{Mod}
(F-cristaux sur \mathbb{Q}_p), donc dans des vectoriels sur \mathbb{Q}_p munis d'un automorphisme,
donc dans \mathrm{Mod}(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}_p) — attention, ici on ne peut remplacer \mathbb{Z}
par \widehat{\mathbb{Z}} !]
le crochet fermant est sur la page, sans crochet ouvrant correspondant
Soit \mathcal{M} \mathrm{Niv}^0(\mathcal{M}) la sous-catégorie des motifs de niveau 0
\mathrm{Niv}^0(\mathcal{M})^{\circ} \xrightarrow{\qquad\qquad\qquad} \ \ill{}.
la flèche est un long trait, sans but écrit ; le mot qui la suit, après une virgule, n'est pas lu
motifs de dim. 0
Il y a un foncteur fibre naturel k, cela définit F^0 sur \mathrm{Niv}^0(\mathcal{M})^{\circ}
la deuxième ligne est une flèche oblique ajoutée sous la première, qui fait passer F^0 par
\mathrm{Mod}(\mathbb{Q}, \pi) et que relie un trait courbe à la note de droite ; une accolade à gauche
réunit les formules, avec la note marginale de gauche. Le \widehat{\mathbb{Z}} de la première ligne
est biffé
Donc le groupe des [\mathcal{G}] des foncteurs fibres de \mathcal{M} contient le
[\mathcal{H}] le sous-groupe des foncteurs fibres de \mathcal{M} prolongeant F^0, lesquels
correspondent (si G est le groupe de Galois de \mathcal{M}, [qui est] un groupe
commutatif sur k, si (à des questions de densité …) au groupe
admettant les y^{\circ}\theta^{\circ}
\struck{H}\,\mathrm{Ker}\bigl(G^{0} \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_m\bigr)
« \mathcal{G} » et « \mathcal{H} » sont écrits dans l'interligne ; le passage entre
« correspondent » et la formule est rapide, et les signes « y^{\circ}\theta^{\circ} » sont transcrits
tels qu'on les voit
Par ailleurs,
le sous-groupe
\Gamma \subset \overline{\mathbb{Q}}^{*}
formé des \lambda tels que l'on ait
\begin{cases}
\lambda \ \text{entier algébrique} \\
\lambda \ \text{unité } \ell\text{-adique pour } \ell \neq p \\
|\lambda_i| = p^{\nu/2} \ \text{pour} \ \nu \in \mathbb{Z}^{+} \ \text{convenable,} \\
\qquad \text{pour tout conjugué } \lambda_i \text{ de } \lambda\,;
\end{cases}
la première ligne porte un indice peu lisible sous \lambda ; devant \nu, un mot biffé
Le groupe G^{0} est défini par
\Gamma / \Gamma_{\mathrm{tors}} = \Gamma / (\text{racines de l'unité})
L'homom.
G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_m
correspond : à l'homom.
\begin{array}{ccc}
\mathbb{Z} & \longrightarrow & \Gamma \\
1 & \longmapsto & p
\end{array}
et \mathrm{Ker}(\varepsilon \,|\, G^{0}) = \mathrm{Ker}(G^{0} \to \mathbb{G}_m) est défini par le groupe des caractères
\Gamma / \{\text{racines de l'unité}, p^{\nu}\} = \Gamma'
qui est un groupe sans dont le sous-groupe de torsion est \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} :
0 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow \Gamma' \longrightarrow \Gamma'/\mathrm{tors}(\Gamma') \longrightarrow 0
1 \longmapsto \text{classe de } p^{1/2} \text{ dans } \Gamma'
Donc on a donc
0 \longrightarrow H^{0} \longrightarrow H \longrightarrow \mu_2 \longrightarrow 0 ,
et H^{0} est un tore compact. En fait, l'homom. i \colon \mathbb{G}_m \to G définit
i \,|\, \mu_2 \colon \mu_2 \to H^{0}, et donne un splitting
H \simeq H^{0} \times \mu_2
ainsi sur la page : i\,|\,\mu_2 est écrit à valeurs dans H^0, alors que le scindage annoncé
demande une section de H \to \mu_2 ; « donc on a donc » est de sa main
On a presque la décision. (\mathcal{M} avec la famille des le foncteur et les
foncteurs F_0.) La connaissance de \mathcal{M}, graduation, augmentation, F_0 est connue quand on connaît la
classe de H comme H-gerbe, i.e. un élément
\xi_0 \in H^2(\mathbb{Q}, H) \simeq H^2(\mathbb{Q}, H^{0}) \times H^2(\mathbb{Q}, \mu_2)
la parenthèse et l'ajout « à isom. près … », de lecture douteuse, sont écrits au-dessus de la
première ligne, après un mot biffé ; l'ajout « la structure de graduation, augmentation » est porté dans
l'interligne et rattaché par un trait
N.B. La graduation correspond à un homom.
\Gamma \xrightarrow{\;i^{*}\;} \mathbb{Z}
qui est donné par
i^{*}(\lambda) = \nu \iff |\lambda| = p^{\nu/2} \,).
Donc ceci :
Si \ell \neq p, les foncteurs F_\ell prolongent (à isom. près) les foncteurs F_0, donc Donc : H est splittée
canoniquement en tous \ell \neq p [i.e. sur tous les \mathbb{Q}_\ell], donc la connaissance de
la gerbe \mathcal{M}, grad., augm., F_0, F_\ell (\ell \neq p) équivaut à la donnée de
\xi \in H^2(\mathrm{Spec}\, \mathbb{Q} \bmod T, H)
où
T = \coprod_{\ell \neq p} \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}_\ell).
« mod » est de lecture douteuse : une cohomologie relative de \mathrm{Spec}\,\mathbb{Q} modulo T, ce
que confirme la phrase suivante
Retenons pour l'instant : \xi \in H^2(\mathbb{Q}, H) splittée en toutes les places finies
\ell \neq p.
Si \ell = p, les foncteurs fibres T_p \,|\, \mathrm{Niv}^0(\mathcal{M})^{\circ} et F_p ne sont pas
isomorphes. Ils diffèrent par un torseur sous (G/H)^{\wedge}_{\mathbb{Q}_p}, extension de
G/G^{0} \simeq \widehat{\mathbb{Z}} par G^{0}/H \simeq \mathbb{G}_m ;
le chapeau sur (G/H) est placé en exposant, à droite de la parenthèse
et si
\eta_p \in H^1(\mathbb{Q}_p, G/H)
est la classe de ce torseur, alors par un argument universel on trouve que
\xi_p \ (\text{image de } \xi \text{ dans } H^2(\mathbb{Q}_p, H)) = \partial(\eta_p)
où \eta_p \partial est le cobord relatif à la suite exacte
0 \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow G/H \longrightarrow 0 .
Par suite la classe \xi_p est déterminée entièrement par la connaissance de \eta_p. Or
0 \longrightarrow \mathbb{G}_m \longrightarrow G/H \longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}} \longrightarrow 0
(extension qui splitte), d'où
sous \mathbb{G}_m est écrit (G/H)^{0}, rattaché par un trait à cette parenthèse
H^1(\mathbb{Q}_p, G/H) \xrightarrow{\;\sim\;} H^1(\mathbb{Q}_p, \widehat{\mathbb{Z}})
donc il suffit de connaître l'image de \eta_p dans H^1(\mathbb{Q}_p, \widehat{\mathbb{Z}}), i.e. comparer
les torseurs des isom. de (F_0)_{\mathbb{Q}_p} \,|\, \mathrm{Niv}^0(\mathcal{M})^{\circ} avec
T_p \,|\, \mathrm{Niv}^0(\mathcal{M})^{\circ}. On trouve (histoire graduelle sur k
corps de base, en
Notons que les composantes de \xi suivant H^2(\mathbb{Q}, H^{0}) et H^2(\mathbb{Q}, \mu_2) sont connues
quand on connaît leurs composantes en toutes places (y compris : \ell = \infty), et
vif pour la dernière, à cause de la formule \sum \mathrm{inv}_v = 0, il suffit de la connaître
à distance finie.
un trait vertical dans la marge gauche accompagne les deux dernières lignes, avec le mot
« vif »
Pour la première composante, un tore compact, les composantes à l'infini
nulles. Donc on connaît \xi quand on connaît les \xi_\ell (\ell fini). Donc on connaît \xi.
le feuillet reprend après le feuillet 8 ; la première phrase porte sans doute sur la composante de
\xi suivant H^2(\mathbb{Q}, H^{0}), H^{0} étant un tore compact
NB On sait l'obstruction étant dans des \mathrm{Ext}^2(\mathbb{Z}, \ldots, à
\mathbb{G}), de degré rang 1 et de degré 1 donnant une (i.e.
foncteurs fibres), l'argument de Hasse
elliptiques.
« NB » est souligné, ainsi que « sur \mathbb{R} » ; la parenthèse « (dans … valeurs) » est un
ajout de l'interligne, en partie biffé, et la ligne « l'obstruction étant dans des \mathrm{Ext}^2 »
est barrée d'un trait. La lecture de ce paragraphe est très lacunaire
A fortiori, \xi_\infty \neq 0, : la composante de \xi_\infty
suivant H^2(\mathbb{R}, \mu_2) est l'élément [en H^2] \neq 0 ; cela
dépend du (\xi_p) l'unique
[l'élément unique] de H^2(\mathbb{Q}_p, \mu_2) une dualité.
la fin de la page est un ajout rapide, rattaché par un trait courbe ; « H^2(\mathbb{Q}_p, \mu_2) »
est sûr. Le reste du feuillet est blanc
feuillet de diagrammes et de formules disposés librement sur la page, avec des annotations
brèves ; ils sont transcrits de haut en bas, la colonne de droite après la colonne de gauche
\begin{array}{ccccccc}
\longrightarrow & G^{0} & \longrightarrow & G & \longrightarrow & \widehat{\mathbb{Z}} & \longrightarrow 0 \\
& \wr & & \wr & & \wr & \\
& D(\Gamma/\text{racines de } 1) & & D(\Gamma) & \longleftarrow & D(\text{racines de } 1) &
\end{array}
au-dessus de G : « groupe de Galois mot. de \mathbb{F}_p » ; sous D(\Gamma), une flèche vers
« nombres de Weil ». La flèche de la seconde ligne est une double flèche en partie surchargée
\mathbb{G}_m \xrightarrow{\;i\;} G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_m
\qquad\qquad \varepsilon i\,(\chi) = \lambda^{2}
\mathbb{Z} \xleftarrow{\;i^{*}\;} \Gamma \xleftarrow{\;\varepsilon^{*}\;} \mathbb{Z}
|\lambda| = p^{\,i^{*}(\lambda)/2} \qquad\qquad \varepsilon^{*}(1) = p
la formule « \varepsilon i\,(\chi) = \lambda^2 » est lue telle quelle ; le signe devant
\chi est peu net
\varphi \in G(\mathbb{Q}) canonique, défini par \Gamma \subset \overline{\mathbb{Q}}^{*}
(\overline{\mathbb{Q}}, singulier les nombres alg. de \mathbb{Q} ;
les éléments défini \Gamma)
« \varphi » transcrit une grande lettre barrée, le Frobenius, qu'il note plus bas \varphi_M ;
la parenthèse de droite est de lecture très douteuse
\begin{array}{ccccc}
& & (G^{0}_{\mathbb{F}_\ell})_{\mathrm{red}} & \longrightarrow & (G^{0})_{\mathbb{Q}_\ell} \\
G_{\widehat{\mathbb{F}}_p} & \longrightarrow & (G_{\mathbb{F}_p})_{\mathrm{red}} & \xrightarrow[\text{(épi)}]{\;\alpha\;} & (G)_{\mathbb{Q}_p} \\
& & & \searrow \quad \widehat{\mathbb{Z}} \quad = & \widehat{\mathbb{Z}}
\end{array}
diagramme redessiné : (G^{0})_{\mathbb{Q}_\ell} est relié à (G)_{\mathbb{Q}_p} par un trait,
et (G_{\mathbb{F}_p})_{\mathrm{red}} comme (G)_{\mathbb{Q}_p} s'envoient en diagonale sur
\widehat{\mathbb{Z}}. Sous (G_{\mathbb{F}_p})_{\mathrm{red}}, une accolade : « Faisceaux
motiviques F-constants sur \mathbb{F}_p », avec à gauche « enveloppes
algébriques de \mathbb{Z} », puis « = D(\overline{\mathbb{Q}}_p^{*}) »
\begin{array}{ccccc}
\mathbb{Q} & \longleftarrow & \overline{\mathbb{Q}}_p^{*} & \xleftarrow{\;\alpha^{*}\;} & \Gamma \\
\| & & \downarrow & & \downarrow \\
\mathbb{Q} & \longleftarrow & \overline{\mathbb{Q}}_p^{*}/\text{racines de } 1 & \longleftarrow & \Gamma/\text{racines de } 1
\end{array}
la flèche \alpha^{*} est à crochet (une inclusion), commentée « l'inclusion canonique » ; la
première flèche horizontale est commentée « val. p-adique normalisée »
M motif [simple] sur \mathbb{F}_p, A_M = \mathrm{End}(M) centre
Z_M engendré par \varphi_M \in A
A \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell \simeq \mathrm{End}(T_\ell(M)) \quad
\text{(par Tate--Honda si $M$ une VA)}
A_M splitte sur \mathbb{Q}_\ell pour \ell \neq p (\ell fini).
la dernière ligne est entourée sur la page ; une flèche la relie à A_M. À droite, une accolade :
« Les invariants des composantes simples de » ; la phrase n'est pas achevée. Un mot biffé, sous M,
à gauche
U = \mathrm{Ker}(\varepsilon \,|\, G^{0}) \simeq \mu_2 \times U^{0} ;
\struck{D(\Gamma/\varepsilon^{*}\mathbb{Z}) \simeq 1) \ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times} ;
\Gamma/(\text{racines de } 1).\,\varepsilon^{*}(\mathbb{Z}) et \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times
\Gamma^{0}/\text{racines de } 1 ; \Gamma^{0} = nombres de Weil dont toutes
les val. absolues sont 1 [en toutes les places \neq p]
colonne de droite, en haut du feuillet : les objets sont reliés à U et à U^{0} par des flèches
verticales. « toutes » est souligné
feuillet de calculs disposés librement, sans phrase suivie ; transcrits de haut en bas. K est
écrit sans commentaire ; I, C, D_p sont les notations de la théorie du corps de classes (idèles,
classes d'idèles), telles qu'on les lit
H^2(\mathbb{Q}, H) \simeq \varinjlim H^2(G, K^{*} \otimes \check{M})
\begin{array}{ccccc}
H^1(G, I \otimes \check{M}) & \to & H^1(G, C \otimes \check{M}) & \to & H^2(G, K^{*} \otimes \check{M}) \\
\wr & & \wr & & \wr \\
\sum_{\mathfrak{p}} \widehat{H}^{-1}(G, D_{\mathfrak{p}} \otimes \check{M}) & \to & \widehat{H}^{-1}(G, \check{M})
& \to & \widehat{H}^{0}(G, \check{M} \otimes Y)
\end{array}
\begin{array}{ccccc}
\to H^2(G, I \otimes \check{M}) & \to & H^2(G, C \otimes \check{M}) \\
\wr & & \wr \\
\to \sum_{\mathfrak{p}} \widehat{H}^{0}(G, D_{\mathfrak{p}} \otimes \check{M}) & \to & \widehat{H}^{0}(G, \check{M})
\end{array}
les deux lignes forment sur la page une seule suite exacte, coupée ici en deux pour la largeur
le « Y » de \widehat{H}^{0}(G, \check{M} \otimes Y) est surchargé et douteux
\sum_{\mathfrak{p}} \widehat{H}^{-1}(G, D_{\mathfrak{p}} \otimes \check{M})
\simeq \sum_{\mathfrak{p}} \widehat{H}^{-1}(G_{\mathfrak{p}}, \check{M}),
\qquad
\widehat{H}^{-1}(G_{\mathfrak{p}}, \check{M}) \simeq
\mathrm{Ker}\bigl(\check{M}_{G_{\mathfrak{p}}} \xrightarrow{N_{G_{\mathfrak{p}}}} \check{M}^{G_{\mathfrak{p}}}\bigr)
\widehat{H}^{-1}(G, \check{M}) \simeq
\mathrm{Ker}\bigl(\check{M}_{G} \xrightarrow{N_{G}} \check{M}^{G}\bigr)
[identifié avec le H compact ; \check{M}_G = co-invariants de \check{M} ;
\check{M}/2\check{M}] ;
pour \mathfrak{p} = \infty, c'est \check{M}/2\check{M} dans le cas compact.
\widehat{H}^{0}(G, D_{\mathfrak{p}} \otimes \check{M}) \simeq \widehat{H}^{0}(G_{\mathfrak{p}}, \check{M})
\simeq \check{M}^{G_{\mathfrak{p}}} / N_{G_{\mathfrak{p}}} \check{M}
H^2(\mathbb{Q}_p, H^{0}) \simeq H^2(\mathbb{Q}_p, H/\mu_2)
\longrightarrow H/\mu_2 \longrightarrow G/\mu_2 \longrightarrow G' \longrightarrow 0,
\qquad G' \simeq \mathbb{G}_m \times \widehat{\mathbb{Z}}
\Gamma^{0}/\text{racines de } 1 \simeq M \longrightarrow \mathbb{Z} \quad
\text{stable par } G_{p}
\struck{\ill{}}
[valuations p-adiques normalisées par v_p(p) = 1] ; H^{0} est dual du groupe M formé
des
\Gamma^{0} = \mathrm{Ker}\, i^{*} = \text{unités de Weil}
\mathbb{Z} \xrightarrow{\;\varepsilon^{*}\;} \Gamma \xrightarrow{\;i^{*}\;} \mathbb{Z},
\qquad i^{*}\varepsilon^{*} = 2\,\mathrm{Id}
\qquad
\begin{cases}
\varepsilon^{*}(1) = p \\
|\lambda| = p^{\,i^{*}(\lambda)/2}
\end{cases}
« unités de Weil » est souligné d'un trait ondulé, avec « (p-) » entouré au-dessus ; \Gamma est
glosé « nombres de Weil »
\struck{\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow \Gamma/\varepsilon^{*}(\mathbb{Z})}
\begin{array}{ll}
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & (\text{engendré par } p^{1/2}) \\
\downarrow & \\
\Gamma/(\text{racines de } 1).\,\varepsilon^{*}(\mathbb{Z}) & \longleftrightarrow U \\
\uparrow & \\
\Gamma^{0}/\text{racines de } 1 & \longleftrightarrow U^{0}
\end{array}
à gauche, une note rattachée par une flèche à \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : « 1 dans la classe de
\pm p^{1/2} », lue sous réserve
u = \varepsilon\, p^{\nu} \quad
(\varepsilon \text{ racine de } 1,\ \nu \in \mathbb{Z},\ u \text{ unité de Weil})
\ \Longrightarrow\ \nu = 0, \text{ donc } u \text{ racine de } 1.