Cote n° 15 · pages 1–227 · Lecture modernisée · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–227

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier ne rédige pas une théorie ; il interroge, sous plusieurs angles, le cas où le groupe de Galois motivique est commutatif — sur un corps fini d'abord, puis sur un corps de nombres — et ce qu'il reste de l'arithmétique d'un motif dans ses foncteurs fibres en chaque place.

1. Pages 1 à 13, « Groupe de Galois motivique commutatif. Cas d'un corps de base fini » : le groupe \(G\) des motifs sur \(\mathbb{F}_{p}\), de type multiplicatif, de groupe des caractères les nombres de Weil ; la classe \(\xi \in H^{2}(\mathbb{Q}, H)\) qui classe la catégorie avec ses foncteurs fibres, calculée place par place.
2. Pages 15 à 55, les catégories de Deuring : définition sur un anneau de Dedekind, groupoïde et 2-groupoïde de Brandt, gerbe des banalisations et déterminant, puis le cas des courbes elliptiques supersingulières, la gerbe de lien \(\mu_{2}\) sur \(\mathbb{Z}[1/p]\), le torseur adélique et l'« élément de Deuring » ; enfin la question de sa détermination par les \(F\)-cristaux.
3. Pages 58 à 77, le tapuscrit « Catégories de Deuring », son paragraphe 1, et la suite à la main : catégories « jolies », catégorie de Picard de Brandt.
4. Pages 80 et 81, le tapuscrit « Localisation pour les variétés abéliennes ».
5. Pages 83 à 124, les gerbes motiviques à lien commutatif : algèbres de Riemann et tores compacts, caractérisations des \(q\)-nombres de Weil, unités des corps CM, la « Conjecture fondamentale » et sa forme affaiblie, les tores associés, foncteurs fibres réels et polarisations.
6. Pages 127 à 132, le corps totalement réel maximal \(\mathbb{K}\) et le corps CM maximal \(\mathbb{L}\).
7. Pages 134 à 138, « Groupes de Galois motiviques commutatifs » : les gerbes des parties de Tate, d'Artin et de niveau zéro.
8. Pages 139 à 154, « Motifs essentiellement abéliens et théorie du corps de classes » : les tores \(T_{K}\), \(V_{K}\), \(S^{\circ}_{K}\), les structures CM et les homomorphismes \(\Psi_{\Sigma}\), un calcul de \(H^{1}(\mathbb{Q}, T)\).
9. Pages 156 à 164, « Corps de classes commutatif = Motifs à groupe fondamental motivique connexe commutatif » : la théorie du corps de classes lue en termes de motifs, et les réalisations de Hodge aux diverses places.
10. Page 167, « Unités », d'une autre main ; page 169, un plan en dix points, « Foncteurs fibres motiviques, et groupes fondamentaux motiviques ».
11. Pages 171 à 178, « Calculs de cohomologie absolue des Motifs de Tate \(\mathbb{Z}(n)\) », et deux feuillets d'un paragraphe 5 sur le groupe de Brauer.
12. Pages 181 à 186, « Généralités fonctorielles-catégoriques sur la distribution des Frobenius dans les groupes de Galois motiviques ».
13. Pages 188 à 226, « Théorie de Galois des Motifs. Généralités », « Foncteurs fibres motiviques et groupe fondamental motivique » : les points canoniques en \(\ell\), en \(p\), à l'infini et sur \(\mathbb{Z}\), les points motiviques comme champ, le groupe fondamental motivique discret, la comparaison des places archimédiennes. Le dossier s'arrête au milieu d'une phrase.

Les moutures, gardées distinctes

La notion de catégorie de Deuring est définie deux fois, et la différence compte. Page 15, elle est stricte : une catégorie équivalente à celle des modules inversibles sur un ordre maximal d'une algèbre centrale simple. Page 25, et dans les tapuscrits des pages 58 et 80, elle est générale : une catégorie équivalente à celle des modules localement libres de rang \(1\) sur une algèbre \(\mathfrak{o}\) quelconque. On dit ici « catégorie de Deuring » au sens de la page 25, et « de Deuring–Brandt » quand \(\mathfrak{o}\) est un ordre maximal. La positivité du groupe de Galois motivique vient deux fois : par l'algèbre de Riemann d'un motif polarisé (pages 83 à 91), par les polarisations des foncteurs fibres réels (pages 116 à 124). Le groupe des motifs sur un corps fini est décrit deux fois : comme groupe de type multiplicatif de caractères donnés (pages 2 à 13), comme tore dual d'un groupe de \(q\)-nombres de Weil variant avec \(q\) (pages 99 à 105).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Six liens, qu'aucun feuillet n'énonce, et qui sont de nous.

Le facteur \(\mu_{2}\) du noyau \(H\) de la page 4, l'absence de foncteur fibre réel constatée page 10, l'algèbre de quaternions de Deuring des pages 22 à 55, et la Proposition 2 de la page 116 sont un seul fait. Sur \(\mathbb{F}_{p}\), le caractère de Tate est le carré du caractère « \(\sqrt{p}\) », qui est de poids impair ; il y a donc un \(\mu_{2}\) dans le noyau, aucun foncteur fibre à valeurs dans \(\mathbb{R}\), et la composante de la classe \(\xi\) selon ce \(\mu_{2}\) est la classe de l'algèbre de quaternions ramifiée en \(p\) et en l'infini.

La Proposition de la page 130 démontre \(\lambda \in \mathbb{L}\) là où le Corollaire de la page 93 n'obtient qu'une puissance de \(\lambda\) ; et les corps \(\mathbb{Q}'\), \(\mathbb{Q}'(i)\) des pages 93 à 107 sont les corps \(\mathbb{K}\), \(\mathbb{L}\) que la page 127 construit.

Le « \(\pi_{0} = 1\) » que la page 29 donne dans le cas local est contredit, dès que l'algèbre est ramifiée, par le \(\operatorname{Brd}(C) = \mathbb{Z}/e\mathbb{Z}\) de la page 69.

La forme \(\lambda \mapsto \frac{1}{n} v_{\mathfrak{P}}(\lambda)\) de la page 120 est le cocaractère des pentes : c'est, sur le groupe global, ce que la valuation \(p\)-adique de la page 12 fait sur le groupe local, et c'est le tore des pentes du dossier 10 (pages 66 à 83).

Le tore \(S^{\circ}_{K}\) de la page 143 et le schéma en groupes \(G^{\circ}\) de la page 158 sont deux présentations d'un même objet, le tore de Serre ; et l'obstruction dans \(H^{2}(\mathbb{Q}, G)\) que la page 190 signale pour \(\operatorname{Spec} \mathbb{F}_{q}\) est la classe \(\xi\) des pages 6 à 10.

Enfin la marge « faux » de la page 206 est examinée, et en partie confirmée, aux pages 218 et 220.

Les conventions, valables pour tout le dossier

• On écrit \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{F}_{q}\), \(\mathbb{G}_{m}\) partout, là où les pages 83 à 124 écrivent des capitales barrées, transcrites en gras.
• \(\mathfrak{o}\) désigne l'anneau d'endomorphismes d'un objet d'une catégorie de Deuring, le plus souvent un ordre maximal ; la page 15 l'écrit \(\mathcal{O}\), les pages 21 à 39 \(\sigma\), les pages 41 à 77 \(o\). On garde \(\mathcal{O}\) pour l'ensemble, puis la catégorie, des ordres « apparentés » (pages 53 et 65 à 77).
• \(\operatorname{Brd}\) est le groupe de Brandt, qu'il écrit \(\mathrm{Brd}\) ou \(\mathrm{Brdt}\) (la lecture « Bird » d'un sigle est écartée) ; \(\operatorname{Eqv}(C)\) la catégorie des autoéquivalences, qu'il écrit \(\text{Éq}\) ou \(\mathrm{Eqv}\).
• \(\mathbb{K}\) est le sous-corps totalement réel maximal de \(\overline{\mathbb{Q}}\), \(\mathbb{L} = \mathbb{K}(\sqrt{-1})\) le sous-corps CM maximal. Un corps est weilien s'il est contenu dans \(\mathbb{L}\), c'est-à-dire totalement réel ou CM ; la page 140 écrit « Weilien », les suivantes « weilien ».
• La lettre \(\xi\) sert chez lui à quatre choses. On la garde pour la classe de gerbe des pages 6 à 10 et, munie d'indices, pour les points canoniques des pages 190 à 226 (\(\xi_{\ell}\), \(\xi_{x,p}\), \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\) …). La classe de Brauer de l'algèbre de quaternions \(B_{p,\infty}\) est notée \(\beta\) ; l'« élément de Deuring » des pages 49 à 55, qu'il note \(\xi_{p}\), est noté \(\delta_{p}\) ; la classe qu'il note \(\xi(s')\) aux pages 182 à 186 est notée \(c(s')\).
• \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\) est le caractère de Tate ; le cocaractère des poids est noté \(i\) ou \(j\) comme sur la page, avec \(\varepsilon \circ i (\lambda) = \lambda^{2}\) ; le dossier 12 l'écrit \(y\). Il se sert de \(U\) pour cinq objets différents ; on le nomme chaque fois.

Ce que le dossier suppose sans l'établir, et ce qu'il annonce sans le faire

Tout ce qui porte sur les motifs suppose une catégorie de motifs tannakienne et semi-simple, ce que les conjectures standard donneraient. La description du groupe des motifs sur un corps fini par les nombres de Weil suppose de plus la conjecture de Tate avec la semi-simplicité du Frobenius ; la partie « tout nombre de Weil apparaît » est, pour les variétés abéliennes, le théorème de Honda. Les points entiers \(T_{\alpha}(\mathbb{Z})\) des pages 190 à 226 supposent des motifs à coefficients entiers, qui n'existent que conjecturalement. On le rappelle à chaque énoncé qui en dépend.

Il annonce et ne fait pas : la suite du « On trouve donc » de la page 39 ; la valeur de l'élément de Deuring et le signe à l'infini (pages 51 à 55) ; la vérification que la page 35 marque « À vérifier !! » ; la question de la page 69 ; la suite des deux tapuscrits, dont le second n'atteint jamais les variétés abéliennes de son titre ; la détermination de \(\varepsilon\) et \(j\) demandée page 85 ; la « Conjecture fondamentale » (page 99) et la « Conjecture affaiblie » (page 105) ; l'implication marquée « ? » de la page 107 ; les exemples des pages 97 à 113 ; les questions des pages 120 à 124 et 151 ; le programme de la couverture de la page 156 ; la question de la page 162 ; les points 0 à 9 du plan de la page 169 ; le « est-ce vrai ?? » de la page 173 ; le Théorème 5.6 (page 175) ; la distribution des Frobenius (pages 182 à 186) ; les conjectures des pages 190, 194, 206 et 220 ; l'analyse de l'exemple de Serre (page 214) ; le problème des modules (pages 216 et 226).

1–13

I. Groupe de Galois motivique commutatif. Cas d'un corps de base fini (pages 1 à 13)

Le feuillet 1 est une couverture de papier brun qui porte seulement ce titre ; les feuillets 2 à 13 sont de sa main, non paginés, non datés. Ils font un calcul : décrire la catégorie des motifs sur \(k = \mathbb{F}_{p}\) par un groupe et par une classe de cohomologie, et calculer cette classe place par place.

2–4

Les foncteurs fibres, et le groupe \(G\) (pages 2 et 4)

Soit \(\mathcal{M}\) la catégorie des motifs sur \(k = \mathbb{F}_{p}\), qu'on suppose tannakienne et semi-simple sur \(\mathbb{Q}\). Elle a, pour chaque nombre premier \(\ell \neq p\), un foncteur fibre \(T_{\ell}\) sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\) : la cohomologie \(\ell\)-adique, qui prend ses valeurs dans les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-espaces munis d'une action continue de \(\widehat{\mathbb{Z}} = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\). Pour \(\ell = p\), elle a un foncteur fibre \(T_{p}\) sur \(\mathbb{Q}_{p}\), la cohomologie cristalline, à valeurs dans les \(F\)-isocristaux sur \(\mathbb{Q}_{p}\), c'est-à-dire — \(k\) étant premier — dans les \(\mathbb{Q}_{p}\)-espaces munis d'un automorphisme. Attention, dit-il : ici l'action de \(\mathbb{Z}\) ne se prolonge pas à \(\widehat{\mathbb{Z}}\).¹

Il isole la sous-catégorie tensorielle \(\operatorname{Niv}^{0}(\mathcal{M})\) des motifs de niveau zéro, engendrée par les motifs d'Artin et le motif de Tate. Elle a un foncteur fibre naturel \(F^{0}\) à valeurs dans les \(\mathbb{Q}\)-espaces vectoriels : pour \(X\) fini étale sur \(k\) et \(f \colon X \to \operatorname{Spec} k\), \(F^{0}(h^{0}(X))\) est l'espace des fonctions sur \(X(\bar{k})\) à valeurs dans \(\mathbb{Q}\), c'est-à-dire la fibre de \(f_{*}\mathbb{Q}_{X}\), et \(F^{0}(\mathbb{Q}(1)) = \mathbb{Q}\).²

Le groupe de Galois motivique \(G\) de \(\mathcal{M}\) est alors commutatif, de type multiplicatif sur \(\mathbb{Q}\), et son groupe des caractères, comme module galoisien, est le groupe \[ \Gamma = \bigl\{ \lambda \in \overline{\mathbb{Q}}^{*} \ :\ \exists\, \nu \in \mathbb{Z},\ |\sigma(\lambda)| = p^{\nu/2} \ \text{pour tout plongement}\ \sigma \colon \overline{\mathbb{Q}} \to \mathbb{C},\ \lambda \ \text{unité en dehors de}\ p \bigr\} \] des nombres de Weil relatifs à \(p\) ; on écrit \(G = D(\Gamma)\). Ce n'est pas un théorème. La page dit qu'on le « connaît par les conjectures de Tate et de Tate–Honda », et il faut dire lesquelles.³

Ses torsions sont les racines de l'unité, et la composante neutre \(G^{0}\) a pour caractères \(\Gamma/\mu_{\infty}\) ; comme l'action de Galois sur \(\operatorname{Hom}(\mu_{\infty}, \overline{\mathbb{Q}}^{*})\) est triviale, \(G/G^{0}\) est le groupe profini constant \(\widehat{\mathbb{Z}}\). Deux homomorphismes structurent \(G\). Le caractère de Tate \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\) correspond à \(\mathbb{Z} \to \Gamma\), \(1 \mapsto p\). Le cocaractère des poids \(i \colon \mathbb{G}_{m} \to G\) correspond à \(i^{*} \colon \Gamma \to \mathbb{Z}\), \(i^{*}(\lambda) = \nu\) si \(|\lambda| = p^{\nu/2}\). Comme \(i^{*}(p) = 2\), on a \(\varepsilon \circ i (\lambda) = \lambda^{2}\).

Le noyau \(H = \operatorname{Ker}(\varepsilon|_{G^{0}})\) a pour caractères \[ \Gamma' = \Gamma / \mu_{\infty}\, p^{\mathbb{Z}} , \] dont la torsion est \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), engendrée par la classe de \(\sqrt{p}\) : si \(\lambda^{n} = \zeta p^{m}\), la condition de poids force \(\lambda = \zeta' p^{\nu/2}\). D'où une suite exacte \(1 \to H^{0} \to H \to \mu_{2} \to 1\), où \(H^{0}\) est le tore de caractères \(\Gamma'/\text{torsion}\). Ce tore est compact : pour \(\lambda\) de poids \(\nu\) on a \(\bar{\lambda} = p^{\nu}/\lambda\), donc la conjugaison complexe agit par \(-1\) sur \(\Gamma'\). Enfin la restriction de \(i\) à \(\mu_{2}\) est à valeurs dans \(H\) (car \(\varepsilon(i(-1)) = 1\)), et c'est une section de \(H \to \mu_{2}\) : sur les caractères, la composée \(\mathbb{Z}/2 \to \Gamma' \to \mathbb{Z}/2\) envoie la classe de \(\sqrt{p}\) sur \(i^{*}(\sqrt{p}) = 1\). Donc \[ H \simeq H^{0} \times \mu_{2} . \] ⁴

6–10

La classe de la gerbe, place par place (pages 6 à 10)

« On a presque la décision », écrit-il. La catégorie \(\mathcal{M}\), avec sa graduation, son augmentation \(\varepsilon\) et le foncteur fibre \(F^{0}\) sur la partie de niveau zéro — dont le groupe est \(G/H\), de caractères \(\mu_{\infty}\, p^{\mathbb{Z}}\) —, est connue à équivalence près dès qu'on connaît la gerbe des foncteurs fibres de \(\mathcal{M}\) qui prolongent \(F^{0}\). C'est une gerbe de lien \(H\), et \(H\) étant commutatif, elle a une classe \[ \xi \in H^{2}(\mathbb{Q}, H) \simeq H^{2}(\mathbb{Q}, H^{0}) \times H^{2}(\mathbb{Q}, \mu_{2}) . \] ⁵

Aux places \(\ell \neq p\). Le foncteur \(T_{\ell}\) restreint au niveau zéro est isomorphe à \(F^{0} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) : il prolonge donc \(F^{0}\) après extension des scalaires, et la gerbe est neutre sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\). La classe \(\xi\) est nulle en toute place finie \(\ell \neq p\).⁶

À la place \(p\). Là, \(T_{p}\) et \(F^{0} \otimes \mathbb{Q}_{p}\) ne sont pas isomorphes sur le niveau zéro : ils diffèrent par un torseur sous \((G/H)_{\mathbb{Q}_{p}}\), de classe \(\eta_{p} \in H^{1}(\mathbb{Q}_{p}, G/H)\), et un argument universel donne \[ \xi_{p} = \partial(\eta_{p}) , \] où \(\partial\) est le cobord de la suite \(1 \to H \to G \to G/H \to 1\) et \(\xi_{p}\) l'image de \(\xi\) dans \(H^{2}(\mathbb{Q}_{p}, H)\).⁷ Or \(G/H\) est extension de \(G/G^{0} = \widehat{\mathbb{Z}}\) par \(G^{0}/H \simeq \mathbb{G}_{m}\), et l'extension est scindée puisque ses caractères \(\mu_{\infty}\, p^{\mathbb{Z}} \simeq \mu_{\infty} \times \mathbb{Z}\) le sont ; par le théorème 90 de Hilbert, \[ H^{1}(\mathbb{Q}_{p}, G/H) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(\mathbb{Q}_{p}, \widehat{\mathbb{Z}}) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}\bigl( \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p}), \widehat{\mathbb{Z}} \bigr) , \] et l'image de \(\eta_{p}\) est, « trivialement », le caractère non ramifié qui envoie le Frobenius sur \(1\). C'est le calcul local du dossier 10 (pages 76 et 77), où le même torseur est celui de l'extension non ramifiée maximale de \(\mathbb{Q}_{p}\).⁸

À l'infini, et la reconstitution de \(\xi\). Les deux composantes se traitent séparément. Pour \(\mu_{2}\) : \(H^{2}(\mathbb{Q}, \mu_{2}) = \operatorname{Br}(\mathbb{Q})[2]\) s'injecte dans la somme des groupes de Brauer locaux, avec la seule relation \(\sum_{v} \operatorname{inv}_{v} = 0\) ; la composante est donc connue dès qu'on connaît ses composantes aux places finies. Pour \(H^{0}\) : c'est un tore compact, donc \(H^{2}(\mathbb{R}, H^{0}) = 0\) — un \(\mathbb{R}\)-tore compact est un produit de cercles, et \(H^{2}(\mathbb{R}, \mathrm{U}(1)) = \mathrm{U}(1)/N(\mathbb{C}^{*}) = 0\) — et la composante à l'infini est nulle. « Donc on connaît \(\xi\) », conclut-il.⁹

Vient une remarque : \(\mathcal{M}\) n'a pas de foncteur fibre sur \(\mathbb{R}\). L'argument de la page est presque illisible ; il invoque Hasse et les courbes elliptiques. En voici une forme complète.¹⁰ Donc \(\xi_{\infty} \neq 0\) ; comme la composante selon \(H^{0}\) y est nulle, c'est la composante selon \(\mu_{2}\) qui ne l'est pas, et elle est déterminée par la composante en \(p\) par la formule des invariants.

On peut en dire plus que la page. La composante de \(\xi\) selon \(\mu_{2}\) est nulle en toute place \(\ell \neq p\) et non nulle à l'infini ; par la loi de réciprocité elle est non nulle en \(p\), et c'est donc la classe \[ \beta = [B_{p,\infty}] \in \operatorname{Br}(\mathbb{Q})[2] \] de l'algèbre de quaternions ramifiée exactement en \(p\) et à l'infini — celle que Deuring a trouvée comme algèbre d'endomorphismes des courbes supersingulières, et qui occupe les pages 15 à 55.¹¹

12–13

Deux feuillets de formules (pages 12 et 13)

Ces deux feuillets rassemblent, sans phrases, le paysage des pages précédentes.

La suite \(1 \to G^{0} \to G \to \widehat{\mathbb{Z}} \to 0\) est duale de \(\Gamma/\mu_{\infty} \leftarrow \Gamma \leftarrow \mu_{\infty}\). L'inclusion \(\Gamma \subset \overline{\mathbb{Q}}^{*}\) définit un point canonique \(\varphi \in G(\mathbb{Q})\) — l'élément de Frobenius, qui agit sur chaque motif \(M\) par son Frobenius \(\varphi_{M}\). Le choix d'un plongement \(\overline{\mathbb{Q}} \to \overline{\mathbb{Q}}_{p}\) fait de \(\Gamma\) un sous-groupe de \(\overline{\mathbb{Q}}_{p}^{*}\), d'où un épimorphisme \(\alpha\) du groupe de type multiplicatif de caractères \(\overline{\mathbb{Q}}_{p}^{*}\) — la partie réductive du lien des \(F\)-isocristaux sur \(\mathbb{F}_{p}\), qu'étudie le dossier 10 — sur \(G_{\mathbb{Q}_{p}}\) : c'est la réalisation cristalline lue sur les liens. La valuation \(p\)-adique normalisée par \(v_{p}(p) = 1\) passe au quotient par les racines de l'unité et donne la graduation par les pentes.

Pour un motif simple \(M\), l'algèbre \(A_{M} = \operatorname{End}(M)\) est à division, de centre \(\mathbb{Q}(\varphi_{M})\), et \(A_{M} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) est l'algèbre des endomorphismes de \(T_{\ell}(M)\) qui commutent au Frobenius — un théorème de Tate quand \(M\) vient d'une variété abélienne. Elle est déployée en toute place finie \(\ell \neq p\). La page commence « Les invariants des composantes simples de » et s'arrête : la réponse est la formule de Tate.¹²

La page 13 calcule \(H^{2}(\mathbb{Q}, H)\) par la suite de la théorie du corps de classes : pour un tore \(T\) déployé par une extension galoisienne finie \(K\) de groupe \(\mathfrak{g}\), de groupe des cocaractères \(Y\), les termes \(H^{r}(\mathfrak{g}, C_{K} \otimes Y)\) s'identifient par Tate–Nakayama aux \(\widehat{H}^{r-2}(\mathfrak{g}, Y)\), et les termes locaux aux \(\widehat{H}^{r-2}(\mathfrak{g}_{v}, Y)\). À la place infinie, pour un tore compact, la conjugaison agit par \(-1\), la norme est nulle et \(\widehat{H}^{-1}(\mathbb{Z}/2, Y) = Y/2Y\), comme il l'écrit.¹³ Il note enfin que les caractères de \(H^{0}\) sont les unités de Weil modulo les racines de l'unité, stables par le groupe de décomposition en \(p\) et lus par les valuations \(p\)-adiques, et qu'une unité de Weil de la forme \(\zeta p^{\nu}\) est une racine de l'unité.

15–55

II. Catégories de Deuring (pages 15 à 55)

Sans titre de sa main, le feuillet 15 ouvre une suite qui court jusqu'à la page 55 : une théorie des catégories dont les objets se comportent comme les modules inversibles sur un ordre maximal, faite pour les courbes elliptiques supersingulières. Le lien avec ce qui précède n'est pas écrit ; on l'a dit : l'algèbre de ces courbes est celle dont la classe est la composante de \(\xi\) selon \(\mu_{2}\).

15–17

Définition et classification (pages 15 à 17)

Soit \(A\) un anneau de Dedekind de corps des fractions \(K\). Une catégorie \(A\)-linéaire \(C\) — ses \(\operatorname{Hom}\) sont des \(A\)-modules, la composition est bilinéaire, d'où un homomorphisme \(A \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_{C})\) — est de Deuring–Brandt s'il existe un objet \(X\) tel que

• a)\(\mathfrak{o} = \operatorname{End}(X)\) soit un ordre maximal de \(E = \mathfrak{o} \otimes_{A} K\), et \(E\) une algèbre simple centrale sur \(K\) ;
• b)pour tout \(\mathfrak{o}\)-module à droite \(P\) localement libre de rang \(1\) sur \(\operatorname{Spec} A\), le produit tensoriel \(P \otimes_{\mathfrak{o}} X\) existe dans \(C\) ;
• c)le foncteur \(P \mapsto P \otimes_{\mathfrak{o}} X\) soit une équivalence de la catégorie \(\mathbb{P}(\mathfrak{o})\) de ces modules sur \(C\).

Il note en marge que a) est indépendante de b) et c). Si la condition vaut pour un objet, elle vaut pour tous : dans \(\mathbb{P}(\mathfrak{o})\), l'anneau \(\mathfrak{o}' = \operatorname{End}_{\mathfrak{o}}(P)\) d'un objet \(P\) est localement isomorphe à \(\mathfrak{o}\), donc encore un ordre maximal de \(E\), la maximalité étant locale ; et \(Q \mapsto Q \otimes_{\mathfrak{o}'} P\) est une équivalence \(\mathbb{P}(\mathfrak{o}') \to \mathbb{P}(\mathfrak{o})\), de quasi-inverse \(P' \mapsto \operatorname{Hom}(P, P')\). C'est l'équivalence de Morita donnée par le bimodule inversible \(P\).

Deux ordres \(\mathfrak{o}\), \(\mathfrak{o}'\) définissent des catégories équivalentes si et seulement s'il existe un \((\mathfrak{o}, \mathfrak{o}')\)-bimodule \(L\) localement libre de rang \(1\) de chaque côté. Alors \(\mathfrak{o} \otimes K\) et \(\mathfrak{o}' \otimes K\) sont isomorphes comme \(K\)-algèbres ; et réciproquement deux ordres maximaux d'une même algèbre simple centrale sont reliés par le bimodule \(\mathfrak{o}\mathfrak{o}' \subset E\) des sommes \(\sum \lambda_{i}\mu_{i}\).¹⁴ Les classes de catégories de Deuring–Brandt sur \(A\) correspondent donc aux classes d'isomorphie d'algèbres simples centrales sur \(K\).¹⁵

17–21

Le groupoïde de Brandt, la gerbe des banalisations, le déterminant (pages 17 à 21)

Les équivalences \(A\)-linéaires \(C \to C'\) forment, si elles existent, une « catégorie torseur » sous la catégorie \(\operatorname{Eqv}(C)\) des autoéquivalences de \(C\). Fixer \(X\) identifie une équivalence \(\varphi\) au couple \((\varphi(X), \mathfrak{o} \simeq \operatorname{End}\varphi(X))\), et \(\operatorname{Eqv}(C)\) à la catégorie des \(\mathfrak{o}\)-bimodules biinversibles, la composition devenant le produit tensoriel. C'est une Gr-catégorie — un 2-groupe, dirait-on aujourd'hui —, et elle a trois invariants : le groupe des classes d'objets, le groupe de Brandt \(\operatorname{Brd}(\mathfrak{o})\) ; le groupe des automorphismes de l'unité, \(\operatorname{End}(\mathrm{id}_{C})^{*} = Z(\mathfrak{o})^{*}\), les unités du centre ; et une classe \[ k \in H^{3}\bigl(\operatorname{Brd}(\mathfrak{o}), Z(\mathfrak{o})^{*}\bigr) , \] l'action du premier sur le second étant triviale.¹⁶ Les catégories de Deuring équivalentes à une catégorie donnée forment un 2-groupoïde, 2-équivalent à celui dont les objets sont les ordres choisis, les \(\operatorname{Hom}\) les bimodules biinversibles et la composition le produit tensoriel ; « malheureusement, on n'a pas de 2-foncteur naturel en sens inverse ».

Supposons désormais \(A \simeq \operatorname{End}(\mathrm{id}_{C})\) (\(E\) centrale) et, jusqu'à nouvel ordre, \(\mathfrak{o}\) d'Azumaya sur \(A\). Pour un \(A\)-schéma \(T\), soit \(\mathcal{G}(T)\) la catégorie des foncteurs \(A\)-linéaires \(\varphi \colon C \to \operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{T})\) tels que \(\varphi(X)\) soit une banalisation de \(\mathfrak{o}\), c'est-à-dire que \(\mathfrak{o} \otimes_{A} \mathcal{O}_{T} \to \operatorname{End}(\varphi(X))\) soit un isomorphisme. Le foncteur \(\varphi \mapsto \varphi(X)\) identifie \(\mathcal{G}\) à la gerbe des banalisations de \(\mathfrak{o}\) : c'est une gerbe de lien \(\mathbb{G}_{m}\), dont la classe est celle de \(E\) dans le groupe de Brauer.¹⁷ Le foncteur \(C \to \operatorname{Rep}(\mathcal{G})\) est pleinement fidèle, d'image les représentations de poids \(1\) et de rang \(n(x)\) donné, où \(n(x)^{2}\) est le rang de \(\mathfrak{o}\) : on dirait aujourd'hui les faisceaux tordus de rang \(n\). Une catégorie de Deuring–Azumaya est donc la même chose qu'une gerbe de lien \(\mathbb{G}_{m}\) munie d'une fonction localement constante \(n(x)\) telle que la gerbe soit réalisée par une algèbre d'Azumaya de degré \(n(x)\). Et chaque objet a un déterminant, objet de \(\operatorname{Rep}(\mathcal{G})\) de poids \(n\), avec \(\det(P \otimes_{\mathfrak{o}} X) \simeq \det(X) \otimes \operatorname{Nrd}(P)\), où \(\operatorname{Nrd}\) est la norme réduite, vue comme foncteur des \(\mathfrak{o}\)-modules inversibles vers les \(A\)-modules inversibles.

La page 21 cherche un système transitif d'isomorphismes \(\det P \simeq A\), fonctoriel et multiplicatif. Il suffit, dit-elle, que \[ \operatorname{Pic}(A) = 0, \qquad \Phi \cap A^{*} = \{1\}, \qquad \Phi \cdot A^{*} = K^{*}, \qquad \text{où } \Phi = \operatorname{Nrd}(E^{*}) , \] ce qui a lieu pour \(A = \mathbb{Z}\) et \(E \otimes \mathbb{R}\) le corps des quaternions : par le théorème de Hasse–Schilling, \(\Phi\) est alors le groupe des rationnels positifs.¹⁸ Dans ce cas il y a un objet inversible canonique de degré \(n\) dans \(\operatorname{Rep}(\mathcal{G})\), et le lien de la gerbe se trouve réduit à \(\mu_{n}\) : pour les quaternions, à \(\mu_{2}\).

22–23

Les courbes elliptiques supersingulières (pages 22 et 23)

Soit \(C\) la catégorie des courbes elliptiques supersingulières sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(p\), avec leurs homomorphismes. « D'après Deuring », c'est une catégorie de Deuring–Brandt sur \(\mathbb{Z}\), attachée à l'algèbre de quaternions \(B_{p,\infty}\) sur \(\mathbb{Q}\) ramifiée exactement en \(p\) et à l'infini, d'ordre \(2\) dans \(\operatorname{Br}(\mathbb{Q})\).¹⁹ Sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/p]\), où l'ordre est d'Azumaya, on obtient une gerbe de lien \(\mu_{2}\).

Sur \(A' = \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}\), les modules de Tate donnent une banalisation : \(E \mapsto \prod_{\ell} T_{\ell}(E)\) est un foncteur fibre, de rang \(2\), et le déterminant canonique est envoyé sur \[ \det T(E) \simeq A'(1) \overset{\mathrm{df}}{=} \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}(1) \] par l'accouplement de Weil. Si \(\mathcal{H}_{A'}\) est la gerbe des racines carrées de \(A'(1)\), qui est une gerbe sous \(\mu_{2}\), on a donc une équivalence canonique \(\mathcal{G}_{A'} \simeq \mathcal{H}_{A'}\). L'invariant qu'on en tire est un élément du torseur \(\Pi\) des trivialisations de \(\mathcal{H}_{A'}\), sous \[ H^{1}(A', \mu_{2}) \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} , \qquad \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}/2 & \ell \neq 2, \\ (\mathbb{Z}/2)^{2} & \ell = 2 . \end{cases} \] Comme la gerbe elle-même n'est donnée qu'à équivalence non unique près, l'invariant vit en fait dans le quotient \(\Pi/\rho(H^{1}(\mathbb{Z}[1/p], \mu_{2}))\), où \[ \rho \colon H^{1}(\mathbb{Z}[1/p], \mu_{2}) = \{\pm 1, \pm p\}/\text{carrés} \simeq (\mathbb{Z}/2)^{2} \hookrightarrow H^{1}(A', \mu_{2}) \] envoie la classe de \(p\) (resp. \(-1\)) sur la famille de ses classes modulo les carrés de \(\mathbb{Z}_{\ell}^{*}\) — nulle en \(\ell \neq 2\) si et seulement si \(p\) (resp. \(-1\)) est un carré modulo \(\ell\). Deux marges : il n'y a « absolument pas » de façon naturelle de choisir une origine ; et le facteur \((\mathbb{Z}/2)^{2}\) s'éliminerait par la donnée d'une orientation à l'infini et d'une « orientation » en \(p\).

25–39

« Cat. de Deuring sur A » : foncteurs admissibles, normes, ramification (pages 25 à 39)

Une seconde rédaction, sur papier jauni, reprend tout sous un titre souligné, et avec une définition plus large : une catégorie \(A\)-linéaire \(C\) est de Deuring s'il existe une \(A\)-algèbre \(\mathfrak{o}\) — quelconque — et une équivalence \(A\)-linéaire \(C \approx \mathbb{P}(\mathfrak{o}/A)\) avec la catégorie des \(\mathfrak{o}\)-modules à droite localement libres de rang \(1\) sur \(\operatorname{Spec} A\) ; de façon équivalente, un objet \(X_{0}\) tel que \(P \mapsto P \otimes_{\mathfrak{o}} X_{0}\) soit défini et soit une équivalence, et alors tout objet convient. À équivalence près, \(C\) est définie par \(\mathfrak{o}\) ; deux algèbres définissent des catégories équivalentes si et seulement si l'une est \(\operatorname{End}(P)\) pour un \(P \in \mathbb{P}(\mathfrak{o}/A)\) — on tord \(\mathfrak{o}\) « par automorphismes intérieurs » —, et si \(\mathfrak{o}\) est commutative, cela force \(\mathfrak{o}' \simeq \mathfrak{o}\).

Un foncteur \(A\)-linéaire \(F \colon C \to C'\), au-dessus d'un homomorphisme \(A \to A'\), est admissible s'il commute aux produits tensoriels \(P \otimes_{\mathfrak{o}} X\). Il suffit de le demander pour un objet \(X\), et les foncteurs admissibles correspondent alors aux couples \((X', u)\) formés d'un objet \(X'\) de \(C'\) et d'un homomorphisme \(u \colon \mathfrak{o} \to \operatorname{End}(X')\) compatible à \(A \to A'\) ; il y a un changement de base universel \(C_{A'}\), avec \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}}(C, C') \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}, A'}(C_{A'}, C')\). Les autoéquivalences forment la Gr-catégorie des bimodules inversibles sous \(\mathfrak{o}\), et les équivalences \(C \to C'\) une catégorie torseur sous elle.

Exemple 1. \(A\) de Dedekind, \(E\) semi-simple sur \(K\), et les catégories « de type \(E\) » définies par les ordres maximaux de \(E\) : le \(\pi_{1}\) de la catégorie des autoéquivalences est le groupe des unités de la clôture intégrale de \(A\) dans le centre de \(E\) (\(A^{*}\) si \(E\) est centrale). La page ajoute que, si \(A\) est local, le \(\pi_{0}\) est trivial, tout bimodule inversible des deux côtés étant trivial ; c'est vrai quand \(E\) est non ramifiée en \(A\), et faux sinon.²⁰ La base peut changer par \(A \to A'\), \(A'\) corps ou anneau de Dedekind, pourvu que l'image d'un ordre maximal reste maximale, ce qui a lieu pour les localisés et les complétés.

Exemple 2. Une norme de \(C\) vers une catégorie de Deuring \(D\) est un foncteur \(\nu \colon C \to D\) muni d'isomorphismes \(\nu(P \otimes_{\mathfrak{o}} X) \simeq \operatorname{Nrd}_{\mathfrak{o}/A}(P) \otimes_{A} \nu(X)\), transitifs et fonctoriels. Il y a une norme universelle, de but noté \(\nu_{A}(C)\), et, \(X\) fixé, les normes correspondent aux objets de \(D\). Si l'on dispose d'isomorphismes fonctoriels et transitifs \(\operatorname{Nrd}(P) \simeq A\), tout foncteur admissible \(\varphi \colon C \to C'\) définit un objet canonique \(T_{\varphi}\) avec \(\nu(\varphi(X)) \simeq T_{\varphi}\).

Exemple 3. Les couples \((C, \tau)\), \(\tau\) objet de \(\nu_{A}(C)\), généralisent les gerbes de lien \(\mu_{n}\) : une telle gerbe donne la catégorie \(C\) de ses représentations de poids \(1\) et de rang \(n\), et \(\tau\) est le déterminant.²¹ Les autoéquivalences de \((C, \tau)\) sont les bimodules \(P\) munis d'un isomorphisme \(\operatorname{Nrd}(P) \simeq A\). Dans le cas local non ramifié, elles forment une catégorie de Picard strictement commutative, de \(\pi_{1} = \mu_{n}(A)\), équivalente à la catégorie \(\operatorname{Tors}(S, \mu_{n})\) des \(\mu_{n}\)-torseurs sur \(S = \operatorname{Spec} A\). En général, son \(\pi_{0}\) s'insère dans \[ 0 \longrightarrow H^{1}(S, \mu_{n}) \longrightarrow \pi_{0}\operatorname{Eqv}(C, \tau) \longrightarrow \operatorname{Ram}(C/A) , \] \[ \operatorname{Ram}(C/A) \overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{Brd}(C)/\operatorname{Pic}(A) \simeq \bigoplus_{\mathfrak{p}} \mathbb{Z}/e_{\mathfrak{p}}\mathbb{Z} , \] où \(e_{\mathfrak{p}}\) est l'indice de ramification de l'ordre en \(\mathfrak{p}\), et la dernière flèche est surjective quand \(\operatorname{Pic}(A) = 0\) — ce qui est le cas de tous les anneaux qui servent ici, \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}[1/p]\), \(\mathbb{Z}_{p}\).²² Pour une \(A\)-algèbre \(A'\) et \((C', T')\) sur \(A'\) équivalent à \((C, T)_{A'}\), les équivalences forment une catégorie torseur sous \(\operatorname{Eqv}(C', T')\), donc sous \(\operatorname{Tors}(S', \mu_{n})\) si \(C'\) est non ramifiée.

Page 37 : une catégorie de Deuring–Brauer porte un objet canonique \(T\) de \(\nu(C)\) — celui que la page 21 construit —, c'est-à-dire une section \(c\) du foncteur \(\operatorname{Eqv}(C, T) \to \operatorname{Eqv}(C)\). Les classes d'équivalences \((C, T)_{A'} \simeq (C', T')\) forment alors un torseur sous \(\operatorname{Brd}(C', T')/\operatorname{Im}\operatorname{Brd}(C)\), et il explicite l'application \(\operatorname{Brd}(C) \to \operatorname{Brd}(C, T) \to \operatorname{Brd}(C', T')\), \(\rho \mapsto (\rho, u_{\rho})\).

Page 39, le cas qui intéresse : \(A = \mathbb{Z}\), \(E = B_{p,\infty}\). Ici \(\operatorname{Pic}(\mathbb{Z}) = 0\) et \(p\) est le seul premier ramifié, avec \(e_{p} = 2\), donc \(\operatorname{Brd}(C) = \mathbb{Z}/2\). Son générateur est l'idéal bilatère \(\mathfrak{m}\) de \(\mathfrak{o}\) au-dessus de \(p\) ; il correspond au foncteur de Frobenius \(E \mapsto E^{(p)} = E/\operatorname{Ker} F_{E}\) sur les courbes, et \(\operatorname{Nrd}(\mathfrak{m}) = p\mathbb{Z}\) ; on le relève en \((\mathfrak{m}, p)\) dans \(\operatorname{Brd}(C, T)\). Sur un \(A'\) où \(p\) est inversible, l'image de \((\mathfrak{m}, p)\) dans \(\operatorname{Brd}(C_{A'}, T_{A'}) \simeq H^{1}(S', \mu_{2})\) est la classe de \(p\) modulo les carrés. Sur \(A' = \mathbb{Z}_{p}\), le groupe \(\operatorname{Brd}(C_{p}, T_{p})\) est extension de \(\mathbb{Z}/2\) par \(H^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2}) = \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\), et elle est scindée, car \((\mathfrak{m}, p)^{2}\) est l'élément neutre : \[ \operatorname{Brd}(C_{p}, T_{p}) \simeq \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{Q}_{p}^{*}/\mathbb{Q}_{p}^{*2} = H^{1}(\mathbb{Q}_{p}, \mu_{2}) , \] d'ordre \(4\) si \(p \neq 2\) — d'où, dit-il, « d'innombrables possibilités de trivialiser un torseur » sous ce groupe.²³

Sur \(A' = \mathbb{R}\) enfin, la gerbe \(\mathcal{G}_{\mathbb{R}}\) de lien \(\mu_{2}\) a une classe non nulle dans \(H^{2}(\mathbb{R}, \mu_{2}) \simeq \mathbb{Z}/2\) : c'est celle des quaternions de Hamilton \(B_{p,\infty} \otimes \mathbb{R} = \mathbb{H}\). On ne peut donc la comparer qu'à une gerbe modèle de même classe — la gerbe \(g_{\infty}\) des pages 41 et 51 —, et les classes d'équivalences avec elle, qu'il appelle ses « polarisations », forment un torseur sous \(H^{1}(\mathbb{R}, \mu_{2}) = \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2}\).²⁴ La page s'arrête sur « On trouve donc » ; la page 41 ne continue pas visiblement cette phrase.

41–51

Le torseur adélique et l'élément de Deuring (pages 41 à 51)

La page 41 ne continue pas visiblement la page 39 ; elle reprend avec trois modèles locaux. Sur \(A' = \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}\), la catégorie de Deuring déployée \((C'(A'), T')\) associée à la gerbe des racines carrées de \(A'(1)\) — qui dépend du choix d'une clôture algébrique \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\). En \(p\), la catégorie \(C(\mathbb{Z}_{p})\) des \(F\)-cristaux de rang \(2\) et de pente \(\tfrac{1}{2}\) sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\), avec le \(F\)-cristal de Tate. À l'infini, celle qu'on associe à une gerbe modèle \(g_{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\). Comparant \(C\) à ces trois modèles, on trouve un torseur \(\mathcal{T}'(C)\) sous \[ \Gamma' = A'^{*}/A'^{*2} \times \bigl( \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2 \bigr) \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} , \] le facteur du milieu étant le groupe \(\operatorname{Brd}(C_{p}, T_{p})\) de la page 39. Le groupe \(\mathbb{Z}/2\) des classes d'autoéquivalences de \(C\) agit sur ce torseur par translation par l'image \(f\) du Frobenius, qui est \((p, (0,1), p)\) dans les trois facteurs — et \(p\) est un carré dans \(\mathbb{R}\). Soit \(\Gamma'_{0}\) le sous-groupe \[ \Gamma'_{0} = A'^{*}/A'^{*2} \times \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2} = H^{1}(\widehat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}, \mu_{2}) ; \] alors \(\Gamma' = \Gamma'_{0} \times f(\pm 1)\), et le quotient \(\mathcal{T}(C) = \mathcal{T}'(C)/\pm 1\) est un torseur sous \(\Gamma'/f(\pm 1) \simeq \Gamma'_{0}\), qui ne dépend pas de \(C\).²⁵ Il dépend encore de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) par l'action de \(\widehat{\mathbb{Z}} = \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_{p}/\mathbb{F}_{p})\) ; mais le Frobenius agit sur les trois modèles par le même élément \((p, f, p)\), donc trivialement sur \(\mathcal{T}\). On a ainsi un torseur canonique \(\mathcal{T}\) sous \(H^{1}(\widehat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}, \mu_{2})\).

Ceci suggère, dit la page 43, une gerbe triviale de lien \(\mu_{2}\) sur \(\widehat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}\) dont \(\mathcal{T}\) serait le torseur des classes. Il considère les couples \((C, \alpha)\) où \(C\) est une catégorie de Deuring de type \(\beta\) et \(\alpha\) une classe d'équivalences \((C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq (C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p}))\) modulo celles qui viennent de \(\operatorname{Pic}(\mathbb{Z}_{p})\) — « trop compliqué », corrige la marge : il suffit de fixer une classe d'équivalences \(C_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq C(\mathbb{Z}_{p})\), c'est-à-dire, si \(C\) est défini par \(\mathfrak{o}\), une structure de \(\mathfrak{o} \otimes \mathbb{Z}_{p}\)-module sur un cristal de rang \(2\) et de pente \(\tfrac{1}{2}\). Une autre marge note qu'il y a deux classes d'isomorphie de tels couples (cristal, ordre), échangées par le Frobenius. Deux couples \((C, \alpha)\), \((C', \alpha')\) sont toujours équivalents, et les équivalences forment un groupoïde connexe de groupe fondamental \(\mathbb{Z}/2\) : deux équivalences sont isomorphes, et l'isomorphisme est unique au signe près. À un \((C, \alpha)\) est associée la gerbe \(\mathcal{G}(C, \alpha)\) sur \(\widehat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}\), de lien \(\mu_{2}\), des équivalences avec le couple modèle compatibles en \(p\) avec \(\alpha\) ; elle est déterminée à une équivalence près unique au signe près, mais dépend du choix de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\). Il voudrait s'en affranchir en définissant canoniquement \(\mathbb{F}_{p^{n}}\) comme \(\mathbb{F}_{p}[T]/\Phi_{p^{n}-1}(T)\) ; ce n'est pas un corps en général.²⁶

Page 47, la même chose en termes de 2-catégories : les \((C, \alpha)\) forment une 2-catégorie \(\mathcal{S}\) connexe, dont les 1-morphismes sont tous isomorphes, et dont les 2-automorphismes sont \(\mathbb{Z}/2\), avec un 2-foncteur vers la 2-catégorie des gerbes de lien \(\mu_{2}\) ; la gerbe a une « section définie à isomorphisme canonique près au signe près », et une marge prévient qu'il y a ici « un deuxième signe ». Autre façon : la suite de catégories de Picard \[ \operatorname{Eqv}(C) \longrightarrow \operatorname{Eqv}(C, T) \longrightarrow \operatorname{Eqv}(C_{p}, T_{p}) \simeq \operatorname{Eqv}(C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p})) \] est pleinement fidèle, de quotient la catégorie rigide de groupe \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\) ; les équivalences \((C, T)_{\mathbb{Z}_{p}} \simeq (C(\mathbb{Z}_{p}), T(\mathbb{Z}_{p}))\) modulo l'action de \(\operatorname{Eqv}(C)\) forment donc un torseur \(\mathcal{T}_{p}\) sous \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\), indépendant de \(C\) à isomorphisme canonique près. Un élément de \(\mathcal{T}_{p}\) choisi, les couples \((C, \alpha)\) avec \(\alpha\) dans cette classe sont équivalents de façon canonique.

D'où, page 49, pour tout \(\delta \in \mathcal{T}_{p}\), une gerbe canonique \(\mathcal{G}(\delta)\) sur \(\widehat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}\), de lien \(\mu_{2}\) : sur \(A' \times \mathbb{R}\), la gerbe des équivalences de la gerbe \(\mathcal{G}_{\mathbb{Z}[1/p]}\) définie par \((C, T)\) avec la gerbe modèle (racines carrées de \(A'(1)\) sur \(A'\), \(g_{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\)) ; en \(p\), la gerbe triviale. Et « la théorie des courbes elliptiques d'invariant de Hasse nul nous fournit »

• a)un élément \(\delta_{p} \in \mathcal{T}_{p}\), l'élément de Deuring ;
• b)une section \(\hat{\delta}\) de \(\mathcal{G}(\delta_{p})\), définie à isomorphisme près et au signe près à l'infini, de valeur en \(p\) la section unité et de valeur à l'infini la polarisation donnée par \(T\).²⁷

« À l'infini, la situation n'est pas très belle encore », dit la page 51. Pour tout \(\delta_{p}\), la gerbe \(\mathfrak{h}(\delta_{p})\) de lien \(\mu_{2}\) sur \(\mathbb{Z}[1/p]\) définie par \((C(\delta_{p}), T(\delta_{p}))\) donne sur \(\mathbb{R}\) une gerbe canonique ; pour l'élément de Deuring, elle est munie d'une polarisation — une classe d'équivalences avec la gerbe modèle \(g_{\infty}\) —, « mais il reste l'ambiguïté de signe ».²⁸ Concrètement, \(C(\delta_{p})_{\mathbb{R}}\) est la catégorie des droites vectorielles à droite sur les quaternions \(\mathbb{H}\), munie de la norme réduite vers la catégorie de Picard des droites réelles, et il y a un foncteur « canonique au signe près » de \(C(\delta_{p})\) vers celle-ci — une marge explique que le foncteur vers les droites quaternioniennes unitaires a deux isomorphismes. Pour l'élément de Deuring, on aurait ainsi un foncteur essentiellement canonique des courbes supersingulières vers les droites quaternioniennes, où la norme correspondrait à la polarisation. L'écriture se défait sur ces mots.

53–55

« Détermination de \(\xi_{p}\) ? » (pages 53 à 55)

Il explicite d'abord \(\mathcal{T}_{p}\). Soit \(\mathcal{O}\) l'ensemble des ordres maximaux de \(B_{p,\infty}\). Un élément \(\delta\) de \(\mathcal{T}_{p}\) est une fonction qui, à tout couple \((M, \mathfrak{o})\) formé d'un \(\mathfrak{o} \in \mathcal{O}\) et d'un \(F\)-cristal \(M\) de rang \(2\) sur \(\mathbb{F}_{p^{2}}\) (ou sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\)) muni d'une action de \(\mathfrak{o}\), associe un élément \[ u_{\delta}(M, \mathfrak{o}) \in \operatorname{Isom}\bigl( \textstyle\bigwedge^{2} M, T_{p} \bigr) / \mathbb{Z}_{p}^{*2} , \] où \(T_{p}\) est le cristal de Tate, de sorte que : (i) \(u_{\delta}\) soit stable par isomorphisme ; (ii) si \(P\) est un \(\mathfrak{o}\)-module à droite inversible, de commutant \(\mathfrak{o}'\), et \(M' = P \otimes_{\mathfrak{o}} M\), l'isomorphisme canonique \[ c \colon \det M' \simeq \operatorname{Nrd}(P) \otimes_{\mathbb{Z}} \det M \simeq \det M \] (donné par \(\operatorname{Nrd}(P) \simeq \mathbb{Z}\)) transforme \(u_{\delta}(M, \mathfrak{o})\) en \(u_{\delta}(M', \mathfrak{o}')\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\det M \arrow[rr, "c"] \arrow[dr, no head, "{u_{\delta}(M,\mathfrak{o})}"'] & & \det M' \arrow[dl, no head, "{u_{\delta}(M',\mathfrak{o}')}"] \\
 & T_{p} &
\end{tikzcd}

En présence de (ii), la condition (i) équivaut à la stabilité par les isomorphismes de corps \(\bar{k} \to \bar{k}'\), ou encore par le Frobenius de \(\bar{k}\). Page 55, il est équivalent de se donner les \(u_{\delta}\) pour des triples \((M_{0}, \mathfrak{o}, i)\), où \(i \colon R \to \mathfrak{o}\) est un plongement de l'anneau \(R\) engendré par une racine de \(T^{2} + p\) — ce qui revient à une descente \(M_{0}\) de \(M\) à \(\mathbb{F}_{p}\) dont le Frobenius satisfait \(F^{2} + p = 0\) —, avec la stabilité par isomorphisme et la compatibilité aux tordus par un \(R\)-module inversible \(P_{0}\), via \(\det_{\mathbb{Z}} P_{0} \simeq \mathbb{Z}\).²⁹ La page s'arrête là, à mi-hauteur : l'élément de Deuring n'est pas déterminé.

58–77

III. Le tapuscrit « Catégories de Deuring », et la catégorie de Picard de Brandt (pages 58 à 77)

58–62

Catégories \(A\)-linéaires et \(\otimes\)-enveloppes (pages 58 à 62)

Le seul feuillet dactylographié de cette suite porte le titre « Catégories de Deuring » et le paragraphe « 1. Catégories \(A\)-linéaires et \(\otimes\)-enveloppes ». \(A\) est un anneau commutatif, \(C\) une catégorie \(A\)-linéaire. Un foncteur \(A\)-linéaire \(F \colon C \to C'\) est admissible, ou compatible au produit tensoriel externe, si pour tout objet \(X\) muni d'une action d'une \(A\)-algèbre \(\mathfrak{o}\) et tout \(\mathfrak{o}\)-module à droite \(P\) tel que \(P \otimes_{\mathfrak{o}} X\) existe, \(P \otimes_{\mathfrak{o}} F(X)\) existe et \(P \otimes_{\mathfrak{o}} F(X) \to F(P \otimes_{\mathfrak{o}} X)\) est un isomorphisme ; une marge dactylographiée annonce la notion duale, « coadmissible », compatible aux \(\operatorname{Hom}\). Pour une catégorie de Deuring, il suffit de le demander pour un objet \(X\) et \(P \in \mathbb{P}(\mathfrak{o}/A)\), et les foncteurs admissibles correspondent aux objets de \(C'\) munis d'une action de \(\mathfrak{o}\). Soit \[ C(1) = \operatorname{Hom}_{A\text{-adm}}(C^{\circ}, \operatorname{Mod}(A)) ; \] le plongement de Yoneda \(i \colon C \to C(1)\), \(X \mapsto \operatorname{Hom}(-, X)\), est pleinement fidèle.³⁰

La suite est de sa main. Si \(X\) est un générateur strict — tout objet est de la forme \(P \otimes_{\mathfrak{o}} X\) avec \(P\) projectif de type fini —, les valeurs de \(i(X)\) sont projectives de type fini, et il appelle \(C_{sp}(1)\) la catégorie de ces foncteurs « spéciaux » : le choix de \(X\) l'identifie aux \(\mathfrak{o}\)-modules à droite projectifs de type fini. C'est la « saturée » de \(C\), ce qu'on appelle aujourd'hui son enveloppe additive et karoubienne. Le produit tensoriel externe est strict si \(P \otimes_{\mathfrak{o}} X \to \operatorname{Hom}_{\mathfrak{o}}(\check{P}, X)\) est un isomorphisme, et les produits tensoriels sont raisonnables s'ils sont stricts pour tout \(P\) projectif de type fini — ce qui a lieu si \(C\) est additive et karoubienne ; alors \(P \mapsto P \otimes_{\mathfrak{o}} X\) est pleinement fidèle. Enfin \(C\) est jolie si ses produits tensoriels sont raisonnables et si, pour deux objets, \(\operatorname{Hom}(X, X')\) est projectif de type fini sous \(\operatorname{End}(X')\) et a \(\operatorname{End}(X)\) pour commutant. Une catégorie à générateur strict est alors une sous-catégorie pleine des \(\mathfrak{o}\)-modules projectifs de type fini contenant \(\mathfrak{o}\), et une catégorie jolie est la limite inductive de ses sous-catégories « strictement monogènes », chacune de ce type.

65–69

Le groupe de Brandt et la fibration sur les ordres (pages 65 à 69)

Soit \(C \simeq \mathbb{P}(\mathfrak{o}/A)\) une catégorie de Deuring, \(X\) un objet, \(\mathfrak{o} = \operatorname{End}(X)\). Le groupe de Brandt \(\operatorname{Brd}(C) = \pi_{0}\operatorname{Eqv}(C)\) opère sur l'ensemble \(\operatorname{Is}(C)\) des classes d'objets ; le quotient est l'ensemble des classes d'isomorphie d'algèbres « apparentées » à \(\mathfrak{o}\) — pour des ordres maximaux, les classes de conjugaison d'ordres maximaux — et le stabilisateur de la classe de \(X\) est le groupe \(\operatorname{Out}_{A} (\mathfrak{o})\) des automorphismes extérieurs.³¹ D'où la suite exacte \[ 1 \to Z(\mathfrak{o})^{*} \to \mathfrak{o}^{*} \to \operatorname{Aut}_{A} \mathfrak{o} \to \operatorname{Brd}(C) \to \operatorname{Is}(C) \to \operatorname{Is}(\mathcal{O}) \to 1 , \] exacte au sens des ensembles pointés pour ses deux derniers termes, que la page récrit dans un cadre comme la suite d'homotopie \[ \pi_{1}(\mathcal{B}, 1) \to \pi_{1}(C, X) \to \pi_{1}(\mathcal{O}, \mathfrak{o}) \to \pi_{0}(\mathcal{B}, 1) \to \pi_{0}(C, X) \to \pi_{0}(\mathcal{O}, \mathfrak{o}) \to 1 \] de la catégorie de Brandt \(\mathcal{B}\), de la catégorie de Deuring \(C\) et de la catégorie \(\mathcal{O}\) des anneaux apparentés : « on a envie de dire que \(C\) est fibrée sur \(\mathcal{O}\), de fibre \(\mathcal{B}\) ».³² Si \(\mathfrak{o}\) est centrale, \(L \mapsto L \otimes_{A} -\) est un foncteur pleinement fidèle \(\operatorname{Pic}(A) \to \mathcal{B}\), et \[ 0 \to \operatorname{Pic}(A) \to \operatorname{Brd}(C) \to \operatorname{Ram}(C/A) \to 0 , \qquad \operatorname{Ram}(C/A) \simeq \bigoplus_{\mathfrak{p}\ \text{ramifié}} \mathbb{Z}/e_{\mathfrak{p}}\mathbb{Z} \] dans le cas des ordres maximaux, le quotient étant celui des idéaux bilatères par ceux de \(A\).³³

Si \(A\) est local, \(\operatorname{Is}(C) = 1\) et \(\operatorname{Pic}(A) = 0\), donc \(\operatorname{Out}(\mathfrak{o}) = \operatorname{Brd}(C) = \mathbb{Z}/e\mathbb{Z}\) : il y a une obstruction locale à ce que les automorphismes d'un ordre maximal soient intérieurs. Pour les corps gauches de Deuring, ramifiés en \(p\) et à l'infini, la suite devient \[ 1 \to \{\pm 1\} \to \mathfrak{o}^{*} \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{o}) \to \mathbb{Z}/2 \to \pi_{0}(C, X) \to \pi_{0}(\mathcal{O}, \mathfrak{o}) \to 1 , \] et il l'annote terme à terme. Le groupe \(\mathfrak{o}^{*} = \operatorname{Aut}(X)\) est \(\{\pm 1\}\), sauf pour \(j = 1728\) où il est cyclique d'ordre \(4\) et \(j = 0\) où il est cyclique d'ordre \(6\) (\(p \neq 2, 3\)). Le \(\mathbb{Z}/2\) est engendré par le Frobenius \(E \mapsto E^{(p)}\), et \(\operatorname{Aut}(\mathfrak{o}) \to \mathbb{Z}/2\) est surjectif si et seulement si \(X\) se descend à \(\mathbb{F}_{p}\), c'est-à-dire \(j \in \mathbb{F}_{p}\) : c'est alors la conjugaison par un endomorphisme de degré \(p\). Enfin \(\pi_{0}(C, X)\) est l'ensemble des classes d'isomorphie de courbes supersingulières, et son quotient par le Frobenius est \(\pi_{0}(\mathcal{O})\), l'ensemble des classes de conjugaison d'ordres maximaux.³⁴ La page s'arrête sur une question : « \(\mathfrak{o}^{*}\) est-il toujours égal ».

71–77

Les 2-catégories de Brandt et la catégorie de Picard \(\mathcal{B}\) (pages 71 à 77)

Soit \(\mathcal{O}\) la catégorie des algèbres apparentées à une algèbre donnée, \(K\) l'anneau total des fractions de \(A\), supposé semi-local, et \(E \simeq \mathfrak{o}_{K}\), dont on suppose tous les automorphismes intérieurs (le cas des algèbres simples centrales, par Skolem–Noether). Trois 2-catégories sont équivalentes : \(\mathcal{B}_{0}\), celle des catégories de Deuring de type \(\mathfrak{o}\) ; \(\mathcal{B}_{1}\), dont les objets sont les objets de \(\mathcal{O}\) et les \(\operatorname{Hom}(\mathfrak{o}, \mathfrak{o}')\) les bimodules localement libres de rang \(1\), composés par \(L \otimes_{\mathfrak{o}'} M\) ; et \(\mathcal{B}_{2}\), le 2-groupoïde de Brandt, dont les objets sont les sous-anneaux \(\mathfrak{o} \subset E\) apparentés, les 1-morphismes les bimodules \(L\) contenus dans \(E\), et les 2-morphismes \(L \to M\) les éléments \(\lambda\) du centre de \(E\) tels que \(\lambda L = M\). « Les 2-foncteurs \(\mathcal{B}_{2} \to \mathcal{B}_{1} \to \mathcal{B}_{0}\) ne sont pas des équivalences naturelles. »

Supposons la condition (C) : pour tout \(\mathfrak{o} \subset E\) dans \(\mathcal{O}\), les \((\mathfrak{o}, \mathfrak{o})\)-bimodules « spéciaux » contenus dans \(E\) commutent, \(LM = ML\). C'est le cas des ordres maximaux, dont le groupe des idéaux bilatères est abélien ; la marge le croit vrai localement, « cf. Auslander ».³⁵ Alors \(\operatorname{Eqv}(C) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}_{1}}(\mathfrak{o}, \mathfrak{o})\) reçoit une contrainte de commutativité stricte, par transport : pour \(L\), \(M\) spéciaux, on choisit des plongements \(L \simeq L' \subset E\), \(M \simeq M' \subset E\), et \[ c \colon L \otimes_{\mathfrak{o}} M \simeq L'M' = M'L' \simeq M \otimes_{\mathfrak{o}} L , \] qui ne dépend pas des plongements.

Proposition (page 75). Cette contrainte de commutativité ne dépend pas du choix de \(X \in \operatorname{Ob} C\).

La démonstration : un autre objet est \(X' = P \otimes X\), avec \(P \subset E\) ; son anneau \(\mathfrak{o}' = \operatorname{End}(P)\) est plongé dans \(E\), et l'identification des bimodules spéciaux sous \(\mathfrak{o}\) et sous \(\mathfrak{o}'\) est \(L \mapsto PLP^{-1}\), qui respecte les produits : \(P(LM)P^{-1} = (PLP^{-1})(PMP^{-1})\). « OK. »

Conclusion (page 77). Les catégories \(\operatorname{Eqv}(C)\), pour \(C\) dans \(\mathcal{B}_{0}\), sont canoniquement des catégories de Picard strictes, canoniquement équivalentes entre elles : on peut les identifier à une seule catégorie de Picard \(\mathcal{B}\), la catégorie de Picard de Brandt. Elle opère sur chaque \(C\), chaque \(\operatorname{Eqv}(C, C')\) est une catégorie torseur sous \(\mathcal{B}\), et \(C' \mapsto \operatorname{Eqv}(C, C')\) est une équivalence de 2-catégories de \(\mathcal{B}_{0}\) sur celle des catégories torseurs sous \(\mathcal{B}\). Un changement de base \(A \to A'\) qui préserve les hypothèses donne un homomorphisme \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) compatible aux actions.³⁶

80–81

IV. Localisation pour les variétés abéliennes (pages 80 et 81)

Deux feuillets dactylographiés, le début d'un tapuscrit dont le titre annonce les variétés abéliennes et qui s'arrête avant de les avoir nommées. \(A\) est un anneau commutatif, \(C\) une catégorie \(A\)-linéaire, non nécessairement additive. Pour toute \(A\)-algèbre \(A'\), \(C_{A'}\) a les mêmes objets et les \(\operatorname{Hom}\) tensorisés par \(A'\) ; d'où une catégorie fibrée \(\underline{C}\) sur les schémas affines au-dessus de \(S = \operatorname{Spec} A\). Ce n'est presque jamais un champ sur ce gros site, mais c'en est souvent un sur le petit site de Zariski des ouverts affines de \(S\) : on dit alors que \(C\) est localisable sur \(A\). Conséquences :

• a)si \(X\) porte une action d'une \(A\)-algèbre \(R\), non nécessairement commutative, les \(P \otimes_{R} X\) existent pour les \(R\)-modules à droite localement isomorphes à \(R\), et si \(R \to \operatorname{End}(X)\) est bijectif, \(P \mapsto P \otimes_{R} X\) est pleinement fidèle, d'image les objets localement isomorphes à \(X\) ;
• b)si \(C\) est additive, de même pour les \(P\) localement libres de type fini, l'image étant formée des objets localement isomorphes à un \(X^{n}\) ; la conclusion vaut aussi si, au lieu de la localisabilité, on suppose \(C\) karoubienne et \(P\) projectif de type fini ;³⁷
• c)la catégorie \(\operatorname{Mod}(R, C)\) des objets de \(C\) munis d'une action de \(R\) est localisable si \(C\) l'est — sur \(S\), non nécessairement sur \(\operatorname{Spec} R\) quand \(R\) est commutative, ce que le raisonnement « ne prouve pas » ;³⁸
• d)la localisation commute à la restriction aux ouverts affines ;
• e)deux objets sont apparentés s'ils sont localement isomorphes, et les objets apparentés à un objet donné forment une catégorie localisable qui est une catégorie de Deuring — au sens large de la page 25, par a) —, où la frappe s'arrête, au milieu de la phrase.

83–124

V. Gerbes motiviques à lien commutatif, et \(q\)-nombres de Weil (pages 83 à 124)

Une longue suite de sa main, sans titre ni pagination, qui se lit d'un recto au suivant. Elle reprend la question des pages 1 à 13 sous forme générale — que peut-on dire du groupe d'une catégorie motivique quand il est commutatif ? — et la mène jusqu'à une conjecture qui déterminerait le groupe de Galois motivique d'un corps fini.

83–87

Algèbres de Riemann et tores compacts (pages 83 à 87)

Soit \(\mathcal{M}\) une catégorie motivique semi-simple de gerbe \(\mathcal{G}\), dont le lien est commutatif : il correspond à un groupe \(G\) de type multiplicatif sur \(\mathbb{Q}\), et \(G^{0}\) est un tore. Comme \(G\) est commutatif, \(G(\mathbb{Q})\) opère sur tout motif par des automorphismes naturels ; si \(E\) est un motif fidèle, on a une injection \(\varphi \colon G(\mathbb{Q}) \hookrightarrow \operatorname{End}(E)\). Une polarisation de \(E\) fait de \(A = \operatorname{End}(E)\) une algèbre de Riemann, c'est-à-dire munie d'une involution positive \(a \mapsto a'\), et pour \(u \in G(\mathbb{Q})\) \[ \varphi(u)\,\varphi(u)' = \varepsilon(u)^{w}\, 1_{E} \] si \(E\) est pur de poids \(w\).³⁹ Le noyau \(U = \operatorname{Ker}\varepsilon\) s'envoie donc dans le « groupe unitaire » de \((A, ')\), dont les points réels forment un groupe compact puisque l'involution est positive ; les points rationnels d'un tore étant denses, \(U^{0}\) est un tore compact.

Plus précisément, l'algèbre \(B\) engendrée par \(G(\mathbb{Q})\) dans \(A\) est commutative et stable par l'involution, donc produit de corps \(L_{i}\) dont chacun est ou bien un corps CM — extension quadratique totalement imaginaire d'un corps totalement réel \(K_{i}\), l'involution induisant la conjugaison complexe —, ou bien un corps totalement réel où elle est triviale.⁴⁰ Alors \(B^{*} = H(\mathbb{Q})\) pour \(H = \prod_{i} R_{L_{i}/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_{m}\), et le groupe unitaire est formé des points rationnels de \(H^{u} = \prod_{i} R_{K_{i}/\mathbb{Q}} \Gamma_{i}\), où \(\Gamma_{i}\) est le tore des éléments de norme \(1\) de \(L_{i}/K_{i}\) : un tore compact « de nature assez particulière », dont \(U^{0}\) est un sous-tore. Il note qu'il faudrait exprimer \(\varepsilon\) et le cocaractère \(j\) par les tores normes des \(L_{i}\) ; ce n'est pas fait. Pour un lien quelconque, le quotient commutatif maximal \(\mathcal{L}'\) du lien correspond à un groupe \(H'\), et le même argument montre que \((\operatorname{Ker}\varepsilon|_{H'})^{0}\) est un tore compact.

Il se place ensuite dans une catégorie munie d'un Frobenius « générateur » : le lien est commutatif, de groupe \(G\) de type multiplicatif, muni d'un élément \(f\) qui engendre \(G\) au sens de Zariski.

89–93

Caractérisations des \(q\)-nombres de Weil (pages 89 à 93)

Trois données sont équivalentes : a) un groupe \(T\) de type multiplicatif sur \(\mathbb{Q}\) et un \(f \in T(\mathbb{Q})\) qui l'engendre ; b) un sous-groupe \(M\) de \(\overline{\mathbb{Q}}^{*}\) stable par Galois (l'image de \(\chi \mapsto \chi(f)\), injective puisque \(f\) engendre) ; c) une sous-catégorie pleine de celle des \(\mathbb{Q}\)-espaces munis d'un automorphisme semi-simple, stable par \(\otimes\), \(\oplus\), sous-objets et duaux.⁴¹ On se donne de plus un cocaractère \(j \colon \mathbb{G}_{m} \to T\) invariant par Galois, soit \(j^{*} \colon M \to \mathbb{Z}\), et un caractère \(\varepsilon \colon T \to \mathbb{G}_{m}\) avec \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{\alpha}\) ; on pose \(q = \varepsilon(f) \in M \cap \mathbb{Q}^{*}\). Alors les conditions

• a)\(T^{0}/\operatorname{Im} j\) est compact ;
• b)\(q > 0\), et \(|m| = q^{j^{*}(m)/\alpha}\) pour tout \(m \in M\) ;
• c)\(q > 0\), et pour tout objet \((V, f)\) de degré \(i\), les valeurs propres de \(f\) dans \(V_{\mathbb{C}}\) sont de valeur absolue \(q^{i/\alpha}\),

sont équivalentes. Que b) et c) le soient est clair, les valeurs propres de \(f\) sur les objets de degré \(i\) étant les \(m\) tels que \(j^{*}(m) = i\). Il montre que a) implique c) : si \(U\) est le plus grand sous-tore compact de \(T_{\mathbb{R}}\), a) donne \(T^{0}_{\mathbb{R}} = U \cdot \operatorname{Im} j\), donc \(f^{\nu} = u\, j(x)\) pour un entier \(\nu > 0\), \(u \in U(\mathbb{R})\), \(x \in \mathbb{R}^{*}\) ; les valeurs propres de \(u\) sont de module \(1\), celles de \(j(x)\) sont les \(x^{i}\), et \(\varepsilon\) étant trivial sur le tore compact \(U\), \(q^{\nu} = \varepsilon(f)^{\nu} = x^{\alpha}\), d'où \(|\lambda| = q^{i/\alpha}\). La réciproque, qu'il ébauche puis biffe, est vraie et immédiate.⁴²

Prenons \(\alpha = 2\) et appelons \(\mathbb{K}\) le sous-corps totalement réel maximal de \(\overline{\mathbb{Q}}\) et \(\mathbb{L} = \mathbb{K}(i)\), que la page écrit \(\mathbb{Q}'\) et \(\mathbb{Q}'(i)\) et que la page 127 construira. La condition a) équivaut à : pour tout \(\lambda \in M\), \(\lambda\bar{\lambda} = q^{j^{*}(\lambda)}\). Un corollaire affirme que si \(\lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha}\) est le même rationnel pour tous les conjugués, une puissance de \(\lambda\) est dans \(\mathbb{L}\) ; en fait \(\lambda\) lui-même y est, par la Proposition de la page 130. Deux marges : les \(\lambda\) réels sont les \(\pm (q^{1/2})^{i}\), « les triviaux » ;⁴³ et l'exemple de \(p^{1/4}\), dont tous les conjugués ont le même module mais dont le corps n'est ni totalement réel ni CM, montre que c'est la rationalité de \(|\lambda|^{2}\) qui compte.

Proposition (page 93). Soient \(\lambda \in \overline{\mathbb{Q}}^{*}\) et \(q \in \mathbb{Q}\), \(q > 0\). Conditions équivalentes :

• (i)il existe un entier \(i\) tel que \(|\lambda_{\alpha}| = q^{i/2}\), i.e. \(\lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = q^{i}\), pour tout conjugué \(\lambda_{\alpha}\) de \(\lambda\) ;
• (ii)\(\lambda \in \mathbb{L}\) et \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\) pour un entier \(i\) ;
• (ii bis)il existe \(n > 0\) tel que \(\lambda^{n} \in \mathbb{L}\), et \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\) pour un entier \(i\) ;
• (iii)il existe un groupe \(G\) de type multiplicatif sur \(\mathbb{Q}\), \(f \in G(\mathbb{Q})\) et \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{j} G \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{G}_{m}\) avec \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2}\), \(\operatorname{Ker}\varepsilon\) compact et \(\varepsilon(f) = q\), tels que \(\lambda\) soit valeur propre de \(f\) dans une représentation de \(G\) ;
• (iv)il existe une algèbre de Riemann commutative \(A\) sur \(\mathbb{Q}\), un \(f \in A\) avec \(ff' = q^{i}\), et un homomorphisme \(A \to \overline{\mathbb{Q}}\) qui envoie \(f\) sur \(\lambda\).

Ce sont les \(q\)-nombres de Weil de poids \(i\).⁴⁴

95–99

Unités des corps CM, et la « Conjecture fondamentale » (pages 95 à 99)

Proposition (page 95). Soit \(L\) une extension quadratique d'un corps de nombres \(K\), \(\sigma\) son automorphisme non trivial, et \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(K\) qui se décompose dans \(L\) en \(\mathfrak{P} \neq \mathfrak{P}'\). Il existe \(x \in L^{*}\) tel que \(x\,\sigma(x) = 1\) et \(\operatorname{div} x = 2h(\mathfrak{P} - \mathfrak{P}')\), où \(h\) est l'ordre de la classe de \(\mathfrak{P} - \mathfrak{P}'\).

En effet, si \(\operatorname{div} y = h(\mathfrak{P} - \mathfrak{P}')\), alors \(y\,\sigma(y) = N(y)\) est une unité \(u\) de \(K\), et \(x = y^{2}/u\) convient.⁴⁵ Une remarque en tire : si \(K\) est totalement réel, \(L\) CM, et si aucun premier de \(K\) au-dessus de \(p\) ne se décompose dans \(L\), un entier \(\lambda\) de \(L\) tel que \(\lambda\bar{\lambda} = p^{i}\) est de la forme \(p^{i/2}\zeta\), \(\zeta\) racine de l'unité : \(\mu = \lambda^{2}/p^{i}\) est de module \(1\) en tout plongement et une unité partout, donc une racine de l'unité par le théorème de Kronecker.⁴⁶

Page 97, pour \(K\) totalement réel, \(L\) CM sur \(K\) et \(q = p^{n}\), il étudie le groupe des \(\lambda \in L\) qui sont des unités hors de \(p\) et vérifient \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\).⁴⁷ Les unités \(u\) hors de \(p\) telles que \(u\bar{u} = 1\) forment un groupe, et \(u \mapsto (v_{\mathfrak{P}}(u))_{\mathfrak{P} \mid p}\) a un noyau fini (les racines de l'unité) et, par la proposition, une image d'indice fini dans les diviseurs \(D\) au-dessus de \(p\) tels que \(D + \bar{D} = 0\). Ce groupe est donc, à un groupe fini près, libre de rang le nombre de premiers de \(K\) au-dessus de \(p\) qui se décomposent dans \(L\). La page s'arrête là.

Page 99, il écrit les conditions nécessaires pour qu'un \(\lambda\) soit valeur propre du Frobenius d'une variété projective et lisse sur \(\mathbb{F}_{q}\), \(q = p^{n}\) :

• 1)\(\lambda\) est un entier algébrique ;
• 2)\(\lambda \in \mathbb{L}\) ;
• 3)\(\lambda^{2} = q^{i}u\), avec \(i \in \mathbb{Z}\) et \(u\) une unité hors de \(p\) de module \(1\) en tout plongement — ce qui équivaut, compte tenu de 2), à \(|\lambda_{\alpha}| = q^{i/2}\) pour tout conjugué.

Une quatrième condition, sur les valuations en deux premiers conjugués, est barrée avec la mention « conséquence de 2 et 3 !!! », à juste titre.⁴⁸ L'entier \(i\) est le poids ; si les conditions valent relativement à \(q' = q^{m}\), elles valent relativement à \(q\), avec un poids multiplié par \(m\). Les conditions 2) et 3) définissent un groupe \(M(q) \subset \mathbb{L}^{*}\), et il remarque que \(q^{1/2} \in \mathbb{K}\). Que ces conditions soient nécessaires est le théorème de Deligne sur les valeurs propres de Frobenius (1974), et l'intégralité est dans SGA 7 ; en 1965, c'était connu pour les variétés abéliennes (Weil).

Et, dans un cadre :

Conjecture (« fondamentale »). Les conditions nécessaires précédentes sont suffisantes.

La marge dit « Th. d'existence de motifs sur \(\mathbb{F}_{q}\) », et le texte : « Cela détermine donc explicitement, en termes arithmétiques simples, le groupe de Galois motivique des \(\mathbb{F}_{q}\). »⁴⁹

101–105

Le groupe \(G(q)\), la limite sur \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\), la conjecture affaiblie (pages 101 à 105)

« Vérifions que cela donne bien » le bon \(G/G^{0}\) : il est dual du groupe des racines de l'unité, et ce dernier est bien le dual de \(\widehat{\mathbb{Z}}\). Soit \(M(q) \subset \mathbb{L}^{*}\) le groupe des \(q\)-nombres de Weil, \(G(q)\) le groupe de type multiplicatif dual, \(f_{q} \in G(q)(\mathbb{Q})\) l'élément canonique : c'est, sous la conjecture, le groupe de Galois motivique de \(\mathbb{F}_{q}\). Pour \(q = p^{n}\) on a \[ M(q^{m}) \subset M(q) \subset M(p), \qquad M(q)^{m} \subset M(q^{m}) , \] et la restriction des motifs à \(\mathbb{F}_{q^{m}}\) donne \(G(q^{m}) \to G(q)\), \(f_{q^{m}} \mapsto f_{q}^{m}\), dont la transposée est \(\lambda \mapsto \lambda^{m}\), de noyau fini et d'image comprise entre \(M(q^{m})^{m}\) et \(M(q^{m})\). Une marge décompose \[ M(q) \simeq \mathbb{Z} \times M^{\circ}, \qquad \lambda \mapsto \bigl(i, \lambda/(q^{1/2})^{i}\bigr) , \] où \(M^{\circ}\) est le groupe des unités de Weil, nombres de Weil de poids \(0\), qui ne dépend pas de \(q\) ; sur \(M^{\circ}\) les transitions sont \(u \mapsto u^{m}\).⁵⁰ La limite inductive \(M(q^{\infty})\) des \(M(q^{m})\) le long de ces transitions est sans torsion, et \[ M(q^{\infty}) \simeq \mathbb{Z} \times (M^{\circ} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}) ; \] son dual doit être le groupe de Galois motivique de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\), et \(M^{\circ} \otimes \mathbb{Q}\) s'identifie au quotient par les racines de l'unité du groupe des \(\lambda \in \overline{\mathbb{Q}}^{*}\) dont une puissance est dans \(M^{\circ}\). Un essai encadré d'expliciter cette identification est barré.

D'où, page 105, la « forme plus juste, géométrique » : le groupe de Galois motivique de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) serait \[ G \simeq D(M^{\circ} \otimes \mathbb{Q}) \times \mathbb{G}_{m} , \] \(j\) étant l'injection de \(\mathbb{G}_{m}\) et \(\varepsilon(x, \lambda) = \lambda^{2}\) ; la « partie compacte » est le premier facteur.⁵¹ Et en termes de valeurs propres :

Conjecture affaiblie. Soit \(\lambda\) un entier algébrique de la forme \(\lambda = p^{i/2}u\), avec \(i \geqslant 0\) et \(u\) une unité de Weil (une unité hors de \(p\) de module \(1\) en tout plongement complexe) dont une puissance est dans \(\mathbb{L}\). Il existe un entier \(m > 0\) tel que \(\lambda^{m}\) soit valeur propre du Frobenius \(f_{p^{m}}\) dans un motif semi-simple de poids \(i\) sur \(\mathbb{F}_{p^{m}}\).⁵²

La marge dit que cela « résulterait probablement de la théorie de la multiplication complexe : cf. Taniyama–Shimura ». C'est exactement la voie de Honda : relever en caractéristique nulle une variété abélienne à multiplication complexe dont le Frobenius se calcule par la formule de Shimura–Taniyama.

107–113

Corps CM et tores associés (pages 107 à 113)

Page 107, pour \(K\) totalement réel et \(L = K(x)\) quadratique, \(x^{2} - ax + b = 0\) : \(L\) est totalement imaginaire si et seulement si le discriminant \((x - \bar{x})^{2}\) est totalement négatif. Pour \(x \in \overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}\), sont équivalents : \(x + \bar{x}\) totalement réel et \((x - \bar{x})^{2}\) totalement strictement négatif ; \(x\) engendre une extension CM d'un corps totalement réel ; \(x \in \mathbb{L} - \mathbb{K}\). (Pour l'une des implications on prend \(K = \mathbb{Q}(x + \bar{x}, x\bar{x})\), et la remarque que \(x\bar{x} = \tfrac{1}{4}((x + \bar{x})^{2} - (x - \bar{x})^{2})\) rend superflue la condition sur \(x\bar{x}\).) Il en tire que ces conditions sont stables par conjugaison, « ce qui n'était pas évident autrement ». Avec des inégalités larges, les conditions équivalent à \(x \in \mathbb{L}\) ; elles entraînent que \(x_{\alpha}\bar{x}_{\alpha}\) est totalement positif pour tout conjugué, et la réciproque est marquée d'un « ? » que la page ne lève pas.

Page 109, il construit le tore de \(M(q)\) pour un corps \(L\) CM galoisien, \(M(q)\) étant l'ensemble des \(\lambda \in L\) entiers hors de \(p\) tels que \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\). Par la page 97, le groupe \(M_{0}\) des unités de Weil de \(L\), modulo la torsion, s'envoie avec un noyau fini et une image d'indice fini dans le groupe \((\mathbb{Z}^{\mathcal{P}})'\) des diviseurs \(D\) supportés au-dessus de \(p\) tels que \(D + \bar{D} = 0\).⁵³ Un premier \(\mathfrak{P}\) de \(L\) au-dessus de \(p\) définit la forme \(\lambda \mapsto v_{\mathfrak{P}}(\lambda)\), d'où un cocaractère de \(G_{L}\) ; il est rationnel sur le corps \(L_{0}\) des invariants du groupe de décomposition \(\Gamma_{\mathfrak{P}}\), et \(L_{0}\) n'est pas réel puisque la conjugaison complexe déplace \(\mathfrak{P}\). Soit \(K_{0} = L_{0} \cap K\). Le groupe \((\mathbb{Z}^{\mathcal{P}})'\) est celui des caractères du tore \[ G' = R_{K_{0}/\mathbb{Q}}\bigl( \operatorname{Ker}(N \colon R_{L_{0}/K_{0}}\mathbb{G}_{m} \to \mathbb{G}_{m}) \bigr), \qquad G'(\mathbb{Q}) = \operatorname{Ker}(N_{L_{0}/K_{0}} \colon L_{0}^{*} \to K_{0}^{*}) , \] et l'inclusion d'indice fini des groupes de caractères donne une isogénie \(\varphi \colon G' \to G^{0}\), par laquelle le cocaractère \(v_{\mathfrak{P}}\) se factorise. L'élément de Frobenius, corrigé pour tomber dans \(G^{0}\), ne se relève dans \(G'(\mathbb{Q})\) que si l'isogénie est un isomorphisme. Page 113, pour \(K_{0} = \mathbb{Q}\), il s'agit de trouver un corps quadratique imaginaire dont le groupe des classes n'est pas un \(2\)-groupe, la conjugaison y agissant par l'inverse ; la marge dit « demander à Serre ? », et la page s'arrête au premier tiers.

116–124

Foncteurs fibres réels et polarisations (pages 116 à 124)

Soit \(G\) le groupe d'une situation motivique, \(U = \operatorname{Ker}(\varepsilon |_{G^{0}})\), et \(j\) le cocaractère des poids, \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2}\). Comme \(\langle \varepsilon, j \rangle = 2\), le caractère \(\varepsilon\) de \(G^{0}\) est ou bien primitif, ou bien le carré d'un caractère \(\chi\) tel que \(\langle \chi, j \rangle = 1\) — un carré « normalisé ».

Proposition 1 (page 116). Conditions équivalentes : (i) \(U\) est un tore ; (ii) \(\varepsilon\) n'est pas un carré dans le groupe des caractères de \(G^{0}\) ; (iii) \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}\) admet un foncteur fibre, i.e. la gerbe \(\mathcal{G}_{\mathbb{R}}\) n'est pas vide. C'est toujours le cas si \(\mathcal{M}\) n'a que des degrés pairs, i.e. si \(j(-1) = 1\).

Proposition 2. Conditions équivalentes : (i) \(U \simeq U^{0} \times \mu_{2}\), \(U^{0}\) un tore ; (ii) \(\varepsilon\) est un carré normalisé ; (iii) \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}\) n'a pas de foncteur fibre.⁵⁴

Les démonstrations. Les caractères de \(U\) sont \(X(G^{0})/\mathbb{Z}\varepsilon\) ; ce groupe est sans torsion si \(\varepsilon\) est primitif, et de torsion \(\mathbb{Z}/2\), engendrée par \(\chi\) et scindée par \(x \mapsto \langle x, j \rangle \bmod 2\), si \(\varepsilon = \chi^{2}\) : d'où (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) dans les deux cas. (iii) \(\Rightarrow\) (ii) de la Proposition 1 : dans \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}\) muni d'un foncteur fibre, un objet de degré impair a un rang pair, comme le montre l'existence d'une forme alternée fondamentale, alors qu'un carré normalisé \(\varepsilon = \chi^{2}\) donnerait un objet de rang \(1\) et de degré \(\langle \chi, j \rangle = 1\). (i) \(\Rightarrow\) (iii) : l'obstruction vit dans \(H^{2}(\mathbb{R}, U)\), qui est nul pour un tore compact. En degrés pairs, \(j = 2j'\) et \(\varepsilon j' = \mathrm{id}\), d'où la dernière assertion de la Proposition 1, et le corollaire : pour \(\mathcal{M}\) quelconque, la sous-catégorie \(\mathcal{M}^{\mathrm{pair}}\) des degrés pairs, de groupe \(G/j(\mu_{2})\), admet un foncteur fibre réel.

Corollaire (page 118). Dans le cas de la Proposition 2, \(G^{0} \simeq U^{0} \times \mathbb{G}_{m}\) avec \(\chi = \mathrm{pr}_{2}\), donc \(\varepsilon = \mathrm{pr}_{2}^{2}\) ;⁵⁵ la structure tensorielle de \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}\) est connue par \(G\) et l'unique élément non nul de \(H^{2}(\mathbb{R}, U)\), qui vient de \(H^{2}(\mathbb{R}, \mu_{2})\), et il y a un objet de degré \(1\) et de rang \(2\) sur lequel \(U^{0}\) agit trivialement — le modèle est le \(h^{1}\) d'une courbe supersingulière. Dans le cas favorable \(\mathcal{G}_{\mathbb{R}} \neq \emptyset\), l'ensemble des classes de foncteurs fibres réels est un torseur sous \(H^{1}(\mathbb{R}, U) \simeq (\mathbb{Z}/2)^{\dim U}\), les points d'ordre \(2\) du tore compact. À chaque foncteur fibre réel correspond une « structure polarisante » sur \(G^{0}\), donnée par un homomorphisme \(i_{1}\) défini sur \(\mathbb{C}\) et soumis à deux conditions qu'il écrit, \(\varepsilon_{\mathbb{R}} i_{1} = \mathrm{id}\) et \(i_{1}\bar{\imath}_{1} = j_{\mathbb{R}}\) ; les structures polarisantes forment un torseur sous le même groupe, et l'application, compatible aux actions, est donc bijective : foncteurs fibres réels et polarisations « se déterminent mutuellement ».⁵⁶ Il demande si le groupe des automorphismes de \((G^{0}_{\mathbb{R}}, \varepsilon, j)\) opère transitivement sur les polarisations, ou si l'on peut en distinguer une.

Pour les motifs sur \(\mathbb{F}_{q}\), \(q = p^{n}\), il y a une classe distinguée : si \(G\) correspond à \(M \subset L^{*}\), \(L\) CM, et \(\mathfrak{P}\) est un premier de \(L\) au-dessus de \(p\), la forme \[ i^{*}(\lambda) = \tfrac{1}{n}\, v_{\mathfrak{P}}(\lambda) , \qquad v_{\mathfrak{P}}(p) = 1 , \] vérifie \(i^{*}(\lambda) + i^{*}(\bar{\lambda}) = \tfrac{1}{n} v_{\mathfrak{P}}(q^{j^{*}(\lambda)}) = j^{*}(\lambda)\) et \(i^{*}(q) = 1\), soit \(i + \bar{\imath} = j\) et \(\varepsilon i = \mathrm{id}\). Mais ses valeurs ne sont pas entières en général : c'est un cocaractère fractionnaire, un homomorphisme vers \(G\) du tore des pentes de caractères \(\mathbb{Q}\), non un homomorphisme \(\mathbb{G}_{m} \to G\).⁵⁷ Il propose de « normaliser » \(G_{\mathbb{C}}\) par ce choix, qui détermine la structure d'effectivité ; une marge suggère l'exemple \(L = \mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) de nombre de classes \(1\), \(p = 3, 7, 11\).

Les pages 122 et 124, très rapides, en tirent une « structure de positivité » sur \(G\) : les différences \(i - i'\) de ces cocaractères engendrent un sous-groupe d'indice fini de \(\operatorname{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, G^{0}_{\mathbb{C}})\), sans indication sur l'indice — « question semble sérieuse ». Sur un corps fini, la conjugaison complexe, centrale dans \(\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})\), induit sur \(G\) une involution canonique qui est la conjugaison sur les cocaractères ; mais il ne semble pas qu'elle se relève à la gerbe, à cause de la classe fondamentale dans \(H^{2}(\mathbb{Q}, U)\), et la page s'arrête au premier tiers.

127–132

VI. Le corps totalement réel maximal et le corps CM maximal (pages 127 à 132)

Six feuillets écrits posément, qui fondent ce que les pages 93 à 113 utilisaient sous le nom de \(\mathbb{Q}'\) et \(\mathbb{Q}'(i)\).

Définition et scholie. Une extension algébrique \(K\) de \(\mathbb{Q}\) est totalement réelle si tout plongement \(K \to \mathbb{C}\) tombe dans \(\mathbb{R}\) ; un élément est totalement réel (resp. totalement positif) si toutes ses images le sont. Un corps engendré par des sous-corps, ou des éléments, est totalement réel si et seulement s'ils le sont ; il y a donc un plus grand sous-corps totalement réel, et dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) un plus grand, \(\mathbb{K}\). Si \(\pi = \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) et \(\tau\) est la conjugaison complexe, le sous-groupe \(\pi'\) qui fixe \(\mathbb{K}\) est le sous-groupe distingué fermé engendré par les conjugués \(\sigma\tau \sigma^{-1}\) de \(\tau\) ; \(\mathbb{K}\) est galoisien sur \(\mathbb{Q}\).

Le groupe \(H = \pi'^{\mathrm{ab}}\) de l'extension abélienne maximale de \(\mathbb{K}\) est topologiquement engendré par les images des conjugués de \(\tau\), qui sont d'ordre \(2\) : il est annulé par \(2\). Pour une extension abélienne \(L \neq \mathbb{K}\) de \(\mathbb{K}\), sont équivalents : (i) les \(\sigma\tau \sigma^{-1}\) coïncident sur \(L\) ; (ii) \(L\) est quadratique sur \(\mathbb{K}\) et galoisienne sur \(\mathbb{Q}\) ; (iii) \(L\) est quadratique et totalement imaginaire sur \(\mathbb{K}\). Une telle \(L\) existe et est unique : c'est \(\mathbb{L} = \mathbb{K}(\sqrt{-1})\), le quotient de \(H\) par l'action de \(\operatorname{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{Q})\).

Corollaire (page 129). Un sous-corps \(L\) de \(\overline{\mathbb{Q}}\) est contenu dans \(\mathbb{L}\) si et seulement s'il est totalement réel ou extension quadratique totalement imaginaire d'un corps totalement réel — un corps CM.

Et \(\mathbb{L}\) est la plus grande extension galoisienne de \(\mathbb{Q}\) dans le groupe de laquelle l'image de \(\tau\) est centrale ; elle contient donc l'extension abélienne maximale de \(\mathbb{Q}\).⁵⁸

Proposition (page 130). Soient \(Q \in \mathbb{Q}^{*}\) et \(\lambda\) un nombre algébrique. Conditions équivalentes :

• (a)\(|\lambda_{\alpha}|^{2} = Q\) pour tout conjugué \(\lambda_{\alpha}\) ;
• (b)il existe un corps totalement réel \(K\) tel que \(K(\lambda)\) soit \(K\) ou une extension CM de \(K\), et \(\lambda\bar{\lambda} = Q\) ;
• (b\('\))de même avec \(K = \mathbb{Q}(a)\), \(a = \lambda + \bar{\lambda} = \lambda + Q/\lambda\) ;
• (b\(''\))\(\lambda\) est racine de \(T^{2} - aT + Q\) avec \(a\) totalement réel et \(4Q - a^{2}\) nul ou totalement positif ;
• (c)\(\lambda \in \mathbb{L}\) et \(\lambda\bar{\lambda} = Q\).

Le point décisif est (c) \(\Rightarrow\) (a) : si \(\lambda_{\alpha} = \sigma_{\alpha}(\lambda)\), alors, \(\tau\) étant central sur \(\mathbb{L}\), \(\bar{\lambda}_{\alpha} = \sigma_{\alpha}(\bar{\lambda})\) et \(\lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = \sigma_{\alpha}(Q) = Q\). Les autres implications se font par le trinôme : si \(|\lambda_{\alpha}|^{2} = Q\), les conjugués de \(a\) sont les \(\lambda_{\alpha} + \bar{\lambda}_{\alpha}\), réels, et le discriminant \(a_{\alpha}^{2} - 4Q\) est \(\leqslant 0\). (Toutes les conditions sont fausses si \(Q < 0\).) Un corollaire encadré — tout sous-corps de \(\mathbb{L}\) fini sur \(\mathbb{Q}\) serait engendré par un \(\lambda\) tel que \(\lambda\bar{\lambda} = Q\) — est barré, à raison (un corps totalement réel n'est pas engendré par un \(\pm\sqrt{Q}\)) ; la remarque qui suit en donne une forme juste et plus faible.

Remarque (page 131). Pour \(K\) totalement réel de degré fini et \(Q > 1\) rationnel, il existe une extension CM \(L\) de \(K\) et un \(i \geqslant 0\) tels que \(L = \mathbb{Q}(\lambda)\) avec \(\lambda\bar{\lambda} = Q^{i}\) : on prend \(K = \mathbb{Q}(a)\), \(i\) assez grand pour que \(4Q^{i} - a^{2}\) soit totalement positif, et \(\lambda\) racine de \(T^{2} - aT + Q^{i}\), entier si \(Q\) et \(a\) le sont. Alors \(\lambda' = \lambda^{1/i}\) est encore dans \(\mathbb{L}\) par (a) \(\Rightarrow\) (c), avec \(\lambda'\bar{\lambda}' = Q\), et \(\mathbb{Q}(\lambda')\) contient \(K\) : tout corps totalement réel est contenu dans le corps d'un \(Q\)-nombre de Weil de poids \(1\).⁵⁹

134–138

VII. Groupes de Galois motiviques commutatifs (pages 134 à 138)

Sous ce titre souligné, un dévissage. Soit \(k\) un corps, \(\mathcal{M}\) la catégorie des isomotifs semi-simples sur \(k\), \(G\) son lien, \(\mathcal{G}\) la gerbe de ses foncteurs fibres.⁶⁰ Trois sous-catégories donnent trois quotients.

La sous-catégorie \(\mathcal{M}_{0}\) engendrée par \(\mathbb{Q}(1)\) a pour lien \(\mathbb{G}_{m}\), d'où \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}_{0}\) et \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\) ; \(\mathcal{G}_{0}\) est neutre, et comme \(H^{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{G}_{m}) = 0\), deux foncteurs fibres sur \(\mathcal{M}_{0}\) sont isomorphes. Fixer l'un d'eux, \(\varphi\), et ne garder que les foncteurs fibres munis d'un isomorphisme de leur restriction avec lui donne une gerbe \(\mathcal{G}_{\varphi}\) de lien \(V = \operatorname{Ker}\varepsilon\) ; une marge demande de vérifier chez Giraud.

La sous-catégorie \(\mathcal{M}_{\mathrm{Art}}\) des motifs d'Artin — les \(M\) tels que les puissances tensorielles de \(M \oplus \check{M}\) n'aient qu'un nombre fini de constituants simples — est équivalente à une catégorie de \(\mathbb{Q}\)-espaces tordus par \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) ; son lien \(G'\) est le quotient de \(G\) par la composante neutre, \(1 \to G^{0} \to G \to G' \to 1\). Le choix d'une clôture \(\bar{k}\) y donne un foncteur fibre \(\psi\), d'où une gerbe \(\mathcal{G}_{\psi}\) de lien \(G^{0}\) ; comme en général \(H^{1}(\mathbb{Q}, G') \neq 1\), c'est un vrai choix.⁶¹

La sous-catégorie \(\mathcal{M}^{(0)}\) engendrée par les deux précédentes est formée des sommes finies \(\sum_{i} V_{i}(i)\), \(V_{i}\) d'Artin ; elle a le foncteur fibre \(\sum V_{i}(i) \mapsto \sum V_{i}(\bar{k})\) et le lien \(G^{(0)} \simeq G' \times \mathbb{G}_{m}\), d'où une gerbe \(\mathcal{G}_{\chi}\) de lien \(U = \operatorname{Ker}(G \to G^{(0)}) = V \cap G^{0}\). La page 138, un feuillet déchiré écrit en travers, dessine les carrés :

\begin{tikzcd}
\mathcal{G}_{\chi} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{G}_{\psi} \arrow[d] \\
\mathcal{G}_{\varphi} \arrow[r] & \mathcal{G}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
U \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & G^{0} \arrow[d, hook] & \\
V \arrow[r, hook] & G \arrow[r, "\varepsilon"] \arrow[d] & \mathbb{G}_{m} \\
 & G' &
\end{tikzcd}

et leur comportement par extension algébrique \(k'/k\) : le lien \(G_{k'}\) de \(\mathcal{M}_{k'}\) s'injecte dans \(G\), avec un isomorphisme sur les composantes neutres, \(U_{k'} \simeq U\), \(G^{0}_{k'} \simeq G^{0}\), et des morphismes de gerbes \(\mathcal{G}_{\chi, k'} \to \mathcal{G}_{\chi}\), \(\mathcal{G}_{\psi, k'} \to \mathcal{G}_{\psi}\).⁶²

139–154

VIII. Motifs essentiellement abéliens et théorie du corps de classes (pages 139 à 154)

Une couverture orange (page 139) porte ce titre. Suivent un paragraphe 1, entouré, sur des tores attachés aux corps de nombres, et un paragraphe 2 sur les structures de multiplication complexe. La notation \(T_{\mathfrak{m}} = T/\overline{E}_{\mathfrak{m}}\) qu'il emploie est celle de Serre, Abelian \(\ell\)-adic representations (1968), ce qui laisse penser que ces pages lui sont postérieures.

140–144

§ 1. Les tores \(T_{K}\), \(V_{K}\) et le tore de Serre (pages 140 à 144)

Pour \(K\) fini sur \(\mathbb{Q}\), soient \(T_{K} = R_{K/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_{m}\) et \(V_{K} = \operatorname{Ker}(N_{K/\mathbb{Q}} \colon T_{K} \to \mathbb{G}_{m})\). Les unités \(E_{K}\) de norme \(1\), \(E_{1} = E_{K} \cap V_{K}(\mathbb{Q})\), sont d'indice \(1\) ou \(2\) dans \(E_{K}\).

Proposition (page 140). Soit \(V'_{K} = V_{K}/R\) un quotient de \(V_{K}\). Conditions équivalentes :

• (i)l'image de \(E_{1}\) dans \(V'_{K}(\mathbb{Q})\) est finie ;
• (ii)il existe un module \(\mathfrak{m}\) de \(K\) tel que \(T_{K} \to T_{\mathfrak{m}} = T_{K}/\overline{E}_{\mathfrak{m}}\) tue \(R\), où \(\overline{E}_{\mathfrak{m}}\) est l'adhérence de Zariski du groupe des unités congrues à \(1\) modulo \(\mathfrak{m}\) ;
• (iii)\((V'_{K})_{\mathbb{R}}\) est un tore compact ;
• (iv)si \(L\) est le plus grand sous-corps weilien de \(K\) et \(L_{0} = L \cap \mathbb{R}\), \(R\) contient le noyau de \(V_{K} \xrightarrow{N_{K/L}} V_{L} \to V_{L}/\operatorname{Im} V_{L_{0}}\) : \(V'_{K}\) est un quotient de \(V_{L}/V_{L_{0}}\).

(i) \(\Leftrightarrow\) (ii) : tout sous-groupe d'indice fini des unités contient un groupe de congruence \(E_{\mathfrak{m}}\) — c'est le théorème de Chevalley (1951) qu'il invoque. (i) \(\Rightarrow\) (iii) : \(E_{1}\) est un sous-groupe discret de rang \(r_{1} + r_{2} - 1\), cocompact dans \(V_{K}(\mathbb{R})\), qui est \(\mathbb{R}_{>0}^{\,r_{1} + r_{2} - 1}\) fois un groupe compact ; si l'image de \(E_{1}\) est finie, le quotient \(V'(\mathbb{R})\) est compact. (iii) \(\Rightarrow\) (iv) se lit sur les caractères : ceux de \(T_{K}\) forment \(\mathbb{Z}[I_{K}]\), où \(I_{K} = G/Q\) est l'ensemble des plongements de \(K\), pour \(G\) le groupe de Galois d'une clôture galoisienne \(\widetilde{K}\) ; ceux de \(V'\) forment un sous-module \(N\) sur lequel \(\tau\) agit par \(-1\) modulo les constantes ; tous les conjugués de \(\tau\) y agissent donc de la même façon, le sous-groupe distingué \(P\) de \(G\) engendré par les \(\tau \cdot \sigma\tau\sigma^{-1}\) y agit trivialement, et \(N \subset \mathbb{Z}[I_{K}]^{P} = \mathbb{Z}[P\backslash I_{K}] = \mathbb{Z}[I_{L}]\), où \(L = K \cap K'\), \(K'\) étant le corps fixe de \(P\) — le plus grand sous-corps weilien de \(\widetilde{K}\). (iv) \(\Rightarrow\) (ii) vient de ce que \(N_{K/L}\) envoie unités sur unités et du corollaire 1.⁶³

Corollaire 1 (page 141). Si \(K\) est weilien et \(K_{0} = K \cap \mathbb{R}\), le tore \(V_{K}/V_{K_{0}} \simeq T_{K}/T_{K_{0}}\) est compact — sur \(\mathbb{R}\) c'est un produit de cercles —, \(V_{K_{0}}\), déployé sur \(\mathbb{R}\), n'a pas de quotient compact non trivial, et les unités de \(K_{0}\) sont d'indice fini dans celles de \(K\), les rangs étant tous deux \(r - 1\) pour \([K_{0} : \mathbb{Q}] = r\).⁶⁴

Corollaire 2 (page 143). Parmi les quotients satisfaisant la proposition, il y en a un maximal, \(V_{K}^{\mathrm{cpt}}\) : \(N_{K/L}\) induit \(V_{K}^{\mathrm{cpt}} \simeq V_{L}/V_{L_{0}}\), et le \(R\) minimal est \(\operatorname{Ker}(N_{K/L}) \cdot V_{L_{0}}\) — ce qu'on vérifie parce que \(N_{K/L}(\lambda) = \lambda^{[K:L]}\) sur \(L\) et que l'élévation à une puissance est un épimorphisme du tore \(V_{L_{0}}\).

Il pose alors \(S^{\circ}_{K} = T_{K}/R\), \(R\) minimal, d'où une suite exacte \[ 1 \longrightarrow V_{K}^{\mathrm{cpt}} \longrightarrow S^{\circ}_{K} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{G}_{m} \longrightarrow 1 \] quotient de \(1 \to V_{K} \to T_{K} \to \mathbb{G}_{m} \to 1\). C'est le tore de Serre de \(K\).⁶⁵ Il est contravariant en \(K\) par les normes, covariant par les inclusions \(i_{K/K'}\), mais celles-ci multiplient \(\varepsilon\) par \([K' : K]\) :

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & V_{K}^{\mathrm{cpt}} \arrow[r] \arrow[d] & S^{\circ}_{K} \arrow[r, "\varepsilon"] \arrow[d, "i_{K/K'}"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] \arrow[d, "\lambda \mapsto \lambda^{r}"] & 1 \\
1 \arrow[r] & V_{K'}^{\mathrm{cpt}} \arrow[r] & S^{\circ}_{K'} \arrow[r, "\varepsilon"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

Corollaire 3. Le système projectif des \(S^{\circ}_{K}\) équivaut à celui des \(T_{K}/V_{K_{0}}\) pour \(K\) weilien galoisien.

Corollaire 4. Il existe un unique homomorphisme \(i \colon \mathbb{G}_{m} \to S^{\circ}_{K}\) tel que \(\varepsilon i(\lambda) = \lambda^{2}\) : unique parce que \(\operatorname{Ker}\varepsilon\) est compact, donc sans cocaractère non trivial ; pour l'existence, si \(K\) est réel on prend \(\lambda \mapsto \lambda^{2}\), sinon l'inclusion \(S^{\circ}_{K_{0}} = \mathbb{G}_{m} \to S^{\circ}_{K}\), avec \(r = 2\).

146–151

§ 2. Structures CM et normes réflexes (pages 146 à 151)

Soient \(E\), \(K\) deux extensions de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathfrak{A}\) un idéal de \(E \otimes_{\mathbb{Q}} K\). Il définit une structure CM sur \(E\) relative à \(K\) si l'ensemble \(\Sigma\) qu'il découpe dans \(\operatorname{Hom}(E, \overline{K})\) vérifie \(\tau\Sigma = \operatorname{Hom}(E, \overline{K}) - \Sigma\) pour toute conjugaison complexe \(\tau\). Le corps de définition \(K_{0} \subset K\) de l'idéal est alors weilien et non réel. En termes galoisiens, \(E\) et \(K\) correspondent à des ensembles homogènes \(I_{E}\), \(I_{K}\) sous \(G = \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\), et \(\Sigma\) est une partie de \(I_{E} \times I_{K}\) stable par \(G\) telle que \((\tau \times 1)\Sigma\) soit son complémentaire ; comme \((\tau \times \tau)\Sigma = \Sigma\), cela équivaut à la même condition pour \((1 \times \tau)\) : la condition est symétrique en \(E\) et \(K\).⁶⁶

Il y a un plus petit couple \((E_{0}, K_{0})\) d'où \(\mathfrak{A}\) provient, formé de corps weiliens, et si \([E_{0} : \mathbb{Q}] = 2d\) alors \([K_{0} : \mathbb{Q}] \leqslant \binom{2d}{d}\).⁶⁷ Un bimodule \(t\) de type CM sur \((E, K)\) — un \(E \otimes K\)-module monogène dont l'annulateur est de type CM — définit \[ \Psi_{\Sigma} \colon T_{K} \longrightarrow T_{E}, \qquad \Psi_{\Sigma}(x) = \det\nolimits_{E}(x \mid t) = N_{E \otimes K/E}(x^{1_{\Sigma}}) , \] compatible aux normes en \(K\) et aux inclusions en \(E\). C'est la norme réflexe. Sur les caractères, \(\Psi_{\Sigma}\) est donné par la matrice \(1_{\Sigma}\) sur \(I_{E} \times I_{K}\), de sorte que \(\Sigma\) et \(\Psi_{\Sigma}\) se déterminent l'un l'autre. Réduit à \(E = E_{0}\), \(K = K_{0}\) weilien de degré \(2d'\), \(\Sigma\) est un ensemble \(\{\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{d'}\}\) de plongements \(K \to \overline{E}\) qui, avec leurs conjugués, les épuisent, et \[ \Psi_{\Sigma}(x) = \sigma_{1}(x) \cdots \sigma_{d'}(x) , \qquad \Psi_{\Sigma}|_{T_{K_{r}}} = N_{K_{r}/\mathbb{Q}} , \] où \(K_{r}\) est le sous-corps réel ; \(\Psi_{\Sigma}\) tue donc \(V_{K_{r}}\) et se factorise par \(S^{\circ}_{K}\). De plus \(\Psi_{\Sigma} \circ i_{K} = i_{E/\mathbb{Q}}\), puisque les deux membres élevés à la puissance \(d'\) coïncident sur \(\mathbb{Q}^{*}\).

Question (page 150) : les \(\Psi_{\Sigma}\), \(\Sigma\) parcourant les structures CM de \(K\), forment-ils une famille fidèle sur \(S^{\circ}_{K}\) ? La réponse, écrite aussitôt, est oui : si \(\Sigma_{i}\) se déduit de \(\Sigma\) en remplaçant \(\sigma_{i}\) par \(\bar{\sigma}_{i}\) et si \(\Psi_{\Sigma}(x) = \Psi_{\Sigma_{i}}(x) = 1\) pour tout \(i\), alors \(\sigma_{i}(x) = \bar{\sigma}_{i}(x)\), donc \(x \in K_{r}\) et \(N_{K_{r}/\mathbb{Q}}(x) = 1\), et l'argument vaut sur toute \(\mathbb{Q}\)-algèbre : \[ \operatorname{Ker}\Psi_{\Sigma} \cap \bigcap_{i} \operatorname{Ker}\Psi_{\Sigma_{i}} = 1 \quad \text{dans } S^{\circ}_{K} . \] Une seconde question demande si les \(E\) quadratiques suffisent, les \(\Psi\) correspondants étant les normes \(N_{K/E}\) vers les sous-corps quadratiques imaginaires ; la fin, très rapide, semble répondre que non, un corps de groupe \((\mathbb{Z}/2)^{N}\) ayant un tore dans le noyau de toutes ces normes.

153–154

Un calcul de \(H^{1}(\mathbb{Q}, T)\) (page 153)

Soit \(K\) un corps CM galoisien de groupe \(G\), \(\rho\) la conjugaison complexe, et \(M\) le \(G\)-module des \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}\) tels que \(\varphi(\rho \sigma) = -\varphi(\sigma)\), qui définit un tore \(T\) sur \(\mathbb{Q}\) — le tore \(T_{K}/T_{K_{0}}\), isomorphe au tore des éléments de norme \(1\) de \(K/K_{0}\) par \(x \mapsto x/\bar{x}\). Le sous-groupe \(H^{1}(\mathbb{Q}, T)'\) des classes nulles en toute place finie s'insère dans une suite exacte à groupes de Tate, d'où \[ H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \simeq \Bigl\{ (a_{v}) \in \mathbb{F}_{2}^{\, \{v \mid \infty\}} \ :\ \sum_{v} a_{v} = 0 \Bigr\} , \] les combinaisons à coefficients dans \(\mathbb{F}_{2}\) des places à l'infini, de somme nulle.⁶⁸

La page 154, isolée et barrée au crayon, appartient à un autre texte : des familles épimorphiques, effectives ou strictes, dans une catégorie, une Proposition 0 sur leur stabilité, et une Proposition 1 selon laquelle un ensemble d'objets est générateur (resp. générateur strict) si et seulement si le morphisme canonique \(\varinjlim_{T \in \mathcal{G}/X} T \to X\) est épimorphique (resp. un isomorphisme) ; la démonstration s'interrompt.

156–164

IX. Corps de classes commutatif et motifs métabéliens (pages 156 à 164)

La couverture brune de la page 156 porte, de sa main : « Corps de classes commutatif \(=\) Motifs à groupe fondamental motivique [connexe] commutatif (\(=\) Motifs métabéliens) ». C'est un programme, et les deux feuillets qui suivent, d'une encre noire sur papier jauni, en sont l'ébauche.⁶⁹

158–160

Le groupe de classes et le schéma \(G^{\circ}\) (pages 158 et 160)

Soit \(K\) un corps de nombres, \(A\) son anneau des entiers, \(\underline{A}^{*}\) le schéma en groupes des unités sur \(\mathbb{Z}\), \(E = \underline{A}^{*}(\mathbb{Z})\) les unités et \(E^{\circ}\) les unités totalement positives, d'indice \(2^{\alpha}\), \(\alpha \leqslant r_{1}\), égal à \(E\) si \(K\) est totalement imaginaire. Le groupe de Galois abélianisé de \(K\) est une extension du groupe des classes au sens restreint par \(\underline{A}^{*}(\widehat{\mathbb{Z}})/\overline{E^{\circ}}\) — ou, ce qui revient au même, du groupe des classes par le quotient de \(\underline{A}^{*}(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \pi_{0}(K_{\infty}^{*})\) par l'adhérence de \(E\).⁷⁰ Le schéma en groupes connexe sur \(\mathbb{Z}\) que la classification des motifs abéliens associe à \(K\) « semble être » \[ G^{\circ} = \underline{A}^{*}/\mathfrak{N} , \] où \(\mathfrak{N}\) est l'adhérence schématique de \(E^{\circ}\) : sur \(\mathbb{Q}\), c'est le quotient de \(T_{K}\) par l'adhérence de Zariski des unités, le tore de Serre \(S^{\circ}_{K}\) de la page 143, dont ceci est un modèle entier.⁷¹ Page 160, une extension canonique \(0 \to G^{\circ} \to G \to \gamma \to 0\) par un groupe fini de classes — c'est la forme du groupe \(S_{\mathfrak{m}}\) de Serre —, puis, à toute place \(\xi\) de \(K\), des foncteurs \[ \text{motifs abéliens} \longrightarrow \bigl(\mathbb{Q}\text{-espaces avec action de } G\bigr) \xrightarrow{\ \Phi_{\xi}\ } \text{structures de Hodge} , \] plus une structure réelle si la place est réelle. Ainsi toute représentation de \(G\), et même de \(G^{\circ}\) — c'est-à-dire de \(\underline{K}^{*}\), triviale sur les unités —, reçoit en chaque place, une place du « corps de classes absolu » \(\widetilde{K}\) étant choisie, une structure de Hodge sur \(V \otimes \mathbb{C}\).⁷²

162–164

Les réalisations de Hodge aux diverses places (pages 162 et 164)

« Si \(\bar{\xi}\) est réelle, on a une structure de Hodge à involution. Comment se relient ces structures de Hodge ?? » Les motifs sur \(\widetilde{K}\) provenant de \(K\) ont, pour deux plongements \(\tilde{\xi}\), \(\xi'\), deux foncteurs fibres vers les \(G^{0}\)-modules, suivis du foncteur vers les structures de Hodge. Pour \(V\) un \(G^{0}\)-module de poids \(p\), un plongement \(\xi\) définit un sous-espace \(H_{\xi}(V) \subset V_{\mathbb{C}}\) sur \(\overline{K}\), filtré, qui fait de \(V\) une structure de Hodge dont le groupe de Mumford–Tate est l'image de \(G^{0}\).⁷³ Si \(\xi\) est réelle, l'élément \(\mathrm{Frob}_{\xi} \in G(\mathbb{Q})\) — le Frobenius réel — donne une involution de \(V\) qui se prolonge en une involution semi-linéaire de \(V \otimes \overline{K}_{\xi}\), triviale sur \(H_{\xi}(V)\), et compatible avec la structure de Hodge. La question de la page 162 reste sans réponse.

167–169

X. « Unités », et un plan (pages 167 et 169)

La page 167, sur papier quadrillé, est d'une écriture ronde et appliquée qui n'est pas la sienne. Elle démontre que, pour un corps de nombres \(K \subset \mathbb{C}\), toute unité a une puissance réelle si et seulement si \(K \subset \mathbb{R}\) ou \(K\) est un corps CM. Si \(K' = K \cap \mathbb{R}\) et \([K : K'] = p' \geqslant 2\), la condition égale les rangs des unités, \(r_{1} + r_{2} = r'_{1} + r'_{2}\), tandis que \(r_{1} + 2r_{2} = p'(r'_{1} + 2r'_{2})\) ; d'où \(r_{1} + 2r'_{2} \leqslant 0\), donc \(r_{1} = r'_{2} = 0\), puis \(p' = 2\) : \(K'\) est totalement réel et \(K\) totalement imaginaire quadratique sur lui. Exemple : \(\mathbb{Q}(\zeta_{m})\).⁷⁴

La page 169, « Foncteurs fibres motiviques, et groupes fondamentaux motiviques », est un plan « à examiner », en dix points : 0) les variétés abéliennes à la Weil associées aux motifs purs de poids impair, et les conditions de Hodge–Riemann ; 1) l'extension de groupes définie par des points motiviques, et le groupe fondamental motivique ; 2) les relations avec le corps de classes ; 3) le spectre d'un corps fini, et les points motiviques à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ; 4) le rôle des groupes fondamentaux motiviques dans la comparaison des réseaux canoniques — deux réseaux transcendants en deux places, réseau transcendant et réseau de Hodge, deux réseaux \(\ell\)-adiques ; 5) les relations avec « mes » notes anciennes ; 6) la fonction \(L\) et son équation fonctionnelle ; 7) les structures positives ; 8) la topologie à coefficients dans \(\mathbb{Z}\) ; 9) l'hypothèse de Riemann. Les points 1, 3 et 7 portent « OK » en marge, 1 et 4 un astérisque ; les pages 83 à 124, 156 à 164 et 188 à 226 répondent en partie à 1 à 4 et à 7. Une dernière ligne propose d'obtenir la positivité à la Hodge en se ramenant aux diviseurs, par récurrence.

171–178

XI. Cohomologie absolue des motifs de Tate \(\mathbb{Z}(n)\) (pages 171 à 178)

Le titre est sur une couverture (page 171), répété au crayon, peut-être d'une autre main, sur la page 179. On note \(\mathbb{H}^{i}\) la cohomologie « absolue » — les \(\operatorname{Ext}\) dans une catégorie de motifs — comme la page 172, et \(H^{i}\) la cohomologie étale.

172–174

Sur un corps fini, et sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) (pages 172 à 174)

Pour \(k = \mathbb{F}_{q}\), \(\pi = \widehat{\mathbb{Z}}\) engendré par le Frobenius \(f\), et \(M\) un \(\mathbb{Z}_{\ell}\)-module de type fini à action continue, \(H^{0}(\pi, M) = \operatorname{Ker}(1 - f)\), \(H^{1}(\pi, M) = M/(1 - f)M\), \(H^{i} = 0\) pour \(i \geqslant 2\). D'où, pour \(n \neq 0\), \(H^{0}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) = 0\) et \[ H^{1}(\pi, \mathbb{Z}_{\ell}(n)) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}/(1 - q^{n}) , \] nul si \(\ell \nmid 1 - q^{n}\), c'est-à-dire si \(n\) n'est pas multiple de l'ordre de \(q\) modulo \(\ell\) (\(\ell\) impair) ; à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\), tout s'annule pour \(n \neq 0\), et \(H^{0} = H^{1} = \mathbb{Q}_{\ell}\) pour \(n = 0\). Il en infère les valeurs absolues : \[ \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \mathbb{Z}) = \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}, \qquad \mathbb{H}^{0}(\mathbb{F}_{q}, \mathbb{Z}(n)) = 0, \quad \mathbb{H}^{1}(\mathbb{F}_{q}, \mathbb{Z}(n)) = \mathbb{Z}/(1 - q^{n}) \quad (n \neq 0), \] « modulo \(p\)-groupes ? », et à coefficients \(\mathbb{Q}\) tout est nul pour \(n \neq 0\).⁷⁵ Puis, sur \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), \[ \mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}(1)) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i = 3 \\ 0 & i \neq 3 \end{cases} , \qquad \mathbb{H}^{i}(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i = 0 \\ 0 & i \neq 0 \end{cases} , \] énoncés sans démonstration, et, pour \(U\) ouvert de \(X\), \(\mathbb{H}^{i}(X, \mathbb{Q}(n)) \simeq \mathbb{H}^{i}(U, \mathbb{Q}(n))\) pour \(n \neq 1\).⁷⁶

Page 173 : la suite de localisation, pour \(S = X - U\) fini, \[ \cdots \to H^{i-2}(S, i^{*}M(-1)) \to H^{i}(X, M) \to H^{i}(U, M) \to H^{i-1}(S, i^{*}M(-1)) \to \cdots , \] qu'il suppose, pour \(M = \mathbb{Q}(1)\), réduite à \[ 0 \to H^{1}(X) \to H^{1}(U) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{2}(X) \to H^{2}(U) \to \mathbb{Q}^{S} \to H^{3}(X) \to H^{3}(U) \to 0 , \] les termes en degré \(\geqslant 4\) étant nuls et \(H^{3}(U, \mathbb{Q}(1))\) supposé nul (« \(0\) ? »). Avec \(H^{1}(U, \mathbb{Q}(1)) = \mathcal{O}(U)^{*} \otimes \mathbb{Q} \simeq \mathbb{Q}^{S}\), envoyé isomorphiquement par les valuations, et \(\operatorname{Pic} \otimes \mathbb{Q} = 0\), il trouve \[ H^{i}(X, \mathbb{Q}(1)) = 0 \ (i \neq 3), \qquad H^{3}(X, \mathbb{Q}(1)) = \mathbb{Q} , \] « où on trouve \(\mathbb{Q}\) ! ». C'est l'analogue rationnel du \(H^{3}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m}) = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) de la dualité d'Artin–Verdier, que les pages 176 et 177 recalculent.⁷⁷ La page 174, barrée, calcule la cohomologie de \(\widehat{\mathbb{Z}}\) par les homomorphismes croisés, \(H^{1}(\mathbb{Z}, M) = M/(1 - f)M\).

175–178

La dualité d'Artin–Verdier recalculée, et le groupe de Brauer (pages 175 à 178)

Pages 176 et 177, sur \(\overline{X}\) — \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) avec sa place à l'infini, au sens d'Artin et Verdier — et \(\overline{U} = \overline{X} - S\) : la cohomologie locale \(\mathcal{H}^{1}_{x}(\mathbb{G}_{m}) = \mathbb{Z}_{x}\), nulle en d'autres degrés, donne \(H^{i}_{S}(X, \mathbb{G}_{m}) = H^{i-1}(S, \mathbb{Z})\), et la suite de localisation avec \[ H^{0}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m}) = \{\pm 1\}, \quad H^{1} = H^{2} = 0, \quad H^{3}(\overline{X}, \mathbb{G}_{m}) = \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \] fournit \(H^{0}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) = \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}^{S}\), \(H^{1} = 0\), \(H^{2}(\overline{U}, \mathbb{G}_{m}) = \operatorname{Ker}((\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{S} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), \(H^{i} = 0\) pour \(i \geqslant 3\) ; puis, par la suite de Kummer (\(\ell \in S\), \(\ell\) impair, « petite modification pour \(\ell = 2\) »), \(H^{1}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) \simeq (\mathbb{Z}/\ell^{n})^{S}\) et \(H^{2}(\overline{U}, \mu_{\ell^{n}}) \simeq \operatorname{Ker} ((\mathbb{Z}/\ell^{n})^{S} \to \mathbb{Z}/\ell^{n})\), enfin \(H^{1}(U, \mathbb{Z}_{\ell}(1)) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}^{S}\) et \(H^{2} = \operatorname{Ker}(\mathbb{Z}_{\ell}^{S} \to \mathbb{Z}_{\ell})\). Ces valeurs sont celles de la dualité d'Artin–Verdier et du corps de classes, et il conclut de nouveau \(H^{i}(X, \mathbb{Q}(1)) = 0, 0, 0, \mathbb{Q}\) pour \(i = 0, 1, 2, 3\).

Les pages 178 et 175, dans cet ordre selon leur numérotation, sont deux feuillets d'une rédaction sur le groupe de Brauer, en paragraphe 5. Pour \(X\) irréductible de point générique \(y\), on a la suite exacte (5.1) \[ 0 \to \mathbb{G}_{m,X} \to R^{*}_{X} \to \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X} \to 0 , \] où \(R^{*}_{X}\) est le faisceau des fonctions rationnelles inversibles et \(\mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}\) celui des diviseurs de Cartier, d'où, les \(H^{p}(X, R^{*}_{X})\) étant de torsion pour \(p > 0\), des bijections \(H^{i}(X, \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}) \to H^{i+1}(X, \mathbb{G}_{m})\) modulo torsion pour \(i \geqslant 1\).⁷⁸ Si les anneaux locaux stricts de \(X\) sont factoriels, \(\mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}\) est la somme des \(\mathbb{Z}\) portés par les points de codimension \(1\) — la page 178 s'arrête sur les deux-points qui devaient l'écrire —, et \(H^{1}(X, \mathcal{D}\mathrm{iv}_{X}) = 0\).

Proposition 5.4. Sous ces hypothèses, les homomorphismes \(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m}) \to H^{2}(X, R^{*}_{X}) \to H^{2}(y, \mathbb{G}_{m}) = \operatorname{Br}(y)\) sont injectifs.

Corollaire 5.5. \(\operatorname{Br}(X) \to \operatorname{Br}(y)\) est injectif : \(\operatorname{Br}(X)\) est un sous-groupe du groupe de Brauer du corps des fonctions.

Théorème 5.6 a). Si \(X\) est local, \(\xi \in H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})\) est dans \(\operatorname{Br}(X)\) si et seulement s'il est tué par un morphisme fini étale surjectif \(X' \to X\).

La page s'arrête sur cet énoncé.⁷⁹

181–186

XII. La distribution des Frobenius dans les groupes de Galois motiviques (pages 181 à 186)

Sous le titre de la couverture (page 181), « Généralités fonctorielles-catégoriques sur la distribution des Frobenius dans les gpes de Galois motiviques », un brouillon rapide dont la prose de liaison est en grande partie illisible ; les formules portent.

Soit \(M\) une catégorie de motifs géométriques de type fini sur un préschéma \(S\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), qu'on suppose à degrés pairs — sinon on passe à \(M^{(\mathrm{pair})}\), comme le permet le corollaire de la page 116. Il faut « démultiplier » les points fermés : on considère les couples \(s' = (s, i)\), où \(i \colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G(s)_{\mathbb{C}}\) est un cocaractère du groupe de Galois motivique de la fibre \(M_{s}\) — ce sont les « \(\mathbb{R}\)-points motiviques ». Chacun définit une classe \[ c(s') \in H^{1}(\mathbb{R}, G^{0u}_{\mathbb{R}}), \qquad G^{0u} = \operatorname{Ker}(\varepsilon \colon G^{0}_{\mathbb{R}} \to \mathbb{G}_{m}) , \] et un homomorphisme \(u(s') \colon G(s)_{\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}}^{c(s')}\) vers la forme tordue par \(c(s')\), compatible avec \(\varepsilon\) et \(i\), déterminé à un élément de \(G^{0u}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})\) près.⁸⁰ Il y a d'autre part sur \(G^{0}_{\mathbb{R}}\) une « \(\pi\)-structure » privilégiée, donnée par un homomorphisme \(\mu_{2,\mathbb{C}} \to G^{0}_{\mathbb{C}}\), et la restriction de \(i(s')\) à \(\mu_{2}\), transportée par \(u(s')\), doit la redonner : c'est une condition non tautologique sur \(u(s')\). Sous les conjectures de Tate, ajoute-t-il, la connaissance des \(u(s')\) équivaut à celle de la structure d'effectivité sur les \(G_{\mathbb{R}}\)-modules ; et les Frobenius \[ f(s') \in G_{\mathbb{R}}^{c(s')}(\mathbb{R}) \] ont pour valeurs propres, dans toute représentation, des entiers algébriques — « une condition arithmétique assez draconienne ! ». La page s'arrête au premier tiers.⁸¹

188–210

XIII. Foncteurs fibres motiviques et groupe fondamental motivique (pages 188 à 210)

Deux couvertures : une fiche au crayon, « Théorie de Galois des Motifs / Généralités » (page 188), et « Foncteurs fibres motiviques et gp fondamental motivique » (page 189). La rédaction qui suit est d'une main posée.

Le cadre, jamais écrit en entier : pour un préschéma connexe \(X\), la catégorie des motifs sur \(X\) est filtrée par des sous-catégories de type fini \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\), et le « pro-torseur fondamental » \((T_{\alpha})\) associe à un anneau \(k\) l'ensemble \(T_{\alpha}(k)\) des foncteurs fibres de \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) à valeurs dans les \(k\)-modules — un torseur sous le groupe fondamental motivique. Parler de \(T_{\alpha}(\mathbb{Z})\) suppose des motifs à coefficients entiers, qui sont conjecturaux.

190–192

En caractéristique \(p\) : les points canoniques (pages 190 et 192)

Si \(X_{\mathrm{réd}}\) est de caractéristique \(p > 0\), les \(T_{\alpha}\) n'ont pas de sections en général ; on dispose seulement, canoniquement,

• (i)de \(\xi_{\ell}^{(\alpha)} \in T_{\alpha}(\mathbb{Z}_{\ell})\) pour \(\ell \neq p\), la cohomologie \(\ell\)-adique, provenant sans doute d'un point à valeurs dans le hensélisé \(\mathbb{Z}_{(\ell)}^{h}\) ;
• (ii)de \(\xi_{p}^{(\alpha)} \in T_{\alpha}(W(k))\) pour \(k\) parfait, la cohomologie cristalline, avec la structure supplémentaire des opérations \(F\) et \(V\), semi-linéaires, \(FV = p\) ;
• (iii)de sa réduction \(\xi_{p}^{(\alpha)0} \in T_{\alpha}(k)\), la cohomologie de De Rham–Hodge, avec sa filtration.

Pour \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{q}\), il y a en général des obstructions non triviales dans \(H^{2}(\mathbb{Q}, G)\) — c'est la classe \(\xi\) des pages 6 à 10. En imposant aux foncteurs fibres d'induire le foncteur canonique sur les motifs effectifs de poids \(0\), les points de \(T_{\alpha}(\mathbb{Z}_{\ell})\) sont sans doute uniques à isomorphisme près, par le théorème de Lang, de même ceux de \(T_{\alpha}(W(k))\) pour \(k\) fini ; en général \(T_{\alpha}(k)\) aura plusieurs classes, mais peut-être \(T_{\infty}(k) = \varprojlim T_{\alpha}(k)\) n'en a-t-il qu'une, celle de De Rham–Hodge — « cf. Manin ».⁸²

Page 192 : les \(\xi_{\ell}\) dépendent du choix d'un point géométrique, à isomorphisme unique près, et \(\pi_{1}(X)\) opère sur eux ; les \(\xi_{p}\) dépendent du choix d'un point à valeurs dans un corps parfait, \(\pi_{1}(X)\) n'opère plus, mais les automorphismes de \(k\) au-dessus de \(k(x)\) agissent semi-linéairement, et transforment en général \(\xi_{x,p}\) en un \(\xi_{x,p}^{\sigma}\) non isomorphe. Notations : \(\xi_{\bar{x},\ell}\), \(\xi_{x,\ell}\) ; \(\xi_{x,p}\), \(\xi_{x,p}^{0}\).

194–200

Sur une base qui domine \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) (pages 194 à 200)

Si \(X\) a des points de caractéristique nulle, on a : (i) les \(\xi_{\ell}\) pour tout \(\ell\), à l'action de \(\pi_{1}\) près ; (ii) les \(\xi_{x,p}\), \(\xi_{x,p}^{0}\) aux points de caractéristique \(p\), et il conjecture une relation entre \(\xi_{y,p}\), en un point \(y\) de caractéristique \(p\), et \(\xi_{x,p} \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W(k)\), en un point \(x\) de caractéristique nulle — « ils ne sont en général pas isomorphes, sans doute » ;⁸³ (iii) en un point \(x\) à valeurs dans un corps \(k\) de caractéristique nulle, \(\xi_{x,\infty} \in T_{\alpha}(k)\), la cohomologie de De Rham, avec ses deux filtrations.⁸⁴ Il n'y a pas lieu de penser que deux tels foncteurs, en deux points à valeurs dans le même \(k\), soient isomorphes. Pour \(k = \mathbb{Q}\), \(\xi_{x,\infty}\) trivialise \(T_{\mathbb{Q}}\) ; il n'y a pas d'isomorphisme privilégié entre \(\xi_{x,\infty} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) et \(\xi_{\bar{x},\ell} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\), de sorte que tout point rationnel définit une classe dans \(H^{1}(\mathbb{Q}_{\ell}, G_{\ell}^{(\alpha)})\) — celle du torseur des isomorphismes entre les deux.

(iv) En un point complexe \(x\), on a \(\xi_{x,\mathbb{Z}} \in T_{\alpha}(\mathbb{Z})\), le réseau entier de la cohomologie de Betti, avec des isomorphismes canoniques \[ \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes \mathbb{Z}_{\ell} \simeq \xi_{x,\ell}, \qquad \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes \mathbb{C} \simeq \xi_{x,\infty} , \] les théorèmes de comparaison d'Artin et de De Rham, et un isomorphisme « involutif » \(\xi_{x,\mathbb{Z}} \simeq \xi_{\tau x,\mathbb{Z}}\) avec le point conjugué. Si \(x\) est localisé en \(a \in X\), \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\) dépend de la topologie archimédienne choisie sur \(k(a)\) : si \(k(a)\) est dense dans \(\mathbb{C}\), c'est tout ; si son complété est \(\mathbb{R}\), le groupe \(\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\) opère sur \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\), compatiblement avec l'action semi-linéaire sur \(\xi_{\bar{a},\infty}\), et les invariants sont \[ \xi_{a,\infty} \in T_{\alpha}(\mathbb{R}), \quad \xi_{\bar{a},\mathbb{Z}} \in T_{\alpha}(\mathbb{Z}), \quad \xi_{\bar{a},\infty} \in T_{\alpha}(\mathbb{C}), \qquad \xi_{\bar{a},\infty} \simeq \xi_{a,\infty} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq \xi_{\bar{a},\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} . \] \(\pi_{1}(X)\) n'opère plus sur \(\xi_{a,\mathbb{Z}}\) ; seules restent l'action de \(\tau\) si \(a\) est réel et, sur \(\xi_{\bar{a},\infty}\), celle, semi-linéaire, de \(\operatorname{Aut}_{k(a)}(\mathbb{C})\).

202–210

Le Frobenius réel, la conjecture de Hodge, les points motiviques (pages 202 à 210)

En un point complexe, outre la structure entière, il y a la décomposition en types, déterminée par la filtration et l'involution semi-linéaire \(\tau'\) de \(\xi_{x,\infty} = \xi_{x,\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\), où \(\xi_{x,\mathbb{R}} = \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes \mathbb{R}\) ; si \(k(x)\) est réel, il y a une seconde involution semi-linéaire \(\tau''\), « algébrique », et \(\tau = \tau'\tau'' = \tau''\tau'\) agit linéairement sur \((\xi_{x,\mathbb{Z}})_{\mathbb{C}}\). La situation locale en un point réel se connaît par \(\tau\) sur \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\), d'où \(\tau\) sur \(\xi_{x,\ell}\), « or c'est là l'élément de \(\pi_{1}(x)\), Frobenius en la place à l'infini réelle ! » — le Frobenius réel \(f_{\infty}\), la conjugaison complexe vue dans le groupe de Galois, qui agit sur la cohomologie de Betti par le théorème de comparaison. Les deux relations portent « à vérifier » en marge.

Page 204, une lecture de la conjecture de Hodge : pour un motif \(F\), la partie de \(\xi_{x,\mathbb{Q}}(F)\) qui provient de sous-motifs de niveau borné par \(\rho\) serait déterminée par la filtration de Hodge. Il l'écrit comme l'intersection \(\xi_{x,\mathbb{Q}}(F) \cap \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} \cap f_{\infty}\xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)}\). Sous cette forme, c'est la conjecture de Hodge généralisée dans la rédaction de Hodge (1950), fausse en général ; la forme correcte remplace l'intersection par la plus grande sous-structure de Hodge rationnelle contenue dans le cran de la filtration.⁸⁵

Page 206 : faisant varier le point complexe, il pense que les \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\) attachés à des places distinctes ne sont pas isomorphes, alors que les \(\xi_{x,\mathbb{C}}\) le sont, non canoniquement ; une marge entourée dit « faux, cf. groupoïde fondamental sur \(\mathbb{Z}\) », et les pages 218 et 220 reprennent la question. En caractéristique \(p\), \(T_{\alpha}(\mathbb{R})\) serait vide. Puis la définition : un point motivique de \(X\) à valeurs dans un anneau \(k\) est un objet de \(T(k)\), l'analogue de la fibre d'un motif en un point ; ils forment une catégorie fibrée sur les schémas, qui est un champ pour fpqc, et les isomorphismes entre deux points forment un torseur sous le groupe des automorphismes du premier. Il en distingue quatre sortes : \(\ell\)-adiques (à valeurs dans \(\mathbb{Z}_{\ell}\) ou \(\mathbb{Q}_{\ell}\)), transcendants (dans \(\mathbb{R}\), voire \(\mathbb{Z}\), qui semblent correspondre aux points complexes de \(X\) modulo la conjugaison), de Hodge–De Rham (dans un corps quelconque), de Witt (dans \(W(k)\)). Page 210, des « Questions » : les points à valeurs dans un corps de caractéristique \(p\) correspondraient à des points motiviques dans \(W(k)\) avec \(F\), \(V\) — « points motiviques généralisés » —, ceux de caractéristique nulle à des points avec structure filtrée, les points complexes modulo la conjugaison à des points dans \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{C}\) muni de \(f_{\infty}\), ou dans \(\mathbb{Z}\) ; les « points banaux » sont à valeurs dans \(\mathbb{Z}_{\ell}\) ou \(\mathbb{Q}_{\ell}\), et le « cas particulier important » est celui des points à valeurs dans \(W(\mathbb{F}_{q})\) avec \((F, V)\).

212–226

XIV. Le groupe fondamental motivique discret (pages 212 à 226)

Sous ce titre souligné (page 212) : pour \(\xi \in T(\mathbb{Z})\), \[ \pi_{1}(X, \xi) = \operatorname{Aut}(\xi) = G_{\xi}(\mathbb{Z}) , \] et plus généralement, pour \(\xi \in T_{(\alpha)}(k)\), \(G(X, \xi) = \underline{\operatorname{Aut}}(\xi)\) et \(\pi_{1}(X, \xi) \simeq G(X, \xi)(k)\). « En vertu de Borel [-Harish-Chandra] », il n'y a, pour \(\alpha\) donné, qu'un nombre fini de \(\xi \in T_{\alpha}(\mathbb{Z})\) à isomorphisme près, donc un nombre fini de groupes fondamentaux discrets. Sont-ils tous isomorphes ?⁸⁶ Il note la comparaison avec \(\pi_{1}(X^{\mathrm{an}}, \xi)\), et que, pour \(X\) sur \(\mathbb{C}\) et \(\xi\) défini par un point complexe, \(\xi\) est filtré et \(\pi_{1}(X, \xi)\) porte une structure de Hodge. La page 214 continue : ce qui précède résulte de la conjonction des conjectures de Hodge et de Tate, au moins sous forme faible ; « caractérisation de l'image ?? » ; même conclusion sur un corps algébriquement clos \(k \subset \mathbb{C}\), par exemple \(\overline{\mathbb{Q}}\) ; et, souligné : « Analyser l'exemple de Serre de \(\pi_{1}\) non isomorphes ».⁸⁷ Sur \(\mathbb{R}\), un point réel donne \(\xi_{a} \in T_{\alpha}(\mathbb{Z})\) et une involution de \(G(X, \xi)\) compatible avec la conjugaison, et le foncteur \(M \mapsto (\xi(M_{\mathbb{C}}), \text{structure de Hodge} + \text{structure réelle par } f_{\infty})\) serait pleinement fidèle. Le problème : comment la structure de Hodge varie avec le point complexe.

Page 216, le lien avec les variétés de modules de motifs polarisés rigidifiés : si \(\mathcal{M}\) est une telle variété, un morphisme \(X \to \mathcal{M}\) est déterminé par sa valeur en un point et par l'application \(\pi_{1}(X) \to \pi_{1}(\mathcal{M})\), « propriété intrinsèque importante ». Il propose les schémas motiviquement pointés et leurs morphismes, qui donnent \(G(X, \xi) \to G(Y, \eta)\), donc \(\pi_{1}(X, \xi) \to \pi_{1}(Y, \eta)\).

218–222

Deux places archimédiennes (pages 218 à 222)

Soit \(X\) de type fini sur un corps \(k\), et \(v\), \(w\) deux places archimédiennes, d'où deux foncteurs fibres \(\xi_{v}^{\mathbb{Z}}\), \(\xi_{w}^{\mathbb{Z}}\). Sont-ils isomorphes, et sinon leurs restrictions aux sous-catégories de type fini \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) le sont-elles ? On peut supposer \(k\) algébriquement fermé dans \(k(X)\) ; soit \(k_{0}\) la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\). 1°) Si \(X\) est défini sur \(k_{0}\), les restrictions à tous les \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) sont isomorphes, par le groupe fondamental transcendant ; et même \(\xi_{v}^{\mathbb{Z}} \simeq \xi_{w}^{\mathbb{Z}}\) si \(v\) et \(w\) coïncident sur \(k_{0}\). Pour \(k\) dénombrable, \(k\) est réunion filtrante de \(k_{0}\)-algèbres \(A_{i}\) de type fini à transitions lisses et à fibres géométriquement connexes ; les ensembles de chemins entre les points correspondants des \(X_{i,\mathbb{C}}\) forment un système projectif dénombrable d'ensembles non vides à transitions surjectives, dont la limite n'est pas vide, « cqfd ».⁸⁸ 2°) Si la clôture algébrique \(E\) de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\) n'est pas \(k_{0}\) — si les deux places diffèrent sur les constantes —, « je pense » qu'il existe \(\alpha\) avec des restrictions non isomorphes, et l'on peut se ramener à \(X = \operatorname{Spec} k\), \(k\) fini sur \(\mathbb{Q}\) ; la suite est barrée. La marge « faux » de la page 206 est ainsi confirmée dans le cas 1°) et maintenue en doute dans le cas 2°).

Page 222 : « Il s'agirait de construire \(X\) projectif lisse sur \(k\) tel que \(H^{*}(X_{v}, \mathbb{Z})\) et \(H^{*}(X_{v'}, \mathbb{Z})\) soient non isomorphes comme anneaux. On devrait mettre Serre à contribution. » Une marge : peut-on remplacer \(\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{R}\) ?⁸⁹ Puis, pour \(k\) un corps de nombres, \(v_{0}\) une place et \(M\) un motif sur \(k\) : le groupe \(G_{M,v_{0}}\) est défini sur \(\mathbb{Z}\), chaque autre place \(v\) définit un torseur \(P_{v}\) sous lui, et il rappelle la conjecture « de plus haut » : si \(M\) est assez général, \(v \neq v'\) entraîne \(P_{v} \not\simeq P_{v'}\). Le groupe \[ G_{M,v_{0}}(\mathbb{Z}) = \pi^{1}_{M}(k, v) \] est un groupe discret : « Vers : groupes fondamentaux (arithmétiques) discrets ». Une marge prévient que l'existence d'un isomorphisme fonctoriel \(\xi(M) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \simeq M_{\infty} \otimes_{k} \mathbb{C}\) compatible aux conditions de Riemann–Hodge « risque d'être une condition restrictive sérieuse ».

224–226

Foncteur fibre et structure de Hodge (pages 224 et 226)

Un motif est très loin d'être caractérisé par son foncteur fibre à valeurs dans les \(\mathbb{Z}\)-modules ; qu'en est-il si l'on ajoute la structure de Hodge ? Il se ramènerait « facilement » au cas de \(X = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} - \{0, 1, \infty\}\), avec le motif d'une famille de courbes elliptiques dont l'invariant est l'indéterminée ; une réduction plus longue, par une clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{P}^{r}_{\mathbb{C}}\), est barrée. La page 226 demande quels sont, pour les motifs sur \(\mathbb{C}\), les foncteurs multiplicatifs vers les structures de Hodge qui sont motivés — « en vertu de la conjecture de Hodge », dit une marge —, et dans quelle mesure un tel foncteur peut être pris arbitrairement, « ?!? » ; c'est lié à la construction des schémas de modules de motifs polarisés. « Moralement … si \(Y\) est le spectre d'un corps », et le dossier s'arrête là.