Fonds Grothendieck, cote n° 149, pages 101–120

notations du lot : \mathcal{E} rend la lettre ronde par laquelle l'auteur désigne le groupe fondamental profini (« \mathcal{E}_X = \pi_1(X) », p. 104), l'exposant marquant le revêtement universel ou le point géométrique choisi ; \pi garde le \pi de l'auteur

la phrase qui ouvre la page commence au feuillet précédent (Ce qui signifie aussi que H (seul ( ) dans de 31 — p. ex. défini par un pt de U_{\bar{\xi}} /K — induit un homom. T \to \pi)

c) L'action de T sur \pi_{\mathrm{ab}} = H_1(U_{\bar{\xi}}) est triviale.

d) Item pour H_1(U_{\bar{\xi}}, T_\ell), où \ell est premier à la car. résiduelle. (NB \ell = p > 0 on doit pouvoir l'exprimer par un critère sur le groupe p-divisible…)

e) (Etant donnée une section de (30), définissant une extension de \mathcal{E}_k par \pi, et supposant maintenant k de type fini sur \mathbb{Q}) La dite extension est admissible (quitte à passer à une ext. de \mathcal{E}_k, sous-groupe ouvert), i.e. , toujours peut être défini par une courbe alg. sur une k, sur extension finie de k.

f) Cette dernière dans d'une section de (30) et d'une de (31)., permettant de faire opérer par \mathcal{E}_k sur \pi) : Cette action doit être (remarque (où définition commence seulement !) les renvois (30) et (31) visent des formules antérieures au lot

p. 51 de l'auteur On a évidemment a) \Rightarrow b) \Rightarrow c) \Rightarrow d), et d) \Rightarrow a) devrait être plus ou moins connu, au moins de prouver à l'aide de choses bien connues. Ces conditions impliquent e), mais je n'ai pas d'idée pour le moment comment voir que e) implique bonne réduction — il faudrait une compréhension (prof. ou arithmétique) plus approfondie que celle que j'ai pour le moment. Ça pourrait se faire en réduisant au cas où \pi \simeq +\, y + S devrait … marginale écrite en oblique dans la marge gauche, très serrée ; seuls quelques mots se lisent

J'ai donc là un principe général (que je pourrais à l'occasion formuler avec la généralité qui lui revient) pour (± naturelles) construire des actions extérieures de groupes \mathcal{E}_k (k ext. de type fini de \mathbb{Q}) sur des \pi à lacets, qui (sans doute…) ne soient pas géométriques, par ~~des~~ la considération de courbes de type gr « se réduisant mal ». Mais je n'arrive la phrase se poursuit à la page suivante

pas par cette voie à faire des actions effectives, ou associées à des actions ext. déjà géométriques, qui ne soient elles-mêmes géométriques — i.e. d'une des deux types 1^{\circ}, 2^{\circ} envisagés au début de ce n°. le renvoi « 1^{\circ}, 2^{\circ} » vise un passage antérieur au lot ; le reste du feuillet est blanc

p. 52 de l'auteur

4. Sections d'extensions, et anneaux de valuation généraux.

titre souligné par l'auteur ; « d'extensions, » est ajouté par lui au-dessus de la ligne

D'abord une révision des notations. Si X est un schéma connexe, je dénote ~~\mathcal{E}_X~~ \text{(1)} \qquad \mathcal{E}_X = \pi_1(X) son groupe fond. profini en tant que groupe extérieur, et si \tilde{X} est un rev. universel profini de \mathcal{E}_X, par \text{(2)} \qquad \mathcal{E}^{(\tilde{X})}_{X} = \pi_1(X ; \tilde{X}) = \operatorname{Aut}_X(\tilde{X}) son groupe fondamental précisé — qui est un groupe profini. Si X = \operatorname{Spec}(A), où A est un anneau (le plus souvent un corps) je note \mathcal{E}_A, et \mathcal{E}^{\tilde{A}}_{A} (si A = \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} est hensélien…) (où ces telle que \operatorname{Spec}(\tilde{A}) = \tilde{X} soit un rev. universel de X (ce qui le détermine à isom. unique près). Bien entendu, si \xi est un « point géométrique » de X, on note \text{(3)} \qquad \mathcal{E}^{\xi}_{X} = \pi_1(X, \xi) = \mathcal{E}^{\tilde{X}(\xi)}_{X} , où \tilde{X}(\xi) est le rev. universel de X pointé en \xi. Le choix « (si A est hensélien…) » : lecture très incertaine du mot rattaché à A

de \xi correspond au choix d'un pt x de X et d'une ext. sép. close \overline{\Omega} de k(x) (par ex. une clôture alg. de k(x)) et on note aussi \mathcal{E}^{\Omega}_{X} — Lieu de notation au qu'\Omega extension de k(x), dans un cas abstraction de k(x) algébrique). On a \text{(4)} \qquad \mathcal{E}^{\Omega}_{x} \simeq \mathcal{E}^{\overline{k(x)}}_{X} , où \overline{k(x)} est la clôture sép. de k(x) dans \Omega. Bien sûr, si X = \operatorname{Spec}(A), on notera aussi \mathcal{E}^{\Omega}_{A} — notation standard utilisée pour \mathcal{E}^{\overline{K}}_{K}, K un corps, \overline{K} une clôture alg. ou sép. de K.

Si X est un Y-schéma, ~~on notera~~ Y connexe, \text{(5)} \qquad \mathcal{E}(f) : \mathcal{E}_X \longrightarrow \mathcal{E}_Y \qquad \text{où } f : X \to Y (\mathcal{E}_X est un foncteur en X (Schémas connexes) \longrightarrow groupes ext. dans (4), l'indice du premier membre est écrit x (ou \alpha) et non X

p. 53 de l'auteur qui se précise par l'homom. effectif de groupes profinis \text{(6)} \qquad \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y} où \tilde{Y} est le rev. universel de Y défini par \tilde{X} \to Y (\tilde{X} jouant le rôle de point — devrait pouvoir écrire en fait \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{Y}, plus généralement \mathcal{E}^{Z}_{Y} chaque fois qu'on a un Y-schéma Z 1-connexe, jouant le rôle de « fonction fibre » pour le topos B_{\pi(X)} des rev. étales de Y…) ~~\mathcal{E}^{\alpha}_{X}~~ On peut dire que \text{(7)} \qquad (X, \tilde{X}) \longmapsto \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} est un foncteur, de la catégorie des schémas connexes X munis d'un rev. universel (ou seulement d'un Z 1-connexe s'envoyant sur X) vers celle des groupes profinis. Ceci s'applique en particulier en regardant la cat. des (X, \xi) munis d'un pt géom. — la phrase se poursuit à la page suivante

on a donc \text{(8)} \qquad \mathcal{E}^{\xi}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\eta}_{\text{\struck{$Y$}}\,Y} l'indice du second membre est un Y biffé puis récrit ; l'exposant est lu \eta sans certitude si \ldots un homom. de schémas « géométriquement pointés » (X, \xi) \to (Y, \eta). On note que la ponctuation géométrique de X en un x \in X — i.e. une ext. sép. close \Omega de k(x) — définit canoniquement une ponctuation géométrique de Y en y = f(x), par composition — \Omega « est » une extension de k(y) puisque k(x) \hookleftarrow k(y) — et l'homom. (8) sous k(x), un petit x récrit s'identifie aussi à \text{(9)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{k(x)}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{k(y)}}_{Y} , où \overline{k(x)}, \overline{k(y)} sont les clôtures séparables dans \Omega.

On posera \text{(10)} \qquad \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/Y} = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{Y} = \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y}\bigr)

p. 54 de l'auteur (C'est un foncteur par rapport au triple \tilde{X} \to X \to Y avec X, Y 0-connexes, \tilde{X} un rev. universel ; plus généralement, Z T si T \to X avec T 1-connexe, on pose \text{(11)} \qquad \text{\struck{$\mathcal{E}$}}\,\mathcal{E}^{T}_{X/Y} = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{T}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{Y}\bigr) dans (11) et dans la ligne qui précède, T est écrit sur un Z biffé fonctoriel en (lisible) (T \to X \to Y), en particulier : \mathcal{E}^{\xi}_{X/Y}, si \xi un pt géom. de X, \mathcal{E}^{\Omega}_{X/Y}, \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/A} (si Y = \operatorname{Spec} A), \mathcal{E}^{\tilde{B}}_{B/A}… NB \mathcal{E}^{T}_{X/Y}, (11) ! X/Y \mathcal{E}_{X/Y} marginale oblique au milieu de la marge gauche, très serrée

Un cas intéressant est celui où on dispose d'une « suite exacte d'homotopie universelle » (en dim 1) pour X \to Y, alors la donnée (par exemple X = Y donné) de T \to X, Car \mathcal{E}^{T}_{\ldots} = \mathcal{E}^{T}_{Y} épi… revient T 1-connexe) peut s'interpréter par la donnée du composé la phrase se poursuit à la page suivante

T \longrightarrow Y et d'un relèvement de T \to X, ce qui revient au même, d'une section de X_T = X \times_Y T sur T. Ceci posé, on a un isom. (comme il résulte de l'hyp. de « suite exacte d'homotopie » faite)

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X_T \arrow[l] \arrow[d] & \\ Y & T \arrow[l] & T \arrow[ul] \arrow[l, no head, "="] \end{tikzcd}

\text{(12)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \pi_1(X_T ; T) \simeq \mathcal{E}^{T}_{X_T} et une suite exacte \text{(13)} \qquad 1 \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{Y} \longrightarrow 1 (Cette hypothèse se trouve satisfaite si Y = \operatorname{Spec} K, K un corps, si X est géom. connexe sur K.) Plus généralement, si on a une suite exacte d'homotopie universelle, mais pas univ. \mathcal{E}^{T}_{X} \to \mathcal{E}^{T}_{Y} surj.),

p. 55 de l'auteur dans l'hyp. d'« homo » « suite exacte » fibres topie », mais pas univ. on a une factorisation canon. de X \to Y en \text{(14)} \qquad X \longrightarrow Y' \longrightarrow Y avec Y' étale fini ou pro-étale fini sur Y et \mathcal{E}_X \to \mathcal{E}_{Y'} étant maintenant épi, ~~donc~~ cette suite exacte univ. d'homotopie bien vérifiée. On a dans ce cas \text{(15)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{E}^{T}_{X/Y'} , ce qui peut donc se calculer comme \text{(16)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X \times_{Y'} T} \simeq \mathcal{E}^{T}_{X/Y} la formule porte bien X/Y à droite, et non X/Y' qui peut s'interpréter \mathcal{E}^{T}_{X_T}, mais en interprétation X_T désigne non plus X \times_Y T (qui à Y' \to Y pas ) mais X \times_Y T. dans ce dernier X \times_Y T, le premier X est repassé à l'encre forte ; l'indice attendu serait Y' Bien sûr, à isom. près, pour remplace, le contenu de \mathcal{E}^{T}_{X_T}, T par \tilde{Y} pour un point de X_T, et par \tilde{X} pour ce qui est de l'analogue des X_{\tilde{Y}},

où \tilde{X}, \tilde{Y} sont les rev. universels de X, Y déduits de \overline{T} \to Y, qu'on obtient) \text{(17)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/Y} \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \to \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y}\bigr) (sous l'hyp. de suite exacte) et \text{(18)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{Z}_{X_{\tilde{Y}}} \simeq \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X_{\tilde{Y}}} la formule (18) est écrite au-dessus d'une première version, entièrement biffée et illisible, qui portait encore \mathcal{E}^{\tilde X}_{X_{\tilde Y}} ; la fin \mathcal{E}^{\tilde X}_{X_{\tilde Y}} porte elle-même une surcharge dans le cas général.

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X_{\tilde{Y}} \arrow[l] \arrow[d] & \tilde{X} \arrow[l] & Z \arrow[l] \\ Y' \arrow[d] & \tilde{Y} \arrow[l] & & \\ Y & & & \end{tikzcd}

Une des de \mathcal{E}^{T}_{X/Y} s'obtient en supposant T réduit à un pt géométrique, qui définit \xi_X, un pt géom. \xi_Y de Y, une fibre géom. X_{\xi_Y} de X sur Y \xi_Y, \xi_X s'interprète comme un pt géom. de cette fibre, et on a \text{(19)} \qquad \mathcal{E}^{\xi_X}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{\xi_X}_{X_{(\xi_Y)}} \simeq \pi_1\bigl(X_{(\xi_Y)}, \xi_X\bigr) — i.e. \mathcal{E}_{X/Y} s'interprète comme groupe fondamental des « fibres géom. » de X/Y.

p. 56 de l'auteur La ~~définition~~ les conventions (11) et décidons que, si \xi_X provient d'un pt géom. \xi_T de T, alors on aura des isos canon. \begin{aligned} \text{(20)} \qquad \mathcal{E}^{\xi_T}_{X/Y} & \simeq \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \\ \wr\ \ & \\ \pi_1\bigl(X_{\xi_Y}, \xi_T\bigr) & \end{aligned} — les \pi_1(X_{\xi_Y}, \xi_T) des fibres géom., relatifs aux divers pts géom. de \mathcal{E}^{T}_{X/Y}, sont canoniquement isom. entre eux. « pts géom. de \mathcal{E}^{T}_{X/Y} » : c'est bien ce que porte la page ; on attendrait les points géométriques \xi_T de T

(Il faut bien faire attention (Z non précisé) que \mathcal{E}_{X/Y} n'est une classe d'isom. de groupes profinis sans plus, un groupe extérieur. L'arbitraire de la donnée d'un isom. entre \mathcal{E}^{T}_{X/Y} et \mathcal{E}^{T'}_{X/Y} provient des choix

d'un de \mathcal{E}^{T}_{X} /Y, opérant sur le -groupe \mathcal{E}^{T}_{X/Y} par auto. intérieurs. relation \pi^{T}_{X/Y} ; que temporairement.

Les relations (\mathcal{E}_X, \mathcal{E}_{X/Y} nouvelles) relativement pt de vue qui regarde \mathcal{E}^{T}_{X} comme une extension de \mathcal{E}^{T}_{Y} (ou d'un sous-groupe convenable) par \mathcal{E}^{T}_{X/Y}, qui , pour les besoins de la cause, \pi — il joue le rôle d'un groupe fondamental (géométrique)), tandis que \mathcal{E}^{T}_{Y} joue le rôle d'un groupe de Galois — d'un groupe profini .

Le cas le plus important pour nous sera celui où Y = \operatorname{Spec} K, K un corps. ~~Aussi formellement~~ Dans ce cas, \mathcal{E}_{Y} \simeq \mathcal{E}^{\overline{Y}}_{Y}

p. 57 de l'auteur s'identifie bel et bien au groupe de Galois \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) de \overline{K}/K, \overline{K} étant la clôture sép. de K telle que \operatorname{Spec} \overline{K} \simeq \overline{Y}. Souvent, on notera \Gamma_K, \Gamma^{\overline{K}}_{K}, \Gamma, (au lieu de \mathcal{E}_Y) —

si K est alg. sur le corps premier, et qu'il donc plus de « partie géométrique » à distinguer d'une « partie arithmétique »…

Soit K corps (qui pourrait être alg. clos), L une ext. de type fini de K, X un « modèle » propre régulier de L. Alors \mathcal{E}^{\overline{L}}_{X} s'identifie à un quotient de \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}, qui ne dépend pas du modèle X choisi, comme il est bien connu la page porte « des modèles / X choisis » ; le passage souligné l'est par l'auteur

\mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L} \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} c'est la partie « universellement générique » de \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} ~~relative à qui les~~ (qui ) classifie les sel. (finis) sur L qui sont « non ramifiés » sur tout modèle régulier (propre ou non) de L/K. la petite lettre placée devant \overline{L} dans l'exposant, ici et en (21), (23), est lue \mathrm{g} sans certitude Si U est un modèle quelconque, il se plonge dans les X, et on a des homomorphismes surjectifs \text{(21)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{L}}_{X} = \mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L} On aura \text{(22)} \qquad U = X \setminus Z Z partie fermée de X — soient D_i ses composantes de codim 1, x_i les pts génériques des D_i. On a des groupes de décomposition et d'inertie dans \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} N_{x'_i} \quad \text{et} \quad I_{x'_i} (d relatifs au choix d'un x'_i au dessus de x_i dans le normalisé de X dans \overline{L}), et on trouve

p. 58 de l'auteur \text{(23)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{X} = \mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L} \simeq \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \big/ \text{ss-groupe fermé invariant engendré} \text{par les } I_{x'_i} \ (i \in I) Notons que \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} est la limite projective des \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}, pour des modèles réguliers (affines si on y tient) variables \text{(24)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} \simeq \varprojlim_{U} \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} et de même, bien sûr \text{(25)} \qquad \pi^{\overline{L}}_{L/K} \simeq \varprojlim_{U} \pi^{\overline{L}}_{U/K} . Dans les considérations qui suivent, K (et X, U) un provisoirement [Mais on pourra après coup] NB des solutions régulières note marginale écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée et en partie barrée ; seuls quelques mots se lisent Les les \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} ? Pour ( V) du de type sur K (correspondant à un « germe de modèle » de L/K, voisinage d'un pt de codim 1 i.e. du pt gén. d'un diviseur), considé\-rons le fermé x de S = \operatorname{Spec}(V),

et un x' au dessus de x dans le normalisé de S_x dans \overline{L}, d'où un groupe de décomposition N_{x'}, et un groupe d'inertie I_{x'}, avec pourvu d'un « germe » \text{(26)} \qquad N_{x'} / I_{x'} \simeq \Gamma_{k(x')} (ext. de type fini de K, de degré de transc. n-1, si n = \operatorname{degtr} L/K), et \text{(27)} \qquad I_{x'} \simeq T_{\circ}(\overline{L}) \simeq T_{\infty}(\overline{K}) si car. k(x) est nulle — en général … l'indice de T est lu \circ dans le premier terme et \infty dans le second, comme sur la page (par Kummer) ~~Notons ainsi,~~ les constructions un système des choix ~~des~~ modèles (U, \ldots X \ldots). — Notons que \text{(28)} \qquad I_{x'} \subset \pi^{\overline{L}}_{L/K} . En fait, si on passe aux hensélisés, posons \text{(29)} \quad \left\{ \begin{aligned} \tilde{S}_x &= \operatorname{Spec} \tilde{V} , \quad \tilde{V} \text{ hensélisé (pas strict) de } V \\ \tilde{U}_x &= \tilde{S}_x \setminus \{x\} \simeq \operatorname{Spec} \tilde{L}_x \quad (\text{où } \tilde{L}_x \text{ est le corps des fractions de } \tilde{V}) \end{aligned} \right. la page porte « \operatorname{Spec}\tilde{L}_x », le second \tilde L_x repassé à l'encre forte donc le choix « effectif » dépend du homom. \mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \xrightarrow{\text{ext}} \mathcal{E}_L,

p. 59 de l'auteur celui d'un rev. universel ~~(précis.~~ ou d'une pt géométrique de \tilde{U}_x — i.e. de l'une clôture algébrique de \tilde{L}_x — et d'une « domaine de » entre \tilde{U}_x \to U (Spec L), et \mathcal{E}_L défini par \overline{L} : i.e. compris des situations revient à , d'un \overline{L}- de \tilde{L}_x dans \overline{L} — et ceci Cf. Hensel fait ici I_{x'} \pi^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x/k(x)} = \pi^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x/\tilde{S}_x} ! donc équivaut à la donnée d'un x', ~~et d'un~~ comme dessus. Ceci posé, on a des isom. canon. \text{(30)} \quad \left\{ \begin{aligned} N_{x'} &\simeq \mathcal{E}^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x} \\ I_{x'} &\simeq \operatorname{Noyau} \text{ de l'homom. canonique} \\ & \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x} \longrightarrow \mathcal{E}_{\overline{k(x)}} \end{aligned} \right. au-dessus de la seconde ligne, entre parenthèses et souligné, un mot lu sans certitude « surjectif » (\overline{k(x)} : clôture sép. de k(x) — induite par la clôture alg. \overline{L} de \tilde{K}_x) ~~I_{x'} = \ill{}~~ () (dont (27) est déduit par théorie de Kummer). l'appel « (27) » est surchargé ; la lecture du chiffre reste incertaine ? (trait vertical double le long du paragraphe qui suit) Supposons que (dans la situation actuelle, il existe un corps de base K premier, \mathbb{C}.) On a N_{x'} = \operatorname{Norm}_{\mathcal{E}_L}(I_{x'}), ce qui est lié à l'idée qu'on devrait avoir I_{x'} = \operatorname{Norm}_{\pi_{L/K}}(I_{x'})

— à tirer au clair à l'occasion !]

Revenons aux modèles U, fournissant des quotients \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} de \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}, d'où N_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}, induisant I_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}, ~~Il est clair que~~ qui n'est autre que l'homom. \mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_U induit par \tilde{U}_x \to U. Si cet homom. se factorise par \tilde{S}_x, il est immédiat i.e. si V a un « centre » sur U … local U… que l'homom. induit I_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} est nul, puisque la composée de \mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_{\tilde{S}_x} et \mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_U se factorise par \mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_{\tilde{S}_x}, homom. [Avoir une réciproque ? la question est soulignée d'un trait ondulé Ça devrait éliminant des « » (0,0), (0,1)… l'existence K ! ]

Quand on dispose d'un modèle propre dont U soit un ouvert, (par exemple en ) que V domine sur X, soit a, ~~et la~~ (NB a ) de codim. 1…) et la condition nécessaire (c'est-à-dire que \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} soit nul) est simplement que a \in U.

p. 60 de l'auteur Ceci posé, \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} se reconstruit à partir de \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}, comme un quotient de ce dernier, en prenant tous les V dans L ayant un centre sur U (i.e. tels = des anneaux les V = \mathcal{O}_{U,x}, où x est un pt de codim 1 dans U), et en divisant par le sous-groupe fermé invariant engendré par les I_{x'} correspondants.

On peut regarder l'espace loc. ; (singulier) des modèles ~~propres plats~~ L sur K \text{(31)} \qquad \mathfrak{X}_{L/K} \simeq \varprojlim_{\substack{X \text{ modèle} \\ \text{propre de } L/K}} X NB (31) … marginale oblique très serrée dans le coin inférieur gauche ; seuls les signes « NB » et « (31) » sont sûrs (ex. n \geq 2) — solution. ~~Lieu~~ Si on n'a pas un x \in \mathfrak{X}, k(x) est une ext. de K de degré de transcendance d \leq n — l'appelle la dimension de x ; n - d est la codim. ; il y a un pt et un seul de codimension 0 — correspondant aux pts gén. de X. Les points de codim 1 l'argument se poursuit au-delà de la fin du lot