Cote n° 149, pages 101–120

Cote n° 149 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

notations du lot : $\mathcal{E}$ rend la lettre ronde par laquelle l'auteur désigne le groupe fondamental profini (« $\mathcal{E}_X = \pi_1(X)$ », p. 104), l'exposant marquant le revêtement universel ou le point géométrique choisi ; $\pi$ garde le $\pi$ de l'auteur

101la phrase qui ouvre la page commence au feuillet précédent (Ce qui signifie aussi que $H$ (seul ⌜([…] […])⌝ dans […] de 31 — p. ex. défini par un pt de $U_{\bar{\xi}}$ […] $/K$ — induit un homom. $T \to \pi$)

c) L'action de $T$ sur $\pi_{\mathrm{ab}} = H_1(U_{\bar{\xi}})$ est triviale.

d) Item pour $H_1(U_{\bar{\xi}}, T_\ell)$, où $\ell$ est premier à la car. résiduelle. (NB […] ⌜$\ell = p > 0$⌝ on doit pouvoir l'exprimer par un critère sur le groupe $p$-divisible…)

e) (Etant donnée une section de (30), définissant une extension de $\mathcal{E}_k$ par $\pi$, et supposant maintenant $k$ de type fini sur $\mathbb{Q}$) La dite extension est admissible (quitte à passer à une ⌜ext. de $\mathcal{E}_k$,⌝ […] […] sous-groupe […] ouvert), i.e. […], toujours […] peut être défini par une courbe alg. sur une ⌜$k$, […] sur⌝ extension finie de $k$.

f) Cette dernière dans […] d'une section de (30) et d'une de (31)., permettant de faire opérer ⌜par […]⌝ $\mathcal{E}_k$ sur $\pi$) : Cette action doit être (remarque (où définition commence seulement !) les renvois (30) et (31) visent des formules antérieures au lot

102p. 51 de l'auteur On a évidemment a) $\Rightarrow$ b) $\Rightarrow$ c) $\Rightarrow$ d), et d) $\Rightarrow$ a) devrait être plus ou moins connu, au moins de prouver à l'aide de choses bien connues. Ces conditions impliquent e), mais je n'ai pas d'idée pour le moment comment voir que e) implique bonne réduction — il faudrait une compréhension (prof. ou arithmétique) plus approfondie que celle que j'ai pour le moment. Ça pourrait se faire en réduisant au cas où $\pi \simeq$ […] […] $+\, y$ […] […] […] […] $+$ […] […] […] $S$ […] […] […] […] […] devrait […] […] […]… marginale écrite en oblique dans la marge gauche, très serrée ; seuls quelques mots se lisent

J'ai donc là un principe général (que je pourrais à l'occasion formuler avec la généralité qui lui revient) pour ⌜(± naturelles)⌝ […] construire des actions extérieures de groupes $\mathcal{E}_k$ ($k$ ext. de type fini de $\mathbb{Q}$) sur des $\pi$ à lacets, qui (sans doute…) ne soient pas géométriques, par des la considération de courbes de type gr « se réduisant mal ». Mais je n'arrive la phrase se poursuit à la page suivante

103pas par cette voie à faire des actions effectives, ou associées à […] des actions ext. déjà géométriques, qui ne soient elles-mêmes géométriques — i.e. d'une des deux types $1^{\circ}$, $2^{\circ}$ envisagés au début de ce n°. le renvoi « $1^{\circ}$, $2^{\circ}$ » vise un passage antérieur au lot ; le reste du feuillet est blanc

104p. 52 de l'auteur

4. Sections d'extensions, et anneaux de valuation généraux.

titre souligné par l'auteur ; « d'extensions, » est ajouté par lui au-dessus de la ligne

D'abord une révision des notations. Si $X$ est un schéma connexe, je dénote $\mathcal{E}_X$ \[ \text{(1)} \qquad \mathcal{E}_X = \pi_1(X) \] son groupe fond. profini en tant que groupe extérieur, et si $\tilde{X}$ est un rev. universel profini de $\mathcal{E}_X$, par \[ \text{(2)} \qquad \mathcal{E}^{(\tilde{X})}_{X} = \pi_1(X ; \tilde{X}) = \operatorname{Aut}_X(\tilde{X}) \] son groupe fondamental précisé — qui est un groupe profini. Si $X = \operatorname{Spec}(A)$, où $A$ est un anneau (le plus souvent un corps) je note $\mathcal{E}_A$, et $\mathcal{E}^{\tilde{A}}_{A}$ (si $A$ ⌜$= \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X}$⌝ est hensélien…) (où ces […] telle que $\operatorname{Spec}(\tilde{A}) = \tilde{X}$ soit un rev. universel de $X$ (ce qui le détermine à isom. unique près). Bien entendu, si $\xi$ est un « point géométrique » de $X$, on note \[ \text{(3)} \qquad \mathcal{E}^{\xi}_{X} = \pi_1(X, \xi) = \mathcal{E}^{\tilde{X}(\xi)}_{X} , \] où $\tilde{X}(\xi)$ est le rev. universel de $X$ pointé en $\xi$. Le choix « (si $A$ est hensélien…) » : lecture très incertaine du mot rattaché à $A$

105de $\xi$ correspond au choix d'un pt $x$ de $X$ et d'une ext. sép. close $\overline{\Omega}$ de $k(x)$ (par ex. une clôture alg. de $k(x)$) et on note aussi $\mathcal{E}^{\Omega}_{X}$ — Lieu de notation au […] […] qu'$\Omega$ extension de $k(x)$, dans un cas abstraction ⌜[…] […]⌝ de $k(x)$ algébrique). On a \[ \text{(4)} \qquad \mathcal{E}^{\Omega}_{x} \simeq \mathcal{E}^{\overline{k(x)}}_{X} , \] où $\overline{k(x)}$ est la clôture sép. de $k(x)$ dans $\Omega$. Bien sûr, si $X = \operatorname{Spec}(A)$, on notera aussi $\mathcal{E}^{\Omega}_{A}$ — notation standard utilisée pour $\mathcal{E}^{\overline{K}}_{K}$, $K$ un corps, $\overline{K}$ une clôture alg. ou sép. de $K$.

Si $X$ est un $Y$-schéma, on notera ⌜$Y$ connexe,⌝ \[ \text{(5)} \qquad \mathcal{E}(f) : \mathcal{E}_X \longrightarrow \mathcal{E}_Y \qquad \text{où } f : X \to Y \] ($\mathcal{E}_X$ est un foncteur en $X$ (Schémas connexes) $\longrightarrow$ groupes ext. dans (4), l'indice du premier membre est écrit $x$ (ou $\alpha$) et non $X$

106p. 53 de l'auteur qui se précise par l'homom. effectif de groupes profinis \[ \text{(6)} \qquad \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y} \] où $\tilde{Y}$ est le rev. universel de $Y$ défini par $\tilde{X} \to Y$ ($\tilde{X}$ jouant le rôle de point — […] devrait pouvoir écrire en fait $\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{Y}$, plus généralement $\mathcal{E}^{Z}_{Y}$ chaque fois qu'on a un $Y$-schéma $Z$ 1-connexe, jouant le rôle de « fonction fibre » pour le topos $B_{\pi(X)}$ des rev. étales de $Y$…) […] $\mathcal{E}^{\alpha}_{X}$ On peut dire que \[ \text{(7)} \qquad (X, \tilde{X}) \longmapsto \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \] est un foncteur, de la catégorie des schémas connexes $X$ munis d'un rev. universel (ou seulement d'un $Z$ 1-connexe s'envoyant sur $X$) vers celle des groupes profinis. Ceci s'applique ⌜[…]⌝ en particulier en regardant la cat. des $(X, \xi)$ munis d'un pt géom. — la phrase se poursuit à la page suivante

107on a donc \[ \text{(8)} \qquad \mathcal{E}^{\xi}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\eta}_{\text{\struck{$Y$}}\,Y} \] l'indice du second membre est un $Y$ biffé puis récrit ; l'exposant est lu $\eta$ sans certitude si $\ldots$ un homom. de schémas « géométriquement pointés » $(X, \xi) \to (Y, \eta)$. On note que la ponctuation géométrique de $X$ en un $x \in X$ — i.e. une ext. sép. close $\Omega$ de $k(x)$ — définit ⌜canoniquement⌝ une ponctuation géométrique de $Y$ en $y = f(x)$, […] par composition — $\Omega$ « est » une extension de $k(y)$ puisque $k(x) \hookleftarrow k(y)$ — et l'homom. (8) sous $k(x)$, un petit $x$ récrit s'identifie aussi à \[ \text{(9)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{k(x)}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{k(y)}}_{Y} , \] où $\overline{k(x)}$, $\overline{k(y)}$ sont les clôtures séparables dans $\Omega$.

On posera \[ \text{(10)} \qquad \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/Y} = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{Y} = \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y}\bigr) \]

108p. 54 de l'auteur (C'est un foncteur par rapport au triple $\tilde{X} \to X \to Y$ avec $X, Y$ 0-connexes, $\tilde{X}$ un rev. universel ; plus généralement, $Z$ ⌜$T$⌝ si $T \to X$ avec $T$ 1-connexe, on pose \[ \text{(11)} \qquad \text{\struck{$\mathcal{E}$}}\,\mathcal{E}^{T}_{X/Y} = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{T}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{Y}\bigr) \] dans (11) et dans la ligne qui précède, $T$ est écrit sur un $Z$ biffé fonctoriel en ⌜(lisible)⌝ $(T \to X \to Y)$, en particulier : $\mathcal{E}^{\xi}_{X/Y}$, si $\xi$ un pt géom. de $X$, $\mathcal{E}^{\Omega}_{X/Y}$, $\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/A}$ (si $Y = \operatorname{Spec} A$), $\mathcal{E}^{\tilde{B}}_{B/A}$… NB $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$, (11) ! […] $X/Y$ […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] $\mathcal{E}_{X/Y}$ marginale oblique au milieu de la marge gauche, très serrée

Un cas intéressant est celui où on dispose d'une « suite exacte d'homotopie universelle » […] (en dim 1) pour $X \to Y$, alors la donnée (par exemple $X = Y$ donné) de $T \to X$, Car $\mathcal{E}^{T}_{\ldots} = \mathcal{E}^{T}_{Y}$ […] épi… revient $T$ 1-connexe) peut s'interpréter par la donnée du composé la phrase se poursuit à la page suivante

109\[ T \longrightarrow Y \] et d'un relèvement de $T \to X$, ce qui revient au même, d'une section de $X_T = X \times_Y T$ sur $T$. Ceci posé, on a un isom. (comme il résulte de l'hyp. de « suite exacte d'homotopie » faite)

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X_T \arrow[l] \arrow[d] & \\
Y & T \arrow[l] & T \arrow[ul] \arrow[l, no head, "="]
\end{tikzcd}

\[ \text{(12)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \pi_1(X_T ; T) \simeq \mathcal{E}^{T}_{X_T} \] et une suite exacte \[ \text{(13)} \qquad 1 \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{X} \longrightarrow \mathcal{E}^{T}_{Y} \longrightarrow 1 \] (Cette hypothèse se trouve satisfaite si $Y = \operatorname{Spec} K$, $K$ un corps, si $X$ est géom. connexe sur $K$.) Plus généralement, si on a une suite exacte d'homotopie universelle, mais pas univ. […] $\mathcal{E}^{T}_{X} \to \mathcal{E}^{T}_{Y}$ surj.),

110p. 55 de l'auteur dans l'hyp. d'« homo[…] » […] « suite exacte » […] fibres […] topie », mais […] pas univ. on a une factorisation canon. de $X \to Y$ en \[ \text{(14)} \qquad X \longrightarrow Y' \longrightarrow Y \] avec $Y'$ étale fini ou pro-étale fini sur $Y$ et $\mathcal{E}_X \to \mathcal{E}_{Y'}$ étant maintenant épi, donc cette suite exacte univ. d'homotopie bien vérifiée. On a […] dans ce cas \[ \text{(15)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{E}^{T}_{X/Y'} , \] ce qui peut donc se calculer comme \[ \text{(16)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X \times_{Y'} T} \simeq \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \] la formule porte bien $X/Y$ à droite, et non $X/Y'$ qui peut s'interpréter […] $\mathcal{E}^{T}_{X_T}$, mais en […] interprétation […] […] $X_T$ désigne non plus $X \times_Y T$ (qui […] à $Y' \to Y$ pas […]) mais $X \times_Y T$. dans ce dernier $X \times_Y T$, le premier $X$ est repassé à l'encre forte ; l'indice attendu serait $Y'$ Bien sûr, à isom. près, […] pour […] […] remplace, […] le contenu de $\mathcal{E}^{T}_{X_T}$, $T$ par $\tilde{Y}$ pour un point […] de $X_T$, et par $\tilde{X}$ pour ce qui est de l'analogue des $X_{\tilde{Y}}$,

111où $\tilde{X}, \tilde{Y}$ sont les rev. universels de $X, Y$ déduits de […] […] $\overline{T} \to Y$, […] qu'on obtient) \[ \text{(17)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X/Y} \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X} \to \mathcal{E}^{\tilde{Y}}_{Y}\bigr) \] (sous l'hyp. de suite exacte) et \[ \text{(18)} \qquad \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{Z}_{X_{\tilde{Y}}} \simeq \mathcal{E}^{\tilde{X}}_{X_{\tilde{Y}}} \] la formule (18) est écrite au-dessus d'une première version, entièrement biffée et illisible, qui portait encore $\mathcal{E}^{\tilde X}_{X_{\tilde Y}}$ ; la fin $\mathcal{E}^{\tilde X}_{X_{\tilde Y}}$ porte elle-même une surcharge dans le cas général.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X_{\tilde{Y}} \arrow[l] \arrow[d] & \tilde{X} \arrow[l] & Z \arrow[l] \\
Y' \arrow[d] & \tilde{Y} \arrow[l] & & \\
Y & & &
\end{tikzcd}

Une […] des […] de $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$ s'obtient en supposant […] $T$ réduit à un pt géométrique, qui définit $\xi_X$, un pt géom. $\xi_Y$ de $Y$, une fibre géom. $X_{\xi_Y}$ de $X$ sur $Y$ […] $\xi_Y$, $\xi_X$ s'interprète comme un pt géom. de cette fibre, et on a \[ \text{(19)} \qquad \mathcal{E}^{\xi_X}_{X/Y} \simeq \mathcal{E}^{\xi_X}_{X_{(\xi_Y)}} \simeq \pi_1\bigl(X_{(\xi_Y)}, \xi_X\bigr) \] — i.e. $\mathcal{E}_{X/Y}$ s'interprète comme groupe fondamental des « fibres géom. » de $X/Y$.

112p. 56 de l'auteur La […] […] définition ⌜les conventions⌝ (11) et décidons que, si $\xi_X$ provient d'un pt géom. $\xi_T$ de $T$, alors on aura des isos canon. \[ \begin{aligned} \text{(20)} \qquad \mathcal{E}^{\xi_T}_{X/Y} & \simeq \mathcal{E}^{T}_{X/Y} \\ \wr\ \ & \\ \pi_1\bigl(X_{\xi_Y}, \xi_T\bigr) & \end{aligned} \] […] — les $\pi_1(X_{\xi_Y}, \xi_T)$ des fibres géom., relatifs aux divers pts géom. de $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$, sont canoniquement isom. entre eux. « pts géom. de $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$ » : c'est bien ce que porte la page ; on attendrait les points géométriques $\xi_T$ de $T$

(Il faut bien faire attention ($Z$ non précisé) que $\mathcal{E}_{X/Y}$ n'est une classe d'isom. de groupes profinis sans plus, […] un groupe extérieur. L'arbitraire de la donnée d'un isom. entre $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$ et $\mathcal{E}^{T'}_{X/Y}$ provient des choix

113d'un […] de $\mathcal{E}^{T}_{X}$ $/Y$, opérant sur le […]-groupe $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$ par auto. intérieurs. […] relation […] $\pi^{T}_{X/Y}$ ; que […] […] […] […] […] temporairement.

Les relations ($\mathcal{E}_X$, $\mathcal{E}_{X/Y}$ nouvelles) relativement […] pt de vue qui regarde $\mathcal{E}^{T}_{X}$ comme une extension de $\mathcal{E}^{T}_{Y}$ (ou d'un sous-groupe convenable) par $\mathcal{E}^{T}_{X/Y}$, qui […], pour les besoins de la cause, […] $\pi$ — il joue le rôle d'un groupe fondamental (géométrique)), tandis que $\mathcal{E}^{T}_{Y}$ joue le rôle d'un groupe de Galois — d'un groupe profini […].

Le cas le plus important pour nous sera celui où $Y = \operatorname{Spec} K$, $K$ un corps. Aussi formellement Dans ce cas, $\mathcal{E}_{Y} \simeq \mathcal{E}^{\overline{Y}}_{Y}$

114p. 57 de l'auteur s'identifie bel et bien au groupe de Galois $\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$ de […] $\overline{K}/K$, $\overline{K}$ étant la clôture sép. de $K$ telle que $\operatorname{Spec} \overline{K} \simeq \overline{Y}$. Souvent, on notera $\Gamma_K$, $\Gamma^{\overline{K}}_{K}$, $\Gamma$, (au lieu de $\mathcal{E}_Y$) — […]

si $K$ est alg. sur le corps premier, et qu'il […] donc plus de « partie géométrique » à distinguer d'une « partie arithmétique »…

Soit $K$ […] ⌜[…]⌝ corps (qui pourrait être alg. clos), $L$ une ext. de type fini de $K$, $X$ un « modèle » propre régulier de $L$. Alors $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{X}$ s'identifie à un quotient de $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$, qui ne dépend pas du modèle $X$ choisi, comme il est bien connu la page porte « des modèles / $X$ choisis » ; le passage souligné l'est par l'auteur

115$\mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L}$ […] […] […] $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$ c'est la partie « universellement générique » de $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$ relative à […] qui […] les […] (qui […] […]) classifie les sel. (finis) […] sur $L$ qui sont « non ramifiés » sur tout modèle régulier (propre ou non) de $L/K$. la petite lettre placée devant $\overline{L}$ dans l'exposant, ici et en (21), (23), est lue $\mathrm{g}$ sans certitude Si $U$ est un modèle quelconque, il se plonge dans les $X$, et on a des homomorphismes surjectifs \[ \text{(21)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \longrightarrow \mathcal{E}^{\overline{L}}_{X} = \mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L} \] On aura […] \[ \text{(22)} \qquad U = X \setminus Z \] $Z$ partie fermée de $X$ — soient $D_i$ ses composantes de codim 1, $x_i$ les pts génériques des $D_i$. On a des groupes de décomposition et d'inertie dans $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ \[ N_{x'_i} \quad \text{et} \quad I_{x'_i} \] (d relatifs au choix d'un $x'_i$ au dessus de $x_i$ dans le normalisé de $X$ dans $\overline{L}$), et on trouve

116p. 58 de l'auteur \[ \text{(23)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{X} = \mathcal{E}^{\mathrm{g}\overline{L}}_{L} \simeq \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \big/ \text{ss-groupe fermé invariant engendré} \] \[ \text{par les } I_{x'_i} \ (i \in I) \] Notons que $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$ est la limite projective des $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$, pour des modèles réguliers (affines si on y tient) variables \[ \text{(24)} \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{L} \simeq \varprojlim_{U} \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U} \] et de même, bien sûr \[ \text{(25)} \qquad \pi^{\overline{L}}_{L/K} \simeq \varprojlim_{U} \pi^{\overline{L}}_{U/K} . \] Dans les considérations qui suivent, $K$ (et $X$, $U$) un […] provisoirement […] […] […] […] [Mais on pourra […] […] […] […] […] […] […] après coup] NB […] […] […] […] […] des solutions régulières […] note marginale écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, très serrée et en partie barrée ; seuls quelques mots se lisent Les […] […] […] les $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ […] $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$ ? Pour […] ([…] $V$) […] du […] de type […] sur $K$ (correspondant à un « germe de modèle » de $L/K$, […] voisinage d'un pt de codim 1 i.e. du pt gén. d'un diviseur), considé\-rons […] le […] fermé $x$ de $S = \operatorname{Spec}(V)$,

117et un $x'$ au dessus de $x$ dans le normalisé de $S_x$ dans $\overline{L}$, d'où un groupe de décomposition $N_{x'}$, et un groupe d'inertie $I_{x'}$, avec […] pourvu […] d'un « germe » […] \[ \text{(26)} \qquad N_{x'} / I_{x'} \simeq \Gamma_{k(x')} \] (ext. de type fini de $K$, de degré de transc. $n-1$, si $n = \operatorname{degtr} L/K$), et \[ \text{(27)} \qquad I_{x'} \simeq T_{\circ}(\overline{L}) \simeq T_{\infty}(\overline{K}) \] si car. $k(x)$ est nulle — en général […] […]… l'indice de $T$ est lu $\circ$ dans le premier terme et $\infty$ dans le second, comme sur la page (par Kummer) Notons ainsi, […] ⌜les constructions⌝ […] un système des choix […] des modèles $(U, \ldots X \ldots)$. — Notons que \[ \text{(28)} \qquad I_{x'} \subset \pi^{\overline{L}}_{L/K} . \] En fait, si on passe aux hensélisés, posons \[ \text{(29)} \quad \left\{ \begin{aligned} \tilde{S}_x &= \operatorname{Spec} \tilde{V} , \quad \tilde{V} \text{ hensélisé (pas strict) de } V \\ \tilde{U}_x &= \tilde{S}_x \setminus \{x\} \simeq \operatorname{Spec} \tilde{L}_x \quad (\text{où } \tilde{L}_x \text{ est le corps des fractions de } \tilde{V}) \end{aligned} \right. \] la page porte « $\operatorname{Spec}\tilde{L}_x$ », le second $\tilde L_x$ repassé à l'encre forte […] donc le choix « effectif » dépend du homom. $\mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \xrightarrow{\text{ext}} \mathcal{E}_L$,

118p. 59 de l'auteur celui d'un rev. universel (précis. ⌜ou […]⌝ d'une pt géométrique de $\tilde{U}_x$ — i.e. de l'une clôture algébrique de $\tilde{L}_x$ — et d'une […] « domaine de […] » entre $\tilde{U}_x \to U$ […] (Spec L), et $\mathcal{E}_L$ défini par $\overline{L}$ : i.e. compris des situations revient à […], d'un $\overline{L}$-[…] de […] $\tilde{L}_x$ dans $\overline{L}$ — et ceci […] […] Cf. Hensel […] […] […] […] […] […] […] fait ici […] […] $I_{x'}$ […] […] $\pi^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x/k(x)} = \pi^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x/\tilde{S}_x}$ ! donc équivaut à la donnée d'un $x'$, et d'un […] comme dessus. Ceci posé, on a des isom. canon. \[ \text{(30)} \quad \left\{ \begin{aligned} N_{x'} &\simeq \mathcal{E}^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x} \\ I_{x'} &\simeq \operatorname{Noyau} \text{ de l'homom. canonique} \\ & \qquad \mathcal{E}^{\overline{L}}_{\tilde{U}_x} \longrightarrow \mathcal{E}_{\overline{k(x)}} \end{aligned} \right. \] au-dessus de la seconde ligne, entre parenthèses et souligné, un mot lu sans certitude « surjectif » ($\overline{k(x)}$ : clôture sép. de $k(x)$ — induite par la clôture alg. $\overline{L}$ de $\tilde{K}_x$) $I_{x'} = \ill{}$ ([…]) (dont (27) est déduit par théorie de Kummer). l'appel « (27) » est surchargé ; la lecture du chiffre reste incertaine ? (trait vertical double le long du paragraphe qui suit) Supposons que (dans la situation actuelle, il existe un corps de base $K$ […] premier, […] $\mathbb{C}$.) On a $N_{x'} = \operatorname{Norm}_{\mathcal{E}_L}(I_{x'})$, ce qui est lié […] à l'idée qu'on devrait avoir $I_{x'} = \operatorname{Norm}_{\pi_{L/K}}(I_{x'})$

119— à tirer au clair à l'occasion !]

Revenons aux modèles $U$, fournissant des quotients $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ de $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$, d'où $N_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$, induisant $I_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$, Il est clair que […] qui n'est autre que l'homom. […] $\mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_U$ induit […] par $\tilde{U}_x \to U$. Si cet homom. se factorise par $\tilde{S}_x$, il est immédiat i.e. si $V$ a un « centre » sur $U$ … […] […] […] local […] $U$… que l'homom. induit $I_{x'} \to \mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ est nul, puisque […] la composée de $\mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_{\tilde{S}_x}$ et $\mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_U$ se factorise par $\mathcal{E}_{\tilde{U}_x} \to \mathcal{E}_{\tilde{S}_x}$, […] homom. [Avoir une réciproque ? la question est soulignée d'un trait ondulé Ça devrait […] […] […] éliminant […] […] […] des « […] » $(0,0)$, $(0,1)$… […] […] […] l'existence […] […] […] […] $K$ […] ! ]

Quand on dispose d'un […] modèle propre dont $U$ soit un ouvert, […] (par exemple […] […] en […] […]) que $V$ domine […] […] sur $X$, soit $a$, et la […] ⌜(NB $a$ […])⌝ […] de codim. 1…) et la condition nécessaire […] (c'est-à-dire que $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ soit nul) est simplement que $a \in U$.

120p. 60 de l'auteur Ceci posé, $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{U}$ se reconstruit à partir de $\mathcal{E}^{\overline{L}}_{L}$, comme un quotient de ce dernier, en prenant tous les $V$ dans $L$ ayant un centre sur $U$ (i.e. tels […] $=$ des anneaux les $V = \mathcal{O}_{U,x}$, où $x$ est un pt de codim 1 dans $U$), et en divisant par le sous-groupe fermé invariant engendré par les $I_{x'}$ correspondants.

On peut regarder l'espace loc. […] ; (singulier) […] des modèles propres plats $L$ sur $K$ \[ \text{(31)} \qquad \mathfrak{X}_{L/K} \simeq \varprojlim_{\substack{X \text{ modèle} \\ \text{propre de } L/K}} X \] NB […] […] […] (31) […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […]… marginale oblique très serrée dans le coin inférieur gauche ; seuls les signes « NB » et « (31) » sont sûrs (ex. $n \geq 2$) — solution. Lieu Si […] on n'a pas un $x \in \mathfrak{X}$, $k(x)$ est une ext. de $K$ de degré de transcendance $d \leq n$ — […] l'appelle la dimension de $x$ ; $n - d$ est la codim. ; il y a un pt et un seul de codimension $0$ — correspondant aux pts gén. de $X$. Les points de codim 1 l'argument se poursuit au-delà de la fin du lot