Fonds Grothendieck, cote n° 149, pages 81–100

la page continue un argument commencé avant ce lot : l'extension (13) et les classes \xi_i y ont été introduites plus haut.

Dans le cas « arithmétique », on voit donc que l'ext. (13) est scindée ssi \xi_i = 0, i.e. ssi on peut trouver, globalement sur S, une uniformisante sur X le long de g_i(S) ; et cette condition (toujours satisfaite loc. (Zar.) ~~sur~~ S) est en tous cas suffisante (cas arith. ou pas !). Quand \xi_i = 0, parmi les scindages, il y a ceux provenant du choix d'une ~~section~~ base de J_i/J_i^2 qui soit privilégiée. L'indétermination du choix d'une telle base est dans \mathbb{G}_m(S) = H^0(S, \mathbb{G}_m) — celle du choix d'une section de (13) est dans (20)\qquad H^1(S, T) \simeq \varprojlim_n H^1(S, \mu_n) . On a ici des suites exactes de Kummer 0 \to \mathbb{G}_m(S)/\mathbb{G}_m(S)^n \to H^1(S, \mu_n) \to {}_n\mathrm{Pic}(S) \to 0 le premier terme de cette suite est surchargé et en partie biffé ; la lecture \mathbb{G}_m(S)/\mathbb{G}_m(S)^n est celle que la limite qui suit demande, elle n'est pas lue sur la page. d'où par passage à la limite (21)\qquad 0 \to \mathbb{G}_m(S)^{\wedge} \to H^1(S, T) \to \varprojlim_n {}_n\mathrm{Pic}\, S . Dans le « cas arithmétique », le troisième terme est nul, on trouve donc ~~\mathbb{G}_m~~ H^1(S, T) \simeq \mathbb{G}_m(S)^{\wedge}.

p. 41 de l'auteur.

Si le genre est zéro, prenant une de ces sections de T sur S comme section à l'infini, OPS (quitte à localiser) U_S = \mathbb{E}^1_S \smallsetminus T', donc f s'identifie à une section de \mathbb{E}^1_S sur S', i.e. de \mathcal{O}_S sur S', donc (comme \operatorname{codim}(Z, S) \geq 2, S' normal) elle se prolonge en une section de \mathbb{E}^1_S. Et on conclut comme précédemment, OK.

~~Considérons~~ Considérons donc les diviseurs irréductibles D_i sur S, ou ce qui revient au même, les pts x_i de X de codim 1, i.e. tels que \mathcal{O}_{x_i} soit un anneau de valuation discrète). Considérons son normalisé \overline{\mathcal{O}}_{x_i} dans \overline{K}, choisissons un idéal maximal \tilde{x}_i de \overline{\mathcal{O}}_x (ces idéaux correspondent au-dessus de x aux pts du normalisé \tilde{S} de S dans \overline{K}) et considérons son stabilisateur N_x dans \mathcal{E}_K, qui opère donc dans k(\tilde{x}) = \overline{k(x)}, et s'envoie en fait, on le sait, sur \operatorname{Gal}(\overline{k(x)}/k(x)). il écrit ici X et non S (« les pts x_i de X ») ; transcrit tel quel.

Soit I_{\tilde{x}} le sous-groupe noyau de l'h.m. obtenu (le stabilisateur « géométrique » de \tilde{x}), d'où une suite exacte (7)\qquad 1 \to I_{\tilde{x}} \to N_{\tilde{x}} \to \operatorname{Gal}(\overline{k(x)}/k(x)) \to 1 , et par Kummer on trouve can. (8)\qquad I_{\tilde{x}} \simeq T_{\infty}\bigl(\overline{k(x)}^{*}\bigr) \simeq T_{\infty}\bigl(\overline{K}^{*}\bigr) à cause de l'hyp. de car. 0 ! On notera que si x est le pt génér. du diviseur D, k(x) est le corps des fonctions de D, i.e. un corps de type fini sur \mathbb{Q}.

Il est immédiat (sans supposer que le corps de base pour S soit \mathbb{Q}) que le noyau de \mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S est le sous-groupe invariant engendré par les I_{\tilde{x}}. Donc l'hypothèse que \mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{U_S} s'annule sur le dit noyau, signifie aussi qu'il s'annule sur chacun des I_{\tilde{x}}. Soit donc U_{\mathcal{O}_x} induit par U sur \operatorname{Spec} \mathcal{O}_x, la fin de la page, deux lignes rapides, n'est pas lue avec assurance ; l'argument continue en p. 84 sur un autre sujet, une page manque peut-être entre les deux, ou il y a là une coupure de l'auteur.

p. 42 de l'auteur.

d'ailleurs \mathbb{G}_m(S) n'a pas d'él. infiniment divisibles , donc (22)\qquad \mathbb{G}_m(S) \longrightarrow \mathbb{G}_m(S)^{\wedge} \simeq H^1(S, T) (cas « arithm. ») est injectif. Ainsi, quand \xi_i = 0 i.e. quand (13) admet des scindages « géométriques » (et il suffit pour cela qu'il existe une section (A const.)), ceux-ci forment un torseur sous \mathbb{G}_m(S)^{\wedge}, qui s'identifie à un sous-torseur du \bigl(H^1(S, T) = \mathbb{G}_m(S)^{\wedge}\bigr)-torseur de tous les scindages de (13). Pour que la « description profinie de la géom. alg. absolue sur \mathbb{Q} » soit complète, il y faudrait également caractériser (en termes de cette description profinie) ce sous-ensemble remarquable.

Je voudrais enfin comprendre aussi comment une section d'extension du type (1) peut se « spécialiser » en une du type (2), dans le cas de sections de courbes relatives. Pour ceci, je reprends

la sempiternelle situation de U = X \smallsetminus T sur S, avec une g_i = g_{i_0} section de T sur \uncertain{I}, et je suppose donnée une section rationnelle f f de U sur S, qui en un point particulier s de codim 1 va coïncider avec une g_i en tant que section de X g_i(s) = f(s) de sorte que l'h.m. induit sur le groupe d'inertie I_{s'} \subset \mathcal{E}_K par le composé \mathcal{E}_K \longrightarrow \mathcal{E}_{U_K} \longrightarrow \mathcal{E}_U (qui envoie en fait I_{s'} dans \pi, et même dans les L_i, ou l'un d'eux) soit non ~~nulle~~ triviale. Considérons donc le groupe de décomposition N_{s'} (cf. suite exacte (7), dont on a changé les notations), qui s'identifie comme le \pi_1 de la « rondelle trouée » correspondant au hensélisé (pas strict) de l'anneau \mathcal{O}_{S,s} — ou mieux, le \pi_1 du fibré en

p. 43 de l'auteur.

disques troués autour du germe de variété D = \bigl(\overline{\{s\}}\bigr)_{\mathrm{red}} en s …, et l'extension de N_{s'} par \pi contenue dans l'ext. \mathcal{E}_{U_K} de \mathcal{E}_K par \pi_1. La section donnée (plutôt, construite via f_K) de l'ext. \mathcal{E}_{U_K}, en définit une de la sous-extension. ~~Si on considérer d'autres pts que scindages de~~ (passage biffé de traits verticaux) L'interprétation géométrique de ces constructions profinies est la suivante ; soit \tilde{\mathcal{O}}_s le hensélisé (pas strict) de \mathcal{O}_{S,s} = \mathcal{O}_s (trait hensélien), et \tilde{S} = \operatorname{Spec}(\tilde{\mathcal{O}}_s), \tilde{K} son corps des fonctions, on a U_{\tilde{S}} sur \tilde{S}, U_{\tilde{K}} sur \tilde{K}, et ~~l'extension~~ (23)\qquad N_{s'} \ \text{(groupe de décomposition de $\mathcal{E}_{K,\overline{K}}$ en $s'$)} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}} et la ~~suite~~ \mathcal{E} extension de ce groupe par \pi induite que (24)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{\tilde{K}} \to 1 , \qquad \pi = \pi_1(U_{\overline{K}}), \quad \mathcal{E}_{\tilde{K}} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\tilde{K}), s'envoyant dans (25)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U} \to \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \to 1 , \qquad \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \simeq \operatorname{Gal}(\overline{k}/k) (k = k(s) étant le corps résiduel). dans (25) il écrit \mathcal{E}_U ; au diagramme (26) de la page suivante le même terme est \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}.

Ceci se traduit dans un diagramme de suites exactes, numéroté (26) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & \\ & & I \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & I_{s'} \simeq T \arrow[d] & \\ 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[d, no head] & \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{\tilde{K}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ & & 1 & 1 & \end{tikzcd}

à côté de \mathcal{E}_{\tilde{K}} il écrit \simeq \operatorname{Gal}(\overline{K}/\tilde{K}), et à côté de \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}, \simeq \operatorname{Gal}(\overline{k}/k). L'égalité verticale entre les deux \pi est marquée d'un « \Vert ».

le noyau I de \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} s'envoyant isomorphiquement par \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{\tilde{K}} sur le sous-groupe d'inertie I_{s'}, lui-même can. isom. à T. La section de \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} sur \mathcal{E}_{\tilde{K}} \simeq N_{s'}, induite par la section de départ de \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K (elle-même définie par f_K pt K-rat. de U_K sur K) n'est autre bien sûr que celle définie par le pt \tilde{K}-rationnel correspondant f_{\tilde{K}} de U_{\tilde{K}}. Son composé avec \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} envoie I \simeq T dans \pi, i.e. on a un homomorphisme essentiellement de la forme k_i \circ (\mu \cdot \mathrm{id}_T), où k_i \colon T \to \pi est un hom. de lacets, relatif au groupe de décomposition , et l'indice i. Ainsi \mathcal{E}_{\tilde{K}} s'envoie dans le normalisateur de L_i = k_i(T), dans \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}. D'ailleurs

p. 44 de l'auteur.

la dernière ligne dans (26) s'identifie aussi à (27)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_s} \to \mathcal{E}_{k(s)} \to 1 associée à U_s, fibre de U/S en s, sur le corps résiduel k(s).

Résumons. La situation de la courbe relative U/S, et d'un s \in S de codim 1, définit par hensélisation (pas stricte) en s le diagramme (26) ~~(25)~~, dans la dernière ligne est can. isom. à (27) (par l'hom. sur les \pi_1 correspondant :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] U_s \arrow[r] \arrow[d] & U_{\tilde{\mathcal{O}}} \arrow[d] \\ s \arrow[r] & \operatorname{Spec} \tilde{\mathcal{O}} \end{tikzcd}

). Une section rationnelle f/ de U sur S, plus génér. \tilde{f}/ de U_{\tilde{\mathcal{O}}} sur \tilde{S}, définit une section \mathcal{E}_{\tilde{f}}/ de la ligne médiane de (26), ce qui revient au même un relèvement (28)\qquad \lambda \colon \mathcal{E}_{\tilde{K}} \longrightarrow \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} \;\simeq\; \mathcal{E}_{U_s} de \mathcal{E}_{\tilde{K}} \to \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} (\simeq \mathcal{E}_{k(s)}) — où \mathcal{E}_{\tilde{K}} par ailleurs s'identifie au groupe de décomposition de \mathcal{O}_{S,s} dans \overline{K}. Les conditions suivantes sont dans (28) l'isomorphisme \mathcal{E}_{U_s} \simeq \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} est écrit verticalement, sous le terme d'arrivée.

équivalentes :

a)cet hom. est injectif. b)La restriction de cet hom. à I_{s'} \simeq T est de la forme k_i \circ (\mu \cdot \mathrm{id}_T), où k_i est un hom. lacet T \to \pi, et \mu \in \mathbb{N}^{*}. c)\lambda \mid I n'est pas l'hom. trivial. d)la section envisagée \mathcal{E}_{\tilde{f}} de \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} sur \mathcal{E}_{\tilde{K}} ne provient pas d'une section de \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} sur \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}. e)La section rationnelle ~~régulière~~ \tilde{f} de U_{\tilde{K}} sur \tilde{S} n'est pas régulière (i.e. la sect. rat. f de U sur S n'est pas définie en s). f)Si Désignons par \tilde{f} ~~désignons aussi~~ la section de X_{\tilde{\mathcal{O}}} sur \tilde{S} définie par \tilde{f} , on a \tilde{f}(s) \in I = X_s \smallsetminus U_s.

De plus, dans ce cas le i dans b) n'est autre que \tilde{f}(s).

Nous plaçant dans ce cas, on pourra donc identifier le groupe de décomposition N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}} (ext. de \mathcal{E}_{k(s)} par \pi) à un sous-groupe de \mathcal{E}_{X_s} (qui est) d'indice fini \mu dans N(L_i). Ainsi, notre scindage de \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K, ou de \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} sur \mathcal{E}_{\tilde{K}}, qui ne provient pas d'un scindage de dans la parenthèse de la ligne précédente, « ext. de \mathcal{E}_{k(s)} par \pi » : on attendrait « par T » (cf. p. 90) ; transcrit tel quel.

p. 45 de l'auteur.

\mathcal{E}_U sur \mathcal{E}_S ni même de \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} sur \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}, définit néanmoins, ~~sur~~ le sous-groupe \mathcal{E}_{\tilde{K}} = N_{s'} de \mathcal{E}_K (qui est extension d'un \mathcal{E}_k par un facteur maximal T \simeq I_{s'}, où k est un corps de degré de transcendance n - 1, lorsque S est de type fini sur un corps k_0, disons \mathbb{Q}) presque un relèvement — seul le facteur I_{s'} \simeq T y obstrue encore : en tous cas N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}} est plongé dans un N_{\mathcal{E}_{X_s}}(L_i), et toute section de cette extension de \mathcal{E}_{k(s)} par T donne donc une section de \mathcal{E}_{X_s} sur \mathcal{E}_{k(s)} — dirais-je au pire.

Une autre façon de dire ces choses est la suivante. Une section rationnelle f de U/S sur S, de domaine de définition l'ouvert S' de S, peut s'interpréter en termes de la famille des pts f(s) \in U_s, où s parcourant l'un des pts de S'

(ou si on préfère, disons, l'un des pts fermés (car S est de type fini sur un corps, tel \mathbb{Q} disons)). En termes de sections d'extension, on peut dire que la section \mathcal{E}_{f_K} de \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K donne lieu à une famille de sections voisines : une famille de sections des \mathcal{E}_{X_s} sur les \mathcal{E}_{k(s)} pour s \in S'. ~~Plus~~ ~~précisément~~ précisément cette correspondance sections de \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K, et sections des \mathcal{E}_{X_s} sur les \mathcal{E}_{k(s)}, une généralisation de ce qui se passe dans le cas d'un point de codim 1 : On interprète le normalisé S' de S dans \overline{K}, la fibre en s s'identifie à l'ens. des idéaux maximaux de la clôture normale de \mathcal{O}_{S,s} dans \overline{K}, et si N_{s'} désigne le ~~normalisateur~~ stabilisateur dans \mathcal{E}_K d'un s' dans S'_s, on a encore une structure d'extension (29)\qquad 1 \to I_{s'} \to N_{s'} \to \mathcal{E}_{k(s)} \to 1 ici S' désigne le normalisé de S dans \overline{K}, alors qu'à la page précédente S' était le domaine de définition de f ; le double emploi est sur la page.

p. 46 de l'auteur.

où I_{s'} ~~est le groupe~~ \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}}, \tilde{K} étant le corps des fractions du hensélisé strict de \mathcal{O}_{S,s}. (N_{s'} ~~est celui du complété~~ s'identifie de même à \mathcal{E}_{\tilde{K}}, où \tilde{K} correspond au hensélisé pas strict). Ceci posé, on trouve comme précédemment, si le composé \mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{U_K} \to \mathcal{E}_U (lequel il envoie I_{s'} dans \pi) s'annule sur I_{s'} (ce qui signifie justement que s \in S' …) qu'on a un hom. \mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_U, ou si on préfère \mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}_s}} \simeq \mathcal{E}_{X_s}, qui peut s'interpréter comme une section de \mathcal{E}_{X_s} sur \mathcal{E}_{k(s)}.

Et que se passe-t-il pour s \notin S' ? On sait que D = S \smallsetminus S' est purement de codim 1 (c'est l'image inverse du diviseur T sur X par la section f de X sur S, définie hors codim. \geq 2 …) en fait le \mu = \mu_\alpha de tout à l'heure, relatif à dans la première ligne, « I_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde K} » avec le hensélisé strict, puis N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde K} avec le hensélisé non strict : la même lettre \tilde K sert aux deux corps.

une composante D_\alpha = \overline{\{s_\alpha\}} de ce diviseur, n'est autre que sa multiplicité en D_\alpha. Ceci rappelé, on se demande donc ce qui se passe pour les s \in \bigcup D_\alpha, ou et ~~voit que~~ on regardera ceux qui sont \in D_\alpha, pour \alpha fixé, i.e. qui spécialisent un s_\alpha fixé. On peut dire que la situation définit une extension \mathcal{E}_{U_{s_\alpha}} de \mathcal{E}_{k(s_\alpha)} par \pi — disons comme tout pour S et K, d'une courbe relative U_{D_\alpha} sur D_\alpha — ou U_{s_\alpha} sur un ouvert régulier convenable de D_\alpha, si on préfère — en passant au pt générique. Cette fois-ci, pour la fibre générique, on n'a plus de ~~section~~ pt. rationnel, on a un pt. rat. sur k(s_\alpha) de X_{s_\alpha} — i.e. un pt rat. i_\alpha \in X_{s_\alpha} \smallsetminus U_{s_\alpha}, i.e. qui est à l'infini maintenant rat. sur k_\alpha. Mais on dispose d'un L_i \subset \pi relatif à cet i_\alpha, justement, ~~de façon~~ ess. canonique,

p. 47 de l'auteur.

qui nous intéresse justement : regarder la classe de scindages de \mathcal{E}_{X_s} sur \mathcal{E}_{k(s)} relatifs à cet L_i — et notamment ceux relatifs au choix d'une uniformisante de \mathcal{O}_{S,s_\alpha}, i.e. d'une équation locale de D_\alpha au voisinage de son pt gén. s_\alpha. ~~(spécialisation)~~ (qui interviennent par le biais qu'elles définissent U_{s_\alpha}/ …). Quand on a ces sections-là, on voit comment elles se spécialisent, du moins c'est clair en les pts de D_\alpha en lesquels la section rationnelle envisagée du faisceau conormal \mathcal{N}^{\vee}_{D_\alpha/S} (si on suppose D_\alpha régulier) reste régulière, et du \mathcal{N}_{D_\alpha/S} inversible. On peut se proposer d'étudier ~~comment~~ ce qui se passe en les autres points — i.e. la spécialisation des sections d'extensions du deuxième type, en faisant une étude de groupes profinis analogue à la précédente, pour cette question. Mais cela me semble d'un intérêt mineur —

plus une question des courbes relatives globales, mais pour des « éléments de courbe » relatifs — savoir, pour le complété formel d'une courbe relative X/S le long d'une section g_i, ou le diviseur de cette section distinguée dans la structure.

Je vais plutôt revenir à la situation où on part d'une section de première espèce d'un \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K, associée à un pt rationnel f_K de U_K sur K. On peut donc dire (indépendamment de la donnée du modèle S de K sur lequel U_K pourrait déjà se définir en schéma relatif élémentaire) que (29)\qquad \varphi = \mathcal{E}_{f_K} \colon \mathcal{E}_K \longrightarrow \mathcal{E}_{U_K} la dite section de \mathcal{E}_{U_K} sur \mathcal{E}_K définit, pour toute section de \mathcal{E}_K sur \mathcal{E}_{\mathbb{Q}} = \Gamma_{\mathbb{Q}}, ou plutôt sur un sous-groupe ouvert \Gamma' de celui-ci, une section le numéro (29) est déjà employé p. 91 ; transcrit tel quel.

p. 48 de l'auteur.

correspondante de \mathcal{E}_{U_K} sur \Gamma' — d'où, en particulier, des actions extérieures de \Gamma' sur \pi. (Même chose d'ailleurs pour des sous-corps k' quelconques de K, qui font apparaître \mathcal{E}_K comme étant sur \mathcal{E}_{k'} : la section (29) donne une famille de sections de \mathcal{E}_{U_K} sur des \mathcal{E}_k ou des sous-groupes ouverts \Gamma' de ceux-ci, des sections de \mathcal{E}_K sur des \mathcal{E}_k — ou des sous-groupes \Gamma' \subset \mathcal{E}_k.) J'ai envie d'avoir une vue d'ensemble sur cette famille de sections, et de la mettre en relation avec la famille de sections des \mathcal{E}_{X_s} sur les \mathcal{E}_{k(s)} définie par (29), ou définissant des actions extérieures (pas seulement ext.) des \mathcal{E}_{k(s)} sur \pi. Pour ces derniers, les k(s) n' apparaissent pas comme des sous-corps de K, mais plutôt comme des \mathcal{O}_s/\mathfrak{m}_s — des corps résiduels de anneaux locaux. Cependant, si on suppose S de dim ~~finie~~ relative 1 sur

On aurait intérêt ici de prendre pour S une courbe régulière sur k un corps k, tous les k(s) (pour s \neq \eta, pt gén.) apparaissent comme des extensions finies de k, et tout s \in S définit une classe de conjugaison \Delta_{s'} des \mathcal{E}_K ( inertie relative sur \mathcal{E}_k …), et les N_{s'} les sous-groupes de décomposition relatifs, et on peut regarder les sections de l'extension des N_{s'} sur des \mathcal{E}_{k(s)} \subset \mathcal{E}_k (sections « de deuxième espèce ») et les comparer avec la section donnée. Dans le cas où la section rat. f de U_K sur S est définie en s, il résulte de ce qui précède que la restriction partielle obtenue de \mathcal{E}_{U_K} classe de section \mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_K est elle aussi de première espèce, et à quasi-p. près (action sur \pi) est induite par celle qui est définie par le pt f(s) \in U_s(k(s)). Dans cette page est d'écriture rapide ; plusieurs liaisons entre les formules ne sont pas lues.

p. 49 de l'auteur.

le cas contraire où f n'est pas définie en s, on trouve une ~~section~~ section de 2e espèce, normalisant un L_i dans \pi.

À vrai dire, on n'a regardé jusqu'à présent que ce qui se passe en des « places » de K/k (corps des fonctions relatif d'une variété) où la ~~famille~~ courbe U_K/K a « bonne réduction » — c'était explicite, on partait d'une U sur S — et je voudrais examiner maintenant ce qui se passe dans le cas où on sort de cette hypothèse : examiner quels types d'actions de \mathcal{E}_{k(s)} \subset \mathcal{E}_k on obtient par la construction précédente, en les s \in S où on a « mauvaise réduction ». Un cas type serait celui où k = \mathbb{Q}, K corps des fonctions d'une courbe modulaire pour courbes elliptiques ~~( divisible, )~~ ponctuées, et s place à l'infini de K, correspondant à une courbe elliptique

dégénérée. On peut passer encore à l'hensélisé (non strict) de \mathcal{O}_s, i.e. partir de la situation d'un trait hensélien S, à corps résiduel k (ici \mathbb{Q} ou une extension finie de \mathbb{Q}), d'une courbe U_\eta de type (g, \nu) (ici (1,1)) sur son pt générique \eta, on s'intéresse à l'extension \mathcal{E}_{U_\eta} de \mathcal{E}_\eta par \pi, où ici \mathcal{E}_\eta s'insère encore dans (30)\qquad 1 \to T \to \mathcal{E}_\eta \to \mathcal{E}_k \to 1 ~~ici~~ (31)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_\eta} \to \mathcal{E}_\eta \to 1 Ici l'action extérieure de T sur \pi n'est évidemment pas triviale (pas de « bonne réduction ») — donc le groupe \mathcal{E}_k n'opère pas par lui-même extérieurement sur \pi. Mais tout scindage de (30), mais \subset \pi ! — note en oblique dans la marge inférieure gauche, non lue

p. 50 de l'auteur.

définit une extension de \mathcal{E}_k par \pi, donc une action extérieure — est-elle « admissible » ?, i.e. définie par une courbe algébrique ? Sans doute pas — quelle courbe serait-ce, i.e. ce serait la courbe « réduite » de type (g, \nu) (inexistante !) ? mais si !? très « réduits » de \pi Dès lors, si on a une section de (30) une de (31) — qui comprend une affection de \mathcal{E}_k sur \pi — dans une action, qu'attendre d'une telle action ?

~~Sans~~ m'y attendre, à tâter pour la structure : l'\infty des variétés modulaires de Teichmüller !

S'il faut hasarder des conjectures dans cette situation scabreuse, ce pourrait-être celle-ci :

Conjecture de bonne réduction : Les conditions suivantes sont équivalentes

a)U_\eta a bonne réduction sur S b)L'action extérieure de T sur \pi est triviale

la liste des conditions se poursuit au-delà de ce lot.