Cote n° 149, pages 81–100

Cote n° 149 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

81la page continue un argument commencé avant ce lot : l'extension (13) et les classes $\xi_i$ y ont été introduites plus haut.

Dans le cas « arithmétique », on voit donc que l'ext. (13) est scindée ssi $\xi_i = 0$, i.e. ssi on peut trouver, globalement sur $S$, une uniformisante sur $X$ le long de $g_i(S)$ ; et cette condition (toujours satisfaite loc. ⌜(Zar.)⌝ sur $S$) est en tous cas suffisante (cas arith. ou pas !). Quand $\xi_i = 0$, parmi les scindages, il y a ceux provenant du choix d'une section ⌜base⌝ de $J_i/J_i^2$ qui soit privilégiée. L'indétermination du choix d'une telle base est dans $\mathbb{G}_m(S) = H^0(S, \mathbb{G}_m)$ — celle du choix d'une section de (13) est dans \[ (20)\qquad H^1(S, T) \simeq \varprojlim_n H^1(S, \mu_n) . \] On a ici des suites exactes de Kummer \[ 0 \to \mathbb{G}_m(S)/\mathbb{G}_m(S)^n \to H^1(S, \mu_n) \to {}_n\mathrm{Pic}(S) \to 0 \] le premier terme de cette suite est surchargé et en partie biffé ; la lecture $\mathbb{G}_m(S)/\mathbb{G}_m(S)^n$ est celle que la limite qui suit demande, elle n'est pas lue sur la page. d'où par passage à la limite \[ (21)\qquad 0 \to \mathbb{G}_m(S)^{\wedge} \to H^1(S, T) \to \varprojlim_n {}_n\mathrm{Pic}\, S . \] Dans le « cas arithmétique », le troisième terme est nul, on trouve donc $\mathbb{G}_m$ $H^1(S, T) \simeq \mathbb{G}_m(S)^{\wedge}$.

82p. 41 de l'auteur.

Si le genre est zéro, prenant une de ces sections de $T$ sur $S$ comme section à l'infini, OPS (quitte à localiser) $U_S = \mathbb{E}^1_S \smallsetminus T'$, donc $f$ s'identifie à une section de $\mathbb{E}^1_S$ sur $S'$, i.e. de $\mathcal{O}_S$ sur $S'$, donc (comme $\operatorname{codim}(Z, S) \geq 2$, $S'$ normal) elle se prolonge en une section de $\mathbb{E}^1_S$. Et on conclut comme précédemment, OK.

Considérons Considérons donc les diviseurs irréductibles $D_i$ sur $S$, ou ce qui revient au même, les pts $x_i$ de $X$ de codim $1$, i.e. tels que $\mathcal{O}_{x_i}$ soit un anneau de valuation discrète). Considérons son normalisé $\overline{\mathcal{O}}_{x_i}$ dans $\overline{K}$, choisissons un idéal maximal $\tilde{x}_i$ de $\overline{\mathcal{O}}_x$ […] (ces idéaux correspondent ⌜au-dessus de $x$⌝ aux pts du normalisé $\tilde{S}$ de $S$ dans $\overline{K}$) et considérons son stabilisateur $N_x$ dans $\mathcal{E}_K$, qui opère donc dans $k(\tilde{x}) = \overline{k(x)}$, et s'envoie en fait, on le sait, sur $\operatorname{Gal}(\overline{k(x)}/k(x))$. il écrit ici $X$ et non $S$ (« les pts $x_i$ de $X$ ») ; transcrit tel quel.

83Soit $I_{\tilde{x}}$ le sous-groupe noyau de l'h.m. obtenu (le stabilisateur « géométrique » de $\tilde{x}$), d'où une suite exacte \[ (7)\qquad 1 \to I_{\tilde{x}} \to N_{\tilde{x}} \to \operatorname{Gal}(\overline{k(x)}/k(x)) \to 1 , \] et par Kummer on trouve can. \[ (8)\qquad I_{\tilde{x}} \simeq T_{\infty}\bigl(\overline{k(x)}^{*}\bigr) \simeq T_{\infty}\bigl(\overline{K}^{*}\bigr) \] à cause de l'hyp. de car. $0$ ! On notera que si $x$ est le pt génér. du diviseur $D$, $k(x)$ est le corps des fonctions de $D$, i.e. un corps de type fini sur $\mathbb{Q}$.

Il est immédiat (sans supposer que le corps de base pour $S$ soit $\mathbb{Q}$) que le noyau de $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_S$ est le sous-groupe invariant engendré par les $I_{\tilde{x}}$. Donc l'hypothèse que $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{U_S}$ s'annule sur le dit noyau, signifie aussi qu'il s'annule sur chacun des $I_{\tilde{x}}$. Soit donc $U_{\mathcal{O}_x}$ induit par $U$ sur $\operatorname{Spec} \mathcal{O}_x$, […] la fin de la page, deux lignes rapides, n'est pas lue avec assurance ; l'argument continue en p. 84 sur un autre sujet, une page manque peut-être entre les deux, ou il y a là une coupure de l'auteur.

84p. 42 de l'auteur.

d'ailleurs $\mathbb{G}_m(S)$ n'a pas d'él. infiniment divisibles […], donc \[ (22)\qquad \mathbb{G}_m(S) \longrightarrow \mathbb{G}_m(S)^{\wedge} \simeq H^1(S, T) \] (cas « arithm. ») est injectif. Ainsi, quand $\xi_i = 0$ i.e. quand (13) admet des scindages « géométriques » (et il suffit pour cela qu'il existe une section (A const.)), ceux-ci forment un torseur sous […] $\mathbb{G}_m(S)^{\wedge}$, qui s'identifie à un sous-torseur du $\bigl(H^1(S, T) = \mathbb{G}_m(S)^{\wedge}\bigr)$-torseur de tous les scindages de (13). Pour que la « description profinie de la géom. alg. absolue sur $\mathbb{Q}$ » soit complète, il y faudrait également caractériser (en termes de ⌜cette⌝ description profinie) ce sous-ensemble remarquable.

Je voudrais enfin comprendre aussi comment une section d'extension du type (1) peut se « spécialiser » en une du type (2), dans le cas de sections de courbes relatives. Pour ceci, je reprends

85la sempiternelle situation de $U = X \smallsetminus T$ sur $S$, avec une $g_i = g_{i_0}$ section de $T$ sur $\uncertain{I}$, et je suppose donnée une section rationnelle $f$ $f$ de $U$ sur $S$, qui en un point particulier $s$ de […] codim $1$ va coïncider avec une $g_i$ en tant que section de $X$ \[ g_i(s) = f(s) \] de sorte que l'h.m. induit sur le groupe d'inertie $I_{s'} \subset \mathcal{E}_K$ par le composé \[ \mathcal{E}_K \longrightarrow \mathcal{E}_{U_K} \longrightarrow \mathcal{E}_U \] (qui envoie en fait $I_{s'}$ dans $\pi$, et même dans les $L_i$, ou l'un d'eux) soit non nulle triviale. Considérons donc le groupe de décomposition $N_{s'}$ (cf. suite exacte (7), dont on a changé les notations), qui s'identifie comme le $\pi_1$ de la « rondelle trouée » correspondant au hensélisé (pas strict) de l'anneau $\mathcal{O}_{S,s}$ — ou mieux, le $\pi_1$ du fibré en

86p. 43 de l'auteur.

disques troués autour du germe de variété $D = \bigl(\overline{\{s\}}\bigr)_{\mathrm{red}}$ en $s$ …, et l'extension de $N_{s'}$ par $\pi$ contenue dans l'ext. $\mathcal{E}_{U_K}$ de $\mathcal{E}_K$ par $\pi_1$. La section donnée (plutôt, construite via $f_K$) de l'ext. $\mathcal{E}_{U_K}$, en définit une de la sous-extension. Si on considérer d'autres pts que scindages de […] (passage biffé de traits verticaux) L'interprétation géométrique de ces constructions profinies est la suivante ; soit […] $\tilde{\mathcal{O}}_s$ le hensélisé (pas strict) de $\mathcal{O}_{S,s} = \mathcal{O}_s$ ⌜(trait hensélien)⌝, et $\tilde{S} = \operatorname{Spec}(\tilde{\mathcal{O}}_s)$, $\tilde{K}$ son corps des fonctions, on a $U_{\tilde{S}}$ sur $\tilde{S}$, $U_{\tilde{K}}$ sur $\tilde{K}$, et l'extension \[ (23)\qquad N_{s'} \ \text{(groupe de décomposition de $\mathcal{E}_{K,\overline{K}}$ en $s'$)} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}} \] et la suite ⌜$\mathcal{E}$⌝ extension de ce groupe par $\pi$ induite que \[ (24)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{\tilde{K}} \to 1 , \qquad \pi = \pi_1(U_{\overline{K}}), \quad \mathcal{E}_{\tilde{K}} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\tilde{K}), \] s'envoyant dans \[ (25)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U} \to \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \to 1 , \qquad \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \simeq \operatorname{Gal}(\overline{k}/k) \] ($k = k(s)$ étant le corps résiduel). dans (25) il écrit $\mathcal{E}_U$ ; au diagramme (26) de la page suivante le même terme est $\mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$.

87Ceci se traduit dans un diagramme de suites exactes, numéroté (26) :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & \\
 & & I \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & I_{s'} \simeq T \arrow[d] & \\
1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[d, no head] & \mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{\tilde{K}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
 & & 1 & 1 &
\end{tikzcd}

à côté de $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$ il écrit $\simeq \operatorname{Gal}(\overline{K}/\tilde{K})$, et à côté de $\mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}$, $\simeq \operatorname{Gal}(\overline{k}/k)$. L'égalité verticale entre les deux $\pi$ est marquée d'un « $\Vert$ ».

le noyau $I$ de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$ s'envoyant isomorphiquement par $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{\tilde{K}}$ sur le sous-groupe d'inertie $I_{s'}$, lui-même can. isom. à $T$. La section de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}}$ sur $\mathcal{E}_{\tilde{K}} \simeq N_{s'}$, induite par la section de départ de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ (elle-même définie par $f_K$ pt $K$-rat. de $U_K$ sur $K$) n'est autre bien sûr que celle définie par le pt $\tilde{K}$-rationnel correspondant $f_{\tilde{K}}$ de $U_{\tilde{K}}$. Son composé avec $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$ envoie $I \simeq T$ dans $\pi$, i.e. on a un homomorphisme essentiellement de la forme $k_i \circ (\mu \cdot \mathrm{id}_T)$, où $k_i \colon T \to \pi$ est un hom. de lacets, relatif au groupe de décomposition […], et l'indice $i$. Ainsi $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$ s'envoie dans le normalisateur de $L_i = k_i(T)$, dans $\mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$. D'ailleurs

88p. 44 de l'auteur.

la dernière ligne dans (26) s'identifie aussi à \[ (27)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_s} \to \mathcal{E}_{k(s)} \to 1 \] associée à $U_s$, fibre de $U/S$ en $s$, sur le corps résiduel $k(s)$.

Résumons. La situation de la courbe relative $U/S$, et d'un $s \in S$ de codim $1$, définit par hensélisation (pas stricte) en $s$ le diagramme (26) (25), dans la dernière ligne est can. isom. à (27) (par l'⌜hom.⌝ […] sur les $\pi_1$ correspondant :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
U_s \arrow[r] \arrow[d] & U_{\tilde{\mathcal{O}}} \arrow[d] \\
s \arrow[r] & \operatorname{Spec} \tilde{\mathcal{O}}
\end{tikzcd}

). Une section rationnelle ⌜$f$⌝/ de $U$ sur $S$, plus génér. $\tilde{f}$/ de $U_{\tilde{\mathcal{O}}}$ sur $\tilde{S}$, définit une section ⌜$\mathcal{E}_{\tilde{f}}$⌝/ de la ligne médiane de (26), ce qui revient au même un relèvement \[ (28)\qquad \lambda \colon \mathcal{E}_{\tilde{K}} \longrightarrow \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}} \;\simeq\; \mathcal{E}_{U_s} \] de $\mathcal{E}_{\tilde{K}} \to \mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}$ ($\simeq \mathcal{E}_{k(s)}$) — où $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$ par ailleurs s'identifie au groupe de décomposition de $\mathcal{O}_{S,s}$ dans $\overline{K}$. Les conditions suivantes sont dans (28) l'isomorphisme $\mathcal{E}_{U_s} \simeq \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$ est écrit verticalement, sous le terme d'arrivée.

89équivalentes :

a)cet hom. est injectif.
b)La restriction de cet hom. à $I_{s'} \simeq T$ est de la forme $k_i \circ (\mu \cdot \mathrm{id}_T)$, où $k_i$ est un hom. lacet $T \to \pi$, et $\mu \in \mathbb{N}^{*}$.
c)$\lambda \mid I$ n'est pas l'hom. trivial.
d)la section envisagée ⌜$\mathcal{E}_{\tilde{f}}$ de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}}$ sur $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$⌝ ne […] ⌜provient⌝ pas d'une section de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$ sur $\mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}$.
e)La section rationnelle régulière $\tilde{f}$ de $U_{\tilde{K}}$ sur $\tilde{S}$ n'est pas régulière (i.e. la sect. rat. $f$ de $U$ sur $S$ n'est pas définie en $s$).
f)Si ⌜Désignons par⌝ $\tilde{f}$ désignons aussi la section de $X_{\tilde{\mathcal{O}}}$ sur $\tilde{S}$ définie par $\tilde{f}$ […] ⌜[…]⌝, on a $\tilde{f}(s) \in I = X_s \smallsetminus U_s$.

De plus, dans ce cas le $i$ dans b) n'est autre que $\tilde{f}(s)$.

Nous plaçant dans ce cas, on pourra donc identifier le groupe de décomposition $N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}}$ (ext. de $\mathcal{E}_{k(s)}$ par $\pi$) à un sous-groupe de $\mathcal{E}_{X_s}$ (qui est) d'indice fini $\mu$ dans $N(L_i)$. Ainsi, notre scindage de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$, ou de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{K}}}$ sur $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$, qui ne provient pas d'un scindage de dans la parenthèse de la ligne précédente, « ext. de $\mathcal{E}_{k(s)}$ par $\pi$ » : on attendrait « par $T$ » (cf. p. 90) ; transcrit tel quel.

90p. 45 de l'auteur.

$\mathcal{E}_U$ sur $\mathcal{E}_S$ ni même de $\mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}}}$ sur $\mathcal{E}_{\tilde{\mathcal{O}}}$, définit néanmoins, sur le sous-groupe $\mathcal{E}_{\tilde{K}} = N_{s'}$ de $\mathcal{E}_K$ (qui est extension d'un $\mathcal{E}_k$ par un facteur […] maximal $T \simeq I_{s'}$, où $k$ est un corps de degré de transcendance $n - 1$, lorsque $S$ est de type fini sur un corps $k_0$, disons $\mathbb{Q}$) presque un relèvement — seul le facteur $I_{s'} \simeq T$ y obstrue encore : en tous cas $N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}}$ est plongé dans un $N_{\mathcal{E}_{X_s}}(L_i)$, et toute section de cette extension de $\mathcal{E}_{k(s)}$ par $T$ donne donc une section de $\mathcal{E}_{X_s}$ sur $\mathcal{E}_{k(s)}$ — dirais-je au pire.

Une ⌜autre⌝ façon de dire ces choses est la suivante. Une section rationnelle $f$ de $U/S$ sur $S$, de domaine de définition l'ouvert $S'$ de $S$, peut s'interpréter en termes de la famille des pts $f(s) \in U_s$, où $s$ parcourant l'un des pts de $S'$

91(ou si on préfère, disons, l'un des pts fermés (car $S$ est de type fini sur un corps, tel $\mathbb{Q}$ disons)). En termes de sections d'extension, on peut dire que la section $\mathcal{E}_{f_K}$ de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ donne lieu à une famille de sections voisines : une famille de sections des $\mathcal{E}_{X_s}$ sur les $\mathcal{E}_{k(s)}$ pour $s \in S'$. Plus […] précisément ⌜précisément⌝ […] cette correspondance […] […] sections de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$, et sections des $\mathcal{E}_{X_s}$ sur les $\mathcal{E}_{k(s)}$, une généralisation de ce qui se passe dans le cas d'un point de codim $1$ : On interprète le normalisé $S'$ de $S$ dans $\overline{K}$, la fibre en $s$ s'identifie à l'ens. des idéaux maximaux de la clôture normale de $\mathcal{O}_{S,s}$ dans $\overline{K}$, et si $N_{s'}$ désigne le normalisateur ⌜stabilisateur⌝ dans $\mathcal{E}_K$ d'un $s'$ dans $S'_s$, on a encore une structure d'extension \[ (29)\qquad 1 \to I_{s'} \to N_{s'} \to \mathcal{E}_{k(s)} \to 1 \] ici $S'$ désigne le normalisé de $S$ dans $\overline{K}$, alors qu'à la page précédente $S'$ était le domaine de définition de $f$ ; le double emploi est sur la page.

92p. 46 de l'auteur.

où $I_{s'}$ est le groupe $\simeq \mathcal{E}_{\tilde{K}}$, $\tilde{K}$ étant le corps des fractions du hensélisé […] strict de $\mathcal{O}_{S,s}$. ($N_{s'}$ est celui du complété ⌜s'identifie de même à⌝ $\mathcal{E}_{\tilde{K}}$, où $\tilde{K}$ correspond au hensélisé pas strict). Ceci posé, on trouve comme précédemment, si le composé $\mathcal{E}_K \to \mathcal{E}_{U_K} \to \mathcal{E}_U$ (lequel il envoie $I_{s'}$ dans $\pi$) s'annule sur $I_{s'}$ (ce qui signifie justement que $s \in S'$ …) qu'on a un hom. $\mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_U$, ou si on préfère $\mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_{U_{\tilde{\mathcal{O}}_s}} \simeq \mathcal{E}_{X_s}$, qui peut s'interpréter comme une section de $\mathcal{E}_{X_s}$ sur $\mathcal{E}_{k(s)}$.

Et que se passe-t-il pour $s \notin S'$ ? […] On sait que $D = S \smallsetminus S'$ est purement de codim $1$ (c'est l'image inverse du diviseur $T$ sur $X$ par la section $f$ de $X$ sur $S$, définie hors codim. $\geq 2$ …) […] en fait le $\mu = \mu_\alpha$ de tout à l'heure, relatif à dans la première ligne, « $I_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde K}$ » avec le hensélisé strict, puis $N_{s'} \simeq \mathcal{E}_{\tilde K}$ avec le hensélisé non strict : la même lettre $\tilde K$ sert aux deux corps.

93une composante $D_\alpha = \overline{\{s_\alpha\}}$ de ce diviseur, n'est autre que sa multiplicité en $D_\alpha$. Ceci rappelé, on se demande donc ce qui se passe pour les $s \in \bigcup D_\alpha$, ou ⌜et⌝ voit que on regardera ceux qui sont $\in D_\alpha$, ⌜pour $\alpha$ fixé,⌝ i.e. qui spécialisent un $s_\alpha$ fixé. On peut dire que la situation définit une extension $\mathcal{E}_{U_{s_\alpha}}$ de $\mathcal{E}_{k(s_\alpha)}$ par $\pi$ — disons comme tout pour $S$ et $K$, d'une courbe relative […] $U_{D_\alpha}$ sur $D_\alpha$ — ou $U_{s_\alpha}$ sur un ouvert régulier convenable de $D_\alpha$, si on préfère — en passant au pt générique. Cette fois-ci, pour la fibre générique, on n'a plus de section pt. rationnel, on a un pt. rat. sur $k(s_\alpha)$ de $X_{s_\alpha}$ — i.e. un pt rat. $i_\alpha \in X_{s_\alpha} \smallsetminus U_{s_\alpha}$, i.e. qui est à l'infini […] maintenant rat. sur $k_\alpha$. Mais on dispose d'un $L_i \subset \pi$ relatif à cet $i_\alpha$, justement, de façon ess. canonique,

94p. 47 de l'auteur.

qui nous intéresse justement : regarder la classe de scindages de $\mathcal{E}_{X_s}$ sur $\mathcal{E}_{k(s)}$ relatifs à cet $L_i$ — et notamment ceux relatifs au choix d'une uniformisante de $\mathcal{O}_{S,s_\alpha}$, i.e. d'une équation locale de $D_\alpha$ au voisinage de son pt gén. $s_\alpha$. (spécialisation) (qui interviennent par le biais qu'elles définissent $U_{s_\alpha}/$ …). Quand on a ces sections-là, on voit comment elles se spécialisent, du moins c'est clair en les pts de $D_\alpha$ en lesquels la section rationnelle envisagée du faisceau conormal $\mathcal{N}^{\vee}_{D_\alpha/S}$ (si on suppose $D_\alpha$ régulier) reste régulière, et du $\mathcal{N}_{D_\alpha/S}$ inversible. On peut se proposer d'étudier comment ce qui se passe en les autres points — i.e. la spécialisation des sections d'extensions du deuxième type, en faisant une étude de groupes profinis analogue à la précédente, pour cette question. Mais cela me semble d'un intérêt mineur — […]

95plus une question […] des courbes relatives globales, mais pour des « éléments de courbe » relatifs — savoir, pour le complété formel d'une courbe relative $X/S$ le long d'une section $g_i$, ⌜ou⌝ le diviseur de cette section distinguée dans la structure.

Je vais plutôt revenir à la situation où on part d'une section de première espèce d'un $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$, associée à un pt rationnel $f_K$ de $U_K$ sur $K$. On peut donc dire (indépendamment de la donnée du modèle $S$ de $K$ sur lequel $U_K$ pourrait déjà se définir […] en schéma relatif élémentaire) que \[ (29)\qquad \varphi = \mathcal{E}_{f_K} \colon \mathcal{E}_K \longrightarrow \mathcal{E}_{U_K} \] la dite section de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\mathcal{E}_K$ définit, pour toute section de $\mathcal{E}_K$ sur $\mathcal{E}_{\mathbb{Q}} = \Gamma_{\mathbb{Q}}$, ou plutôt sur un sous-groupe ouvert $\Gamma'$ de celui-ci, une section le numéro (29) est déjà employé p. 91 ; transcrit tel quel.

96p. 48 de l'auteur.

correspondante de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur $\Gamma'$ — d'où, en particulier, des actions extérieures de $\Gamma'$ sur $\pi$. (Même chose d'ailleurs pour des sous-corps $k'$ quelconques de $K$, ⌜[…]⌝ qui font apparaître $\mathcal{E}_K$ comme étant sur $\mathcal{E}_{k'}$ : la section (29) donne une famille de sections de $\mathcal{E}_{U_K}$ sur des $\mathcal{E}_k$ ⌜ou des sous-groupes ouverts $\Gamma'$ de ceux-ci⌝, […] des sections de $\mathcal{E}_K$ sur des $\mathcal{E}_k$ — ou des sous-groupes $\Gamma' \subset \mathcal{E}_k$.) J'ai envie d'avoir une vue d'ensemble sur cette famille de sections, et de la mettre en relation avec la famille de sections des $\mathcal{E}_{X_s}$ sur les $\mathcal{E}_{k(s)}$ définie par (29), ⌜ou définissant des⌝ actions extérieures (pas seulement ext.) des $\mathcal{E}_{k(s)}$ sur $\pi$. Pour ces derniers, les $k(s)$ n' apparaissent pas comme des sous-corps de $K$, mais plutôt ⌜[…]⌝ comme des $\mathcal{O}_s/\mathfrak{m}_s$ — des corps résiduels de […] anneaux locaux. Cependant, si on suppose $S$ de dim finie ⌜relative $1$⌝ sur

97On aurait intérêt ici de prendre pour $S$ une courbe régulière sur $k$ […] un corps $k$, tous les $k(s)$ (pour $s \neq \eta$, pt gén.) apparaissent comme des extensions finies de $k$, et tout $s \in S$ définit une classe de conjugaison $\Delta_{s'}$ […] des $\mathcal{E}_K$ ([…] ⌜inertie⌝ relative sur $\mathcal{E}_k$ …), et les $N_{s'}$ […] les sous-groupes de décomposition relatifs, et on peut regarder les sections de l'extension des $N_{s'}$ sur des $\mathcal{E}_{k(s)} \subset \mathcal{E}_k$ […] (sections « de deuxième espèce ») et les comparer avec la section donnée. Dans le cas où la section rat. $f$ de $U_K$ sur $S$ est définie en $s$, il résulte de ce qui précède que la restriction partielle obtenue de $\mathcal{E}_{U_K}$ […] classe de section $\mathcal{E}_{k(s)} \to \mathcal{E}_K$ est elle aussi de première espèce, et […] ⌜à⌝ […] quasi-p. ⌜près⌝ (action sur $\pi$) est induite par celle qui est définie par le pt $f(s) \in U_s(k(s))$. Dans cette page est d'écriture rapide ; plusieurs liaisons entre les formules ne sont pas lues.

98p. 49 de l'auteur.

le cas contraire où $f$ n'est pas définie en $s$, on trouve une section section de 2^e espèce, normalisant un $L_i$ […] dans $\pi$.

À vrai dire, on n'a regardé jusqu'à présent que ce qui se passe en des « places » de $K/k$ (corps des fonctions relatif d'une variété) où la famille courbe $U_K/K$ a « bonne réduction » — c'était explicite, on partait d'une $U$ sur $S$ — et je voudrais examiner maintenant ce qui se passe dans le cas où on sort de cette hypothèse : examiner quels types d'actions de $\mathcal{E}_{k(s)} \subset \mathcal{E}_k$ on obtient par la construction précédente, en les $s \in S$ où on a « mauvaise réduction ». Un cas type serait celui où $k = \mathbb{Q}$, $K$ corps des fonctions d'une courbe modulaire pour courbes elliptiques ([…] divisible, […]) ponctuées, et $s$ place à l'infini de $K$, correspondant à une courbe elliptique

99dégénérée. On peut passer encore à l'hensélisé (non strict) de $\mathcal{O}_s$, i.e. partir de la situation d'un trait hensélien $S$, à corps résiduel $k$ (ici $\mathbb{Q}$ ou une extension finie de $\mathbb{Q}$), d'une courbe $U_\eta$ de type $(g, \nu)$ (ici $(1,1)$) sur son pt générique $\eta$, on s'intéresse à l'extension $\mathcal{E}_{U_\eta}$ de $\mathcal{E}_\eta$ par $\pi$, où ici $\mathcal{E}_\eta$ s'insère encore dans \[ (30)\qquad 1 \to T \to \mathcal{E}_\eta \to \mathcal{E}_k \to 1 \] […] ici […] \[ (31)\qquad 1 \to \pi \to \mathcal{E}_{U_\eta} \to \mathcal{E}_\eta \to 1 \] Ici l'action extérieure de $T$ sur $\pi$ n'est évidemment pas triviale (pas de « bonne réduction ») — donc le groupe $\mathcal{E}_k$ n'opère pas par lui-même extérieurement sur $\pi$. Mais tout scindage de (30), mais […] $\subset \pi$ […] […] […] ! […] — note en oblique dans la marge inférieure gauche, non lue

100p. 50 de l'auteur.

définit une extension de $\mathcal{E}_k$ par $\pi$, donc une action extérieure — est-elle « admissible » ?, i.e. définie par une courbe algébrique ? Sans doute pas — quelle courbe serait-ce, i.e. ce serait la courbe « réduite » de type $(g, \nu)$ (inexistante !) ? mais si !? très […] « réduits » de $\pi$ […] Dès lors, si on a une section de (30) […] une de (31) — qui comprend une ⌜affection⌝ […] de $\mathcal{E}_k$ sur $\pi$ — dans une action, qu'attendre d'une telle action ?

Sans […] m'y attendre, […] à tâter […] pour la structure : l'$\infty$ des variétés modulaires de Teichmüller !

S'il faut hasarder des conjectures dans cette situation scabreuse, ce pourrait-être celle-ci :

Conjecture de bonne réduction : Les conditions suivantes sont équivalentes

a)$U_\eta$ a bonne réduction sur $S$
b)L'action extérieure de $T$ sur $\pi$ est triviale

la liste des conditions se poursuit au-delà de ce lot.